Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора

Проведено математичне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів в складених багатозв'язних областях із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Філатов, М.С., Ханенко, Р.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Series:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18781
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора / М.С. Філатов, Р.В. Ханенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 187-194. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18781
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-187812013-02-13T03:20:32Z Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора Філатов, М.С. Ханенко, Р.В. Проведено математичне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів в складених багатозв'язних областях із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора. The mathematical model of the multilayered soil regions cleaning from radionuclides with help of filters through the method of differential operator Taylor series was built. 2010 Article Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора / М.С. Філатов, Р.В. Ханенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 187-194. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0060 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18781 627.324.2/3:532.72:532.546 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Проведено математичне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів в складених багатозв'язних областях із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора.
format	Article
author	Філатов, М.С. Ханенко, Р.В.
spellingShingle	Філатов, М.С. Ханенко, Р.В. Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Філатов, М.С. Ханенко, Р.В.
author_sort	Філатов, М.С.
title	Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора
title_short	Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора
title_full	Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора
title_fullStr	Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора
title_full_unstemmed	Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора
title_sort	чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд тейлора
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18781
citation_txt	Чисельне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора / М.С. Філатов, Р.В. Ханенко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 187-194. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT fílatovms čiselʹnemodelûvannâočiŝennâgruntovogoseredoviŝavídradíonuklídívízvikoristannâmfílʹtrívvlovlûvačívmodifíkovanimmetodomrozkladudiferencíalʹnogooperatoravrâdtejlora AT hanenkorv čiselʹnemodelûvannâočiŝennâgruntovogoseredoviŝavídradíonuklídívízvikoristannâmfílʹtrívvlovlûvačívmodifíkovanimmetodomrozkladudiferencíalʹnogooperatoravrâdtejlora
first_indexed	2025-07-02T19:44:47Z
last_indexed	2025-07-02T19:44:47Z
_version_	1836565647096545280
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 3 187 УДК 627.324.2/3:532.72:532.546 М. С. Філатов, старший викладач, Р. В. Ханенко, аспірант Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОЧИЩЕННЯ ҐРУНТОВОГО СЕРЕДОВИЩА ВІД РАДІОНУКЛІДІВ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ФІЛЬТРІВ-ВЛОВЛЮВАЧІВ МОДИФІКОВАНИМ МЕТОДОМ РОЗКЛАДУ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В РЯД ТЕЙЛОРА Проведено математичне моделювання очищення ґрунтового середовища від радіонуклідів в складених багатозв'язних областях із використанням фільтрів-вловлювачів модифікованим методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора. Ключові слова: математична модель, очищення ґрунту, радіонукліди, ряд Тейлора. 1. Вступ В наш час, у зв’язку із зростанням техногенного впливу на оточую- че середовище (захоронення радіоактивних відходів, викиди радіоактив- них речовин, аварії на АЕС і т.п.), проблема очищення ґрунтів від забру- днення їх радіонуклідами є актуальною. Тому особливої уваги заслуго- вує прогнозування міграції радіонуклідів при фільтрації підземних вод та прогнозування ступеня очищення ґрунтових середовищ від радіонук- лідів. Цим питанням присвячені роботи [1—6]. У роботі для вирішення вищезгаданих задач розробляється ме- тод, який використовує розклад диференціальних операторів рівнянь крайової задачі в ряд Тейлора. 2. Постановка задачі Розглянемо задачу очищення ґрунтового середовища від радіо- нуклідів із використанням фільтрів-вловлювачів у двовимірній пос- тановці при їх міграції шляхом переносу встановленим (стаціонар- ним) фільтраційним потоком та під впливом конвективної дифузії до системи фільтрів-вловлювачів (рис. 1). Рис. 1. Фрагмент області міграції радіонуклідів до фільтра-вловлювача © М. С. Філатов, Р. В. Ханенко, 2010 Математичне та комп’ютерне моделювання 188 Необхідно розрахувати концентрацію радіонуклідів у кожній точці області, що розглядається, та в кожен момент часу як у рухо- мому поровому розчині, так і у зв’язаній з скелетом ґрунту воді та знайти, за який час концентрація певної підобласті з області фільтра- ції не перевищуватиме гранично допустимих значень. 3. Математична модель Математичну модель поставленої задачі, в якій фільтруючий ро- зчин з радіонуклідів-мігрантів моделюється сольовим розчином (сла- бким електролітом), можна описати наступною крайовою задачею на множині , на проміжку часу  0;t T :              1 1 1 1 12 2 1 2 1 1 22 2 ,x y c c c c c D V V c c x y tx y                       (1)          2 2 22 2 1 2 2 1 22 2 , c c c D c c tx y                (2) де (1) (1) ( , , ),c c x y t (2) (2) ( , , )c c x y t — концентрації радіонуклідів відповідно в фільтраційному потоці i у зв'язаній із скелетом ґрунту воді, D1, D2 — коефіцієнти конвективної i молекулярної дифузії ра- діонуклідів відповідно,  — пористість ґрунту, 1 2,  — коефіцієнти масообміну, ( , )x yV V V  — вектор швидкості фільтраційного потоку, компоненти якого задовольняють рівняння фільтрації підземних вод , , 0, yx x y dVdVh h V k V k x y dx dy           (3) де h — п’єзометричний напір, k — коефіцієнт фільтрації. Нехай у початковий момент часу відомо розподіли концентрацій  1c та  2c            1 21 2 0 0, ,0 , , ,0 .c x y C c x y C   Задані викиди радіонуклідів на поверхню ґрунту             2 2 1 21 2 1 1 Г Г , , , , , .c x y t C c x y t C   (4) На нижній границі виділеного ґрунтового середовища задані умови непроникності Серія: Технічні науки. Випуск 3 189     1 1 1 2 Г Г 0, 0, c c n n         (5) на бічних сторонах — умови неперетікання радіонуклідів 3 4 3 4 (1) (2) Г Г Г Г 0, 0 c c n n           (6) та на фільтрі — умови швидкого виносу радіонуклідів фільтраційним потоком і поглинання їх фільтром     ф ф 1 2 Г Г 0, 0. c c n n         (7) Для п’єзометричного напору відомі значення на фільтрі, на по- верхні ґрунту i задаються умови неперетікання 2 ф 1 3 4 1 2Г Г Г Г Г , , 0. h h Н h Н n         (8) 4. Розв’язок задачі методом розкладу диференціального оператора в ряд Тейлора Для чисельного розв’язання задачі (1)—(8) проведемо дискрети- зацію області  на вузли  , ,i ix y  1, .i N Розіб’ємо також про- міжок часу  0;T часовим вузлами  0;kt T з кроком , 1, .k K Введемо позначення (1) (1) ,( , , ) ,i i k i kc x y t c (2) (2) ,( , , ) ,i i k i kc x y t c ( , ) ,i i ih x y h 1, ,i N 1, .k K На основі (3) маємо 2 2 2 2 0. h h x y       (9) Використавши розклад функції в ряд Тейлора в околі кожного вузла розбиття, отримаємо     2 2 2 2 0, , . i i j j i ij N h h a h x y x y           (10) Тут: iN — множина сусідніх вузлів до i-го вузла. Коефіцієнти ( )i ja отримуються із системи з шести рівнянь, які являють собою розклади h в ряд Тейлора в околі i-го вузла по відношенню до його сусідніх вузлів. Аналогічно, для рівнянь (8) отримаємо Математичне та комп’ютерне моделювання 190         1 2 2 ф 1 3 4 , , Г , 1, , , , Г , 1, , 0, , Г Г Г , 1, . i i i i i i i ii j j i ij N h H x y i N h H x y i N h a h x y i N n                 (11) Таким чином, для знаходження hi необхідно розв’язати систему рівнянь (10)—(11). Розглянемо процес міграції радіонуклідів (1)—(8) в момент часу .kt t Замінимо похідну по часу в (1), (2) різницевим аналогом            1 1 1 2 2 22 2 , , , 1 , , , 1 1, , , 1, .i k i k i k i k i k i k k k k k k c c c c c c t t k K t t                  Тоді для кожного значення i запишемо (1), (2) у вигляді                 1 1 1 12 2 , , , , 1 2 2 2 2 1 2 , , 1 1 2, , , i k i k i k i k x y i k i k i k i k k c c c c D V V x yx y c c c c                         (12)            2 2 2 22 2 1 2, , , , 1 2 1 2, ,2 2 .i k i k i k i k i k i k k c c c c D c c x y                  (13) У рівнянні (12) використовується значення  2 ,i kc , а в рівнянні (13) —  1 ,i kc із поточного кроку по часу. Враховуючи, що в реальних умовах подібні процеси будуть пробігати повільно, замінимо ці зна- чення на значення з попереднього, вже обрахованого кроку. Таким чином, після перетворень отримаємо                  1 2 1 12 2 1, , , , 1 1 ,2 2 2 1 2 , 1 , 2 , , i i k i k i k i k x y i k k i i k j j k i kj N k c c c c D V V c x yx y c a c c                                  (14) де   1 i ja — параметри апроксимації диференціального оператора від  1 ,i kc у i-му вузлі; Серія: Технічні науки. Випуск 3 191                 2 22 2 2, , 2 2 ,2 2 2 2 2 1 , 1 1, , 1 , i i k i k i k k i i k j j k i kj N k c c D c x y c a c c                           (15) де   2 i ja — параметри апроксимації диференціального оператора від  2 ,i kc у i-му вузлі. Аналогічно, отримуємо рівняння внаслідок апроксимації грани- чних умов                 1 1 1, , 2 2 2, , 0, 0. i i ii k j j kj N ii k j j kj N c a c n c a c n               (16) Отже, знаходження концентрації у вузлах i для кожного моменту часу зводиться до розв’язання 2-х СЛАР (14)—(16). Враховуючи те, що величини  1c і  2c зв’язані, то на кожному із кроків по часу в рівнян- нях (14), (15), обчислення ведуться до тих пір, поки      1 1 1 , , ,s s i k i kc c    та      2 1 2 , , ,s s i k i kc c    (17) де s — крок апроксимації, 1,i N , 1,k K ,  — достатньо мала ве- личина, за допомогою якої задається точність обчислень. 5. Програмна реалізація та результати обчислювальних експериментів Програмна реалізація розв’язання даної задачі проведена в середо- вищі Microsoft Visual Studio 2008 із використанням сучасної мови про- грамування C#. Розбиття області проводилося на основі алгоритму трі- ангуляції [7]. Обрахунки були виконані для кількості вузлів 10647.N  В якості конкретного прикладу спрогнозуємо зміну концентрації радіонуклідів з такими вхідними даними: 1 1м;H  2 0 м;H  2 1 0,01м /добу;D  2 2 0,01м /добу;D  1 2 0,0065;   0,1м/добу;k  0,2;   1 0 0;C   2 0 0;C   1 2 0,3 1 26 ;tC t e  2 3 0,3 1 ;tC t e фільтр знаходиться на глибині 0,8 м, 0,6 м 0,3 м — розміри фільтра. Нижче наведені графіки отриманих результатів. Рис. 2. Ізолінії міграції радіонуклідів до фільтра Математичне та комп’ютерне моделювання 192 Рис. 3. Графіки розподілу концентрації  1с по глибині ґрунтового масиву Рис. 4. Графіки розподілу концентрації  2с по глибині ґрунтового масиву Серія: Технічні науки. Випуск 3 193 Рис. 5. Графік розподілу концентрації  1с поздовж ґрунтового масиву на глибині 0, 4 му  . Рис. 6. Графік розподілу концентрації  2с поздовж ґрунтового масиву на глибині 0, 4 му  . Як видно із графіків рис. 3—6, розподіли концентрацій  1с та  2с з часом по глибині шару ґрунту суттєво відрізняються. Концентрація ра- діонуклідів у рухомій рідині значно перевищує концентрацію радіонуклі- дів в рідині, зв’язаній із скелетом ґрунту. Швидкості очищення від радіо- Математичне та комп’ютерне моделювання 194 нуклідів рухомої рідини та рідини, зв’язаної із скелетом ґрунту також відрізняються. Якщо концентрація радіонуклідів у рухомій поровій рідині на глибині 0.4 м вже на 25-ту добу після викиду становить менше 30 % від максимального її значення, то концентрація в рідині, зв’язаній із ске- летом ґрунту становитиме менше 30 % від її максимального значення аж через 260 діб. Зважаючи на те, що концентрація радіонуклідів в рідині, зв’язаній із скелетом ґрунту значно менша за концентрацію радіонуклідів в рухомій поровій рідині, то очищення ґрунту до рівня забруднення 30 % від максимального значення забруднення відбудеться вже після 30-ї доби. Висновки. Таким чином, в роботі сформульовано постановку та розроблено математичну модель процесу очищення ґрунтового сере- довища від радіонуклідів. З використанням розкладу диференціаль- них операторів рівнянь задачі в ряд Тейлора, для даної математичної моделі побудовано різницеву схему, проведено обчислювальні експе- рименти та проаналізовані їх результати. Список використаних джерел: 1. Власюк А. П. Числове моделювання однієї задачі про утилізацію радіо- нуклідів / А. П. Власюк, О. П. Остапчук // Тез. доп. Міжнародної школи- семінару «Прогнозування та прийняття рішень в умовах невизначенос- ті». — Мелітополь, 2005. — С. 111—113. 2. Власюк А. П. Числове моделювання міграції радіонуклідів при горизон- тальній фільтрації підземних вод / А. П. Власюк, О. П. Остапчук // Тез. доп. Міжнародної школи-семінару «Прогнозування та прийняття рішень в умовах невизначеності». — Східниця, 2006. — С. 180—181. 3. Власюк А. П. Математичне моделювання задачі про утилізацію радіонук- лідів в шарі ґрунту / А. П. Власюк, О. П. Остапчук // Тез. доп. Міжн. конф. ім. акад. М. Кравчука. — Київ, 2006. — С. 57. 4. Буряк Я. Й. Вихідні положення математичної моделі гетеродифузного переносу радіонуклідів у приповерхневих шарах Землі / Я. Й. Буряк, Э. Я. Чапля // Доп. НАН України. — 1993, № 10. — С. 59—63. 5. Глушак П. А. До проблем математичного моделювання міграції радіонуклідів у ґрунтах та ґрунтових водах / П. А. Глушак, М. В. Токарчук, I. М. Крiп // Ві- сник ін-ту фізики конденсованих систем, 2006. — С. 56—62. 6. Ляшко С. И. Оптимизация и математическое моделирование массопере- носа подземных вод / С. И. Ляшко. — К. : Наук. думка, 1998. — 256 с. 7. Власюк А. П. Автоматизована система трiангулювання многозв’язних та складених областей / А. П. Власюк, М. С. Фiлатов // Тез. доп. Міжнарод- ної школи-семiнару «Прогнозування та прийняття рішень в умовах неви- значеності». — 2004. — С. 221—222. The mathematical model of the multilayered soil regions cleaning from radionuclides with help of filters through the method of differential opera- tor Taylor series was built. Key words: mathematical model, soil cleaning, radionuclide, Taylor series. Отримано: 14.06.2010

Institution

Similar Items