Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Ейлера, Фур’є та Конторовича-Лєбєдєва на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрально...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18618 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 79-94. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18618 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186182011-04-07T12:04:38Z Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 Конет, І.М. Ленюк, М.П. Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Ейлера, Фур’є та Конторовича-Лєбєдєва на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення, підсумовано поліпараметричну сім’ю функціональних рядів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. By the method of comparison of solution of boundary-value problem for the system of differential Eiler, Fourier and (Kontorovich-Lebedev) equations on the polar axis with two contact points, built, from one side, by the method of Cauchy functions, and from other side, by the method of the corresponding finite hybrid integral transform, polyparametric family of functional series is summed by the own elements of the corresponding hybrid differential operator. 2010 Article Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 79-94. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18618 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Ейлера, Фур’є та Конторовича-Лєбєдєва на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення, підсумовано поліпараметричну сім’ю функціональних рядів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. |
| format |
Article |
| author |
Конет, І.М. Ленюк, М.П. |
| spellingShingle |
Конет, І.М. Ленюк, М.П. Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Конет, І.М. Ленюк, М.П. |
| author_sort |
Конет, І.М. |
| title |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_short |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_full |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_fullStr |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_full_unstemmed |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_sort |
підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора ейлера–фур’є–(конторовича–лєбєдєва) на полярній осі r ≥ r0 > 0 |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18618 |
| citation_txt |
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера–Фур’є–(Конторовича–Лєбєдєва) на полярній осі r ≥ R0 > 0 / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 79-94. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT konetím pídsumovuvannâfunkcíonalʹnihrâdívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraejlerafurêkontorovičalêbêdêvanapolârníjosírr00 AT lenûkmp pídsumovuvannâfunkcíonalʹnihrâdívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraejlerafurêkontorovičalêbêdêvanapolârníjosírr00 |
| first_indexed |
2025-07-02T19:35:10Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:35:10Z |
| _version_ |
1836565041326850048 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
79© І. М. Конет, М. П. Ленюк, 2010
5. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.
– М. : ИЛ, 1962. – 829 c.
6. Bullen P. S. Properties of the coefficient of orthonormal sequences / P. S. Bul-
len // Canad. J. Math. – 1961. – V. 13. – № 2. – P. 305–315.
Some new estimates of the Fourier coefficients for functions from
symmetrical spaces are obtained.
Key words: Fourier coefficients, functions, symmetric space, theorem,
trigonometric system, property, totality.
Отримано: 18.06.2010
УДК 517.443
І. М. Конет*, д-р фіз.-мат. наук,
М. П. Ленюк**, д-р фіз.-мат. наук
* Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка,
м. Кам’янець-Подільський
** Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича,
м. Чернівці
ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ
ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЕЙЛЕРА–ФУР’Є–
(КОНТОРОВИЧА–ЛЄБЄДЄВА) НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ r ≥ R0 > 0
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи
диференціальних рівнянь Ейлера, Фур’є та Конторовича-
Лєбєдєва на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряжен-
ня, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з
другого боку, методом відповідного скінченного гібридного
інтегрального перетворення, підсумовано поліпараметричну
сім’ю функціональних рядів за власними елементами відпові-
дного гібридного диференціального оператора.
Ключові слова: функціональні ряди, функції Бесселя, го-
ловні розв’язки, гібридне інтегральне перетворення, функції
впливу, функції Гріна, умови спряження, умова однозначної
розв’язності, основна тотожність, логічна схема.
Постановка проблеми та її аналіз. Тонкостінні елементи конс-
трукцій композитного типу знаходяться, як правило, в короткочасо-
вому стаціонарному режимі, на який вони виходять після стрибкопо-
дібного температурного або силового навантаження. Вивчення їх
фізико-технічних характеристик приводить до задач термомеханіки
(механіки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що
Математичне та комп’ютерне моделювання
80
навіть в найпростішому випадку величини, які характеризують стаці-
онарний режим композита, зображаються параметричним функціона-
льним рядом, який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли зо-
бражає аналітичну функцію. Звідси виникає природне бажання замі-
нити функціональний ряд його результатом збіжності (функцією), що
особливо важливо при інженерних розрахунках [1]. У цій статті під-
сумовано поліпараметричні функціональні ряди за власними елемен-
тами одного класу гібридних диференціальних операторів на поляр-
ній осі 0 0r R≥ > .
Основна частина. Побудуємо обмежений на множині
{ }2 0 1 1 2 2 0: ( , ) ( , ) ( , ); 0I r r R R R R R R+ = ∈ ∞ >∪ ∪
розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь
Ейлера, Фур’є та Конторовича-Лєбєдєва для модифікованих функцій
( )1
* 2
1 1 1 0 1( ) ( ), ( , )B q u r g r r R Rα − = − ∈ ,
2
2
2 2 2 1 22 ( ) ( ), ( , )d q u r g r r R R
dr
⎛ ⎞
− = − ∈⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (1)
( )2
2
3 3 3 2( ) ( ), ( , )B q u r g r r Rα − = − ∈ ∞ ,
з крайовими умовами
0
0 0
11 11 1 0( )
r R
d u r g
dr
α β
=
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 3lim[ ( )] 0
r
r u rγ
→∞
= (2)
та умовами спряження
1 1 2 2 1( ) ( )
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
d du r u r
dr dr
α β α β ω+
=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
, , 1, 2j k = . (3)
Будемо вважати, що виконані умови на коефіцієнти: 0jq > ,
0
11 0α ≤ , 0
11 0β ≥ , 0 0
11 11 0α β+ ≠ , 0k
jmα ≥ , 0k
jmβ ≥ , 1 2 0k kc c⋅ > ,
2 1 1 2
k k k k
jk j j j jc α β α β= − , 2 1 0jα + > .
У системі (1) беруть участь диференціальний оператор Ейлера
[2]
1
2
* 2 2
1 12 (2 1) ;d dB r r
drdrα α α= + + + диференціальний оператор Фур’є
[2]
2
2
d
dr
та диференціальний оператор Конторовича-Лєбєдєва [3]
2
2
2 2 2 2
2 22 (2 1)d dB r r r
drdrα α α λ= + + + − , (0, )λ ∈ ∞ .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
81
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння Ейлера
1
* 2
1( ) 0B q vα − = утворюють функції 1 1
1
qv r α− −= та
1 1
2
qv r α− += [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціаль-
ного рівняння Фур’є
2
2
22 0d q v
dr
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
утворюють функції 1 2v ch q r=
та 2 2v sh q r= [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціа-
льного рівняння Конторовича-Лєбєдєва
2
2
3( ) 0B q vα − = утворюють
модифіковані функції Бесселя першого роду
3 2, ( )qI rα λ та другого ро-
ду
3 2, ( )qK rα λ [3].
Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побуду-
вати розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [2, 4]:
1
1 1 1 1 1
0
2 1*
1 1 1 1 1( ) ( , ) ( )
R
q q
R
u r A r B r E r g dα α αρ ρ ρ ρ− − − + += + + ∫ ,
2
1
2 2 2 2 2 2 2( ) chq shq ( , ) ( )
R
R
u r A r B r E r g dρ ρ ρ= + + ∫ , (4)
2
3 2
2
2 1*
3 3 , 3 3( ) ( ) ( , ) ( )q
R
u r B K r E r g dα
α λ ρ ρ ρ ρ
∞
+= + ∫ .
У рівностях (4) * 2( ) ( )m mg gρ ρ ρ−= , ( , )jE r ρ — функції Коші:
0 0
00
( , ) ( , ) 0,
( , )( , ) 1 , 1,2,
( )
j jr r
jj
r jr
E r E r
dE rdE r
j
dr dr
ρ ρ
ρρ
ρ ρ
ρρ
ϕ ρ
= + = −
= −= +
− =
− = − =
(5)
де
12 1
1( )r r αϕ += , 2 ( ) 1rϕ = , 22 1
3 ( )r r αϕ += .
Припустимо, що функція Коші
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 0 1
1
1 2 2 0 1
, ,
( , )
, .
q q
q q
E C r D r R r R
E r
E C r D r R r R
α α
α α
ρ
ρ
ρ
−
− − − +
+
− − − +
⎧
≡ + < < <⎪= ⎨
⎪ ≡ + < < <⎩
Властивості (5) функції Коші для визначення величин jC , jD
дають алгебраїчну систему з двох рівнянь
Математичне та комп’ютерне моделювання
82
1 1 1 1
2 1 2 1( ) ( ) 0q qC C D Dα αρ ρ− − − +− + − = ,
1 1 1 1 12
1 1 2 1 1 1 2 1( )( ) ( )( )q qq C C q D Dα α αα ρ α ρ ρ− − − + −+ − + − − = .
Звідси знаходимо співвідношення:
1 11
2 1 1(2 ) qC C q αρ− +−− = , 1 11
2 1 1(2 ) qD D q αρ− −−− = − . (6)
Доповнимо систему рівностей (6) алгебраїчними рівняннями
0
1
0 0
111 11
1 1
111 11
0 :
0 :
r R
r R
d E
dr
d E
dr
α β
α β
−
=
+
=
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
1 1
01 02
;11 1 0 1 ;11 1 0 1
11 12
;11 1 1 1 ;11 1 1 1
( , ) ( , ) 0,
( , ) ( , ) 0.
Z q R C Z q R D
Z q R C Z q R D
α α
α α
⎧ + =
⎪⎪
⎨
⎪ + =⎪⎩
(7)
Із алгебраїчної системи (6), (7) знаходимо, що
1
1
1
02
;11 1 0 1*
1 ;11 1
1 ;11 1 0 1
( , )
( , )
2 ( , , )
Z q R
C q
q q R R
α
α
α
ρ= − Ψ
Δ
,
1
1
1
01
;11 1 0 1*
1 ;11 1
1 ;11 1 0 1
( , )
( , )
2 ( , , )
Z q R
D q
q q R R
α
α
α
ρ= Ψ
Δ
.
Цим функція Коші ( )1 ,E r ρ визначена й внаслідок симетрії від-
носно діагоналі r ρ= має структуру:
1 1
1 1 1
0* 1*
;11 1 ;11 1 0 1
1 0* 1*
1 ;11 1 0 1 ;11 1 ;11 1 0 1
( , ) ( , ), ,1( , )
2 ( , , ) ( , ) ( , ), .
q r q R r R
E r
q q R R q q r R r R
α α
α α α
ρ ρ
ρ
ρ ρ
⎧Ψ Ψ < < <⎪= − ⎨
Δ Ψ Ψ < < <⎪⎩
(8)
У рівностях (7), (8) беруть участь функції:
1 1 1 1 1
01 12 02 11
, 1 1 0 1 ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), =1,2;j j jq R R Z q R Z q R Z q R Z q R jα α α α αΔ = −
1 1 1 1
1 1 1
* 2 1
; 1 1 ; 1 1 ; 1 1( , ) ( , ) ( , )q qm m m
j j m j mq r Z q R r Z q R rα α
α α α
− − − +Ψ = − ;
1 1
1
1
; 1 1 1 1( , )
m
qm m m
j m j j
r R
dZ q R r
dr
α
α α β − −
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
1 1
1
2
; 1 1 1 1( , )
m
qm m m
j m j j
r R
dZ q R r
dr
α
α α β − +
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Припустимо, що функція Коші
2 1 2 1 2 1 2
2
2 2 2 2 2 1 2
ch sh , ,
( , )
ch sh , .
E C q r D q r R r R
E r
E C q r D q r R r R
ρ
ρ
ρ
−
+
⎧
≡ + < < <⎪= ⎨
⎪ ≡ + < < <⎩
Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох
рівнянь
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
83
2 1 2 2 1 2( )ch ( )sh 0C C q D D qρ ρ− + − = ,
1
2 1 2 2 1 2 2( )sh ( )chC C q D D q qρ ρ −− + − = − .
Звідси знаходимо співвідношення:
1
2 1 2 2shC C q q ρ−− = , 1
2 1 2 2chD D q q ρ−− = − . (9)
Доповнимо рівності (9) алгебраїчними рівняннями
1
2
1 1
212 12
2 2
211 11
0 :
0 :
r R
r R
d E
dr
d E
dr
α β
α β
−
=
+
=
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
11 12
12 2 1 1 12 2 1 1
21 22
11 2 2 1 11 2 2 1
( ) ( ) 0,
( ) ( ) 0.
V q R C V q R D
V q R C V q R D
⎧ + =⎪
⎨
+ =⎪⎩
(10)
Із алгебраїчної системи (9), (10) знаходимо, що
12
212 2 1
1 11 2 2 2
2 11 2 1 2 2
( )
( , )
( , )
V q R
C q R q
q q R q R
ρ= − Φ
Δ
,
11
212 2 1
1 11 2 2 2
2 11 2 1 2 2
( )
( , )
( , )
V q R
D q R q
q q R q R
ρ= Φ
Δ
.
Цим функція Коші ( )2 ,E r ρ визначена й внаслідок симетрії від-
носно діагоналі r ρ= має структуру:
1 2
12 2 1 2 11 2 2 2 1 2
2 1 2
2 11 2 1 2 2 12 2 1 2 11 2 2 2 1 2
( , ) ( , ), ,1( , )
( , ) ( , ) ( , ), .
q R q r q R q R r R
E r
q q R q R q R q q R q r R r R
ρ ρ
ρ
ρ ρ
⎧Φ Φ < < <⎪= − ⎨
Δ Φ Φ < < <⎪⎩
(11)
У формулах (10), (11) беруть участь функції:
1
2 2 2 2 2( ) sh ch ch
k
k k k k k
jm k jm k jm k jm jm
r R
dV q R q q R q R q r
dr
α β α β
=
⎛ ⎞= + ≡ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
2
2 2 2 2 2( ) ch sh sh
k
k k k k k
jm k jm k jm k jm jm
r R
dV q R q q R q R q r
dr
α β α β
=
⎛ ⎞= + ≡ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
2 1
2 2 2 2 2 2( , ) ( )ch ( ) hk k k
jm k jm k jm kq R q r V q R q r V q R s q rΦ = − ,
11 22 12 21
2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )jk j k j kq R q R V q R V q R V q R V q RΔ = − ,
, , 1, 2j k m = .
Припустимо, що функція Коші
3 2 3 2
3 2
3 1 , 1 , 2
3
3 2 , 2
( ) ( ), ,
( , )
( ), .
q q
q
E C I r D K r R r
E r
E D K r R r
α α
α
λ λ ρ
ρ
λ ρ
−
+
⎧
≡ + < < < ∞⎪
= ⎨
⎪ ≡ + < < < ∞⎩
Математичне та комп’ютерне моделювання
84
Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох
рівнянь
3 2 3 2
2
3 2 3 2
1 , 2 1 ,
2 1 1
1 , 2 1 ,
( ) ( ) ( ) 0,
( ) ( ) ( ) ( ) .
q q
q q
C I D D K
C I D D K
α α
α
α α
λρ λρ
λρ λρ λρ + −
− + − =
′ ′− + − = −
Звідси отримуємо співвідношення:
2
3 2
2
1 , ( )qC Kα
αλ λρ= , 2
3 2
2
2 1 , ( )qD D Iα
αλ λρ− = . (12)
Доповнимо рівності (12) алгебраїчним рівнянням
2
2 2
12 12 3 0 :
r R
d E
dr
α β
−
=
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ 3 2 3 2
21 22
, ;12 2 1 , ;12 2 1( ) ( ) 0q qU R C U R Dα αλ λ+ = . (13)
Із алгебраїчної системи (12), (13) знаходимо, що
2
3 2 3 2
222 1 2
2 , ;12 2 , ;12 2[ ( )] ( , )q qD U R Rα
α αλ λ λ λρ− ∗= − Ψ .
Цим функція Коші ( )3 ,E r ρ визначена й внаслідок симетрії від-
носно діагоналі r ρ= має структуру:
2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
22 q , , ;12 2 2
3 22 2
, ;12 2 q , , ;12 2 2
( ) ( , ), ,
( , )
( ) ( ) ( , ), .
q
q q
K R r R r
E r
U R K r R R r
α α α
α α α
λρ λ λ ρλρ
λ λ λ λρ ρ
∗
∗
⎧ Ψ < < < ∞⎪= − ⎨
Ψ < < < ∞⎪⎩
(14)
Повернемося до формул (4). Крайова умова в точці 0r R= та
умови спряження (3) для визначення п’яти величин kA і jB ( 1,2k = ;
1,3j = ) дають алгебраїчну систему з п'яти рівнянь:
1 1
1 1
3 2
01 02
;11 1 0 1 ;11 1 0 1 0
11 12 11 12
; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 12
21 22 22
1 2 2 2 1 2 2 2 , ; 2 2 3 2 2 23
( , ) ( , ) ,
( , ) ( , ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) , 1,2.
j j j j j j
j j q j j j
Z q R A Z q R B g
Z q R A Z q R B V q R A V q R B G
V q R A V q R B U R B G j
α α
α α
α
ω δ
λ ω δ
+ =
+ − − = +
+ − = + =
(15)
У системі (15) беруть участь функції
1
1 1
1
10
2
1
0*
;11 1 2 111
12 12 1
;11 1 0 11
2
11 2 2 2
21 2
11 2 1 2 2
( , )
( )
( , , )
( , ) ( ) ,
( , )
R
R
R
R
qc
G g d
q R RR
q R qc g d
q R q R
α α
α
α
ρ
ρ ρ ρ
ρ
ρ ρ
−
+
Ψ
= − +
Δ
Φ
+
Δ
∫
∫
2
1
1
12 2 1 2
23 12 2
11 2 1 2 2
( , )
( )
( , )
R
R
q R q
G c g d
q R q R
ρ
ρ ρ
Φ
= − +
Δ∫
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
85
3 2 2
2
3 22
, 2 122
32 1 22
, ;12 22
( )
( )
( )
q
qR
Kc
g d
U RR
α α
α
α
λρ
ρ ρ ρ
λ
∞
−
+
+ ∫
та символ Кронекера 2jδ 12 22( 0, 1)δ δ= = [4].
Введемо до розгляду функції:
1 1 1; ,11 1 0 1 2 2 1 2 2 ,21 1 0 1 1 2 1 2 2( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ),j j jA q q R R q R q R q R R q R q Rα α α= Δ Δ −Δ Δ
2 3 2
22
, , ;22 2 1 2 1 2 2( ) ( ) ( , )j q jB q U R q R q Rα α λ= Δ –
3 2
22
, ;12 2 2 2 1 2 2( ) ( , )q jU R q R q Rα λ Δ ,
1, 2,j =
1 1 1
1 1
,1 ,21 1 0 1 12 2 1 2 ,11 1 0 1 22 2 1 2( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ),r q q R R q R q r q R R q R q rα α αθ = Δ Φ −Δ Φ
2 ,2 ( , )r qαθ =
3 2 3 2
22 2 22 2
, ;22 2 11 2 2 2 , ;12 2 21 2 2 2( ) ( , ) ( ) ( , )q qU R q R q r U R q R q rα αλ λΦ − Φ .
Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності кра-
йової задачі (1)-(3): для будь-якого { }1 2 3; ; 0q q q q= ≠ визначник [5]
алгебраїчної системи (15)
3 2 1 3 2 1
1 2 1 2
22 22
( ) , ;22 2 ;1 , ;12 2 ;2
,11 1 0 1 ,2 ,21 1 0 1 ,1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , , ) ( ) ( , , ) ( ) 0.
q qq U R A q U R A q
q R R B q q R R B q
α α α α α
α α α α
λ λΔ ≡ − =
= Δ −Δ ≠
(16)
Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3):
1) породжені крайовою умовою в точці r = R0 функції Гріна
2 1 2 1
1* 1*
( ),11 ,2 ;11 1 ,1 ;21 1
( )
1( , ) [ ( ) ( , ) ( ) ( , )]
( )
W r q B q q r B q q r
qα α α α α
α
= Ψ − Ψ
Δ
,
21
3 21
1 11
( ),12 ;22 1
( )1
1 11 12 2
( ),13 ,2 1
( )1
2 1( , ) ( , ),
( )
2
( , ) ( );
( ) q
q c
W r q r q
qR
q c c q
W r q K r
qR
α αα
α
α αα
α
θ
λ
+
+
= −
Δ
=
Δ
(17)
2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
2
1
2
1
3 2
1
,21 0*
( );11 ;11 1
( )
,11 0*
( );21 ;11 1
( )
22
21 , ;221 0*
( );12 ;11 1
( )
( )
( , ) ( , ),
( )
( )
( , ) ( , ),
( )
( , ) ( , ),
( )
q
B q
r q q r
q
B q
r q q r
q
c U
r q q r
q
α
α α
α
α
α α
α
α
α α
α
= − Ψ
Δ
= Ψ
Δ
= Ψ
Δ
R
R
R
Математичне та комп’ютерне моделювання
86
3 2
1
1
2
22
21 , ;121 0*
( );22 ;11 1
( )
;21 1 0 12
( );11 ,2
( )
( , ) ( , ),
( )
( , , )
( , ) ( , ),
( )
qc U
r q q r
q
q R R
r q r q
q
α
α α
α
α
α α
α
θ
= − Ψ
Δ
Δ
=
Δ
R
R
1
2
3 2
1
3 2
1
;11 1 0 12
( );21 ,2
( )
22
, ;22 22
( );12 ,1
( )
22
, ;12 22
( );22 ,1
( )
( , , )
( , ) ( , ),
( )
( )
( , ) ( , ),
( )
( )
( , ) ( , ),
( )
q
q
q R R
r q r q
q
U R
r q r q
q
U R
r q r q
q
α
α α
α
α
α α
α
α
α α
α
θ
λ
θ
λ
θ
Δ
= −
Δ
= −
Δ
=
Δ
R
R
R
(18)
1 3 2
1 3 2
1
3 2
1
3 2
3 12 2
( );11 ;21 ,
( )
3 12 2
( );21 ;11 ,
( )
;23
( );12 ,
( )
;13
( );22 ,
( )
( , ) ( ),
( )
( , ) ( ),
( )
( , ) ( ),
( )
( , ) ( );
( )
q
q
q
q
c q
r q K r
q
c qr q K r
q
A
r q K r
q
A
r q K r
q
α α α
α
α α α
α
α
α α
α
α
α α
α
λ
λ
λ
λ
= − Δ
Δ
= Δ
Δ
=
Δ
= −
Δ
R
R
R
R
3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу
1
1
0*
;11 1 ( ),11 0 1
( );11 0*
1 ;11 1 ( ),11 0 1
( , ) ( , ), ,1( , , )
2 ( , ) ( , ), ,
q r W q R r R
r q
q q W r q R r R
α α
α
α α
ρ ρ
ρ
ρ ρ
⎧Ψ < < <⎪= − ⎨
Ψ < < <⎪⎩
H
1 2
0*21
( );12 ;11 1 ,2
( )
( , , ) ( , ) ( , )
( )
c
r q q r q
qα α α
α
ρ θ ρ= Ψ
Δ
H , 1 2( ) ( , )α α α= ,
1 3 22
0*21 22
( );13 ;11 1 ,2 1
( )2
1( , , ) ( , ) ( )
( ) q
c c
r q q r K
qR
α α αα
α
ρ λρ
+
= − Ψ
Δ
H ,
1 21
0*11
( );21 ;11 1 ,22 1
( )1
1( , , ) ( , ) ( , )
( )
c
r q q r q
qR
α α αα
α
ρ ρ θ
+
= Ψ
Δ
H ,
1 2
1 2
,1 ,2 1 2
( );22
,1 ,2 1 22 ( )
( , ) ( , ), ,1( , , )
( , ) ( , ), ,( )
r q q R r R
r q
q r q R r Rq q
α α
α
α αα
θ θ ρ ρ
ρ
θ ρ θ ρ
< < <⎧⎪= ⎨ < < <Δ ⎪⎩
H
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
87
1 3 22
22
( );23 ,1 ,2 1
( )2
1( , , ) ( , ) ( )
( ) q
c
r q r q K
qR
α α αα
α
ρ θ λρ
+
= −
Δ
H , (19)
1 3 21
0*11 12 2
( );31 ;11 1 ,2 1
( )1
( , , ) ( , ) ( )
( ) q
c c q
r q q K r
qR
α α αα
α
ρ ρ λ
+
= − Ψ
Δ
H ,
1 3 2
12
( );32 ,1 ,
( )
( , , ) ( , ) ( )
( ) q
c
r q q K r
qα α α
α
ρ θ ρ λ= −
Δ
H ,
2 3 2 1 3, 2
3 2 1 3, 2
22 , ;2 ;12 2
( );33 2
( ) , ;2 ;12 2
( )[ ( ) ( , )
( , , )
( ) ( )[ ( ) ( , )
q q
q q
K A q R r
r q
q K r A q R
α α α α
α
α α α α
λρ λ λλρ
λ λ λρ
⎧ Ψ −⎪= ⎨
Δ Ψ −⎪⎩
H
1 3, 2
1 3, 2
2
;1 ;22 2 2
2
;1 ;22 2 2
( ) ( , )], ,
( ) ( , )], .
q
q
A q R r R r
A q R R r
α α
α α
λ λ ρ
λ λρ ρ
− Ψ < < < ∞
− Ψ < < < ∞
У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (15)
й підстановки одержаних значень kA та jB у формули (4) маємо
єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3):
2
( ),1 0 ( );
, 1
( ) ( , ) ( , )j
j j kmkm
k m
u r W r q g r qα α ω
=
= + +∑ R
1
1
0
2 1
( ); 1 1( , , ) ( )
R
j
R
r q g dα
α ρ ρ ρ ρ−+ +∫ H (20)
2
2
1 2
2 1
( ); 2 2 ( ); 3 3( , , ) ( ) ( , , ) ( )
R
j j
R R
r q g d r q g dα
α αρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
∞
−+ +∫ ∫H H , 1,3j = .
Побудуємо розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом гібридного
інтегрального перетворення, породженого на множині 2I + гібридним
диференціальним оператором (ГДО)
1 2
2
*
( ) 0 1 1 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )dr R R r B r R R r r R B
drα α αθ θ θ θ θ= − − + − − + −M , (21)
де ( )xθ — функція Гевісайда.
Оператор ( )αM самоспряжений і на множині 2I + не має особли-
вих точок [6]. Отже, його спектр дійсний і дискретний. Йому відпові-
дає дискретна спектральна вектор-функція.
Розглянемо функції:
12 2 2( ) ( )j jb kβ β= + , 2 0jk ≥ , 1,3j = ,
Математичне та комп’ютерне моделювання
88
( )
( )
1
1
1
1
1 1 1
; 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1
; 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
( , ) cos( ln ) sin( ln ) ,
( , ) sin( ln ) cos( ln ) ,
( ) sin cos ,
( )
m m m m
j m j m j m m j m m
m m m m
j m j m j m m j m m
m m m
j m j m j m
m
j m
Y b R R b R b R b R R
Y b R R b R b R b R R
v b R b b R b R
v b R
α
α
α
α
β α α α
β α α α
α β
α
−− −
−− −
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
= − +
= 2 2 2 2 2cos sin ,m m
j m j mb b R b Rβ+
2 2
1 1 1 1 1
1 1 1
22 2 2
; 2 2 3 2 2 3
01 12 02 11
; 1 ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1
11 22 12 21
2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2
, ;11 2 ;
( , ) ( , ),
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( )
j j j
j j j
kj k j k j
j j
dX R b D r b
dr
Y b R Y b R Y b R Y b R
v b R v b R v b R v b R
a
α α
α α α α α
α α α
λ α β λ
δ β
δ β
β δ β δ β δ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
= −
= −
2 1 2 1
21 1
22 22
( ) ;22 2 3 ,1 ;12 2 3 ,2
( ) ( ),
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ).
j
X R b a X R b aα α α α α
β δ β
δ β λ β λ β= −
Згідно з роботою [7] сформулюємо для нашого випадку потрібні
твердження.
Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені nβ трансцендентно-
го рівняння ( ) ( ) 0αδ β = утворюють для ГДО ( )αM дискретний
спектр: дійсні, різні, симетричні відносно точки 0β = і на півосі
0β > складають монотонно зростаючу числову послідовність з єди-
ною граничною точкою (точкою згущення) β = ∞ .
Визначимо при nβ β= (
12 2 2( )jn jb kβ= + ) функції:
1
2 1
22 02
( );1 21 2 ;12 2 3 ;11 1 0 1( , ) ( , ) ( , ) cos( ln )n n n n nV r c b X R b Y b R r b rα
α α αβ λ −⎡= −⎣
1
1
01
;11 1 0 1( , ) sin( ln )n nY b R r b rα
α
− ⎤− ⎦ ,
2 1
1
22 1
( );2 ;12 2 3 ;21 12 2 1 2
1
;11 22 2 1 2
( , ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( , ) ,
n n n n n
n n n
V r X R b b R b r
b R b r
α α α
α
β λ δ β φ
δ β φ
⎡= −⎣
⎤− ⎦
(22)
1 2( );3 ;1 3( , ) ( ) ( , )n n nV r a D r bα α αβ β λ= ;
1 12 11
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2( , ) ( )cos ( )sinj n n j n n j n nb R b r v b R b r v b R b rφ = − .
Безпосередньо перевіряється, що функція
( ) 0 1 ( );1
1 2 ( );2 2 ( );3
( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
n n
n n
V r r R R r V r
r R R r V r r R V r
α α
α α
β θ θ β
θ θ β θ β
= − − +
+ − − + −
є спектральною вектор-функцією ГДО ( )αM , яка відповідає значенню
nβ спектрального параметра β (власному числу nβ ).
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
89
Теорема 2 (про спектральну функцію). Система власних вектор-
функцій { }( ) 1
( , )n n
V rα β
∞
=
узагальнено ортогональна на множині 2I + з
ваговою функцією ( )rσ , повна й замкнена. При цьому квадрат норми
власної функції ( ) ( , )nV rα β обчислюється за формулою
1
1
0
2
2
1 2
2 2 2 2 1
( ) ( ) ( );1 1
0
2 2 2 1
( );2 2 ( );3 3
( , ) ( , ) ( ) ( , )
( , ) ( , ) ,
R
n n n
R
R
n n
R R
V r V r r dr V r r dr
V r dr V r r dr
α
α α α
α
α α
β β σ β σ
β σ β σ
∞
−
∞
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
(23)
де
2
1
2 1
11 12 2
1 2 1
21 22 1
Rc c
c c R
α
ασ
+
+
= , 22 112
2 2
22
c
R
c
ασ += , 3 1σ = .
Теорема 3 (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-
функція { }1 2 3( ) ( ); ( ); ( )g r g r g r g r= з області визначення ГДО ( )αM
зображається абсолютно й рівномірно збіжним на множині 2I + рядом
Фур’є за системою власних функцій { }( ) 1
( , )n n
V rα β
∞
=
:
0
( )
( ) 2
1 ( )
( , )
( ) ( ) ( , ) ( )
( , )
n
n
n R n
V r
g r g V d
V r
α
α
α
β
ρ ρ β σ ρ ρ
β
∞∞
=
= ∑ ∫ . (24)
Ряд Фур’є (24) визначає пряме ( )H α й обернене 1
( )H α
− скінченне гібрид-
не інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині 2I + ГДО ( )αM :
0
( ) ( )[ ( )] ( ) ( , ) ( )n n
R
H g r g V r r dr gα αρ β σ
∞
= ≡∫ , (25)
( )1
( ) 2
1 ( )
( , )
[ ] ( )
( , )
n
n n
n n
V r
H g g g r
V r
α
α
α
β
β
∞
−
=
= ≡∑ . (26)
В основі застосувань СГІП ( ( )H α , 1
( )H α
− ) знаходиться основна
тотожність інтегрального перетворення ГДО ( )αM .
Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція
{ }1 21 2 3( ) [ ( )]; ( ); [ ( )]f r B g r g r B g rα α
∗ ′′= є неперервною на множині 2I + , а
функції ( )jg r задовольняють умови спряження (3) та крайові умови
Математичне та комп’ютерне моделювання
90
0
2
0 0
11 11 1 0
( );32 1 3
( );3 3
( ) ,
lim ( , ) ( ) 0,
r R
nr
d g r g
dr
dVdg
r V r g r
dr dr
αα
α
α β
β
=
+
→∞
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞
− =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
то має місце основна тотожність СГІП ГДО ( )αM :
[ ]
1
3
2 2
( ) ( )
1
2 1 0 1
1 11 ( );1 0 00
2
( );12 2 ( );22 1
1
( )
( ) ( , )
( ) ( ) ,
n n j jn
j
n
k k
k n k n k
k
H g r g k g
R V R g
h Z Z
α α
α
α
α α
β
σ α β
β ω β ω
=
+ −
=
⎡ ⎤ = − − +⎣ ⎦
+ − +
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
∑
∑
M
(27)
де
1
1
0
2 1
1 1 ( );1 1( ) ( , )
R
n n
R
g g r V r r drα
α β σ −= ∫ ,
2
1
2 2 ( );2 2( ) ( , )
R
n n
R
g g r V r drα β σ= ∫ ,
2
2
2 1
3 3 ( );3 3( ) ( , )n n
R
g g r V r r drα
α β σ
∞
−= ∫ , 12 1 1
1 1 111h R cασ + −= , 1
2 2 12h cσ −= ,
( ); 2 1 1 ( ); 1( ) ( , )
k
k k k
i n i i k n r R
dZ V r
drα αβ α β β+ =
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 1, 2k = .
Ми маємо повний математичний апарат для розв’язування кра-
йової задачі (1)-(3) методом СГІП за відомою логічною схемою [8].
Запишемо систему (1) у матричній формі
( )
( )
1
2
* 2
2 1
12
2
2 2 22
3
2
3 3
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
B q u r
g r
d q u r g r
dr g r
B q u r
α
α
⎡ ⎤−
⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎥− = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥−⎣ ⎦
. (28)
Інтегральний оператор ( )H α згідно правила (25) зобразимо у ви-
гляді операторної матриці-рядка
[ ]
1
1
0
2
2
1 2
2 1
( ) ( );1 1
2 1
( );2 2 ( );3 3
( , )
( , ) ( , ) .
R
n
R
R
n n
R R
H V r r dr
V r dr V r r dr
α
α α
α
α α
β σ
β σ β σ
−
∞
−
⎡
⎢=
⎢⎣
⎤
⎥
⎥⎦
∫
∫ ∫
… …
… …
(29)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
91
Застосуємо до системи (28) за правилом множення матриць опе-
раторну матрицю-рядок (29). В силу основної тотожності (27) одер-
жуємо алгебраїчне рівняння
( ) 1
3
2 12 2 2 0 1
1 11 ( );1 0 00
1
2
( );12 2 ( );22 1
1
( ) ( , )
( ) ( ) .
n j j jn n n
j
k k
k n k n k
k
q k u g R V R g
h Z Z
α
α
α α
β σ α β
β ω β ω
+ −
=
=
+ + = + − +
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
∑
∑
(30)
Припустимо, не зменшуючи загальності, що { }2 2 2
1 2 3max ; ;q q q =
2
1q= . Покладемо всюди 2
1 0k = , 2 2 2
2 1 2 0k q q= − ≥ , 2 2 2
3 1 3 0k q q= − ≥ .
Ліва частина рівняння (30) набуває вигляду ( )2 2
1n nq uβ + і ми знахо-
димо, що функція
( ) ( )
( ) ( )
1( );1 0 2 1
1 002 2 0 2 2
1 11 1
2
( );12 ( );22
2 12 2 2 2
1 1 1
( , )
( )
( ) ( )
.
nn
n
n n
k k
n n
k k k
k n n
V Rg
u R g
q q
Z Z
h
q q
α α
α α
β
σ
β α β
β β
ω ω
β β
+
=
= + +
+ − +
⎡ ⎤
⎢ ⎥+ −
⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
∑
(31)
Оператор 1
( )H α
− згідно правила (26) як обернений до (29) зобра-
зимо у вигляді операторної матриці-стовпця
[ ]
( )
( )
( )
12
( );1 ( )
1
121
( ) ( );2 ( )
1
12
( );3 ( )
1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
n n
n
n n
n
n n
n
V r V r
H V r V r
V r V r
α α
α α α
α α
β β
β β
β β
∞ −
=
∞ −
−
=
∞ −
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑
∑
…
… …
…
. (32)
Застосуємо за правилом множення матриць операторну матри-
цю-стовпець (32) до матриці-елемента [ ]nu , де функція nu визначена
формулою (31). У результаті низки елементарних перетворень маємо
єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3):
( )
1( );1 0 ( ); 2 1
1 0020 2 21 11 1 ( )
( , ) ( , )
( )
( ) ( , )
n j n
j
n n n
V R V r
u r R g
q V r
α α α
α
β β
σ
α β β
∞
+
=
= +
− +
∑
Математичне та комп’ютерне моделювання
92
( ) ( )
2
( );12 ( ); ( );22 ( );
2 12 22 2 2 21 1 11 ( ) 1 ( )
( ) ( , ) ( ) ( , )
( , ) ( , )
k k
n j n n j n
k k k
k n nn n n n
Z V r Z V r
h
q V r q V r
α α α α
α α
β β β β
ω ω
β β β β
∞ ∞
= = =
⎡ ⎤
⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ (33)
( )1
3
( ); ( );
22 21 1 1 ( )
( , ) ( , )
( ) ( )
( , )
m
m
R
j n m n
m m m
m nR n n
V r V
g d
q V r
α α
α
β ρ β
ρ σ ϕ ρ ρ
β β−
∞
= =
⎛ ⎞
⎜ ⎟+ ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ ∑∫ , 1,3j = .
У формулі (33) 3R = ∞ , 12 1
1( ) αϕ ρ ρ −= , 2 ( ) 1ϕ ρ = ,
22 1
3 ( ) αϕ ρ ρ −= .
Порівнюючи розв’язки (20) і (33) в силу теореми єдиності, оде-
ржуємо формули підсумовування поліпараметричних функціональ-
них рядів за власними елементами ГДО ( )αM :
( )
( ); ( );
( );22 21 1 ( )
( , ) ( , ) 1 ( , , )
( , )
j n m n
jk
kn n n
V r V
r q
q V r
α α
α
α
β ρ β
ρ
σβ β
∞
=
=
+
∑ H , , 1,3j k = , (34)
( )
( )1
1( );1 0 ( ); 2 1
1 ( ),1020 2 21 11 1 ( )
( , ) ( , )
( , )
( ) ( , )
n j n
j
n n n
V R V r
R W r q
q V r
α α α
α
α
β β
σ
α β β
∞ −+
=
=
− +
∑ 1,3j = ,(35)
( )
( );12 ( ); 1
( );222 21 1 ( )
( ) ( , )
( , )
( , )
k
n j n j
k k
n n n
Z V r
h r q
q V r
α α
α
α
β β
β β
∞
−
=
=
+
∑ R , 1, 2k = , 1,3j = , (36)
( )
( );22 ( ); 1
( );122 21 1 ( )
( ) ( , )
( , )
( , )
k
n j n j
k k
n n n
Z V r
h r q
q V r
α α
α
α
β β
β β
∞
−
=
= −
+
∑ R , 1, 2k = , 1,3j = . (37)
Функції впливу ( ); ( , , )jkH r qα ρ визначені формулами (19), функ-
цій Гріна ( ),1 ( , )jW r qα визначені формулами (17), а функції Гріна
( ); ( , )j
ik r qαR — формулами (18).
Зауваження 1. Якщо { }2 2 2 2
1 2 3 2max ; ;q q q q= , то 2 2 2
1 2 1 0k q q= − ≥ ,
2
2 0k = , 2 2 2
3 2 3 0k q q= − ≥ і вираз ( )2 2
1n qβ + заміниться на ( )2 2
2n qβ + .
Зауваження 2. Якщо { }2 2 2 2
1 2 3 3max ; ;q q q q= , то 2 2 2
1 3 1 0k q q= − ≥ ,
2 2 2
2 3 2 0k q q= − ≥ , 2
3 0k = і вираз ( )2 2
1n qβ + заміниться на ( )2 2
3n qβ + .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
93
Зауваження 3. Оскільки праві частини у формулах (34)-(37) не
залежать від нерівностей 2 2 0j mq q− ≥ , то можна покласти
2 2 2 2
1 2 3 0q q q q= = ≡ , звужуючи при цьому клас функціональних рядів.
Підсумком виконаного в роботі дослідження є твердження.
Теорема. Якщо вектор-функція ( )g r задовольняє умови теоре-
ми про основну тотожність і виконується умова (16) однозначної
розв’язності крайової задачі (1)-(3), то справджуються формули (34)-
(37) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за
власними елементами ГДО ( )αM , визначеного рівністю (21).
Висновок. Одержані формули (34)-(37) є новими й поповнюють
довідкову математичну літературу в розділі підсумовування функці-
ональних рядів від суперпозиції спеціальних функцій математичної
фізики різного характеру.
Список використаних джерел:
1. Конет І. М. Підсумовування деяких класів функціональних рядів методом
інтегральних перетворень / І. М. Конет, М. П. Ленюк // Зб. наук. праць
Кам’янець-Подільського держ. пед. ін-ту. Серія фізико-математична. —
Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський держ. пед. ін-т, 1997. —
Вип. 3. — С. 40–46.
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
3. Ленюк М. П. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва /
М. П. Ленюк, Г. І. Міхалевська. — Чернівці : Прут, 2002. — 280 с.
4. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Физматгиз,
1963. — 431 с.
6. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд-
ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ.
думка, 2004. — 368 с.
7. Комаров Г. М. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені
диференціальними рівняннями другого порядку / Г. М. Комаров,
М. П. Ленюк, В. В. Мороз. — Чернівці : Прут, 2001. — 228 с.
8. Ленюк М. П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтег-
ральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том VI / М. П. Ле-
нюк. — Чернівці : Прут, 2006. — 376 с.
By the method of comparison of solution of boundary-value problem
for the system of differential Eiler, Fourier and (Kontorovich-Lebedev)
equations on the polar axis with two contact points, built, from one side, by
the method of Cauchy functions, and from other side, by the method of the
corresponding finite hybrid integral transform, polyparametric family of
Математичне та комп’ютерне моделювання
94 © М. М. Копець, 2010
functional series is summed by the own elements of the corresponding hy-
brid differential operator.
Keywords: functional series, Bessel functions, main solutions, hybrid
integral transform, influence functions, Green function, contact conditions,
condition of simple solvability, basic identity, logical chart.
Отримано: 6.02.2010
УДК 519.863
М. М. Копець, канд. фіз.-мат. наук
Національний технічний університет України ‹‹Київський політехні-
чний інститут››, м. Київ
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ПРОЦЕСОМ ДИФУЗІЇ
У цій статті ми розглядаємо задачу оптимального керу-
вання процесом, який описується рівнянням дифузії. Крите-
рій оптимальності є квадратичним із скінченною верхньою
межею. Для розв’язування цієї задачі використовується ме-
тод динамічного програмування. В результаті отримано інте-
гродиференціальне рівняння Ріккаті. За допомогою цього рі-
вняння розв’язок задачі оптимального керування отримано в
замкненій формі.
Ключові слова: рівняння дифузії, інтегродиференціальне
рівняння Ріккаті, метод динамічного програмування, задача
оптимального керування.
Розглядається процес, що описується рівнянням дифузії
( ) ( ) ( )
2
2
2
, ,
, ,0 , 0 ,
z t x z t x
D b u t x t T x l
t x
∂ ∂
= + ≤ ≤ ≤ ≤
∂ ∂
(1)
де b , l > 0, T > 0 – задані дійсні числа, D – коефіцієнт дифузії [1,
с.185]. Початкова умова для рівняння (1) має вигляд
( ) ( )00,z x z x= , 0 x l≤ ≤ , (2)
де функція ( )0z x двічі неперервно диференційована по змінній x .
Задано також однорідні крайові умови
( ),0 0z t = , ( ), 0z t l = . (3)
Функція ( ),u t x , що входить в рівняння (1), називається керу-
ванням. Вважаємо, що керування належать до класу кусково неперер-
вних функцій. Далі розглядаємо функціонал
|