Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі
Проведено дослідження поширення вимушених осесисиметричних хвиль у суцільному однорідному та неоднорідному п’єзокерамічному циліндрі з осьовою поляризацією на основі лінійної теорії пружності і лінійного електромеханічного зв’язку. На бічній поверхні циліндра прикладено механічне навантаження і вон...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2022
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/187172 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі / О.Я. Григоренко, І.А. Лоза, С.О. Сперкач, А.Д. Безугла // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 4. — С. 33-43. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-187172 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1871722022-12-09T01:26:32Z Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі Григоренко, О.Я. Лоза, І.А. Сперкач, С.О. Безугла, А.Д. Механіка Проведено дослідження поширення вимушених осесисиметричних хвиль у суцільному однорідному та неоднорідному п’єзокерамічному циліндрі з осьовою поляризацією на основі лінійної теорії пружності і лінійного електромеханічного зв’язку. На бічній поверхні циліндра прикладено механічне навантаження і вона вільна від електродів. Розглянуто випадок неперервно неоднорідного п’єзокерамічного матеріалу циліндра. Сформульовано граничні умови в особливій точці циліндра. Для розв’язання поставленої задачі запропоновано дискретно-континуальний чисельно-аналітичний підхід. Після представлення компонент тензора механічних напружень та вектора механічних переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу у вигляді біжучих хвиль вихідну задачу електропружностi у частинних похідних зведено до неоднорідної крайової задачі у звичайних диференціальних рівняннях зі змінними коефіцієнтами. Отриману задачу розв’язано стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Проведено кінематичний аналіз поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному однорідному та неоднорідному циліндрах. The propagation of forced axisymmetric waves in a solid homogeneous and inhomogeneous piezoceramic cylinder with axial polarization based on the linear theory of elasticity and the linear electromechanical coupling is investigated. A mechanical load to the lateral surface of the cylinder is applied and it is free of the electrodes. The case of the continuously inhomogeneous piezoceramic cylinder material is considered. The boundary conditions at singular point of a solid piezoceramic cylinder are formulated. The discretely continual analytical numerically approach to solve of the problems of the forced wave propagation in the piezoceramic solid cylindrical bodies is proposed. The three-dimensional problem of the theory of electroelasticity in the partial derivatives (by presenting components of the elasticity tensor, component of displacement vectors, electrical induction and electrostatic potential by running waves in the axial direction) is reduced to the boundary value problems for the system of the ordinary differential equations. The оne-dimensional problem is solved by a stable method of discrete orthogonalization. The kinematic analysis of the propagation of forced electroelastic waves in a solid piezoceramic homogeneous and inhomogeneous cylinder is carried out. 2022 Article Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі / О.Я. Григоренко, І.А. Лоза, С.О. Сперкач, А.Д. Безугла // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 4. — С. 33-43. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2022.04.033 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/187172 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Григоренко, О.Я. Лоза, І.А. Сперкач, С.О. Безугла, А.Д. Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі Доповіді НАН України |
| description |
Проведено дослідження поширення вимушених осесисиметричних хвиль у суцільному однорідному та неоднорідному п’єзокерамічному циліндрі з осьовою поляризацією на основі лінійної теорії пружності і лінійного
електромеханічного зв’язку. На бічній поверхні циліндра прикладено механічне навантаження і вона вільна
від електродів. Розглянуто випадок неперервно неоднорідного п’єзокерамічного матеріалу циліндра. Сформульовано граничні умови в особливій точці циліндра. Для розв’язання поставленої задачі запропоновано дискретно-континуальний чисельно-аналітичний підхід. Після представлення компонент тензора механічних
напружень та вектора механічних переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу у вигляді біжучих хвиль вихідну задачу електропружностi у частинних похідних зведено до неоднорідної крайової
задачі у звичайних диференціальних рівняннях зі змінними коефіцієнтами. Отриману задачу розв’язано стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Проведено кінематичний аналіз поширення вимушених
електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному однорідному та неоднорідному циліндрах. |
| format |
Article |
| author |
Григоренко, О.Я. Лоза, І.А. Сперкач, С.О. Безугла, А.Д. |
| author_facet |
Григоренко, О.Я. Лоза, І.А. Сперкач, С.О. Безугла, А.Д. |
| author_sort |
Григоренко, О.Я. |
| title |
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі |
| title_short |
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі |
| title_full |
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі |
| title_fullStr |
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі |
| title_full_unstemmed |
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі |
| title_sort |
чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2022 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/187172 |
| citation_txt |
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі / О.Я. Григоренко, І.А. Лоза, С.О. Сперкач, А.Д. Безугла // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 4. — С. 33-43. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkooâ čiselʹnijrozvâzokzadačípropoširennâvimušenihelektropružnihhvilʹusucílʹnomupêzokeramíčnomucilíndrí AT lozaía čiselʹnijrozvâzokzadačípropoširennâvimušenihelektropružnihhvilʹusucílʹnomupêzokeramíčnomucilíndrí AT sperkačso čiselʹnijrozvâzokzadačípropoširennâvimušenihelektropružnihhvilʹusucílʹnomupêzokeramíčnomucilíndrí AT bezuglaad čiselʹnijrozvâzokzadačípropoširennâvimušenihelektropružnihhvilʹusucílʹnomupêzokeramíčnomucilíndrí |
| first_indexed |
2025-07-16T08:36:30Z |
| last_indexed |
2025-07-16T08:36:30Z |
| _version_ |
1837791960531730432 |
| fulltext |
33
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 4: 33—43
Ц и т у в а н н я: Григоренко О.Я., Лоза І.А., Сперкач С.О., Безугла А.Д. Чисельний розв’язок задачі про по-
ширення вимушених електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі. Допов. Нац. акад.
наук Укр. 2022. № 4. С. 33—43. https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.04.033
https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.04.033
УДК 539.3
О.Я. Григоренко1, https://orcid.org/0000-0002-4109-2672
І.А.Лоза2, https://orcid.org/0000-0002-2678-6908
С.О.Сперкач3, https://orcid.org/0000-0003-3168-6300
А.Д. Безугла3, https://orcid.org/0000-0001-8083-3210
1 Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
2 Національний транспортний унів ерситет, Київ
3 Tехнічний центр НАН України, Київ
E-mail: ayagrigorenko1991@gmail.com, lozaigor1956@gmail.com,
svetlana@nasu.kiev.ua, bezuglaya.anna24@gmail.com
Чисельний розв’язок задачі
про поширення вимушених електропружних хвиль
у суцільному п’єзокерамічному циліндрі
Представлено членом-кореспондентом НАН України О.Я. Григоренком
Проведено дослідження поширення вимушених осесисиметричних хвиль у суцільному однорідному та нео-
днорідному п’єзокерамічному циліндрі з осьовою поляризацією на основі лінійної теорії пружності і лінійного
електромеханічного зв’язку. На бічній поверхні циліндра прикладено механічне навантаження і вона вільна
від електродів. Розглянуто випадок неперервно неоднорідного п’єзокерамічного матеріалу циліндра. Сформу-
льовано граничні умови в особливій точці циліндра. Для розв’язання поставленої задачі запропоновано дис-
кретно-континуальний чисельно-аналітичний підхід. Після представлення компонент тензора механічних
напружень та вектора механічних переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу у ви-
гляді біжучих хвиль вихідну задачу електропружностi у частинних похідних зведено до неоднорідної крайової
задачі у звичайних диференціальних рівняннях зі змінними коефіцієнтами. Отриману задачу розв’язано стій-
ким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Проведено кінематичний аналіз поширення вимушених
електропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному однорідному та неоднорідному циліндрах.
Ключові слова: осесиметрична задача, вимушені електропружні хвилі, п’єзокерамічний суцільний циліндр,
чисельний підхід, неоднорідний матеріал, кінематичні характеристики.
МЕХАНІКА
MECHANICS
П’єзокерамічні активні елементи циліндричної форми широко використовуються в радіоелек-
троніці, приладобудуванні, вимірювальних приладах з використанням нанотехнологій. Вимо-
ги до проведення повного аналізу реальних електромеханічних властивостей циліндричних
конструкцій вимагають відповідних досліджень на основі просторової теорії електропружності
(3D модель). Труднощі вивчення динамічних процесів у циліндричних п’єзокерамічних тілах
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 4
О.Я. Григоренко, І.А. Лоза, С.О. Сперкач, А.Д. Безугла
на основі просторової моделі електропружності пов’язані з необхідністю розв’язання складної
системи вихідних диференційних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами з
відповідними електромеханічними умовами на поверхнях, що обмежують тіло.
Ми будемо розглядати розповсюдження осесиметричних вимушених електропружних
хвиль в суцільних однорідних та неоднорідних циліндрах з п’єзокерамічних матеріалів.
Опублікована значна кількість результатів досліджень, присвячених поширенню вільних
електропружних хвиль у п’єзокерамічних порожнистих та суцільних циліндрах [1, 5, 7—12].
Задачу, коли на поверхню порожнистого циліндра прикладено механічне чи електричне на-
вантаження, розглянуто в [2, 3]
В представленій роботі досліджується поширення вимушених осесиметричних елек-
тропружних хвиль у суцільному п’єзокерамічному циліндрі з однорідного та неперевно
неоднорідного матеріалу в випадку осьової поляризації на основі ефективного дискретно-
континуального чисельно-аналітичного підходу[4, 5]
Основні співвідношення. Система рівнянь, яка описує дану задачу у циліндричній
системі координат , ,r zθ складається з
рівнянь руху
2 2
1 5 1 5 3 3
1 2 52 2
1 1
( ) ; ,
T T u T T u
T T T
r r z r r zt t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + = ρ + + = ρ
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
(1)
рівнянь вимушеної електростатики діелектриків
1 3
1
1
0,
D D
D
r r z
∂ ∂
+ + =
∂ ∂
1 ,E
r
∂Φ= −
∂
3 ,E
z
∂Φ= −
∂
(2)
співвідношень Коші для випадку малих деформацій
1
1 ,
u
S
r
∂
=
∂
2 1
1
,S u
r
= 3
3 ,
u
S
z
∂
=
∂
3 1
5
u u
S
r z
∂ ∂
= +
∂ ∂
(3)
матеріальних співвідношень для випадку осьової поляризації п’єзокерамічного матеріалу
1 11 1 12 2 13 3 13 3 ,iT c S c S c S e E= + + −
2 12 1 11 2 13 3 13 3 ,T c S c S c S e E= + + −
3 13 1 13 2 33 3 33 3 ,T c S c S c S e E= + + − (4)
5 55 5 15 12 ,T c S e E= − 1 15 5 11 12 ,D e S E= + ε
3 13 1 13 2 33 3 33 3D e S e S e S E= + + + ε
Тут введені позначення: iT , iS , ijc , ije , ijε — компоненти тензорів напружень, деформацій,
пружних модулів при сталому електричному полі, п’єзомодулів та діелектричних проник-
ностей при постійній деформац ії відповідно; iu , iE та iD — компоненти векторів перемі-
щень, напруженості електричного поля та електричної індукції відповідно; ρ та Φ — густи-
на матеріалу та електростатичний потенціал.
Будемо розглядати наступні граничні умови: на бічній поверхні прикладено наванта-
ження ( )
1 50, ,i kz t
r R r R
T T Pe −ω
= == = а поверхня вільна від електродів 1 0
r R
D = = .
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 4
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль...
Після тотожних перетворень співвідношень (1)—(4) відносно компонент роз в’я зу ю-
чо го вектора 1 5 1 3 1{ , , , , , ,}R T T u u D= Φ , отримаємо наступну систему диференціальних рів-
нянь в частинних похідних з змінними коефіцієнтами в випадку неодноріддного матеріа-
лу циліндра:
2 2 2
5 13 1 4 3 1 5
5 32 2 2
11 11 11 11
1
,
T c T u
T u
r c z r c rc z cz z t
⎛ ⎞∂ ∂ Δ Δ ∂ Δ∂ Φ ∂ ∂= − − + − − +ρ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠
15 55
5 1,
e c
T D
r
∂Φ = −
∂ Δ Δ
1 13 12 13 3
1 1
11 11 11 11
1
,
u e c c u
T u
r c c z rc c z
∂ ∂∂Φ= − − −
∂ ∂ ∂
(5)
3 11 1 15
5 1,
u u e
T D
r z
∂ ε ∂
= − +
∂ Δ ∂ Δ
22
1 13 1 6 1 1 4 3
12 2
11 11 11 11
1 1
.
D e T u u
D
r c z c c r z c rz z
∂ ∂ Δ Δ ∂ Δ ∂∂ Φ= − + + + −
∂ ∂ ∂∂ ∂
Тут введені позначення 2
55 11 15 ,c eΔ = ε + 1 13 11 12( ),e c cΔ = − 2 2
2 11 12,c cΔ = − 3 13 11 12( ),c c cΔ = −
4 13 13 11 33 ,c e c eΔ = − 2
5 13 11 33 ,c c cΔ = − 2
6 11 33 13c eΔ = ε + .
Метод розв’язування. Компоненти розв’язуючого вектора представляються у вигляді
хвиль, що поширюються вздовж поздовжньої координати:
( )
1 5 1 3 1 1 5 1 3 1
1
{ , , , , , } { ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )} .i kz t
n
T T u u D iT r T r r iu r u r D r e
∞
−ω
=
Φ = Φ∑ (6)
З урахуванням (6) система (5) набуває вигляду
21 12 1 2 3
1 5 1 32
11 11 1111
1
1 ,
dT c k k
T kT u u
dr r c rc rcr c
⎛ ⎞⎛ ⎞ Δ Δ Δ
= − + − Φ+ −ρω −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
25 13 4 3 5
1 5 1 3
11 11 11 11
1
,
dT kc k k k
T T u u
dr c r c rc c
⎛ ⎞Δ Δ Δ
= − − − Φ− − +ρω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
15 55
5 1,
e cd
T D
dr
Φ = −
Δ Δ
(7)
1 13 12 13
1 1 3
11 11 11 11
1
,
du ke c kc
T u u
dr c c rc c
= + Φ− +
3 11 15
5 1 1,
du e
T ku D
dr
ε
= − +
Δ Δ
2 2
1 13 6 1 1 4 1
1 3
11 11 11 11
.
dD ke k k u k D
T u
dr c c c r c r
Δ Δ Δ
= − − Φ− − −
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 4
О.Я. Григоренко, І.А. Лоза, С.О. Сперкач, А.Д. Безугла
В системі рівнянь (7), яку ми розглядаємо в інтервалі 0 r R , необхідно сформулю-
вати граничні умови для сингулярної точки 0r = . Для цього використаємо процедуру, яка
була запропонована в [6]. Виходячи з фізичних міркувань, маємо такі умови:
5 1 10, 0, 0, 0.T u D r→ → → → (8)
При цьому в рівняннях (7) містяться невизначеності, для розкриття яких скористає-
мось правилом Лопіталя—Бернуллі:
1 1 5 5 1 1 1 1, , , .
T dT T dT u du D dD
r dr r dr r dr r dr
→ → → → (9)
З урахуванням (9) рівняння (7) у точці 0r = мають вигляд:
21 12 1 1 2 1 3 3
5 1
11 11 11 11
1
1 ,
dT c dT k du k dud
kT u
dr c dr c dr c r dr rc dr
⎛ ⎞ Δ Δ ΔΦ= − + − − +ρω −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
25 13 5 4 3 1 5
1 3
11 11 11 11
,
dT kc dT k k du k
T u
dr c dr c c dr c
⎛ ⎞Δ Δ Δ
= − − − Φ− + +ρω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
15 55
5 1,
e cd
T D
dr
Φ = −
Δ Δ
(10)
1 13 12 1 13
1 3
11 11 11 11
1
,
du ke c du kc
T u
dr c c c dr c
= + Φ− +
3 11 15
5 1 1,
du e
T ku D
dr
ε
= − +
Δ Δ
2 2
1 13 6 1 1 4 1
1 3
11 11 11 11
.
dD ke k k du k dD
T u
dr c c c dr c dr
Δ Δ Δ
= − − Φ+ − −
Після ряду перетворень, отримаємо систему рівнянь для точки 0r = :
1 0,
dT
r
=
∂
22 2 2
5 13 12 13 13 13
1 33 33 3
11 12 11 11 12 11 12
2 2
,
2 ( ) 2 2
T kc c c e ck k
T e c u
r c c c c c c c
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ Ω= − − − Φ− − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
0,
d
dr
Φ = (11)
1
1 13 13 3
11 12
1
[ ( )];
du
T k e c u
dr c c
= + Φ+
+
3 0,
du
dr
=
22
1 13 13 1 13 12 13
1 6 3
11 11 12 11 11 12 11 11 12
2
1 .
( ) 2 2 ( )
D ke e k e c ck
T u
r c c c c c c c c c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ Δ
= − + Δ − Φ+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 4
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль...
В остаточному вигляді будемо мати для області 0 r R< систему рівнянь (7), а для
точки 0r = — систему рівнянь (11).
Введемо безрозмірні величини:
00
, , , , , ,ij ij ij
ij ij ij
c e r
R c e x kR
R
ερΩ = ω = = ε = = ζ =
λ λ εε λ
де R — радіус циліндра; ρ — густина матеріалу циліндра; — діелектрична проникність
вакууму; λ = 1010 Н/м2.
Маємо крайову задачу для системи звичайних диференціальних рівняннях виду:
;
d
x
=
∂
R
AR 1 5 1 3 1{ , , , , , }T T u u D= ΦR . (12)
Матриця A для точки 0x = має вигляд:
22 2
13 12 13 13 13 13 13
33 33
11 12 11 11 12 11 11 12
13 13
11 12 11 12 11 12
2
13 6 13 5
11 11 12 11 11 12
0 0 0 0 0 0
2 2
0 0 0
2 ( ) 2 ( ) 2
0 0 0 0 0 0
1
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
( ) 2
с с с e с с e
eс
с с c с с c с с
e c
с с с с с с
e e
cс с c с с
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ζ ζ ζ Ω− − − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= ζ ζ
+ + +
⎛ ⎞ζ Δ − Δζ− ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
A
2
13 12 13
11 11 12
2
1
2 ( )
e c c
cс с
⎛ ⎞ζ
−⎜ ⎟+⎝ ⎠
, (13)
а для точок (0,1]x ∈ має вигляд:
212 1 2
2
11 11 11
2 2
213 4 3 5
11 11 11 11
15 55
13 12 13
11 11 11 11
11 15
2 2
13 6 1 4
11 11 11 11
1
1 0 0
1
0
0 0 0 0
1
0 0
0 0 0
1
0
c
x c xc x c
c
c x c xc c
e c
e c c
c c xc c
e
e
c c xc c x
⎛ ⎞⎛ ⎞ ζΔ Δ
− ζ − − +Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ζ ζ Δ ζΔ ζ Δ
− − − − −Ω
−
Δ Δ=
ζ ζ
−
ε
−ζ
Δ Δ
ζ ζ Δ ζΔ ζ Δ
− − − −
A
. (14)
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 4
О.Я. Григоренко, І.А. Лоза, С.О. Сперкач, А.Д. Безугла
Граничні умови мають вигляд
( ) ( )0 1= = 2C1 1 2B R C , B R , (15)
де
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
1B ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
1C ,
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
2B ,
0 0 0
0 0
0 0 0
P
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
2C .
Отримана крайова задача інтегрується стійким чисельним методом дискретної ортого-
налізації [4, 5].
Чисельний аналіз. Крайова задача (12), (15) для однорідного суцільного циліндра чи-
сельно розв’язана для випадку п’єзокераміки PZT 4 з фізико-механічними характеристиками:
c11 = 13,9 · 1010 Н/м2, c12 = 7,43 · 1010 Н/м2, c13 = 7,78 · 1010 Н/м2, c33 = 11,5 · 1010 Н/м2,
c55 = 2,56 · 1010 Н/м2, е13 = –5,2 К/м2, е15 = 12,7 К/м2, е33 = 15,1 К/м2,
ε
ε
11
0
= 730,
ε
ε
33
0
= 635, ρn = 7,5 · 103 кг/м3.
Проведемо дослідження впливу виду електричних граничних умов на характер дисперсій-
них відношень (рис.1). Широкими лініями зображені дисперсійні криві для п’єзокерамічного
циліндра, вільного від електродів, а вузькими — для випадку вкритого електродом циліндра.
З наведеного рисунку видно, що вплив типу електричних граничних умов є більшим для
частот, які народжуються пружними, це гілки ( )U n . Причому найбільший вплив типу елек-
тричних граничних умов можна помітити в довгохвильовій області. Зі зменшенням довжини
хвилі вплив типу електричних граничних умов на дисперсійні хвилі пропадає.
Проведемо дослідження амплітуд власних коливань ( 0k = ) п’єзокерамічних циліндрів
для перших п’яти власних частот. На рис.2, а представлено розподіл напружень 1T та 5T
для другої та п’ятої власних частот циліндра із п’єзокераміки PZT 4. П’ята власна частота
є обертоном другої власної частоти. Коливання є чисто пружними радіальними коливан-
нями. Суцільними лініями позначені напруження 1T , штриховими — напруження 5T . Ці
напруження можуть бути вираховані за допомогою функцій Бесселя і служать додатковим
способом верифікації результатів, отриманих запропонованим нами способом. Можна від-
значити повний збіг результатів, отриманих двома описаними способами.
На рис. 2, б представлено розподіл переміщень 1u та 3u для другої та п’ятої власних час-
тот циліндра із п’єзокераміки PZT 4. Суцільними лініями позначені переміщення 1u , штрихо-
вими — переміщення 3u . Можна відмітити характерну для обертонів властивість збільшення
осциляції функції із зростанням номера обертону. На рис. 2, в представлено розподіл напру-
жень 3T та 4T для третьої та четвертої власних частот циліндра із п’єзокераміки PZT 4. Чет-
верта власна частота є обертоном тре тьої власної частоти. Коливання є електропружними по-
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 4
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль...
здовжніми. Суцільними лініями позначені
напруження 1T , штриховими — напружен-
ня 5T . На рис. 2, г представлено розподіл пе-
реміщень 1u та 3u для третьої та четвертої
власних частот циліндра із п’єзокераміки
PZT 4. Суцільними лініями позначені пере-
міщення 1u , штриховими — переміщення 3u
. Можна також відзначити характерну для
обертонів властивість збільшення осциляції
функції із зростанням номера обертону.
На рис. 2, д представлено розподіл ам-
плі туд переміщень за товщиною суціль-
ного однорідного п’єзокерамічного циліндра для першої гілки (0)W . Суцільними лініями
зображено амплітуди переміщень 1u , а штриховими — амплітуди переміщень 3u . Як видно
з наведеного рисунка, при народженні ( 0k = ) — це коливання поршневого типу. Зі змен-
шенням довжини хвилі коливання стають комбінованими, присутні рухи, як у напрямку
осі циліндра, так і у радіальному напрямку. В короткохвильовому діапазоні розподіл пере-
міщень за товщиною нагадує поверхневу хвилю “релеєвського” типу. Енергія руху локалізо-
вана біля зовнішньої поверхні циліндра. У цьому випадку лінії на рисунку широкі.
Далі розглянемо випадок, коли циліндр виготовлено з функціонально градієнтного п’єзо-
ке рамічного матеріалу. А саме, матеріал складається з двох компонент — сталі та п’єзо ке ра мі-
ки. Тоді характеристики матеріалу змінюються по товщині циліндра наступним чином:
( ) ( ) ( ) ,m p pP r P P V r P= − + (16)
де ( )V z — об’ємна частка п’єзокераміки в загальному об’ємі ФГПМ,
0 1
( ) .
2 2
n
r R
V r
h
−⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(17)
Підставляючи замість ( )P r у формулу (16) буть які модулі, що описують фізико-ме-
ханічні властивості матеріалу, отримаємо відповідні значення для модулів неперервно нео-
днорідного п’єзокерамічному матеріалу (ФГПМ) [5].
Найбільший інтерес для нас представляє розподіл амплітуд для першої гілки (0)U .
Справа в тому, що у випадку однорідного суцільного циліндра перша гілка у короткохви-
льовому діапазоні виходить на хвилю, яка поширюється без дисперсії. Подальший аналіз
показує, що це поверхнева хвиля релеєвського типу (див. рис. 2, д)). У випадку ж неоднорід-
ного суцільного циліндра навіть у короткохвильовій області існує дисперсія.
На рис. 3, а представлено розподіл переміщень 1u та 3u , напружень 1T та 5T (рис. 3, б)
і електростатичного потенціалу Ф та діелектричної проникності 1D (рис. 3, в) для першої
гілки (0)U циліндра з ФГПМ. Очевидним є те, що у короткохвильовій області ця хвиля не
є поверхневою, механічна і електрична енергія зміщуються в зону більш м’якого матеріалу.
0 1 2 3 �/
W(0)U(1)
W(1)
W(2)
U(2)
8
4
Рис. 1. Вплив виду електричних граничних умов
на характер дисперсійних відношень
0,25 0,50 0,75
–0,55
0,00
0,55
T1(�2)
0
����10
����2,0
T1 / T1max
T5 / T1max
T1 / T1max
T5 / T1max
ur / urmax
uz / urmax
ur / urmax
uz / urmax
��� 0,1
x
0,25 0,50 0,750 x
T1(�5)
T5(�2, �5)
a
ur (�2)
ur (�5)
uz (�2, �5)
б
0,25 0,50 0,75
–0,5
0,0
0,5
x0
–0,5
0,0
0,5
T5(�3)
T5(�4)
T1(�3, �4)
uz (�3)
uz (�4)
ur (�3, �4)
����6,0
����0,1
����10,0
����1,0
����2,0
0,25 0,50 0,75
–0,5
0,0
0,5
x0
в г
ur / urmax
uz / urmax
0,25 0,50 0,75
–0,5
0,0
0,5
x0
д
Рис. 2. Розподіл переміщень u1 та u3 для другої
та п’ятої власних частот циліндра із п’єзоке ра мі-
ки PZT 4
41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 4
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль...
Висновки. Досліджено поширення вимушених хвиль у суцільних однорідних та нео-
днорідних п’єзокерамічних циліндричних тілах на основі просторової теорії електропруж-
ності. Представлено розв’язуючу систему диференціальних рівнянь у частинних похідних
із змінними коефіцієнтами для випадку осьової поляризації п’єзокераміки. Сформульовано
граничні умови в особливій точці суцільного п’єзокерамічного циліндра 0r = . Компоненти
тензора напружень, вектора переміщень, електростатичного потенціалу та електричної ін-
дукції представлені у вигляді стоячих окружних хвиль і вимушених хвиль, що біжать в осьо-
вому напрямку. Тривимірна система розв’язувальних рівнянь зводиться до крайової задачі,
0,25 0,50 0,75
–0,5
0,0
0,5
0
����2,0
Ф/ Фmax / D1max
Ф / Фmax / D1max
T1 /max (T1, T5)
T5 /max (T1, T5)
ur /max (ur, uz)
uz /max (ur, uz)
x
0,25 0,50 0,750 x
a б
–0,5
0,0
0,5
0,25 0,50 0,75
–0,5
0,0
0,5
x0
����2,0
����2,0
����1,0
����0,1
����6,0
����10,0
����1,0
����0,1
����6,0
����10,0
����1,0
����0,1
����6,0
����10,0
в
Рис. 3. Розподіл переміщень u1 та u3, напружень
T1 та T5
42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 4
О.Я. Григоренко, І.А. Лоза, С.О. Сперкач, А.Д. Безугла
яка описується системою звичайних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.
Запропоновано дискретно-континуальний аналітичний чисельний підхід до вирішення за-
дач теорії просторової електропружності процесів поширення хвиль у однорідних та не-
перервно неоднорідних п’єзокерамічних суцільних циліндричних тілах. Розв’язано осеси-
метричну задачу поширення вимушених акустоелектричних хвиль в осьовому напрямку у
випадку осьової поляризації для однорідного та неоднорідного суцільного п’єзокерамічного
циліндра. Представлено розподіл амплітуд переміщень, напружень, електричного потенціа-
лу та діелектричної проникності по товщині циліндра.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Dai H.-I., Hong L., Fu Y.-M., Xiao X. Analytical solution for electromagnetothermoelastic behavior of a func-
tionally graded piezoelectric hollow cylinder. Appl. Math. Model. 2010. 34, № 2. P. 343—357.
https://doi.org/10.1016/j.apm.2009.04.008
2. Grigorenko A.Y., Loza I.A. Axisymmetric Acoustoelectric Waves in a Hollow Cylinder Made of a Conti-
nuously Inhomogeneous Piezoelectric Material. Int. Appl. Mech. 2017. 53, № 4. P. 374—380.
https://doi.org/10.1007/s10778-017-0821-7
3. Grigorenko A.Y., Loza I.A. Propagation of axisymmetric electroelastic waves in a hollow layered cylinder
under mechanical excitation. Int. Appl. Mech. 2017. 53, № 5. P. 562—567.
https://doi.org/10.1007/s10778-017-0837-z
4. Grigorenko A.Y., Müller W.H., Grigorenko Y.M., Vlaikov G.G. Recent developments inanisotropic heteroge-
neous shell theory. In: General theory and applications of classical theory. Vol. I. Berlin: Springer, 2016.
5. Grigorenko A.Ya., Müller W.H., Loza I.A. Selected Problems in the Elastodynamics of Piezoceramic Bodies.
Springer, 2021. 227 p.
6. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Rozhok L.S. Solving the Stress Problem for Solid Cylinders with Differ-
ent End Conditions. Int. Appl. Mech. 2006. 42, № 6. P. 629—635. https://doi.org/10.1007/s10778-006-0130-z
7. Han X., Liu G.-R. Elastic waves in a functionally graded piezoelectric cylinder. Smart Mater. Struct. 2003. 12,
№ 6. P. 962—971. https://doi.org/10.1088/0964-1726/12/6/014
8. Puzyrev V., Storozhev V.I. Wave propagation in axially polarized piezoelectric hollowcylinder of sector cross
section. J. Sound. Vib. 2011. 330, Iss. 18-19. P. 4508–4518.
9. Paul H.S. Torsional vibration of a circular cylinder of piezoelectric β-quartz. Arch. Mech. Stosow. 1962. 14,
№ 5. P. 127—134.
10. Puzyrev V. Elastic waves in piezoceramic cylinders of sector cross-section. Int. J. Solids Struct. 2010. 47,
Iss. 16. Р. 2115–2122. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2010.04.011
11. Shatalov M.Y., Every A.G., Yenwong-Faia A.S. Analysis of non-axisymmetric wave propagation in a homoge-
neous piezoelectric solid circular cylinder of transversely isotropic material. Int. J Solids Struct. 2009. 46,
№ 3–4. P. 837—850. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2008.09.022
12. Shul’ga N.A. Propagation of harmonic waves in anisotropic piezoelectric cylinders.Homogeneous piezocer-
amic waveguides. Int. Appl. Mech. 2002. 38, № 4. P. 1440—1458. https://doi.org/10.1023/A:1023205707153
Надійшло до редакції 11.05.2022
REFERENCES
1. Dai, H.-I., Hong, L., Fu, Y.-M. & Xiao, X. (2010). Analytical solution for electromagnetothermoelastic
behavior of a functionally graded piezoelectric hollow cylinder. Appl. Math. Model., 34, No. 2, pp. 343-357.
https://doi.org/10.1016/j.apm.2009.04.008
2. Grigorenko, A. Y. & Loza, I. A. (2017). Axisymmetric Acoustoelectric Waves in a Hollow Cylinder Made
of a Continuously Inhomogeneous Piezoelectric Material. Int. Appl. Mech., 53, No. 4, pp. 374-380.
https://doi.org/10.1007/s10778-017-0821-7
43ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 4
Чисельний розв’язок задачі про поширення вимушених електропружних хвиль...
3. Grigorenko, A. Y. & Loza, I. A. (2017). Propagation of axisymmetric electroelastic waves in a hollow layered
cylinder under mechanical excitation. Int. Appl. Mech., 53, No. 5, pp. 562-567. https://doi.org/10.1007/
s10778-017-0837-z
4. Grigorenko, A. Y, Müller, W. H., Grigorenko, Y. M. & Vlaikov, G. G. (2016). Recent developments inanisotropic
heterogeneous shell theory. In: General theory and applications of classical theory. Vol. I. Berlin: Springer.
5. Grigorenko A. Ya., Müller, W. H. & Loza, I. A. (2021). Selected Problems in the Elastodynamics of Piezocer-
amic Bodies. Springer.
6. Grigorenko, Ya. M., Grigorenko, A. Ya. & Rozhok, L. S. (2006). Solving the Stress Problem for Solid Cylin-
ders with Different End Conditions. Int. Appl. Mech., 42, No. 6, pp. 629-635.
https://doi.org/10.1007/s10778-006-0130-z
7. Han, X. & Liu, G.-R. (2003). Elastic waves in a functionally graded piezoelectric cylinder. Smart. Mater.
Struct., 12, No. 6, pp. 962-971. https://doi.org/10.1088/0964-1726/12/6/014
8. Puzyrev, V. & Storozhev, V.I. (2011). Wave propagation in axially polarized piezoelectric hollowcylinder of
sector cross section. J. Sound. Vib., 330, Is. 18-19, pp. 4508-4518.
9. Paul, H. S. (1962). Torsional vibration of a circular cylinder of piezoelectric β-quartz. Arch. Mech. Stosow.,
14, No. 5, pp. 127-134.
10. Puzyrev, V. (2010). Elastic waves in piezoceramic cylinders of sector cross-section. Int. J. Solids. Struct., 47,
Is. 16, рр. 2115-2122. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2010.04.011
11. Shatalov, M. Y., Every, A. G. & Yenwong-Faia, A. S. (2009). Analysis of non-axisymmetric wave propagation
in a homogeneous piezoelectric solid circular cylinder of transversely isotropic material. Int. J. Solids. Struct.,
46, No. 3–4, pp. 837-850. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2008.09.022
12. Shul’ga, N. A. (2002.) Propagation of harmonic waves in anisotropic piezoelectric cylinders.Homogeneous
piezoceramic waveguides. Int. Appl. Mech., 38, pp. 1440-1458. https://doi.org/10.1023/A:1023205707153
Received 11.05.2022
A.Ya. Grigorenko 1, https:// orcid.org/0000-0002-4109-2672
І.А. Loza2, https:// orcid.org/0000-0002-2678-6908
S.О. Sperkach 3, https:// orcid.org/0000-0003-3168-6300
А.D. Bezuglaya 3, https:// orcid.org/0000-0001-8083-3210
1 S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
2National Transport University, Kyiv
3Technical center of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: ayagrigorenko1991@gmail.com, lozaigor1956@gmail.com,
svetlana@nasu.kiev.ua, bezuglaya.anna24@gmail.com
NUMERICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF PROPAGATION OF FORCED
ELECTROELASTICITY WAVES IN A SOLID PIEZOCERAMIC CYLINDE
The propagation of forced axisymmetric waves in a solid homogeneous and inhomogeneous piezoceramic cylinder with
axial polarization based on the linear theory of elasticity and the linear electromechanical coupling is investigated. A
mechanical load to the lateral surface of the cylinder is applied and it is free of the electrodes. The case of the continu-
ously inhomogeneous piezoceramic cylinder material is considered. The boundary conditions at singular point of a solid
piezoceramic cylinder are formulated. The discretely continual analytical numerically approach to solve of the problems
of the forced wave propagation in the piezoceramic solid cylindrical bodies is proposed. The three-dimensional problem
of the theory of electroelasticity in the partial derivatives (by presenting components of the elasticity tensor, component
of displacement vectors, electrical induction and electrostatic potential by running waves in the axial direction) is re-
duced to the boundary value problems for the system of the ordinary differential equations. The оne-dimensional prob-
lem is solved by a stable method of discrete orthogonalization. The kinematic analysis of the propagation of forced
electroelastic waves in a solid piezoceramic homogeneous and inhomogeneous cylinder is carried out
Keywords: forced wave propagation, axisymmetric problem, piezoelectric solid cylinder, numerical method, nonho-
mogeneous material, kinematic characteristics.
|