Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій

Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та (Конторовича-Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного гібридного...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2010
Автор: Ленюк, О.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18621
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій / О.М. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 106-122. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-18621
record_format dspace
spelling irk-123456789-186212011-04-07T12:04:42Z Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій Ленюк, О.М. Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та (Конторовича-Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім'ю невласних інтегралів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. By comparison of the boundary problem for a system of differential equations Fourier and Euler (Kontorovich-Lebedev) limited the right of the half with two Cartesian point of interface, built on the one hand, by Cauchy functions, and on the other hand, using appropriate hybrid integral. 2010 Article Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій / О.М. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 106-122. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18621 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та (Конторовича-Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім'ю невласних інтегралів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора.
format Article
author Ленюк, О.М.
spellingShingle Ленюк, О.М.
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Ленюк, О.М.
author_sort Ленюк, О.М.
title Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій
title_short Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій
title_full Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій
title_fullStr Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій
title_full_unstemmed Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій
title_sort обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора фур'є–ейлера–(конторовича–лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2010
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18621
citation_txt Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є–Ейлера–(Конторовича–Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій / О.М. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 106-122. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT lenûkom občislennânevlasnihíntegralívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatorafurêejlerakontorovičalêbêdêvanaobmeženíjspravadekartovíjpívprâmíj
first_indexed 2025-07-02T19:35:17Z
last_indexed 2025-07-02T19:35:17Z
_version_ 1836565048974114816
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 106 © О. М. Ленюк, 2010 7. Fortin C. Computing the local minimizers of a large and sparse trust-region subproblem / C. Fortin. – Montreal : McGill University. – 2004. – 149 p. The author proposes generalization the simplex-method for solving the problem of semidefinite optimization. Approximation of a cone of posi- tively semidefinite matrixes of sum matrixes of a rank unit with positive coefficients is used. It allows to reduce the solution of an initial problem to sequence of problems of linear programming. The algorithm is realised in computer software. The numerical experiments have shown the efficiency of the offered algorithm. Key words: simplex-method, semidefinite optimization, interior point method, function Lagrange, quadratic regularization. Отримано: 17.05.2010 УДК 517.443 О. М. Ленюк, канд. фіз.-мат. наук Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ФУР'Є–ЕЙЛЕРА–(КОНТОРОВИЧА–ЛЄБЄДЄВА) НА ОБМЕЖЕНІЙ СПРАВА ДЕКАРТОВІЙ ПІВПРЯМІЙ Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та (Конторовича- Лєбєдєва) на обмеженій справа декартовій півпрямій з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного гібрид- ного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметрич- ну сім'ю невласних інтегралів за власними елементами відпо- відного гібридного диференціального оператора. Ключові слова: невласні інтеграли, функції Коші, головні розв'язки, гібридне інтегральне перетворення, основна тото- жність, умова однозначної розв'язності, логічна схема. Постановка проблеми та її аналіз. Тонкостінні елементи конс- трукцій композитного типу, як правило, знаходяться в короткочасо- вому стаціонарному режимі, на який вони виходять після стрибкопо- дібного температурного або силового навантаження. Вивчення їх фізико-технічних характеристик приводить до задач термомеханіки (механіки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що навіть в найпростіших випадках величини, які характеризують стаці- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 107 онарний режим композита, зображаються поліпараметричними не- власними інтегралами, які можуть бути умовно збіжними навіть тоді, коли зображають аналітичну функцію. Звідси виникає природне ба- жання замінити невласний інтеграл його результатом збіжності (фун- кцією), що особливо важливо при інженерних розрахунках. Обчис- ленню однієї сім'ї невласних інтегралів присвячена ця стаття. Основна частина. Побудуємо обмежений на множині 2 1 1 2 2 3{ : ( , ) ( , ) ( , )}I r r R R R R R= ∈ −∞ ∪ ∪ розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та Конторовича-Лєбєдєва для модифікованих функцій ( )2 2 1 1 1 12 ( ) ( ), ( , ),d q u r g r r R dr − = − ∈ −∞ ( )1 * 2 2 2 2 1 2( ) ( ), ( , ),B q u r g r r R Rα − = − ∈ (1) ( )2 2 3 3 3 2 3( ) ( ), ( , )B q u r g r r R Rα − = − ∈ з крайовими умовами ( ) 3 3 3 1 22 22 3lim [ ( )] 0, ( ) Rr Rr dr u r u r gdr γ α β =→−∞ = + = (2) та умовами спряження 1 1 2 2 1( ) ( ) , , 1, 2.k k k k j j k j j k jkr Rk d du r u r j k dr dr α β α β ω+ = ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (3) У рівностях (1)-(3) 0mq > , 1 2 0k kc c⋅ > , 2 1 1 2 k k k k jk j j j jc α β α β= − , 1 2* 2 2 1 12 (2 1)d dB r r drdrα α α= + + + — диференціальний оператор Ейлера [1], 2 22 2 2 2 2 22 (2 1)d dB r r rdrdrα α α λ= + + + − — диференціа- льний оператор Конторовича-Лєбєдєва [2], 2 1 0jα + > , 0m jkα ≥ , 0m jkβ ≥ , 3 3 22 22 0α β+ ≠ . Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів- няння Фур'є 2 2 12( ) 0d q v dr − = утворюють функції 1 1 1exp[ ( )]v q r R= − та 2 1 1exp[ ( )]v q r R= − − [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера 1 * 2 2( ) 0B q vα − = утворюють функ- ції 1 2 1 qv r α− −= та 1 2 2 qv r α− += [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння 2 2 3( ) 0B q vα − = утворюють модифі- Математичне та комп’ютерне моделювання 108 ковані функції Бесселя першого роду 3 2, ( )qI rα λ та другого роду 3 2, ( )qK rα λ [2]. Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє будува- ти розв'язок крайової задачі (1)–(3) методом функцій Коші [1,3]: 1 1 1( ) 1 1 1 1( ) ( , ) ( ) R q r Ru r A e E r g dρ ρ ρ− −∞ = + ∫ , 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2( ) ( , ) ( ) R q q R u r A r B r E r g dα α αρ ρ ρ ρ− − − + −= + + ∫ , (4) 3 2 3 2 3 2 2 2 1 3 3 , 3 , 3 3( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) R q q R u r A I r B K r E r g dα α αλ λ ρ ρ ρ ρ−= + + ∫ . Тут ( , )jE r ρ — функції Коші [1, 3]: 0 0( , ) ( , ) 0, 1,2.j jr rE r E r jρ ρρ ρ= + = −− = = 00 ( , ) ( , ) 1 ( ) j j rr j dE r dE r dr dr ρρ ρ ρ ϕ ρ= −= + − = − . (5) 1 22 1 2 1 1 2 3( ) 1, ( ) , ( )r r r r rα αϕ ϕ ϕ− −= = = . Припустимо, що функція Коші 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 1 , ( , ) . , q r R q r R q r R E C e r R E r E C e D e r R ρ ρ ρ − − + − − − ⎧ ≡ −∞ < < <⎪= ⎨ ⎪ ≡ + −∞ < < <⎩ Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: 1 1 1 1( ) ( ) 2 1 2( ) 0,q R q RC C e D eρ ρ− − −− + = 1 1 1 1( ) ( ) 1 2 1 2 1( ) .q R q RC C e D e qρ ρ− − − −− − = − Звідси отримуємо співвідношення: 1 1 1 1( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1, . 2 2 q R q RC C e D e q q ρ ρ− − −− = − = (6) Доповнимо рівності (6) алгебраїчним рівнянням: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 11 1 11 2 11 1 11 20 : 0.r R d E q C q Ddrα β α β α β + =+ = + − − = (7) Із алгебраїчної системи (6), (7) знаходимо, що 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 11 1 11 [ ( ) ( )] ( , ) ( ) ( ) q chq R shq R q R q C q q q q α ρ β ρ ρ α β α β − − − Φ = ≡ + + . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 109 Цим функція Коші 1( , )E r ρ визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r ρ= має структуру: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 11 1 1, 1 1 ,1( , ) . , q r R q r R e q R q r R E r q q e q R q r r R ρ ρ ρ α β ρ − − ⎧ Φ −∞ < < <⎪= ⎨ + ⎪ Φ −∞ < < <⎩ (8) Припустимо, що функція Коші 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 , ( , ) . , q q q q E C r D r R r R E r E C r D r R r R α α α α ρ ρ ρ − − − − + + − − − + ⎧ ≡ + < < <⎪= ⎨ ⎪ ≡ + < < <⎩ Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: 1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ) 0,q qC C D Dα αρ ρ− − − +− + − = 1 2 1 2 12 2 1 1 2 2 1 1 2( )( ) ( )( ) .q qC C q D D qα α αα ρ α ρ ρ− − − + −− + + − − = Звідси знаходимо співвідношення: 1 2 1 21 1 2 1 2 2 1 2(2 ) , (2 ) .q qC C q D D qα αρ ρ− + − −− −− = − = − (9) Доповнимо рівності (9) алгебраїчними рівняннями: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 12 12 2 ;12 2 1 1 ;12 2 1 1 21 22 2 2 ;11 2 2 2 ;11 2 2 2 11 11 2 0 : ( , ) ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 00 : r R r R d E Z q R C Z q R Ddr Z q R C Z q R Dd Edr α α α α α β α β − = + = + = ⎧ + =⎪ ⎨ + =⎪⎩+ = (10) Із алгебраїчної системи (9), (10) знаходимо, що 1 1 1 1 1 1 12 ;12 2 1 2* 1 ;11 2 2 ;11 2 1 2 11 ;12 2 1 2* 1 ;11 2 2 ;11 2 1 2 ( , ) ( , ), 2 ( , , ) ( , ) ( , ). 2 ( , , ) Z q R C q q q R R Z q R D q q q R R α α α α α α ρ ρ = − Ψ Δ = Ψ Δ Цим функція Коші 2 ( , )E r ρ визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r ρ= має структуру: 1 1 1 1 1 1* 2* ;12 2 ;11 2 1 2 2 1* 2* 2 ;11 2 1 2 ;12 2 ;11 2 1 2 ( , ) ( , ),1( , ) . 2 ( , , ) ( , ) ( , ), q r q R r R E r q q R R q q r R r R α α α α α ρ ρ ρ ρ ρ ⎧Ψ Ψ < < <⎪= − ⎨ Δ Ψ Ψ < < <⎪⎩ (11) У формулах (10), (11) беруть участь функції: 1 2 1 1 1 1 ; 2 1 2( , ) [( ) ] qm m m m kj m jk m jk jk m mZ q R R R q R α α β α α α − −− −= − − , 1 2 1 2 1 1 ; 2 1 2( , ) [( ) ] qm m m m kj m jk m jk jk m mZ q R R R q R α α β α α α − +− −= − + , Математичне та комп’ютерне моделювання 110 1 1 1 1 1 11 22 12 21 ; 2 1 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),jk j k j kq R R Z q R Z q R Z q R Z q Rα α α α αΔ = − 1 2 1 2 1 1 1 * 2 1 ; 2 ; 2 ; 2( , ) ( , ) ( , )q qm m m jk jk m jk mq r Z q R r Z q R rα α α α α − − − +Ψ = − . Нехай функція Коші 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 , 1 , 2 3 3 3 2 , 2 , 2 3 ( ) ( ), ( , ) . ( ) ( ), q q q q E C I r D K r R r R E r E C I r D K r R r R α α α α λ λ ρ ρ λ λ ρ − + ⎧ ≡ + < < <⎪ = ⎨ ⎪ ≡ + < < <⎩ Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: 3 2 3 22 1 , 2 1 ,( ) ( ) ( ) ( ) 0,q qC C I D D Kα αλρ λρ− + − = 2 3 2 3 2 (2 1)1 2 1 , 2 1 ,( ) ( ) ( ) ( ) .q qC C I D D K α α αλρ λρ λ ρ− +−′ ′− + − = − Звідси одержуємо співвідношення: 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 , 2 1 ,( ), ( ).q qC C K D D Iα α α αλ λρ λ λρ− = − − = (12) Доповнимо рівності (12) алгебраїчними рівняннями: 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 12 12 3 3 3 22 22 3 21 22 , ;12 2 1 , ;12 2 1 31 32 , ;22 3 2 , ;22 3 2 ( ) 0 : ( ) 0 : ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) 0 r R r R q q q q d Edr d Edr U R C U R D U R C U R D α α α α α β α β λ λ λ λ − = + = + = + = ⎧ + =⎪ ⎨ + =⎪⎩ (13) Алгебраїчна система (13) внаслідок співвідношень (12) набуває вигляду: 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 21 22 , ;12 2 1 , ;12 2 1 231 32 3* , ;22 3 1 , ;22 3 1 , ;22 3 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( , ). q q q q q U R C U R D U R C U R D R α α α α α α λ λ λ λ λ λ λρ + = + = Ψ (14) Із алгебраїчної системи (14) згідно правил Крамера [4] знаходи- мо, що 2 3 2 3 2 3 2 2 22 , ;12 2 3* 1 , ;22 3 , ;12 2 3 ( ) ( , ) ( , ) q q q U R C R R R α α α α λ λ λ λρ λ λ = − Ψ Δ , 2 3 2 3 2 3 2 2 22 , ;12 2 3* 1 , ;22 3 , ;12 2 3 ( ) ( , ) ( , ) q q q U R D R R R α α α α λ λ λ λρ λ λ = Ψ Δ . Цим функція Коші 3 ( , )E r ρ визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r ρ= має структуру: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 111 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 , ;12 2 3 2* 3* , ;12 2 , ;22 3 2 3 2* 3* , ;12 2 , ;22 3 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), q q q q q E r R R R r R R r R R R r R r R α α α α α α λρ λ λ λ λ λ λρ ρ λ λρ λ λ ρ = × Δ ⎧Ψ Ψ < < <⎪×⎨ Ψ Ψ < < <⎪⎩ (15) У рівностях (13)-(15) беруть участь функції: 1 2 , ; , 1, 1( ) ( ) ( )m m m m jk m jk jk m jk m m m U R I R R I R Rυ α υ α υ α υ αλ α β λ α λ λ+ + ⎛ ⎞− = + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 2 2 , ; , 1, 1( ) ( ) ( )m m m m jk m jk jk m jk m m m U R K R R K R Rυ α υ α υ α υ αλ α β λ α λ λ+ + ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 21 32 22 31 , ; 2 2 3 , ; 2 2 , ;22 3 , ; 2 2 , ;22 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( ),q j q j q q j qR R U R U R U R U Rα α α α αλ λ λ λ λ λΔ = − * 1 2 , ; , ; , , ; ,( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2.m m m jk m jk m jk mR r U R K r U R I r jυ α υ α υ α υ α υ αλ λ λ λ λ λΨ = − = Умови спряження (3) й крайова умова в точці 3r R= для визна- чення величин ( 1,3)jA j = та ( 2,3)kB k = дають алгебраїчну сис- тему з п'яти рівнянь: 1 1 1 1 11 12 1 1 1 1 ; 2 2 1 2 ; 2 2 1 2 1 2 12( ) ( , ) ( , ) , 1, 2.j j j j j jq A Z q R A Z q R B G jα αα β ω δ+ − − = + = 1 1 3 2 3 2 21 22 ; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2 21 22 , ; 2 2 3 , ; 2 2 3 2 2 23 ( , ) ( , ) ( ) ( ) , j j q j q j j j Z q R A Z q R B U R A U R B G α α α αλ λ ω δ + − − − = + (16) 3 2 3 2 31 32 , ;22 3 3 , ;22 3 3( ) ( ) .q q RU R A U R B gα αλ λ+ = У системі (16) беруть участь функції 1 21 1 1 1 1 11 2*( ) ;11 2 2 121 12 11 1 21 1 2 1 ;11 2 1 211 1 11 1 ( , ) ( ) ( ) , ( , , ) R Rq R R qceG c g d g d q R Rq R ρ α α α α ρ ρ ρ ρ ρ ρ α β − − + −∞ Ψ = + Δ+∫ ∫ 2 1 1 2 11 3 3 2 2 2 3 22 1* ;12 2 2 112 23 22 1 ;11 2 1 22 3* , ;22 3 2 122 32 1 , ;12 2 32 ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( ) , ( , ) R R R q qR qc G g d q R RR Rc g d R RR α α α α α α α α ρ ρ ρ ρ λ λρ ρ ρ ρ λ λ − + − + Ψ = − − Δ Ψ − × Δ ∫ ∫ та символ Кронекера 2jδ [4] 12 22( 0, 1)δ δ= = . Введемо до розгляду функції: 1 1 1 1 1 1 1 ; 11 1 11 ;2 2 1 2 21 1 21 ;1 2 1 2( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ), 1, 2;j j jA q q q R R q q R R jα α αα β α β= + Δ − + Δ = Математичне та комп’ютерне моделювання 112 3 2 1 3 2 1 ( ); , ;22 2 3 ; 1 2 1 2 , ;12 2 3 ; 2 2 1 2 ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ); j q j q j B q R R q R R R R q R R α α α α α λ λ λ λ = Δ Δ − −Δ Δ 1 1 1 1 1 1* ;1 11 1 11 ;22 2 1 1 1* 21 1 21 ;12 2 1 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), ( ) ( , ), r q q q r q q r α α α α β α β α α α Θ = + Ψ − − + Ψ = 3 2 1 3 2 1 2* 2* ( );2 , ;12 2 3 ;21 2 , ;22 2 3 ;11 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).q qr q R R q r R R q rα α α α αλ λ λ λΘ = Δ Ψ −Δ Ψ Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1)-(3): для будь-якого ненульового вектора { }1 2 3; ;q q q q= визна- чник алгебраїчної системи (16) відмінний від нуля 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 ( ) 11 1 11 ( );2 21 1 21 ( );1 , ;22 2 3 ;1 , ;12 2 3 ;2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0.q q q q B q q B q R R A q R R A q α α α α α α α α β α β λ λ λ λ Δ ≡ + − + = = Δ − Δ ≠ (17) Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1)-(3): 1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна 1 1 1 1( );2 ( );1( ) ( )1 1 ( );11 ( );21 ( ) ( ) ( , ) , ( , ) ( ) ( ) q r R q r RB B R r q e R r q e q q α α α α α α − −= = − Δ Δ ; 3 2 1 1 1 3 2 1 1 1 , ;22 ( )1 2 21 ( );12 2 1 ( )1 , ;12 ( )1 2 21 ( );22 2 1 ( )1 2 ( , ) , ( ) 2 ( , ) , ( ) q q r R q q r R q c R r q e qR q c R r q e qR α α α α α α α α − + − + Δ = − Δ Δ = Δ 1 1 2 21 2 21 ( );11 ( );2 ( ) 1 1 2 11 2 11 ( );21 ( );2 ( ) ( , ) ( , ), ( ) ( , ) ( , ), ( ) q R r q r q q q R r q r q q α α α α α α α β α β + = − Θ Δ + = Θ Δ 3 2 1 3 2 1 , ;222 ( );12 ;1 ( ) , ;122 ( );22 ;1 ( ) ( , ) ( , ), ( ) ( , ) ( , ), ( ) q q R r q r q q R r q r q q α α α α α α α α Δ = − Θ Δ Δ = Θ Δ 3 21 1 1 3 3*2 12 21 1 21 ( );11 , ;22 32 1 ( )1 2 ( , ) ( , ) ( ) q q c q R r q R r qR α αα α α β λ λ + + = Ψ Δ , (18) 3 21 1 1 3 3*2 12 11 1 11 ( );21 , ;22 32 1 ( )1 2 ( , ) ( , ) ( ) q q c q R r q R r qR α αα α α β λ λ + + = − Ψ Δ , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 113 1 3 2 1 3 2 ;23 3* ( );12 , ;22 3 ( ) ;13 3* ( );22 , ;22 3 ( ) ( , ) ( , ), ( ) ( , ) ( , ); ( ) q q A R r q R r q A R r q R r q α α α α α α α α λ λ λ λ = − Ψ Δ = Ψ Δ ; 2) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу 1 1 1 1 ( ) 1 ( );2 11 1 1 1 ( );11 ( ) 1 1 ( ) ( );2 11 1 1 1 1 ( );1 21 1 1 1 1 1 ( );1 21 1 1 1 1 [ ( ) ( , )1( , , ) ( ) [ ( ) ( , ) ( ) ( , )], , ( ) ( , )], q r R q R e B q q R q H r q q q e B q q R q r B q q R q r R B q q R q r r R α α ρ α α α α ρ ρ ρ ρ ρ − − ⎧ Φ −⎪= ⎨ Δ Φ −⎪⎩ − Φ −∞ < < < − Φ −∞ < < < 1 1 1 ( )21 ( );12 ( );22 1 ( )1 1( , , ) ( , ) ( ) q r Rc H r q e q qR α αα α ρ ρ− + = Θ Δ , 1 1 3 21 2 ( ) 3*2 21 22 ( );13 , ;22 32 1 2 1 ( )1 2 2 1( , , ) ( , ) ( ) q r R q q c c H r q e R qR R α αα α α ρ λ λρ− + + = − Ψ Δ , 1 1( )11 ( );21 ( );2 ( ) ( , , ) ( , ) ( ) q Rc H r q e r q q ρ α α α ρ −= ⋅ Θ Δ , (19) 1 1 ;1 ( );2 1 2 ( );22 ;1 ( );2 1 22 ( ) ( , ) ( , ),1( , , ) ( , ) ( , ),2 ( ) r q q R r R H r q q r q R r Rq q α α α α αα ρ ρ ρ ρ ρ Θ Θ < < <⎧⎪= ⎨Θ Θ < < <Δ ⎪⎩ , 1 3 22 3*22 ( );23 ;1 , ;22 32 1 ( )2 1( , , ) ( , ) ( , ) ( ) q c H r q r q R qR α α αα α ρ λ λρ + = − Θ Ψ Δ , 1 1 3 21 ( ) 3*11 2 12 ( );31 , ;22 32 1 ( )2 2 ( , , ) ( , ) ( ) q R q c q c H r q e R r R q ρ α αα α ρ λ λ− + = − ⋅ Ψ Δ , 1 3 21 3*12 ( );32 ;1 , ;22 32 1 ( )2 1( , , ) ( , ) ( , ) ( ) q c H r q q R qR α α αα α ρ ρ λ λρ + = − Θ Ψ Δ , 2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3* 2*2 , ;22 3 ;1 , ;22 2 ( );33 3* 2* ( ) , ;22 3 ;1 , ;22 2 2* ;2 , ;12 2 2 3 2* ;2 , ;12 2 2 ( , )[ ( ) ( , ) ( , , ) ( ) ( , )[ ( ) ( , ) ( ) ( , )], ( , )], q q q q q q R A q R r H r q q R r A q R A q R r R r R A R R r α α α α α α α α α α α α α λ λρ λ λλρ λ λ λ λρ λ λ ρ λ λρ ρ ⎧Ψ Ψ −⎪= ⎨Δ Ψ Ψ −⎪⎩ − Ψ < < < − Ψ < < < 3 ; R 3) породжені крайовою умовою в точці 3r R= функції Гріна Математичне та комп’ютерне моделювання 114 1 1 1 22 ( )2 21 22 ( );31 2 1 2 12 ( )1 2 2 1( , ) ( ) q r Rq c c W r q e qR R α α αα αλ − + + = − ⋅ Δ , 122 22 ( );32 ;12 12 ( )2 1( , ) ( , ) ( ) c W r q r q qR α ααα αλ + = − ⋅ Θ Δ , (20) 1 3 2 1 3 2 2* 2* ( );33 ;1 , ;22 2 ;2 , ;12 2 ( ) 1( , ) ( , ) ( , ) ( ) q qW r q A R r A R r qα α α α α α λ λ λ λ⎡ ⎤= Ψ − Ψ⎣ ⎦Δ . У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (16), підстановки отриманих значень jA та kB у формули (4) та низки еле- ментарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)-(3): 2 ( );3( ); , 1 ( ) ( , ) ( , )j j mk j Rmk m k u r R r q W r q gαα ω = = + +∑ 1 2 1 1 ( ); 1 1 2 1 ( ); 2 2 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) R j R j R H r q g d H r q g d α α α ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ −∞ − + + + + ∫ ∫ (21) 3 2 2 2 1 ( ); 3 3( , , ) ( ) , 1,3. R j R H r q g d jα α ρ ρ ρ ρ−+ =∫ Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1)-(3) методом інте- грального перетворення, породженого на множині 2I гібридним ди- ференціальним оператором (ГДО) 1 2 2 * ( ) 1 1 22 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , dM R r r R R r B dr r R R r B α α α θ θ θ θ θ = − + − − + + − − (22) де ( )xθ — одинична функція Гевісайда [3]. Оскільки ГДО ( )M α самоспряжений і на множині 2I має одну особливу точку r = −∞ , то його спектр дійсний та неперервний [5]. Можна вважати, що спектральний параметр (0, )β ∈ ∞ . Йому відпо- відає дійсна спектральна вектор-функція ( ) 1 ( );1 1 2 ( );2 2 3 ( );3 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ). V r R r V r r R R r V r r R R r V r α α α α β θ β θ θ β θ θ β = − + − − + + − − (23) При цьому функції ( ); ( , )jV rα β повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 115 ( )2 2 1 ( );1 12 ( , ) 0, ( , )d b V r r R dr α β+ = ∈ −∞ , ( )1 * 2 2 ( );2 1 2( , ) 0, ( , )B b V r r R Rα α β+ = ∈ , (24) ( )2 2 3 ( );3 2 3( , ) 0, ( , )B b V r r R Rα α β+ = ∈ , однорідні умови спряження 1 1 ( ); 2 2 ( ); 1( , ) ( , ) 0, , 1,2 k k k k k j j k j j k r R d dV r V r dr dr j k α αα β β α β β+ = ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ = (25) та однорідні крайові умови 3 ( );1 3 3 22 22 ( );3lim , 0,1; ( , ) 0. m m r Rr d V dm V r drdr α αα β β =→−∞ ⎛ ⎞< ∞ = + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (26) Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів- няння Фур'є ( )2 2 12 0d b v dr + = складають тригонометричні функції 1 1cosv b r= та 2 1sinv b r= [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера 1 * 2 2( ) 0B b vα + = складають функції 1 1 2cos( ln )v r b rα−= та 1 2 2sin( ln )v r b rα−= [1]; фундаментальну сис- тему розв'язків для диференціального рівняння Конторовича- Лєбєдєва 2 2 3( ) 0B b vα + = складають дійсні функції 21 3( , )v C r bα λ= та 22 3( , )v D r bα λ= [2]; 2 2 1/2( )j jb kβ= + , 2 0jk ≥ , 1,3j = . Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє внаслі- док лінійності спектральної задачі (24)—(26) будувати функції ( ); ( , )jV rα β у вигляді лінійної комбінації фундаментальної системи розв'язків [4]: ( );1 1 1 1 1 1( , ) cos sin , ( , )V r A b r B b r r Rα β = + ∈ −∞ , 1 1 ( );2 2 2 2 2 1 2( , ) cos( ln ) sin( ln ), ( , ) ,V r A r b r B r b r r R Rα α α β − −= + ∈ (27) 2 2( );3 3 3 3 3 2 3( , ) ( , ) ( , ), ( , )V r A C r b B D r b r R Rα α αβ λ λ= + ∈ . Умови спряження (25) та крайова умова в точці 3r R= дають для визначення величин , ( 1,3)j jA B j = алгебраїчну систему з п'я- ти рівнянь: 1 1 11 12 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 2 2 1 2 ; 2 2 1 2( ) ( ) ( , ) ( , ) 0, 1,2,j j j jv b R A v b R B Y b R A Y b R B jα α+ − − = = Математичне та комп’ютерне моделювання 116 1 1 21 22 ; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2( , ) ( , )j jY b R A Y b R Bα α+ − 2 2 21 22 ; 2 2 3 3 ; 2 2 3 3( , ) ( , ) 0,j jX R b A X R b Bα αλ λ− − = (28) 2 2 31 32 ;22 3 3 3 ;22 3 3 3( , ) ( , ) 0X R b A X R b Bα αλ λ+ = . У системі (28) беруть участь функції: 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) cos sin cosj j j r R j j dv b R b r b b R b R dr α β α β= ⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) sin cos sinj j j r R j j dv b R b r b b R b R dr α β α β= ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ; 2 1 2 1 2 2 ( , ) [ cos ln sin ln ] , m m m jk m jk jk m m m m jk m m Y b R R b R b R b R R α α β α α α − −− = − − − ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 ; 2 1 2 1 2 2 ( , ) [ sin ln cos ln ] , m m m jk m jk jk m m m m jk m m Y b R R b R b R b R R α α β α α α − −− = − + + 2 2 1 ; 2 3 2 2 3( , ) ( , ) ; 2,3, 1, 2s s s j s j j r Rs dX R b C r b s j drα αλ α β λ = ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; 2 2 2 ; 2 3 2 2 3( , ) ( , )s s s j s j j r Rs dX R b D r b drα αλ α β λ = ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Алгебраїчна система (28) сумісна. Покладемо 2 32 3 0 ;22 3 3( , )A A X R bα λ= − , 2 31 3 0 ;22 3 3( , )B A X R bα λ= , де 0A підлягає визна- ченню. Останнє рівняння алгебраїчної системи (28) стає тотожністю. Розглянемо алгебраїчну систему стосовно 2A , 2B : 1 1 2 2 2 2 2 21 22 ; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2 22 31 0 ; 2 2 3 ;22 3 3 21 32 ; 2 2 3 ;22 3 3 0 ; 2 ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )] ( ). j j j j j Y b R A Y b R B A X R b X R b X R b X R b A α α α α α α α λ λ λ λ δ β + = = − − ≡ − (29) Визначник системи (29) 1 1 1 1 1 1 (2 1)21 22 21 22 ;11 ;21 ;21 ;11 12 2 2( ) 0.q Y Y Y Y c b R α α α α α αβ − +≡ − = ≠ Алгебраїчна система (29) має єдиний розв'язок [4]: 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 22 22 2 0 ;22 ;11 2 2 ;12 ;21 2 2 1 21 21 2 0 ;22 ;11 2 2 ;12 ;21 2 2 [ ( )] [ ( ) ( , ) ( ) ( , )], [ ( )] [ ( ) ( , ) ( ) ( , )]. A A q Y b R Y b R B A q Y b R Y b R α α α α α α α α α α β δ β δ β β δ β δ β − − = − = − − (30) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 117 При відомих 2A , 2B розглянемо алгебраїчну систему стосовно 1A , 1B : 1 2 1 2 1 1 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ;22 ; 1 2 1 2 1 ;12 ; 1 2 1 2 0 ( ); ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( , , ) ( ) ( , , )] [ ( )] ( ). j j j j j v b R A v b R B A q b R R b R R A q a α α α α α α α β δ β δ δ β δ β β − − + = = − − ≡ (31) Визначник алгебраїчної системи (31) 11 12 11 12 11 1 1 21 1 1 21 1 1 11 1 1 11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0q v b R v b R v b R v b R c bβ ≡ − = ≠ . Алгебраїчна система (31) має єдиний розв'язок [4]: 11 ( );2 1 ( );1 0 11 1 1 1 ( ); ( );1 1 1 ( );2 1 121 11 ( ); ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2.j j j A B A c b q a v b R a v b R j α α α α α α ω β ω β β ω β β β = = − = ⋅ = − = , (32) Підставивши визначені згідно формули (30) та (32) величини jA , jB у рівності (27), маємо функції ( ); ( , )jV rα β : ( );1 ( );2 1 ( );1 1( , ) ( ) cos ( )sinV r b r b rα α αβ ω β ω β= − , 2 1 2 1 2 2 ( );2 11 1 ;22 ;11 2 ;12 ;21 2( , ) [ ( ) ( , ) ( ) ( , )]V r c b b r b rα α α α αβ δ β ψ δ β ψ= − , (33) 1 1 1 1 1 2 22 21 ; 1 2 ; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2( , ) ( , ) cos( ln ) ( , ) sin( ln )j j jb r Y b R r b r Y b R r b rα α α α αψ − −= − , 1 2 2 2 2 31 ( );3 11 1 ;22 3 3 3 32 ;22 3 3 3 ( , ) ( )[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]. V r c b q X R b D r b X R b C r b α α α α α α β β λ λ λ λ = − − Отже, спектральна функція ( ) ( , )V rα β відома. Введемо до розгляду величини 1 1σ = , 1 21 2 2 1 11 1 1c c R ασ + = , 1 1 2 2 1 21 22 2 3 2 1 2 1 11 12 1 2 1 , Rc c c c R R α α ασ + + + = вагову функцію 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r R r r R R r r r R R r r α α σ θ σ θ θ σ θ θ σ − − = − + − − + + − − (34) та спектральну щільність ( ) 11 2 2 ( ) 1 ( );1 ( );2( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]bα α αβ β β ω β ω β −−Ω = + . (35) Наявність спектральної функції ( ) ( , )V rα β , вагової функції ( )rσ й спектральної щільності ( ) ( )α βΩ дають можливість визначити пря- Математичне та комп’ютерне моделювання 118 ме ( )H α та обернене 1 ( )H α − гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на множині 2I ГДО ( )M α [6]: 3 ( ) ( )[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ), R H g r g r V r r dr gα α β σ β −∞ = ≡∫ (36) 1 ( ) ( ) ( ) 0 2[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ),H g g V r d g rα α αβ β β β β π ∞ − = Ω ≡∫ (37) 2 2 ( ) ( ) 3 2 12 3 1 22 ( );3 3 3 3 1 2 ( );12 2 ( );22 1 1 [ [ ( )]] ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( ) ]. i i R i k k k k k k H M g r g k g V R R g d Z Z α α α α α α β β β α β σ β ω β ω +− = = = − − − + + + − ∑ ∑ (38) У рівності (38) прийняті позначення: 1 2 1 1 2 1 1 1 ( );1 1 2 2 ( );2 2( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , ) R R R g g r V r dr g g r V r r drα α αβ β σ β β σ − −∞ = =∫ ∫ , 3 2 2 2 1 3 3 ( );3 3( ) ( ) ( , ) R R g g r V r r drα αβ β σ −= ∫ , 12 1 1 1 11 2 2 122: , :d c d R cασ σ += = ; ( )( ); 2 2 2 ( ); 1( ) ( , ) ; 1, 2 k k k k i i i k r R dZ V r kdrα αβ α β β+ == + = ; вектор-функція { }1 2 3( ) ( ); ( ); ( )g r g r g r g r= з області визначення ГДО ( )M α . Правила (36), (37), (38) складають математичний апарат для роз- в'язання крайової задачі (1)-(3) за відомою логічною схемою [7]. Запишемо систему (1) в матричній формі: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 12 1 * 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) d q u r dr g r B q u r g r g r B q u r α α ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− = − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ (39) Інтегральний оператор ( )H α згідно правила (36) зобразимо у формі операторної матриці-рядка: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 119 1 2 1 1 3 2 2 2 1 ( ) ( );1 1 ( );2 2 2 1 ( );3 3 [ ] ( , ) ( , ) ( , ) . R R R R R H V r dr V r r dr V r r dr α α α α α α β σ β σ β σ − −∞ − ⎡ = ⎢ ⎢⎣ ⎤ ⎥ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ (40) Застосуємо операторну матрицю-рядок (40) за правилом мно- ження матриць до системи (39). Внаслідок рівності (38) отримуємо алгебраїчне рівняння: ( ) 2 3 2 12 2 2 3 1 22 ( );3 3 3 3 1 2 ( );12 2 ( );22 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( ) ]. i i i R i k k k k k k q k u g V R R g d Z Z α α α α β β β α β σ β ω β ω +− = = + + = + + + − ∑ ∑ (41) Припустимо, що 2 2 2 2 1 2 3 3max{ ; ; } 0q q q q= > . Покладемо 2 3 0k = , 2 2 2 2 3 2 0k q q= − ≥ , 2 2 2 1 3 1 0k q q= − ≥ , 1 2 3 ( )u u u u β+ + = . Із алгебраїчно- го рівняння (41) одержуємо, що функція 2( );3 3 2 1 3 32 2 3 2 2 3 22 3 2 ( );12 ( );22 2 12 2 2 2 1 3 3 ( , )( )( ) ( ) ( ) ( ) . R k k k k k k V Rgu R g q q Z Z d q q α α α α βββ σ β α β β β ω ω β β + = = + + + + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ (42) Інтегральний оператор 1 ( )H α − згідно правила (37) як обернений до (40) запишемо у вигляді операторної матриці-стовпця: 1 ( );1 ( ) 0 1 1 ( ) ( );2 ( ) 0 1 ( );3 ( ) 0 2 ( , ) ( ) [ ] 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( ) V r d H V r d V r d α α α α α α α π β β β π β β β π β β β ∞ − ∞ − − ∞ − ⎡ ⎤ ⋅ Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋅ Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ . (43) Застосувавши операторну матрицю-стовпець (43) за правилом множення матриць до матриці-елементу [ ( )]u β , де функція ( )u β визначена формулою (42), маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)-(3): Математичне та комп’ютерне моделювання 120 1 2 1 1 ( ); ( ) 0 ( ) ( ); ( );1 1 12 2 30 ( ) 2 1 ( ); ( );2 2 22 2 30 2( ) ( ) ( , ) ( ) ( )2 ( , ) ( , ) ( ) ( )2 ( , ) ( , ) ( ) j j R j R j R u r u V r d V r V d g d q V r V d g d q α α α α α α α α α β β β β π β β ρ β β ρ σ ρ π β β β ρ β β ρ σ ρ ρ π β ∞ ∞ −∞ ∞ − = Ω = ⎛ ⎞Ω = +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎛ ⎞Ω + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 2 ( ) 2 1 ( ); ( );3 3 32 2 30 ( )2 ( , ) ( , ) ( ) R j R V r V d g d q α α α α β β ρ β β ρ σ ρ ρ π β ∞ −⎛ ⎞Ω + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ∫ ∫ (44) 2 ( ) ( );12 ( ); 22 2 1 30 ( ) ( );12 ( ); 12 2 30 ( )2 ( ) ( , ) ( )2 ( ) ( , ) k k j k k k j k d Z V r d q Z V r d q α α α α α α β β β β ω π β β β β β ω π β ∞ = ∞ ⎡⎛ ⎞Ω + −⎢⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢⎝ ⎠⎣ ⎤⎛ ⎞Ω − ×× +⎥⎜ ⎟⎟⎜ + ⎥⎠⎝ ⎦ ∑ ∫ ∫ 2( );3 3 2 1 ( ); ( ) 3 33 2 2 22 30 ( , )2 ( , ) ( ) ; 1,3. ( ) j R V R V r d R g j q α α α α β β β βσ π α β ∞ ++ Ω = +∫ Порівнюючи розв'язки (21) та (44) внаслідок теореми єдиності, одержуємо такі формули обчислення невласних інтегралів: ( ) ( ); ( ); ( );2 2 30 ( )2 1( , ) ( , ) ( , , ); , 1,3j k jk k V r V d H r q j k q α α α α β β ρ β β ρ π σβ ∞ Ω = = +∫ (45) ( )2 1( );3 3 2 1 ( ); ( ) 3 ( );333 2 2 22 30 ( , )2 ( , ) ( ) ( , ); 1,3. ( ) j j V R V r d R W r q j q α α α α α β β β β σ π α β ∞ −+Ω = = +∫ (46) ( ) 1 ( );12 ( ); ( );22 2 30 ( )2 ( ) ( , ) ( , ); 1,2, 1,3.jk j k kZ V r d d R r q k j q α α α α β β β β π β ∞ −Ω = = = +∫ (47) ( ) 1 ( );22 ( ); ( );12 2 30 ( )2 ( ) ( , ) ( , ); 1,2, 1,3.jk j k kZ V r d d R r q k j q α α α α β β β β π β ∞ −Ω = − = = +∫ (48) Функції впливу ( ); ( , , )jkH r qα ρ визначені за формулами (19); функції Гріна ( );3 ( , )jW r qα визначені за формулами (20), а функції Гріна ( ); ( , )j ikR r qα умов спряження визначені за формулами (18). Зауваження 1. Якщо 2 2 2 2 1 2 3 1max{ ; ; } 0q q q q= > , то 2 1 0k = , 2 2 2 2 1 2 0k q q= − ≥ , 2 2 2 3 1 3 0k q q= − ≥ і замість 2 2 3( )qβ + стоятиме Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3 121 2 2 1( )qβ + ; якщо ж 2 2 2 2 1 2 3 2max{ ; ; } 0q q q q= > , то 2 2 2 1 2 1 0k q q= − ≥ , 2 2 0k = , 2 2 2 3 2 3 0k q q= − ≥ і вираз 2 2 3( )qβ + всюди заміниться виразом 2 2 2( )qβ + . Зауваження 2. Оскільки у формулах (45)-(48) праві частини не залежать від нерівностей ( )2 2 0j mq q− ≥ , то можна при необхідності покласти 2 2 2 2 1 2 3 0 0q q q q= = ≡ > . Підсумком виконаних в роботі досліджень є таке твердження. Теорема. Якщо вектор-функція 1 2 * 1 2 3( ) { ( ); [ ( )]; [ ( )]},f r g r B g r B g rα α′′= неперервна на множині 2I , функції ( )jg r задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (17) однознач- ної розв'язності крайової задачі (1)-(3), то справедливі формули (45)- (48) обчислення невласних поліпараметричних інтегралів за власни- ми елементами ГДО ( )M α , визначеного формулою (22). Висновок. Одержані формули (45)-(48) поповнюють довідкову математичну літературу в розділі обчислення невласних інтегралів від суперпозиції спеціальних функцій математичної фізики. Список використаних джерел: 1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Физматгиз, 1959. — 468 с. 2. Ленюк М. П. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва / М. П. Ленюк, Г. І. Міхалевська. — Чернівці : Прут, 2002. — 280 с. 3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. 4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с. 5. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд- ра). Частина 1./ М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2004. — 368 с. 6. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера — (Фур'є, Бесселя) / М. П. Ленюк. — Львів, 2009. — 76 с. – (Препринт / НАН Укра- їни. Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача; 02.09). — Чернівці : Прут, 2009. — 76 с. 7. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтег- ральних перетворень (Фур'є, Бесселя, Лежандра) / М. П. Ленюк. — Черні- вці : Прут, 2005. — 368 с. By comparison of the boundary problem for a system of differential equations Fourier and Euler (Kontorovich-Lebedev) limited the right of the half with two Cartesian point of interface, built on the one hand, by Cauchy functions, and on the other hand, using appropriate hybrid integral Математичне та комп’ютерне моделювання 122 © О. М. Литвин, Ю. І. Першина, 2010 transform calculated polyparametric family improper integrals own ele- ments for proper hybrid differential operator. Key words: improper integrals, Cauchy function, the main solution, hybrid integral transformation, the basic identity conditions of the unique solvability, logical scheme. Отримано 21.08.10 УДК 519.6 О. М. Литвин1, д-р фіз.-мат. наук, Ю. І. Першина2, канд. фіз.-мат. наук 1Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків 2Національний технічний університет «ХПІ», м. Харків НАБЛИЖЕННЯ РОЗРИВНОЇ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ РОЗРИВНИХ СПЛАЙНІВ У роботі пропонується метод наближення розривної функ- ції однієї змінної за допомогою розривного сплайну, викорис- товуючи метод мінімакса. Ключові слова: розривна функція, розривний сплайн, мінімакс. Вступ. Задачі наближення розривних функцій виникають значно частіше, ніж задачі наближення неперервних функцій. Наведемо кі- лька прикладів. При дослідженні внутрішньої структури тіла корисно враховувати його неоднорідність, тобто різну щільність в різних час- тинах тіла (кістки, серце, шлунок, печінка тощо мають різну щіль- ність) [1]. При дослідженні кори Землі за допомогою даних з кернів свердловинного буріння виникає задача відновлення внутрішньої структури між свердловинами. При цьому очевидним є той факт, що щільність ґрунту в різних точках кори є неоднорідною і найчастіше має розриви першого роду при переході від однієї складової кори до іншої (чорнозем, пісок, глина, граніт тощо). Тому актуальною є роз- робка методів наближення розривних функцій. Постановка задачі. Нехай задана функція однієї змінної ( )f x на інтервалі [ , ]a b з розривами першого роду в точках , 1,kx k n= . Ці точки розбивають інтервал [ , ]a b на n частин. Отже, точки розриву співпадають з точками розриву функції ( ).f x Наближувати функцію ( )f x будемо лінійним сплайном, який на кожному з інтервалів 1[ , ], 1, 1k kx x k n+ = − має такий вигляд:

Схожі ресурси