Функції і поліноми Лагерра—Келі - Макаров, В.Л.; Макаров, С.В. (Доповіді НАН України, 2022)
Виникнення поліномів Лагерра–Келі пов’язане з розв’язуванням задачі Коші для абстрактного однорідного еволюційного рівняння дробового порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом A. З використанням зображення її розв’язку через операторну функцію Міттаг-Леффлера із заміною оператора A його перетворенням Келі A =(I −q)⁻¹q і подальшим розкладом у ряд за степенями q одержується базова формула методу перетворення Келі. Коефіцієнтами цього ряду є функції Лагерра–Келі. Оскільки метод перетворення Келі належить до експоненціально збіжних методів і в ряді випадків є ефективнішим порівняно з існуючими методами з точки зору алгоритмічної реалізації, дослідження функцій Лагерра–Келі є важливою і актуальною задачею. У статті досліджені основні властивості функцій Лагерра–Келі та пов’язаних із ними поліномів. Знайдено явний вигляд цих функцій та рекурентні формули двох типів (з інтегральним членом і без нього), які вони задовольняють. Доведено, що поліноми Лагерра–Келі не задовольняють тричленне рекурентне співвідношення, а отже, не утворюють ортогональну систему. Вони також не є розв’язками диференціальних рівнянь скінченних порядків зі змінними поліноміальними коефіцієнтами, незалежними від степеня полінома. Вивчено ряд властивостей нулів поліномів Лагерра–Келі. З використанням засобів комп’ютерної алгебри Maple знайдено асимптотичну поведінку досліджуваних функцій, що є дуже важливим для обґрунтування експоненціальної швидкості збіжності методу перетворення Келі.