Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования

Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования

Рассмотрено применение операционного метода S-преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на основе использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2010
Автор: Васильев, А.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18764
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 14-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-18764
record_format dspace
spelling irk-123456789-187642013-02-13T03:19:24Z Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования Васильев, А.В. Рассмотрено применение операционного метода S-преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на основе использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по решению прямой и обратной задач на примере уравнения Баглея-Торвика в среде системы Mathematica®. The application of S-transform operational method for approximate solution of linear differential equations with derivatives of integer and noninteger order has been considered. S-transform method also was applied to parametric identification problem for above equations based on given response function. Computer experiment connected with solution of direct and inverse problems for Bagley-Torvik equation was described. Computations were fulfilled in Mathematica® program area. 2010 Article Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 14-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18764 621.3720619(045) ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассмотрено применение операционного метода S-преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на основе использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по решению прямой и обратной задач на примере уравнения Баглея-Торвика в среде системы Mathematica®.
format Article
author Васильев, А.В.
spellingShingle Васильев, А.В.
Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Васильев, А.В.
author_sort Васильев, А.В.
title Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_short Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_full Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_fullStr Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_full_unstemmed Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_sort решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе s-преобразования
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2010
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18764
citation_txt Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 14-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT vasilʹevav rešenieprâmojiobratnojzadačdlâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsmešannogoporâdkanaosnovespreobrazovaniâ
first_indexed 2025-07-02T19:44:02Z
last_indexed 2025-07-02T19:44:02Z
_version_ 1836565599836176384
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 14 УДК 621.3720619(045) А. В. Васильев, канд. техн. наук Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ им. Г. Е. Пухова НАН Украины, г. Киев РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ПОРЯДКА НА ОСНОВЕ S-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Рассмотрено применение операционного метода S- преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на ос- нове использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по решению прямой и обратной задач на примере уравнения Баглея-Торвика в среде системы Mathematica®. Ключевые слова: аппроксимация сигналов, дробное ис- числение, параметрическая идентификация, математическое моделирование динамических систем, операционные методы анализа. Введение. При исследованиях динамических систем наиболее часто встречаются две задачи: для заданных структуры математиче- ской модели, коэффициентов, начальных условий и внешнего воз- действия определить отклик системы (например, решить интегро- дифференциальное уравнение). Такую задачу обычно называют пря- мой. Если задана структура математической модели, начальные усло- вия, внешнее воздействие и отклик на нее, но неизвестны коэффици- енты уравнений, то процесс нахождения коэффициентов составляет существо обратной задачи. Последняя носит название задачи пара- метрической идентификации. Так как информация об отклике систе- мы получается как результат наблюдения (измерения) поведения сис- темы, которые сопровождаются различного рода ошибками, исследо- ватели прибегают к методам повторных экспериментов, фильтрации сигналов, их осреднения, что часто превращает обратную задачу в некорректную. В последнее время большой интерес получили дина- мические системы, математические модели которых содержат интег- ро-дифференциальные операторы нецелых (дробных) порядков, ме- тоды исследования которых проходят в настоящее время период ин- тенсивной разработки [1]. В данной работе рассматриваются опера- ционные методы решения прямой и обратной задач для линейных динамических систем, на примере дифференциального уравнения, © А. В. Васильев, 2010 Серія: Технічні науки. Випуск 3 15 включающего производные как целого, так и дробного порядков. Ис- пользован операционный метод S-преобразований [2]. Вычислитель- ные эксперименты выполнены в среде системы Mathematica®. Постановка задачи. Математическая модель динамической системы представлена в форме:     0 1 k n C k t k a D x t f t    . (1) при следующих ограничениях и начальных условиях: 1 1 20; 1 0na n n         , (2)     00 , : 0, 1, , 1r rx x r n   . (3) В выражении (1) использовано обозначение дифференциального оператора нецелого порядка 0 C tD в форме Капуто [1, 2]:         1 0 1 t J x t t x d          , (4)      0 n C n t n d x t D x t J dt           , 1n n   . (5) В выражениях (1—5) порядки дифференциальных операторов k могут принимать как дробные, так и целые значения. При решении прямой задачи необходимо найти решение (1) при известных ограничениях (2—3). Решение обратной задачи предпола- гает определение неизвестных коэффициентов ak при известных ре- шении x(t) и начальных условиях (3). Метод S-преобразований. Приведем в ретроспективном плане ос- новные соотношения, представляющие существо операционного метода S-преобразований. Для сигнала   , 0x t t T  и линейно-независимой системы базисных функций        1 2, , *mS t s t s t s t      под пря- мым S-преобразованием понимают систему выражений (6): 1 ,X W Q   0 ( ) ( ) , , : 1, 2, , , T ij i jw s t s t dt i j m    (6) 0 ( ) ( ) , : 1, 2, , , T i iq x t s t dt i m    в которой сигналу x(t) сопоставляется его операционный аналог ( ) x t X  — вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома Математичне та комп’ютерне моделювання 16 в системе базисных функций ( )S t  . Обратное S-преобразование опре- деляется выражением (7), которое восстанавливает сигнал в виде ап- проксимации по известному изображению X  :        ** 1 . m a i i i x t X S t S t X X s t           (7) Операции интегрирования с порядком  —   J x t       1 0 1 t t x d            в операционной области соответствует выражение (8): Y P X    , (8) где P — операционная матрица интегрирования целого или дроб- ного порядка, элементы которой определяются выбранной системой базисных функций [2], Y  — изображение интеграла сигнала x(t). Существо применения S-преобразования покажем на примере диф- ференциального уравнения смешанного порядка, известного как уравнение Баглея-Торвика [3]. Операционная форма математической модели динамической системы. К уравнению Баглея-Торвика сводится, в частности, про- цесс движения пластины, погруженной в Ньютоновскую жидкость [3]. Выбор этого уравнения для рассмотрения предлагаемого метода параметрической идентификации обусловлен двумя причинами. Пер- вая состоит в том, что уравнение Баглея-Торвика является уравнени- ем смешанного порядка, в котором присутствуют наряду с операто- ром дробного порядка обычные производные целого порядка. Вторая связана с наличием аналитического решения, которое может быть использовано в качестве исходной информации для решения иденти- фикационной задачи и сравнения аппроксимационного решения с аналитическим. При некоторых упрощающих предположениях урав- нение имеет вид:              3/2 0'' ' , 0 0, ' 0 0, 0. ta y t b D y t c y t f t y y t          (9) Перед применением S-преобразования приведем уравнение (9) к эквивалентному интегральному, путем двукратного интегрирования с переменным верхним пределом:           1/2 2 2 0 0 0 .t t ta y t b J y t c J y t J f t      (10) Серія: Технічні науки. Випуск 3 17 Применяя к уравнению (10) S-преобразование и разрешая полу- ченное выражение относительно изображения Y  , получим:   11/2 2 2 ,Y a E b P c P P F               (11)    * .ay t Y S t   (12) Выражения (11) и (12) записаны в форме, дающей решение пря- мой задачи анализа процесса. Для решения идентификационной задачи результат S-преобразования необходимо записать в следующей форме: 1/2 2 ,R E Y P Y P Y          (13)   2 * .A a b c R P F      (14) В выражениях (13—14) приняты следующие обозначения: E — единичная матрица, R+ — псевдообратная по отношению к R матри- ца. Для решения идентификационной задачи изображение решения Y  предполагается известным. В следующем разделе рассмотрим программу решения прямой и обратной задач в среде системы Mathematica® с соответствующими комментариями. Иллюстративный пример. Задано уравнение (9) при правой части следующего вида:       8, 0 1 0, 0 t f t t      (15) и следующих отсчетах решения, осредненных по 30 подинтервалам в диапазоне изменения аргумента  0 30t  : Необходимо оценить значения коэффициентов уравнения и по- лучить аппроксимационное решение уравнения (10). Программа решения прямой и обратной задач  Задание шага разбиения аргумента и порядка базисной системы функций  Задание базисной системы функций  Задание вида операционной матрицы интегрирования в системе базисных функций V Математичне та комп’ютерне моделювання 18  Определение операционных матриц интегрирования необходи- мых порядков  Нахождение изображения правой части уравнения (10)  Решение прямой задачи в операционной области  Аппроксимация решения прямой задачи  Определение вида идентификационной матрицы  Решение обратной задачи (параметрической идентификации) {1, 0.5, 0.5};A    Задание новых значений параметров прямой задачи  Визуализация аппроксимационного решения прямой задачи Рис. 1. Аппроксимация решения уравнения Баглея–Торвика ya(t). Серія: Технічні науки. Випуск 3 19 Заключение. В рассмотренном иллюстративном примере не при- водятся численные результаты решения прямой задачи ввиду их гро- моздкости. Рассмотренный подход может быть использован для нахо- ждения параметров математических моделей исследуемых динамиче- ских систем на основе данных экспериментальных исследований. Список использованной литературы: 1. Васильев В. В. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в мо- делировании динамических систем / В. В. Васильев, Л. А. Симак. — К. : НАН Украины, 2008. — 256 с. 2. Васильев А. В. Метод численного решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменны- ми коэффициентами / А. В. Васильев // Математичне та комп’ютерне мо- делювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець- Подільський, 2009. — Вип. 2. — С. 3—14. 3. Podlubny I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. — San Diego: Academic Press. — 1999. — 340 p. 4. Wolfram S. The Mathematica Book / S. Wolfram. — Champain, II: Wolfram Media & Cambridge University Press. — 1999. — 1470 p. The application of S-transform operational method for approximate so- lution of linear differential equations with derivatives of integer and non- integer order has been considered. S-transform method also was applied to parametric identification problem for above equations based on given re- sponse function. Computer experiment connected with solution of direct and inverse problems for Bagley-Torvik equation was described. Computa- tions were fulfilled in Mathematica® program area. Key words: signal approximation, fractional calculus, parametric identification, dynamical system modeling, operational analysis methods. Отримано 15.06.10

Схожі ресурси