Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами
Рассмотрено применение аппроксимационно-операционного подхода к решению линейных дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами. Показано, что метод может применяться также к решению дифференциальных уравнений как дробного, так и смешанного порядков. Вычислительные эксперим...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18743 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 3-14. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18743 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-187432011-04-10T12:03:58Z Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами Васильев, А.В. Рассмотрено применение аппроксимационно-операционного подхода к решению линейных дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами. Показано, что метод может применяться также к решению дифференциальных уравнений как дробного, так и смешанного порядков. Вычислительные эксперименты выполнены в программной среде системы Mathematica®. An application of approximated operational approach to the solution of linear non-integer order differential equations with variable coefficients has been considered. It has been shown, that the method can be applied also to the solution both of the non-integer and combined order differential equations. The computer experiments were fulfilled in Mathematica® program area. 2009 Article Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 3-14. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18743 621. 372. 061 9 (045) ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрено применение аппроксимационно-операционного подхода к решению линейных дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами. Показано, что метод может применяться также к решению дифференциальных уравнений как дробного, так и смешанного порядков. Вычислительные эксперименты выполнены в программной среде системы Mathematica®. |
| format |
Article |
| author |
Васильев, А.В. |
| spellingShingle |
Васильев, А.В. Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Васильев, А.В. |
| author_sort |
Васильев, А.В. |
| title |
Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами |
| title_short |
Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами |
| title_full |
Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами |
| title_fullStr |
Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами |
| title_full_unstemmed |
Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами |
| title_sort |
метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по капуто и с переменными коэффициентами |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18743 |
| citation_txt |
Метод численно-аналитического решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменными коэффициентами / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 3-14. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT vasilʹevav metodčislennoanalitičeskogorešeniâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnyminecelogoporâdkapokaputoisperemennymikoéfficientami |
| first_indexed |
2025-07-02T19:43:04Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:43:04Z |
| _version_ |
1836565538819538944 |
| fulltext |
3
УДК 621. 372. 061 9 (045)
А. В. Васильев, канд. техн. наук
Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энер-
гетике ИПМЭ им. Г. Е. Пухова НАН Украины, г. Киев
МЕТОД ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПРОИЗВОДНЫМИ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА ПО КАПУТО
И С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрено применение аппроксимационно-операцион-
ного подхода к решению линейных дифференциальных урав-
нений дробного порядка с переменными коэффициентами.
Показано, что метод может применяться также к решению
дифференциальных уравнений как дробного, так и смешанно-
го порядков. Вычислительные эксперименты выполнены в
программной среде системы Mathematica®.
Ключевые слова: полиномиальная аппроксимация, дроб-
ное исчисление, дифференциальное уравнение нецелого поряд-
ка, производная по Капуто, математическое моделирование,
динамическая система.
Введение. Исследование динамических систем с иррациональ-
ными передаточными функциями и функционирующих во фракталь-
ных средах приводит к необходимости исследовать и решать интег-
ро-дифференциальные уравнения с производными и интегралами
нецелых порядков [8]. Получение аналитических решений таких
уравнений в большинстве случаев сталкивается с большими трудно-
стями. При численном решении дифференциальных уравнений дроб-
ного порядка чаще всего используют формулу Грюнвальда-
Летникова [7], которая является обобщением методов конечных раз-
ностей и конечных сумм классического математического анализа. В
случае использования операционных методов обычно стремятся пре-
образовать исходное дифференциальное уравнение к интегральному
путем интегрирования с порядком интегрального оператора равным
порядку старшей производной в заданном уравнении. При этом воз-
никает проблема задания начальных условий для дробных производ-
ных различных порядков, численные величины которых при иссле-
довании реальных динамических систем не всегда возможно полу-
чить. Избежать необходимости задания начальных условий для дроб-
ных производных оказывается возможным благодаря введению опре-
деления дробной производной по Капуто [5, 8], для которой доста-
точно иметь начальные условия для функции и целочисленных про-
изводных искомого решения. В данной работе рассмотрен аппрокси-
© А. В. Васильев, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
4
мационный метод решения линейных дифференциальных уравнений
дробного порядка с переменными коэффициентами и производными
по Капуто. Работа построена следующим образом. В ретроспектив-
ном плане приведены известные понятия и формулы метода полино-
миальной аппроксимации как операционного, а также основные оп-
ределения производных и интегралов дробного (нецелого) порядка,
используемые в статье. Затем рассмотрено применение метода к по-
лучению приближенных решений задачи Коши для линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффи-
циентами, как целого, так и дробного порядков. Изложение сопрово-
ждается иллюстративными примерами, выполненными в среде сис-
темы Mathematica®.
Полиномиальная аппроксимация как операционный метод
Как известно [1, 3], сигнал ( )x t , заданный на интервале измере-
ния аргумента 0 t T≤ < , может быть аппроксимирован обобщенным
полиномом по некоторой системе базисных (образующих) функций
*
1 2( ) [ ( ), ( ), , ( )]mt s t s t s t=S
v
L следующим выражением:
*
1
( ) ( ) ( )
m
a i i
i
x t X s t t
=
= ⋅ = ⋅∑ X S
vv
, (1)
где: *
1 2[ , , , ]mX X X=X
v
L — вектор коэффициентов полинома (1),
называемый аппроксимирующим полиномиальным спектром сигна-
ла, символом * здесь и далее обозначены операции транспонирования
векторов и матриц.
Оптимальная аппроксимация, соответствующая минимуму инте-
грала квадрата функции ошибки на интервале аппроксимации
( )2
0
( ) ( ) min( )
T
aJ x t x t dt= − ⇒∫ X
v
, достигается, если аппроксимирую-
щий полиномиальный спектр сигнала находится из следующих вы-
ражений:
1−= ⋅X W Q
vv
, (2)
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
m m mm
w w w
w w w
w w w
=
W
L
L
M M O M
L
, (3)
0
( ) ( )
T
ij i jw s t s t dt= ⋅∫ , (4)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
5
*
1 2[ , , , ]mq q q=Q
v
L , (5)
0
( ) ( )
T
i iq x t s t dt= ⋅∫ . (6)
Предполагается, что система базисных функций обладает функ-
циональной полнотой, определена на том же интервале изменения
аргумента, что и сам сигнал, и интегралы (4) и (6) существуют и мо-
гут быть определены численно.
Выражения (1)—(6) трактуются как прямое и обратное операци-
онное преобразования [1], операционный характер которых стано-
вится очевидным, если их представить в следующем виде:
1
*
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
T T
t t dt x t t dt
−
= ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫X S S S
v v vv
, (7)
*( ) ( )ax t t= ⋅X S
vv
. (8)
Первое из этих выражений (7) сопоставляет сигналу ( )x t , как
функции времени, его операционное изображение в виде вектора ко-
эффициентов аппроксимирующего полинома X
v
и является, по суще-
ству, прямым операционным преобразованием. Выражение (8) вы-
полняет реконструкцию сигнала по его изображению в виде аппрок-
симации и является обратным операционным преобразованием. Не-
обходимо заметить, что операции интегрирования в (7) выполняются
над каждым элементом матрицы или вектора. Каждая система базис-
ных функций формирует свой вид операционных преобразований.
Каждой математической операции над сигналами соответствуют эк-
вивалентные математические операции над изображениями, которые
формируют своеобразную алгебру. Приведем с целью полноты изло-
жения только два положения такой алгебры.
Первое положение касается линейной комбинации двух сигна-
лов:
( ) ( ) ( ) ,z t a x t b y t a b= ⋅ ± ⋅ ⇔ = ⋅ ± ⋅Z X Y
v v v
(9)
которое означает, что линейной комбинации сигналов соответствует
в области изображений такая же линейная комбинация векторов ап-
проксимирующих спектров этих сигналов.
Второе положение определяет правило нахождения изображе-
ния интеграла сигнала по изображению подинтегральной функции:
1
0
( ) ( )
t
sy t x dτ τ= ⇔ = ⋅∫ Y P X
v v
. (10)
Математичне та комп’ютерне моделювання
6
В (9), (10) символом ⇔ обозначено взаимное соответствие вы-
ражений в пространстве оригиналов и пространстве изображений.
Операции интегрирования сигнала с переменным верхним пределом
(10) соответствует умножение вектора аппроксимирующего спектра
подинтегральной функции на так называемую операционную матри-
цу интегрирования 1
sP , элементы которой зависят только от системы
базисных функций. Нижний индекс указывает на вид базисной сис-
темы, а верхний индекс — порядок интегрального оператора. Систе-
матическое применение операционных преобразований к математи-
ческой модели динамической системы в форме интегро-
дифференциальных уравнений приводит к математической модели
той же динамической системы в форме алгебраических уравнений,
что позволяет исследовать динамическую систему как алгебраиче-
ский объект (безинерционную систему). Проиллюстрируем порядок
применения операционного подхода к простейшему дифференциаль-
ному уравнению первого порядка:
0
( ) ( ) ( )
(0)
dy t a y t f t
dt
y y
+ ⋅ =
=
(11)
Интегрируя (11), получим следующее интегральное уравнение:
0
0 0
( ) ( ) ( )
t t
y t a y d f d yτ τ τ τ+ ⋅ = +∫ ∫ . (12)
Переход в область изображений приводит к следующему век-
торно-матричному уравнению:
1 1
0s sa y+ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅Y P Y P F 1
vv v v
. (13)
Решение (13) имеет вид:
( ) 11 1
0( )s sa y
−
= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅Y E P P F 1
vv v
, (14)
где E — единичная матрица m-го размера.
Переход в область оригиналов приводит к следующей аппрок-
симации решения:
*( ) ( )ay t t= ⋅Y S
vv
. (15)
Полученное решение является численно-аналитическим, так как
в качестве базисной системы функций могут быть использованы раз-
личные системы (степенные, экспоненциальные, тригонометриче-
ские, ортогональные полиномы и т.д.). Числовой результат формиру-
ется при задании конкретной базисной системы.
При аппроксимации сигналов в моделировании и автоматиче-
ском управлении широкое распространение получила базисная сис-
Серія: Технічні науки. Випуск 2
7
тема функций, называемых блочно-импульсными [6]. Эта система
представляет собой совокупность прямоугольных импульсов единич-
ной амплитуды, сдвинутых относительно друг друга на величину
продолжительности импульса и заполняющих интервал аппроксима-
ции. Определение такой базисной системы имеет вид:
1, если ( 1)
( ) ( ) , : 1, 2, ,
0, если t<( 1) или i i
i h t ih Ts t v t i m h
i h t ih m
− ≤ <
= = = = − ≥
L . (16)
В такой базисной системе задача аппроксимации сигнала суще-
ственно упрощается, и блочно-импульсный спектр сигнала определя-
ется выражением:
( 1)
1 ( )
ih
i
i h
X x t dt
h
−
= ∫ , (17)
а операционная матрица интегрирования имеет вид:
1
столбцов
1 0 0
2 1 0
2
2 2 1
v
m
h
= ⋅
P
L
L
M M O M
L1442443
. (18)
Аппроксимация сигналов при использовании блочно-
импульсной системы базисных функций является кусочно-
ступенчатой, а элементы аппроксимирующего блочно-импульсного
спектра сигнала имеют физический смысл среднего значения сигнала
на интервале h изменения аргумента. Сравнительно невысокая точ-
ность аппроксимации является существенным недостатком блочно-
импульсной системы базисных функций. Однако, простота решения
задачи аппроксимации, особенно при выполнении нелинейных опе-
раций над сигналами, делают эту систему весьма привлекательной и
распространенной. В работах [2, 4] предложен интерполяционно-
экстраполяционный метод повышения точности аппроксимации, по-
лученной при использовании блочно-импульсных спектров. В данной
работе будет использована именно эта система базисных функций.
Основные определения производных и интегралов нецелых
порядков. Дробное исчисление является обобщением классического
математического анализа, имеет уже трехвековую историю и в на-
стоящее время претерпевает второе рождение [5, 7, 8]. Поскольку
предметом данной работы является применение операционного под-
хода к решению дифференциальных уравнений нецелого порядка с
переменными коэффициентами, рассмотрим основные определения
интегралов и производных дробных порядков, используемые в рабо-
Математичне та комп’ютерне моделювання
8
те, а также выражение операционных матриц интегрирования дроб-
ного порядка в системе блочно-импульсных базисных функций.
Интеграл Римана-Лиувилля
Наиболее часто применяется определение интеграла дробного
порядка, связанное с интегральной формулой Коши и получившее
название интеграла Римана-Лиувилля [3, 7, 8]:
1
0
1( ) ( ) ( )
( )
t
I f t t f dβ βτ τ τ
β
−= −
Γ ∫ , (19)
где:
β — нецелый (дробный) порядок интегрального оператора
( 0 Rβ< ∈ ),
(*)Γ — гамма функция Эйлера.
При 1β = выражение (19) превращается в обычный интеграл с
переменным верхним пределом.
Производная дробного порядка β
Производная дробного порядка β при значениях порядка, ле-
жащих в пределах 1 , m m m Nβ− < ≤ ∈ , связана с интегралом Рима-
на-Лиувилля следующим выражением:
1
0
1( ) ( ) ( ) ( )
( )
tm m
m m
m m
d dD f t I f t t f d
mdt dt
β β βτ τ τ
β
− − −= = −
Γ − ∫ . (20)
Производная дробного порядка по Капуто
В технических приложениях удобным является определение
производной дробного порядка, введенное Капуто [3, 8]:
( ) 1
0
1 ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ,
t m
m m m
m
C
m
m
d fI f t t d
m dD f t
d f t m
dt
β β
β
ττ τ
β τ
β
− − −
= −
Γ −=
=
∫
(21)
При использовании определения производной дробного порядка
по Капуто оказывается возможным использование естественных на-
чальных значений функции и целочисленных производных, вместо
начальных значений дробных производных различных порядков, ко-
торые в большинстве случаев получить затруднительно. При нулевых
начальных значениях производные по Капуто совпадают с производ-
ными на основе интеграла Римана-Лиувилля.
Серія: Технічні науки. Випуск 2
9
Операционная матрица интегрирования дробного порядка
В системе блочно-импульсных базисных функций операционная
матрица интегрирования дробного порядка является нижней тре-
угольной тёплицевой матрицей [3]:
1, 1
{ }
m
ijV i j
pβ
= =
=P . (22)
Ее элементы определяются следующим выражением [3]:
1 1 1
0, если i<j
1, если i=j
( 2)
( 1) 2( ) ( 1) , если i>j
ij
hp
i j i j i j
β
β β β
β
+ + +
=
Γ + − + − − + − −
(23)
Необходимо отметить, что выражение (23) при целых значениях
порядка β формирует операционную матрицу интегрирования цело-
го порядка, в частности, при 1β = получается матрица (18).
Аппроксимационно-операционный подход к решению
дифференциальных уравнений нецелого порядка с переменными
коэффициентами и с производными по Капуто
Порядок применения метода рассмотрим на двух иллюстратив-
ных примерах.
Пример 1. Задана следующая задача Коши для дифференциаль-
ного уравнения с переменными коэффициентами: Найти аппрокси-
мацию функции ( )x t , удовлетворяющую дифференциальному урав-
нению: 1 2
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C CD x t t D x t t x t f tβ βϕ ϕ+ ⋅ + ⋅ = и начальным ус-
ловиям: 00 10
0
( )(0) ,
t
dx tx x x
dt =
= = . Предполагается, что дробные по-
рядки дифференциальных операторов лежат в пределах:
1 21 2, 0< 1β β< ≤ ≤ , а переменные коэффициенты удовлетворяют
ограничениям: 1 2( ) 0, ( ) 0t tϕ ϕ> > .
� На первом этапе решения приводим уравнение к интегрально-
му виду, используя определение дробной производной по Ка-
путо (21):
2
2 1 1 2
1 22
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )d x t dx tI t I t x t f t
dtdt
β βϕ ϕ− − + ⋅ + ⋅ =
. (24)
� Вводим для старшей производной целого порядка в (24) новое
определение в виде функции ( )u t :
2
2
( ) ( ).d x t u t
dt
= (25)
Математичне та комп’ютерне моделювання
10
� Интегрируя (25) и используя начальные условия, формируем
выражения для остальных производных целого порядка и са-
мой функции ( )x t в терминах введенной функции ( )u t :
10
0
( ) ( ) ,
tdx t x u d
dt
τ τ= + ∫ (26)
2
00 10
0 0
( ) ( ) .
t t
x t x x t u dτ τ= + ⋅ + ∫ ∫ (27)
� Вводим для известных функций и для неизвестных состав-
ляющих решения вектора аппроксимирующих спектров:
( ) Ff t ⇔
v
, (28)
( )1 1tϕ ⇔ Φ
v
, (29)
( )2 2tϕ ⇔ Φ
v
, (30)
( ) Uu t ⇔
v
. (31)
� Переходим в область изображений:
( )
1 2
2
2 1 1 2
1 2
1 2
1 10 2 00 10
P U D( ) P P U D( ) P U ,
F D( ) P 1 D( ) P 1x x x t
β β
β
− −
−
⋅ + Φ ⋅ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ = Ψ
Ψ = − Φ ⋅ ⋅ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
v v v vv v
v vv v v v v (32)
В (32) введены диагональные матрицы, элементы которых яв-
ляются составляющими аппроксимирующих векторов переменных
коэффициентов ( 1 2( ), ( )t tϕ ϕ ):
1
2
0 0
0 0
( )
0
0 0 m
z
z
z
=
D Z
L
v L
M M O
L
, (33)
*
1 2[ , ,..., ]mz z z=Z
v
. (34)
� Находим аппроксимирующий спектр функции ( )u t путем ре-
шения уравнения (32):
( ) ( )( ) 12 2 2
1 2U P P PD Dβ β −− −= Φ ⋅ Φ ⋅ Ψ
v v v
. (35)
� Вводим в рассмотрение аппроксимирующие спектры решения
уравнения и его первой производной, используя операционные
аналоги выражений (26) и (27):
1
1 10x= ⋅ + ⋅X 1 P U
vv v
, (36)
2
00 10x x= ⋅ + ⋅ + ⋅X 1 t P U
vv vv
. (37)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
11
� Переходим в область оригиналов и определяем аппроксимации
функции решения дифференциального уравнения и ее произ-
водных:
*( ) ( )ax t t= ⋅X S
vv
, (38)
*
1
( )
( )adx t t
dt
= ⋅X S
vv
, (39)
2
*
12
( )
( )ad x t t
dt
= ⋅U S
vv
. (40)
Приведенный порядок сохраняется и для других дифференци-
альных уравнений, в том числе целого и смешанного порядков.
Рассмотрим численный пример применения описанного метода.
Пример 2. Задана задача Коши для дифференциального уравне-
ния:
1.5 2 0.3 2( ) (1 ) ( ) ( )C C tD y t t D y t t x t e−+ + ⋅ + ⋅ = (41)
при начальных условиях: (0) 5, y'(0)=2y = − на интервале изменения
аргумента 0 5t≤ < . Необходимо определить аппроксимацию реше-
ния уравнения и его производных.
Выберем порядок базисной системы блочно-импульсных функ-
ций равным 50. Это соответствует разбиению интервала решения на
50 равных отрезков с длиной 0.1Th m= = . Ниже приводится про-
грамма решения задачи предлагаемым методом в среде системы
Mathematica® [9] и результаты ее работы.
Программа аппроксимационного решения уравнения (41)
§ Определение исходных данных:
φ1:=(1+t2); φ1:= t2; f:=e-t
y0=:-5; y1:=2; β1:=1.5; β2:=0.3;
m:=50; h:=0.1; T:=m*h;
§ Определение базисной системы функций:
V:=Table[If[(i-1)*h<t≤i*h,1,0],{i,m}];
§ Определение векторов аппроксимирующих спектров извест-
ных функций, входящих в уравнение (переменных коэффициен-
тов, правой части, константы 1 и аргумента t):
( )
{ }ϕ
∫
i*h
i-1 *h
1Ф1:= Table * 1dt, i,mh
( )
{ }ϕ
∫
i*h
i-1 *h
1Ф2:= Table * 2dt, i,mh
( )
{ }
∫
i*h
i-1 *h
1F:= Table * fdt, i,mh
Математичне та комп’ютерне моделювання
12
( )
{ }
∫
i*h
i-1 *h
1One:= Table * 1dt, i,mh
( )
{ }
∫
i*h
i-1 *h
1Tim:= Table * tdt, i,mh
§ Определение единичной матрицы и матричных операционных
изображений переменных коэффициентов:
E1:=IdentityMatrix[m];
D1:=DiagonalMatrix[Ф1];
D2:=DiagonalMatrix[Ф2];
§ Определение операционных матриц интегрирования дробных и
необходимых целых порядков:
H[β_,h_,m_]:=
[ ]
β
β
h
Gamma +2 *Table[Which[i<j, 0, i==j, 1, i>j,
(i-j+1)β+1 – 2(i-j)β+1 + 2(i-j-1)β+1], {i,m}, {i,m}];
P05:=H[0.5,h,m]; P07:=H[0.7,h,m]; P1:=H[1,h,m]; P2:=H[2,h,m];
§ Формирование правой части уравнения в операционной облас-
ти:
Ф:=F-y1*D1.P07.One-D2.P2.(y0*One+y1+Tim);
§ Нахождение изображения решения в операционной области
(функции, первой и второй производной):
U:=Inverse[(P05+D1.P07+D2.P2)].Ф;
Y1:=y1*One+P1.U;
Y:=y0*One+y1*Tim+P2.U;
§ Визуализация векторов решения в операционной области
(рис. 1):
Рис. 1. Элементы векторов U, Y1, Y
Серія: Технічні науки. Випуск 2
13
§ Формирование аппроксимаций решения уравнения и его двух
производных:
ya=Y.V; y1a=Y1.V;
§ Визуализация аппроксимаций решения уравнения и его двух
производных (рис.2):
Plot[{ya,y1a,ua}, {t,0,5}, Plot Points ->200]
Рис.2. Аппроксимация решения уравнения (41).
Заключение. Предложен порядок применения операционного
метода на основе полиномиальной аппроксимации сигналов к реше-
нию линейных интегро-дифференциальных уравнений дробного и
смешанного порядков с производными по Капуто. Порядок предпо-
лагает замену производной наивысшего целого порядка новой функ-
цией, для которой исходное дифференциальное уравнение превраща-
ется в интегральное с операторами Римана–Лиувилля. В операцион-
ной области используется блочно-импульсная система базисных
функций, для которой существенно упрощается операция произведе-
ния функций. Рассмотренный метод может быть реализован в любой
из известных систем компьютерной алгебры.
Список использованной литературы:
1. Васильев В. В. Полиномиальные методы аппроксимации как операцион-
ные исчисления и их реализация в программной среде системы
“Mathematica®” / В. В. Васильев, Л. А. Симак // Электронное моделирова-
ние. — 1996, Т. 18, № 4. — С. 34—42.
2. Васильев В. В. Интерполяционно-экстраполяционный метод цифровой
обработки сигналов на основе смещенных систем базисных функций /
В. В. Васильев, Л. А. Симак, А. М. Тодорова // Зб. наукових праць Інсти-
туту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН України. —
Математичне та комп’ютерне моделювання
14
К. : Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова НАН
України, 2003. — Вип. 22. — С. 3—12.
3. Васильев В. В. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в мо-
делировании динамических систем / В. В. Васильев, Л. А. Симак. — К. :,
НАН Украины, 2008. — 256 с.
4. Симак Л. А., Рыбникова А. М. Моделирование динамических систем
нецелого порядка с переменными параметрами интерполяционно-экстра-
поляционным методом / Л. А. Симак, А. М. Рыбникова // Електроніка та
системи управління. — 2006, № 1 (7). — С. 38—43.
5. Учайкин В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. — Улья-
новск : Издательство «Артишок», 2008. — 512 с.
6. Jiang Z. H. Block Pulse Functions and Their Applications in Control Systems /
Z. H. Jiang, W. Schaufelberger // Lecture Notes in Control and Information
Sciences, Vol. 179. — Springer-Verlag, 1992. — 237 p.
7. Oldham K. B. The Fractional Calculus / K. B. Oldham, J. Spanier. — New-
York—London : Academic Press, 1974. — 234 p.
8. Podlubny I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny // Mathematics in
Science and Enginering, Vol. 198. — Academic Press, 1999. — 340 p.
9. Wolfram S. The Mathematica Book / S. Wolfram. — Wolfram Media & Cam-
bridge University Press, 1999. — 1470 p.
An application of approximated operational approach to the solution of
linear non-integer order differential equations with variable coefficients
has been considered. It has been shown, that the method can be applied
also to the solution both of the non-integer and combined order differential
equations. The computer experiments were fulfilled in Mathematica® pro-
gram area.
Key words: Polynomial approximation, fractional calculus, non-
integer order differential equation, Caputo’s derivative, mathematical
modelling, dynamical system.
Отримано: 21.10.2009
|