Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням
У роботі розглянута проблема побудови імпульсної системи випадкової структури із постійним запізненням (СВСЗ) під впливом зовнішніх та внутрішніх марковских параметрів при наявності випадкового процесу і запізнення одночасно. СВСЗ повинна володіти властивістю асимптотичної стійкості за ймовірністю т...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18626 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням / В.І. Мусурівський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 152-158. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18626 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186262011-04-07T12:04:16Z Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням Мусурівський, В.І. У роботі розглянута проблема побудови імпульсної системи випадкової структури із постійним запізненням (СВСЗ) під впливом зовнішніх та внутрішніх марковских параметрів при наявності випадкового процесу і запізнення одночасно. СВСЗ повинна володіти властивістю асимптотичної стійкості за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу. The problem of creation of impulse dynamical system with continous behind in the consideration of Markoff disturbance is considered by the article. This system of odd structure must be asymptotically stable by the probability and provide preassigned optimivity of a transient process. 2010 Article Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням / В.І. Мусурівський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 152-158. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18626 519.718:519.217:519.837:517.929 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботі розглянута проблема побудови імпульсної системи випадкової структури із постійним запізненням (СВСЗ) під впливом зовнішніх та внутрішніх марковских параметрів при наявності випадкового процесу і запізнення одночасно. СВСЗ повинна володіти властивістю асимптотичної стійкості за ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність перехідного процесу. |
| format |
Article |
| author |
Мусурівський, В.І. |
| spellingShingle |
Мусурівський, В.І. Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Мусурівський, В.І. |
| author_sort |
Мусурівський, В.І. |
| title |
Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням |
| title_short |
Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням |
| title_full |
Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням |
| title_fullStr |
Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням |
| title_full_unstemmed |
Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням |
| title_sort |
проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18626 |
| citation_txt |
Проблема стійкості за першим наближенням імпульсних систем випадкової структури із постійним запізненням / В.І. Мусурівський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 152-158. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT musurívsʹkijví problemastíjkostízaperšimnabližennâmímpulʹsnihsistemvipadkovoístrukturiízpostíjnimzapíznennâm |
| first_indexed |
2025-07-02T19:35:27Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:35:27Z |
| _version_ |
1836565059514400768 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
152 © В. І. Мусурівський, 2010
УДК 519.718:519.217:519.837:517.929
В. І. Мусурівський, канд. фіз.-мат. наук
Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,
м. Чернівці
ПРОБЛЕМА СТІЙКОСТІ ЗА ПЕРШИМ НАБЛИЖЕННЯМ
ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ ВИПАДКОВОЇ СТРУКТУРИ
ІЗ ПОСТІЙНИМ ЗАПІЗНЕННЯМ
У роботі розглянута проблема побудови імпульсної систе-
ми випадкової структури із постійним запізненням (СВСЗ) під
впливом зовнішніх та внутрішніх марковских параметрів при
наявності випадкового процесу і запізнення одночасно. СВСЗ
повинна володіти властивістю асимптотичної стійкості за
ймовірністю та забезпечувати наперед задану оптимальність
перехідного процесу.
Ключові слова: стійкість, імпульсні динамічні системи,
системи випадкової структури, марковський процес, постійне
запізнення.
Постановка задачі. Нехай [1], [2] на ймовірнісному базисі
{ }( ), , , 0 ,t tΩ ≥ PF F випадковий процес ( ) mx t ∈R динамічної систе-
ми описується диференціальним рівнянням із постійним запізненням
( ) ( , ( ), ( ), )tdx t a t t x t x dtξ= , (1)
із зовнішніми імпульсними марковськими збуреннями
( ) ( ) ( )( ), , ,
kt t k k k kx t g t t x tξ η=Δ = − − − , (2)
за початковими умовами
( )
0 00 0; ;t kx z t y hξ η= ∈ = ∈ = ∈D Y H . (3)
де { },k nt S t n∈ ≡ ⇑ ∈N , асимтотика розв’язку ( ) mx x t≡ ∈R – СВСЗ
відносно нульового розв’язку ( ) 00, 0x t t t≡ ∀ ≥ ≥ ; ( ){ }tx x t τ≡ − ,
0τ > ; ( )[ ,0], mτ≡ −D D R – простір Скорохода; ( )tξ – феллерівський
марковський процес, який спричиняє внутрішню випадкову зміну
структури системи, { , 0}k kη ≥ – феллерівський ланцюг Маркова.
Припустимо, що вимірні за сукупністю змінних функціонали
a : m m
+ × × × →DR Y R R , g : m m
+ × × × →R Y R H R , задовольняють
умову Ліпшіца для 1 2, mx x∀ ∈R , 1 2,z z∀ ∈D рівномірно за всіма
іншими аргументами для 0 0t t∀ ≥ ≥ ; y∀ ∈Y ; h∀ ∈H :
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
153
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , , , , , , ,
( ),
a t y x z a t y x z g t y x h g t y x h
x x z z
− + − ≤
≤ Λ − + −
(4)
і умову рівномірної обмеженості
0, ,
sup ( ( , , , ) ( , , , ) )t
t y
h
a t y x x g t y x h γ
≥ ∈
∈
+ = < +∞
Y
H
, 0γ > . (5)
Стійкість за першим наближенням. Нехай імпульсна система
має вигляд
0 1
( ) ( , ( ), ( ), ) ( , ( ), ( ), )t t
dx t a t t x t x a t t x t x
dt
ξ ξ= + , (6)
0 1( , ( ), ( ), ) ( , ( ), ( ), )k k k kk k k k ktx g t t x t g t t x tξ η ξ η− − − −Δ = + , (7)
Означення 2. Назвемо імпульсну систему
0
( ) ( , ( ), ( ), )t
dx t a t t x t x
dt
ξ= , (8)
0 ( , ( ), ( ), )k kk k ktx g t t x tξ η− −Δ = , (9)
системою першого наближення для (6)-(7).
При аналізі стійкості розв’язку системи (6)-(7) можна викорис-
тати функціонал Ляпунова для (8)-(9) і, обчисливши дискретний опе-
ратор Ляпунова для (6)-(7) від цього функціоналу, одержимо достатні
умови стійкості цієї системи (6)-(7). Назвемо дане дослідження стій-
кості розв’язку системи (6)-(7) за першим наближенням.
Нехай ( , , , )t y z hv такий скалярний невід’ємно-визначений фун-
кціонал, що послідовність ( , , ) ( , , , )k ky z h t y z h≡v v є функціоналом
Ляпунова. Для дискретного оператора Ляпунова в силу (6)-(7) введе-
мо позначення L0, а для дискретного оператора в силу (8)-(9)-
позначення L. Введемо обмеження й позначення, пов’язані з марков-
ським процесом ( ) mtξ ∈R . Використовуючи [3], визначимо C-інфіні-
тезимальний оператор L рівністю
( ){ } ( )
0
1( ) ( ) lim ( )yt
f y f t f y
t
ξ
→
⎡ ⎤≡ −⎣ ⎦L E , де ( )( )f D C∈ ⊂ YL . (10)
Збережемо це позначення для продовження L в простір непере-
рвних, але необов'язково обмежених відображень Y в R .
Нехай ( , , , )v t y z h – неперервний за сукупністю й неперервно-ди-
ференційовний за t й за третім аргументом неперервно-диференці-
йовний за Фріше невід’ємно визначений функціонал.
Математичне та комп’ютерне моделювання
154
Зрозуміло, що пара { }( ), tt xξ утворить феллерівський марков-
ський процес, а значить можна ввести інфінітезимальний оператор у
силу (8) (або в силу (6) ) за третім аргументом
( ){ } ( ),
( )
0
1( ) ( , , , ) lim , ( ), , , , ,y z
t
tv t y z h v t t x h v t y z hτθ
θ ξ θ
θ +
→
⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦EQ , (11)
де індекси в E означають умову ( )t yξ = , tx z= .
Будемо вважати, що вищевведений функціонал ( )v D∈ Q визна-
чений, якщо границя (11) існує в розумінні рівномірної збіжності в
деякому околі точки ( ),y z рівномірно за h∈H .
Ця границя може бути обчислена у формі
0
( , , , )( ) ( , , , ) ( ) ( , , , )
(( ) ( , , , ), ( , , , )),
y
z
v t y z hv t y z h v t y z h
t
v t y z h a t y z h
∂
= + +
∂
+ ∇
Q L
(12)
де ( , )⋅ ⋅ – скалярний добуток в mR , z∇ – оператор Фреше за z .
Введемо різницевий оператор Ляпунова R , що пов'язаний з ім-
пульсною дією (9) у момент kt S∈ . Цей оператор R діє на послідов-
ність функціоналів ( , , , )kv t y z h за змінними k ∈N , h∈H , mx∈R
при кожному фіксованому y∈Y за правилом
{ }0( ) ( , , , ) ( , , ( , , , ), ) ( , , , )k
k h k kv t y x h v t y x g t y x h h v t y x h≡ + −ER , (13)
де індекси в {}⋅E означають k hη = . Будемо писати ( )v D∈ R , якщо в
(13) {}⋅E існує при kt S∀ ∈ , y∈Y , h∈H і mx∈R . Якщо позначи-
ти ( ),k hP G – перехідну ймовірність ланцюга Маркова kη на k -ому
кроці, то ( ) ( , , , )kv t y x hR можна обчислити по формулі
( )0( ) ( , , , ) ( , , ( , , , ), ) , ( , , , )k k k k kv t y x h v t y x g t y x h z P h dz v t y x h= + −∫
H
R .(14)
Наведемо доведення основних теорем про стійкість розв’язку
незбуреної системи (8)-(9) [1], [2].
Теорема 1. Нехай:
1) ( )1sup k k
k
t t+
∈
− = Δ < ∞
N
;
2) виконано умови для системи (8)-(9) про існування розв’язку;
3) марковський процес ( ) mtξ ∈R стохастично неперервний;
4) існує такий невід’ємно визначений функціонал ( )v D∈ Q , що
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
155
0,
,
inf v( , , , ) ( )
t y r
h z r
t y z h r
≥ ∈ →∞
∈ ≥
= → +∞v
Y
H
; (15)
00,
,
sup v( , , , ) v( ) 0
rt y
h z r
t y z h r
→≥ ∈
∈ <
= →
Y
H
; (16)
( )v ( , , , ) 0t y z h ≤Q , (17)
( )v ( , , , ) 0t y z h ≤R , 0t∀ ≥ , kt S∈ , y∈Y , h∈H , z∈D . (18)
Тоді імпульсна система (8)-(9) стійка за ймовірністю в цілому.
Доведення. У силу умов теореми послідовність v ( , , )k y z h утво-
рить функціонал Ляпунова, тому досить показати, що
( )v ( , , ) 0k y z h ≤L , k∀ ∈N , y∈Y , h∈H , z∈D .
Із означення інфінітезималього оператора марковського процесу
{ }( ), tt xξ випливає – формула Динкіна [5]:
( ){ }
( ){ }
1
( )
, 1
( )
,
, ( ), ,
( , , , ) ( ) , ( ), , .
k
k
k
k
t
y z k t
t
t
k y z
t
t t x h
t y z h x h d
τ
τ
ξ τ
τ ξ τ τ
+
+ ++ =
= + ∫
E
E
v
v Q v
(19)
Звідки, із врахуванням (17), відразу випливає нерівність
( ){ } ( )( )
, 1, ( ), , , , ,kt
y z k t kt t x h t y z hτξ τ+ ++ ≤E v v ,
k ∈N , y∈Y , h∈H , z∈D . (20)
За умовою 3) теореми марковський процес ( ) mtξ ∈R стохастич-
но неперервний, тому при обчисленні умовного математичного спо-
дівання [4] для кожного t +∈R замість ( )tξ можна підставляти
( )tξ − , а значить цим можна скористатися при обчисленні kvL :
( ) ( ){ }
( )( ){ }
( ){ }
( ){ } ( )
1
1 1
1
1
( )
, 1 1
( )
, 1 0 1 1 11 1
( )
, 1 11
( )
, 1 11
( , , ) , ( ), , ( , , , )
, ( ), , ( ), , ,
, ( ), ,
, ( ), , , , , .
k
k
k
k k
k
k
k
k
t
k y z k k t k
t
y z k t k t k kk k
t
y z k t kk
t
y z k t k kk
v y z h t t x h t y z h
t t x g t t x
t t x
t t x t y z h
ξ
ξ ξ η η
ξ η
ξ η
+
+ +
+
+
+ +
+ + + ++ +
+ ++
+ ++
= − =
⎡= + −⎢⎣
− +
⎤+ − ⎦
E
E
E
E
v
v
v
v v
L v
(21)
Другий доданок у правій частині (21) недодатний. При оцінці
першого доданка (21) візьмемо спочатку умовне математичне споді-
вання за умови
1
F
kt +
, скористаємося
1
F
kt +
-вимірністю випадкових
Математичне та комп’ютерне моделювання
156
величин 1( )ktξ + і 1( )kx t + , і, враховуючи умову (18) теореми, отри-
маємо з (21) нерівність ( ) ( , , ) 0kv y z h ≤L . Теорема доведена. ■
Теорема 2. Нехай: I) виконано умови теореми 1;
II) існує число (0,1)γ ∈ , що при всіх kt S∈ , y∈Y , h∈H ,
z∈D дискретний недодатний оператор ( )R v
( ) ( , , ) ( , , , )k ky z h t y z hγ≤ −R v v . (22)
Тоді імпульсна система (8)-(9) асимптотично стійка в цілому.
Доведення. Позначимо через ( , , ) (1 ) ( , , , )k
k kb y z h t y z hγ −≡ − v ,
k ∈N , тоді з нерівності (22) відразу випливає нерівність
( ) { }1
1 1( , , ) (1 ) ( , , , ) (1 ) ( , , , )ktk k
k k k khb y z h t y z t y z hγ η γ− − −
+ +≡ − − − =ER v v
( )1(1 ) ( , , , ) ( , , , ) 0k
k kt y z h t y z hγ − −= − + ≤⎡ ⎤⎣ ⎦Rv v .
Тому з (21) одержимо, що ( ) ( , , ) 0kb y z h ≤L , тобто
{ }1
0,(1 ) ( , ( ), , ) ( , , , ) ( )k
k
tk
k k t ky h t t x t y z h zγ ξ η− −− ≤ ≤E v v v ,
а, отже, за визначенням функціоналу Ляпунова, маємо
{ } { }0 0
, ,( ( ) ) ( , ( ), , ) (1 ) ( )
k
t t k
k k k t ky h y hx t t t x zξ η γ≤ ≤ −E Ev v v
Залишилося скоритатися означенням асимптотичної стійкості за
ймовірністю в цілому, що й завершує доведення теореми 2. ■
Теорема 3. Нехай: 1) ( )1 1inf 0k kk
t t+
∈
− = Δ >
N
;
2) виконані умови теореми 1;
3) існує таке число 0γ > , що
( ) ( , , , ) ( , , , )t y z h t y z hγ≤ −Q v v ,
0t∀ ≥ , kt S∈ , y∈Y , h∈H , z∈D . (23)
Тоді імпульсна система (8)-(9) асимптотично стійка в цілому.
Доведення. За означенням оператора Q для функціоналу Ляпу-
нова V ( , , , ) ( , , , )tt y z h e t y z hγ≡ v легко довести нерівність
( V) ( , , , ) V ( , , , ) ( ) ( , , , ) 0tt y z h t y z h e t y z hγγ≤ + ≤Q Q v .
Звідки випливає
( ) ( )( ){ }1 ( )
0 1v ( , , ) , , , , , ,kt
k k k khy z h e t y z g t y z hγ η− Δ
+≤ + −E vL
( ) ( )1, , , ( 1) , , , 0k kt y z h e t y z hγ− Δ− ≤ − ≤v v .
Скориставшись означенням асимптотичної стохастичної стійко-
сті в цілому з останньої нерівності випливає доведення теореми 3. ■
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
157
Доведемо збереження властивостей експоненціальної p -стійкості.
Теорема 4. Нехай: 1) для імпульсної незбуреної системи (8)-(9) при
p 0> , 0, 1, 4ic i> = ∃ функціонал Ляпунова ( ), ,k y z hv такий, що
( )1 2, ,p p
kc z y z h c z≤ ≤v , (24)
( )( ) 3, , p
k y z h c z≤ −vL , (25)
( ) ( )1 2 1 2
4, , , ,
p
k ky z h y z h c z z− ≤ −v v ,
k∀ ∈N , y∈Y , h∈H , z∈D ; (26)
2) ( )1sup , 0k k
k
t t+
∈
− ≤ Δ Δ >
N
;
3) збурення 1a й 1g задовольняють рівномірно за t умову рів-
номірної обмеженості ( ) ( )1 1 1, , , , , ,a t y x z g t y x h z+ ≤ Λ , де 1Λ –
досить мале додатне число. Тоді збурена імпульсна система (6)-(7)
експоненціально p -стійка в цілому.
Доведення. Подамо розв’язок ( )x t цієї системи на 1[ , )k kt t+ у
формі
( ) ( ) ( )x t x t x t= + Δ , де ( ) ( ) ( )x t x t x tΔ = − . (27)
Обчислимо дискретний оператор Ляпунова з огляду на (27):
( ) ( ){ }1 1
( )
1 1 1 1, ,( , , ) ( ), , ( , , )k
k k
t
k k k t t k ky z hy z h t x x y z hξ η
+ ++ + += + Δ − ≤Ev v vL
( ) { }1
( )
4 , ,( , , ) k
k
pt
k ty z hy z h c x
+
≤ + Δ ≤EvL (28)
( ) ( ){ }1 1
( )
3 4 , , , , , , , ,k
k k
pp t
t k t ky z hc z c x t y z h x t y z h
+ +
≤ − + −E .
Для всіх 1[ , )k kt t t+∈ для різниці розв’язків систем (6) і (8) з од-
наковими початковими даними
k kt tx x z= = одержимо нерівність
( )
1 1
1( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
k k
k k
t t
t t
x t x t x s x s ds x s ds
+ +
− ≤ Λ + − + Λ ≤∫ ∫
( ) ( ) ( )( )
1
1
1 11 ( ) ( )
k
k k
k
t
C t t
k k
t
x s x s ds t t x e
+
+Λ+ −
+≤ Λ + − + Λ −∫ .
Звідки за лемою Гронуолла маємо
1
2( 1)
1sup
k k
t t
t t t
x x z e
+
Λ+ Δ
≤ ≤
− ≤ Λ Δ .
Математичне та комп’ютерне моделювання
158
Далі, в момент стрибка за умови
k kt tx x z= = , отримаємо
1 1 01 1 1 1( ) ( ) ( ) ( , ( ), ( )k k k k k kx t x t x t g t t x tξ+ + + + + +− ≤ + +
1 1 0 11 1 1 1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1 1 1
( , ( ), ( ), )) ( ) ( , ( ), ( ), )
( , ( ), ( ), ) ( , ( ), ( ), )
k kk k k k k k k
k kk k k k k k
g t t x t x t g t t x t
g t t x t g t t x t
ξ η ξ η
ξ η ξ η
+ ++ + + + + + +
+ ++ + + + + +
+ − − −
− + ≤
( )
( )
1 11 1
2( 1)
1 1
1 ( ) ( )
1 (1 ) .
k kx t x t x e
x e
ΛΔ
+ +
Λ+ Δ
≤ + Λ + Λ − + Λ ≤
≤ Λ + Δ + Λ + Λ
Аналогічно можна одержати оцінку
( )2( 1)
1 11 (1 )
k kt tx x z e Λ+ Δ− ≤ Λ + Δ + Λ + Λ .
При досить малому 1 0Λ > з (28) маємо ( ) 3
2
( , , ) p
k
c
y h z
c
φ ≤ −vL .
За означенням експоненціальної p -стійкості випливає доведення. ■
Список використаних джерел:
1. Королюк В. С. Устойчивость динамических систем с последействием с
учетом марковских возмущений / В. С. Королюк, В. И. Мусуривский,
И. В. Юрченко // Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 6. —
C. 134–146.
2. Королюк В. С. Стабилизация импульсных динамических систем с конеч-
ным последействием при наличии марковских параметров. Часть І /
В. С. Королюк, В. И. Мусуривский, В. К. Ясинский // Проблемы управле-
ния и информатики. — 2008. — № 1. — С. 16–35.
3. Дынкин Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин. — М. : Физматгиз,
1963. — 859 с.
4. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов : в 2-х т. /
Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. — М. : Наука «Физматлит», 1994. — Т. 1. —
544 с.
5. Царьков Е. Ф. Квазилинейные стохастические функционально-дифферен-
циальные уравнения / Е. Ф. Царьков, В. К. Ясинский. — Рига : Ориентир,
1992. — 328 с.
The problem of creation of impulse dynamical system with continous
behind in the consideration of Markoff disturbance is considered by the ar-
ticle. This system of odd structure must be asymptotically stable by the
probability and provide preassigned optimivity of a transient process.
Key words: stability, impulse dynamical system, system odd structure,
process of Markoff, continuous behind.
Отримано: 27.04.2010
|