Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь (Конторовича-Лєбєдєва), Ейлера та Фур’є на полярній осі r ³ R0 > 0 з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетво...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18751 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 81-94. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18751 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-187512011-04-10T12:04:07Z Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 Ленюк, М.П. Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь (Конторовича-Лєбєдєва), Ейлера та Фур’є на полярній осі r ³ R0 > 0 з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. By the method of comparison of solution of boundary-value problem for the system of differential (Kontorovich-Lebedev), Eiler and Fourier equations on the polar axis with two contact points, built, from one side, by the method of Cauchy functions, and from other side, by the method of the corresponding hybrid integral transform, polyparametric family of infinite integrals is calculated by the own elements of the corresponding hybrid differential operator. 2009 Article Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 81-94. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18751 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь (Конторовича-Лєбєдєва), Ейлера та Фур’є на полярній осі r ³ R0 > 0 з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з другого боку, методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних інтегралів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора. |
| format |
Article |
| author |
Ленюк, М.П. |
| spellingShingle |
Ленюк, М.П. Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Ленюк, М.П. |
| author_sort |
Ленюк, М.П. |
| title |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_short |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_full |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_fullStr |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_full_unstemmed |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 |
| title_sort |
обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (конторовича-лєбєдєва)-ейлера-фур’є на полярній осі r ≥ r0 > 0 |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18751 |
| citation_txt |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора (Конторовича-Лєбєдєва)-Ейлера-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 81-94. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT lenûkmp občislennânevlasnihíntegralívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatorakontorovičalêbêdêvaejlerafurênapolârníjosírr00 |
| first_indexed |
2025-07-02T19:43:26Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:43:26Z |
| _version_ |
1836565561479266304 |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 2
81
УДК 517.443
М. П. Ленюк, д-р фіз.-мат. наук, професор
Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича,
м. Чернівці
ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ
ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА (КОНТОРОВИЧА-ЛЄБЄДЄВА)-ЕЙЛЕРА-ФУР’Є
НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ R ≥ R0 > 0
Методом порівняння розв’язку крайової задачі для системи
диференціальних рівнянь (Конторовича-Лєбєдєва), Ейлера та
Фур’є на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження,
побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а з дру-
гого боку, методом відповідного гібридного інтегрального пе-
ретворення, обчислено поліпараметричну сім’ю невласних ін-
тегралів за власними елементами відповідного гібридного ди-
ференціального оператора.
Ключові слова: невласні інтеграли, функція Коші, головні
розв’язки, гібридне інтегральне перетворення, умова однозна-
чної розв’язності, основна тотожність, логічна схема.
Постановка проблеми та її аналіз. Тонкостінні елементи конс-
трукцій композитного типу знаходяться, як правило, в короткочасо-
вому стаціонарному режимі, на який вони виходять після стрибкопо-
дібного температурного або силового навантаження. Вивчення їх
фізико-технічних характеристик приводить до задач термомеханіки
(механіки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що
навіть у найпростішому випадку величини, які характеризують стаці-
онарний режим композита, зображаються параметричним невласним
інтегралом, який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли зобра-
жає аналітичну функцію. Звідси виникає природне бажання замінити
невласний інтеграл його результатом збіжності (функцією), що особ-
ливо важливо при інженерних розрахунках. Обчисленню однієї сім’ї
невласних інтегралів присвячена дана робота.
Основна частина. Побудуємо обмежений на множині
{ }2 0 1 1 2 2 0: ( , ) ( , ) ( , ); 0I r r R R R R R R+ = ∈ ∞ >∪ ∪
розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го
порядку (Конторовича-Лєбєдєва), Ейлера та Фур’є для модифікованих
функцій
( )1
2
1 1 1 0 1( ) ( ), ( , )B q u r g r r R Rα − = − ∈ ,
© М. П. Ленюк, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
82
( )2
* 2
2 2 2 1 2( ) ( ), ( , )B q u r g r r R Rα − = − ∈ , (1)
2
2
3 3 3 22( ) ( ) ( ), ( , )d q u r g r r R
dr
− = − ∈ ∞
з крайовими умовами
0
0 0
11 11 1 0( )
r R
d u r g
dr
α β
=
+ =
, 3lim[ ( )] 0
r
r u rγ
→∞
= (2)
та умовами спряження
1 1 2 2 1( ) ( )
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
d du r u r
dr dr
α β α β ω+
=
+ − + =
, , = 1,2j k . (3)
У системі (1) беруть участь диференціальні оператори:
1
2
2 2 2 2
1 12 (2 1) ,d dB r r r
drdrα α α λ= + + + −
2
2
* 2 2
2 22 (2 1)d dB r r
drdrα α α= + + + .
Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: 0jq > , 0
11 0α ≤ ,
0
11 0β ≥ , | 0 0
11 11| 0α β+ ≠ |, 0k
jmα ≥ , 0k
jmβ ≥ , 1 2 0k kc c⋅ > , 2 1 0α + > ,
2 1 1 2
k k k k
jk j j j jc α β α β= − , (0, )λ ∈ ∞ .
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння Конторовича-Лєбєдєва ( )1
2
1 0B q vα − = утворюють модифіко-
вані функції Бесселя першого роду
1 1, ( )qI rα λ та другого роду
1 1, ( )qK rα λ [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціа-
льного рівняння Ейлера ( )2
* 2
2 0B q vα − = утворюють функції
2 2
1
qv r α− −= та 2 2
2
qv r α− += [2]; фундаментальну систему розв’язків
для диференціального рівняння Фур’є
2
2
32 0d q v
dr
− =
утворюють
функції 1 3 2exp[ ( )]v q r R= − − та 2 3 2exp ( )v q r R= + − [2].
Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побуду-
вати розв’язок крайової задачі (1)—(3) методом функцій Коші [2, 3]:
1
1
1 1 1 1
0
2 1*
1 1 , 1 , 1 1( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ,
R
q q
R
u r A I r B K r E r g dα
α αλ λ ρ ρ ρ ρ+= + + ∫
Серія: Технічні науки. Випуск 2
83
2
2 2 2 2 2
1
- 2 1*
2 2 2 2 2( ) ( , ) ( )
R
q q
R
u r A r B r E r g dα α αρ ρ ρ ρ− − + += + + ∫ , (4)
3 2
2
( ) * 2
3 3 3 3( ) ( , ) ( ) , ( ) ( ).q r R
m m
R
u r B e E r g d g r r g rρ ρ ρ
∞
− − −= + =∫
Тут ( , )jE r ρ — функції Коші [2, 3]:
0 0
( , ) ( , ) 0,j jr r
E r E r
ρ ρ
ρ ρ
= + = −
− =
0 0
( , ) ( , ) 1
( )
j j
jr r
dE r dE r
dr dr
ρ ρ
ρ ρ
ϕ ρ
= + = −
− = − , (5)
12 1
1( ) αϕ ρ ρ += , 22 1
2 ( ) αϕ ρ ρ += , 3 ( ) 1ϕ ρ = , 2 1 0.jα + >
Припустимо, що функція Коші
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 , 1 , 0 1
1
1 1 , 2 , 0 1
( ) ( ), ,
( , )
( ) ( ), .
q q
q q
E C I r D K r R r R
E r
E C I r D K r R r R
α α
α α
λ λ ρ
ρ
λ λ ρ
−
+
≡ + < < <
=
≡ + < < <
Властивості (5) функції Коші для визначення величин jC й jD
( 1, 2)j = дають алгебраїчну систему з двох рівнянь
1 1 1 12 1 , 2 1 ,( ) ( ) ( ) ( ) 0q qC C I D D Kα αλρ λρ− + − = ,
1 1 1 1 12 1 , 2 1 , 2 1
1( ) ' ( ) ( ) ' ( )q qC C I D D Kα α αλρ λρ
λρ +
− + − = − .
Звідси знаходимо співвідношення:
1 1
1 1 1 1
2 2
2 1 , 2 1 ,( ), ( )q qC C K D D Iα α
α αλ λρ λ λρ− = − − = . (6)
Доповнимо систему рівностей (6) алгебраїчними рівняннями
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 0 01 02
111 11 , ;11 0 1 , ;11 0 1
1 1 11 12
111 11 , ;11 1 2 , ;11 1 2
0 : ( ) ( ) 0,
0 : ( ) ( ) 0.
q q
r R
q q
r R
d E U R C U R D
dr
d E U R C U R D
dr
α α
α α
α β λ λ
α β λ λ
−
=
+
=
+ = + =
+ = + =
(7)
Внаслідок рівностей (6) система (7) набуває вигляду
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
01 02
, ;11 0 1 , ;11 0 1
211 12 1*
, ;11 1 1 , ;11 1 1 , ;11 1
( ) ( ) 0,
( ) ( ) ( , ).
q q
q q q
U R C U R D
U R C U R D R
α α
α
α α α
λ λ
λ λ λ λ λρ
+ =
+ = Ψ
(8)
Систему (8) розв’язуємо за правилами Крамера [4]. Маємо:
Математичне та комп’ютерне моделювання
84
1
1 1
1 1
1 1
2 02
, ;11 0 1*
1 , ;11 1
, ;11 0 1
( )
( , )
( , )
q
q
q
U R
C R
R R
α
α
α
α
λ λ
λ λρ
λ λ
= − Ψ
∆
,
1
1 1
1 1
1 1
2 01
, ;11 0 1*
1 , ;11 1
, ;11 0 1
( )
( , )
( , )
q
q
q
U R
D R
R R
α
α
α
α
λ λ
λ λρ
λ λ
= Ψ
∆
.
Цим функція Коші E1(r, ρ) визначена й внаслідок симетрії відно-
сно діагоналі r=ρ має структуру:
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
0* 1*2 , ;11 0 , ;11 1 0 1
0* 1*
, ;11 0 1 , ;11 0 , ;11 1 0 1
( , )
( , ) ( , ), ,
( , ) ( , ) ( , ), .
q q
q q q
E r
R r R R r R
R R R R r R r R
α α α
α α α
ρ
λ λ λ λρ ρλ
λ λ λ λρ λ λ ρ
=
Ψ Ψ < < <=
∆ Ψ Ψ < < <
(9)
У рівностях (7)—(9) беруть участь функції:
1 1 1 1 1
1 2
, ; , 1, 1( ) ( ) ( )m m m m
j m j j v m j m v m
m
vU R I R R I R
Rν α α α
αλ α β λ α λ λ+ +
−
= + +
,
1 1 1 1 1
2 2
, ; , 1, 1( ) ( ) ( )m m m m
j m j j v m j m v m
m
vU R K R R K R
Rν α α α
αλ α β λ α λ λ+ +
−
= + −
,
1 1
* 1
, ; , ; ,( , ) ( ) ( )m m
v j m v j m vR r U R K rα α αλ λ λ λΨ = −
1
2
, ; ,( ) ( ),m
v j m vU R I rα αλ λ j = 1,2,
1 1 1 1 1 1
01 12
, ; 1 0 1 , ;11 0 , ; 1 1( , ) ( ) ( )q j q q jR R U R U Rα α αλ λ λ λ∆ = −
1 1 1 1
02 11
, ;11 0 , ; 1 1( ) ( ).q q jU R U Rα αλ λ−
Нехай функція Коші
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 1 1 2
2
2 2 2 1 2
, ,
( , )
, .
q q
q q
E C r D r R r R
E r
E C r D r R r R
α α
α α
ρ
ρ
ρ
−
− − − +
+
− − − +
≡ + < < <=
≡ + < < <
Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох
рівнянь
2 2 2 2
2 1 2 1( ) ( ) 0q qC C D Dα αρ ρ− − − +− + − = ,
2 2 2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1( ) ( ) ( )( )q qq C C q D Dα α αα ρ α ρ ρ− − − + −+ − + − + − = .
Звідси маємо співвідношення:
2 21
2 1 2(2 ) qC C q αρ − +−− = , 2 21
2 1 2(2 ) qD D q αρ − −−− = − . (10)
Доповнимо систему (10) алгебраїчними рівняннями
2 2
1
2 2
2
1 1 11 12
12 12 2 ;12 2 1 1 ;12 2 1 1
2 2 21 22
11 11 2 ;11 2 2 2 ;11 2 2 2
( , ) 0 : ( , ) ( , ) 0,
( , ) 0 : ( , ) ( , ) 0.
r R
r R
d E r Z q R C Z q R Ddr
d E r Z q R C Z q R Ddr
α α
α α
α β ρ
α β ρ
−
=
+
=
+ = + =
+ = + =
(11)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
85
Алгебраїчна система (11) внаслідок рівностей (10) набуває ви-
гляду:
2 2
2 2 2
11 12
,12 2 1 1 ,12 2 1 1
21 22 2*
,11 2 2 1 ,11 2 2 1 ;11 2
2
( , ) ( , ) 0,
1( , ) ( , ) ( , ).
2
Z q R C Z q R D
Z q R C Z q R D q
q
α α
α α αψ ρ
+ =
+ =
(12)
Систему (12) розв’язуємо за правилами Крамера [4]. Маємо:
2
2
2
12
;12 2 1 2*
1 ;11 2
2 ;11 2 1 2
( , )
( , )
2 ( , , )
Z q R
C q
q q R R
α
α
α
ρ= − Ψ
∆
,
2
2
2
11
;12 2 1 2*
1 ;11 2
2 ;11 2 1 2
( , )
( , )
2 ( , , )
Z q R
D q
q q R R
α
α
α
ρ= Ψ
∆
.
Цим функція Коші E2(r, ρ) визначена й внаслідок симетрії відно-
сно діагоналі r =ρ має структуру:
2 2
2 2 2
1* 2*
;12 2 ;11 2 1 2
2 1* 2*
2 ,11 ;12 2 ;11 2 1 2
( , ) ( , ), ,1( , )
2 ( , ) ( , ), .
q r q R r R
E r
q q q r R r R
α α
α α α
ρ ρ
ρ
ρ ρ
Ψ Ψ < < <= −
∆ Ψ Ψ < < <
(13)
У рівностях (11), (13) беруть участь функції:
2 2
2
1 1 1
, 2 2 2 2( , ) [( ) ] qm m m
jk m jk m jk m mZ q R R R q R α
α β α α α − −− −= − − ,
2 2
2
2 1 1
, 2 2 2 2( , ) [( ) ] qm m m
jk m jk m jk m mZ q R R R q R α
α β α α α − +− −= − + ,
2 2 2
2 2
11 22
, 2 1 2 , 2 2 1 , 1 2 2
12 21
, 2 2 1 , 1 2 2
( , , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ); , 1, 2,
jk j k
j k
q R R Z q R Z q R
Z q R Z q R j k
α α α
α α
∆ = −
− =
2 2 2 2
2 2 2
* 2 1
; 2 ; 2 ; 2( , ) ( , ) ( , )q qm m m
jk jk m jk mq r Z q R r Z q R rα α
α α α
− − − +Ψ = − .
Припустимо, що функція Коші
3 2 3 2
3 2 3 2
( ) ( )
3 1 1 2
3
( ) ( )
3 2 2 2
, ,
( , )
, .
q r R q r R
q r R q r R
E C e D e R r
E r
E C e D e R r
ρ
ρ
ρ
−
− − −
+
− − −
≡ + < < < ∞=
≡ + < < < ∞
Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох
рівнянь
3 2 3 2
3 2 3 2
( ) ( )
1 2 1
( ) ( ) 1
1 2 1 3
( ) 0,
( ) .
q R q R
q R q R
C e D D e
C e D D e q
ρ ρ
ρ ρ
− − −
− − − −
− + − =
+ + − =
Звідси знаходимо співвідношення:
3 2 3 2( ) ( )1 1
1 3 2 1 3(2 ) , ( ) (2 ) .q R q RC q e D D q eρ ρ− − −− −= − = (14)
Додамо алгебраїчне рівняння
2
2 2 2 2 2 2
12 12 2 12 3 12 1 12 3 12 10 : ( ) ( ) 0.
r R
d E q C q D
dr
α β α β α β
−
=
+ = + − − =
(15)
Математичне та комп’ютерне моделювання
86
Із алгебраїчної системи (14), (15) знаходимо, що
2
212 3 2 3
2 2 3 2 32 2
3 12 3 12
( )
, ( )
( ) j
q R qD q R q
q q
ρ
ρ
α β
Φ
= Φ =
−
2 2
2 3 3 2 2 3 2( ) ( ).j jq ch q R sh q Rα ρ β ρ= − − − (16)
Цим функція Коші E3(r, ρ) визначена й внаслідок симетрії відно-
сно діагоналі r =ρ має структуру:
3 2
3 2
( ) 2
12 3 2 3 2
3 2 2 ( ) 2
3 12 3 12 12 3 2 3 2
( , ), ,1( , )
( ) ( , ), ,
q R
q r R
e q R q r R r
E r
q q e q R q R r
ρ ρ
ρ
α β ρ ρ
− −
− −
Φ < < < ∞=
− Φ < < < ∞
Повернемося до формули (4). Крайова умова в точці 0r R= та
умови спряження (3) для визначення п’яти величин 1 2 1 2 3, , , ,A A B B B
дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:
1 1 1 1
1 1 1 1 2
2
2 2
01 02
, ;11 0 1 , ;11 0 1 0
11 12 11
, ; 1 1 1 , ; 1 1 1 , 2 2 1 2
12
, 2 2 1 2 1 2 12
21 22 2 2
, 1 2 2 2 ; 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 23
( ) ( ) ,
( ) ( ) ( , )
( , ) , 1, 2,
( , ) ( , ) ( ) .
q q
q j q j j
j j j
j j j j j j
U R A U R B g
U R A U R B Z q R A
Z q R B G j
Z q R A Z q R B q B G
α α
α α α
α
α α
λ λ
λ λ
ω δ
α β ω δ
+ =
+ − −
− = + =
+ + − = +
(17)
У системі (17) беруть участь функції
1
1 1 1
1
1 10
0*
, ;11 0 2 111
12 12 1
, ;11 0 11
( , )
( )
( , )
R
q
qR
RcG g d
R RR
α α
α
α
λ λρ
ρ ρ ρ
λ λ
−
+
Ψ
= +
∆∫
2
2 2
2
21
2*
;11 2 2 121
22 1
;11 2 1 21
( , )
( ) ,
( , , )
R
R
qc g d
q R RR
α α
α
α
ρ
ρ ρ ρ−
+
Ψ
+
∆∫
2
2 2
2
21
1*
;12 2 2 112
23 22 1
;11 2 1 22
( , )
( )
( , , )
R
R
qcG g d
q R RR
α α
α
α
ρ
ρ ρ ρ−
+
Ψ
= −
∆∫
3 2
2
( )
22 32 2
12 3 12
( )
q R
R
e
c g d
q
ρ
ρ ρ
α β
− −∞
−
−∫
та символ Кронекера 2 12 22( 0, 1)jδ δ δ= = [4].
Введемо до розгляду функції:
1 1 2
1 1 2
( ); , ;11 0 1 ;2 2 1 2
, ;21 0 1 ;1 2 1 2
( ) ( , ) ( , , )
( , ) ( , , ),
j q j
q j
A q R R q R R
R R q R R
α α α
α α
λ λ
λ λ
= ∆ ∆ −
−∆ ∆
2 2 2
2 2 2 2
; 12 3 12 ;2 2 1 2 22 3 22 ;1 2 1 2( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ),
1,2,
j j jВ q q q R R q q R R
j
α α αα β α β= − ∆ − − ∆
=
Серія: Технічні науки. Випуск 2
87
1 1 2
1 1 2
1*
( );1 , ;11 0 1 ;22 2
1*
, ;21 0 1 ;12 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ),
q
q
r q R R q r
R R q r
α α α
α α
θ λ λ
λ λ
= ∆ Ψ −
−∆ Ψ
2 2
2 2 2* 2 2 2*
( );2 22 3 22 ;11 2 12 3 12 ;21 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).r q q q r q q rα α αθ α β α β= − Ψ − − Ψ
Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності кра-
йової задачі (1)—(3): визначник алгебраїчної системи (17) для будь-
якого вектора qr ={q1; q2; q3} 0≠
r
відмінний від нуля, тобто
2 2 2 2
( ) 12 3 12 ( );2 22 3 22 ( );1( ) ( ) ( ) ( ) ( )q q A q q A qα α αα β α β∆ ≡ − − − =
1 1 2 1 1 2, ;11 0 1 ;2 , ;21 0 1 ;1( , ) ( ) ( , ) ( ) 0.q qR R В q R R В qα α α αλ λ λ λ= ∆ − ∆ ≠ (18)
Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)—(3):
1) породжені крайовою умовою в точці r = R0 функції Гріна
2 1 1 2 1 1
( );11
1* 1*
;1 , ;21 1 ;2 , ;11 1
( )
W ( , ) =
1= ( ) ( , ) ( ) ( , ) ,
( )
r q
B q R r B q R r
q
α
α α α α α α
α
λ λ λ λ Ψ − Ψ ∆
211
11
( );12 ;22 12
( )1
1W ( , ) = ( , ),
( )
cr q r q
qRα ααα
αλ +
− Θ
∆
(19)
3 2
1 21
( )11 2 12
( );13 2 1 2 12
( )1 2
2 1W ( , ) = ;
( )
q r Rc q cr q e
qR Rα α αα
αλ
− −
+ +
−
∆
2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
2
1 1
2
1 1
;21 0*
( );11 , ;11 0
( )
;11 0*
( );21 , ;11 0
( )
( , ) ( , ),
( )
( , ) ( , ),
( )
q
q
B
r q R r
q
B
r q R r
q
α
α α
α
α
α α
α
λ λ
λ λ
= Ψ
∆
= − Ψ
∆
R
R
1 12
2 2
1 0*22 3 2221 2
( );12 , ;11 02 1
( )1
2
( , ) ( , ),
( ) q
qc qr q R r
qRα αα
α
α β
λ λ
+
−
= Ψ
∆
R
1 12
2 2
1 0*12 3 1221 2
( );22 , ;11 02 1
( )1
2
( , ) ( , ),
( ) q
qc qr q R r
qRα αα
α
α β
λ λ
+
−
= − Ψ
∆
R
1 1
2
1 1
2
, ;21 0 12
( );11 ;2
( )
, ;112
( );21 ;2
( )
( , )
( , ) ( , ),
( )
( , ) ( , );
( )
q
q
R R
r q r q
q
r q r q
q
α
α α
α
α
α α
α
λ λ∆
= − Θ
∆
∆
= Θ
∆
R
R
Математичне та комп’ютерне моделювання
88
2 2
2 22 3 22
( );12 ( );1
( )
2 2
2 12 3 12
( );22 ( );1
( )
( , ) ( , ),
( )
( , ) ( , )
( )
qr q r q
q
q
r q r q
q
α α
α
α α
α
α β
α β
−
= Θ
∆
−
= − Θ
∆
R
R
1 1 3 2
2
1 1 3 2
2
, ;21 ( )3 12 2
( );11 2 1
( )2
, ;11 ( )3 2 12
( );21 2 1
( )2
2
( , ) ,
( )
2
( , ) ;
( )
q q r R
q q r R
c qr q e
qR
q cr q e
qR
α
α α
α
α
α α
α
− −
+
− −
+
∆
= −
∆
∆
=
∆
R
R
3 2
3 2
( );2 ( )3
( );12
( )
( );1 ( )3
( );22
( )
( , ) ,
( )
( )
( , ) ;
( )
q r R
q r R
A
r q e
q
A q
r q e
q
α
α
α
α
α
α
− −
− −
=
∆
= −
∆
R
R
(20)
3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу
1 11
1 1
0*
, ;11 0 ( );11 0 12
( );11 0*
, ;11 0 ( );11 1 1
( , ) ( , ), ,
( , , )
( , ) ( , ), ,
q
q
R r W q R r R
r q
R W r q R r R
α αα
α
α α
λ λ ρ ρ
ρ λ
λ λρ ρ
Ψ < < <= −
Ψ < < <
H
1 1 22
0*21
( );12 , ;11 0 ;22 1
( )1
1( , , ) ( , ) ( , ),
( ) q
cr q R r q
qRα α αα
α
ρ λ λ ρ
+
= Ψ Θ
∆
H
1 12
0*2 21 22
( );13 ; ;11 0 3 22 1
( )1
2
( , , ) ( , ) exp[ ( )],
( )
q
q c cr q R r q R
R q
α αα
α
ρ λ λ ρ
+
= Ψ − −
∆
H
1 1 21
0*11
( );21 , ;11 0 ,22 1
( )1
1( , , ) ( , ) ( , )
( ) q
cr q R r q
qRα α αα
α
ρ λ λρ θ
+
= Ψ
∆
H ,
2
2
( );1 ,2 1 2
( );22
( );1 ,2 1 22 ( )
( , ) ( , ), ,1( , , )
( , ) ( , ), ,2 ( )
r q q R r R
r q
q r q R r Rq q
α α
α
α αα
θ θ ρ ρ
ρ
θ ρ θ ρ
< < <= < < <∆
H
22
( );23 ( ),1 3 2
( )
( , , ) ( , ) exp[ ( )],
( )
cr q r q q R
qα α
α
ρ θ ρ= − −
∆
H
1 11 2
0*11 2 12
( );31 , ;11 0 3 22 1 2 1
( )1 2
2 1( , , ) ( , ) exp[ ( )],
( ) q
c q cr q R q r R
qR Rα αα α
α
ρ λ λρ
+ +
= Ψ − −
∆
H
2
12
( );32 ( );1 3 22 1
( )2
1( , , ) ( , ) exp[ ( )],
( )
cr q q q r R
qRα αα
α
β ρ
+
= Θ − −
∆
H
Серія: Технічні науки. Випуск 2
89
2
3 2 ( );2 12 3 2 3
( );33 2
3 ( ) 3 2 ( );2 12 3 2 3
exp[ ( )][ ( ) ( , )1( , , )
( ) exp[ ( )][ ( ) ( , )
q R A q q R q r
r q
q q q r R A q q R q
α
α
α α
ρ
ρ
ρ
− − Φ −=
∆ − − Φ −
H
2
( );1 22 3 2 3 2
2
( );1 22 3 2 3 2
( ) ( , )], ,
( ) ( , )], .
A q q R q r R r
A q q R q R r
α
α
ρ
ρ ρ
− Φ < < < ∞
− Φ < < < ∞
(21)
У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (17)
й підстановки одержаних значень 1 3 1 2 3, , , ,A A B B B у формули (4),
маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1)—(3):
2
( ),1 0 ( );
, 1
( ) ( , ) ( , )j
j j kmkm
k m
u r W r q g r qα α ω
=
= + +∑ R
1
1
0
2 1
( ); 1 1( , , ) ( )
R
j
R
r q g dα
α ρ ρ ρ ρ−+ +∫ H
2
2
1
2 1
( ); 2 2( , , ) ( )
R
j
R
r q g dα
α ρ ρ ρ ρ− +∫ H
2
( ); 3 3( , , ) ( ) ,j
R
r q g dα ρ ρ ρ
∞
+ ∫ H 1,3.j = (22)
Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)—(3) методом гіб-
ридного інтегрального перетворення (ГІП), породженого на множині
2I + гібридним диференціальним оператором (ГДО)
1 2
2
*
( ) 0 1 1 2 2 2M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,dr R R r B r R R r B r R
drα α αθ θ θ θ θ= − − + − − + − (23)
де ( )xΘ — одинична функція Гевісайда [3].
Оскільки ГДО ( )M α самоспряжений і має на множині 2I + одну
особливу точку r = ∞ , то його спектр дійсний й неперервний. Можна
вважати, що спектральний параметр (0, )β ∈ ∞ . Йому відповідає дій-
сна спектральна функція
( ) 0 1 ( );1
1 2 ( );2 2 ( );3
( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ).
V r r R R r V r
r R R r V r r R V r
α α
α α
β β
β β
= Θ − Θ − +
+Θ − Θ − + Θ −
Функції ( ); ( , )jV rα β знайдемо як розв’язок системи диференціа-
льних рівнянь
( )
( )
1
2
2
1 ( );1 0 1
* 2
2 ( );2 1 2
2
2 2 2 2 2
3 ( );3 22
( , ) 0, ( , ),
( , ) 0, ( , ),
( , ) 0, ( , ), , 0j j j
B b V r r R R
B b V r r R R
d b V r r R b k k
dr
α α
α α
α
β
β
β β
+ = ∈
+ = ∈
+ = ∈ ∞ = + ≥
(24)
Математичне та комп’ютерне моделювання
90
з однорідними крайовими умовами (2) та однорідними умовами
спряження (3).
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння Конторовича-Лєбєдєва
1
2
1( ) 0B b vα + = утворюють функції
11 1( , )v C r bα λ= та
12 1( , )v D r bα λ= [1]; фундаментальну систему
розв’язків для диференціального рівняння Ейлера
2
* 2
2( ) 0B b vα + =
утворюють функції 2
1 2cos( ln )v r b rα−= та 2
2 2sin( ln )v r b rα−= [2];
фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є
2
2
32 0d b v
dr
+ =
утворюють функції 1 3cosv b r= та 2 3sinv b r= [2].
Якщо покласти
1 1
2 2
( );1 1 1 1 1
( );2 2 2 2 2
( );3 3 3 3 3
( , ) ( , ) ( , ),
( , ) cos( ln ) sin( ln ),
( , ) cos sin ,
nV r A C r B D r b
V r A r b r B r b r
V r A b r B b r
α α α
α α
α
α
β λ β λ
β
β
− −
= +
= +
= +
(25)
то крайова умова в точці 0r R= й умови спряження в точках 1r R=
та 2r R= для визначення величин ,i jA B дають алгебраїчну систему з
п’яти рівнянь:
1 1
1 1 2
2
2 2
01 02
;11 0 1 1 ;11 0 1 1
11 12 11
; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 ; 2 2 1 2
12
; 2 2 1 2
21 22 21 22
; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2 2 3 1 3 2 3 2 3
( , ) ( , ) 0,
( , ) ( , ) ( , )
( , ) 0,
( , ) ( , ) ( ) ( ) 0,
1,2.
j j j
j
j j j j
X R b A X R b B
X R b A X R b B Y b R A
Y b R B
Y b R A Y b R B v b R A v b R B
j
α α
α α α
α
α α
λ λ
λ λ
+ =
+ − −
− =
+ − − =
=
(26)
У системі (26) беруть участь функції:
1 1 1
1
1 2
; 1 ;
1
( , ) | ,
( , ) | ,
m
m
m m m m
jk jk jk r R jk
m m
jk jk r R
dX C r b X
dr
d D r b
dr
α α α
α
α β λ
α β λ
=
=
= + =
= +
2
2
1 1
; 2 2 2
1
2 2
( , ) [( )cos( ln )
sin( ln )] ,
m m m
jk m jk jk m m
m
m jk m m
Y b R R b R
b R b R R
α
α
β α α
α
−
−−
= − −
−
2
2
2 1
; 2 2 2
1
2 2
( , ) [( )sin( ln )
cos( ln )] ,
m m m
jk m jk jk m m
m
m jk m m
Y b R R b R
b R b R R
α
α
β α α
α
−
−−
= − +
+
Серія: Технічні науки. Випуск 2
91
21 2 2 22 2
2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2
2
2 3 2
( ) sin cos ; ( ) cos
sin .
j j j j j
j
v b R b b R b R v b R b b R
b R
α β α
β
= − + = +
+
Припустимо, що
1 1
02 01
1 0 ;11 0 1 1 0 ;11 0 1( , ), ( , )A A X R b B A X R bα αλ λ= − = ,
де 0A підлягає визначенню. Перше рівняння системи (26) стає тото-
жністю. Решта рівнянь утворюють дві алгебраїчні системи по два
рівняння в кожній.
Введемо до розгляду функції:
1 1 1 1 1 1
01 12 02 11
; ;11 0 1 ; 1 1 1 ;11 0 1 ; 1 1 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
j j jX R b X R b X R b X R bα α α α αδ β λ λ λ λ= − ,
2 2 2 2 2
11 22 12 21
; ; 2 2 1 ; 1 2 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )jk j k j kY b R Y b R Y b R Y b Rα α α α αδ β = − ,
1 2 1 2( ); ;21 ;1 ;11 ;2( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , 1, 2j j ja j kα α α α αβ δ β δ β δ β δ β= − =
2 2
( ); ( );1 3 2 ( );2 3 222 12( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), 1, 2j j
j a v b R a v b R jα α αω β β β= − =
У результаті розв’язання алгебраїчної системи (26) й підстанов-
ки одержаних значень jA , ( 1,3)jB j = у формули (25) одержуємо
функції ( ); ( , )jV rα β :
1 12
1 1
0121 2 22 3
( );1 ;11 0 1 12 1
1
02
;11 0 1 1
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
c b c b
V r X R b D r b
R
X R b C r b
α α αα
α α
β λ λ
λ λ
+
= −
−
1 2 1 2
1 1
( );2 22 3 ;11 ;22 2 ;21 ;22 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )V r c b b r b rα α α α αβ δ β δ β = Ψ − Ψ ,
( );3 ( );2 3 ( );1 3( , ) ( ) cos ( ) sin ,V r b r b rα α αβ ω β ω β= −
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
1 12 11
; 2 2 ; 2 2 2 2 ; 2 2 1
2
, , cos ln ,
sin ln , 1,2.
j j jb r Y b R r b r Y b R r
b r j
α α
α α α
− −Ψ = − ×
× =
Наявність спектральної функції ( ) ( , )V rα β , спектральної щільнос-
ті 1 2 2 1
( ) 3 ( );1 ( );2( ) [ ( )] ([ ( )] [ ( )] )bα α αβ β β ω β ω β− −Ω = + та вагової функції
1 22 1 2 1
0 1 1 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,r r R R r r r R R r r r Rα ασ θ θ σ θ θ σ θ σ− −= − − + − − + −
де 2 1 22 1 2 1 2 1 1
1 11 12 21 221 1 2( ) ,c c R c c R Rα α ασ + + + −= 2σ = 22 1 1
12 22 2( )c c R α + −= ,
3 1,σ = дає можливість визначити пряме ( )H α та обернене 1
( )H α
− ГІП,
породжене на множині 2I + ГДО ( )M α [5]:
0
( ) ( )[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ),
R
H g r g r V r r dr gα α β σ β
∞
= ≡∫ % (28)
Математичне та комп’ютерне моделювання
92
1
( ) ( ) ( )
0
2[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( )H g g V r d g rα α αβ β β β β
π
∞
− = Ω ≡∫% % . (29)
Тут функція ( )g r — будь-яка функція з області G визначення
ГДО ( )αΜ .
При цьому має місце основна тотожність ГІП ГДО ( )αΜ :
1
3
2 12 2 0 1
( ) ( ) 1 11 ( );1 0 00
1
[ [ ]] ( ) ( ) ( , )j j
j
H M q g k g R V R gα
α α αβ β σ α β+ −
=
= − − + − +∑% %
2
( );12 2 ( );22 1
1
[ ( ) ( ) ].k k
k k k
k
h Z Zα αβ ω β ω
=
+ −∑ (30)
У рівності (30) прийняті позначення :
1
1
0
2 1
1 1 ( );1 1( ) ( , ) ;
R
R
g g r V r r drα
α β σ −= ∫%
2
2
1
2 1
2 2 ( );2 2( ) ( ) ( , ) ;
R
R
g g r V r r drα
αβ β σ −= ∫%
2
3 3 ( );3( ) ( , ) ;
R
g g r V r drα β
∞
= ∫%
1 22 1 2 11 1
1 1 11 2 2 121 2, ;h R c h R cα ασ σ+ +− −= =
( ) 2 2 ( ); 1; 2 ( ) ( / ) ( , ) | .
k
k k k
i i k r RiZ d dr V rαα β α β β+ == +
Побудований за відомою логічною схемою [6] методом запрова-
дженого формулами (28), (29) ГІП, єдиний розв’язок крайової задачі
(1)—(3) має структуру:
12 10 1
11 ( );1 0 ( ); 1 00
0
2( ) ( ) ( , ) ( )j ju r V R S d R gα
α αα β β β σ
π
∞
+−= − +∫
2
( );12 ( ); 2 ( );22 ( ); 1
1 0 0
2 2[ ( ) ( ) ( ) ( ) ]k k
k j k j k
k
h Z S d Z S dα α α αβ β β ω β β β ω
π π
∞ ∞
=
+ − +∑ ∫ ∫
1
1
0
2 1
( ); ( );1 1 1
0
2 ( , ) ( , ) ( )
R
j
R
S r V d g dα
α αβ ρ β β ρ ρ σ ρ
π
∞
−
+ +
∫ ∫
)
2
2
1
2 1
( ); ( );2 2 2
0
2 ( , ) ( , ) ( )
R
j
R
S r V d g dα
α αβ ρ β β ρ ρ σ ρ
π
∞
−
+ +
∫ ∫
Серія: Технічні науки. Випуск 2
93
2
___
( ); ( );3 3
0
2 ( , ) ( , ) ( ) , 1,3,j
R
S r V d g d jα αβ ρ β β ρ ρ
π
∞ ∞
+ =
∫ ∫ (31)
де
( ) 12 2 2 2 2 2
( ); ( ); ( ) 1 2 3( , ) ( , ) ( ), max{ ; ; }.j jS r q V r q q q qα α αβ β β β
−
= + Ω =
Порівнюючи розв’язки (22) та (31) в силу теореми єдиності, ма-
ємо формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за
власними елементами ГДО ( )M α :
___
1
( ); ( ); ( );
0
2 ( , ) ( , ) ( , , ); , 1,3j k k jkS r V d H r q j kα α αβ ρ β β σ ρ
π
∞
−= =∫ , (32)
( )( ) 1
___( );1 0 ( );
( ) ( );12 10 2 2
1 00 11
( , ) ( , )2 1( ) ( , ), 1,3j
j
V R V r
d W r q j
Rq
α α
α αα
β β
β β
π σα β
∞
+
Ω = =
− +∫ ,
(33)
___
1
( );12 ( ); ( );2
0
2 ( ) ( ) ( , ); 1,2; 1,3jk
j k kZ S d h R r q k jα α αβ β β
π
∞
−= = =∫ , (34)
___
1
( );22 ( ); ( );1
0
2 ( ) ( ) ( , ); 1,2; 1,3jk
j k kZ S d h R r q k jα α αβ β β
π
∞
−= − = =∫ . (35)
Функції впливу ( ); ( , , )jkH rα ρ β визначені формулами (21), фун-
кції Гріна ( );1 ( , )jW r qα визначені формулами (19), а функції Гріна
( ); ( , )j
ikR r qα — формулами (20).
Зауваження 1. Якщо 2 2
1q q= , то 2
1 0k = , 2 2 2
2 1 2 0k q q= − ≥ ,
2 2 2
3 1 3 0k q q= − ≥ . У цьому випадку
12 2 2 2
1 2 1 2, ( ) ,b b q qβ β= = + −
12 2 2 2
3 1 3( )b q qβ= + − , 2 2 2 2
1q qβ β+ = + .
Зауваження 2. Якщо 2 2
2q q= , то 2 2 2 2
1 2 1 20, 0,k q q k= − ≥ =
2 2 2
3 2 3 0k q q= − ≥ . У цьому випадку
12 2 2 2
1 2 1 2( ) , ,b q q bβ β= + − =
12 2 2 2 2 2 22
3 2 3 2( ) ,b q q q qβ β β= + − + = + .
Зауваження 3. Якщо 2 2
3q q= , то 2 2 2 2 2 2
1 3 1 2 3 20, ,k q q k q q= − ≥ = −
2
3 0k = . У цьому випадку
1 12 2 2 2 2 22 2
1 3 1 2 3 2( ) , ( ) ,b q q b q qβ β= + − = + −
2 2 2 2
3 3,b q qβ β β= + = + .
Математичне та комп’ютерне моделювання
94
Зауваження 4. Оскільки праві частини у формулах (32)—(35) не
залежать від нерівностей 2 2 0j mq q− ≥ , то можна покласти 2 2
1 2q q≡ ≡
2 2
3 0q q≡ ≡ > , звужуючи при цьому клас невласних інтегралів.
Підсумком наведених в роботі досліджень є твердження.
Теорема. Якщо функція
1 2
* ''
1 2 3( ) { [ ( )]; [ ( )], ( )}f r B g r B g r g rα α=
неперервна на множині 2I + , а функції ( )jg r задовольняють крайову
умову в точці 0R , умову обмеження
( );33
( );3 3lim ( , ) ( ) ( , ) 0,
r
dVdgV r g r r
dr dr
α
α β β
→∞
− =
та умови спряження (3) і виконується умова (18) однозначної
розв’язності крайової задачі (1)—(3), то справджуються формули
(32)—(35) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за
власними елементами ГДО M(α) визначеного рівністю (23).
Висновок. Одержані формули (32)—(35) поповнюють довідкову
математичну літературу в розділі обчислення невласних інтегралів
від суперпозиції спеціальних функцій математичної фізики різного
характеру.
Список використаних джерел:
1. Ленюк М. П. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва /
М. П. Ленюк, Г. І. Міхалевська. — Чернівці : Прут, 2002. — 280 с.
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Ши-
лов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с.
5. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення типу (Фур’є, Конторови-
ча-Лєбєдєва)-Лежандра / М. П. Ленюк, М. Л. Янчишин. — Чернівці :
Прут, 2002. — 76 с.
6. Ленюк М. П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтег-
ральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V / М. П. Ленюк.
— Чернівці : Прут, 2005. — 368 с.
By the method of comparison of solution of boundary-value problem
for the system of differential (Kontorovich-Lebedev), Eiler and Fourier eq-
uations on the polar axis with two contact points, built, from one side, by
the method of Cauchy functions, and from other side, by the method of the
corresponding hybrid integral transform, polyparametric family of infinite
integrals is calculated by the own elements of the corresponding hybrid
differential operator.
Key words: infinite integrals, Cauchy function, main solutions, hybrid
integral transform, condition of simple solvability, basic identity, logical chart.
Отримано 16.06.2009
|