Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь в умовах спряження....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18628 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 165-179. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18628 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186282011-04-07T12:04:19Z Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження Пилипюк, Т.М. Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь в умовах спряження. The method of delta-like sequences (Cauchy kernel) introduces hybrid integral transformation of Legendre–Bessel–Fourier series in polar axis with two point of interface with the assumption that the spectral parameter is involved in conjugation. 2010 Article Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 165-179. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18628 517.91:532.26 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь в умовах спряження. |
| format |
Article |
| author |
Пилипюк, Т.М. |
| spellingShingle |
Пилипюк, Т.М. Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Пилипюк, Т.М. |
| author_sort |
Пилипюк, Т.М. |
| title |
Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження |
| title_short |
Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження |
| title_full |
Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження |
| title_fullStr |
Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження |
| title_full_unstemmed |
Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження |
| title_sort |
гібридне інтегральне перетворення типу лежандра–бесселя–фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18628 |
| citation_txt |
Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є на полярній осі із спектральним параметром в умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 165-179. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT pilipûktm gíbridneíntegralʹneperetvorennâtipuležandrabesselâfurênapolârníjosíízspektralʹnimparametromvumovahsprâžennâ |
| first_indexed |
2025-07-02T19:35:31Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:35:31Z |
| _version_ |
1836565064219361280 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
165© Т. М. Пилипюк, 2010
УДК 517.91:532.26
Т. М. Пилипюк, викладач
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієн-
ка, м. Кам’янець-Подільський
ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ
ЛЕЖАНДРА–БЕССЕЛЯ–ФУР'Є НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ ІЗ
СПЕКТРАЛЬНИМ ПАРАМЕТРОМ В УМОВАХ СПРЯЖЕННЯ
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) за-
проваджено гібридне інтегральне перетворення типу Лежанд-
ра–Бесселя–Фур'є на полярній осі з двома точками спряження
в припущенні, що спектральний параметр бере участь в умо-
вах спряження.
Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, гі-
бридне інтегральне перетворення, ядро Коші, функції впливу,
спектральна функція, спектральна щільність, основна то-
тожність.
Вступ. Вивчення фізико-технічних характеристик композитних
матеріалів, які знаходяться в різних умовах експлуатації, математич-
но приводить до задачі інтегрування сепаратної системи диференціа-
льних рівнянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі.
Одним із ефективних методів одержання інтегрального зображення
аналітичного розв'язку таких задач є метод гібридних інтегральних
перетворень, започаткованих в роботі [1]. Основні положення теорії
гібридних інтегральних перетворень (ГІП) закладено в роботі [2]. Ця
стаття присвячена запровадженню одного з типів ГІП із спектраль-
ним параметром в умовах спряження.
Основна частина. Запровадимо методом дельта-подібної послі-
довності (ядро Коші) інтегральне перетворення, породжене на мно-
жині { }2 1 1 2 2: (0, ) ( , ) ( , )I r r R R R R+ = ∈ ∪ ∪ ∞ гібридним диференціа-
льним оператором (ГДО)
2
( ) 2 2 2
, 1 1 ( ) 1 2 2 , 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,dM r R r a r R R r a B r R a
dr
μ
υ α μ υ αθ θ θ θ θ= − Λ + − − + − (1)
де ( )xθ — одинична функція Гевісайда [4]; 2 0, 1,3ja j> = .
У рівності (1)
2
2
d
dr
— диференціальний оператор Фур'є,
2 22
1 2
( ) 2
1 1
4 2 1 1
d dcthr
dr chr chrdrμ
μ μ⎛ ⎞
Λ = + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
— узагальнений дифе-
Математичне та комп’ютерне моделювання
166
ренціальний оператор Лежандра [5],
2
, 2
2 1d dB drdr rυ α
α +
= + −
2 2
2r
υ α−
− — узагальнений диференціальний оператор Бесселя [6];
1
2υ α≥ > − , 1 2μ μ≥ , 1 2( ) ( , )μ μ μ= .
Означення. Областю визначення ГДО ( )
,vM μ
α назвемо множину
G вектор-функцій 1 2 3( ) { ( ); ( ); ( )}g r g r g r g r= з такими властивостями:
1) вектор-функція { }( ) 1 , 2 3( ) [ ( )]; [ ( )]; ( )f r g r B g r g rμ υ α ′′= Λ непере-
рвна на множині 2I + ;
2) функції ( )jg r задовольняють умови спряження
1 1 2 2 1( ) ( ) 0, , 1, 2;k k k k
j j k j j k
r Rk
d dg r g r j k
dr dr
α β α β +
=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(2)
3) існують такі числа 1γ та 2γ , що справджуються умови обме-
ження
1 2
1 30
lim ( ) 0, lim ( ) 0.
r r
r g r r g rγ γ
→ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3)
У рівностях (2) беруть участь величини
2 2 2 2 2( ), ( ); 0k k k k k k
jm jm jm jm jm jmα α δ β γ β β γ β γ γ= − + = − + ≥ .
В подальшому будемо припускати виконання умов на коефіціє-
нти:
0,k
jmα ≥ 0,k
jmβ ≥ 0,k
jmδ ≥ 0,k
jmγ ≥ 11, 21, 0,k kc c⋅ >
1, 2 1 1 2 ;k k k k
j k j j j jc α β α β= − 2, 2 1 1 2 0;k k k k
j k j j j jc δ γ δ γ≡ − =
1 2 2 1 1 2 2 1 ;k k k k k k k k
j j j j j j j jα γ α γ β δ β δ− = − , , 1,2.j m k =
Введемо до розгляду числа
11 11 22 21 12 ,k k k k ka α α α α= − 21 11 22 21 12 ,k k k k ka β α β α= −
12 11 22 21 12 ,k k k k ka α β α β= − 22 11 22 21 12.k k k k ka β β β β= −
Безпосередньо встановлюємо, що
11 21 21 11 11, ,k k k k
kcα β α β− = − 12 22 22 12 21, ;k k k k
kcα β α β− = −
22 11 12 21 11, 21, .k k k k
k ka a a a c c− = ⋅
Для ( )u r G∈ та ( )v r G∈ внаслідок умов спряження встановлю-
ємо базову тотожність:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
167
21,
1 1 1 1
11,
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( ) ( ) ( )] .
k
k
k k k k r R
k
k k k k r R
k
u r v r u r v r
c
u r v r u r v r
c
=
+ + + + =
′ ′− =⎡ ⎤⎣ ⎦
′ ′= −
(4)
Визначимо величини
2 1 2
11,1 11,2 1 1
1 2 1
21,1 21,2 12
,
c c R a
c c shRR
α
ασ
+ −
+
=
2
11,2 2
2 2 1
21,2 2
,
c a
c R ασ
−
+
= 2
3 3 ,aσ −=
вагову функцію
2 1
1 1 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r R r shr r R R r r r Rασ θ θ σ θ θ σ θ σ+= − + − − + − (5)
та скалярний добуток
( )
1
2
1 2
1 1 1
0 0
2 1
2 2 2 3 3 3
( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
R
R
R R
u r v r u r v r r dr u r v r shrdr
u r v r r dr u r v r drα
σ σ
σ σ
∞
∞
+
= ≡ +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
(6)
Методом інтегрування два рази частинами під знаком інтегралів
з використанням базової тотожності та структури 1 2 3, ,σ σ σ одержу-
ємо, що
( ) ( )( ) ( )
, ,[ ], ( ) ( ), [ ] .M u v r u r M vμ μ
υ α υ α= (7)
Рівність (7) означає, що ГДО ( )
,M μ
υ α є самоспряженим. Отже, йо-
го спектр дійсний. Оскільки ГДО ( )
,M μ
υ α має на множині 2I + одну осо-
бливу точку r = ∞ , то його спектр неперервний. Можна вважати, що
спектральний параметр (0, )β ∈ ∞ . Йому відповідає дійсна спектра-
льна вектор-функція
( )( )
, 1 , ;1
( ) ( )
1 2 2, ;2 , ;3
( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
V r r R r V r
r R R r V r r R V r
μμ
υ α υ α
μ μ
υ α υ α
β θ θ β
θ θ β θ β
= − +
+ − − + −
При цьому функції ( )
, ; ( , )jV rμ
υ α β повинні задовольняти відповідно
диференціальні рівняння
( ) ( )2
( ) 1 1, ;1( , ) 0, (0, ),b V r r Rμ
μ υ α βΛ + = ∈
( ) ( )2
, 2 1 2, ;2 ( , ) 0, ( , ),B b V r r R Rμ
υ α υ α β+ = ∈ (8)
2
( )2
3 2, ;32 ( , ) 0, ( , ),d b V r r R
dr
μ
υ α β
⎛ ⎞
+ = ∈ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Математичне та комп’ютерне моделювання
168
умови спряження (2) та умови обмеження (3); 2 2 2 2( )j j jb a kβ−= + ,
2 0jk ≥ , 1,3j = .
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів-
няння Лежандра ( )2
( ) 1 0b vμΛ + = складають функції *
1
( )
1 ( )v P chrμ
υ
= та
*
1
( )
2 ( )v L chrμ
υ
= , *
1 11 2 ( )ibυ β= − + [5]; фундаментальну систему розв'я-
зків для диференціального рівняння ( )2
, 2 0B b vυ α + = складають фун-
кції Бесселя 1 , 2( )v J b rυ α= та 2 , 2( )v N b rυ α= [6]; фундаментальну
систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є
2 2
32( ) 0d b v
dr
+ = складають тригонометричні функції 1 3cosv b r= та
2 3sinv b r= [4].
Якщо в силу лінійності задачі (8), (2), (3) покласти
* *
1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1, ;1( , ) ( ) ( ), (0, ),V r A P chr B L chr r Rμ μ μ
υ α υ υ
β = + ∈
( )
2 , 2 2 , 2 1 2, ;2 ( , ) ( ) ( ), ( , ),V r A J b r B N b r r R Rμ
υ α υ αυ α β = + ∈ (9)
( )
3 3 3 3 2, ;3 ( , ) cos sin , ( , )V r A b r B b r r Rμ
υ α β = + ∈ ∞ ,
то умова обмеження в точці 0r = вимагає, щоб 1 0.B = Умови спря-
ження (2) для визначення величин 1 2 3 2 3, , , ,A A A B B дають алгебраїчну
систему з чотирьох рівнянь:
*
1
11 12 11
, ; 2 2 1 2 , ; 2 2 1 2 1 1; 1
21 22 21 22
, ; 1 2 2 2 , ; 1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) 0,
1, 2.
j j j
j j j j
u b R A u b R B Z chR A
u b R A u b R B v b R A v b R B
j
υ α υ α α
υ α υ α
+ =
+ − − =
=
(10)
Алгебраїчна система (10) завжди сумісна [7]. Вважаючи 1 0A ≠
довільним, з перших двох рівнянь системи (10) знаходимо, що
*
1
*
1
( ),111 12
2 1 1 , ;22 2 1;11
( ),11 12
1 , ;12 2 1;21
[ ( )] ( ) ( )
( ) ( ) ,
A A q Z chR u b R
Z chR u b R
μ
α υ αυ
μ
υ αυ
β − ⎡= −⎢⎣
⎤− ⎥⎦
(11)
* *
1 1
( ),11 ( ),111 11 11
2 1 1 , ;12 2 1 1 , ;22 2 1;21 ;11
[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )B A q Z chR u b R Z chR u b Rμ μ
α υ α υ αυ υ
β − ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
,
( ) 12 2 1
21,1 2 1( ) 2q c b Rα α
α β π
−+= .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
169
При визначених вже 2 2,A B розглянемо систему стосовно
3 3,A B :
21 22 21 22
2 3 2 3 2 3 2 3 , ; 1 2 2 2 , ; 1 2 2 2
1 ( )
1 , ;
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] ( ), 1, 2.
j j j j
j
v b R A v b R B u b R A u b R B
A q a j
υ α υ α
μ
α υ αβ β−
+ = + ≡
≡ =
Звідси знаходимо за правилами Крамера [7], що
( ) ( )
3 3 1 21,2 3, ;2 , ;1
( ) 2 ( ) 2( )
, ; 3 2 3 2, ;1 22 , ;2 12
( ), ( ), ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2.j j
j
A B A q c b
a v b R a v b R j
μ μ
αυ α υ α
μ μμ
υ α υ α υ α
ω β ω β β β
ω β β β
= = − =
= − =
(12)
Підставивши визначені величини А2, В2 згідно формул (11) та А1,
А3, В3 згідно формул (12) у рівності (9), маємо функції ( )
, ; ( , )jV rμ
υ α β
(компоненти вектор-функції ( )
, ( , )V rμ
υ α β ):
*
1
( ) ( )
21,2 3, ;1( , ) ( ) ( ) ( )V r c b q P chrμ μ
αυ α υ
β β β= ,
*
1
*
1
( ) ( ),11 1
21,2 3 1 , ;12 2 1 2, ;2 ;21
( ),11 1
1 , ;22 2 1 2;11
( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( , ) ,
V r c b Z chR b R b r
Z chR b R b r
μ μ
υ αυ α υ
μ
υ αυ
β β ψ
ψ
⎡= −⎢⎣
⎤− ⎥⎦
(13)
( ) ( ) ( )
3 3, ;3 , ;2 , ;1( , ) ( ) cos ( )sinV r b r b rμ μ μ
υ α υ α υ αβ ω β ω β= − .
У рівностях (10)–(13) беруть участь функції:
* *
1 1
( );11 ( )1 1
1 1 1; 1
1
( ) ( )j jj
dZ chR P chr
r Rdr
μ μ
υ υ
α β⎛ ⎞= +⎜ ⎟ =⎝ ⎠
;
1 2
, ; 2 , 2 2 1, 1 2( ) ( ) ( )m m m m
jk m jk jk m jk m m
m
u b R J b R b R J b R
Rυ α υ α υ α
υ αα β α + +
⎛ ⎞−
= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
2 2
, ; 2 , 2 2 1, 1 2( ) ( ) ( )m m m m
jk m jk jk m jk m m
m
u b R N b R b R N b R
Rυ α υ α υ α
υ αα β α + +
⎛ ⎞−
= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
11 22 12 21
, ; 2 1 2 2 , ; 2 2 1 , ; 1 2 2 , ; 2 2 1 , ; 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )jk j k j kb R b R u b R u b R u b R u b Rυ α υ α υ α υ α υ αδ = − ,
* *
1 1
( );11 ( );11( )
, ; 1 , ;1 2 1 2 2 1 , ;2 2 1 2 2;21 ;11
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ),j j ja Z chR b R b R Z chR b R b Rμ μμ
υ α υ α υ αυ υ
β δ δ= −
1 11 12
, ; 2 2 1 2 , ; 2 2 1 , 2 , ; 2 2 1 , 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )j j jb R b r u b R N b r u b R J b rυ α υ α υ α υ α υ αψ = − ;
21 2 2 2 2
2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2
( ) cos sin cosj j j j jr R
dv b R b r b b R b R
dr
α β α β
=
⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
22 2 2 2 2
2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2
2
( ) sin cos sinj j j j jr R
dv b R b r b b R b R
dr
α β α β
=
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Математичне та комп’ютерне моделювання
170
Введемо до розгляду спектральну щільність
12 2( ) ( )( ) 1
, 3 , ;1 , ;2( ) [ ( )] ( ) ( )b μ μμ
υ α υ α υ αβ β β ω β ω β
−
− ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
. (14)
Наявність вагової функції ( )rσ , спектральної функції ( )
, ( , )V rμ
υ α β та
спектральної щільності ( )
, ( )μ
υ α βΩ дозволяє запровадити пряме ( )
,H μ
υ α та
обернене ( )
,H μ
υ α
− гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на
множині 2I + ГДО ( )
,M μ
υ α , визначеного рівністю (1) [8]: для ( )g r G∈
( ) ( )
, ,
0
[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ),H g r g r V r r dr gμ μ
υ α υ α β σ β
∞
= ≡∫ (15)
( ) ( ) ( )
, , ,
0
2[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ).H g g V r d g rμ μ μ
υ α υ α υ αβ β β β β
π
∞
− = Ω ≡∫ (16)
Математичним обґрунтуванням формул (15), (16) є твердження.
Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо функція
1/2
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ),f r r R r shr r R R r r r R g rαθ θ θ θ θ+⎡ ⎤= − + − − + − ⋅⎣ ⎦
неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині
(0, )∞ , то для будь-якого 2r I +∈ справджується інтегральне зобра-
ження
( ) ( ) ( )
, , ,
0 0
2( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) .g r g V d V r dμ μ μ
υ α υ α υ αρ ρ β σ ρ ρ β β β
π
∞ ∞⎛ ⎞
= Ω⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ (17)
Доведення теореми виконаємо методом дельта-подібної послі-
довності — ядро Коші: фундаментальна матриця розв'язків задачі
Коші для сепаратної системи рівнянь з частинними похідними пара-
болічного типу [9], породженої ГДО ( )
,M μ
υ α .
Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області
{ }2 2( , ) : (0, );D t r t r I+ += ∈ ∞ ∈ розв'язку сепаратної системи дифере-
нціальних рівнянь параболічного типу [9]
2 21
1 1 1 ( ) 1 1[ ] 0, (0, )
u
u a u r R
t μγ
∂
+ − Λ = ∈
∂
,
2 22
2 2 2 , 2 1 2[ ] 0, ( , ),
u
u a B u r R R
t υ αγ
∂
+ − = ∈
∂
(18)
2
2 23 3
3 3 3 22 0, ( , )
u u
u a r R
t r
γ
∂ ∂
+ − = ∈ ∞
∂ ∂
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
171
з початковими умовами
0 2( , ) ( ), , 1,3j t ju t r g r r I j+
= = ∈ = (19)
та умовами спряження
1 1 1 1 2 2
2 2 1
( , )
( , ) 0, , 1,2.
k k k k k k
j j j j k j j
k k
j j k
k
u t r
t r t t r
u t r j k
r Rt
α δ β γ α δ
β γ +
⎧⎡ ⎤ ⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + + − + +⎨⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎣ ⎦ ⎣⎩
⎫∂ ⎤+ + = =⎬⎥ =∂ ⎦ ⎭
(20)
Нехай вектор-функція { }1 2 3( , ) ( , ); ( , ); ( , )u t r u t r u t r u t r= є оригіна-
лом за Лапласом стосовно t [10]. У зображенні за Лапласом параболіч-
ній задачі (18)-(20) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на
множині 2I + розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних
рівнянь Лежандра, Бесселя та Фур'є для модифікованих функцій
( )2 *
( ) 1 1 1 1( , ) ( ), (0, )q u p r g r r RμΛ − = − ∈ ,
( )2 *
, 2 2 2 1 2( , ) ( ), ( , )B q u p r g r r R Rυ α − = − ∈ , (21)
2
2 *
3 3 3 22 ( , ) ( ), ( , )d q u p r g r r R
dr
⎛ ⎞
− = − ∈ ∞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
з умовами спряження
* *
1 1 2 2 1( , ) ( , ) 0,
, 1,2.
k k k k
j j k j j k r Rk
d du p r u p r
dr dr
j k
α β α β + =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
=
(22)
У системі (21) 1 1/2( )j j jq a p γ−= + , *
0
( , ) ( , ) pt
j ju p r u t r e dt
∞
−= ∫ ,
k k k
jm jm jm pα α δ= + , k k k
jm jm jm pβ β γ= + , Re 0jq > , 2 ( )j j jg a g r−= .
Ми вважаємо, що числа
1 1 2 1 2 1( ) ( ) [ ( ) ( )] 0k k k k
jk j k k j k k j k k j k kg R g R g R g Rψ δ γ δ γ+ +′ ′≡ + − + = .
Якщо це не так, то переходимо до нових початкових даних
1 1 1( )g g r b= − , 2 2 2 2( ) ( )g g r a r b= − + , 3 3 3( )g g r b= − і числа 1 2 3, ,b b b
та 2a знаходимо із системи
( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 1
1 3
,
0.
k k k k k k
j k j k j k j k j k j k jkR a b R a b
a a
γ δ γ γ δ γ ψ+ +
⎡ ⎤+ + − + + =⎣ ⎦
= =
.
Математичне та комп’ютерне моделювання
172
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів-
няння Лежандра ( )2
( ) 1 0q vμΛ − = утворюють функції
1
( )
1 ( )v P chrμ
υ=
та
1
( )
2 ( )v L chrμ
υ= , 1 11 2 qυ = − + [5]; фундаментальну систему розв'яз-
ків для диференціального рівняння Бесселя ( )2
, 2 0B q vυ α − = утворю-
ють функції 1 , 2( )v I q rυ α= та 2 , 2( )v K q rυ α= [6]; фундаментальну
систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є
( )2 2
32 0d q v
dr
− = утворюють функції 1 3 2exp[ ( )]v q r R= − та
2 3 2exp[ ( )]v q r R= − − [4].
Наявність фундаментальної системи розв'язків дає можливість
побудувати розв'язок крайової задачі (21), (22) методом функцій Ко-
ші [3, 4]:
1
1
( )* *
1 1 1 1
0
( , ) ( ) ( , , ) ( )
R
u p r A P chr E p r g sh dμ
υ ρ ρ ρ ρ= + ∫ ,
2
1
* * 2 1
2 2 , 2 2 , 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( )
R
R
u p r A I q r B K q r E p r g dα
υ α υ α ρ ρ ρ ρ+= + + ∫ , (23)
3 2
2
( )* *
3 3 3 3( , ) ( , , ) ( )q r R
R
u p r B e E p r g dρ ρ ρ
∞
− −= + ∫ .
У рівностях (23 ) *( , , )jE p r ρ — функції Коші [3,4]:
* *
0 0( , , ) ( , , ) 0j r j rE p r E p rρ ρρ ρ= + = −− =
* *
0 0
( , , ) ( , , ) 1
( )
j j
r r j
dE p r dE p r
dr dr rρ ρ
ρ ρ
ϕ= + = −
− = − , (24)
2 1
1 2 3( ) , ( ) , ( ) 1sh αϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ+= = = .
Безпосередньо можна переконатися, що за функції Коші можна
взяти функції:
1
1 1
1 1
( ) 1*
1 ( ),11
1;11
( ) ( ),1
1 1;11
( ) ( ),1
1 1;11
( )
( , , )
( )
( ) ( , ), 0
( ) ( , ), 0
B q
E p r
Z chR
P chr F chR ch r R
P ch F chR chr r R
μ
μ
υ
μ μ
υ υ
μ μ
υ υ
ρ
ρ ρ
ρ ρ
= ×
⎧ < < <⎪×⎨
< < <⎪⎩
, (25)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
173
2
* 2
2
, ;11 2 1 2 2
1* 2*
, ;12 2 1 2 , ;11 2 2 2 1 2
1* 2*
, ;12 2 1 2 , ;11 2 2 2 1 2
( , , )
( , )
( , ) ( , ),
( , ) ( , ),
q
E p r
q R q R
q R q r q R q R r R
q R q q R q r R r R
α
υ α
υ α υ α
υ α υ α
ρ
ρ ρ
ρ ρ
= ×
Δ
⎧Ψ Ψ < < <⎪×⎨
Ψ Ψ < < <⎪⎩
(26)
3 2
3 2
( ) 2
12 3 2 3 2*
3 2 2 ( ) 2
3 12 3 12 12 3 2 3 2
( , ),1( , , )
( ) ( , ),
q R
q r R
e q R q r R r
E p r
q q e q R q R r
ρ ρ
ρ
α β ρ ρ
− −
− −
⎧ Φ < < < ∞⎪= ⎨
− Φ < < < ∞⎪⎩
.(27)
У рівностях (25)–(27) беруть участь функції:
1 1
( );11 ( )1 1
1 1 1; 1
1
( ) ( )j jj
dZ chR P chr
r Rdr
μ μ
υ υα β⎛ ⎞= +⎜ ⎟ =⎝ ⎠
,
1 1
( );12 ( )1 1
1 1 1; 1
1
( ) ( )j jj
dZ chR L chr
r Rdr
μ μ
υ υα β⎛ ⎞= +⎜ ⎟ =⎝ ⎠
,
1 1 1 1 1
( );1 ( );11 ( ) ( );12 ( )
1 1 1;11 ;11 ;11( , ) ( ) ( ) ( ) ( )F chR chr Z chR L chr Z chR P chrμ μ μ μ μ
υ υ υ υ υ= − ,
1 2
, ; 2 , 2 2 1, 1 2( ) ( ) ( )m m m m
jk m jk jk m jk m m
m
U q R I q R q R I q R
Rυ α υ α υ α
υ αα β α + +
⎛ ⎞−
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
2 2
, ; 2 , 2 2 1, 1 2( ) ( ) ( )m m m m
jk m jk jk m jk m m
m
U q R K q R q R K q R
Rυ α υ α υ α
υ αα β α + +
⎛ ⎞−
= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
* 1 2
, ; 2 2 , ; 2 , 2 , ; 2 , 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m
jk m jk m jk mq R q r U q R K q r U q R I q rυ α υ α υ α υ α υ αΨ = − ,
11 22
, ; 2 1 2 2 , ; 2 2 1 , ; 1 2 2
12 21
, ; 2 2 1 , ; 1 2 2
( , ) ( ) ( )
( ) ( ), , 1, 2
jk j k
j k
q R q R U q R U q R
U q R U q R j k
υ α υ α υ α
υ α υ α
Δ = −
− =
2 2 2
2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2( , ) ( ) ( ); 1, 2j j jq R q r q chq r R shq r R jα βΦ = − − − = .
Умови спряження (22) для визначення величин 1 2 2 3, , ,A A B B да-
ють алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:
( )
1
( );11 11 12 *
1 1 , ; 2 2 1 2 , ; 2 2 1 2 2 12; 1
21 22 2 2 *
, ; 1 2 2 2 , ; 1 2 2 2 2 3 2 3 2 23
( ) ( ) ( ) , 1, 2;
( ) ( ) .
j j jj
j j j j j
Z chR A U q R A U q R B G j
U q R A U q R B q B G
μ
υ α υ αυ
υ α υ α
δ
α β δ
− − = =
+ + − =
(28)
У системі (28) беруть участь функції
1
1
1
( )*
* 11
12 1( );11
1 0 1;11
( )( )
( )
( )
R P chc p
G g sh d
shR Z chR
μ
υ
μ
υ
ρ
ρ ρ ρ= −∫
2
1
2**
, ;11 2 2 2 2 121
22 1
, ;11 2 1 2 21
( , )( )
( ) ,
( , )
R
R
q R qc p
g d
q R q RR
υ α α
α
υ α
ρ
ρ ρ ρ+
+
Ψ
−
Δ∫
Математичне та комп’ютерне моделювання
174
2
1
3 2
2
1**
, ;12 2 1 2* 2 112
23 22 1
, ;11 2 1 2 22
( )
*
22 32 2
12 3 12
( , )( )
( )
( , )
( ) ( ) ,
R
R
q R
R
q R qc p
G g d
q R q RR
ec p g d
q
υ α α
α
υ α
ρ
ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
α β
+
+
∞ − −
Ψ
= −
Δ
−
−
∫
∫
та символ Кронекера 2jδ ( 12 0δ = , 22 1δ = ) [7].
Введемо до розгляду функції:
1 1
( );11 ( );11( )
, ; 1 , ;2 2 1 2 2 1 , ;1 2 1 2 2;11 ;21( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ),j j jA p Z chR q R q R Z chR q R q Rμ μμ
υ α υ α υ αυ υ= Δ − Δ
( )
( )
2 2
, ; 12 3 12 , ; 2 2 1 2 2
2 2
22 3 22 , ; 1 2 1 2 2
( ) ( , )
( , ), 1,2,
j j
j
B p q q R q R
q q R q R j
υ α υ α
υ α
α β
α β
= − Δ −
− − Δ =
1
1
( ) ( );11 1*
1 , ;22 2 1 2, ;1 ;11
( );11 1*
1 , ;12 2 1 2;21
( , ) ( ) ( , )
( ) ( , ),
r p Z chR q R q r
Z chR q R q r
μ μ
υ αυ α υ
μ
υ αυ
Θ = Ψ −
− Ψ
( )
( )
2 2 2*
, ;2 12 3 12 , ;21 2 2 2
2 2 2*
22 3 22 , ;11 2 2 2
( , ) ( , )
( , ).
r p q q R q r
q q R q r
υ α υ α
υ α
α β
α β
Θ = − Ψ −
− − Ψ
Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності кра-
йової задачі (21), (22): для p isσ= + із 0Re p σ σ= > , де 0σ – абсци-
са збіжності інтегралу Лапласа, та Im ( , )p s= ∈ −∞ +∞ визначник ал-
гебраїчної системи (28)
( ) ( )
1 1
( );11 ( );11( )
, 1 , ;2 1 , ;1;11 ;21
( ) ( )2 2 2 2
12 3 12 22 3 22, ;2 , ;1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0.
p Z chR B p Z chR B p
q A p q A p
μ μμ
υ α υ α υ αυ υ
μ μ
υ α υ αα β α β
Δ ≡ − =
= − − − ≠
(29)
Визначимо породжені неоднорідністю системи (21) функції
впливу:
1 1
1 1
1
1
( ) ( ),1
, ;2 1;11( ) 1( )*
, ;11 ( ) ( ) ( ),1
, , ;2 1;11
( ),1
, ;1 1 1;21
( ),1
, ;1 1;21
( ) ( ) ( , )( )
( , , )
( ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( , ) , 0
( ) ( ,
P chr B p F chR chB q
H p r
p P ch B p F chR chr
B p F chR ch r R
B p F chR c
μ μ
υ αυ υμμ
υ α μ μ μ
υ α υ αυ υ
μ
υ α υ
μ
υ α υ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
⎧ ⎡ −⎣⎪= ⎨
Δ ⎡ −⎪ ⎣⎩
⎤− < < <⎦
− 1
,
) , 0hr r Rρ⎤ < < <⎦
1
*
( )* ( )21
, ;2, ;12 2 1 ( )
1 ,
( ) 1( , , ) ( ) ( , )
( )
c p
H p r P chr p
R p
μ μ
υ αυ α υα μ
υ α
ρ ρ
+
= Θ
Δ
,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
175
3 2
1
* *
( )( )* ( )21 22
, ;13 2 2 1 ( )
2 1 ,
( ) ( ) 1( , , ) ( )
( )
q Rc p c p
H p r P chr e
q R p
ρμ μ
υ α υα α μ
υ α
ρ − −
+
= −
Δ
,
1
*
( )* ( )11
, ;2, ;21 ( )
1 ,
( ) 1( , , ) ( ) ( , )
( )
c p
H p r P ch r p
shR p
μ μ
υ αυ α υμ
υ α
ρ ρ= Θ
Δ
, (30)
( )2
, ;2 1 2, ;1( )* 2
, ;22 ( ) ( )
, , ;2 1 2, ;1
( , ) ( , ),
( , , )
( ) ( , ) ( , ),
r p p R r Rq
H p r
p p r p R r R
μα
υ αυ αμ
υ α μ μ
υ α υ αυ α
ρ ρ
ρ
ρ ρ
⎧Θ Θ < < <⎪= ⎨
Δ Θ Θ < < <⎪⎩
,
3 2( )( )* ( )*
22, ;23 , ;1( )
,
1( , , ) ( ) ( , )
( )
q RH p r c p r p e
p
ρμ μ
υ α υ αμ
υ α
ρ − −= − ⋅Θ
Δ
,
3 2
1
* *
( )( )* ( )11 12
, ;31 2 2 1 ( )
2 2 ,
( ) ( ) 1( , , ) ( )
( )
q r Rc p c p
H p r P ch e
q R p
μ μ
υ α υα α μ
υ α
ρ ρ − −
+
= −
Δ
,
3 2
*
( )( )* ( )12
, ;32 , ;12 1 ( )
2 ,
( ) 1( , , ) ( , )
( )
q r Rc p
H p r p e
R p
μ μ
υ α υ αα μ
υ α
ρ ρ − −
+
= − ⋅Θ
Δ
,
3 2
3 2
( ) ( ) 2
12 3 2 3, ;2( )*
, ;33 ( ) ( ) ( ) 2
3 , 12 3 2 3, ;2
( ) 2
22 3 2 3 2, ;1
( ) 2
22 3 2 3 2, ;1
( ) ( , )1( , , )
( ) ( ) ( , )
( ) ( , ) ,
.
( ) ( , ) ,
q R
q r R
e A p q R q r
H p r
q p e A p q R q
A p q R q r R r
A p q R q R r
ρ μ
υ αμ
υ α μ μ
υ α υ α
μ
υ α
μ
υ α
ρ
ρ
ρ
ρ ρ
− −
− −
⎧ ⎡ Φ −⎪ ⎣= ⎨
Δ ⎡ Φ −⎪ ⎣⎩
⎤− Φ < < < ∞⎦
⎤− Φ < < < ∞⎦
Підставивши визначені із алгебраїчної системи (28) величини
1A , 2A , 2B , 3B у формули (23), маємо єдиний розв'язок крайової
задачі (21), (22):
1
2
1
2
( )**
1, ; 1
0
( )* 2 1
2, ; 2
( )*
3, ; 3
( , ) ( , , ) ( )
( , , ) ( )
( , , ) ( ) , 1,3.
R
j j
R
j
R
j
R
u p r H p r g sh d
H p r g d
H p r g d j
μ
υ α
μ α
υ α
μ
υ α
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
+
∞
= +
+ +
+ =
∫
∫
∫
(31)
Повертаючись в (31) до оригіналу, одержуємо єдиний розв'язок
параболічної задачі (18)–(20):
Математичне та комп’ютерне моделювання
176
1
2
1
2
( ) 2
1 1, ; 1
0
( ) 2 1 2
2 2, ; 2
( ) 2
3 3, ; 3
( , ) ( , , ) ( )
( , , ) ( )
( , , ) ( ) , 1,3.
R
j j
R
j
R
j
R
u t r H t r g sh d a
H t r g d a
H t r g d a j
μ
υ α
μ α
υ α
μ
υ α
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
−
+ −
∞
−
= ⋅ +
+ +
+ =
∫
∫
∫
(32)
У рівностях (32) за означенням [10]
0
0
( ) ( )*
, ; , ;
1( , , ) ( , , ) , , 1,3.
2
i
pt
jk jk
i
H t r H p r e d j k
i
σ
μ μ
υ α υ α
σ
ρ ρ ρ
π
+ ∞
− ∞
= =∫ (33)
Особливими точками функцій впливу ( )*
, ; ( , , )jkH p rμ
υ α ρ є точки
галуження 2 ( 1,3)jp jγ= − = та p = ∞ . Метод контурного інтегралу
в поєднанні з теоремою Коші та лемою Жордана [10] приводить фор-
мули (33) до розрахункових:
( ) 2 2
( )
, ;
( )* 2 2 ( )
, ;
0
( , , )
2 Im ( ), , ;
, 1,3.
jk
i t
jk
H t r
H e r e d
j k
μ
υ α
μ π β γ
υ α
ρ
β γ ρ β β
π
∞
− +
=
⎡ ⎤= − +
⎣ ⎦
=
∫ (34)
Тут Im( ) означає уявну частину виразу ( ) ,
{ }2 2 2 2
1 2 3max ; ;γ γ γ γ= .
Виконавши зазначені у формулах (34) операції, знаходимо, що
2 2
( )
, ;
( )( ) ( ) ( ) 2
, ; ,, ;
0
( , , )
2 ( , ) ( , ) ( ) ;
, 1,3
jk
t
j k kk
H t r
e V r V d a
j k
μ
υ α
μβ γ μ μ
υ α υ αυ α
ρ
β ρ β β βσ
π
∞
− +
=
= Ω
=
∫ (35)
Розв'язок (32) параболічної задачі (18)–(20) набуває вигляду:
2 2
1
( ) ( )
, ;
0
( ) ( )
1 1 ,, ;1
0
2( , ) ( , )
( ) ( , ) ( )
t
j j
R
u t r e V r
g V sh d d
β γ μ
υ α
μ μ
υ αυ α
β
π
ρ ρ β σ ρ ρ β β
∞
− += ×
⎛ ⎞
⎜ ⎟× Ω +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
177
2 2
2
1
( ) ( )
, ;
0
( ) 2 1 ( )
2 2 ,, ;2
2 ( , )
( ) ( , ) ( )
t
j
R
R
e V r
g V d d
β γ μ
υ α
μ α μ
υ αυ α
β
π
ρ ρ β σ ρ ρ β β
∞
− +
+
+ ×
⎛ ⎞
⎜ ⎟× Ω +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
(36)
2 2
2
( ) ( )
, ;
0
( ) ( )
3 3 ,, ;3
2 ( , )
( ) ( , ) ( ) ; 1,3.
t
j
R
e V r
g V d d j
β γ μ
υ α
μ μ
υ αυ α
β
π
ρ ρ β σ ρ β β
∞
− +
∞
+ ×
⎛ ⎞
⎜ ⎟× Ω =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
Внаслідок властивостей ядра Коші як дельта-подібної послідов-
ності та початкових умов (19) отримуємо інтегральні зображення:
1
( ) ( ) ( )
1 1 1 ,, ;1 , ;1
0 0
2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
R
g r V r g V sh d dμ μ μ
υ αυ α υ αβ ρ ρ β σ ρ ρ β β
π
∞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= Ω
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ (37)
2
1
( ) ( ) 2 1 ( )
2 2 2 ,, ;2 , ;2
0
2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
R
R
g r V r g V d dμ μ α μ
υ αυ α υ αβ ρ ρ β σ ρ ρ β β
π
∞
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟= Ω
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ (38)
2
( ) ( ) ( )
3 3 3 ,, ;3 , ;3
0
2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) .
R
g r V r g V d dμ μ μ
υ αυ α υ αβ ρ ρ β σ ρ β β
π
∞ ∞⎛ ⎞
⎜ ⎟= Ω
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ (39)
Якщо помножити рівність (37) на 1( ) ( )r R rθ θ − , рівність (38) —
на 1 2( ) ( )r R R rθ θ− − , а рівність (39) — на 2( )r Rθ − і додати, то ма-
тимемо інтегральне зображення (17). Теорему доведено.
Зауваження 1. Якщо функція ( )g r кусково-неперервна, то в то-
чках розриву ( )g r треба замінити на 1 [ ( 0) ( 0)]2 g r g r− + + .
В основі застосування запровадженого формулами (15), (16) ГІП
знаходиться основна тотожність ГІП ГДО ( )
,M μ
υ α .
Визначимо величини та функції:
2 2 2 1
1 1 1 1 11,1 2 2 2 2 11,2: , :d a shR c d a R cασ σ += = ,
1
( )
1 1 1, ;1
0
( ) ( ) ( , ) ,
R
g g r V r shrdrμ
υ αβ β σ= ∫
2
1
( ) 2 1
2 2 2, ;2( ) ( ) ( , ) ,
R
R
g g r V r r drμ α
υ αβ β σ += ∫
Математичне та комп’ютерне моделювання
178
2
( )
3 3 3, ;3( ) ( ) ( , ) ,
R
g g r V r drμ
υ αβ β σ
∞
= ∫
( )( ), ( )
2 2, ; 2 , ; 1( ) ( , ) , , 1,2.
k
k k k
i i r Ri k
dZ V r i kdr
μ μ
υ α υ αβ α β β =+= + =
Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція
{ }( ) 1 , 2 3( ) [ ( )]; [ ( )]; ( )f r g r B g r g rμ υ α ′′= Λ неперервна на множині 2 ,I + а
функції ( )jg r задовольняють умови спряження
1 1 2 2 1( ) ( ) ,
, 1, 2
k k k k
j j k j j k jkr Rk
d dg r g r
dr dr
j k
α β α β ω+ =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
=
(40)
та умови обмеження (3), то справджується основна тотожність ГІП
ГДО ( )
,M μ
υ α :
3
( ) ( ) 2 2
, ,
1
2
( ), ( ),
2 1, ;12 , ;22
1
[ ( )] ( ) ( )
( ) ( ) .
j j
j
k k
k k k
k
H M g r g k g
d Z Z
μ μ
υ α υ α
μ μ
υ α υ α
β β β
β ω β ω
=
=
⎡ ⎤ = − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
∑
∑
(41)
Доведення тотожності (41) здійснюється за відомою схемою [8].
Зауваження 2. При 0m
jkδ = та 0m
jkγ = маємо звичайне (класич-
не) гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра–Бесселя–Фур'є
на полярній осі з двома точками спряження.
Висновок. Побудоване гібридне інтегральне перетворення по-
повнює множину ГІП із спектральним параметром та розширяє клас
задач математичної фізики неоднорідних середовищ, інтегральне зо-
браження точних аналітичних розв'язків яких можна одержати.
Список використаних джерел:
1. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их
приложениях к задачам математической физики / Я. С. Уфлянд // Вопро-
сы математической физики. — Л., 1976. — С. 93–106.
2. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд-
ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ.
думка, 2004. — 368 с.
3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
5. Конет І. М. Інтегральні перетворення типу Мелера–Фока / І. М. Конет,
М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 248 с.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
179© В. Б. Поселюжна, 2010
6. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с. (Пре-
принт / АН УССР. Ин-т математики; 83. 3).
7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. — М. : Наука, 1971. —
432 с.
8. Ленюк М. П. Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера–(Фур'є,
Бесселя) / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2009. — 76 с.
9. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с.
10. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного /
М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1987. — 688 с.
The method of delta-like sequences (Cauchy kernel) introduces hybrid
integral transformation of Legendre–Bessel–Fourier series in polar axis
with two point of interface with the assumption that the spectral parameter
is involved in conjugation.
Key words: hybrid differential operators, hybrid integral transform
kernel Cauchy function of, spectral function, spectral density, the main
identity.
Отримано 16.08.10
УДК 517.927
В. Б. Поселюжна, канд. фіз.-мат. наук
Чортківський інститут підприємництва і бізнесу Тернопільського
національного економічного університету, м. Чортків
ДО ПИТАННЯ ЗБІЖНОСТІ МОДИФІКОВАНОГО
КОЛОКАЦІЙНО-ІТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ
Розглядається питання застосування колокаційно-ітератив-
ного методу до розв’язування крайових задач для звичайних
диференціальних рівнянь з параметрами. Побудовано алго-
ритм методу, встановлено достатні умови його збіжності.
Ключові слова: крайова задача, диференціальні рівняння,
інтегральне рівняння, колокаційно-ітеративний метод.
Вступ. Математичними моделями різноманітних задач природо-
знавства та техніки, як відомо, є диференціальні, інтегральні чи інте-
гро-диференціальні рівняння та їх системи. В наш час привертають
до себе увагу дослідження крайових задач з параметрами та з імпуль-
сним впливом, узагальнені крайові задачі, інтегральні рівняння з об-
меженнями. Різним аспектам теорії цих задач присвячені праці
|