Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями
В работе рассматривается задача оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с интегральными краевыми условиями. На основе формулы приращение функционала найден явный вид градиента....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18633 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями / Я.А. Шарифов, Т.В. Ширинов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 201-213. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18633 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186332011-04-07T12:04:40Z Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями Шарифов, Я.А. Ширинов, Т.В. В работе рассматривается задача оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с интегральными краевыми условиями. На основе формулы приращение функционала найден явный вид градиента. In this work there is considered an optimal control problem for Goursat-Darboux systems with integral boundary conditions. The explicit form of the gradient is found on the basis of the formula of the functional increment and the necessary conditions of optimality are derived. 2010 Article Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями / Я.А. Шарифов, Т.В. Ширинов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 201-213. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18633 517.977.56 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматривается задача оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с интегральными краевыми условиями. На основе формулы приращение функционала найден явный вид градиента. |
| format |
Article |
| author |
Шарифов, Я.А. Ширинов, Т.В. |
| spellingShingle |
Шарифов, Я.А. Ширинов, Т.В. Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Шарифов, Я.А. Ширинов, Т.В. |
| author_sort |
Шарифов, Я.А. |
| title |
Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями |
| title_short |
Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями |
| title_full |
Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями |
| title_fullStr |
Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями |
| title_full_unstemmed |
Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями |
| title_sort |
градиент в задаче оптимального управления для систем гурса-дарбу с неклассическими условиями |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18633 |
| citation_txt |
Градиент в задаче оптимального управления для систем Гурса-Дарбу с неклассическими условиями / Я.А. Шарифов, Т.В. Ширинов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 201-213. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT šarifovâa gradientvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâsistemgursadarbusneklassičeskimiusloviâmi AT širinovtv gradientvzadačeoptimalʹnogoupravleniâdlâsistemgursadarbusneklassičeskimiusloviâmi |
| first_indexed |
2025-07-02T19:35:44Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:35:44Z |
| _version_ |
1836565077101117440 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
201© Я. А. Шарифов, Т. В. Ширинов, 2010
УДК 517.977.56
2BЯ. А. Шарифов1, канд. физ.-мат. наук,
3BТ. В. Ширинов2, канд. физ.-мат. наук
1 Институт кибернетики НАН Азербайджана, г. Баку
2 Азербайджанский технический университет, г. Баку
0BГРАДИЕНТ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ СИСТЕМ ГУРСА-ДАРБУ С НЕКЛАССИЧЕСКИМИ
УСЛОВИЯМИ
В работе рассматривается задача оптимального управления
для систем Гурса-Дарбу с интегральными краевыми условия-
ми. На основе формулы приращение функционала найден яв-
ный вид градиента.
Ключевые слова: оптимальное управление, система Гур-
са-Дарбу, формула приращения, градиент функционала, нело-
кальные условия.
Введение. В последние годы интенсивно исследуются дифферен-
циальные уравнения с нелокальными краевыми условиями. Нелокаль-
ными задачами принято называть такие задачи, в которых вместо клас-
сических краевых условий для дифференциальных уравнений в частных
производных задана определенная связь значений искомой функции на
границе области и внутри нее. Часто роль таких соотношений выполня-
ют условия, содержащие интегралы от искомого решения.
В книгах [1, 2] рассмотрены многочисленные примеры из био-
логии, социологии, сельского хозяйства, математические модели
описываются гиперболическими уравнениями с нелокальными усло-
виями. В работе [3] рассмотрена линейная гиперболическая система с
интегральными и многоточечными краевыми условиями и доказаны
необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач, а
также приведены конкретные процессы, математические модели опи-
сываются именно такими задачами. В [4] при выводе математической
модели изнашивающихся поверхностей также получены гиперболи-
ческие уравнения с неклассическими условиями. В работе [5] рас-
смотрено одномерное нелинейное гиперболическое дифференциаль-
ное уравнение с интегральными условиями. Краевые условия заданы
на характеристиках уравнения. Доказано существование и единст-
венности классического решения рассмотренной задачи. В работах
[6-10] рассмотрены линейные и квазилинейные гиперболические
уравнения с интегральными условиями и доказаны теоремы о суще-
ствовании и единственности классических решений. В работе [11]
рассмотрено одномерное линейное гиперболическое уравнение с ин-
Математичне та комп’ютерне моделювання
202
тегральными условиями. Применены методы Фурье и доказана тео-
рема существования и единственности классических решений. В ра-
ботах [12-14] также рассмотрены различные гиперболические урав-
нения с различными интегральными краевыми условиями. Таким
образом, из выше отмеченного следует, что потребность в гипербо-
лических уравнениях с нелокальными краевыми условиями возника-
ет в различных областях науки, техники и экономики. Поэтому воз-
никает вопрос об оптимальном управлении такими процессами.
Задачи оптимального управления с различными нелокальными
условиями изучены сравнительно мало. Различные задачи оптималь-
ного управления для гиперболических систем с различными нело-
кальными условиями рассмотрены в работах [15-19].
В данной работе рассмотрена нелинейная система гиперболиче-
ских уравнений на ограниченном прямоугольнике. Граничные условия
заданы на характеристиках гиперболической системы с помощью обык-
новенных дифференциальных уравнений. Для однозначной разрешимо-
сти дифференциальных уравнений на одной из характеристик заданы
интегральные условия. Управляющие параметры входят в правую часть
гиперболической системы и в граничные условия. Задачи оптимального
управления с такими краевыми условиями рассматриваются впервые.
Постановка задачи. Пусть некоторый управляемый объект опи-
сывается системой гиперболических уравнений
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 , , ,
, , , , , , , ,
y t s y t s y t s
f t s y t s u t s
t s t s
∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
п. в. ( ), ,t s Q∈ (1)
с начально-краевыми условиями
( ) ( ) ( )( ),0
, ,0 , ,
y t
t y t v t
t
ϕ
∂
=
∂
п. в. [ ]0, ,t T∈ (2)
( ) ( ) ( )( )0,
, 0, , ,
y s
s y s s
s
ψ ω
∂
=
∂
п. в. [ ]0, ,s l∈ (3)
( ) ( )
0
, 0 ,
T
n t y t dt c=∫ (4)
где ( ){ }, : 0 ,0Q t s t T s l= ≤ ≤ ≤ ≤ – заданный прямоугольник, , 0T l >
заданные числа; ( )1 2, ,.., ny y y y= – фазовые координаты;
( )1 2, ,.., ,ru u u u= ( )1 2, ,.., mv v v v= , ( )1 2, ,.., qω ω ω ω= – управляющие
параметры;
( ) ( ) ( )2, , ,
, ,
y t s y t s y t s
t s t s
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
– обобщенные производные
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
203
функции ( ),y y t s= по Соболеву; ( )1 2, ,.., ,nf f f f= ( )1 2, ,.., ,nφ φ φ φ=
( )1 2, ,.., nψ ψ ψ ψ= – заданные вектор-функции; ( )n t – n n× -мерная
матрица-функция, nc R∈ – заданный постоянный вектор.
Предполагается, что управления ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , ,w w t s u t s v t sω= =
выбирают из множества
,W U V= × ×Ω (5)
где ( )2 ,rU L Q⊆ [ ]( )2 0, ,mV L T⊆ [ ]( )2 0, .qL lΩ ⊆
Здесь использованы следующие обозначения: nR – n -мерное
эвклидово пространство, ( )2
rL A – пространство r -мерных вектор-
функций, измеримых и квадратично-суммируемых по Лебегу на
множество .A
Определение. Под решением задачи (1)-(4), соответствующему
управлению ,w W∈ понимается вектор-функция ( ), ;y y t s w= ∈
( )1,
2
nH Q∈ , обладающая обобщенной производной по Соболеву
( ) ( )
2
2
, ny t s
L Q
t s
∂
∈
∂ ∂
и удовлетворяющая дифференциальному уравне-
нию (1) и условиям (2), (3) почти всюду, а условию (4) в классиче-
ском смысле. Здесь ( )1,
2
nH Q – пространство Соболева n -мерных
вектор-функций (в дальнейшем будем опускать значки, указывающие
размерность вектор-функций), квадратично-суммируемых по Лебегу
на Q вместе со своими первыми обобщенными производными, т. е.
( ) ( ) ( ) ( )2
, ,
, , , .
y t s y t s
y t s L Q
t s
∂ ∂
∈
∂ ∂
Отметим, что из данного определе-
ния решение начально-краевой задачи (1)-(4) следует что, данное
обобщенное решение также принадлежит пространству ( ).nC Q (Че-
рез ( )nC Q обозначено пространство n -мерных вектор-функций не-
прерывных на прямоугольнике Q ).
Задача оптимального управления ставится следующим образом:
среди управлений ( ),w w t s W= ∈ требуется найти такое, чтобы ми-
нимизировать функционал
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1
, ,
, , , , , , , , ,
k
i i
iQ
y t s y t s
J w F t s y t s u t s dtds y t s
t s =
∂ ∂⎛ ⎞
= + Φ⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
∑∫∫ (6)
Математичне та комп’ютерне моделювання
204
где ( ), , , , ,F t s y p q u и ( )yΦ – скалярные функции; ( ), ,i it s 1,i k= –
произвольный набор точек из прямоугольника Q ; k – фиксирован-
ное натуральное число.
Заметим, что задачи оптимизации типа (1)-(6) представляют прак-
тический интерес. К настоящему времени существуют многочислен-
ные процессы, которые описываются с помощью гиперболических
систем уравнения: при исследовании процессов сорбции, десорбции,
сушки, трения, изнашивания и т.д. Условие (4) оправдывается тем, что
при моделировании конкретного процесса невозможно измерять неко-
торые характеристики (состояния) в характерной точке, а известно не-
которое среднее (интегральное) значение характеристики [5].
Сделаем следующие предположения относительно заданных
функций:
I. Пусть функции ( ), , , , ,f t s y p q u и ( ), , , , ,F t s y p q u для почти
всех ( ),t s Q∈ непрерывны по переменным ( ) 3, , , ,n ry p q u R R∈ × а
при каждом фиксированном ( ) 3, , , n ry p q u R R∈ × , измеримы по
( ),t s Q∈ .
II. Предполагается, что функция ( ), , , , ,f t s y p q u для почти всех
( ),t s Q∈ и для любого ( ) 3, , , n ry p q u R R∈ × имеет непрерывные про-
изводные по ( ) 3, , .ny p q R∈ При этом имеют место:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
1
2
, ,
, , , , , , , : ;
, ,
, , , , , , , : ;
y t s y t s
f y t s u t s H Q U L Q
t s
y t s y t sf y t s u t s H Q U L Q
y t s ∞
∂ ∂⎛ ⎞
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞∂
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2
, ,
, , , , , , , : ;
y t s y t sf y t s u t s H Q U L Q
p t s ∞
∂ ∂⎛ ⎞∂
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2
, ,
, , , , , , , : .
y t s y t sf y t s u t s H Q U L Q
q t s ∞
∂ ∂⎛ ⎞∂
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
III. Пусть для функции ( ), , , , ,f t s y p q u имеет место
( ) ( )2, ,0,0,0,0f t s L Q∈ .
IV. Функция ( ), , , , ,f t s y p q u удовлетворяет условию Липшица
по переменным ( ) 3, , , ,ny p q u R∈ т. е.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
205
( ) ( ), , , , , , , , , , ( ),f t s y p q u f t s y p q u k y y p p q q u u− ≤ − + − + − + −
для всех ( ) ( ) 3, , , , , , , n ry p q u y p q u R R∈ × .
V. Функция ( ), ,t y vϕ для почти всех [ ]0,t T∈ непрерывна по
( ), n my v R R∈ × и измерима по [ ]0,t T∈ при каждом фиксированном
( ), n ry v R R∈ × .
VI. Функция ( ), ,t y vϕ для почти всех [ ]0,t T∈ и для любого
( ), n ry v R R∈ × имеет непрерывные производные по y и при этом
( ) ( )( ) [ ]( ) [ ]( )
( ) ( )( ) [ ]( ) [ ]( )
2, ,0 , : 0, 0, ,
, ,0 , : 0, 0, .
y t v t C T V L T
y t v t C T V L T
y
ϕ
ϕ
∞
⋅ × →
∂
⋅ × →
∂
VII. Пусть для функции ( ), ,t y vϕ имеет место
( ) [ ]( )2,0,0 0, .t L Tϕ ∈
VIII. Функция ( ), ,t y vϕ удовлетворяет условию Липшица по пе-
ременным ( , ) ,n my v R R∈ × т.е.
( ) ( ), , , , ( ),t y v t y v L y y v vϕ ϕ− ≤ − + −
для всех ( ), ,t y v и ( ) [ ], , 0, n mt y v T R R∈ × × .
IX. Пусть функция ( ), ,s yψ ω для почти всех [ ]0,s l∈ непре-
рывна по ( ), .n qy R Rω ∈ ×
X. Функция ( ), ,s yψ ω для почти всех [ ]0,s l∈ и для любого
( ), n qy R Rω ∈ × имеет непрерывные производные по y и при этом
( ) ( )( ) [ ]( ) [ ]( )
( ) ( )( ) [ ]( ) [ ]( )
2, 0, , : 0, 0, ,
, 0, , : 0, 0, .
y s s C l L l
y s s C l L l
y
ψ ω
ψ ω ∞
⋅ ×Ω→
∂
⋅ ×Ω→
∂
XI. Пусть ( ) [ ]( )2,0,0 0,s L lψ ∈ .
XII. Функция ( ), ,s yψ ω удовлетворяет условию Липшица по
переменным ( , ) ,n qy R Rω ∈ × т.е.
( ) ( ), , , , ( ),s y s y N y yψ ω ψ ω ω ω− ≤ − + −
для всех ( ), ,s y ω и ( ) [ ], , 0, n qs y l R Rω ∈ × × .
Математичне та комп’ютерне моделювання
206
XIII. ( )n t матрица функция порядка n n× и ( ) [ ]( )0, ,ijn t L T∞∈
, 1,i j n= . Предполагается, что ( ) ( )
0
T
n T n t dt= ∫ невырожденная мат-
рица и, кроме того, ( ) ( )11 1
2L
TLT n T n t
∞
−⎛ ⎞+ ⋅ <⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
XIV. Функция ( )yΦ для любого ny R∈ имеет непрерывные
производные.
XV. Пусть скалярная функция ( ), , , , ,F t s y p q u для почти всех
( , )t s Q∈ и для любого ( , , , )y p q u ∈ 3n rR R× непрерывна по
, , ,y p q u ∈ 3n rR R× , а при фиксированном , , ,y p q u ∈ 3n rR R× имеет
непрерывные производные по ( , , ,y p q u ) и
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1
1
2 2
, ,
, , , , , , , : ;
, ,
, , , , , , , : ;
y t s y t s
F y t s u t s H Q U L Q
t s
y t s y t sF y t s u t s H Q U L Q
y t s
∂ ∂⎛ ⎞
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞∂
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
1
2 2
, ,
, , , , , , , : ;
, ,
, , , , , , , : ;
y t s y t sF y t s u t s H Q U L Q
p t s
y t s y t sF y t s u t s H Q U L Q
q t s
∂ ∂⎛ ⎞∂
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞∂
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 2
, ,
, , , , , , , : .
y t s y t sF y t s u t s H Q U L Q
u t s
∂ ∂⎛ ⎞∂
⋅ ⋅ × →⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Формула приращения функционала. Пусть ( ), ,w v uω= и
( ), ,w w v v u uω ω+ = + + + два допустимых управления, т.е. w и
.w w W V U+ ∈ = ×Ω× Решение задачи (1)-(4), соответствующее этим
управлениям обозначим через ( ) ( ), , ;y t s y t s w= и ( ) ( ), ,y t s y t s+ =
= ( ), ;y t s w w+ . Тогда согласно (6) для приращения функционала по-
лучается следующая формула:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1
, , ,
k
i i i i i i
i
J w w J w y t s y t s y t s
=
⎡ ⎤+ − = Φ + −Φ +⎣ ⎦∑
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
207
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ,
, , , , , ,
, ,
, , ,
Q
y t s y t s
F t s y t s y t s
t t
y t s y t s
u t s u t s
s s
⎡ ∂ ∂⎛
+ + +⎢ ⎜
∂ ∂⎢ ⎝⎣
∂ ∂ ⎞
+ + −⎟
∂ ∂ ⎠
∫∫
(7)
( ) ( ) ( ) ( )
, ,
, , , , , , ,
y t s y t s
F t s y t s u t s dtds
t s
∂ ∂⎛ ⎞ ⎤
− ⎜ ⎟ ⎥∂ ∂ ⎦⎝ ⎠
,
где ( ),y t s является решением следующей системы:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 , , , , ,
, , , , , , ,
, ,
, , , , , , , , , , п. в. ,
y t s y t s y t s y t s y t s
f t s y t s y t s
t s t t s s
y t s y t s
u t s u t s f t s y t s u t s t s Q
t s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛
= + + +⎜
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝
∂ ∂⎛ ⎞
+ − ∈⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
(8)
с начально-краевыми условиями
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) [ ]
,0
, ,0 ,0 ,
, ,0 , , п. в. 0, ,
y t
t y t y t v t v t
t
t y t v t t T
ϕ
ϕ
∂
= + + −
∂
− ∈
(9)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) [ ]
0,
, 0, 0, ,
, 0, , , п. в. 0, ,
y s
s y s y s s s
s
s y s s s l
ψ ω ω
ψ ω
∂
= + − −
∂
− ∈
(10)
( ) ( )
0
,0 0.
T
n t y t dt =∫ (11)
Для дальнейшего упрощения математических формул введем
обозначения:
( , )H t s = ( , , ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))y yH t s y t s t s t s t s u t s
t s
ψ∂ ∂
∂ ∂
,
( , ) ( , , ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))f f y yt s t s y t s t s t s u t s
y y t s
∂ ∂ ∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
и т.д.
Введем систему уравнений в вариациях:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ,
, , , ,
z t s f f zt s z t s t s t s
t s y p t
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,f z ft s t s t s u t s
q s q
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
п. в. ( ), ,t s Q∈ (12)
Математичне та комп’ютерне моделювання
208
( ) ( ) ( ) ( )
,0
( ) ,
z t
t z t t v t
t y v
ϕ ϕ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
п. в. [ ]0,t T∈ , (13)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,
,
z s
s z s s s
s y
ψ ψ ω
ω
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
п. в. [ ]0,s l∈ , (14)
( ) ( )
0
,0 0.
T
n t z t dt =∫ (15)
С помощью решений системы вариационных уравнений (12)-(15)
формулу приращения функционала (7) можно переписать в следую-
щем эквивалентном виде:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1
1
, , ,
( , ), , ( , ), ,
( , ), , ( , ), ,
, , , , , ,
k
i i i i
i
Q Q
Q Q
k
i i i i i i i i i i
i
J w w J w y t s z t s
y
F F zt s z t s dtds t s t s dtds
y p t
F z Ft s t s dtds t s u t s dtds
q s u
y t s y t s y t s y t s y t s
y
=
=
∂Φ
+ − = +
∂
∂ ∂ ∂
+ + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ + +
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤∂Φ
+ Φ + −Φ − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦
∑
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∑
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , , ,
, , , , ,
, , , , , , ,
Q
y yF t s y t s y t s t s t s
t t
y yt s t s u t s u t s
s s
F F yF t s t s y t s t s t s
y p t
⎡ ∂ ∂⎛+ + +⎜⎢ ∂ ∂⎝⎣
∂ ∂ ⎞+ + −⎟∂ ∂ ⎠
∂ ∂ ∂
− − − −
∂ ∂ ∂
∫∫
(16)
( ) ( )( , ), , ( , ), ,F y Ft s t s t s u t s dtds
q s u
⎤∂ ∂ ∂
− − +⎥∂ ∂ ∂ ⎦
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
, , , , ( , ), , ,
k
i i i i i i
i Q
Fy t s y t s z t s t s y t s z t s
y y=
⎡∂Φ ∂
+ − + − +⎢∂ ∂⎣
∑ ∫∫
( ) ( ) ( ) ( )( , ), , , ( , ), , , .F y z F y zt s t s t s t s t s t s dtds
p t t q s s
⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + − ⎥
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦
Равенство (12) умножим скалярно на функцию ( ),t sψ , (13) скалярно
умножим на ( )tμ , (14) умножим скалярно на ( )sη , а (15) умножим
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
209
на постоянный вектор λ и полученные равенства, соответственно,
интегрируем на прямоугольнике Q и отрезках [ ]0,T и [ ]0, l , и полу-
ченные сложим с (16) и введем систему сопряженных уравнений:
( )( )
( ) ( ) ( )( )
1
1 2
0 0
, ( , )
0,
k
i i
i Q
T l
Hy t s t s dtds
y y
H t dt H s ds n T
y y
λ
=
∂Φ ∂
− −
∂ ∂
′∂ ∂
− − + =
∂ ∂
∑ ∫∫
∫ ∫
(17)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 0
1
0
, ,
, 0,
l Tk
i i i
i t
l T T
t t
Ht t y t s s d ds
y y
H t s ds H d n d t
p y
χ τ τ
τ τ τ τ λ μ
=
∂Φ ∂
Ε − − −
∂ ∂
′
⎛ ⎞∂ ∂
− − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
∑ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
(18)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 0
2
0
, ,
, 0,
T lk
i i i
i s
T l
s
Hs s y t s t r dr
y y
H t s dt H r dr s
q y
χ
η
=
∂Φ ∂
Ε − − −
∂ ∂
∂ ∂
− − + =
∂ ∂
∑ ∫ ∫
∫ ∫
(19)
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
, ,
, , , 0,
T lk
i i i i
i t s
l T
s t
Ht t s s y t s r d dr
y y
H t r dr H s d t s
p q
χ χ τ τ
τ τ ψ
=
∂Φ ∂
Ε − − − −
∂ ∂
∂ ∂
− − + =
∂ ∂
∑ ∫ ∫
∫ ∫
(20)
где ( ),H t s ( ) ( ) ( ), , , , ,t s f t s F t sψ= − ( ) ( ) ( )1 , ,H t t tμ φ= ( )2H s =
( ) ( ),s sη ψ= , ( )tχ – функция Хевисайда, Ε – единичная матрица.
В результате имеем следующее равенство:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 2
0 0
( , ), ,
, , ,
Q
T l
J w w J w H t s u t s dtds
u
H t v t dt H s s ds R
v
ω
ω
∂
+ − = − −
∂
∂ ∂
− − +
∂ ∂
∫∫
∫ ∫
(21)
где R – остаточная формула приращения функционала, определяется
равенством
( ) ( )( ) ( )( )
1
, , ,
k
i i i i i i
i
R y t s y t s y t s
=
⎡= Φ + −Φ −⎣∑
Математичне та комп’ютерне моделювання
210
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
, , , , , , ,
, , , , , , , ,
k
i i i i i i i i i i
i
Q
y t s y t s y t s y t s z t s
y y
y yF t s y t s y t s t s t s
t t
=
⎤∂Φ ∂Φ
− + − +⎥∂ ∂⎦
⎡ ∂ ∂⎛+ + +⎜⎢ ∂ ∂⎝⎣
∑
∫∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,y y F yt s t s u t s u t s t s t s
s s q s
∂ ∂ ∂ ∂⎞+ + − −⎟∂ ∂ ∂ ∂⎠
(22)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
, , , , , , , , .
Q
F Ft s u t s dtds t s y t s z t s
u y
F y z F y zt s t s t s t s t s t s dtds
p t t q s s
⎤ ⎡∂ ∂
− + − +⎥ ⎢∂ ∂⎦ ⎣
⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + − ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦
∫∫
Градиент в задаче оптимального управления. Введем сле-
дующие условия:
XVI. Пусть функция ( ), , , , ,f t s y p q u удовлетворяет условию
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 2 2 2
, , , , , ,
, , , ,
.
f t s y y p p q q u u f t s
f f f ft s y t s p t s q t s u
y p q u
k y p q u
+ + + + − −
∂ ∂ ∂ ∂
− − − − ≤
∂ ∂ ∂ ∂
≤ + + +
XVII. Пусть функция ( ), ,t y vϕ удовлетворяет условию
( ) ( ) ( ) ( ), ,t y y v v t t y t v
y v
ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂
+ + − − − ≤
∂ ∂ ( )2 2L y v+ .
XVIII. Пусть функция ( ), ,s yψ ω удовлетворяет условию
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , , , , , , .s y y s y s y y s y N y
y
ψ ω ω ψ ω ψ ω ψ ω ω ω
ω
∂ ∂
+ + − − − ≤ +
∂ ∂
XIX. Пусть функция ( )yΦ удовлетворяет условию
)()( yyy Φ−+Φ ( ),y y
y
∂Φ
−
∂
≤ 2M y y− .
XX. Пусть функция ( ), , , , ,F t s y p q u удовлетворяет условию
( , ) ( , )( , , , , , ) ( , ) , ,F t s F t sF t s y y p p q q u u F t s y p
y p
∂ ∂
+ + + + − − − −
∂ ∂
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
211
( )2 2 2 2( , ) ( , ), , ,F t s F t sq u M y p q u
q u
∂ ∂
− − ≤ + + +
∂ ∂
для всех ( ), ,y v ( ), ,n my y v v R R+ + ∈ × ( ), ,y ω ( ),y y ω ω+ + ∈
,n qR R∈ × ( ), , , ,y p q u ( ) 3, , , .n ry y p p q q u u R R+ + + + ∈ ×
Для вычисления градиента функционала (6) при ограничениях
(1)-(5) достаточно показать, что остаточная формула функционала
(21) имеет порядок ( )2O w . Используя условия I-XIII можно дока-
зать, что существуют неотрицательные числа 1 2 3, ,σ σ σ такие, как
[ ]
( ) ( ) 2
10,
max ,0 ,0
T
y t z t σ ν− ≤ , (23)
[ ]
( ) ( ) ( )2 2
20,
max 0, 0,
l
y s z s σ ν ω− ≤ + , (24)
( ) ( )
[ ]
( ) ( )( )
[ ]
( ) ( )( )
0, 0
2 2 2
30, 0
max , , max , ,
max , , .
T
Q l
l
T
y t s z t s vrai y t s z t s dt
t
vrai y t s z t s ds u v
s
σ ω
∂
− + − +
∂
∂ ⎡ ⎤+ − ≤ + +⎣ ⎦∂
∫
∫
(25)
Учитывая оценки (23)-(25) а также условия XIV-XX из (22)
можно получить оценку 2R C w≤ , где C – некоторая постоянная,
которая не зависит от управляющих параметров.
Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема 1. Пусть выполняются условия I-XX. Тогда функцио-
нал (6) при ограничениях (1)-(5) дифференцируем и его градиент
имеет вид:
( ) ( , )HJ w t s
u
⎛ ∂′ = −⎜ ∂⎝
, ( )
1H t
v
∂
∂
, ( ) [ ]( ) [ ]( )
2
2 2 2( ) 0, 0,qr mH s L Q L T L l
ω
⎞∂
∈ × ×⎟⎟∂ ⎠
.
Необходимое условие оптимальности. Имея формулы гради-
ента для функционала (6) при ограничениях (1)-(5), можно получить
необходимые условия оптимальности для задачи оптимального
управления (1)-(6).
Теорема 2. Пусть ( ) ( ) ( )( )* * * *, , ,w u t s v t s Wω= ∈ оптимальное
управление в задаче (1)-(6). Тогда имеет место неравенство
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *, , , ; , , ; , , ; , , ; , , ,
Q
H y yt s y t s w t s w t s w t s w u t s
u t s
ψ ∗
∂ ∂ ∂⎛ ⎞
⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫
Математичне та комп’ютерне моделювання
212
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1
* *
0
, , ,0; , ; , ,
T Hu t s dtds t y t w t w v t v t dt
v
μ ∗
∂
+ +
∂∫
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
* *
0
, 0, ; , ; , , 0,
l H s y s w s w s s dsη ω ω
ω ∗
∂
+ ≤
∂∫
где ( )*, ;y t s w решение краевой задачи (1)-(6) при ( )* * * *, ,w u v ω= ∈
,W U V∈ = × ×Ω а тройка ( ) ( ) ( )( )* * *, ; , ; , ;t s w t w s wψ μ η – решение со-
пряженной системы (17)-(20), соответствующей управлению
( )* * * *, , .w u v Wω= ∈ Если intw W∗ ∈ , то последнее неравенство экви-
валентно
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *, , , ; , , ; , , ; , , ; , , 0H y yt s y t s w t s w t s w t s w u t s
u t s
ψ ∗
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
,
( ) ( ) ( )( )
1
* *, ,0; , ; , 0H t y t w t w v t
v
μ ∗
∂
=
∂
,
( ) ( ) ( )( )
2
* *, 0, ; , ; , 0H s y s w s w sη ω
ω ∗
∂
=
∂
.
Доказательство проводится с помощью схемы из [20, с. 524].
6BСписок использованной литературы:
1. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производ-
ных / А. М. Нахушев. – М. : Наука, 2006. – 287 с.
2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. –
М. : Высшая школа, 1995. – 305 с.
3. Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных
производных / З. А. Нахушева // Дифференциальные уравнения. — 1986.
– Т. 22, №1. – С. 171–174.
4. Галахов М. А. Дифференциальные и интегральные уравнения математиче-
ской теории трения / М. А. Галахов, П. П. Усов. – М. : Наука, 1990. – 280 с.
5. Жестков С. В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями /
С. В. Жестков // Укр. мат. журнал. – 1990. – Т. 42, №1. – С. 132–135.
6. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для ги-
перболического уравнения / Л. С. Пулькина // Дифференциальные урав-
нения. – 2004. – Т.40, №7. – С. 887–892.
7. Пулькина Л. С. О разрешимости в 2L нелокальной задачи с интеграль-
ными условиями для гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина //
Дифференциальные уравнения. – 2000. – № 2. – С. 279–280.
8. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для ги-
перболического уравнения в характеристическом прямоугольнике /
Л. С. Пулькина, О. М. Кечина // Вестник СамГУ. Естественно-научная
серия. – 2009. – № 2(68). – С. 80–88.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
213
9. Голубева Н. Д. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями
/ Н. Д. Голубева, Л. С. Пулькина // Мат. заметки. – 1996. – Т. 59, №3. –
С. 456–458.
10. Pulkina L. S. A nonlocal problem with integral conditions for hyperbolic equa-
tions / L. S. Pulkina // Electron. J. Differential Equations. – 1999 (1999). –
№ 45. – Р. 1–6.
11. Beilin S. A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with
nonlocal conditions / S. A. Beilin // Electron. J. Differential Equations. – 2001
(2001). – № 76. – Р. 1–8.
12. Mesloub S. On a class of singular hyperbolic equation with a weighted integral
condition / S. Mesloub and A. Bouziani // Int. J. Math. Math. Sci. – 22 (1999),
№ 3. – Р. 511–519.
13. Bouziani A. Initial-boundary value problem with a nonlocal condition for a
viscosity equation / A. Bouziani // Int. J. Math. Math. Sci. – 30 (2002). – № 6.
– Р. 327–338.
14. Bouziani A. On the solvability of parabolic and hyperbolic problems with a
boundary integral condition / A. Bouziani // Int. J. Math. Sci. – 31(2002). –
№ 4. – Р. 202–213.
15. Ибиев Ф. Т. Об одной задаче оптимального управления для систем Гурса
с интегральными условиями / Ф. Т. Ибиев, Я. А. Шарифов // Известия
НАН Азербайджана. – Серия физико-математических и технических на-
ук. – Т. XXIV. – №2. – 2005. – С. 83–85.
16. Ибиев Ф. Т. Необходимое условие оптимальности в задачах оптимального
управления системами Гурса с интегральными условиями / Ф. Т. Ибиев,
Я. А. Шарифов // Вестник Бакинского Университета. – 2004. – №3. – С. 13–20.
17. Ibiev F. T. Necessary conditions for optimality in problems of optimal control by
the Goursat systems with multipoint boundary conditions / F. T. Ibiev, Ya. A. Sha-
rifov // Transactions issue mathematics and mechanics. – Series of physical-
technical and mathematical sciences. – 2004. – V. XXIV. – №7. – Р. 227–234.
18. Шарифов Я. А. Градиент в задаче оптимального управления для гипербо-
лических систем с нелокальными условиями / Я. А. Шарифов, Т. В. Ши-
ринов // Известия НАН Азербайджана. – Серия физико-математических и
технических наук. – 2005. – Т. XXV. – № 2. – С. 111–116.
19. Ширинов Т. В. Об условиях оптимальности в задаче оптимального управ-
ления для гиперболических систем с нелокальными условиями /
Т. В. Ширинов, М. Ф. Мехтиев, Я. А. Шарифов // Доклады НАН Азер-
байджана. – 2005. – Т. LXI. – №2. – С. 22–29.
20. Васильев Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. – М. : Факториал,
2002. – 823 с.
In this work there is considered an optimal control problem for Gour-
sat-Darboux systems with integral boundary conditions. The explicit form
of the gradient is found on the basis of the formula of the functional incre-
ment and the necessary conditions of optimality are derived.
Key words: optimal control, Goursat-Darboux system, increment for-
mula, a gradient of functional, non-local conditions.
Отримано: 13.05.2010
|