Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий
Рассматривается метод определения внешних возмущений на динамическую систему, эквивалентных действию начальных значений выходных координат системы, основанный на применении интегральной формы задачи Коши и позволяющий решать точно или приближённо как прямые задачи анализа многомассовых систем, так и...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18757 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий / С.Ю. Протасов, А.М. Корнеев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 143-154. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18757 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-187572011-04-10T12:04:04Z Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий Протасов, С.Ю. Корнеев, А.М. Рассматривается метод определения внешних возмущений на динамическую систему, эквивалентных действию начальных значений выходных координат системы, основанный на применении интегральной формы задачи Коши и позволяющий решать точно или приближённо как прямые задачи анализа многомассовых систем, так и обратные задачи определения начальных значений искомых функций смещения сосредоточенных масс системы. The method of determination of external indignations is examined on the dynamic system, equivalent an action initial values of output coordinates of the system, based on application of integral form of task Koshi and allowing to decide exactly or approximately both direct tasks of analysis of the multimass systems and reverse tasks of determination of initial values of the sought after functions of displacement of concentrated the masses of the system. 2009 Article Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий / С.Ю. Протасов, А.М. Корнеев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 143-154. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18757 519. 85 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается метод определения внешних возмущений на динамическую систему, эквивалентных действию начальных значений выходных координат системы, основанный на применении интегральной формы задачи Коши и позволяющий решать точно или приближённо как прямые задачи анализа многомассовых систем, так и обратные задачи определения начальных значений искомых функций смещения сосредоточенных масс системы. |
| format |
Article |
| author |
Протасов, С.Ю. Корнеев, А.М. |
| spellingShingle |
Протасов, С.Ю. Корнеев, А.М. Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Протасов, С.Ю. Корнеев, А.М. |
| author_sort |
Протасов, С.Ю. |
| title |
Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий |
| title_short |
Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий |
| title_full |
Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий |
| title_fullStr |
Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий |
| title_full_unstemmed |
Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий |
| title_sort |
способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18757 |
| citation_txt |
Способ определения воздействий на многомассовую систему, эквивалентных влиянию начальных условий / С.Ю. Протасов, А.М. Корнеев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 143-154. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT protasovsû sposobopredeleniâvozdejstvijnamnogomassovuûsistemuékvivalentnyhvliâniûnačalʹnyhuslovij AT korneevam sposobopredeleniâvozdejstvijnamnogomassovuûsistemuékvivalentnyhvliâniûnačalʹnyhuslovij |
| first_indexed |
2025-07-02T19:43:43Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:43:43Z |
| _version_ |
1836565579419353088 |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 2
143
УДК 519. 85
С. Ю. Протасов*, асистент,
А. М. Корнеев**
*Черкасский государственный технологический университет, г. Чер-
кассы,
**ОАО «Хмельницкгаз» г. Хмельницкий
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА
МНОГОМАССОВУЮ СИСТЕМУ, ЭКВИВАЛЕНТНЫХ
ВЛИЯНИЮ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Рассматривается метод определения внешних возмущений
на динамическую систему, эквивалентных действию началь-
ных значений выходных координат системы, основанный на
применении интегральной формы задачи Коши и позволяю-
щий решать точно или приближённо как прямые задачи ана-
лиза многомассовых систем, так и обратные задачи определе-
ния начальных значений искомых функций смещения сосре-
доточенных масс системы.
Ключевые слова: многомассовые системы; функции сме-
щения сосредоточенных масс системы; определения внешних
возмущений на динамическую систему.
Введение. При исследовании динамики многомассовых механи-
ческих систем (также как систем другой физической природы, на-
пример, электрических цепей) важное значение имеет задача опреде-
ления внешних сил (возмущений), эквивалентных влиянию началь-
ных условий. Для решения этой задачи можно применить операцион-
ный метод или теорию δ -функций [1], что позволяет получить пра-
вые части дифференциальных уравнений (нагрузочные функции),
действие которых при нулевых начальных условиях равно возмуще-
ниям от начальных значений координат и их производных в случае
однородного уравнения. Рассмотрим иной подход к решению этой
задачи [2].
Интегральный способ. Пусть дифференциальное уравнение
переходного процесса относительно смещения і -й массы от положе-
ния равновесия или упругой силы, развиваемой в і , ( 1)і + -м звене,
имеет следующий вид:
( ),Lx f t= (1)
где L — дифференциальный оператор п-го порядка. Подчиним урав-
нение (1) общим начальным условиям для t =0
( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 2) ( 2)
0 0 00 ; 0 ; ; 0 .n n n n
t t tx x x x x x− − − −
= = =
= = =…
© С. Ю. Протасов, А. М. Корнеев, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
144
Положив
( )( ) ( ),nU t x t= (2)
приведём уравнение (1) к интегральному виду [2]:
0
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ),
t
U t K t y u y dy f t t+ = + Φ∫ (3)
где ( )tΦ — функция образованная начальными условиями. Запишем
её в следующей форме:
1
1 1
( ) (0) ,
( )!
n
n tt x a
ν ν µ
µ
ν
ν µ ν µ
−
−
−
= =
Φ = −
−∑∑ (4)
где 1aν − — коэффициенты дифференциального оператора L.
Приняв, что
( ) ( ) ( ),F t f t t= + Φ (5)
напишем дифференциальное уравнение
( ).Lx F t=
Очевидно, что, если привести дифференциальное уравнение (5)
к интегральному, то получим уравнение (3), которое, в свою очередь,
будет эквивалентно дифференциальному уравнению (1) с начальны-
ми условиями (2). Необходимо заметить, что правая часть уравнения
(5) содержит слагаемое Ф(t), что даёт в качестве частного решения
фиктивное движение системы как «твердого тела».
Поскольку функция Ф(t) представляет собой полином (4), то част-
ное решение, соответствующее ей, легко находится по известной левой
части дифференциального уравнения. В самом деле, определяя частное
решение в виде полинома с неопределёнными коэффициентами
* ( ),x P t= (6)
находим их значения из уравнения
[ ]( ) ( ).L P t t= Φ
Очевидно, что частное решение (6) должно быть удалено из об-
щего решения уравнения (5).
Пример. Пусть задано дифференциальное уравнение переходно-
го процесса
..
0 1 ( )IVx a x a x f t+ + = (7)
с начальными условиями общего вида
. . .. .. ... ...
0 0 000
0 0 0
; ; ; .t
t t t
x x x x x x x x
=
= = =
= = = = (8)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
145
Полагая ( ),IVx u t= приводим к следующим равенствам:
( );IVx u t=
... ...
0
0
( ) ;
t
x u t dt x= +∫
.. ... ..
0 0
0
( ) ( ) ;
t
x t y u y dy x t x= − + +∫ (9)
( )
...2 2. .. .0
0
0
( ) ;
2! 2!
t t y x tx u y dy x t x
−
= + + +∫
( )
......3 23 .0 0
0 0
0
( ) .
3! 3! 2!
t t y x tx tx u y dy x t x
−
= + + + +∫
Подставив значения х и его производных в дифференциальное
уравнение (7), получим следующее интегральное уравнение:
0
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ).
t
u t K t y u y dy f t t+ = − Φ∫ (10)
При этом ядро уравнения
3
0 1
( )( , ) ( ) .
3!
t yK t y a t y a −
= − +
Функция, образованная начальными условиями движения, будет
иметь вид
3 2
0 0 1 0 0 1 0 1 0 1( ) .
3! 2!
t tt x a t a x a a x a t x a
Φ = + + + + +
&&& && & (11)
Уравнению (10) или, дифференциальному уравнению (7) может
соответствовать дифференциальное уравнение
..
0 1 ( ) ( )IVx a x a x f t t+ + = + Φ (12)
при нулевых начальных условиях. В этом случае частное решение,
записанное в виде интеграла Коши, и будет его общим решением.
Пусть реакция системы на единичный импульс представлена
функцией B1(t). Тогда
[ ] 1
0
( ) ( ) ( ) .
t
x f t y B t y dy= − Φ −∫ (13)
Первый интеграл
1 1
0
( ) ( )
t
I f y B t y dy= −∫
Математичне та комп’ютерне моделювання
146
представляет собой частное решение уравнения (7) от правой части
( )f t . Второй интеграл
2 1
0
( ) ( ) ,
t
I y B t y dy= − Φ −∫
очевидно, должен дать частное решение того же уравнения, эквива-
лентное возмущениям, вносимым начальными условиями.
Подставив во второй интеграл значение ( )tΦ (11), получим
3
2 0 0 1 1
0
2
0 0 1 1 0 1 1
0 0
( )
3!
( ) ( )
2!
t
t t
yI x a y a B t y dy
yx a a B t y dy x a yB t y dy
= − + − −
− + − − − −
∫
∫ ∫
&&&
&& &
0 1 1
0
( ) .
t
x a B t y dy− −∫ (14)
Учитывая, что
( 1)
1 1
0
( ) ( ),
!
t k
ky B t y dy B t
k
− −− =∫
и проинтегрировав равенство (14), найдём
( 2) ( 4) ( 1) ( 3)
2 0 0 1 0 0 11 1 1 1
( 2) ( 1)
0 1 0 11 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).
I x a B t a B t x a B t a B t
x a B t x a B t
− − − −
− −
= − + − + −
− −
&&& &&
&
Воспользовавшись соотношением
3
( ) ( 2) ( 4)
0 11 1 1( ) ( ) ( ) ( 0,1, 2, )
3!
k
k k ktB t a B t a B t k− −
= − − =
…
и выполнив элементарные преобразования, получим
( 1) ( 2) ( 1)
2 0 1 0 1 01 1 11 ( ) ( ) ( )I x a B t x t a B t x B t− − − = − + − + + & &&
3 2
0 1 0 0 0 0( )
3! 2!
t tx B t x x x t x+ − − − −&&& &&& && & (15)
или, после подстановки
0
,t
a
τ
=
( 1) ( 2) (1)
2 0 1 0 1 01 1 1
00
1 11 ( ) ( ) ( )I x c B x c B x B
aa
τ τ τ τ− − = − + − + + & &&
Серія: Технічні науки. Випуск 2
147
3 2
0 1 0 0 0 0
00 0 0 0 0
1 1 1 1( ) .
3! 2!
x B x x x x
aa a a a a
τ ττ τ+ − − − −&&& &&& && & (16)
Решение однородного дифференциального уравнения (7) с на-
чальными условиями (8) в функциях переходного процесса записыва-
ется, как известно, следующим образом:
( 1) ( 2)
0 1 0 11 1
0
11 ( ) ( )x x c B x c B
a
τ τ τ− − = − + − + &
(1) (1)
0 01 1
0 0 0
1 1( ) ( ).x B x B
a a a
τ τ+ +&& &&& (17)
Сравнивая решения (16) и (17), замечаем, что они различаются
одним полиномом
3 2
0 0 0 0
00 0 0
1 1 1 ,
3! 2!
x x x x
aa a a
τ τ τ− − − −&&& && &
образованным начальными условиями движения. Этот полином явля-
ется частным решением (6) дифференциального уравнения
..
0 1 ( ),IVx a x a x t+ + = −Φ (18)
где ( )tΦ — функция, определённая равенством (11).
Найдем частное решение уравнения (18) в виде полинома
* 3 2 .x At Bt Ct D= + + + (19)
Дифференцируя полином (19) и подставляя значение его произ-
водных в уравнение (18), а затем, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях t, находим, что
0 0
0 0; ; ; .
3! 2!
x xA B C x D x= − = − = − = −
&&& &&
&
Тогда частное решение уравнения (19) записываем в виде
* 3 20 0
0 0 ,
3! 2!
x xx t t x t x= − − − −
&&& && &
или, после перехода к аргументу Ф,
* 3 20 0 0
0
00 0 0
.
2!3!
x x xx x
aa a a
τ τ τ= − − − −
&&& && &
(20)
Следовательно, если вычесть частное решение (20) из общего
решения уравнения (12), записанного для нулевых начальных усло-
вий, то оно совпадает с решением уравнения (1) при начальных усло-
виях общего вида, заданных величинами (2).
Математичне та комп’ютерне моделювання
148
Обратная задача. При некоторых общих предположениях раз-
решима и обратная задача, когда внешние нагрузки, т.е. правые части
дифференциальных уравнений, представляются в виде эквивалент-
ных им начальных условий движения.
В целях упрощения записи положим, что
, 1 ,i iF x+ ≡
и рассмотрим дифференциальное уравнение переходного процесса
( ).iLx t= Φ (21)
Считая его начальные условия нулевыми и полагая
( ) ( ),rx u t=
приведём уравнение (1) к интегральному уравнению Вольтерра ІІ рода
0
( ) ( , ) ( ) ( ).
t
iu t K t y u y dy t+ = Φ∫ (22)
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение
0Lx = (23)
с дифференциальным оператором
1 2
1 21 2
r r r
rr r r
d d dL p p p
dt dt dt
− −
− −
= + + + +…
и начальными условиями для 0t =
( 1) ( 2)( 1) ( 2)
0 0
0 0
(0) ; (0) ;
(0) ; (0) .
r rr rx x x x
x x x x
− −− −= =
= =
…
& &
(24)
Положив, как и прежде, ( ) ( )rx u t= , запишем следующее инте-
гральное уравнение, эквивалентное уравнению (23) с начальными
условиями (24):
0
( ) ( , ) ( ) ( ).
t
u t K t y u y dy F t+ =∫ (25)
В этом уравнении свободная функция ( )F t образованна за счёт
начальных условий движения (24). В соответствии с равенством (4)
она записывается следующим образом:
0 1
1 1
( ) ,
( )!
r
r tF t x p
ν ν µ
µ
ν
ν µ ν µ
−
−
−
= =
= −
−∑∑ (26)
где 1pν − — коэффициенты дифференциального оператора L . Распи-
сывая двойную сумму (26), получаем
( 1) ( 2)
1 2 00 0( ) r r
rF t p x p x p x− − = − + + + − …
( 1) ( 2)
2 3 00 0 1!
r r
r
tp x p x p x− − − + + + − &…
Серія: Технічні науки. Випуск 2
149
2
( 1) ( 2)
3 4 00 0 2!
r r
r
tp x p x p x− − − + + + − − &&… …
( 2) ( 1)
( 1) ( 2) ( 1)
1 0 0 0 .
( 2)! ( 1)!
r r
r r r
r r r
t tp x p x p x
r r
− −
− − −
−
− + − − −
(27)
Допустим теперь, что правая часть дифференциального уравне-
ния (21) имеет вид полинома
1
0
( ) .
!
r
k
i k
k
tt b
k
−
=
Φ = ∑ (28)
Потребуем тождественного равенства функций (27) и (28) и на
этом основании положим равными коэффициенты при одинаковых
степенях аргумента t . В результате получим следующую систему
алгебраических уравнений:
( 1)
1 0
( 1) ( 2)
2 10 0
( 1) ( 2)
0 1 2 00 0
;
;
;
.
r
r r
r r
r r r
r r
r
b x p
b x p x p
b x p x p x p
−
−
− −
− −
− −
= −
= − −
= − − − −
…………………………
L
(29)
Поскольку матрица уравнений (29) имеет треугольный вид
1
1 2
0 0
0 0
,
0
r
r
p
p
p p
−
…
…
………………
…
то исключение неизвестных легко выполняется по методу Гаусса.
Очевидно, что
( 1) 1
0
1
2 1
( 2)
0
;
;
r r
r
r
r r
r r
r
bx
p
pb b
px
p
− −
−
− −
−
=
−
=
………………………
(30)
Определив начальные условия уравнения (23) по формулам (30),
заметим, что интегральные уравнения (22) и (25) эквивалентны. Из
этого вывода следует, что неоднородное уравнение с нулевыми на-
чальными условиями (21) также эквивалентно, в определённом
смысле, уравнению (28) с начальными условиями (30).
Математичне та комп’ютерне моделювання
150
Нетрудно заметить, что при таком способе приведения уравне-
ние (23) потеряет частное решение, соответствующее правой части
уравнения (21). Поскольку правая часть уравнения (21) представлена
полиномом (28), то его частное решение определяет статику системы,
т.е. её движение как «твердого тела» и может быть без трудностей
найдено методом неопределённых коэффициентов. Поясним этот
вывод небольшим примером.
Рассмотрим трехмассовую систему со свободными концами.
Пусть к первой массе этой системы приложена внешняя сила 1( )f t .
Дифференциальные уравнения переходного процесса такой системы
имеют вид:
2 12 12
12 12 12 23 1
2 1
2 23
23 23 23 12
2
( );
0,
c cx x x f t
m m
c
x x x
m
ω
ω
+ − =
+ − =&&
(31)
где
2 2 2 31 2
12 12 23 23
1 2 2 3
; .
m mm mc c
m m m m
ω ω
++
= =
Уравнение для упругой силы в узле
2 312
12 0 12 1 12 1 23 1
1 2 3
12 23
23 0 23 1 23 1
1 2
( ) ( ) ;
( ),
IV
IV
m mcx a x a x f t c f t
m m m
c cx a x a x f t
m m
+
+ + = +
+ + =
&&&&
&&
(32)
где
2 31 2
0 12 23
1 2 2 3
1 2 3
1 12 23
1 2 3
;
.
m mm ma c c
m m m m
m m ma c c
m m m
++
= +
+ +
=
(33)
Допустим, что для дифференциальных уравнений (31) заданы
следующие начальные условия для 0 :t =
12 12 23 23(0) 0; (0) 0; (0) 0; (0) 0x x x x= = = =& & . (34)
Из системы (31) при подстановке 0t = и заданных значений (34)
находим
12 12
12 1 12 1
1 1
23 23
(0) (0); (0) (0);
(0) (0) 0.
c cx f x f
m m
x x
= =
= =
&& &&&
&&& &&
(35)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
151
Пусть 1 0( ) const.f t f= = Тогда начальные условия уравнения
(32), с учётом величин (34) и равенства (35), будут следующими:
12
12 12 12 0 12
1
23 23 23 23
(0) 0; (0) 0; (0) ; (0) 0;
(0) 0; (0) 0; (0) 0; (0) 0,
cx x x f x
m
x x x x
= = = =
= = = =
& && &&&
& && &&&
(36)
а правые части уравнения (32) примут такой вид:
2 3
12 12 23 0
1 2 3
0
23 12 23
1 2
;
.
m m
f c c f
m m m
f
f c c
m m
+
=
=
(37)
Поскольку заданное уравнение является неполным, т.е. не со-
держит нечётных производных, то при 4r = коэффициенты формул
(29) будут следующими:
4 1 3 2 0 1; 0; ; 0.p a p p a p= = = =
В то же время правые части дифференциальных уравнений (37)
являются постоянными величинами и поэтому коэффициенты в раз-
ложении нагрузочной функции (28), за исключением 0b , все равны
нулю. С учётом этого обстоятельства равенства (29) для первого
уравнения (32) с правой частью 12f будут следующими:
0 1
0 0 1
0 0 0 0 1
2 3 0
12 23 0 0 0 0 0 1
2 3
0 ;
0 0 ;
0 0 ;
( )
0 0 ,
x a
x x a
x x a x a
m m f
c c x x a x x a
m m
= −
= − ⋅ −
= − ⋅ − −
+
= − ⋅ − − ⋅ −
&&&
&& &&
&& &&& &
&&& && &
(38)
откуда эквивалентные начальные условия будут
2 3 0
0 0 0 0 12 23
11 2 3
0; 0; 0; .
m m f
x x x x c c
m m m a
+
= = = = − ⋅&&& && &
Подставляя значение 1a из формулы (3), получаем
0 1 0 ,x fµ= − (39)
где
2 3
1
1 2 3
.
m m
m m m
µ
+
=
+ +
Эквивалентные начальные условия для правой части 23f нахо-
дятся подобным же образом:
2 3 0
0 0 0 0 12 23
11 2 3
0; 0; 0; .
m m f
x x x x c c
m m m a
+
= = = = − ⋅&&& && &
Математичне та комп’ютерне моделювання
152
Выполнив операцию деления, найдём, что
0 2 0 ,x fµ= −
где
3
2
1 2 3
.
m
m m m
µ =
+ +
Запишем расчётные начальные условия дифференциальных
уравнений (32) как сумму условий (36) и (39)
12
12 1 0 12 12 0 12
1
23 2 0 23 23 23
(0) ; (0) 0; (0) ; (0) 0;
(0) ; (0) 0; (0) 0; (0) 0.
cx f x x f x
m
x f x x x
µ
µ
= − = = =
= = = =
& && &&&
& && &&&
(40)
Решение уравнений (32) при начальных условиях (40) согласно
формулам (5) будет
( )
( )
( 1) (1)12 0
12 1 0 1 1 1
1 0
( 1)
23 2 0 1 1
1 ( );
1 .
c fx f c B B
m a
x f c B
µ τ τ
µ τ
−
−
= − − +
= − −
(41)
Покажем, что решения (41) не содержат статических перемеще-
ний и, следовательно, статической составляющей упругой силы, воз-
никающей в звеньях системы.
Заменяя в уравнениях (32) с правыми частями (37) аргумент
0
,t
a
τ
=
получаем
2 3
12 12 1 12 12 23 02
1 2 3 0
23 23 1 23 12 23 02
1 2 0
;
1 .
IV
IV
m mF F c F c c f
m m m a
F F c F c c f
m m a
+
+ + =
+ + =
&&
&&
(42)
Преобразуем правые части уравнений (42) следующим образом:
2 3 1 1 12 23 11
12 12 23 0 0 02 2 2
1 2 3 0 0 1 2 3 0
( ) ;m m m m c c maf c c f f f
m m m a a m m m a
+ + −
= = −
12 23 1 1 2 3 1
12 1 0 1 0 1 02
1 2 31 2 3 0 1 2 3
( )
,
( )
c c m m m m mf c f c f c f
m m mm m m a m m m
+ +
= − = −
+ ++ +
откуда
2 3
1 0 1 1 0
1 2 3
;
m m
c f c f
m m m
µ
+
=
+ +
(43)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
153
12 23 3 2 3 1
23 0 12 23 02 2
1 2 0 1 2 3 2 3 1 0
( )
;
( )
c c m m m m
f f c c f
m m a m m m m m m a
+ +
= =
+ +
12 23
23 0 2 1 02
1 2 0
.
c c
f f c f
m m a
µ= = (44)
Поскольку дифференциальные уравнения уже приведены к ар-
гументу τ , частные решения в форме Коши будут следующими:
* ( 1)
12 1 1 1 1
0
* ( 1)
23 2 1 2 1
0
( ) ( );
( ) ( ).
x c B y dy c B
x c B y dy c B
τ
τ
µ τ µ τ
µ τ µ τ
−
−
= − =
= − =
∫
∫
(45)
Частные решения, записанные в такой форме, учитывают, конеч-
но, действие статических сил. Однако величина сил, действующих ста-
тически, может быть получена также как частное решение уравнений
(42), но найдено другим методом. Например, при постоянных правых
частях уравнений (42) было бы уместным искать их частные решения
также в виде некоторых постоянных величин *
12х и *
23х .
Подставляя постоянную величину *
12х в левую часть первого
уравнения системы (42) и учитывая значение правой части равенства
(43), находим
*
1 12 1 1 0 ,с F c fµ=
или
*
12 1 0 .x fµ= (46)
Если учесть ускорение системы как твердого тела, то
( ) ( )12 0 1 0 0 11
cт
x f f fµ µ= − = − ,
где
1
1
1 2 3
.
m
m m m
µ =
+ +
Следовательно,
( ) 1
12 0
1 2 3
1
cт
mx f
m m m
= −
+ +
.
Таким образом, форма частного решения (46) определяет стати-
ческую слагаемую упругой силы, развиваемой в звене. Точно так же
определим, что для правой части (44) частное решение второго урав-
нения (42)
Математичне та комп’ютерне моделювання
154
( )*
23 23 2 0.
cт
x x fµ= = (47)
Запишем общее решение уравнений (42) для заданных началь-
ных условий (36) с учётом частных решений (45):
(1) ( 1)12
12 0 1 0 11 1
1 0
( 1)
23 2 0 1 1
( ) ( );
( ).
cx f B f c B
m a
x f c B
τ µ τ
µ τ
−
−
= +
=
(48)
Эти решения отличаются от решений (41) только на величины
(46) и (47). Прибавляя к правой части равенства (41) величины стати-
ческих сил (46) и (47), получим формулы (48).
Следовательно, в приведенном неоднородном уравнении началь-
ными условиями не учтена лишь статическая составляющая решения.
Вывод. Таким образом, задача определения внешних возмущений
на динамическую систему, эквивалентных действию начальных значе-
ний выходных координат системы, решается на основе применения
интегральной формы задачи Коши. Рассматриваемый метод позволяет
решать точно или приближённо как прямые задачи анализа многомас-
совых систем, так и обратные задачи определения начальных значений
искомых функций смещения сосредоточенных масс системы.
Список использованной литературы:
1. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. — М. : Наука,
1975. — 304 с.
2. Дячук О. А. Перетворення моделей динамічних систем : наукові праці
Донецького національного технічного університету : Серія «Інформатика,
кібернетика і обчислювальна техніка» (ІК-2007) / О. А. Дячук. — До-
нецьк. : ДонНТУ, 2007. — В. 8(120) — C. 99—106.
3. Мюнтц Г. Интегральные уравнения, т.1, Линейные уравнения Вольтерра.
/ Г. Мюнтц — М. : ГПТИ, 1934. — 198 с.
The method of determination of external indignations is examined on
the dynamic system, equivalent an action initial values of output co-
ordinates of the system, based on application of integral form of task Koshi
and allowing to decide exactly or approximately both direct tasks of analy-
sis of the multimass systems and reverse tasks of determination of initial
values of the sought after functions of displacement of concentrated the
masses of the system.
Key words: multimass systems; functions of displacement of concen-
trated the masses of the system; determination of external indignations on
the dynamic system.
Отримано: 26.09.2009
|