Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез

Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез

В работе предложено построение нового моментного критерия качества проверки сложных статистических гипотез на основе использования стохастических полиномов в качестве решающих функций и моментно-кумулянтного описания случайных величин. Предложенный подход позволяет эффективно синтезировать нелинейны...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2009
Автор: Палагин, В.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18756
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез / В.В. Палагин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-18756
record_format dspace
spelling irk-123456789-187562011-04-10T12:04:04Z Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез Палагин, В.В. В работе предложено построение нового моментного критерия качества проверки сложных статистических гипотез на основе использования стохастических полиномов в качестве решающих функций и моментно-кумулянтного описания случайных величин. Предложенный подход позволяет эффективно синтезировать нелинейные решающие правила с меньшими вероятностями ошибок при обработке негауссовских случайных величин по сравнению с известными результатами. The new moment criterion of quality for test of composite statistical hypotheses on the basis of the use of stochastic polynomials as decision functions and moment-cumulant description of casual sizes is developed. The offered approach allows effectively synthesising nonlinear decision rules with less probability of errors for Non-Gaussian random variable as compared to the known results. 2009 Article Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез / В.В. Палагин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18756 621.37:621.391 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В работе предложено построение нового моментного критерия качества проверки сложных статистических гипотез на основе использования стохастических полиномов в качестве решающих функций и моментно-кумулянтного описания случайных величин. Предложенный подход позволяет эффективно синтезировать нелинейные решающие правила с меньшими вероятностями ошибок при обработке негауссовских случайных величин по сравнению с известными результатами.
format Article
author Палагин, В.В.
spellingShingle Палагин, В.В.
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Палагин, В.В.
author_sort Палагин, В.В.
title Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез
title_short Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез
title_full Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез
title_fullStr Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез
title_full_unstemmed Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез
title_sort асимптотически нормальный критерий качества типа неймана-пирсона для проверки сложных статистических гипотез
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2009
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18756
citation_txt Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез / В.В. Палагин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT palaginvv asimptotičeskinormalʹnyjkriterijkačestvatipanejmanapirsonadlâproverkisložnyhstatističeskihgipotez
first_indexed 2025-07-02T19:43:39Z
last_indexed 2025-07-02T19:43:39Z
_version_ 1836565575986315264
fulltext Серія: Технічні науки. Випуск 2 137 УДК 621.37:621.391 В. В. Палагин, канд. техн. наук Черкасский государственный технологический университет, г. Черкассы АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА ТИПА НЕЙМАНА-ПИРСОНА ДЛЯ ПРОВЕРКИ СЛОЖНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ В работе предложено построение нового моментного кри- терия качества проверки сложных статистических гипотез на основе использования стохастических полиномов в качестве решающих функций и моментно-кумулянтного описания слу- чайных величин. Предложенный подход позволяет эффектив- но синтезировать нелинейные решающие правила с меньшими вероятностями ошибок при обработке негауссовских случай- ных величин по сравнению с известными результатами Ключевые слова: моментный критерий качества, сто- хастический полином, моментно-кумулянтное описание. Во многих технических системах, в том числе в телекоммуника- ционных, системах связи и радиомониторинга широкое применение находят статистические методы обработки сигналов, в том числе и для распознавания сигналов на фоне помех. Такие методы обработки сигналов широко используются для решения многих прикладных задач, где в основе их решения лежит решающая функция, представ- ленная в виде сравнения отношения правдоподобия с тем или иным порогом, который выбирается по какому либо из классических кри- териев качества (критерий Байесса, критерий идеального наблюдате- ля, критерий Неймана-Пирсона и т.д.) [1]. Такие критерии назовем вероятностными, так как в их основе лежат вероятности ошибок первого и второго рода решающей функции. При практическом использовании вероятностных критериев ка- чества наиболее широкое практическое распространение получило построение алгоритмов обнаружения и распознавания сигналов на фоне гауссовских помех. Это объясняется тем, что, с одной стороны, такой вид распределения помех часто распространенный в каналах связи, а с другой стороны, является удобной математической идеали- зацией реальный природных процессов. На практике такая постанов- ка задачи не всегда оправдана, и многие помехи могут иметь негаус- совский характер [2]. В этом случае использование вероятностных критериев качества вызывает ряд трудностей, связанных как с необ- ходимостью использования плотностей распределения таких помех, так и с реализацией полученных алгоритмов обработки сигналов. © В. В. Палагин, 2009 Математичне та комп’ютерне моделювання 138 В последнее время интерес к негауссовским сигналам и процессам, как более общих, значительно возрос, о чем свидетельствуют многочис- ленные научные публикации, как в ближнем, так и в дальнем зарубежье, поэтому возникает необходимость в поисках новых подходов к решению задачи распознавания сигналов на фоне негауссовских помех. В теории вероятностей и математической статистике случайные ве- личины количественно можно охарактеризовать не только с помощью установления вероятности осуществления того или иного события, но и с помощью более грубой количественной меры числовых характеристик случайных величин, таких как математическое ожидание, дисперсия и т.д. [3, 4]. Критерии, основанные на использовании моментов решающей функции, назовем моментными критериями качества. Данный научный подход с применением моментных критериев ка- чества принципиально отличается от существующих (вероятностных), так как в качестве априорного описания случайных величин использует- ся не плотность распределения, а моментно-кумулянтное описание слу- чайных величин, позволяющее получить более простые алгоритмы об- работки сигналов и учесть тонкую структуру негауссовской помехи, что существенно улучшает качественные показатели алгоритмов обработки сигналов по сравнению с гауссовской помехой [5—7]. Целью работы является адаптация моментного критерия каче- ства типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез, основанного на использовании моментно-кумулянтного описания случайных величин и стохастических полиномов в качестве решающих функций для построения эффективных алгоритмов распо- знавания сигналов на фоне негауссовских помех. Рассмотрим обобщение применения полученного асимптотиче- ски нормального критерия качества типа Неймана-Пирсона для про- верки сложных статистических гипотез [8]. Для этого проведем его адаптацию на случай рассмотрения N гипотез. Пусть на интервале времени ( )0,T наблюдается случайные сиг- налы ( )i tξ , 1,i N= , по которым будут приниматься решения о реа- лизации соответствующей гипотезы iH , т.е. решения о приеме соот- ветствующего полезного сигнала ( )is t , который подлежит распозна- ванию. Принимаемые сигналы ( )i tξ представляют собой аддитив- ную смесь ( ) ( )i i it s tξ η= + , где ( )i tη — негауссовская случайная ве- личина, описываемая последовательность моментов и кумулянтов. Каждому сигналу ( )i tξ соответствует свое моментно- кумулянтное описание, представленное в виде конечной последова- Серія: Технічні науки. Випуск 2 139 тельности моментов { } { }( )1 2 2 3 4, ,..., , 0, , , ,...,i i i il i i i ilm α α α χ γ γ γ , кото- рое будет однозначно интерпретировать представление полезных сигналов и негауссовских помех. Необходимо построить такие ре- шающие правила (РП) по заданному критерию качества, которые бы с заданной точностью различали гипотезы iH , 0,i N= . При классическом подходе к построению РП распознавания сигналов решают задачу нахождения максимума вероятности пра- вильного распознавания заданных сигналов, которая в общем случае имеет вид iH : 1, max ,i i N i xP W H α λ =    ≥      r r , , ,r i m l r m x xP W P WH Hα α   ≥        r rr r , , 1,r m N= , r m≠ , где λ — порог, выбираемый по определенному вероятностному кри- терию качества, ,r m — проверяемые гипотезы. Не смотря на общий подход к постановке данной задачи, широкое распространенное получило предположение о нормальном законе рас- пределения случайных величин, что не всегда является адекватным в реальных условиях. Применение вероятностного подхода в виде ис- пользования плотностей распределения, отличных от гауссовских, на- талкивается на ряд практических трудностей. Поэтому воспользуемся моментным описанием случайных величин и представления отноше- ний правдоподобия в виде стохастического полинома общего вида ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 r m Hs n mr mri mr iv vsn Hi v x k x k > < = = Λ = +∑∑v , , 1,r m N= , r m≠ (1) для различения гипотез mH и rH , , 1,r m N= , r m≠ , где неизвест- ные коэффициенты mr ik и ( ) 0 mrk должны определяться согласно за- данного критерия качества. В предположении наблюдения выборочных значений { }1,..., nx x x= r при n → ∞ , вероятности ошибок РП согласно цен- тральной предельной теореме будут распределены по нормальному закону. Тогда для разработки и адаптации асимптотически нормально- го критерия качества проверки сложных статистических гипотез типа Неймана-Пирсона воспользуемся приведенными результатами в [8]. Показано, что оптимальные коэффициенты для РП общего вида (1) для проверки сложных гипотез находятся из условия минимума функционала Математичне та комп’ютерне моделювання 140 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 1 ( , ) r m mr mr mr mr mr m r mr mr G G C C YuP T G T T + − =  −   , , 1,r m N= , r m≠ , (2) где ( )r mrG , ( )m mrG , ( )r mrT , ( )m mrT — дисперсии и математические ожидания решающей функции при гипотезах mrH , а неизвестный коэффициент mrC будет определяться из заданного условия вероятности ошибки первого рода mrρ каждого mr -го РП и рассчитывается из условия ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.5 , 1 1 21 exp 22 s mr m r mr iv iv iv i s s mr mr r iv jv i j i j mr mr nC k m m k k F x dxα ρ π = = = ∞    −                = − ≤     ∑ ∑∑ ∫ . (3) Выбор mrρ при равновероятном предположении вероятности ошибок первого рода каждого mr-го РП рассчитывается из условия, что сумма всех mrρ для N гипотез должна быть равна суммарной ве- роятности ошибок первого рода всех РП. Минимизированная ошибка второго рода mr-го РП, согласно центральной предельной теореме, будет распределена по нормально- му закону и определяется из выражения ( ) ( ) 2 2 min 1 2 YuP mrV z YuP mr e dzβ π − − −∞ = ∫ , (4) где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 G mr mr mr m r YuP mrmr m T T V C − = − . Показано, что оптимальные коэффициенты ( )mr ivk РП (1) должны быть такими, чтобы обеспечивался минимум функционала (2), т.е. обеспечивался минимум вероятности ошибки второго рода при фик- сированном значении вероятности ошибки первого рода (3). Тогда легко показать, что неизвестные коэффициенты ( )mr ivk на- ходятся из решения системы линейных алгебраических уравнений ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 2 1 1 r ms mr i j v i j v m r iv iv iv i mr mr F F k m m C C=    + = −  −  ∑ , 1,v n= , 1,j s= . (5) Серія: Технічні науки. Випуск 2 141 Показано, что с учетом приведенных выражений порог РП (1) выражен через найденные оптимальные коэффициенты ( )mr ivk по асимптотически нормальному критерию в следующем виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 s n s n mr mr m mr r iv iv iv iv i v i v k C k m C k m = = = =   = − + −     ∑∑ ∑∑ . (6) Определение 1. Примем функционал ( )( , ) mrYuP T G (2) за крите- рий качества выбора РП вида (1) и будем считать наилучшем то пра- вило, которое при ( ) 0 mrk вида (6) и mr ik найденных из (5) минимизи- рует правую часть (4) при заданном значении вероятности ошибок первого рода (3). Данный критерий будем называть адаптированным моментным асимптотически нормальным критерием типа Неймана- Пирсона для проверки сложных статистических гипотез. Общая структура выбора РП распознавания сигналов на фоне помех при использовании стохастических полиномов с оптимальны- ми коэффициентами по данному критерию будет иметь вид mH : 0 0 0 1, 1 1 max 0; s n m i m iv v r N i v k x k = = =   + >     ∑∑ 0H : 0 0 0 1, 1 1 max 0; s n m i m iv v r N i v k x k = = =   + <     ∑∑ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 , s n s n m i m r i r iv v iv v i v i v k x k k x k = = = = + > +∑∑ ∑∑ 1,r N= , r m≠ . (7) Для качественной оценки полученных РП распознавания сигналов на фоне помех введена величина, которая характеризует общую мини- мизированную асимптотическую ошибку второго рода распознавания гипотезы mH при заданной вероятности ошибки первого рода (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 ( , ) , 1, , r m mr mr N mrm mr m rr mr mr G G C C YuP T G m N m r T T= + − = = ≠  −   ∑ . (8) Показано, что величина, обратная критерию качества выбора РП характеризует количество извлекаемой информации из выборочных значений о различении гипотез mH и rH и имеет вид ( ) ( ) YuP mr 0 1 1 1 ( , ) , 1, , . mr N s n rm m r iv iv iv m i v I YuP T G k m m r N m r = = = = = = − = ≠∑ ∑∑ Математичне та комп’ютерне моделювання 142 На основе приведенного математического аппарата и адаптиро- ванного критерия качества типа Неймана-Пирсона проверки сложных статистических гипотез можно синтезировать нелинейные РП распо- знавания сигналов на фоне негауссовских помех с меньшими вероят- ностями ошибок второго рода при фиксированных вероятностях ошибок первого рода по сравнению с линейными РП при степени полинома 1s = , которые являются оптимальными для гауссовских помех. Увеличение эффективности синтезированных РП при степени полинома 2s ≥ получается в результате учета тонкой структуры не- гауссовских помех в виде кумулянтов третьего и выше порядков, что позволяет учесть асимметрию, эксцесс помехи. Список использованной литературы: 1. Ван Трис. Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. : Пер. с англ. / Под ред. В. И. Тихонова. — М. : Сов. радио, 1972. — 744 с. 2. Шелухин О.И. Негауссовские процессы / О.И. Шелухин, И.В. Беляков. — СПб. : Политехника, 1992. — 312 с. 3. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских процессов и их преоб- разований / А.Н. Малахов. — М. : Сов. радио, 1979. — 376 с. 4. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы / Ю.П. Кунченко. — К. : Наук. Думка, 2006. — 275 с. 5. Кунченко Ю.П. Построение моментного критерия качества типа Нейма- на-Пирсона для проверки простых статистических гипотез / Ю.П. Кун- ченко, В.В. Палагин // Вісник Інженерної Академії України, — № 1, — 2005, — С. 26—30. 6. Палагин В.В. Построение полиномиальных решающих правил обнаруже- ния сигналов на фоне негауссовских помех по моментному критерию ти- па Неймана-Пирсона / В.В. Палагин // Вісник ЧДТУ — № 4. — 2006. — С. 94—99. 7. Лега Ю.Г. Построение полиномиальных решающих правил по моментному критерию типа Неймана-Пирсона для проверки статистических гипотез / Ю.Г. Лега, В.В. Палагин, С.А. Лелеко // Электроника и системы управле- ния. — 2008. — №4 (18). — С. 71—78. 8. Палагин В.В. Построение моментного критерия проверки статистических гипотез при использовании полиномиальных решающих правил / В. В. Па- лагин // Электронное моделирование — 2008. — Т. 30. — С. 57—72. The new moment criterion of quality for test of composite statistical hypotheses on the basis of the use of stochastic polynomials as decision functions and moment-cumulant description of casual sizes is developed. The offered approach allows effectively synthesising nonlinear decision rules with less probability of errors for Non-Gaussian random variable as compared to the known results. Key words: moment criterion of quality, stochastic polynomial, mo- ment and cumulant description. Отримано: 07.10.2009

Схожі ресурси