Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа
Исследуется нелинейный флаттер вязкоупругой пластины, обтекаемой потоком газа. При помощи метода Бубнова-Галеркина задача сведена к исследованию системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Решение ИДУ находится численным методом, основанным на использовании квадратурных формул. На...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18744 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа / А.Ф. Верлань, И.О. Горошко, Б.А. Худаяров // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18744 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-187442011-04-10T12:03:59Z Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа Верлань, А.Ф. Горошко, И.О. Худаяров, Б.А. Исследуется нелинейный флаттер вязкоупругой пластины, обтекаемой потоком газа. При помощи метода Бубнова-Галеркина задача сведена к исследованию системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Решение ИДУ находится численным методом, основанным на использовании квадратурных формул. На основе этого метода разработан алгоритм численного решения задачи. Приведены результаты расчетов критической скорости флаттера. In this work is investigated the flutter of viscoelastic plates streamlined by gas current. By Bubnov-Galerkin methods reduced the problems to investigation of system of ordinary Integro-differential equations (IDE). The IDE are solved by numerical method, which based on using of quadrature formula. Critical speeds for plates flutter are defined. 2009 Article Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа / А.Ф. Верлань, И.О. Горошко, Б.А. Худаяров // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18744 539.3 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется нелинейный флаттер вязкоупругой пластины, обтекаемой потоком газа. При помощи метода Бубнова-Галеркина задача сведена к исследованию системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Решение ИДУ находится численным методом, основанным на использовании квадратурных формул. На основе этого метода разработан алгоритм численного решения задачи. Приведены результаты расчетов критической скорости флаттера. |
| format |
Article |
| author |
Верлань, А.Ф. Горошко, И.О. Худаяров, Б.А. |
| spellingShingle |
Верлань, А.Ф. Горошко, И.О. Худаяров, Б.А. Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Верлань, А.Ф. Горошко, И.О. Худаяров, Б.А. |
| author_sort |
Верлань, А.Ф. |
| title |
Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа |
| title_short |
Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа |
| title_full |
Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа |
| title_fullStr |
Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа |
| title_full_unstemmed |
Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа |
| title_sort |
компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18744 |
| citation_txt |
Компьютерное моделирование флаттера вязкоупругих пластин в сверхзвуковом потоке газа / А.Ф. Верлань, И.О. Горошко, Б.А. Худаяров // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 15-23. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT verlanʹaf kompʹûternoemodelirovanieflatteravâzkouprugihplastinvsverhzvukovompotokegaza AT goroškoio kompʹûternoemodelirovanieflatteravâzkouprugihplastinvsverhzvukovompotokegaza AT hudaârovba kompʹûternoemodelirovanieflatteravâzkouprugihplastinvsverhzvukovompotokegaza |
| first_indexed |
2025-07-02T19:43:07Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:43:07Z |
| _version_ |
1836565542053347328 |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 2
15
УДК 539.3
А. Ф. Верлань*, д-р техн. наук,
И. О. Горошко*, канд. техн. наук,
Б. А. Худаяров**, д-р техн. наук
*Институт проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова
НАН Украины, г. Киев,
**Ташкентский институте ирригации и мелиорации, г. Ташкент
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФЛАТТЕРА
ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН В СВЕРХЗВУКОВОМ
ПОТОКЕ ГАЗА
Исследуется нелинейный флаттер вязкоупругой пластины,
обтекаемой потоком газа. При помощи метода Бубнова-
Галеркина задача сведена к исследованию системы обыкно-
венных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Реше-
ние ИДУ находится численным методом, основанным на ис-
пользовании квадратурных формул. На основе этого метода
разработан алгоритм численного решения задачи. Приведены
результаты расчетов критической скорости флаттера.
Ключевые слова: вязкоупругие пластинки, флаттер,
интегро-дифференциальные уравнения.
В настоящее время все большее распространение в авиационных
конструкциях получают композиционные материалы. В связи с этим
актуальное значение приобретает разработка методов расчета от-
дельных элементов летательных аппаратов, выполненных из компо-
зиционных материалов [1—5].
В настоящей работе исследуется нелинейная задача флаттера
вязкоупругой пластины, обтекаемой с внешней стороны сверхзвуко-
вым потоком. На основе численного метода [6] описан алгоритм чис-
ленного решения задачи.
Ранее в работах [7—13] и других уже рассматривались подобные
задачи для упругой пластинки и оболочки в сверхзвуковом потоке газа.
Рассмотрим нелинейную задачу о флаттере вязкоупругой пла-
стины. Пусть пластина со сторонами a и b, обтекается с одной сторо-
ны сверхзвуковым потоком газа. Аэродинамическое давление учиты-
ваем по поршневой теории [14].
Уравнения Кармана в декартовой системе координат относи-
тельно перемещений u, v и w, с учетом вязкоупругих свойств мате-
риала конструкций, можно записать в следующем виде [15]:
© А. Ф. Верлань, И. О. Горошко, Б. А. Худаяров, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
16
2 2 2 2 2
12 2 2
2 2 2 2 2
22 2 2
1 1 1(1 ) ( ) 0 ,
2 2
1 1 1(1 ) ( ) 0 ,
2 2
u u v uR L w
x y Ex y t
v v u vR L w
x y Ey x t
µ µ µρ
µ µ µρ
∗
∗
∂ − ∂ + ∂ − ∂ − + + + − =
∂ ∂∂ ∂ ∂
∂ − ∂ + ∂ − ∂ − + + + − =
∂ ∂∂ ∂ ∂
(1)
2
4
3 2(1 ) ( , , ) .wD R w L u v w h q
t
ρ∗ ∗ ∂
− ∇ + + =
∂
Здесь
2 2 2
1 2 2
1 1( ) ,
2 2
w w w w w wL w
x y xx x y y
µ µ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2
1 1( ) ,
2 2
w w w w w wL w
y x yy x y x
µ µ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
( )3 2( , , ) 1
1
Eh w u vL u v w R
x x x y
µ
µ
∗ • ∂ ∂ ∂ ∂= − − + + ∂ ∂ ∂ ∂−
( ) ( )
( )
2
1 1 1
2 1
1 1 ,
2
w u v Eh w u vR R
y y x y y x y
w u vR
x y x
µ µ
µ
µ
∗ ∗
∗
− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂−
− ∂ ∂ ∂ + − + ∂ ∂ ∂
где D — цилиндрическая жесткость; µ, Е, ρ — коэффициент Пуассо-
на, модуль упругости и плотность материала; h — толщина пластин-
ки; R* — интегральный оператор вида:
0
( ) ( ) ( )
t
R t R t dφ τ φ τ τ∗ = −∫ ; R(t-
τ) — ядро релаксации;
2
2
1 ...W W Wq B BV B V
t x x
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= − − − −
—
аэродинамическое давление, определяемое по теории Ильюшина.
При изгибе в срединной поверхности возникают нормальные и
касательные усилия:
( ) ( ) ( )xy2 1 (x y), N 1 ,
2(1 )1x x y xy
Eh EhN R Rε µε ε
µµ
∗ ∗= − + ⇔ = −
+−
где у ху, , хε ε ε — компоненты конечной деформации,
определяемые формулами [15]:
2 2
xy
1 1, ,
2 2x y
u w v w u v w w
x x y y y x x y
ε ε ε
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Серія: Технічні науки. Випуск 2
17
Моменты xM , yM и xyM определяются через функцию проги-
ба w:
( )
( )
( )( )
2 2
*
2 2
2 2
*
2 2
2
*
1 ,
1 ,
1 1 .
x
y
xy
w wM D R
x y
w wM D R
y x
wM D R
x y
∂ ∂µ
∂ ∂
∂ ∂µ
∂ ∂
∂µ
∂ ∂
= − − +
= − − +
= − −
Будем искать приближенное решение системы (1) в виде
1 1
1 1
1 1
( , , ) ( )cos sin ,
( , , ) ( ) sin cos ,
( , , ) ( )sin sin .
N M
nm
n m
N M
nm
n m
N M
nm
n m
n x m yu x y t u t
a b
n x m yv x y t v t
a b
n x m yw x y t w t
a b
π π
π π
π π
= =
= =
= =
=
=
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
(2)
Подставляя (2) в систему (1) и применяя метод Бубнова-
Галёркина, получим систему ИДУ. Введя в ИДУ следующие безраз-
мерные величины , , , ,x y u v
a b h h
,w
h
V t
a
∞ и сохраняя при этом преж-
ние обозначения, запишем
( ) { }
( ) { }
••
2
ln
1 , 1 , 1
••
2
ln
1 , 1 , 1
1 0,
1 0,
N M
g
kl E kl kl kl kl k mir nm ir
n i m r
N M
g
kl E kl kl kl kl k mir nm ir
n i m r
k
u R M u g v D w w
k
v R M g u v E w w
π α
πλ
λ
π β
πλ
∗
= =
∗
= =
+ − + + =
+ − + + =
∑ ∑
∑ ∑
{ }
2
•• •
ln ln ln
, 1 , 1
1 ln
1 , 1 , 1
(1 )
(1 )
12 0,
4
kl kl kl kl
N M
g nm k mir ir k mir ir k mir ir
n i m r
N N M
p nk nl a k mir nm ir
n n i m r
w M w R w
k w R A u B v C w
M M w M k Г w w
λ ω
χχ λ γ
∗
∗
= =
∗ ∗
= = =
+ + − Ω −
− − + + Ω +
+
+ + =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
1 1 ;k ,N; l ,M= = (3)
где
Математичне та комп’ютерне моделювання
18
2 2 2 2 2 2
2 2 2, , ,
2(1 ) 2(1 )1 1 1
E
kl kl
M k l k lλ λα β
µ µµ µ µ
Ω = = + = +
+ +− − −
( )
4 22 2 2
2
1
, , ,
2(1 ) 12kl kl
Vklg k l M
V
λ πω λ
µ λ
∗ ∞= = + =
−
1
12 2, , , ,E p p
pE aM M M M
hV V λ
χλ
λ
λρ ρ
∞
∞ ∞
= = = =
2 2 2 2
ln 1 ln 1 ln 2 ln2 ,
2(1 ) 2(1 )1k mir k mir k mir k mir
ni nr imrD λ λ
µ µµ
= ∆ + ∆ − ∆
+ −−
2 2 2
ln 3 ln 3 ln 4 ln2 ,
2(1 ) 2(1 )1k mir k mir k mir k mir
mr mi nirE λ
µ µµ
= ∆ + ∆ − ∆
+ −−
2
2
klnmir 7 ln 8 ln
1
A 2(1 )k mir k mir
n i m i nmrπ λµ µ λ
λ λ
= + ∆ + − ∆ −
2
2
5 ln 6 ln(1 ) ,k mir k mir
in r mirλ µ λ
λ
− + ∆ − − ∆
( ){ 2 2
klnmir 7 ln 8 ln
1
B 2(1 )k mir k mirn r m r nmiπ µ λ µ
λ
= + ∆ + − ∆ −
( ) }2 2 2
5 ln 6 ln(1 ) ,k mir k mirnir m i rµ λ− + ∆ − + ∆
( )1
ln 7 ln 5 ln( )k mir x y k mir k mir
nC k k n iβ
µ
λ
= + ∆ − ∆ +
( )1 7 ln 6 ln( ) ,x y k mir k mirm k k m rλβ µ+ + ∆ − ∆
ln ( )k mir k n i n k i n k i k n iГ ni γ γ γ γ+ + − + − − + −= − − + ×
( ),m r l m r l m r l m r lγ γ γ γ− + − − + + + −× − − +
1 ln 1 3 2 ln 2 3 3 ln 3 1, , ,k mir kni lmr k mir kni lmr k mir kni lmrγ γ γ γ γ γ∆ = ∆ = ∆ =
4 ln 4 2 5 ln 4 3 6 ln 3 4, , ,k mir kni lmr k mir kni lmr k mir kni lmrγ γ γ γ γ γ∆ = ∆ = ∆ =
7 ln 3 3 8 ln 4 4, ,k mir kni lmr k mir kni lmrγ γ γ γ∆ = ∆ =
1 ,кni k n i k n i k n i k n iγ γ γ γ γ+ + + − − − − += − − +
2 ,кni k n i k n i k n i k n iγ γ γ γ γ+ + − + − − + −= − − +
3 ,кni k n i k n i k n i k n iγ γ γ γ γ− + + − − − + += + − −
4 .кni k n i k n i k n i k n iγ γ γ γ γ− − + + − + + −= + + +
0, если к 0 или к-четное,
1 , если к нечетное.k
k
γ
=
=
−
Серія: Технічні науки. Випуск 2
19
Интегрируя систему (3) два раза по t, запишем ее в интегральной
форме. Полагая затем t=ti, ti=ih, i=1,2,… (h=const) и заменяя интегра-
лы квадратурными формулами трапеций для вычисления uikl=ukl(ti),
vikl=vkl(ti) и wikl=wkl(ti), получим следующие рекуррентные формулы
при ядре Колтунова-Ржаницына ( ) ( )( )1exp , 0 1R t A t tαβ α−= ⋅ − ⋅ < < :
0 oklpkl kl pu u u t
•
= + −
1
2
0 0
( ) exp( )
p j
j p j E kl jkl s s j skl
j s
AA t t M u B t uπ α β
α
−
−
= =
− − − − +
∑ ∑
0
exp( )
j
kl jkl s s j skl
s
Ag v B t vβ
α −
=
+ − − +
∑
ln
1 , 1 , 1 0
exp( ) ,
jN M
g
k mir jnm jir s s j snm j sir
n i m r s
k AD w w B t w wβ
πλ α − −
= = =
+ − −
∑ ∑ ∑
0 oklpkl kl pv v v t
•
= + −
1
2
0 0
( ) exp( )
p j
j p j E kl jkl s s j skl
j s
AA t t M g u B t uπ β
α
−
−
= =
− − − − +
∑ ∑
0
exp( )
j
kl jkl s s j skl
s
Av B t vβ β
α −
=
+ − − +
∑
ln
1 , 1 , 1 0
exp( ) ,
jN M
g
k mir jnm jir s s j snm j sir
n i m r s
k AE w w B t w w
λ
β
πλ α − −
= = =
+ − −
∑ ∑ ∑
( )
1
00 0
0
1
1
p
klpkl kl kl p j p jkl p j
p j
w w w M w t A M w t t
A M λ
λ
−•
=
= + + − − − × +
∑
2*
1 ln
1 , 1 , 1
12
4
N N M
p kn jnl a k mir jnm jir
n n i m r
M M w M k Г w wχχ λ γ∗
= = =
+ × + +
∑ ∑ ∑
0
exp( )
j
kl jkl s s j skl
s
Aw B t wω β
α −
=
+Ω − − −
∑
ln
, 1 , 1 0
exp( )
jN M
g jnm k mir jir s s j sir
n i m r s
Ak w A u B t uβ
α −
= = =
−Ω − − +
∑ ∑ ∑
Математичне та комп’ютерне моделювання
20
ln
0
exp( )
j
k mir jir s s j sir
s
AB v B t vβ
α −
=
+ − − +
∑
ln
0
exp( )
j
k mir jir s s j sir
s
AC w B t wβ
α −
=
+ − −
∑ ,
1, 2,...; 1, ; 1,p k N l M= = = ; (4)
где 0 ;
2
hA = ;jA h= 1, 1;j i= − ;
2i
hA = ;
2i
hB
α
=
( )( )1
2j
h j j
B
αα α − −
= ; ;s j=
( ) ( )( )1 1
.
2s
h s s
B
α αα + − −
=
На основе разработанного алгоритма создан пакет прикладных
программ на языке Delphi. Результаты вычислений представлены в
таблице и отражаются графиками, приведенными на рис. 1—4.
Исследовалось влияние вязкоупругих свойств материала
пластинки на критические значения скорости флаттера. Результаты
вычислений, представленные в таблице, показывают, что решения
упругих (А=0) и вязкоупругих (А>0) задач существенно различаются
между собой. Например, при увеличении параметра A от нуля до
значения 0.1 критическая скорость флаттера уменьшается на 44.7%.
Таблица 1
Зависимость критической скорости флаттера от физико-механических
и геометрических параметров пластинки
A α β λ1 λ Vкр
0
0.005
0.01
0.1
0.25
0.05 200 1
750
602
523
415
0.01
0.1
0.4
0.6
0.05 200 1
412
528
563
0.01 0.25 0.1
0.01 200 1 520
525
0.01 0.25 0.05
150
180
220
1
830
616
410
0.01 0.25
0.05
200
1.8
2.2
2.5
552
605
653
Серія: Технічні науки. Випуск 2
21
Рис. 1. А=0 (1), А=0,02 (2); t=50; λ=2,3; Рис. 2. Линейное (1), нелинейное (2);
λ1=25; α=0,25; β=0,05; y=0,5; V=450 м/с А=0,1; α=0,25; β=0,05; y=0,5; V=450 м/с
Рис. 3. t=0,1 (1), t=4 (2); t=10 (3); λ=2,2; Рис. 4. t=0,1 (1), t=5 (2); N=5; λ=1,8; λ1=100;
λ1=25; A=0,1; α=0,25; β=0,05; y=0,5; V=450 м/с A=0,1; α=0,25; β=0,05; y=0,0; V=450 м/с
Исследование влияния параметра сингулярности α на критиче-
скую скорость флаттера показало, что с увеличением α эта скорость
возрастает. Например, разница между значениями критической ско-
рости при α=0,1 и α=0,6 составляет 36.7%.
Из приведенной выше таблицы видно, что влияние параметра
затухания β ядра наследственности на скорость флаттера пластинки
по сравнению с влиянием параметра вязкости А и сингулярности α
незначительно, что еще раз подтверждает общеизвестные выводы о
том, что экспоненциальное ядро релаксации неспособно описать на-
следственные свойства материала конструкций.
Изучено влияние параметра вязкости А на изгибающий момент
Мх. Расчетные величины представлены на рис. 1. По оси ординат да-
ны безразмерные величины Мх, по оси абсцисс – безразмерная длина
пластинки. Значения геометрических и физических констант приняты
равными: λ=2; t=50; α=0,25; β=0,05; V=450 м/с; у=0,5; λ1=25. При
А=0,1 амплитуда безразмерного изгибающего момента уменьшается.
Влияние геометрических и аэродинамических нелинейностей
(ГАН) на изгибающий момент Мх изображены на рис. 2. В начальном
Математичне та комп’ютерне моделювання
22
времени влияние ГАН незаметно, а далее разница между линейной и
нелинейной теории увеличивается.
Влияние изгибающих моментов Мх по длине пластины при раз-
личных моментах времени t представлены на рис. 3. Величина Мх при
t=0,1 достигает максимума в точках х=0,75. С увеличением безраз-
мерного времени t максимальное и минимальное значение момента
Мх уменьшается.
На рис. 4 представлены графики изменения крутящего момента
Мху (при у=0) по длине пластины для моментов времени t=0,1 и t=5.
Расчеты получены при следующих значениях геометрических и фи-
зических констант: А=0,1; α=0,25; β=0,05; λ=1,8; V=450 м/с; λ1=100 и
N=5.
Таким образом, в работе исследован нелинейный флаттер вязко-
упругой пластины, обтекаемой потоком газа. При помощи метода
Бубнова-Галеркина задача сведена к исследованию системы обыкно-
венных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ). Решение ИДУ
находится численным методом, основанным на использовании квад-
ратурных формул. На основе этого метода разработан алгоритм чис-
ленного решения задачи. Приведены результаты расчетов критиче-
ской скорости флаттера.
Список использованной литературы:
1. Потапов В.Д. Исследование динамической устойчивости вязкоупругих
систем с помощью показателей Ляпунова / В.Д. Потапов // Изв. АН. МТТ.
— 2000. — № 6. — С. 82—89.
2. Potapov V.D. Stability of Viscoelastic Plate in Supersonic Flow Under Ran-
dom Loading / V.D. Potapov // AIAA Journal. — 1995. — V. 33, No 4.
— P. 712—715.
3. Beldica C.E. A sensitivity study of viscoelastic, structural and piezo-electric
damping for flutter control / C.E. Beldica, H.H. Harry, Y. Sung // Proceedings
39th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Ma-
terials Conference, AIAA Paper 98-1848, 2. — P. 1304—1314.
4. Матяш В.И. Флаттер упруго-вязкой пластинки / В.И. Матяш // Механика
полимеров. — 1971. — № 6. — С. 1077—1083.
5. Ларионов Г.С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластинки / Г.С. Ла-
рионов // Механика твердого тела. — 1974. — № 4. — С. 95—100.
6. Бадалов Ф.Б. О некоторых методах решения систем ИДУ, встречающихся
в задачах вязкоупругости / Ф.Б. Бадалов, Х. Эшматов, М. Юсупов //
ПММ. — 1987. — Т. 51, № 5. — С. 867—871.
7. Мовчан А.А. О влиянии аэродинамического демпфирования на сверхзву-
ковой флаттер обшивки / А.А. Мовчан // Изв. АН СССР, ОТН, Механика
и машиностроение. — 1960. — М. — С. 175—177.
8. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе / А.А. Мовчан //
ПMM. — 1956. — Т. ХХ, № 2. — С.211—222.
Серія: Технічні науки. Випуск 2
23
9. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе / А.А. Мовчан //
ПMM. — 1957. — Т. ХХI, № 2. — С.231—243.
10. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек / В.В. Болотин //
Инж. сб. — 1960. — Т. 28. — С. 55—75.
11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости /
В.В. Болотин. — М. : Физматгиз, 1961. — 340 с.
12. Болотин В.В. Нестационарный флаттер пластин и пологих оболочек в
потоке газа / В.В. Болотин // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машино-
строение. — 1962. — № 3. — С. 106—113.
13. Алгазин С.Д. Численное исследование флаттера пологой оболочки /
С.Д. Алгазин, И.А. Кийко // Журн. прикл. механики и техн. физики.
— 1999. — Т. 40. № 6. — С. 97—102.
14. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверх-
звуковых скоростей / А.А. Ильюшин // ПММ. — 1956. — Т. ХХ, Вып. 6.
— С.733—755.
15. Григолюк Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций /
Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. — М. : Наука, Физматлит, 1997. — 272 с.
In this work is investigated the flutter of viscoelastic plates streamlined
by gas current. By Bubnov-Galerkin methods reduced the problems to in-
vestigation of system of ordinary Integro-differential equations (IDE). The
IDE are solved by numerical method, which based on using of quadrature
formula. Critical speeds for plates flutter are defined.
Key words: viscoelastic plates, flutter, integro-differential equations.
Отримано: 26.11.2009
|