Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів
Отримані деякі нові оцінки коефіцієнтів Фур’є функцій з симетричних просторів.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18617 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів / С.О. Кирилов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 74-79. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18617 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186172011-04-07T12:04:37Z Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів Кирилов, С.О. Отримані деякі нові оцінки коефіцієнтів Фур’є функцій з симетричних просторів. Some new estimates of the Fourier coefficients for functions from symmetrical spaces are obtained. 2010 Article Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів / С.О. Кирилов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 74-79. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18617 517.518 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримані деякі нові оцінки коефіцієнтів Фур’є функцій з симетричних просторів. |
| format |
Article |
| author |
Кирилов, С.О. |
| spellingShingle |
Кирилов, С.О. Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Кирилов, С.О. |
| author_sort |
Кирилов, С.О. |
| title |
Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів |
| title_short |
Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів |
| title_full |
Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів |
| title_fullStr |
Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів |
| title_full_unstemmed |
Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів |
| title_sort |
коефіцієнти фур’є функцій із загальних симетричних просторів |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18617 |
| citation_txt |
Коефіцієнти Фур’є функцій із загальних симетричних просторів / С.О. Кирилов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 74-79. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT kirilovso koefícíêntifurêfunkcíjízzagalʹnihsimetričnihprostorív |
| first_indexed |
2025-07-02T19:35:07Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:35:07Z |
| _version_ |
1836565038859550720 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
74 © С. О. Кирилов, 2010
УДК 517.518
С. О. Кирилов, канд. фіз.-мат. наук
Одеський національний морський університет, м. Одеса
КОЕФІЦІЄНТИ ФУР’Є ФУНКЦІЙ ІЗ ЗАГАЛЬНИХ
СИМЕТРИЧНИХ ПРОСТОРІВ
Отримані деякі нові оцінки коефіцієнтів Фур’є функцій з
симетричних просторів.
Ключові слова: коефіцієнти Фур'є, функції, симетричний
простір, теорема, тригонометрична система, властивість,
сукупність.
Вступ. Стаття присвячена отриманню оцінок коефіцієнтів Фур'є
функцій, що належать певним функціональним просторам, за загаль-
ними ортонормованими системами. Такі оцінки мають теоретичне
значення та застосовуються в теорії ортогональних рядів, теорії фун-
кціональних просторів.
Перші оцінки норм функцій через їх коефіцієнти Фур'є за триго-
нометричною системою були одержані Хаусдорфом і Юнгом, а та-
кож, дещо пізніше, Харді і Літтлвудом. У наступні роки у роботах
Пелі, Марцинкевича і Зігмунда ці результати були перенесені на за-
гальні ортонормовані системи. Аналоги таких результатів були також
одержані в інших просторах функцій у роботах ряду математиків.
Так, наприклад, у роботах [1], [2] коефіцієнтні оцінки були одержані
для функцій із загальних симетричних просторів, проте лише у випа-
дку, коли ортонормована система є обмеженою у сукупності.
Метою нашої роботи є одержання оцінок коефіцієнтів Фур’є
функцій із загальних симетричних просторів у випадку, коли ортоно-
рмована система не є обмеженою у сукупності.
Основна частина. Спочатку наведемо декілька означень.
Простір E вимірних функцій на [0, 1] називається симетричним, якщо
із нерівності ( ) ( )f t g t≤ і умови g(t)∈E випливає, що E Ef g≤ і із
рівновимірності функцій f і g виходить, що E Ef g= .
Прикладами симетричних просторів є відомі простори Лебега і
Лоренца. Деякі інші приклади симетричних просторів наведені у мо-
нографії [3, с. 145-156].
Нехай тепер { }( )n xϕ – ортонормована система на відрізку [0, 1],
при всіх n = 1, 2,... ϕn ∈ L∞, n nMϕ ∞ = , 2
1
n
k n
k
M B
=
=∑ .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
75
Позначимо
,0 min(1, ),
( )
0, 1.
sf s
f s
s
τ
τ
θ τ
τ
⎧ ⎛ ⎞ ≤ ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨
⎪ < ≤⎩
Основним результатом нашої роботи є така теорема.
Теорема 1. Нехай симетричний простір E такий, що
1
2 , 0E E oτθ τ τ→
⎛ ⎞= →⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (1)
( ) ,E E oτθ τ τ→ = →∞ . (2)
Якщо f ∈ E, { }nc – коефіцієнти Фур’є функції f, то
( ( 1(0, )1
n
n n E
n B E
c M c fχ
∞
=
≤∑ .
Відповідний результат для систем, обмежених у сукупності, був
одержаний у роботі [2]. Щоб одержати нашу теорему ми використо-
вуємо метод, який базується на оцінках незростаючих переставлень
функцій. Основною в доведенні є лема.
Лема 1. Нехай { }( )n xϕ – ортонормована система на відрізку
[0, 1] і n nMϕ ∞ ≤ , 2
1
n
n k
k
B M
=
= ∑ , n = 1, 2, .... Тоді
1
* *
1 0
( ) ( )
tn
k k n n
k t
dsc M B f s ds B f s
s=
⎛ ⎞
≤ + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫ ∫ . (3)
Доведення. Покладемо
1
( ) sign ( )
n
n k k k
k
S x c M xϕ
=
= ∑ . Використо-
вуючи відомі властивості переставлень функцій та нерівність Гельде-
ра, маємо
1 1
* * * *
1 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tn
k k n n n
k
c M f x S x dx f t S t dt f u S u du
=
= ≤ ≤ +∑ ∫ ∫ ∫
1 1
* * * * * *
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) .
t
n n n
t t
duf u S u du f u du S f u S
u∞
⎛ ⎞
+ ≤ + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
Далі помічаємо
* 2
1
.
n
n k n
k
S M B
∞ =
≤ =∑
І, нарешті,
Математичне та комп’ютерне моделювання
76
1
2
* 2
2 1
.
n
n k n
k
S M е
=
⎛ ⎞
≤ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
Об’єднуючи ці оцінки, одержуємо потрібний результат.
Доведення теореми 1. Використаємо (3). Якщо
10,1
( )
n
n n
n B
Tf t c M χ
∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎝ ⎠
= ∑ ,
то (див. [4])
( )
1
* * *
0
1 1( ) ( ) ( )
t
t
dsTf t f s ds f s
t t s
⎛ ⎞
≤ + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ,
внаслідок того, що Tf(t) стала на
1
1 1,
n nB B+
⎞⎡
⎟⎢ ⎟⎣ ⎠
, а права частина (3)
угнута. Якщо ми позначимо
*
1
0
1( ) ( )
t
H f t f s ds
t
= ∫ ,
1
*
2
1( ) ( )
t
dsH f t f s
t s
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ,
то завдяки симетричності E
( ) { }*
1 2E E EE
Tf Tf c H f H f= ≤ + .
Далі
11 *
*
2
0
1 1 ( )( )
t
E
t E E
ds f tH f f s td
t s t t
τ τ
τ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = ≤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
11
1 1
( )
E EE
E
f t
d d fττ
θθ
τ τ
τ τ
∞ ∞
→≤ ≤∫ ∫ .
Відомо, [5, с. 260], що завдяки напівмультиплікативності
E Eτθ → із (1) виходить, що
1
2
E E o ε
τθ τ +
→
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, ε > 0, якщо τ → 0.
Але тоді
1
1
E E dτ
θ
τ
τ
∞
→ < ∞∫ .
Аналогічними міркуваннями показуємо із (2), що
1 E EH f c f≤ , звідки і виходить наша теорема.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
77
Покладемо
( ) ( (
1
1 1,1 1
( ) ( )
n n
n
k k
n k B B
Rf t c M tχ
+
∞
⎡ ⎞⎟⎢= = ⎠⎣
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ .
Легко бачити, що при всіх t ∈ (0, 1)
( ) ( )( ) ( )Rf t Tf t= .
Наслідок. Якщо Е задовольняє умови (1), (2), то
( (
1
1 1,1 1
( )
n n
n
k k E
n k B B E
c M t c fχ
+
∞
⎡ ⎞⎟⎢= = ⎠⎣
⎛ ⎞
≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ .
Зауважимо, що при наших припущеннях відносно системи
{ }( )n xϕ , на підставі узагальнення теореми Мерсера, яке отримав Бул-
лін [6], 0n
n
c
M
→ при n→∞.
Скажімо, що симетричний простір Е володіє В-властивістю від-
носно системи { }( )k xϕ , якщо для будь-якої послідовності { }kα , та-
кої, що
0k
kM
α
→ (k → ∞),
знайдеться f ∈ E та послідовність { }kn , такі, що
kn kc α= .
С. Банах показав, що L1 володіє В-властивістю відносно триго-
нометричної системи. В. О. Родін [2] показав, що якщо Е ≠ L1, то цей
простір не володіє В-властивістю відносно будь-якої рівномірно об-
меженої ортонормованої системи. Ми перенесемо це твердження на
випадок систем, що не є обмеженими у сукупності.
Теорема 2. Нехай Е ≠ L1. Тоді Е не володіє В-властивістю відно-
сно будь-якої ортонормованої системи із L∞.
Доведення. Використовуючи відому нерівність [3, с. 162], якщо
( ) ( )E
tt tψ ϕ= , то
1
*
0
1 1( )
1
nB
E E
n
n E
n
f s ds f f
B
B
B
ψ
ϕ
⎛ ⎞
≤ =⎜ ⎟
⎛ ⎞⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ .
Далі, тому що * *
(0, )( ) ( ) ( ) ( )s EE E
f f t t f s sχ ϕ≥ ≥ при 0 < s ≤ 1,
то
Математичне та комп’ютерне моделювання
78
1 1* *
1 1
( ) ( )
( )
n n
E
EB B
f s f sds ds f
s s sϕ
≤∫ ∫ .
Якщо симетричний простір Е ≠ L1, то
0
( )
lim E
t
t
t
ϕ
→
= ∞ .
Звідки
3
21
( )E
o s
s sϕ
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
і
1 1
2
1
1
( )
n
n
EB
ds o B
s sϕ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ .
Далі, з леми 1 випливає
1
n
k k n n E
k
c M AB fμ
=
≤∑ , (4)
де
11
2
1
1 1 0
( )1
n
n n
EBn E
n
B ds
s sB
B
μ
ϕϕ
−
= + →
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ при n→∞.
Але при будь-якій послідовності { }nμ такій, що μn → 0 (n → ∞),
знайдеться послідовність { }nα така, що 0n
nM
α
→ при n→∞ і
1lim
n
k k
k
n n n
M
B
α
μ
=
→∞
= ∞
∑
. (5)
Із (4) і (5) виходить, що Е не володіє В-властивістю відносно си-
стеми { }( )n xϕ .
Висновки. Отримані деякі нові оцінки коефіцієнтів Фур’є фун-
кцій з симетричних просторів.
Список використаних джерел:
1. Гулисашвили А. Б. Коэффициенты Фурье суммируемых функций /
А. Б. Гулисашвили, В. А. Родин, Е. М. Семенов // Мат. сб. – 1977. –
Т. 102. – № 3. – С. 362–371.
2. Родин В. А. Точные оценки коэффициентов Фурье и К-функционалы /
В. А. Родин, В. И. Овчинников, В. Д. Распопова // Матем. заметки. – 1982.
– Т. 32. – Вып. 3. – С. 295–302.
3. Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Пе-
тунин, Е. М. Семенов. – М. : Наука, 1978. – 400 с.
4. Calderon A.P. Spaces between L1 and L∞ and theorem of Marcinkiewicz /
A. P. Calderon // Studia Math. – 1966. – V. 26. – № 3. – P. 273–299.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
79© І. М. Конет, М. П. Ленюк, 2010
5. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.
– М. : ИЛ, 1962. – 829 c.
6. Bullen P. S. Properties of the coefficient of orthonormal sequences / P. S. Bul-
len // Canad. J. Math. – 1961. – V. 13. – № 2. – P. 305–315.
Some new estimates of the Fourier coefficients for functions from
symmetrical spaces are obtained.
Key words: Fourier coefficients, functions, symmetric space, theorem,
trigonometric system, property, totality.
Отримано: 18.06.2010
УДК 517.443
І. М. Конет*, д-р фіз.-мат. наук,
М. П. Ленюк**, д-р фіз.-мат. наук
* Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка,
м. Кам’янець-Подільський
** Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича,
м. Чернівці
ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ
ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЕЙЛЕРА–ФУР’Є–
(КОНТОРОВИЧА–ЛЄБЄДЄВА) НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ r ≥ R0 > 0
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи
диференціальних рівнянь Ейлера, Фур’є та Конторовича-
Лєбєдєва на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряжен-
ня, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з
другого боку, методом відповідного скінченного гібридного
інтегрального перетворення, підсумовано поліпараметричну
сім’ю функціональних рядів за власними елементами відпові-
дного гібридного диференціального оператора.
Ключові слова: функціональні ряди, функції Бесселя, го-
ловні розв’язки, гібридне інтегральне перетворення, функції
впливу, функції Гріна, умови спряження, умова однозначної
розв’язності, основна тотожність, логічна схема.
Постановка проблеми та її аналіз. Тонкостінні елементи конс-
трукцій композитного типу знаходяться, як правило, в короткочасо-
вому стаціонарному режимі, на який вони виходять після стрибкопо-
дібного температурного або силового навантаження. Вивчення їх
фізико-технічних характеристик приводить до задач термомеханіки
(механіки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що
|