Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами

Розроблено та реалізовано алгоритми ланцюгово-дробової апроксимації ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами, досліджено точність наближень....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Іванюк, В.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18678
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами / В.А. Іванюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 75-85. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18678
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-186782011-04-08T12:03:42Z Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами Іванюк, В.А. Розроблено та реалізовано алгоритми ланцюгово-дробової апроксимації ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами, досліджено точність наближень. It is developed and realised algorithms of chain-fractional approximation of irrational and transcendental transfer functions of objects with the distributed parameters, it is investigated accuracy of approach. 2008 Article Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами / В.А. Іванюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 75-85. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18678 004.942 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розроблено та реалізовано алгоритми ланцюгово-дробової апроксимації ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами, досліджено точність наближень.
format	Article
author	Іванюк, В.А.
spellingShingle	Іванюк, В.А. Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Іванюк, В.А.
author_sort	Іванюк, В.А.
title	Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами
title_short	Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами
title_full	Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами
title_fullStr	Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами
title_full_unstemmed	Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами
title_sort	ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18678
citation_txt	Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами / В.А. Іванюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 75-85. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT ívanûkva lancûgovodrobovaaproksimacíâírracíonalʹnihtatranscendentnihperedatnihfunkcíjobêktívzrozpodílenimiparametrami
first_indexed	2025-07-02T19:37:23Z
last_indexed	2025-07-02T19:37:23Z
_version_	1836565181922017280
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 1 75 граммные и аппаратно-вычислительные мощности для решения сложных задач в различных областях науки, таких как математика, медицина, физика, экономика т.д. Список использованной литературы: 1. NVIDIA CUDA Compute Unified Device Architecture Programming Guide. – Ver 1.1. – December 2007. – NVIDIA Corporation, 2007. 2. SUPERCOMPUTING 2007 Tutorial: High Performance Computing with CUDA (http:// www.gpgpu.org/sc2007/). 3. ECE 498 AL1: Programming Massively Parallel Processors (http:// courses. ece. uiuc. edu/ ece498/al1/). A review and comparison of the systems of programming of the gen- eral programming is produced for graphic processors (GPGPU), the fea- tures of the system of programming are selected, and also the example of calculation of operation of SAXPY (multiplying of vector by a scalar and addition of vectors) is considered through GPGPU Nvidia CUDA. Key words: graphic processors unit, Architecture graphic processors unit, program models, GPGPU, General-Purpose computation on graphic processors unit, Nvidia CUDA, parallel programming. Отримано: 05.06.2008 УДК 004.942 В. А. Іванюк Кам’янець-Подільський національний університет ЛАНЦЮГОВО-ДРОБОВА АПРОКСИМАЦІЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ ПЕРЕДАТНИХ ФУНКЦІЙ ОБ’ЄКТІВ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ Розроблено та реалізовано алгоритми ланцюгово-дробової апроксимації ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами, досліджено точність наближень. Ключові слова: передатна функція, об’єкти з розподіле- ними параметрами, ланцюгові дроби, апроксимація. Вступ. Передатні функції об’єктів з розподіленими параметрами містять ірраціональні та трансцендентні функції від аргументу p, що значно ускладнює можливості чисельної реалізації. При вирішенні таких задач виникає необхідність проведення їх апроксимації. На сьогоднішній день питання побудови апроксимаційних моделей об’є- ктів з розподіленими параметрами не знайшли достатньо повного розв’язання. © В. А. Іванюк, 2008 http://www.gpgpu.org/sc2007/ Математичне та комп’ютерне моделювання 76 В залежності від типу отриманої передатної функції можуть бу- ти застосовані різні методи апроксимації. Найбільш характерні з них – розвинення в ряд Паде, за допомогою ланцюгових дробів, розви- нення в ряд Тейлора та ін. Ефективність проведення обчислювальних експериментів безпо- середньо залежить від вибору програмної оболонки, в якій реалізова- ні різні методи синтезу, аналізу та реалізації математичних моделей. На сьогодні розроблено досить великий арсенал програмних засобів для розв’язування різних математичних задач, які надають користу- вачеві широкий набір функцій. Серед найбільш популярних програм комп’ютерної математики слід виділити Matlab, Mathematica, Mathcat, Maple, Gauss. Але в бібліотеках цих програм не представлені засоби для побудови апроксимаційних моделей об’єктів з розподіле- ними параметрами. Метою дослідження є розробка та реалізація алгоритмів ланцю- гово-дробової апроксимації ірраціональних та трансцендентних пе- редатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами. Основна частина. Для отримання дробово-раціональних апрок- симаційних моделей ефективним методом є розвинення трансценден- тних чи ірраціональних залежностей в степеневі ряди. Після цього передатні функції отримують дробово-раціональний вигляд. В залежності від кількості взятих членів степеневого ряду можна отримати різні апроксимаційні моделі. Для підвищення точності на- ближень можна підвищувати порядок апроксимуючих дробово- раціональних передатних функцій. Але при цьому може виникнути проблема стійкості обчислювального процесу. Використання алгори- тмів побудови ланцюгово-дробових наближень дозволяє знайти ефе- ктивний компроміс між точністю наближення і складністю моделі. Визначальним у виборі апроксимаційних наближень є те, що ланцю- гові дроби сходяться швидше, ніж інші послідовні ряди. В свою чергу порядок апроксимаційної моделі, отриманої з допомогою теорії лан- цюгових дробів, буде меншим в порівнянні із моделлю отриманою шляхом розвинення в степеневий ряд. Відомо, що для степеневого ряду …+++ 2 210 pp βββ можна знайти такий ланцюговий дріб, що розвинення його будь-якого n -го підхідного дробу в степеневий ряд буде співпадати з вихідним рядом до члена np включно. Такий ланцюговий дріб називають відповід- ним даному ряду. Його зазвичай шукають в одному із наступних ви- глядів: ∑ ∞ = + 1 0 i i i b pa b , ∑ ∞ = + 1 0 1 i i i d pcb . Серія: Технічні науки. Випуск 1 77 Для такого степеневого ряду можна також знайти ланцюговий дріб, розвинення n-го підхідного дробу якого в степеневий ряд спів- падає з вихідним рядом до члена p2n включно. Такий дріб називають приєднаним до ряду. Його шукають у вигляді …− + − + − + + pl pk pl pk pl pk l 3 3 3 2 2 2 1 1 0 111 Побудуємо відповідний ланцюговий дріб для ряду ( ) ( )∑ ∞ = −= 0 0 i i i pppW α . (1) Відзначимо, що всі перетворення будуть носити формальний ха- рактер: ланцюговий дріб і ряд можуть і не сходитися при будь-яких p. Ряд (1) запишемо у вигляді ( ) ( ) ( ) ( ) …… +−++−+−+= −1 0 1 2 0 1 3 0 1 2 1 1 nn pppppppW α α α α α α Виконаємо заміну ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) …… +−−++−+−−= n n n pppppp pW 0 2 0201 1 111 βββ Помноживши дві частини цієї рівності на W1 (p) і, прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях p – p0, отримаємо систему рівнянь ( ) ,10 ,0 ,0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 1 2 n nnnn β α α β α α β α α β α αβ α α β α α −+++−= +−= −= −+ … …………………………………………… з якої послідовно знаходяться коефіцієнти ( )…,2,1=nnβ , ( ) ( )∑ − = + − +++ −+−= 1 1 1 11 1 11 11 n k k kn knn n α α β α α β . Запишемо тепер ( )pW1 1 у вигляді ( ) ( ) ( ),11 201 1 pWpp pW −−= β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) …… +−−++−+−−= + 0 1 1 0 1 3 0 1 2 2 11 pppppppW nn β β β β β β Математичне та комп’ютерне моделювання 78 Провівши заміну ( ) ( ) ( ) …+−+−−= 2 0201 2 11 pppp pW γγ , та помноживши дві частини цієї рівності на W2 (p) і, прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях p – p0, знаходимо коефіцієнти γi. Подібні операції з рядом (1) можна продовжувати необмежено. При цьому формально отримаємо дріб ( ) ( ) ( ) ( ) …− − + − − − += 111 010101 0 pppppp pW γβα α . Замінюючи коефіцієнти …,,,, 1110 γβαα − через …,, 10 ωω , отри- маємо ланцюговий дріб ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 11 11 010 0201 0 …… … + − + − + + − + − += + pppp pppp pW nn ωω ωω ω (2) елементи якого визначаються через коефіцієнти вихідного ряду. Дроби, що відповідають даному степеневому ряду у вигляді ла- нцюгового дробу (2) називаються правильними С-ланцюговими дро- бами. Далі отриманий ланцюговий дріб можна згорнути до дробово- раціональної передатної функції. Для отримання ланцюгового дробу (2) було розроблено m-файл- функцію: [num,den]= ApproxTFCF(func,n). Вхідні параметри функції: func – вхідна функція; n – порядок дробово-раціональної апроксимаційної моделі. Вихідні параметри: num – поліном чисельника передатної функ- ції; den – поліном знаменника передатної функції. Ланцюгові дроби можна отримати іншими способами. Нехай задано степеневий ряд ...3 3 2 210 ++++= zczczccL (3) та зв’язаний з ним визначник Ганкеля, який означений наступним чином: ( ) 10 =nH , ( ) 221 21 11 ... ... ... −++−+ +++ −++ = knknkn knnn knnn n k ccc ccc ccc H MMMM , ,...3,2,1=k (4) Серія: Технічні науки. Випуск 1 79 Для заданого ряду (3) існує правильний C-дріб ... 111 1 321 ++++ zazaza , який відповідає L (в точці z = 0), то ( ) 01 ≠kH і ( ) 02 ≠kH , ,...3,2,1=k і ( )1 11 Ha = , ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 21 1 2 − −−= mm mm m HH HH a , ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 1 1 12 mm mm m HH HH a −+ + −= , ,...3,2,1=m Розглянемо ще один алгоритм, який базується на QD-алгоритмі. Для заданого степеневого ряду (3) визначимо послідовності ( ){ }n me і ( ){ }n mq наступним чином: ( ) 00 =ne , ,...,3,2,1=n ( ) n nn c c q 1 1 += , ,...,2,1,0=n ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 + − + +−= n m n m n m n m eqqe , ,...,3,2,1=m ,...,2,1,0=n ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 + + + = n mn m n mn m q e eq , ,...,3,2,1=m ,...2,1,0=n (5) Схема ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MMMMM MMM MM M 4 0 3 1 1 1 3 0 1 2 2 1 0 1 1 1 2 0 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 e q ee qq eee qq ee q e = = = = = називається схемою часток та різниць або QD-схемою. Будь-які чо- тири елементи схеми, що утворюють ромб, зв’язані рівностями (5), тому ці формули іноді називають правилами ромба. Якщо визначники Ганкеля (4), зв’язані з степеневим рядом (3) задовольняють умови ( ) 0≠n mH , ,...,3,2,1=m ,...,2,1,0=n Математичне та комп’ютерне моделювання 80 то мають місця співвідношення ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 + − + −= n m n m n m n mn m HH HH q , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 + + −+= n m n m n m n mn m HH HH e , ,...3,2,1=m Тоді правильний C -дріб ( ) ( ) ( ) ( ) ... 11111 1 0 2 0 2 0 1 0 11 −−−−−+ zezqzezqzc (6) відповідає в точці 0=z ряду (3). В свою чергу дріб ( ) ( ) ( ) ( ) ... 11111 0 2 0 2 0 1 0 10 −−−−− zezqzezqzc (7) відповідає в точці 0=z ряду (3). QD-алгоритм дає зручну чисельну процедуру обчислення коефі- цієнтів ланцюгових дробів, що відповідають формальному степене- вому ряду. Алгоритми побудови ланцюгових дробів (6) та (7) реалі- зовані в середовищі Matlab у вигляді функцій: [num,den]= С_TFCF1(func,n) та [num,den]= С_TFCF2(func,n). Вхідні параметри функції: func – вхідна функція; n – порядок дробово-раціональної апроксимаційної моделі. Вихідні параметри: num – поліном чисельника передатної функ- ції; den – поліном знаменника передатної функції. Обчислювальний експеримент. Для дослідження можливості застосування даного методу проведено ряд обчислювальних експе- риментів з ірраціональними та трансцендентними передатними фун- кціями. Розглянемо об’єкт заданий передатною функцією ( ) pepW −=1 . Аналітичний розв’язок для перехідної характеристики об’єкту має такий вигляд: ( )    > << = .1,1 ,10,0 1 t t tf Провівши апроксимацію вихідної функції запропонованими ме- тодами, отримаємо дробово-раціональну передатну функцію 10-го степеня. В середовищі Matlab отримано реакцію на одиничний стри- бок (рис. 1). Похибка моделювання показана на рис. 2. Для отримання більш точного наближення потрібно використо- вувати дробово-раціональні функції вищих порядків. Прикладом мо- же слугувати дробово-раціональна апроксимація 50 степеня. Перехі- дна характеристика отримана за допомогою апроксимаційної моделі та похибка моделювання зображені на рис. 3 та рис. 4. Серія: Технічні науки. Випуск 1 81 Рис. 1. Перехідна характеристика апроксимаційної моделі та її аналітичне представлення Рис. 2. Похибка апроксимаційного наближення Рис. 3. Перехідна характеристика апроксимаційної моделі та її аналітичне представлення Математичне та комп’ютерне моделювання 82 Рис. 4. Похибка апроксимаційного наближення Рис. 5. Перехідна характеристика апроксимаційної моделі та її аналітичне представлення Рис. 6. Похибка апроксимаційного наближення Розглянемо об’єкт заданий передатною функцією ( ) 1 1 2/12 ++ = pp ppW . Серія: Технічні науки. Випуск 1 83 Аналітичний вираз для перехідної характеристики об’єкту має такий вигляд: ( ) ( )tErfetf t 2/1 2/1 1 2 −= . Апроксимуючи вихідну функцію за допомогою розроблених за- собів, отримано дробово-раціональну передатну функцію 10 степеня. Реакцію на одиничний стрибок зображено на рис. 5. Похибку моде- лювання подано на рис. 6. Розглянемо передатну функцію ( ) pp ppW 1 13 − = . Аналітичний вираз для перехідної характеристики об’єкту має такий вигляд: ( ) ( )tErfetf t=3 . У передатній функції 3W присутній p , тому функцію немож- ливо розвинути в ряд Тейлора. Для цього випадку вводимо заміну asp += і отримуємо ( ) asp ppW +− = 1 13 . Апроксимуючи as + 1 запропонованими вище методами отримаємо ланцюгово-дробове на- ближення, в якому проводимо обернену заміну змінної s наступним чином: aps −= . Перехідна характеристика апроксимаційної моделі зображена на рис. 7. Похибка моделювання зображена на рис. 8. Розглянемо об’єкт заданий передатною функцією, в якій прису- тні, як ірраціональність, так і трансцендентність: ( ) pepW −=4 . Аналітичний вираз для перехідної характеристики об’єкту буде мати такий вигляд: ( )       = t Erfctf 1 2 1 4 . Апроксимацію вихідної функції проводимо аналогічно до попе- реднього випадку. В результаті отримано дробово-раціональну пере- датну функцію 10 степеня. Реакція на одиничний трибок з викорис- танням апроксимаційної моделі та аналітичний розв’язок для перехі- дної характеристики зображено на рис. 9. Похибка моделювання зо- бражена на рис. 10. Математичне та комп’ютерне моделювання 84 Рис. 7. Перехідна характеристика апроксимаційної моделі та її аналітичне представлення Рис. 8. Похибка апроксимаційного наближення Рис. 9. Перехідна характеристика апроксимаційної моделі та її аналітичне представлення Серія: Технічні науки. Випуск 1 85 Рис. 10. Похибка апроксимаційного наближення Висновки. При побудові апроксимаційних моделей об’єктів з розподіленими параметрами ефективним методом є використання ланцюгово-дробових наближень, алгоритми яких реалізовані у вигля- ді розроблених m-файл-функціях середовища Matlab. Для передатних функцій, розвинення яких в степеневий ряд не- можливе, запропоновано спосіб проведення заміни змінних. Проведено оцінки точності отриманих наближень за допомогою розв’язання ряду модельних задач. Отриманні результати свідчать, що використання ланцюгово- дробових апроксимаційних наближень дозволяє отримувати адекват- ні моделі об’єктів з розподіленими параметрами, які можуть викори- стовуватись для широкого класу технічних задач. Список використаних джерел: 1. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и прило- жения / Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 414 с. 2. Киселев Н. В., Мядзель В. Н., Рассудов Л. Н. Электроприводы с распре- деленными параметрами. – Л.: Судостроение, 1985. – 220 с. 3. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. – М.: Наука, Главная редакция физико-ма- тематической литературы, 1983. – 312 с. It is developed and realised algorithms of chain-fractional approxima- tion of irrational and transcendental transfer functions of objects with the distributed parameters, it is investigated accuracy of approach. Key words: transfer function, objects with the distributed parameters, chain fractions, approximation. Отримано: 05.06.2008

Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та трансцендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами

Institution

Ähnliche Einträge