Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності
У роботі запропонований узагальнений критерій вибору найкращої альтернативи зі скінченної множини допустимих за умови відомого ймовірнісного розподілу станів зовнішнього середовища. За припущенням альтернативи описуються скінченним набором значень функцій результату. Запропонований критерій враховує...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18625 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності / А.А. Музичук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 142-151. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18625 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186252011-04-07T12:04:28Z Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності Музичук, А.А. У роботі запропонований узагальнений критерій вибору найкращої альтернативи зі скінченної множини допустимих за умови відомого ймовірнісного розподілу станів зовнішнього середовища. За припущенням альтернативи описуються скінченним набором значень функцій результату. Запропонований критерій враховує відношення особи, що приймає рішення до ризику та рівень довіри до відомого апріорного розподілу. Generalized criteria of choosing the best alternative from the finite set under the condition of known prior distribution of the environment states is proposed. It is assumed that each alternative describes by finite sequences of result functions in discrete moments of time. Derived criterion takes into account the decision maker’s attitude towards risk and measure of confidence to known probabilistic distribution. 2010 Article Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності / А.А. Музичук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 142-151. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18625 519.8 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботі запропонований узагальнений критерій вибору найкращої альтернативи зі скінченної множини допустимих за умови відомого ймовірнісного розподілу станів зовнішнього середовища. За припущенням альтернативи описуються скінченним набором значень функцій результату. Запропонований критерій враховує відношення особи, що приймає рішення до ризику та рівень довіри до відомого апріорного розподілу. |
| format |
Article |
| author |
Музичук, А.А. |
| spellingShingle |
Музичук, А.А. Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Музичук, А.А. |
| author_sort |
Музичук, А.А. |
| title |
Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності |
| title_short |
Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності |
| title_full |
Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності |
| title_fullStr |
Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності |
| title_full_unstemmed |
Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності |
| title_sort |
узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18625 |
| citation_txt |
Узагальнена оцінка альтернатив в умовах ймовірнісної визначеності / А.А. Музичук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 142-151. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT muzičukaa uzagalʹnenaocínkaalʹternativvumovahjmovírnísnoíviznačeností |
| first_indexed |
2025-07-02T19:35:24Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:35:24Z |
| _version_ |
1836565056815366144 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
142 © А. А. Музичук, 2010
2. Кононенко А. Ф. Постановка задачи. Модель с непрерывным временем /
А. Ф. Кононенко // Современное состояние теории исследования опера-
ций. – М. : Наука, 1976. – 464 c. – С. 173–179.
3. Мохонько Е. З. Динамика информационных процессов в неантагонисти-
ческих играх : дис. … докт. физ.-мат. наук / Е. З. Мохонько. – М. : ВЦ
РАН, 1997. – 350 с.
4. Черноусько Ф. Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф. Л. Черноусь-
ко, А.А. Меликян. – М. : Наука, 1978. – 270 с.
5. Мохонько Е. З. Об информационных процессах в повторяющейся игре с
возмущающим фактором / Е. З. Мохонько // Труды ИСА РАН, 2008. –
Т. 39(1). – С. 88–98.
The non-antagonistic repeated game are considered. The disturbance is
able to act once the game. It changes the existing situation of equilibrium
for another one. For this the second player gain decreases. The equilibrium
strategies and the optimum discrete regime of the information receipt are
found. It is shown that observer estimates the regime of the information re-
ceipt as the optimum or surplus regime depending on the model of reality
which is used by him.
Key words: dynamic games, disturbance factor, optimum regime of in-
formation receipt, redundancy of information.
Отримано: 26.05.2010
УДК 519.8
А. А. Музичук, канд. фіз.-мат. наук
Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів
УЗАГАЛЬНЕНА ОЦІНКА АЛЬТЕРНАТИВ
В УМОВАХ ЙМОВІРНІСНОЇ ВИЗНАЧЕНОСТІ
У роботі запропонований узагальнений критерій вибору
найкращої альтернативи зі скінченної множини допустимих за
умови відомого ймовірнісного розподілу станів зовнішнього
середовища. За припущенням альтернативи описуються скін-
ченним набором значень функцій результату. Запропонований
критерій враховує відношення особи, що приймає рішення до
ризику та рівень довіри до відомого апріорного розподілу.
Ключові слова: прийняття оптимальних рішень, аналіз
скінченних послідовностей, оцінка альтернатив, відношення
до ризику.
Вступ. Ситуація прийняття рішень, у якій альтернативи опису-
ються скінченною кількістю значень функцій результату у визначені
моменти часу, є типовою для більшості випадків аналізу “витрати –
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
143
ефективність” і “затрати – прибуток” у соціальних проблемах. Для
оцінювання таких альтернатив як правило обчислюють показник пе-
реоціненого значення функцій результату на момент прийняття рі-
шень (показник теперішньої вартості) та показник внутрішньої норми
дохідності [1]. Відомо, що порівняння альтернатив за цими критерія-
ми в умовах невизначеності супроводжується технічними трудноща-
ми і не приводить до бажаного результату [2].
Задачі прийняття рішень в умовах невизначеності поділяють на
підкласи в залежності від наявної ймовірнісної інформації про пове-
дінку зовнішнього середовища в майбутньому [3]. Розрізняють задачі
прийняття рішень в умовах ризику (відомий ймовірнісний розподіл),
в умовах ймовірнісної невизначеності (розподіл не заданий) та в умо-
вах часткової інформації. Третій підклас є найважливіший, оскільки
додаткова інформація є не завжди надійною Для таких задач відоми-
ми критеріями прийняття рішень є критерій Гурвіца, Ходжа-Лемана,
Менчеса та ін. [4].
Метою даної роботи є побудувати «узагальнену» оцінку альтер-
натив, які описуються скінченною кількістю значень функцій резуль-
тату, за умов відомого ймовірнісного розподілу станів зовнішнього
середовища. Під узагальненою оцінкою будемо розуміти таку оцінку,
яка враховує відношення особи, що приймає рішення (ОПР) до ризи-
ку і рівень надійності додаткової інформації. Введення показника
довіри ОПР до апріорного розподілу зумовлене складністю оцінити
поведінку зовнішнього середовища в майбутні моменти часу.
Постановка задачі. Ситуацію прийняття рішень будемо визна-
чати за допомогою параметрів { , , , }A F S α , де 1{ ,..., }mA a a= – скін-
ченна множина альтернатив; 1{ ,..., }nS s s= – скінченна множина ста-
нів зовнішнього середовища в яких воно може перебувати в дискрет-
ні моменти часу {0,..., }T L= , { }( )iF f t= – функціонал оцінювання
альтернатив, що характеризує “витрати” та “доходи” особи, що при-
ймає рішення ОПР на момент часу t T∈ за умови вибору альтерна-
тиви ia A∈ ; α – параметр, що характеризує відношення ОПР до
ризику, [0,1]α ∈ , причому для песимістичної ОПР 0α = , оптимісти-
чної – 1α = і для нейтральної до ризику – 0.5α = .
Через tx позначимо випадкову величину, tx S∈ , яка визначає стан
зовнішнього середовища на момент часу t T∈ . Тоді випадкова послідо-
вність 0{ ,..., }Lx xξ = описує поведінку зовнішнього середовища в мо-
менти часу t T∈ . Така послідовність визначає траєкторію зміни станів
зовнішнього середовища в дискретні моменти часу t T∈ .
Математичне та комп’ютерне моделювання
144
Основні припущення при побудові узагальненої оцінку альтер-
натив в умовах часткової інформації:
1) для довільного 1,i m= альтернатива ia A∈ характеризується
скінченною послідовністю значень функцій результату
( )(0),..., ( )i i if f f L= в дискретні моменти часу t T∈ . При цьому, не
обмежуючи загальності, “витратами” ОПР будемо вважати (0) 0if < ,
а “доходами” ОПР – ( ) 0if t ≥ , t T∈ , 0t > ;
2) кожен стан зовнішнього середовища s S∈ однозначно ви-
значається заданою функцією ( ) : [0,1]r s S → ;
3) відомий розподіл траєкторій зовнішнього середовища
( )1( ),..., ( )NP p pξ ξ= , LN n= .
4) відомий параметр λ , що відображає надійність або довіру
ОПР до апріорного розподілу P , [0,1]λ ∈ (при 0λ = ОПР повністю
ігнорує розподіл, а 1λ = – повністю довіряє) .
Основні результати. Нехай tx s= . Тоді для всіх ia A∈ пере-
оцінені значення ( )if t позначимо як ( , )if t s і будемо шукати як
( , ) ( ) ( , )i if t s f t B s t= ⋅ , (1)
де ( , ) : [0,1]B s t S T× → є функцією переоцінки одиниці прибутку в
момент t на момент на момент прийняття рішень 0t = при умові
tx s= . Як правило, для переоцінки використовують функцію вигляду
( , ) (1 ( )) tB s t r s −= + , де ( )r s є “внутрішньою нормою дохідності” в
стані s S∈ [1].
Використовуючи припущення 2) введемо бінарне відношення
переваги на множині S .
Означення 1. Будемо казати, що для всіх ,z s S∈ стан z є не гі-
рший, ніж стан s ( z s ), якщо ( ) ( )r z r s≤ .
Таке відношення є повним та транзитивним і породжує відношення
еквівалентності (∼ ) та строгої переваги ( ). Не обмежуючи загальності,
вважатимемо, що множина S не містить двох еквівалентних станів і всі
стани є впорядковані за спаданням, тобто 1 2 ..., ns s s . Множину
всіх траєкторій 0{ ,..., }Lx xξ = позначимо через LS .
Для кількісної оцінки впливу траєкторії LSξ ∈ на альтернативу
ia A∈ введемо поняття корисності альтернативи за умови фіксованої
траєкторії та відношення переваги на множині LS .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
145
Означення 2. Корисністю ( )ie f ξ альтернативи ia A∈ за умови
траєкторії LSξ ∈ будемо називати сумарне переоцінене значення
елементів вектора if :
0( ) ( , )L
i i kke f f k xξ == ∑ , (2)
де ( , )i kf k x обчислюються як (1).
Означення 3. Будемо казати, що для всіх , LSξ η ∈ траєкторія ξ є
не гіршою за траєкторію η (ξ η ), якщо виконується нерівність
( ) ( )i ie f e fξ η≥ . (3)
Для довільної ia A∈ відношення задовольняє аксіоми слабо-
го порядку і породжує на множині LS відношення еквівалентності
( ≈ ) та строгої переваги ( ).
Впорядковані траєкторії з множини LS для альтернативи ia A∈
перепозначимо як 1 2 ...i i iNξ ξ ξ , LN n= . Нормовану корисність
ije альтернативи ia A∈ за умови траєкторії ij LSξ ∈ будемо шукати як
1
( )
( )
i ij
ij N
i ijj
e f
e
e f
ξ
ξ=
=
∑
.
Зауважимо, що 1 2 ...i i iNe e e≥ ≥ ≥ . Для довготного 1,i N= [ 1,1]ije ∈ − ,
що означає, що можлива така поведінка зовнішнього середовища,
при якій ОПР отримує збитки від впровадження альтернативи ia A∈ .
Проте відразу відкидати таку альтернативу недоцільно, оскільки як-
що ймовірність «поганого» результату є невелика та/або виплати при
інших траєкторій є «добрі» то вибір такої альтернативи вже буде за-
лежати від схильності ОПР до ризику. Крім цього, такий випадок є
цікавим ще й тому, що найчастіше зустрічається на практиці. Оскіль-
ки будь-яка ОПР прагне отримати невід’ємний прибуток, то відки-
дання альтернатив, які є небажаними для ОПР, будемо здійснювати
після побудови функції оцінювання.
Для побудови узагальненої оцінки альтернатив за основу взято
критерій Ходжа-Лемана, який є лінійною згорткою критеріїв Байєса і
Вальда і дозволяє використовувати можливу інформацію, що наявна
в ОПР, але в той же час забезпечує заданий рівень гарантії у випадку,
якщо ця інформація є неточна [4]. Проте такий критерій відображає
поведінку лише несхильної до ризику ОПР, [0,0.5]α ∈ . Для враху-
вання ОПР з різним відношенням до ризику узагальнений критерій
Математичне та комп’ютерне моделювання
146
будемо будувати як лінійну згортку критерію Байєса та критерію
впорядкованого зваженого усереднення [3].
Критерій впорядкованого зваженого усереднення використову-
ють коли для ОПР з відомим параметром [0,1]α ∈ немає жодної
ймовірнісної інформації про поведінку зовнішнього середовища в
майбутньому, або така ОПР немає довіри до апріорного розподілу,
0λ = . Найкраща серед альтернатив *a A∈ для ОПР з параметром
[0,1]α ∈ за критерієм впорядкованого зваженого середнього визна-
чається наступним чином:
( ){ }*
1arg max ,..,
ia A i iNa F e eα
∈∈ ,
де функція : NF R Rα → визначається як
( )1,.., N
i iN i ijjF e e w bα = ∑ , (4)
де вектор 1( ,..., )i iNb b утворений з впорядкованих за спаданням еле-
ментів вектора ( )1,..,i iNe e , 1( ,..., )NW w wα = – ваговий вектор, що
задається відповідно до суб’єктивних суджень ОПР стосовно поведі-
нки зовнішнього середовища в майбутньому і залежить від параметра
α . Для елементів вектора Wα виконується умова
1N
kk w =∑ , [0,1]kw ∈ , 1,k N= . (5)
Зауважимо, що критерій впорядкованого зваженого усереднення
узагальнює багато з класичних критеріїв, зокрема Вальда, Байєса,
Гурвіца та ін. Так, для оптимістичної ОПР з параметром 1α =
1 (1,0,...,0)W = і при цьому оцінка (4) буде мати вигляд
( )1,.., max { }i iN j ijF e e eα = . Для песимістичної ОПР 0 (0,...,0,1)W = і
( )1,.., min { }i iN j ijF e e eα = . Для нейтральної до ризику ОПР з парамет-
ром 0.5α = ваговий вектор 0.5 (1 / ,...,1 / )W N N= і оцінка (4) має ви-
гляд ( )1 1
1,.., N
i iN ijjF e e e
N
α
== ∑ . Якщо ваговий вектор
( ,0,...0,1 )Wα α α= − то оцінка (4) співпаде з оцінкою за критерієм
Гурвіца, ( )1,.., max { } (1 ) min { }i iN j ij j ijF e e e eα α α= ⋅ + − .
В [3] запропоновано наступну залежність між параметром
[0,1]α ∈ і ваговим вектором 1( ,..., )NW w wα = :
1 1( ,..., )
1
N
N jj
N jw w w
N
α =
−
=
−∑ . (6)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
147
Очевидно, що для деякого фіксованого [0,1]α ∈ рівність (6) справед-
лива для деякої сім’ї векторів Wα . Для відшукання «оптимального»
вектора, тобто такого який несе найбільше інформації про
суб’єктивне ставлення ОПР до станів зовнішнього середовища, роз-
роблено багато підходів [5, 6], на яких в даній роботі зупинятись не
будемо. Будемо вважати, що для довготного [0,1]α ∈ відомий ваго-
вий вектор Wα .
В основі критерію впорядкованого зваженого усереднення є
впорядкування можливих значень функцій результату альтернативи.
Оскільки за побудовою ije для всіх 1,i m= і 1,j N= є такими, що
1 2 ...i i iNe e e≥ ≥ ≥ , то оцінка (4) перепишеться як
( )1,.., N
i iN i ijjF e e w eα = ∑ .
Як вже було зазначено вище, узагальнену оцінку альтернатив
будемо визначати як лінійну згортку критеріїв Байєса і впорядкова-
ного зваженого усереднення:
1 1( ) (1 )N N
MHL i ij j ij jj jE a e p e wα λ λ= == + −∑ ∑ , (7)
де параметр λ виражає ступінь довіри ОПР до апріорного розподілу,
[0,1]λ ∈ , ije – переоцінена нормована корисність альтернативи
ia A∈ при умові траєкторії j LSξ ∈ , ( )j jp P ξ= – ймовірність того,
що поведінку зовнішнього середовища в моменти часу t T∈ буде
описуватись траєкторією j LSξ ∈ , 1( ,..., )NW w wα = – ваговий вектор,
елементи якого пов’язані з параметром α за допомогою рівності (6).
Переоцінена нормована корисність для всіх ia A∈ і j LSξ ∈ бу-
демо визначати наступним чином:
( ) ,
(1 ) ,
j j ij j j
ij
j j ij j j
w p e w p
e
w p e w p
− >⎧⎪= ⎨ − + ≤⎪⎩
(8)
Зауважимо, що (0, ]ij ije e∈ , причому 0ije → при j jw p→ , j jw p> і
ij ije e= при j jw p= . Переоцінена корисність показує як впливають
апріорний розподіл і суб’єктивне судження ОПР стосовно поведінки
зовнішнього середовища в майбутньому на корисність ije .
Множину індексів, для яких виконується нерівність j jw p> по-
значимо через { }w pj j
Iα > , а для яких j jw p≤ через { }j jw pIα ≤ ,
Математичне та комп’ютерне моделювання
148
{ } { } {1,..., }
j j j jw p w pI I Nα α
> ≤∪ = . Тоді оцінка (7) з врахуванням (8) пере-
пишеться як:
( )
( )
{ }
{ }
( ) (1 ) ( )
(1 ) (1 ) .
w pj j
w pj j
MHL i j j j j ijj I
j j j j ijj I
E a p w w p e
p w w p e
α
α
α λ λ
λ λ
>
≤
∈
∈
= + − − +
+ + − − +
∑
∑
(9)
Адекватність побудованої оцінки дослідимо в два етапи. Спер-
шу покажемо, що у випадку повної довіри до апріорного розподілу
оцінка (9) для песимістичної, оптимістичної та нейтральної до ризику
ОПР буде співпадати з відповідними класичними оцінками у випадку
виродженого апріорного розподілу. На другому етапі покажемо, що
оцінка (9) для ОПР з параметрами {0,0.5,1}α ∈ не залежить від ре-
зультату альтернативи для якого апріорна ймовірність відповідного
стану зовнішнього середовища є 0.
Теорема 1. Якщо
1
1jp = для деякого 1 1,j N= і 0jp = для
1j j≠ і 1λ = то оцінка альтернатив (9) співпадає з класичною оцін-
кою ( )MHL i ijE a eα = в умовах визначеності для ОПР з параметрами
{0,0.5,1}α ∈ .
Доведення. У випадку виродженого апріорного розподілу такого,
що для деякого 1 1,j N=
1
1jp = і для всіх 1j j≠ 0jp = , для ОПР з
параметрами 1α = не знайдеться такого j для якого j jw p> , тобто
{ } { }
j jw pI > = ∅ . З врахуванням вигляду вагового вектора
1 (1,0,...,0)W = , оцінка (9) для [0,1]λ ∈ перепишеться як:
( ) 1
1
1 1
1
1
, 1( ) (1 ) (1 )
2 , 1
N ij
MHL i j j j j ijj
ij
e jE a p w w p e
e j
λ λ
λ=
⎧⎪ == + − − + = ⎨
≠⎪⎩
∑ . (10)
Для ОПР з параметром 0α = { } { }
j jw pI > = ∅ і оцінка (9) має вигляд:
( ) 1
1
0 1
1
1
,( ) (1 ) (1 )
2 ,
N ij
MHL i j j j j ijj
ij
e j NE a p w w p e
e j N
λ λ
λ=
⎧⎪ == + − − + = ⎨
≠⎪⎩
∑ . (11)
Для ОПР з параметром 0.5α = справедливо { } 1{ }
j jw pI j≤ = , тому оці-
нка (9) визначається як:
1
0.5
1
2 1 2 1( ) (1 ) ijN
MHL i ij j
eN NE a e
N N N
λ λ =
− −
= + − ∑ . (12)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
149
Твердження теореми випливає з рівностей (10), (11) і (12) при підста-
новці 1λ = . Теорему 1 доведено.
З теореми 1 випливає такий наслідок.
Наслідок 1. Нехай виконуються умови теореми 1 і (0,1]λ ∈ .
Тоді критерій вибору найкращої альтернативи для ОПР з параметра-
ми {0,0.5,1}α ∈ з використанням оцінки (9) має вигляд:
{ } { }1
* arg max ( ) arg max
i ia A MHL i a A ija E a eα
∈ ∈∈ = .
Теорема 2. Якщо для деякого 0 1,j N=
0
0jp = і
0
0jp > 0j j≠ ,
тоді для довільної альтернативи ia A∈ оцінка (9) для ОПР з параме-
трами {0,0.5,1}α ∈ не залежить від корисності
0ije .
Доведення. Нехай 1α = . Оскільки у випадку 0 1j = 1
0 { }j jw pj I >∈
то оцінка (9) набуде вигляду:
( )0
1
2( ) (1 ) (1 )N
MHL i ij j j ijjE a e p w eλ λ λ== − + + −∑ . (13)
У випадку 0 1j ≠ то 1
0 { }j jw pj I ≤∈ і оцінка (9) перепишеться як:
( )
0
1
1,( ) (1 )N
MHL i j j ijj j jE a p w eλ λ= ≠= + −∑ . (14)
З (13) слідує, що при 1λ = , тобто у випадку абсолютної довіри
до апріорного розподілу, корисність
0ije не буде впливати на оцінку
альтернативи. У випадку коли 0 1j =
0
max { }ij j ije e= тому із змен-
шенням довіри до ймовірнісної інформації про поведінку зовнішньо-
го середовища в майбутньому найкращий із результатів альтернативи
буде більше впливати на оцінку самої альтернативи для оптимістич-
ної ОПР. А з (14) легко бачити, що оскільки при 0 1j ≠
0
max { }ij j ije e< то
0ije не впливає на результат при довільних значен-
нях параметра [0,1]λ ∈ .
Нехай тепер 0α = . У випадку 0j N= слідує, що 0
0 { }j jw pj I >∈ .
Тому оцінка (9) набуде вигляду:
( )0
10
1( ) (1 ) (1 )N
MHL i ij j j ijjE a e p w eλ λ λ−
== − + + −∑ . (15)
Якщо 0j N≠ то 0
0 { }j jw pj I ≤∈ і оцінка 0 ( )MHL iE a співпаде з (14), а це
означає, що при довільних значеннях [0,1]λ ∈ корисність
0ije не
впливає на оцінку альтернативи. Якщо 0j N= то
0
min { }ij j ije e= і
Математичне та комп’ютерне моделювання
150
песимістична ОПР не буде враховувати найгірший результат тільки у
випадку повної довіри до апріорного розподілу.
Нехай 0.5α = , тоді 0.5
0 { }j jw pj I >∈ і оцінка (9) перепишеться:
( )0 0
0.5
1,2
(1 )( ) (1 )N
MHL i ij j j ijj j jE a e p w e
N
λ λ λ= ≠
−
= + + −∑ . (16)
Отже, для нейтральної до ризику ОПР при повній довірі до апріорно-
го розподілу корисність
0ije не впливає на оцінку альтернативи для
довільного 0j . Теорему 2 доведено.
Отже, найкраща альтернатива *a для ОПР з параметром α і з
рівнем довіри λ до апріорного розподілу будемо визначати як
{ }* arg max ( )
ia A MHL ia E aα
∈∈ , (17)
де ( )MHL iE aα обчислюється як (9).
Приклад. Нехай задана ситуація прийняття рішень { , , , }A F S α ,
де 1 2{ , }A a a= , причому альтернативи в дискретні моменти часу
{0,1,2}T = визначаються як 1 ( 1,0.65,0.5)f = − і 2 ( 1,0.435,0.735)f = −
відповідно; 1 2{ , }S s s= для яких 1( ) 11%r s = , 2( ) 8%r s = . Припусти-
мо, що для ОПР з параметром 0.54α = відомий розподіл ймовірнос-
тей (0.2,0.5,0.1,0.2)P = на множині траєкторій
2 1 1 1 2 2 1 2 2{( , ), ( , ), ( , ), ( , )}S s s s s s s s s= . Потрібно обрати найкращу аль-
тернативу за умови.
Після нескладних обчислень описаних в роботі отримаємо, що
оцінка (9) альтернатив 1a і 2a буде мати наступний вигляд:
0.54
1( ) 0.56 (1 ) 0.13MHLE a λ λ= ⋅ + − ⋅ і 0.54
2( ) 0.62 (1 ) 0.14MHLE a λ λ= ⋅ + − ⋅
відповідно. Звідки слідує, що при довільному рівню довіри [0,1]λ ∈
для ОПР з параметром 0.54α = альтернатива 2a є кращою за 1a .
Висновки. Запропонований узагальнений критерій вибору альте-
рнатив за умов відомого апріорного розподілу враховує відношення
ОПР до ризику і міру його довіри до відомого розподілу ймовірностей.
За припущенням альтернативи описуються скінченним набором зна-
чень функцій результату і мають однакову довжину 1L ≥ . Зауважимо,
що у випадку, якщо альтернативи мають різну довжину то для норму-
вання можна використати процедуру укрупнення описану в [7].
Отже, побудова оцінки альтернатив, що описуються скінченими
послідовностями функції результату в дискретні моменти часу знач-
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
151
но розширює сферу практичного застосування таблиць рішень. Так,
наприклад, використовуючи побудовану узагальнену оцінку можна
порівнювати інвестиційні проекти, фінансові потоки однакової та
різної тривалості, тощо.
Список використаних джерел:
1. Аналіз вигід і витрат : практ. посіб. / [пер. з англ. С. Соколик ; наук. ред.
О. Кісілевич]. – К. : Основи, 2000. – 175 с.
2. Бронштейн Е. М. О показателях инвестиционных проектов / Е. М. Брон-
штейн // Экономика и математические методы. – М., 2008. – Т. 44, № 1. –
С.137–141.
3. Yager R. R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multi-
criteria decision making / R. R. Yager // IEEE Transaction on Systems, Man
and Cybernetics. – 1988. – № 18. – P. 183–190.
4. Клейнер Я. С. Прийняття рішень : моделі і системи : навч. посіб. /
Я. С. Клейнер. – Донецьк : ВИК, 2005. – 231 с.
5. O’Hagan M. Using maximum entropy-ordered weighted averaging to construct a
fuzzy neuron / M. O’Hagan // The 24th Asilomar Conference on Signal Systems
and Computers, IEEE and Maple press, CA., 1990. – Vol. 11. – P. 618–623.
6. Cables Perez E. OWA weights determination by means of linear functions /
E. Cables Perez, M. Teresa Lamata // Mathware & Soft Computting. – 2009. –
№ 18. – P. 107–122.
7. Єлейко Я. І. Про поведінку фінансових потоків під впливом зовнішніх
чинників / Я. І. Єлейко, А. А. Музичук // Вісник Львівського університе-
ту. Серія “Прикладна математика та інформатика” / [відп. за вип. Г. Шин-
каренко]. – Львів, 2007. – № 12. – С. 170–180.
Generalized criteria of choosing the best alternative from the finite set
under the condition of known prior distribution of the environment states is
proposed. It is assumed that each alternative describes by finite sequences
of result functions in discrete moments of time. Derived criterion takes into
account the decision maker’s attitude towards risk and measure of confi-
dence to known probabilistic distribution.
Key words: optimal decision making, finite sequences analysis, alter-
native’s estimation, risk attitude.
Отримано: 12.04.2010
|