Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II

Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАН...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
1. Verfasser:	Гузь, А.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2019
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188105
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II / А.Н. Гузь // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 3. — С. 5-91. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-188105
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1881052023-02-15T01:27:46Z Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II Гузь, А.Н. Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ. Оглядова стаття присвячена короткому опису та відповідному аналізу основних результатів по некласичним проблемам механіки руйнування, які одержані автором статті та його учнями за останні 50 років у відділі динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАНУ. An analysis of main results on investigation of some nonclassical problems of fracture and failure mechanics is considered. Results under consideration were obtained by author and his pupils in the department of dynamics and stability of continuum of the S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of the National academy of sciences of Ukraine (NASU) during last 50 years. 2019 Article Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II / А.Н. Гузь // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 3. — С. 5-91. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188105 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ.
format	Article
author	Гузь, А.Н.
spellingShingle	Гузь, А.Н. Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II Прикладная механика
author_facet	Гузь, А.Н.
author_sort	Гузь, А.Н.
title	Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II
title_short	Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II
title_full	Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II
title_fullStr	Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II
title_full_unstemmed	Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II
title_sort	неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). ii
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2019
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188105
citation_txt	Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II / А.Н. Гузь // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 3. — С. 5-91. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT guzʹan neklassičeskieproblemymehanikirazrušeniâk50letiûissledovanijobzorii
first_indexed	2025-07-16T09:57:32Z
last_indexed	2025-07-16T09:57:32Z
_version_	1837797060056711168
fulltext	2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 3 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 3 5 А . Н . Г у з ь НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ: К 50-ЛЕТИЮ ИССЛЕДОВАНИЙ (ОБЗОР). II. Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. П.Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: guz@carrier.kiev.ua Abstract. An analysis of main results on investigation of some nonclassical problems of fracture and failure mechanics is considered. Results under consideration were obtained by author and his pupils in the department of dynamics and stability of continuum of the S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of the National academy of sciences of Ukraine (NASU) during last 50 years. Nonclassical problems of fracture and failure mechanics are defined as ones in which the approaches and criteria of classical fracture and failure mechanics are inapplicable. Dis- tinguishing feature of results of author and his pupils is application of the 3D (three- dimensional) theories of stability, dynamics and statics of solid mechanics to investigation of nonclassical problems of fracture and failure mechanics. Vast majority of others authors practises various approximate theories of shells, plates and rods and others approximate approaches to investigation of nonclassical problems of fracture and failure mechanics. Main scientific results in the eight nonclassical problems of fracture and failure mechan- ics obtained in the framework of above mentioned approach (3D theories of solid mechan- ics) are presented in very short form. Principal attention is directed to problems statement with the analysis of corresponding experiments, development of the method of solution in the framework of approach under consideration and discussion of final results. In view of it the mathematical aspect of methods of solution under consideration and their computer- aided realization are not discussed in this review paper, information on this subject is pre- sented as annotation in short form. Next eight nonclassical problems of fracture and failure mechanics (results of author and his pupils) are considered in this review paper: the first problem – fracture of composites compressed along reinforcing elements; the second problem – model of short fibers in stability and fracture of composites under compression; the third problem – end-crush fracture of composites under compression along reinforc- ing elements; the fourth problem – brittle fracture of cracked materials with initial (residual) stresses acting along cracks; the fifth problem – separation into slender parts of composites under tension or com- pression along reinforcing elements; the sixth problem − fracture of materials under compression along parallel cracks; the seventh problem – brittle fracture of cracked materials under dynamical loads (with contact interaction of crack faces); the eighth problem – fracture of thin-walled cracked bodies under tension with prebuckling. About 523 monographs and main papers published by author and his pupils on the eight nonclassical problems of fracture and failure mechanics under consideration are included in the list of literature to this review paper. The total review paper includes three parts. The first part has a subtitle: General prob- lems; this part has been published in the journal «Prikladnaya Mekhanika» (55, № 2, 2019). The second part has a subtitle: Compressive failure of composite materials; this part is pub- lishing in the journal «Prikladnaya Mekhanika» (55, № 3, 2019). The third part has a subti- tle: Others nonclassical problems of fracture mechanics. 6 Key words: nonclassical problems of fracture and failure mechanics; investigation dur- ing last 50 years; author and his pupils; S.P.Timoshenko Institute of Mechanics; department of dynamics and stability of continuum. Предисловие. Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ. Обсуждаемая обзорная статья разделана на три части. Первая часть имеет подза- головок «Общие вопросы» и опубликована в журнале «Прикладная механика» (55, № 2, 2019); в первую часть включены Введение и §§1 и 2. Вторая часть имеет подза- головок «Разрушение композитных материалов при сжатии» и публикуется в журнале «Прикладная механика» (55, № 3, 2019); во вторую часть включены §§3 – 5. Третья часть имеет подзаголовок «Другие неклассические проблемы механики разрушения»; в третью часть включены §§6 – 10 и список литературы, который явля- ется общим для всех трех частей. Во всей обзорной статье (§§1 – 10) для всех формул, рисунков, Примечаний и Таблиц принята двойная нумерация (в пределах каждого параграфа); при этом первый номер соответствует номеру параграфа и второй номер (после точки) соответствует номеру объекта в пределах рассматриваемого параграфа. Таким образом, можно рас- сматривать результаты каждого параграфа практически независимо от других пара- графов, ориентируясь на список литературы, который является общим для всей статьи и который представлен в третьей части статьи. §3. Проблема 1. Разрушение в композитных материалах при сжатии вдоль армирующих элементов. В настоящем параграфе в весьма краткой форме излагаются основные результаты по обсуждаемой проблеме, полученные в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ с 1967 – 1968 гг.; при этом из- ложение рассматриваемых результатов представлено в стиле, анонсированном во Введении в настоящую статью (без привлечения аспектов математического характе- ра). Также приведены сведения исторического характера, включая информацию о некоторых результатах экспериментальных исследований, соответствующих форми- рованию обсуждаемой научно-технической проблемы. Основные результаты сотрудников отдела динамики и устойчивости сплошных сред по рассматриваемой научной проблеме представлены в монографиях [30, 31, 54, 57] в ряде других изданий монографического характера; первоначально эти результа- ты были опубликованы в научных статьях, которые указаны в списках литературы к монографиям [30, 31, 54, 57]. Из списка публикаций, приведенного в настоящей об- зорной статье, к рассматриваемому научному направлению отдела относятся статьи [8, 10, 11, 20, 25, 26, 29, 42, 50, 53, 55, 61, 62, 75, 80 – 82, 91 – 100, 132 – 138, 167 – 170, 175, 213 – 220, 241 – 246, 278, 290 – 293, 302, 307, 310, 311, 313, 319, 321, 326, 347, 350, 354 – 361, 374 – 376, 396, 400 – 406, 409, 410, 425 – 429, 440 – 443, 448, 485, 487 – 491, 503, 505 – 507, 512 – 516, 518, 524 – 527, 534, 538, 539, 559, 566 – 571] и материа- лы по докладам на международных конференциях [318, 320, 323, 329, 335, 445, 446, 460, 469, 471 – 475, 477 – 480, 517, 519 – 523]. По рассматриваемому научному направлению отдела подготовлены и защищены 5 диссертаций на степень доктора физико-математических или технических наук (DSc): И.Ю.Бабича, В.Н.Чехова, Ю.Н.Лапусты, И.А.Гузя и Э.А.Ткаченко; следует отметить, что в диссертацию И.А.Гузя также вошли результаты по проблеме 6 (Раз- рушение при сжатии вдоль параллельных трещин). 3.1. Общая концепция и основные направления исследований. В настоящее время в научной литературе по механике разрушения композитных материалов принято считать, что впервые микровыпучивание волокон как механизм разрушения волокнис- того композитного материала при сжатии был описан в работе [271] за 1960 г.; отме- ченное явление нашло неоднократное подтверждение в ряде научных центров при соответствующих экспериментальных исследованиях, что рассмотрено в следующем пункте (п. 3.2) настоящей статьи. Указанные сведения дают возможность принять следующую Общую концепцию при анализе задач обсуждаемой проблемы. 7 3.1.1. Общая концепция. В композитных материалах, которые в континуальном приближении моделируются ортотропными материалами, при сжатии вдоль осей симметрии свойств материалов начальным этапом (стартом) разрушения является потеря устойчивости во внутренней структуре композитов. Распространение раз- рушения при этом определяется поведением возмущений в рамках применяемой тео- рии устойчивости, распространение разрушений начинается от макро- и микронеод- нородностей. Теоретическим пределом прочности при сжатии и теоретическим значением предельного укорочения являются величина критической нагрузки и величина критического укорочения, вычисленные в рамках применяемой теории устойчивости. Примечание 3.1. Вышесформулированная Общая концепция в механике разру- шения композитов при сжатии вдоль осей симметрии свойств композитов является полным аналогом ситуации в механике элементов конструкций, когда при сжатии вдоль осей симметрии начальным этапом исчерпания несущей способности элемен- тов конструкций (стержни, платины, оболочки и т.д.) является потеря устойчивости. Таким образом, рассматриваются волокнистые однонаправленные (Рис. 3.1) и слоистые (Рис. 3.2) композиты и образованные из них перекрестной намоткой или укладкой композиты, а также дру- гие композиты с осями симметрии свойств, вдоль которых осуществля- ется сжатие. Для более последова- тельного и строго применения сформулированной Общей кон- цепции необходимо сформулиро- вать условие существования явле- ния потери устойчивости во внут- ренней структуре (внутренней не- устойчивости) применительно к рассматриваемому элементу кон- струкции из конкретного компо- зита. Введем обозначения: Рис. 3.1 Рис. 3.2 крp − критическая нагрузка, соответствующая потере устойчивости во внутрен- ней структуре (внутренней неустойчивости) композита; эк крp − критическая нагрузка, соответствующая потере устойчивости всего рас- сматриваемого элемента конструкции; L − характерный (минимальный) размер рассматриваемого элемента конструкции; крl − длина полуволны формы потери устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость) композита. Учитывая вышевведенные обозначения, условия существования потери устойчи- вости во внутренней структуре композита (внутренняя неустойчивость) примени- тельно к рассматриваемому элементу конструкции из данного композита можно представить в следующем виде эк кр кр кр; .p p l L  (3.1) Невыполнение одного из условий (3.1) обозначает, что в рассматриваемом кон- кретном случае (форма элемента конструкции + свойства композита) при непрерыв- ном изменении нагрузки механизм разрушения, определяемый Общей концепцией, не возникает. По-видимому, впервые понятие о внутренней неустойчивости материала введено в статье [224] за 1963 г. и проведено исследование внутренней неустойчивости в рам- ках плоской задачи теории 5 (теории инкрементальных деформаций [222]), анализ которой (теории 5) выполнен в п. 2.2 настоящей статьи. В последующие годы иссле- дование внутренней неустойчивости проведено для пространственной и плоских за- дач в случае сжимаемых и несжимаемых материалов с определяющими уравнениями 8 достаточно общего вида в единой общей форме для теорий 1, 2 и 3 (в соответствии с терминологией п. 2.2); при этом конкретные результаты получены как для модели кусочно-однородной среды, так и в континуальном приближении. Вышеуказанные результаты по исследованию внутренней неустойчивости представлены в монографи- ях [30, 31, 49,54, 57, 334]; предварительно эти результаты были опубликованы в ста- тьях, которые частично вошли в списки литературы к обсуждаемым монографиям и в список литературы к настоящей обзорной статье. Применительно к континуальной модели композитов различные случаи перехода к внутренней неустойчивости (внут- реннему разрушению) рассмотрены в монографии [57] (т. 2, глава 2, §4). В рамках модели кусочно-однородной среды при определении величины критиче- ской нагрузки и форм потери устойчивости во внутренней структуре (внутренней не- устойчивости) для конкретных композитов, обычно, учитывая второе неравенство (3.1), проводят анализ для композита конкретной структуры, который занимает бес- конечное пространство. После решения соответствующих задач на собственные зна- чения для «бесконечного» композита определяют зависимость параметра нагружения p от параметра волнообразования  в следующей форме:   ; . h p p l     (3.2) В (3.2) и ниже введены обозначения: h − характерный геометрический параметр структуры композита ( h − мини- мальная толщина слоев в слоистом композите (Рис. 3.2), h − радиус волокна в одно- направленном волокнистом композите (Рис. 3.1)); l − длина полуволны (вдоль слоев или волокон) формы потери устойчивости во внутренней структуре композита (внутренняя неустойчивость). Учитывая вышеизложенные соображения и опре- деления, приходим к выводу, что явление потери ус- тойчивости во внутренней структуре композита (внут- ренняя неустойчивость) существует не при произволь- ной зависимости (3.2). Для наглядности можно пред- ставить два типа зависимости (3.2), соответствующие кривым А и В на Рис. 3.3. Кривая А на Рис. 3.3 имеет четко выраженный минимум; в связи с этим величина крp определяется посредством минимизации первого выражения (3.2) и величина кр определяется из выра- Рис. 3.3 жения кр кр( ).p p  Таким образом, для случая зави- симости (3.2) в виде кривой А на Рис. 3.3 определяется величина критической нагруз- ки крp и форма потери устойчивости, соответствующая параметру волнообразования в виде 1 кр крhl   . Необходимо отметить, что для случая кривой А имеют место соот- ношения кр кр0 ; .l    (3.3) В связи с наличием соотношений (3.3) в случае зависимости (3.2) в виде кривой А на Рис. 3.3 отмеченные ранее условия (3.1) применяются для определения тех элементов конструкций (их размеров) из конкретного композита, для которых реализуется потеря устойчивости во внутренней структуре композита (внутренняя неустойчивость). Кривая В на Рис. 3.3 является монотонной кривой; в связи с этим критическое значение крp для этой кривой в результате минимизации выражения (3.2) определяет- ся соотношением кр (0),p p  следовательно в рассматриваемом случае кривой В на Рис. 3.3 получаем 9 кр кр0; .l    (3.4) Из выражений (3.4) следует, что в случае зависимости (3.2) в виде кривой В на Рис. 3.3 невозможно определить форму потери устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость) композита. Таким образом, в соответствии с принятым определением не существует явления потери устойчивости во внутренней структуре композита (внутренней неустойчивости) в случае зависимости (3.4) в виде кривой типа В на Рис. 3.3. Также отметим, что в соответствии со вторым выражением (3.4) в случае кривой типа В на Рис. 3.3 для любого элемента конструкций не может выпол- няться второе условие (3.1); следовательно в рассматриваемом случае может реали- зоваться только потеря устойчивости всего элемента конструкций. Таким образом, можно считать, что явление потери устойчивости во внутренней структуре композита (внутренняя неустойчивость) не возникает, если зависимость параметра нагружения p от параметра волнообразования  (первое выражение (3.2)) представляется кривой типа В на Рис. 3.3. В случае кривых типа А на Рис. 3.3, когда кр незначительно отличается от нуля, явление потери устойчивости во внутренней структуре композита (внутренняя неустойчивость) в элементах конструкций конкрет- ной форсы также практически не возникает вследствие второго условия (3.1), по- скольку при этом крl   . Отмеченную ситуацию применительно к зависимости (3.2) в виде кривой А на Рис. 3.3 необходимо учитывать при анализе рассматриваемого явления для конкретных композитов. Вышеизложенная в настоящем пункте (п. 3.1.1) Общая концепция и методология ее применения дают возможность получать и анализировать результаты, относящиеся к Проблеме 1 (Разрушение в композитных материалах при сжатии вдоль армирую- щих элементов) и также другим неклассическим проблемам механики разрушения композитов, которые получены с привлечением ТЛТУДТ; в частности, такой подход полностью применим к модели «бесконечно длинных волокон» в механике композит- ных материалов, когда исследуются периодические вдоль армирующих элементов (волокна, слои) формы потери устойчивости. По стилю изложения материала настоя- щий п. 3.1.1 соответствует п. 1.2.1 обзорной статьи [65] и обзору результатов в моно- графии [64]. В исследованиях по обсуждаемой Проблеме 1 с привлечением Общей концепции сформировалось два научных направления, краткая информация по ха- рактеристике которых представлена в следующих пп. 3.1.2 и 3.1.3. 3.1.2. Первое направление (весьма приближенные подходы). Первое направле- ние основано на введении различных весьма приближенных расчетных схем и допу- щений при исследовании явления внутренней неустойчивости (потери устойчивости во внутренней структуре) композитов, определяющей начальный этап (старт) разру- шения композитов при сжатии. В настоящее время, по-видимому, еще не выполнен надлежащий анализ такого подхода в основных задачах, если он вообще возможен; в связи с этим при рассмотрении результатов, полученных в рамках первого подхода, осторожное к ним отношение не может быть неоправданным, поскольку обсуждаемые результаты являются результатами теоретических исследований при введении при- ближенных расчетных схем и допущений без их надлежащего анализа и обсуждения. Автор настоящей обзорной статьи, как и авторы обзора [65] за 2016 г. не опреде- ляли свою цель – дать систематический обзор и анализ соответствующих публикаций по первому направлению, так как в настоящее время в научно-технической литерату- ре по механике композитов и по механике разрушения опубликовано сравнительно большое количество статей, результаты которых получены в рамках первого направ- ления. Целью настоящего пункта (п. 3.1.2), как и п. 1.2.2.1 [65], является: классифика- ция обсуждаемых результатов как первого направления в рассматриваемых исследо- ваниях; формулировка основных (по мнению автора настоящей обзорной статьи) при- ближенных допущений, характерных для первого направления; рассмотрение первых в историческом аспекте публикаций, относящихся к первому направлению. 10 Характерные приближенные допущения, широко применяемые при проведении исследований в рамках первого рассматриваемого направления, можно условно объ- единить в следующие пять групп. 1. При исследовании закономерностей в волокнистом композите применяется мо- дель слоистого композита, для которого исследования проводятся в рамках плоской задачи. 2. При анализе устойчивости наполнителя – армирующих элементов (волокна, слои) широко применяются одномерные и двухмерные прикладные теории устойчивос- ти тонкостенных систем (стержни, пластины), построенные с привлечением гипотез плоских сечений, Кирхгоффа – Лява и т.п.; как общеизвестно, такого типа теории приме- няются только для описания сравнительно длинноволновых форм потери устойчивости. 3. Как правило, не учитывается, что матрица (связующее) также воспринимает сжимающую нагрузку. Такое допущение вызвано тем, что материал матрицы имеет значительно меньшую жесткость по сравнению с материалом наполнителя; как след- ствие при исследовании принимается, что матрица является незагруженной. Для ряда композитов, по крайней мере для композитов с малой концентрацией наполните- ля, обсуждаемое допущение является достаточно приближенным. 4. При исследованиях приближенно учитывается взаимодействие матрицы (свя- зующего) и наполнителя (волокна, слои). Достаточно часто взаимодействие волокна с матрицей моделируется взаимодействием волокна с коаксиальным цилиндром (ча- стью матрицы) Также достаточно часто при анализе взаимодействия наполнителя (во- локно, слой) и матрицы (связующего) применяется моделирование матрицы одномер- ной моделью. 5. На границах раздела (interface) наполнителя и матрицы приближенно удовлетво- ряются граничные условия, достаточно часто даже не комментируя указанную ситуацию. Необходимо отметить, что при введении допущений по одной из указанных групп допущений автоматически вводятся допущения и по другой группе; для иллюстрации вышеизложенной ситуации рассмотрим следующий пример. Так, принимая допуще- ние, что при сжатии композита в матрице не возникают напряжения, а в наполнителе – волокнах возникают напряжения (третья группа допущений), автоматически вво- дятся допущения о приближенных граничных условиях на границе раздела (interface) матрицы и наполнителя (пятая группа допущений). Дело в том, что исходное допуще- ние автоматически приводит к тому, что в докритическом состоянии (до потери устойчивости) матрица и наполнитель свободно проскальзывают друг относительно друга вдоль волокон, а в момент потери устойчивости для матрицы и наполнителя выполняются условия полного контакта. Безусловно, анализ допущений, входящих в указанные пять групп, и других допуще- ний первого направления можно продолжить, однако такой анализ не является целью настоящей обзорной статьи. Рассмотрим некоторые моменты исторического характера, относящиеся к проведению теоретических исследований в рамках первого направления. В настоящее время принято считать, что первые теоретические результаты при- менительно к исследованию явления, отмеченного в публикации [271] за 1960 г., бы- ли представлены в статье [551] за 1965 г., которая была опубликована на английском языке; статья [551] на русском языке была опубликована в 1967 г. в виде статьи [161]. Следует отметить, что в статьях [551] и [161] фактически в той или иной форме ис- пользуются приближенные допущения, входящие в вышеперечисленные пять групп приближенных, характерных для первого направления. Статьи [551] и [161] являются общеизвестными и общепризнанными в мировой научно-технической литературе по механике композитов и механике разрушения, несмотря на вышеуказанный весьма приближенный характер изложенных в них результатов. Так, результаты [551] и [161] вошли в семитомный трактат [160] энциклопедического характера по разруше- нию (в виде статьи [162] первой части седьмого тома). Кроме того, эти результаты вошли в восьмитомный трактат [127] энциклопедического характера по композитным материалам в виде материала к соответствующим статьям. Кроме того, обсуждаемые результаты также включены в известную коллективную монографию [163], опубли- кованную на русском языке в 1970 г. 11 По-видимому, целесообразно отметить, что обсуждаемые результаты публикаций [551] и [161] уже не предполагалось включить в коллективные многотомные моно- графии [247] (в 6-и томах; Editor-in-Chief: A.Kelly, C.Zweden) по композитным мате- риалам и [248] (в 10-и томах; Int. Advisory Board: Ian Milne, R.O.Ritchie, B.Karihaloo) по разрушению, которые планировались к изданию в издательстве Elsevier в 2006 г.; отмеченная информация может быть сформирована из рекламных материалов, кото- рые были доступны к концу 2006 г. автору настоящей обзорной статьи. Дополнитель- но отметим, что результаты публикаций [551] и [161] не вошли в 4-х томное издание [146] (под общей ред. В.В.Панасюка) по механике разрушения, которое было опубли- ковано в 1988 – 1990 гг. В настоящее время в рамках обсуждаемого первого направления, кроме статьи [551] за 1965 г., опубликовано уже достаточно большое количество статей. По-видимому, целесообразно указать статьи, опубликованные в первые годы после 1965 г.: [556] за 1966 г., [553] за 1967 г., [493] за 1966 г. и [494] за 1970 г., [162] за 1976 г.; в моногра- фиях [54, 57, 64] и в обзорной статье [65] за 2016 г. в списках литературы отмечены вышеуказанные и другие публикации. Обсуждаемые результаты в монографии [174] со ссылкой на статью [162] названы теорией Дау-Грунфеста-Розена-Шурца (как авто- ров публикаций [271] за 1960 г., [551] за 1965 г. и [556] за 1966 г.). Обзор ряда резуль- татов по первому направлению приведен в обзорной статье [557] за 1996 г., которая опубликована на английском языке. Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком обсуждении результатов, полученных по первому направлению (весьма приближенные подходы); как уже отмечалось, во вводной части настоящего п. 3.1.2, автор обзора не стремился дать систематический обзор и анализ соответствующих публикаций по первому направлению. 3.1.3. Второе направление (строгие последовательные подходы на основе ТЛТУДТ). Второе направление характеризуется проведением исследований первого явления – внутренней неустойчивости (потери устойчивости во внутренней структуре) композитов и второго явления – поверхностной или приповерхностной неустойчивос- ти (потери устойчивости в поверхностных или приповерхностных слоях) композитов, определяющих начальный этап (старт) разрушения композитов при сжатии в соответ- ствии с Общей концепцией, которая для первого явления сформулирована в п. 3.1.1 и для второго явления будет сформулирована ниже в настоящем пункте (п. 3.1.3). В рамках второго направления исследования вышеуказанных первого и второго явлений прово- дятся на основе ТЛТУДТ (трехмерная линеаризированная теория устойчивости де- формируемых тел), математический аппарат которой в краткой форме изложен в предыдущем параграфе (§2) настоящей статьи. Целесообразно отметить, что исследование второго явления (поверхностная или приповерхностная неустойчивость в структуре композитных материалов) вообще не проводилось в рамках первого направления. По-видимому, с учетом приближенных схем и допущений 1 – 5, указанных в п. 3.1.2 и применяемых в первом направлении, весьма сложно построить какую-либо теорию, адекватно описывающую столь тонкое явление как поверхностная или приповерхностная неустойчивость в структуре компо- зитного материала при сжатии. 3.1.3.1. Внутреннее разрушение (потеря устойчивости во внутренней струк- туре). При проведении исследований применяются строгие и последовательные под- ходы в рамках трехмерной теории (ТЛТУДТ) и, таким образом, во втором направле- нии не используются приближенные расчетные схемы и допущения 1 – 5, которые характерны для первого направления и которые указаны в первой части предыдущего пункта (п. 3.1.2); в связи с вышеизложенным конкретные результаты, полученные при втором подходе, можно также использовать для оценки точности соответствующих результатов, полученных при первом подходе. В рамках второго направления получены конкретные результаты для ряда классов пространственных и плоских задач механики разрушения композитов при сжатии 12 применительно к различным моделям деформируемых тел для наполнителя и матри- цы в случае модели кусочно-однородной среды и континуальной модели, соответ- ствующей применению принципа континуализации. Комментарий к первому подходу (модель кусочно-однородной среды) и второму подходу (модель однородной среды с усредненными параметрами – как результат применения принципа гомогенизации) кратко изложены во второй части п. 1.4.1. При применении вышеуказанного первого подхода (модель кусочно-однородной среды) отдельно для каждого элемента наполнителя и матрицы применяются основ- ные соотношения ТЛТУДТ, и на границе раздела указанных материалов обеспечивается выполнение непрерывности векторов напряжений и перемещений. В обсуждаемом случае исследования проводились и получены многочисленные результаты при одно- осном сжатии (вдоль волокон) однонаправленного волокнистого композита (Рис. 3.1) и слоистого композита (Рис. 3.2) при одноосном или двухосном сжатии вдоль слоев. В вышеуказанных ситуациях исследования проводились в соответствии с методоло- гией, которая в краткой форме изложена в п. 3.1.1 после формулировки Общей кон- цепции. При применении вышеуказанного второго подхода (модель однородной среды с усредненными параметрами) полученные результаты относятся к композитам различ- ной структуры, которые имеют одну плоскость симметрии, две взаимно-перпендику- лярные или три взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии свойств материала; принимается, что вдоль нормалей к указанным плоскостям симметрии свойств компо- зита осуществляется одноосное, двухосное или трехосное сжатие материала. При вы- шеуказанных условиях (свойства материала + условия нагружения) построена конти- нуальная теория разрушения композитов, основанная на выявлении в материале воз- мущений, не имеющих локального характера; разработан метод определения теорети- ческих пределов прочности при одноосном нагружении и метод построения поверх- ностей теоретических пределов прочности при двухосном и трехосном нагружении. 3.1.3.2. Приповерхностное разрушение (потеря устойчивости в структуре при- поверхностных слоев композита). По-видимому, впервые понятие о поверхностной неустойчивости материала введено в статье [223] за 1963 г. и проведено исследование поверхностной неустойчивости в рамках плоской задачи теории 5 (теории инкре- ментальных деформаций [222]), анализ которой (теории 5) выполнен в п. 2.2 настоя- щей статьи. Явление поверхностной неустойчивости [223] полуплоскости заключает- ся в том, что при сжатии полуплоскости вдоль ее границы возникает возле границы потеря устойчивости состояния равновесия, формы которой (потери устойчивости) затухают при удалении от границы. По мнению автора настоящей статьи обсуждае- мое явление целесообразно назвать «приповерхностная неустойчивость» (near-the-sur- face instability) вместо названия «поверхностная неустойчивость» (surface instability), поскольку потеря устойчивости происходит в слоях материала возле поверхности и амплитуда форм потери устойчивости затухает при удалении от поверхности матери- ала; в связи с этим ниже будем применять название приповерхностное разрушение (приповерхностная неустойчивость, потеря устойчивости в структуре приповерхност- ных слоев материала). В последующие годы исследование приповерхностной неустойчивости было про- ведено для пространственных и плоских задач в случае сжимаемых и несжимаемых материалов (с определяющими уравнениями достаточно общего вида) в единой об- щей форме для теорий 1, 2 и 3 (в соответствии с терминологией п. 2.2); при этом кон- кретные результаты получены как для модели кусочно-однородной среды, так и в континуальном приближении. Вышеуказанные результаты по исследованию припо- верхностной неустойчивости представлены в монографиях [30, 31, 49, 54, 57, 334]; предварительно эти результаты были опубликованы в статьях, которые, частично, вошли в списки литературы к обсуждаемым монографиям и в список литературы к настоящей обзорной статье. 13 В общем случае рассматриваются композитные материалы различной структуры, которые в континуальном приближении моделируются ортотропными материалами; при этом принимается, что указанные материалы имеют свободную поверхность, ко- торая параллельна одной из плоскостей ортотропии. В случае сжатия параллельно к свободной поверхности вдоль одной или двух взаимно-перпендикулярных осей мо- жет возникать в структуре композита потеря устойчивости в приповерхностных слоях композита, когда амплитуда форм потери устойчивости затухает при удалении от свободной поверхности; указанное явление получило название поверхностная не- устойчивость (surface instability) или приповерхностная неустойчивость (near-the- surface instability). Полученные при вышеуказанной постановке результаты дают воз- можность сформулировать Общую концепцию при исследовании приповерхностно- го разрушения (с учетом наличия свободной поверхности) по аналогии с Общей кон- цепцией, изложенной в п. 3.1.1 в случае сжатия композита (без учета влияния свобод- ной поверхности). Общая концепция. В композитных материалах, которые в континуальном при- ближении моделируются ортотропными материалами и которые имеют свободную поверхность (параллельную одной из плоскостей ортотропии), при сжатии парал- лельно «свободной поверхности» в одном или в двух взаимно-перпендикулярных направлениях начальным этапом (стартом) приповерхностного разрушения является приповерхностная потеря устойчивости. При анализе дальнейшего развития рас- сматриваемого механизма разрушения необходимо учитывать его возможное взаимо- действие с другими механизмами разрушения. Теоретическим пределом прочности и теоретическим значением предельного укорочения при приповерхностном разруше- нии при сжатии являются величина критической нагрузки и величина критического укорочения, вычисленные в рамках применяемого варианта ТЛТУДТ. Вышесформулированная Общая концепция дает возможность разрабатывать ме- ханику приповерхностного разрушения композитов (в приповерхностных слоях мате- риала вблизи свободной границы) при сжатии, исследуя приповерхностную неустой- чивость вблизи свободной границы композита с привлечением ТЛТУДТ (второе направление п. 3.1.3); по-видимому, в рамках первого научного направления (п. 3.1.2) такого типа исследования нельзя признать перспективными. Вышеизложенными сведениями ограничимся при краткой характеристике второ- го направления (строгие последовательные подходы на основе ТЛТУДТ); дополни- тельные сведения представим лишь в виде следующих двух Примечаний. Примечание 3.2. Сведения, представленные выше в п. 3.1.2 для первого направ- ления исследований (весьма приближенные подходы) и в п. 3.1.3 для второго направ- ления исследований (строгие последовательные подходы на основе ТЛТУДТ) ни в коей мере не могут рассматриваться как даже весьма краткие обзоры результатов по обсуждаемым двум направлениям; сведения в пп. 3.1.2 и 3.1.3 целесообразно рас- сматривать как краткие характеристики тематики и применяемых подходов соответ- ствующих двух направлений исследований. Краткий обзор основных результатов, полученных по второму направлению, будет представлен в п. 3.3 настоящего пара- графа; при этом в следующем п. 3.2 приведены основные результаты эксперимен- тальных исследований, относящиеся к подтверждению существования обсуждаемого явления (потеря устойчивости в структуре композита при сжатии) и к исследованию разрушения при сжатии композитов вдоль армирующих элементов (Проблема 1 по терминологии п. 1.3 настоящей статьи). Примечание 3.3. В монографиях [90, 423] и в соответствующих статьях, напри- мер [348, 424] и другие статьи из списков литературы к вышеуказанным монографи- ям, изложены основы механики нанокомпозитов с полимерной матрицей; обсуждае- мые основы включают принципы построения механики композитов с полимерной матрицей и ряд разделов, относящихся к динамике, устойчивости и статике рассмат- риваемых нанокомпозитов. Так, в [90, 423] представлены основы механики разруше- ния нанокомпозитов с полимерной матрицей при сжатии, которая построена на осно- ве ТЛТУДТ и которую можно рассматривать как развитие результатов, соответству- ющих второму направлению (п. 3.1.3). 14 3.2. Анализ экспериментальных результатов по сжатию композитов. В на- стоящее время применительно к проблеме экспериментальных исследований по сжа- тию композитов уже опубликовано достаточно большое число научно-технических статей, как и по результатам теоретических исследований, о чем, в частности, свиде- тельствует и список публикаций к настоящей обзорной статье. В качестве примера можно указать обзорную статью [572] за 1996 г., опубликованную на английском языке в известном журнале «Prog. Aerospace Sciences», в списке литературы к которой насчитывается 133 публикации; при этом обсуждаемая обзорная статья [572] посвя- щена исключительно анализу результатов по экспериментальному исследованию раз- рушения композитов при сжатии. Интересно отметить, что в обзорной статье [572] подчеркивается пионерский характер публикации [271] в исследованиях по влиянию механизма внутренней неустойчивости в структуре композита на разрушение компо- зита при сжатии. В настоящем п. 3.2 при анализе публикаций с результатами экспериментальных исследований по разрушению композитов при сжатии предусматривается конкретная цель: во-первых, рассмотреть ряд публикаций, экспериментальные результаты кото- рых подтверждают существование обсуждаемого явления (потеря устойчивости во внутренней структуре композита при сжатии); во-вторых, рассмотреть ряд публика- ций, экспериментальные результаты которых характеризуют специфику разрушения при сжатии композитов вдоль армирующих элементов. Вышеуказанный анализ про- водился в монографиях [30] за 1971 г., [54] за 1990 г., [57] за 2008 г. и [64] за 2015 г., а также в обзорной статье [65] за 2016 г. при различном охвате анализируемых публи- каций; по-видимому, можно считать, что в монографии [57] по обсуждаемым двум вопросам изложен наибольший (по сравнению с другими вышеуказанными моногра- фиями) объем информации. Целесообразно отметить, что в монографиях [90, 423], которые, как указывалось ранее в Примечании 3.3, посвящены изложению принципов построения основ механики нанокомпозитов с полимерной матрицей, также приведе- ны экспериментальные результаты по исследованию устойчивости нанотрубок в по- лимерной матрице при сжатии. По рассмотренным результатам настоящий п. 3.2 соответствует при некотором сокращении п. 1.1 обзорной статьи [65] за 2016 г.; при этом отдельно анализируются результаты экспериментальных исследований, свидетельствующие о существовании явления потери устойчивости во внутренней структуре композитов при сжатии (п. 3.2.1) и результаты экспериментальных исследований, характеризующие специфику разрушения композитов при сжатии вдоль армирующих элементов (п. 3.2.2). 3.2.1. Экспериментальные результаты по потере устойчивости во внутренней структуре композитов при сжатии. Прежде всего, необходимо отметить, что анали- зируемое явление (потеря устойчивости во внутренней структуре) не наблюдается для однородных материалов; оно характерно только для композитных материалов (как для структурно-неоднородных материалов, в которых наличие внутренней структуры учитывается на различных уровнях при их анализе). При этом целесообразно отме- тить, что структурная однородность или неоднородность конкретного материала в значительной мере определяется уровнем рассмотрения (исследования) процессов, который, в основном, определяется показателями изменяемости полей механических величин (напряжения, деформации, …) по пространственным переменным. При анализе экспериментальных результатов по потере устойчивости во внутрен- ней структуре композитных материалов необходимо учитывать следующую ситуа- цию. При сжатии вдоль армирующих элементов (волокон, наполнителя) композитных материалов в случае экспериментальных исследований наблюдать (фиксировать) по- терю устойчивости во внутренней структуре «в чистом виде» весьма затруднительно, так как с самого начала процесса потери устойчивости возникает незначительное или значительное разрушение. В связи с этим для доказательства возможности существо- вания явления потери устойчивости во внутренней структуре композитного материа- ла при сжатии обычно приводят результаты специально поставленных эксперимен- тов, которые заключаются в следующем. Волокна (наполнитель композита) помещают в эпоксидную (или иную) смолу и производят полимеризацию при определенной температуре; после этого осуществля- ются процессы охлаждения до определенной температуры и отверждения. Практиче- 15 ски во всех случаях рассматриваемых экспериментальных исследований нагружение сжатием осуществляется за счет усадки (shrinkage) матрицы (смолы, связующего) при ее отверждении или остывании блока композитного материала. В этом случае за счет разности коэффициентов теплового расширения волокон и матрицы, соединенных между собой, на волокна действуют сжимающие нагрузки. Вышеуказанные экспериментальные исследования проводились в различных научных центрах в различное время. Результаты таких экспериментальных исследо- ваний представлены в соответствующих публикациях. По-видимому, впервые обсуждаемые результаты экспериментальных исследова- ний представлены на русском языке в публикации [161] за 1967 г., которая является переводом публикации [551] за 1965 г. на английском языке; в свя- зи с этим ниже приведем некото- рые результаты, соответствующие [161, 551]. Так, на Рис. 3.4 приве- дена фотоупругая картина для трех отдельных волокон из Е-стекла (диаметром 0,13; 0,09 и 0,013 мм) в матрице из эпоксидной смолы, за- полимеризированной при темпера- туре 120°С. Периодическая (с боль- шим числом периодов) фотоупругая картина на Рис. 3.4 для всех трех во- Рис. 3.4 локон свидетельствует о синусоидальной (вдоль направления волокон) форме потери устойчивости. Заметим, что Рис. 3.4 соответствует [161, Фиг. 3.20]; эти результаты, как уже отмечалось, получены методом фотоупругости. В последующие годы родст- венные результаты эксперименталь- ных исследований были получены во многих научных центрах, в том числе и при других методах отвер- ждения смолы (связующего). Ниже в качестве примера при- ведены результаты эксперименталь- ных исследований при термохими- ческом отверждении смолы (свя- зующего), при этом до термохими- ческого отверждения смолы волокна Рис. 3.5 стекла и их пряди свободно плавали в связующем. Результаты указанных эксперимен- тальных исследований опубликованы в статье [290] за 1982 г.; при исследованиях применялись волокна стекла диаметром 0,01 мм. На Рис. 3.5, соответствующем пуб- ликации [290], представлены результаты (при увеличении в 50 раз) для отдельных волокон и пряди волокон после отверждения смолы (связующего) термохимическим методом. Из Рис. 3.5 видно, что вся прядь волокон и отдельные волокна после отвер- ждения смолы (связующего) приобретают явно выраженную периодическую синусо- идальную (вдоль направления волокон) форму потери устойчивости. Следует отметить, что результаты, представленные на Рис. 3.4 и 3.5, относятся к потере устойчивости во внутренней структуре композитных материалов, в которых армирующими элементами являются волокна стекла диаметром 0,13; 0,09; 0,013 и 0,01 мм; вышеуказанные результаты экспериментальных исследований опубликованы во второй половине ХХ века. Родственные экспериментальные исследования прово- дятся и в настоящее время (в начале XXI века) применительно к случаям, когда арми- рующими элементами (наполнителем) являются волокна из других материалов; при этом во всех случаях сжатие реализуется за счет усадки (shrinkage) смолы (связующе- го) при ее отверждении или остывании. Примером результатов экспериментальных исследований, опубликованных в нача- ле настоящего XXI века, является статья [498], которая опубликована в 2004 г.; резуль- таты этой статьи, которые получены по вышеуказанной методике, относятся к исследо- 16 ванию устойчивости углеродного волокна в полимерной матрице (эпоксидная смола). На Рис. 3.6, соответствующем статье [498], представлена периодическая синусоидаль- ная форма потери устойчивости с большим количеством периодов. Форма потери устойчивости, представленная на Рис. 3.6, получена при остывании полимерной матри- цы и зафиксирована согласно [498] на 68-ой секунде после начала процесса остывания; при этом в левом нижнем углу на Рис. 3.6 указан масштаб изображения в микронах. Наряду с результатами, пред- ставленными на Рис. 3.4 – 3.6 и относящимися к волокнам стекла и углеродным волокнам, в настоя- щее время опубликован ряд статей с результатами экспериментальных исследований по рассматриваемо- му явлению применительно к раз- личным композитным материалам. Рис. 3.6 Таким образом, вышеприведенные и родственные результаты эксперименталь- ных исследований, относящиеся к достаточно длинным армирующим элементам (во- локнам, наполнителю) в матрице (связующем), подтверждают существование явле- ния потери устойчивости во внутренней структуре композитного материала. Об- наруженные при экспериментальных исследованиях формы потери устойчивости (Рис. 3.4 – 3.6) являются периодическими (вдоль армирующих элементов, вдоль воло- кон) синусоидальными формами потери устойчивости во внутренней структуре композита с большим числом периодов; в связи с вышеуказанным граничные условия на торцах армирующих элементов (волокон) не могут оказывать существенного влия- ния на формы потери устойчивости и на величины критических нагрузок и укороче- ний. Вышеизложенные сведения фактически являются экспериментальным обосно- ванием модели «бесконечно длинных волокон». В заключительной части настоящего п. 3.2.1 сформулируем некоторые соображе- ния в виде следующих двух примечаний. Примечание 3.4. Экспериментальные исследования, результаты которых представ- лены на снимках Рис. 3.4 – 3.6, являются специально поставленными, можно сказать «модельного характера», которые позволили доказать возможность существования явле- ния потери устойчивости во внутренней структуре композитных материалов. При вни- мательном анализе снимков на Рис. 3.4 – 3.6 получаем, что представленная на них потеря устойчивости во внутренней структуре композитов зафиксирована «в чистом виде» – без признаков явления разрушения, так как на указанных снимках визуально не фиксируется отделение матрицы (связующего) от волокон (наполнителя). Указанная ситуация пред- ставляется достаточно существенной, так как соответствующее внимание целесообразно уделить при анализе результатов экспериментальных исследований по разрушению ком- позитных материалов при сжатии, который проводится в следующем пункте. Примечание 3.5. Можно считать, что в настоящем параграфе 3 рассматриваются различные процессы в композитных материалах при сжатии, в основном, вдоль арми- рующих элементов (волокон) – вдоль направления преимущественного армирования применительно, в основном, к однонаправленным композитным материалам. Выше- указанные композитные материалы в континуальном приближении моделируются ортотропными однородными материалами; к последним материалам также относятся композитные материалы с армированием во взаимно-перпендикулярных направлени- ях. Таким образом, применительно к модели ортотропных материалов рассматривает- ся сжатие вдоль направлений осей симметрии свойств материала. Родственная ситуа- ция также имеет место и при других видах нагружения; например, в сжатых зонах при изгибе различных элементов конструкций и в других случаях. При сжатии различных элементов конструкций (стержни, пластины и оболочки) вдоль направлений симмет- рии (геометрической формы и свойств материала) основным механизмом исчерпания несущей способности элементов конструкций является потеря устойчивости. 17 3.2.2. Экспериментальные результаты по разрушению композитов при сжа- тии вдоль армирующих элементов. Прежде всего, необходимо отметить, что в на- стоящем пункте рассматривается анализ экспериментальных исследований по разру- шению композитных материалов при сжатии, когда уже произошло разрушение композита; таким образом, по существу, анализируются снимки уже разрушенного материала, начальный этап (старт) разрушения, естественно, не фиксируется в таких экспериментах. Следовательно, в настоящее время отсутствуют экспериментальные исследования разрушения композитов при сжатии, в которых фиксируется процесс разрушения, начиная с начального этапа (старта) разрушения, соответствующего по- тере устойчивости во внутренней структуре композита, и заканчивая заключительным этапом разрушения, соответствующего разделению рассматриваемого блока материа- ла на отдельные части. Целесообразно отметить, что экспериментальные исследова- ния разрушения вышеуказанного типа отсутствуют и применительно к большинству процессов разрушения для других материалов при других нагрузках. Таким образом, в настоящем пункте рассматривается анализ характера разруше- ния композитных материалов при сжатии, ориентируясь на снимки (при различном увеличении), по существу, уже разрушенного композитного материала. Эксперимен- тальные исследования относятся к сжатию композитных материалов вдоль осей сим- метрии свойств материала (вдоль армирующих элементов – вдоль волокон в случае однонаправленных композитов; вдоль направления преимущественного армирования в случае композита с армированием во взаимно-перпендикулярных направлениях; в перпендикулярном направлении к плоскости преимущественного армирования в слу- чае композитов с армированием во взаимно-перпендикулярных направлениях). При анализе вышеотмеченных экспериментальных исследований рассматривается влияние специфических особенностей характера разрушения при изучаемом виде нагружения. Прежде всего, необходимо отметить, что специфические особенности характера разрушения фиксируются не только при сжатии вдоль направления преимуществен- ного армирования, но и при сжатии в перпендикулярном направлении. С целью ил- люстрации вышеуказанной ситуации приведем результаты статьи [21], опубликован- ной в 1968 г.; так, на Рис. 3.7 приведен снимок разрушенного образца, соответствую- щий статье [21]. В [21] рассматривалось одноосное сжатие стеклотекстолита перпен- дикулярно к армирующим элементам (перпендикулярно к плоскости армирования). Из снимка на Рис. 3.7 видно, что разрушение произошло по плоскостям, перпендику- лярным к направлению действия нагрузки, и материал разделился на части. Разруше- ние рассматриваемых композитов по плоскостям, почти перпендикулярным действию одноосной сжимающей нагрузки, является характерной особенностью рассматрива- емого вида разрушения. В работе [396], опубликованной в 1969 г., представлены результаты по исследо- ванию характера разрушения образцов из однонаправленного стеклопластика при сжатии вдоль армирующих элементов (волокон); эти результаты получены в Инсти- туте механики АН УССР (ныне – Институте механики им. С.П.Тимошенко НАНУ). Рис. 3.7 Рис. 3.8 18 Цилиндрические образцы диаметром 10 и высотой 45 мм и призматические об- разцы размером 15х15х70 мм (Рис. 3.8) вырезались из стеклопластиковых пластин, изготовленных методом намотки на металлическую оправку с последующим отвер- ждением под прессом при удельном давлении 1МПа. В качестве армирующих эле- ментов (наполнителя) использовалась безщелочная стеклонить марки НС55/6 с замас- ливателем – парафиновой эмульсией, в качестве матрицы (связующего) использова- лось эпоксиднофенольное связующее ЭФБ-4. Содержание связующего в стеклопла- стике по весу составляло 26,6% со степенью полимеризации 89,9%. Более подробно сведения по технологии изготовления образцов и по испытаниям образцов приведены в статье [396] и в монографии [57, т. 1, с. 189 – 191]. Необходимо только отметить следующую ситуацию. Чтобы избежать смятия тор- цов образца при сжатии на его концы надевались металлические обоймы, которые заливались эпоксидной смолой холодного отверждения; в результате длина открытой части образца составляла 1,5 – 2 линейного размера поперечного сечения. На снимке (Рис. 3.9) показан характер разрушения образца квадратного поперечного сечения и на снимке (Рис. 3.10) показан характер разрушения образца кругового поперечного сечения; после разрушения образцы легко разделялись на две, представленные на снимках части. Отметим, что разрушение, как правило, происходило возле металли- ческой обоймы; отмеченная ситуация свидетельствует, вероятно, о возникновении в указанных местах первоначального локального разрушения, вызванного срезом край- них волокон. Рис. 3.9 Рис. 3.10 Все же разрушение при сжатии образцов (Рис. 3.8) из однонаправленного стекло- пластика при сжатии вдоль армирующих элементов (волокон) распространяется по плоскостям, почти перпендикулярным к волокнам и к направлению сжимающей на- грузки. Таким образом, как при сжатии однонаправленного стеклопластика вдоль воло- кон, так и при сжатии стеклотекстолита в перпендикулярном направлении к плоско- стям армирования разрушение рассматриваемых образцов распространялось по плос- костям, почти перпендикулярным направлению действия одноосной сжимающей нагрузки. Вышеуказанная ситуация является характерной особенностью рассматри- ваемого вида разрушения; отметим, что в вышеотмеченных двух случаях (Рис. 3.7 – 3.10) сжатие осуществляется вдоль осей симметрии свойств материала. Дополнитель- ные соображения, относящиеся к обсуждаемому процессу разрушения, представлены в монографии [57, т. 1, с. 191]. Целесообразно отметить, что результаты экспериментальных исследований, ин- формация о которых представлена на Рис. 3.7 – 3.10, относятся к стеклопластикам с полимерной матрицей. Родственные экспериментальные исследования проводились и для других композитных материалов. 19 В статье [558], опубликованной в 1985 г., представлены результаты экспе- риментальных исследований для компо- зитного материала с металлической мат- рицей, в котором наполнителем (армирую- щими элементами) являются однонаправ- ленные волокна сапфира и связующим (матрицей) является алюминий. Экспери- ментальные исследования в [558] прово- дились при одноосном сжатии вдоль сис- темы однонаправленных волокон сапфира (вдоль системы армирующих элементов). На Рис. 3.11, соответствующем [558], пред- ставлен снимок (при соответствующем увеличении) разрушений в рассматриваемом металлокомпозите (волокна сапфира + алюминий) при одноосном сжатии вдоль од- нонаправленных волокон сапфира. Разрушения локализованы в сравнительно узкой зоне; если провести плоскость по средней части разрушенной зоны на Рис. 3.11, то эта плоскость будет почти перпендикулярна направлению действия сжимающей нагрузки. Таким образом, при сжатии одно- направленных композитов вдоль арми- рующих элементов (вдоль волокон) как в случае стеклопластиков с полимерной матрицей (Рис. 3.8 – 3.10), так и в случае металлокомпозитов (Рис. 3.11) имеет место характерная особенность рассмат- риваемого вида разрушения – разруше- ние происходит или распространяется почти перпендикулярно к направлению действия сжимающей нагрузки. Все же рассматриваемый вид разрушения, оче- видно, не должен возникать мгновенно во всей толще материала, хотя и его на- чалом (стартом) является потеря устой- чивости во внутренней структуре ком- позита. Вполне естественно, что рас- сматриваемый вид разрушения может возникать возле какой-либо микронеод- нородности (нарушений, в том числе и сплошности) во внутренней структуре; дальнейшее же распространение разру- шения соответствует вышеизложенной характерной особенности. В связи с этим представляется интересным исследование закономерностей распространения разрушений возле макронеоднородности в компо- зите при сжатии вдоль армирующих элементов (волокон); ниже рассмотрим такого типа экспериментальные исследования. В статье [362], опубликованной в 1991 г., представлены результаты экспери- ментальных исследований по распространению разрушений от кругового отверстия в пластине из композитного материала при сжатии в направлении армирования, резуль- таты исследований показаны на снимках Рис. 3.12 – 3.15, соответствующих [362]. На Рис. 3.14 представлена расчетная схема с указанием направления осей коор- динат; в соответствии с обозначениями на Рис. 3.14 сжатие осуществлялось вдоль вертикальной оси (вдоль оси 0y ). Пластины были изготовлены из слоистого компо- зита, каждый из слоев которого представлял собой однонаправленный волокнистый материал (наполнитель – углеродные волокна, матрица – эпоксидная смола). Рис. 3.11 Рис. 3.12 Рис. 3.13 20 Слои по толщине (вдоль оси 0z на Рис. 3.14) уклады- вались таким образом, что оси 0x и 0y (Рис. 3.14) явля- лись осями симметрии свойств композитного слоистого материала (осуществлялась продольно-поперечная уклад- ка слоев вдоль осей 0x и 0y ). Следовательно, в континуальном приближении рас- сматриваемый материал можно считать ортотропным, где оси 0x , 0y и 0z (Рис. 3.14) являются осями симметрии свойств материала; при этом сжатие осуществлялось вдоль оси 0y (вдоль оси симметрии свойств материала). При продольно-поперечной укладке в большинстве слоев однонаправленные волокна были ориентированы вдоль оси 0y (Рис. 3.14); в связи с этим полученные слоистые пластины можно считать пластинами с преимуществен- ным армированием вдоль оси 0y , вдоль которой и осуще- ствлялось сжатие. При рассматриваемых экспериментальных исследова- ниях разрушение начиналось с двух точек на контуре от- верстия по горизонтальной линии на Рис. 3.14, т.е. с точек с максимальным коэффи- циентом концентрации сжимающих макронапряжений (напряжений в рамках конти- нуальной модели ортотропного материала). Дальнейшее развитие разрушения осу- ществлялось в виде формирования двух практически прямолинейных трещин, кото- рые выходят с контура отверстия из точек с максимальным коэффициентом концен- трации сжимающих напряжений (Рис. 3.14) и которые распространяются почти пер- пендикулярно к направлению действия сжимающей нагрузки; указанные трещины при этом заполнены разрушенным материалом. Информация о характере распространения трещин (разрушения) представлена на микрофотографиях на Рис. 3.12, 3.13 и 3.15, полученных на электронном микроскопе и соответствующих [558]; при этом на каждом снимке (Рис. 3.12, 3.13 и 3.15) в правом нижнем углу указан масштаб изображения (в микронах). Снимки на Рис. 3.12, 3.13 и 3.15 относятся к разрушению, распространя- ющемуся от правой точки на контуре отверстия на горизонтальной оси на Рис. 3.14. Так, на снимке Рис. 3.12 показана трещина, распространяющаяся от контура отвер- стия в направлении, которое почти перпендикулярно действию сжимающей нагрузки. На снимке Рис. 3.13 при значительно большем увеличении (почти в 20 раз) показана разрушенная часть материала внутри рас- пространяющейся узкой полосы, которую можно моделировать заполненной тре- щиной. Результаты на снимках (Рис. 3.12 и 3.13) соответствуют значениям сжи- мающей нагрузки порядка 95% от значе- ний общей разрушающей нагрузки для всей пластины с отверстием. На снимке Рис. 3.15 представлена по толщине пла- стины (вдоль оси 0z на Рис. 3.14) струк- тура разрушенной части материала по краю отверстия; на этом снимке четко видны следующие виды разрушения: раз- рушение (излом) волокон, изгиб разрушен- ных волокон в сторону отверстия и рас- слоение слоистого материала. Результа- ты на Рис. 3.15 соответствуют значениям сжимающей нагрузки порядка 80 – 85% от значений общей разрушающей нагруз- ки для всей пластины с отверстием. Целесообразно отметить, что многие авторы при анализе разрушений во внут- ренней структуре композитов (типа раз- рушений на снимках Рис. 3.8 – 3.13 и 3.15) Рис. 3.14 Рис. 3.15 21 отмечают только microbuckling (микровыпучивание при локальной потере устойчивос- ти) и delamination (расслоение слоистого композита). В действительности, как это видно на снимке Рис. 3.13, например, проявляется значительно больше механизмов разрушения в микроструктуре композитного материала при сжатии; дополнительно можно отметить следующие механизмы разрушения: разрушение (излом) волокна в пределах трещины; изгиб разрушенного волокна; разрушение волокна за пределами трещины; отделение (отслоение) волокна от матрицы; разрушение матрицы и т.п. Все же вышеотмеченные и подобные механизмы разрушения в микроструктуре ком- позита при сжатии вдоль осей симметрии свойств проявляются лишь на последующих этапах разрушения; первоначальный же этап разрушения (старт) возникает, по- видимому, в указанной ситуации только за счет потери устойчивости во внут- ренней структуре композита. Вышеуказанный старт разрушения, естественно, может возникать как возле ло- кальных неоднородностей во внутренней структуре композита (при срезе, например, крайних волокон металлической обоймой на Рис. 3.8 – 3.10), так и возле макронеод- нородностей (возле отверстия, например, на Рис. 3.12 – 3.15). Все же возникшее ло- кальное разрушение во всех снимках на Рис. 3.7 – 3.15 потом распространяется по плоскостям и поверхностям, которые почти перпендикулярные к направлению сжимающей нагрузки; как уже неоднократно отмечалось, вышеуказанная ситу- ация является характерной особенностью рассматриваемого вида разрушения. Результаты экспериментальных исследований, представленные на снимках Рис. 3.7 – 3.15, и им родственные были опубликованы во второй половине ХХ века в 1968 – 1991 гг.; подобного рода экспериментальные исследования продолжаются и в настоящем XXI веке, в качестве примера ниже рассмотрим экспериментальные ре- зультаты статьи [573] за 2004 г. В [573] приведены результаты экспериментальных исследований для случая сжатия вдоль слоев слоистого композитного материала, со- стоящего из 628 слоев; наличие столь большого числа слоев дает возможность ожи- дать, что полученные экспериментальные результаты как бы относятся к материалу, состоящему из «бесконечного» числа слоев. В связи с этим условно можно считать, что результаты [573] как бы относятся к явлениям, которые происходят во внутренней структуре слоистого композита и не зависят от граничных условий на граничных по- верхностях всего пакета; все же полностью исключать влияние граничных условий, особенно граничных условий на торцах пакета, на все явления, по-видимому, нельзя. Поскольку в [573] сжатие осуществлялось вдоль слоев, то в континуальном прибли- жении можно считать, что сжатие осуществлялось вдоль осей симметрии свойств ор- тотропного материала. На Рис. 3.16, соответствующем [573, с. 1074, Fig. 2], приведе- ны формы слоев, которые они приобретают при соответствующем значении сжима- ющей нагрузки. Из анализа результатов, представленных на Рис. 3.16, следует, что появляются как бы узкие полосы разрушенного материала (условно на Рис. 3.16 пока- занные наклонными сплошными линиями); причем указанные полосы как бы перио- дически повторяются вдоль горизонтальной, вдоль которой осуществлялось одноос- ное сжатие. Также следует отметить, что узкие полосы разрушенного материала наклонены по отношению к вертикальной оси на углы в 19°; 18,5° и 18°, т.е. они мало отличаются от перпендикуляра к гори- зонтальной оси. Таким образом, и резуль- таты экспериментальных исследований [573], представленные на Рис. 3.16, под- тверждают вывод, сформулированный на основе результатов экспериментальных исследований, которые представлены на Рис. 3.7 – 3.15. Обсуждаемый вывод за- ключается в том, что при одноосном сжатии разрушение распространяется по плоскостям и поверхностям, кото- рые почти перпендикулярные к на- правлению сжимающей нагрузки; как уже неоднократно отмечалось, выше- указанная ситуация является харак- терной особенностью рассматриваемо- го вида разрушения. Рис. 3.16 22 Вышеизложенными сведениями, соображениями и выводами ограничимся при анализе результатов экспериментальных исследований, относящихся к разрушению композитных материалов при сжатии вдоль армирующих элементов (или, в более ши- роком смысле, при сжатии вдоль осей симметрии свойств композитов), в соответ- ствии с конкретной целью, которая сформулирована во вводной части п. 3.2. 3.2.3. Об исследовании явления «kinking». Дополнительно к пп. 3.2.1 и 3.2.2 в настоящем пункте (п. 3.2.3) в весьма краткой форме приводятся сведения об исследо- вании явления «kinking», так как обсуждаемое исследование возникло в результате анализа экспериментальных результатов при сжатии композитных материалов. Первоначально явление «kinking» рассматривалось в статье [240] за 1983 г.; в по- следующие годы концепция «kinking» стала достаточно популярной, особенно среди англоязычных исследователей, и в рамках обсуждаемой концепции уже опубликованы многочисленные статьи, среди которых целесообразно указать обзор [274] за 1997 г., опубликованный в широко известной серии изданий «Advances in Applied Mechanics», которая издается в США. В общих чертах явление «kinking» за- ключается в появлении (при сжатии компо- зита вдоль армирующих элементов) доста- точно узких полос «kinking» (kink band) уже разрушенного материала; схематически яв- ление «kinking» показано на Рис. 3.17, кото- рый входит в большинство публикаций по исследованию обсуждаемого явления, где через W обозначена ширина зоны «kinking». Прежде всего, целесообразно отметить, что при проведении исследований зона «kinking» анализируется на основе весьма прибли- женных расчетной схемы и соотношений. Автор настоящей обзорной статьи также принимал участие в обсуждении (в весь- ма краткой форме) исследований по явлению «kinking», что нашло отражение в статье [383] за 2006 г., монографии [57] (т. 1, с. 73 − 74) за 2008 г., монографии [64] (с. 94 − 96) за 2015 г. и обзора [65] (с. 46 – 47) за 2016 г.; ниже также в весьма краткой форме изложены соображения и выводы, приведенные в вышеуказанных публикациях, при этом устранены замеченные опечатки и неточности. Прежде всего, необходимо отметить, что схема разрушения, представленная на Рис. 3.17, относится к уже разрушенному образцу; в связи с этим при обсуждаемом подходе начало (старт) разрушения не определяется. Таким образом, нельзя исклю- чить, что начало (старт) процесса разрушения, который на заключительном этапе процесса разрушения привел к появлению полосы «kinking», определялся потерей устойчивости во внутренней структуре композита в соответствии с Общей концеп- цией, изложенной в п. 3.1.1 настоящей обзорной статьи. Вышеизложенная ситуация дает определенное основание отнести обсуждаемое исследование явления «kinking» к первому направлению (весьма приближенные подходы) (п. 3.1.2 настоящей об- зорной статьи). Также следует заметить, что для явления «kinking» при сжатии вдоль горизонтальной оси (Рис. 3.17) наблюдается смещение вдоль вертикальной оси частей материала, расположенных слева и справа от полосы «kinking» (Рис. 3.17); отмечен- ная ситуация, по-видимому, является характерной для обсуждаемого явления. Следуя вышеуказанным публикациям [383, 57, 64, 65], ниже приведем три сооб- ражения, относящихся к явлению «kinking». 1. Явление «kinking» в образцах (Рис. 3.17) может возникать, если при сжатии вдоль горизонтальной оси граничные условия на торцах образца позволяют возникать смещениям вдоль вертикальной оси. 2. При внутреннем разрушении (модель «бесконечного» материала) явление «kinking», по-видимому, не может возникать в виде отдельной изолированной поло- сы «kinking» (в виде отдельной kink band) при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала. Внутри композита при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала явление «kinking» может существовать лишь в виде чередующихся полос «kinking», Рис. 3.17 23 чтобы возникающее при этом возмущение напряженно-деформированного состояния было самосбалансированным. 3. Исследование явления «kinking» не может, по-видимому, однозначно устано- вить механизмы, определяющие начало (старт) процесса разрушения. Одним из меха- низмов, определяющих начало (старт) процесса разрушения, может быть, в этом слу- чае и механизм потери устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустой- чивость) композита в соответствии с Общей концепцией (п. 3.1.1), который может быть достаточно строго исследован в рамках второго направления (строгие после- довательные подходы на основе ТЛТУДТ) (п. 3.1.3) настоящей обзорной статьи. Как уже отмечалось в вышеуказанных публикациях, приведенные соображения лишь отражают точку зрения авторов этих публикаций; в связи с этим возможны и другие соображения, отражающие точки зрения других авторов. В определенном смысле подтверждением второго из вышеизложенных соображе- ний являются результаты экспериментальных исследований, которые опубликованы в статье [573] и представлены на Рис. 3.17; результаты экспериментальных исследова- ний [573] в весьма краткой форме описаны и обсуждены в тексте настоящей статьи возле Рис. 3.17. Учитывая дополнительный характер п. 3.2.3, вышеизложенными сведениями в пп. 3.2.1 – 3.2.3 ограничимся при обсуждении результатов экспериментальных исследо- ваний по разрушению композитов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала. 3.3. Основные результаты второго направления (строгие последовательные подходы на основе ТЛТУДТ). Краткая характеристика второго направления теоре- тических исследований по построению механики разрушения композитов при сжатии вдоль направления симметрии свойств материала представлена в п. 3.1.3. Можно сформулировать основные характерные особенности исследований в рамках второго направления следующим образом. 1. Не привлекаются приближенные расчетные схемы и допущения (типа указан- ных в п. 3.1.2), свойственные первому направлению. 2. Исследования проводятся в трехмерной постановке на основе ТЛТУДТ (в крат- кой форме аппарат изложен в §2), что приводит к результатам, точность которых со- ответствует другим направлениям механики деформируемых тел. 3. С учетом вышеуказанной особенности «2» результаты второго направления можно использовать для оценки более приближенных теорий, в том числе и результа- тов первого направления. 4. Основы механики приповерхностного разрушения разработаны только в рамках второго направления. 5. Результаты второго направления строго и последовательно определяют начало (старт) процесса разрушения для композитов при сжатии как при внутреннем разру- шении, так и в случае приповерхностного разрушения. 3.3.1. Сведения вводного характера. В п. 1.3 настоящей статьи при описании Проблемы 1 (Разрушение в композитных материалах при сжатии вдоль армирую- щих элементов) отмечалось, что результаты в рамках второго (подхода) направления принадлежат, в основном, автору статьи и его ученикам; целесообразно отметить, что первыми статьями во втором направлении (подходе) были статьи [25, 26] за 1969 г. Перечень публикаций (монографии, статьи и доклады на международных конферен- циях), которые вошли в список литературы к настоящей обзорной статье и которые подготовлены на основании исследований отдела динамики и устойчивости сплош- ных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, приведен во вводной части §3 настоящей обзорной статьи. В настоящем п. 3.3 ниже излагаются основные результаты, полученные по вто- рому направлению, которые первоначально были представлены в вышеуказанных статьях и на международных конференциях и потом вошли в вышеуказанные и дру- гие монографии. Обсуждаемые исследования проведены для упругих и упруго- пластических моделей сжимаемых и несжимаемых изотропных, трансверсально- изотропных и ортотропных материалов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материалов (в случае трансверсально-изотропных и ортотропных материалов). Ре- зультаты общего характера получены в случае упругих моделей – для гиперупругих 24 материалов с произвольной структурой упругого потенциала и в случае упруго- пластических моделей – для материалов с определяющими уравнениями достаточно общего вида; результаты конкретного характера получены для упругих и упруго- пластических моделей материалов с определяющими соотношениями простейшей структуры. Для упруго-пластических материалов (применительно к связующему и наполнителю) применяется обобщенная концепция продолжающегося нагружения, изложенная в п. 2.3.2 настоящей статьи; в связи с этим исследование проводится в единой общей форме для упругих и упруго-пластических материалов. Исследование явления потери устойчивости во внутренней структуре (внутренней неустойчивости) и в приповерхностных слоях (приповерхностной неустойчивости) для композитных материалов проводится при действии внешней «мертвой» нагрузки, что характерно практически для всех публикаций по механике разрушения. Примени- тельно к исследованиям второго направления в случае упругих моделей и упруго- пластических моделей (с учетом обобщенной концепции продолжающегося нагруже- ния) строго доказано выполнение достаточных условий применимости статическо- го метода исследования устойчивости (п. 2.4.2 – первый результат) и, таким образом, рассматриваемые задачи сводятся к задачам на собственные значения, т.е. применя- ется метод Эйлера. Вышеуказанное доказательство также относится к приповерх- ностной неустойчивости при сжатии вдоль армирующих элементов и приповерх- ностной неустойчивости возле загруженных торцов. Таким образом, исследования в рамках второго подхода полностью соответствуют общепринятому и строгому методу исследования явления потери устойчивости – анализу поведения малых возмущений в рамках линеаризированных трехмерных динамических задач. Вышесформулированные вывод, доказательство и подход имеют место для упругих и упруго-пластических моделей (с учетом обобщенной концепции продолжающегося нагружения) и не имеют места для моделей с реологическими свойствами. Примечание 3.6. В настоящую обзорную статью (рассматриваемый п. 3.3. Ос- новные результаты второго направления (строгие последовательные подходы на ос- нове ТЛТУДТ)) не включены результаты для моделей с реологическими свойствами по следующим соображениям. 1. Как отмечено в Примечании 2.9, для тел с реологическими свойствами отсут- ствует общий метод и строгий критерий, позволяющие проводить исследования с такой степенью общности и строгости, как и для упругих и упруго-пластических тел. 2. В настоящее время уже полученные результаты на основе трехмерных уравне- ний для тел с реологическими свойствами построены статическим методом с при- влечением одного из приближенных критериев устойчивости, указанных в п. 2.3.3; в связи с приближенностью критерия не ясны общность и достоверность указанных результатов. 3. Вышесформулированные (перед настоящим Примечанием 3.6) вывод, доказа- тельство и подход не имеют места для тел с реологическими свойствами. Примечание 3.7. Результаты второго направления предназначены для композит- ных материалов с полимерной и металлической матрицами. Для композитов с поли- мерной матрицей анализируется хрупкое разрушение; при этом матрица моделирует- ся упругим телом, что характерно для композитов при умеренных температурах и при сравнительно недлительном действии нагрузки, так как в этом случае не учитываются эффекты вязкости. Для композитов с металлической матрицей анализируется пласти- ческое разрушение (с учетом обобщенной концепции продолжающегося нагружения); при этом рассматривается этап нагружения, когда вся матрица находится в со- стоянии пластического деформирования. Примечание 3.8. В рамках второго направления при исследовании потери устой- чивости во внутренней структуре (внутренней неустойчивости) композита и припо- верхностной потери устойчивости (приповерхностная неустойчивость) композита предусматривается одинаковое укорочение наполнителя и матрицы вдоль направле- ния сжатия (вдоль волокон на Рис. 3.1 для однонаправленного волокнистого компо- зита, вдоль слоев на Рис. 3.2 для слоистого композита). Вышеуказанное условие явля- ется, по-видимому, единственно возможным условием, позволяющим анализировать явления внутри композитного материала. При экспериментальных исследованиях 25 вышеуказанные условия выполняются при сжатии достаточно жесткими дисками (вдоль вертикальной оси на Рис. 3.2), когда вдоль горизонтальной оси (на торцах на Рис. 3.2) обеспечивается минимальное трение. При теоретических исследованиях вдоль вертикальной оси задается одинаковое перемещение в наполнителе и матрице, а вдоль горизонтальной оси задаются нулевые касательные напряжения. Учитывая вышеизложенные в настоящем п. 3.3.1 сведения вводного характера, ниже в последующих пунктах приведем в краткой форме основные результаты, полу- ченные в рамках второго направления и изложенные в публикациях, которые указаны во вводной части §3 настоящей обзорной статьи; дополнительно отметим, что обсужда- емые основные результаты получены автором и его учениками в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ. В рам- ках второго направления развиты: континуальная теория разрушения композитов, осно- ванная на модели однородной среды с усредненными параметрами и математическом аппарате ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи); трехмерная теория разрушения волокнистых однонаправленных и слоистых композитов, основанная на модели кусочно-однородной среды при точных граничных условиях на границе раздела (interface) и математическом аппарате ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи). При изложении обсуждаемых результатов существенно используются монографии [54, 57] и привлекается опыт сокращенного изложения этих результатов в обзорной статье [65] (стр. 27 – 45) за 2016 г. 3.3.2. Континуальная теория разрушения. В настоящем пункте 3.3.2 в краткой форме рассмотрим основные элементы континуальной теории разрушения компози- тов при сжатии, которая основана на континуальной модели композитов с усреднен- ными параметрами и ТЛТУДТ, применительно к хрупкому и пластическому разруше- нию с учетом Примечания 3.7 для пластического разрушения. Основные результаты получены для внутреннего разрушения (потеря устойчивости во внутренней структу- ре, внутренняя неустойчивость) и приповерхностного разрушения (приповерхностная потеря устойчивости во внутренней структуре, приповерхностная неустойчивость). 3.3.2.1. Внутреннее разрушение. При исследовании внутреннего разрушения сле- дует рассматривать композит, который занимает бесконечное пространство; само же разрушение и его распространение описывается системой статических уравнений ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи), в незагруженном состоянии указанная система урав- нений для сжимаемого материала является системой уравнений эллиптического типа. Сжимаемость композита в континуальном приближении обеспечивается сжимаемо- стью наполнителя или связующего. В силу рассмотрения бесконечного материала при анализе внутреннего разруше- ния исследуется как бы потеря устойчивости в микрообъеме. Таким образом, при рас- сматриваемом механизме разрушения изменения в микрообъеме должны каким-то образом проявляться и в макрообъеме, причем в последнем случае они не должны иметь локального характера, так как только в этом случае будет наблюдаться разру- шение всего образца (макроразрушение). Указанное изменение в микрообъеме долж- но проявляться в свойствах, не зависящих от граничных условий, так как исследуется процесс разрушения материала (внутреннее разрушение соответствует «бесконечно- му» материалу), а не влияние захватов испытательных машин, формы поперечного сечения и т.д. Очевидно, что изменения в макрообъеме определяются возмущениями перемещений, которые описываются системой статических уравнений ТЛТУДТ (§2). Таким образом, можно считать, что начало разрушения соответствует появлению решений системы статических уравнений ТЛТУДТ (§2) для сжимаемого материала, которые не зависят от граничных условий (рассматривается случай бесконечного ма- териала) и не имеют локального характера; при этом, безусловно, следует отбросить решения типа однородных напряженно-деформированных состояний. Вышеприве- денное условие для системы статических уравнений ТЛТУДТ (§2) может выполнять- ся лишь в том случае, когда указанная система уравнений становится системой гипер- болического типа. Учитывая вышеизложенное, Основную концепцию построения континуальной теории внутреннего разрушения композитных материалов при сжатии можно сфор- мулировать следующим образом. 26 Основная концепция. Начало процесса разрушения можно отождествлять с тем моментом в истории нагружения, когда система статических уравнений ТЛТУДТ (для сжимаемых материалов) из эллиптической системы переходит в ги- перболическую, т.е. указанная система теряет свойство эллиптичности. Теоретиче- ские пределы прочности при этом определяются из того же условия. Разрушение композитных материалов при сжатии происходит вдоль характеристических плос- костей и поверхностей. Дополнительные сведения по излагаемому вопросу представлены в монографии [57, т. 1, глава 2]; ниже рассмотрим лишь отдельные результаты. Следуя Основной концепции, введено понятие о поверхности ТП − поверхнос- ти теоретических пределов прочности при сжатии, которое вводится в трехмерном про- странстве сжимающих главных напряжений тензора напряжений 0 0 11 22(( ), ( ),   0 33( )). Схематически ТП − поверхности теоретических пределов прочности при сжатии представлены на Рис. 3.18 – 3.20: Рис. 3.18 соответствует общему случаю; Рис. 3.19 соответствует осесимметрично- му нагружению; Рис. 3.20 соответствует плоской задаче. На Рис. 3.18 – 3.20 и ни- же введены обозначения ( )j ТП  − теоре- тические пределы прочности при одноос- ном сжатии вдоль соответствующих осей. На Рис. 3.19, относящемся к осесиммет- ричному нагружению, представлено мери- диональное сечение поверхности теорети- ческих пределов прочности на сжатие, поскольку в этом случае поверхность ТП представляет собой поверхность враще- ния. В трехмерном пространстве 0 0 0 11 22 33(( ), ( ), ( ))     на Рис. 3.18 траек- тория нагружения показана штриховой линией OM . Если в истории нагружения точка M (Рис. 3.18) впервые попадает на поверхность ,ТП то достигается теоре- тический предел прочности при соответ- ствующем трехосном сжатии. В случае хрупкого разрушения (компо- зиты с полимерной матрицей) поверхность ТП построена в явном виде для осесим- метричной пространственной (Рис. 3.21) и плоской (Рис. 3.22) задач. На Рис. 3.21 для хрупкого разруше- ния, как и на Рис. 3.19 для общего случая, представлено (применительно к осесим- метричному нагружению) меридиональ- ное сечение поверхности теоретических пределов прочности в виде поверхности вращения. На Рис. 3.21 и 3.22 заштрихо- ванные области представляют собой об- ласти эллиптичности статической систе- мы уравнений ТЛТУДТ (§2); при измене- Рис. 3.18 Рис. 3.20 Рис. 3.19 27 нии параметров нагружения внутри области эллиптичности разрушение при соответ- ствующих значениях параметров нагружения не возникает, дополнительные сведения представлены в монографии [57] (т. 1, стр. 182 – 185). При пластическом разрушении для построения соответствующих поверхностей теоретических пределов прочности на сжатие необходимо проводить дополнительные исследования с привлечением компьютерных методов. Также в случае хрупкого разрушения строго доказано, что разрушение распро- страняется по плоскостям, перпендикулярным к действию сжимающих нагрузок; экспериментальным подтверждением вышеуказанной теоретической закономерности являются результаты на снимках Рис. 3.7 – 3.12 при одноосном сжатии. Ниже приведем сведения о сравнении величин теоретических пределов прочности на сжатие и теоретических значений предельных укорочений, вычисленных в рамках континуальной теории внутреннего разрушения (п. 3.3.2.1), со значениями соответ- ствующих величин, определенных из экспериментальных исследований; при этом будем ориентироваться на сведения из монографии [57, т. 1, глава 2], представленные отдельно для хрупкого и пластического разрушения. Исследование проведем для од- ноосного сжатия вдоль волокон (условно вдоль оси 30x ) однонаправленного волокни- стого композита (Рис. 3.1), который в плоскости поперечного сечения ( 3 constx  ) не имеет четко выраженной структуры в расположении волокон; в связи с этим в конти- нуальном приближении такой композит моделируется трансверсально-изотропным материалом, ось изотропии которого направлена вдоль волокон (вдоль оси 30x ). Ин- дексами « a » и « m» ниже и во всей статье будем отмечать все величины, относящие- ся к армирующим элементам (наполнителю) и к матрице (связующему). Хрупкое разрушение. Вышеуказанное сравнение проведем для однонаправлен- ных волокнистых композитов с полимерной матрицей в виде эпоксидной смолы в случае весьма жестких волокон, для модулей Юнга которых имеет место .a mE E (3.5) Также введем следующие обозначения: 3( )ТП  − теоретический предел прочности при сжатии вдоль одной оси (в данном случае – вдоль оси 30x ); 3( )экП − экспери- ментальный предел прочности при одноосном сжатии вдоль этой же оси. В случае (3.5) для композита с 50%-ой концентрацией (долей) однонаправленных волокон ( 0,5a mS S  ) теоретический предел прочности на сжатие (в рамках континуальной теории разрушения) приведен в монографии [57, т. 1, с. 192] 3( ) 2,09 3,00 ГПаТП    (3.6) с учетом разброса свойств эпоксидной смолы, указанного в Табл. 0.1 [57] (т. 1, стр. 67). В справочном издании [153], опубликованном на русском языке в 1981 г. (на ан- глийском языке это издание [492] опубликовано в 1978 г.), на стр. 656 [153] представ- лены экспериментальные пределы прочности для различных композитов (различные Рис. 3.22 Рис. 3.21 28 волокна при a mS S ); эти результаты представлены также в [57, т. 1, с. 192] и имеют вид 3 3,10 ГПа в случае волокон бора; ( ) 1,38 ГПа в случае высокопрочных углеродных волокон; 1,03 ГПа в случае высокомодульных углеродных волокон . экП       (3.7) Из сравнения результатов (3.6) и (3.7) следует, что применительно к рассматри- ваемым композитам с полимерной матрицей наблюдается неплохое соответствие ме- жду теоретическими пределами прочности на сжатие и экспериментальными преде- лами прочности при одноосном сжатии. Пластическое разрушение. Вышеуказанное сравнение проведем для однона- правленного волокнистого материала с металлической матрицей, используя экспери- ментальные результаты статьи [548]; в [548] приведены экспериментальные результа- ты для металлокомпозита (наполнитель – проволока из нержавеющей стали, матрица – чистый алюминий). Теоретический предел прочности и теоретическое значение предельного укорочения при одноосном сжатии (в рамках континуальной теории внутреннего разрушения, рассматриваемой в настоящем п. 3.3.2.1) определены в пер- вом приближении в монографии [57, т. 1, глава 2, с. 193 – 202], где наполнитель моде- лировался линейным упругим изотропным сжимаемым телом и матрица моделирова- лась упруго-пластическим изотропным несжимаемым телом со степенной зависимо- стью между интенсивностями напряжений и деформаций в следующем виде: ; , const.mmkm u m u m mA A k   (3.8) В [548] приведены экспериментальные резуль- таты для различной концентрации наполнителя в % ( aS =4,1; 11; 15,3; 21,2; 24,8; 32,8); для сокращения обсуждений, приведенных в монографии [57, т. 1, глава 2, стр. 204 – 205], на Рис. 3.23, в отличие от Рис. 2.9 в монографии [57, т. 1, глава 2, стр. 206], результаты приведены лишь для значений aS (%): 15,3; 21,2; 24,8 и 32,8. Следует отметить, что на Рис. 3.23 устранена неточность в обозначениях, допущенная на Рис. 2.9 монографии [57, т. 1, глава 2, с. 206], где пропущен множитель 1 aE ( aE − мо- дуль Юнга армирующих элементов в соответствии с обозначениями (3.5), в данном случае – проволоки из нержавеющей стали). При вышеуказанных теоретических исследова- ниях при описании пластического деформирования чистого алюминия с привлечением соотношения (3.8) применялись следующие три аппроксимации для величин mA и mk в (3.8): 1 ~ 100 МПа, 0,1; 2 ~ 100 МПа, 0,25; 3 ~ 68МПа, 0,25. m m m m m m A k A k A k       (3.9) В монографии [57, т. 1, глава 2, с. 207] указаны авторы, в публикациях которых применялись аппроксимации (1.10). Учитывая вышеизложенное, на Рис. 3.23 представлены зависимости от aS (кон- центрации наполнителя, в данном случае – проволоки из нержавеющей стали) для Рис. 3.23 29 следующих величин: сплошными линиями для величины  1 1 3 3( ) 10aТП E    – безраз- мерного нормированного значения теоретического предела прочности при сжатии вдоль одной оси, вычисленного в первом приближении; штриховыми линиями для величины  1 Т в % – теоретического значения предельного укорочения, вычисленного в первом приближении. При этом на Рис. 3.23 кривые, соответствующие аппроксимациям (3.9), отмечены значками 1, 2 и 3. Экспериментальные результаты [548] представлены на Рис. 3.23: темными кружочками – для экспериментального предела прочности и светлыми кружочками – для экспериментального значения предельного укорочения; заметим, что в [548] применялась аппроксимация 2. Из анализа результатов, представленных на Рис. 3.23, следует, что удовлетвори- тельное соответствие теоретических и экспериментальных результатов наблюдается для пределов прочности при применении аппроксимации 3 из (3.9) и для предельных укорочений при применении аппроксимации 2 из (3.9). Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении механики внутрен- него разрушения в рамках рассматриваемой континуальной теории разрушения: как уже неоднократно отмечалось, достаточно подробные сведения по этому вопросу приведены в монографии [57, т. 1, глава 2]. 3.3.2.2. Приповерхностное разрушение. Континуальная теория приповерхност- ного разрушения построена на исследовании приповерхностной формы потери устой- чивости, перемещения и напряжения в которой затухают при удалении от граничной поверхности; при этом при исследовании применяются основные соотношения ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи). В соответствии с основным подходом, изложенным в п. 3.3.1, в рассматриваемом случае (п. 3.3.2.2) приходим к статическим задачам ТЛТУДТ (§2) для полуограниченных областей (к задачам на собственные значения, в которых собственные функции затухают при удалении от граничной поверхности). В настоящем п. 3.3.2.2 рассматривается обсуждаемая континуальная теория при- поверхностного разрушения, соответствующего приповерхностной потере устойчиво- сти при сжатии вдоль армирующих элементов (наполнителя). Континуальная теория приповерхностного разрушения, относящаяся к этому типу, достаточно подробно из- ложена в монографии [57, т. 1, глава 2, §2, стр. 209 – 224]. Для примера, расчетная схема применительно к плоской задаче представлена на Рис. 3.24, где 2 0x  является свободной поверхностью и армирующие элементы (наполнитель) направлены вдоль оси 10x . Можно считать, что в монографиях [54, 57] достаточно подробно изложена обсуждаемая континуальная теория приповерхностного разрушения композита при сжатии, соответствующая приповерхностной потере устойчивости (возле свободной поверхности) при сжатии вдоль армирующих элементов (наполнителя); в связи с этим ниже в настоящей статье этот вопрос подробно рассматриваться не будет. Обсуждае- мые результаты в монографиях [54, 57] представлены для композитов с полимерной матрицей (хрупкое разрушение) и для композитов с металлической матрицей (пла- стическое разрушение); при этом при исследовании пластического разрушения учи- тывается Примечание 3.7. Дополнительно следует отметить, что в монографии [57] (т. 1, глава 2, §2) также изложена двухуровневая континуальная механика разрушения композитов при сжатии, когда трещины выходят из контура отверстия. В заключение к п. 3.3.2 лишь отме- тим, что в монографиях [54, 57] для ком- позитов с полимерной и металлической матрицами в рамках континуальной тео- рии разрушения при сжатии строго дока- зано выполнение следующего условия Рис. 3.24 30 3 3( ) ( ) .П Т ТП П  (3.10) В (3.10) дополнительно к обозначению 3( )ТП  − (теоретический предел прочно- сти при одноосном сжатии в случае внутреннего разрушения) введено обозначение: 3( )ПТП  – (теоретический предел прочности при одноосном сжатии вдоль свободной поверхности в случае приповерхностного разрушения). Условие (3.10) соответствует обычно принимаемому положению – разрушение материала начинается с поверхно- сти материала. Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении приповерхностно- го разрушения в рамках рассматриваемой континуальной теории разрушения компо- зитов при сжатии. Примечание 3.9. Необходимо отметить, что в п. 3.3.2.1 применительно к внут- реннему разрушению представлено достаточно хорошее совпадение пределов проч- ности при одноосном сжатии, полученных при экспериментальных исследованиях, с соответствующими теоретическими пределами прочности рассматриваемой контину- альной теории разрушения как применительно к хрупкому разрушению (композиты с полимерной матрицей), так и применительно к пластическому разрушению (компози- ты с металлической матрицей). Отмеченное хорошее совпадение, по-видимому, объ- ясняется тем, что в анализируемых примерах рассматривались композиты, в которых материалы наполнителя и матрицы существенно отличаются по жесткости (вы- полняются условия (3.5)); для других композитов, по-видимому, не следует ожидать такого хорошего совпадения. В целом же целесообразно отметить, что рассматри- ваемая континуальная теория разрушения является наиболее негромоздкой и удоб- ной при исследованиях по сравнению с любыми теориями, построенными в рамках модели кусочно-однородной среды, как в первом направлении, так и во втором на- правлении; в то же время континуальная теория в ряде случаев дает результаты, соот- ветствующие экспериментам. В историческом аспекте, по-видимому, первой публи- кацией по построению рассматриваемой континуальной теории разрушения была статья [26], опубликованная в 1969 г. Вышеизложенной в п. 3.3.2 информацией ограничимся при рассмотрении контину- альной теории разрушения композитных материалов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала; обсуждаемая теория построена на основании модели однородного материала (среды, тела) с усредненными свойствами (параметрами) и ТЛТУДТ, мате- матический аппарат которой в краткой форме изложен в §2 настоящей обзорной статьи. 3.3.3. Слоистые композиты. Модель кусочно-однородной среды. В настоящем пункте (п. 3.3.3) в весьма краткой форме приведена информация о механике разруше- ния при сжатии слоистых композитов с полимерной и металлической матрицами, ко- торая построена на основе модели кусочно-однородной среды. В этом случае отдель- но для материалов каждого слоя наполнителя и связующего принимаются основные соотношения ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи) и на границах раздела (interface) при- нимаются определенные условия непрерывности напряжений и перемещений. Иссле- дования проводятся для хрупкого и пластического разрушения; в последнем случае предварительно принимается обобщенная концепция продолжающегося нагружения. В соответствии с основным подходом, изложенным в п. 3.3.1, в рассматриваемом слу- чае исследований приходим к анализу статических уравнений и соответствующих граничных условий ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи) для кусочно-однородной среды (задачи на собственные значения). Основные результаты получены для потери устой- чивости во внутренней структуре (внутренняя неустойчивость, внутреннее разруше- ние), результаты для которой изложены в монографии [57, т. 1, глава 3], и для припо- верхностной потери устойчивости (приповерхностное разрушение), результаты для которой изложены в монографии [57, т. 1, глава 5]; частично основные результаты также представлены в монографиях [30, 31, 54], а также в весьма краткой форме в об- зорной статье [65]. Предварительно обсуждаемые результаты для слоистых компози- 31 тов были опубликованы в статьях, основные из которых вошли в список литературы к настоящей обзорной статье и вошли в перечень основных статей, относящихся ко всему второму направлению и приведенному во вводной части §3 настоящей обзор- ной статьи; дополнительную информацию об опубликованных статьях можно полу- чить из списков литературы к монографиям [30, 31, 54, 57]. Основные результаты для слоистых композитов в виде характеристических определителей для внутреннего и приповерхностного разрушения изложены в единой общей форме для теорий 1, 2 и 3 в соответствии с терминологией п. 2.2 и вводной части п. 2.3. Ниже в настоящем п. 3.3.3 обсуждаются в весьма краткой форме лишь основные результаты по механике разрушения композитов при сжатии, полученные в рамках модели кусочно-однородной среды и ТЛТУДТ, основы математического аппарата которой в краткой форме изложены в §2 настоящей обзорной статьи; при этом учиты- вается краткое изложение вопроса в обзорной статье [65]. 3.3.3.1. Внутреннее разрушение. При исследовании внутреннего разрушения (внутренней неустойчивости) рассматривается слоистый композит, который занимает бесконечное пространство (Рис. 3.2), применяются общие решения статических урав- нений ТЛТУДТ (§2) и анализ проводится в соответствии с процедурой, изложенной в п. 3.1.1, с учетом подхода, соответствующего Рис. 3.3. Необходимо отметить, что в настоящем пункте (п. 3.3.3.1) приводится информация только о результатах, получен- ных для композитов, в поверхностях раздела (interface) которых отсутствуют дефекты (на поверхностях раздела выполняются условия непрерывности напряжений и пере- мещений). Рис. 3.25 Рис. 3.26 Исследованы плоские и пространственные задачи для слоистых композитов с по- лимерной и металлической матрицами, состоящих из слоев наполнителя (одинаковой толщины) и слоев матрицы (одинаковой толщины), которые периодически чередуют- ся вдоль оси 20x (Рис. 3.25) в случае плоских задач и вдоль оси 30x (Рис. 3.26) в слу- чае пространственных задач; в случае пространственных задач Рис. 3.26 соответству- ет плоскости в сечении 2 0x  . На Рис. 3.25 и 3.26 индексом « a » отмечены все вели- чины, относящиеся к армирующим элементам (наполнителю, слоям), и индексом « m» отмечены все величины, относящиеся к матрице (связующему, слоям). В случае плоских задач рассматриваются слои ортотропных материалов (в частном случае – изотропных материалов), в случае пространственных задач рассматриваются слои трансверсально-изотропных материалов с плоскостью изотропии 3 constx  (Рис. 3.26) (в частном случае – изотропные материалы); при этом характеристические определи- тели во всех случаях получены для материалов с определяющими уравнениями доста- точно общей структуры. Учитывая периодичность структуры вдоль вертикальной оси на Рис. 3.25 и 3.26 с периодом 2( ),a mh h анализировались моды потери устойчивости с периодом вдоль вертикальной оси, кратным периоду структуры, т.е. с периодом kT ,  2 ; 1, 2, ... .k a mT k h h k   (3.11) 32 Общий метод решения для плоских (Рис. 3.25) и пространственных (Рис. 3.26) задач о внутреннем разрушении слоистых композитов заключается в следующем. Применяются статические уравнения ТЛТУДТ, что строго обосновано (п. 3.3.1); ис- пользуются общие решения ТЛТУДТ (пп. 2.5.1 и 2.5.2). Рассматриваются следующие формы потери устойчивости: вдоль линий действия сжимающих нагрузок (вдоль 10x для плоских задач, Рис. 3.25; вдоль 10x и 20x для пространственных задач, Рис. 3.26) выбираются в виде тригонометрических функций с неизвестной длиной волны формы потери устойчивости; перпендикулярно к слоям на основании общих решений ТЛТУДТ строятся решения по 2x для плоских задач (Рис. 3.25) и по 3x для простран- ственных задач (Рис. 3.26) для различных видов симметрии, что приведено ниже на примере Рис. 3.27 – 3.30, и различной периодичности согласно (3.11). При примене- нии вышеуказанных решений для удовлетворения условий непрерывности напряже- ний и перемещений по плоскостям раздела наполнителя и связующего получаются характеристические определители четвертого порядка для плоских задач и шестого порядка для пространственных задач. В результате решения вышеуказанных характе- ристических уравнений получаем зависимость параметров нагружения от параметров волнообразования; минимизация этих зависимостей проводится в соответствии с п. 3.1.1 и Рис. 3.5. Были исследованы первые четыре моды, которые названы модами первого, второ- го, третьего и четвертого рода; указанные моды схематически показаны на Рис. 3.27 – 3.30. Форма потери устойчивости первого рода имеет период, равный периоду струк- туры (в (3.11) 1k  ), и представлена на Рис. 3.27; эта мода соответствует сдвиговой моде по принятой терминологии в ряде публикаций. Рис. 3.27 Рис. 3.28 Рис. 3.29 Рис. 3.30 Форма потери устойчивости второго рода имеет вдоль вертикальной оси период, равный удвоенному периоду структуры (в (3.11) 2k  ), и представлена на Рис. 3.28; эта мода соответствует моде растяжения по принятой терминологии в ряде публикаций. Форма потери устойчивости третьего рода имеет вдоль вертикальной оси период, равный периоду структуры (в (3.11) 1k  ), и представлена на Рис. 3.29. Форма потери устойчивости четвертого рода имеет вдоль вертикальной оси период, равный удвоенному периоду структуры (в (3.11) 2k  ), и представлена на Рис. 3.30. Для слоистых композитов с полимерной и металлической матрицами в случае плоских и пространственных задач получены характеристические определители в замкнутой форме для материалов наполнителя и связующего с определяющими урав- нениями достаточно общего вида; критические значения параметров нагружения по- лучены в результате минимизации корней характеристических определителей, при этом корни определены с привлечением численных методов. При таком подходе по- лучены многочисленные результаты для конкретных слоистых композитов с поли- мерной и металлической матрицами. В качестве примера вышеотмеченных результатов для конкретных слоистых ком- позитов ниже в весьма краткой форме приведем отдельные результаты для слоистого композита, составленного из изотропных слоев, когда материал каждого из слоев мо- делируется линейным упругим телом. Эти результаты подробно представлены в мо- нографии [57, т. 1, стр. 297 – 299]; представленный здесь Рис. 3.31 соответствует Рис. 3.9 указанной монографии. На Рис. 3.31 представлена зависимость параметра 33 нагружения от параметра волнообразования a (типа параметров (3.2)) для слоистого композита со следующими параметрами: 1 500;a mE E  1 m ah h  1; 5;10; 20; 30; 40; 50 применительно к плоской за- даче, где обозначения соответствуют Рис. 3.25. Цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 на Рис. 3.31 отмечены кривые, соответствующие вышеуказанным значе- ниям параметра 1 m ah h . Сплошными линиями на Рис. 3.31 показаны результаты, относящиеся к из- гибной моде (форме потери устойчивости первого рода, Рис. 3.27); штрихпунктирными линиями на Рис. 3.31 показаны результаты, относящиеся к моде растяжения (форме потери устойчивости второго рода, Рис. 3.28). Весьма кратко рассмотрим анализ результатов, представленных на Рис. 3.31 при- менительно к изгибной моде (форме потери устойчивости первого рода, Рис. 3.27), которые изображены сплошными линиями. Из Рис. 3.31 следует, что сплошные кри- вые с цифрами 1 и 3 ( 1 m ah h =1 и 10) являются кривыми типа B на Рис. 3.3; таким образом, для рассматриваемого композита при компоновках слоев 1 m ah h =1 и 20 внутренняя потеря устойчивости (потеря устойчивости во внутренней структуре) не возникает по изгибной моде (форме потери устойчивости первого рода). Из Рис. 3.31 следует, что сплошные кривые с цифрами 4, 5, 6 и 7 1( 20, 30, 40 и 50)m ah h  являют- ся кривыми типа A на Рис. 3.3; таким образом, согласно подходу п. 1.2.1 для рас- сматриваемого композита при компоновках слоев 1 20, 30, 40 и 50m ah h  внутренняя потеря устойчивости (потеря устойчивости во внутренней структуре) возникает по изгибной моде (форме потери устойчивости первого рода). Таким образом, строго до- казано существование следующего явления – в зависимости от структуры слоисто- го композита может возникать или не возникать потеря устойчивости во внутрен- ней структуре (внутренняя неустойчивость) по изгибной моде (форме потери устой- чивости первого рода, Рис. 3.27). Дополнительную информацию о результатах по внутреннему разрушению слоис- тых композитов, обсуждаемых в настоящем п. 3.3.3.1, можно получить из монографии [57, т. 1, глава 3]. 3.3.3.2. Приповерхностное разрушение. Рассмотрим в весьма краткой форме информацию о результатах по приповерхностному разрушению слоистых компози- тов, полученную в рамках модели кусочно-однородной среды; достаточно подробная информация по этому вопросу содержится в монографии [57, т. 1, глава 5]. При исследовании поверхностной неустойчивости рассматривается слоистый композит, занимающий нижнее полупространство 2const x   в случае плоских задач согласно Рис. 3.25 и нижнее полупространство 3const x   в случае про- странственных задач согласно Рис. 3.26. Все обозначения и соображения, изложенные в начале п. 3.3.3.1 до выражения (3.11), остаются в силе и для приповерхностного раз- рушения (приповерхностной неустойчивости), анализируемой в настоящем п. 3.3.3.2. Конкретные результаты получены для слоистых композитов с полимерной и металли- ческой матрицей (хрупкое и пластическое разрушение). Для исследования плоских и пространственных задач о приповерхностном раз- рушении (приповерхностной потере устойчивости) разработаны два метода: первый метод, являющийся практически точным методом, основан на сведении рассматрива- емых задач к бесконечным системам алгебраических уравнений с последующим их тщательным анализом; второй метод, являющийся сугубо приближенным методом, основан на применении вариационных принципов ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи). Рис. 3.31 34 В дальнейшем в этой статье не будем приводить примеры анализа полученных результатов для конкретных слоистых композитов с полимерной и металлической матрицами применительно к приповерхностной неустойчивости. Ограничимся лишь информацией о качественно новом явлении, которое описано в монографии [57, т. 1, глава 5, с. 513] и заключается в следующем. Не при всех концентрациях наполнителя и не при всех относительных жесткостных параметрах наблюдается (существует) явление поверхностной неустойчивости. Так, при непрерывном увеличении внешней сжимающей нагрузки вначале может возникать внутренняя неустойчивость или крити- ческие нагрузки для внутренней и поверхностной неустойчивостей могут совпадать. Вышеизложенной информацией ограничимся при весьма кратком обсуждении приповерхностного разрушения (приповерхностной неустойчивости) в слоистых ком- позитах с полимерной и металлической матрицами, полученных в рамках модели ку- сочно-однородной среды. Достаточно подробное изложение результатов по рассмат- риваемой проблеме представлено в монографии [57, т. 1, глава 5]. 3.3.3.3. Дополнительные сведения к механике разрушения слоистых компо- зитных материалов. В настоящем пункте (п. 3.3.3.3) приводится дополнительная информация в весьма краткой форме, относящаяся к следующим вопросам механики разрушения слоистых композитов при сжатии: анализ континуальной механики раз- рушения композитов при сжатии, изложенной в п. 3.3.2 настоящей обзорной статьи; построение метода исследования для более сложных форм потери устойчивости при- менительно к слоистым композитам; выводы из последовательного анализа теории Дау-Грунфеста-Розена-Шурца. 3.3.3.3.1. Анализ континуальной механики разрушения композитов. Как уже неоднократно отмечалось в настоящей статье, что при исследовании различных про- блем устойчивости в механике композитов модель кусочно-однородной среды, когда отдельно для наполнителя и матрицы применяется ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи) и на границах раздела (in interface) обеспечиваются условия непрерывности векторов напряжений и перемещений, является наиболее строгой и точной в рамках механики деформируемых тел. Естественно, что полученные конкретные результаты в рамках вышеуказанной наиболее строгой и точной модели являются основой для оценки точности и обоснования любых более приближенных теорий и полученных на их ос- нове соответствующих конкретных результатов. Все результаты для теории разрушения при сжатии слоистых композитов, изло- женные в пп. 3.3.3.1 и 3.3.3.2 настоящей обзорной статьи и в соответствующих главах монографий [30, 31, 35, 54, 57], получены на основе вышеуказанной наиболее строгой и точной модели. В связи с этим вышеотмеченные результаты по механике разруше- ния слоистых композитов при сжатии являются основой для оценки точности и обос- нования более приближенных теорий в механике разрушения слоистых композитов при сжатии. Континуальная теория разрушения композитов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала, которая изложена в п. 3.3.2 настоящей обзорной статьи, построена на основе существенно более приближенной модели (по сравнению с вышеуказанной строгой и точной моделью) – модели однородной среды с усредненными параметра- ми и ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи). В связи с этим полученные результаты по тео- рии разрушения слоистых композитов при сжатии, полученные на основе наиболее строгой и точной модели и изложенные в пп. 3.3.3.1 и 3.3.3.2, можно применять для оценки точности и обоснования континуальной теории разрушения композитов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала, изложенной в п. 3.3.2 настоящей обзорной статьи, применительно к слоистым композитам. Одним из основных результатов континуальной теории разрушения композитов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала, которая достаточно подробно изложена в монографиях [54] (глава 2) за 1990 г. и [57] (т. 1, глава 2) за 2008 г. и в сокращенной форме в п. 3.3.2 настоящей обзорной статьи, является определение тео- ретического предела прочности при одноосном сжатии. В случае композитов с поли- 35 мерной матрицей (как материалов с пониженной сдвиговой жесткостью) для плоской задачи (Рис. 3.25) в плоскости 1 20x x при одноосном сжатии вдоль оси 10x для 1( )ТП − теоретического предела прочности получена оценка ([57], т. 1, глава 2, формулы (2.60) и (2.61)) 1 12 1 12( ) , ( ) ,Т ТП G П G   (3.12) где 12G − модуль при рассмотрении в континуальном приближении композита как ортотропного материала. Следует отметить, что выражения (3.12) относятся к композиту произвольной структуры, у которого ось 10x (Рис. 3.25) является осью симметрии свойств материа- ла. Поскольку в настоящем п. 3.3.3.1 анализ точности и обоснование континуальной теории (п. 3.3.2) проводится с точки зрения строгой и точной теории для слоистых композитов (пп. 3.3.3.1 и 3.3.3.2), то для слоистых композитов усредненное значение модуля сдвига 12G (3.12) определяется следующим выражением   1 12 ,a m a m m aG G G S G S G   (3.13) где aG и mG − модули сдвига армирующих элементов (наполнителя) и матрицы (свя- зующего); aS и mS − объемные концентрации армирующих элементов (наполнителя) и матрицы (связующего) в случае изотропных слоев. Отметим, что выражение (3.13) получено при строгом рассмотрении ситуации на Рис. 3.25 для плоской задачи в слу- чае статики и с привлечением метода «длинных волн» в теории распространения волн применительно к классической линейной теории упругости изотропного тела; в настоящее время выражение (3.13) является общеизвестным и общепринятым. Таким образом, для слоистых композитов применительно к плоской задаче (Рис. 3.25) в рам- ках континуальной теории разрушения (п. 3.3.2) получаем теоретический предел прочности при одноосном сжатии в следующем виде   1 1( ) .Т a m a m m aП G G S G S G    (3.14) В Предисловии к [57] (т. 1, стр. 20, 21) для композитов сформулированы условия, когда можно применять континуальную модель или теорию (модель однородного анизотропного тела с усредненными свойствами или параметрами). Для формулиров- ки обсуждаемых условий введены два геометрических параметра: параметр L харак- теризует рассматриваемые механические процессы (характер изменяемости механи- ческих рассматриваемых полей по пространственным переменным); параметр h ха- рактеризует среднее значение расстояний между центрами соседних частиц во внут- ренней структуре композита. Введенный геометрический параметр L соответствует: в статических задачах – минимальным расстояниям, на которых существенно изме- няются поля напряжений и деформаций; в задачах о распространении волн – длине волны; в задачах устойчивости – длине волны формы (моды) потери устойчивости. С учетом введенных обозначений условие применимости модели однородного анизо- тропного тела с усредненными параметрами (континуальной модели, континуальной теории) можно представить в виде .L h (3.15) В рассматриваемом в п. 3.3.3 слоистом композите с чередующимися слоями при- менительно к плоской задаче (Рис. 3.25) при потере устойчивости по периодической форме вдоль 10x (Рис. 3.25) в соответствии с [57] (т. 1, стр. 305) выбираем в качестве параметров L и h в (3.15) следующие величины: L ~ l , где l − длина полуволны (вдоль слоев) формы потери устойчивости; h ~  2 a mh h , где  2 a mh h − общая 36 толщина слоя наполнителя и слоя связующего. С учетом выбранных параметров и соотношения (3.15) условие применимости континуальной модели для плоской зада- чи (Рис. 3.25) можно представить в виде  2 .a mh h l  (3.16) Из (3.16) для параметров волнообразования (в моде потери устойчивости) a и m получаем 1 ; 1 .a m a m h h l l        (3.17) Следует отметить, что в рамках модели кусочно-однородной среды для слоистых композитов (п. 3.3.3) для всех четырех форм потери устойчивости, которые представ- лены на Рис. 3.27 – 3.30, построены характеристические определители, элементы ко- торых также зависят от параметров волнообразования a и m (3.17); отмеченные результаты представлены в монографии [57] (т. 1, глава 3). В указанной монографии на стр. 314 введено понятие об асимптотически точных континуальных теориях внутреннего разрушения (внутренней неустойчивости) слоистых композитов. Континуальная теория внутреннего разрушения, построенная на основе модели однородного тела с усредненными параметрами (свойствами), является асимптоти- чески точной, если ее результаты следуют из результатов теории, построенной на основе модели кусочно-однородного тела, при стремлении параметров волнообразо- вания a и m к нулю с учетом (3.16) и (3.17), т.е. при 0 ; 0 .a m a m h h l l        (3.18) Безусловно, доказательство асимптотической точности рассматриваемой конти- нуальной теории для слоистого композита в случае плоской задачи (Рис. 3.25) можно провести только применительно к четырем модам потери устойчивости, представ- ленным на Рис. 3.27 – 3.30, для которых получены характеристические определители в рамках модели кусочно-однородного тела (п. 3.3.2.1). Для доказательства необхо- димо представить все элементы вышеуказанных характеристических определителей в виде рядов по параметрам a и m (3.18) и вычислить первый член такого разложе- ния всего характеристического определителя. В монографии [57] (т. 1, стр. 316) для плоской задачи (Рис. 3.25) в случае слои- стых композитов с полимерной матрицей строго доказано, что континуальная тео- рия внутреннего разрушения (п. 3.3.2.1) является асимптотически точной и соот- ветствует форме потери устойчивости первого рода (изгибной форме, Рис. 3.27). В этом случае для теоретического предела прочности при одноосном сжатии получено выражение (3.122) монографии [57] (т. 1, стр. 316), которое полностью совпадает с выражением (3.14), полученным в рамках континуальной теории внутреннего разру- шения (п. 3.3.2.1). Из вышеизложенного доказательства также следует, что континуальная теория внутреннего разрушения (п. 3.3.2.1) не описывает разрушения, связанные с формами потери устойчивости второго, третьего и четвертого рода, которые представлены на Рис. 3.28 – 3.30, ввиду следующего соображения. Применительно к формам потери устойчивости второго, третьего и четвертого рода при анализе, соответствующем условиям (3.18), не приходим к результатам, имеющим непосредственный физиче- ский смысл; более подробно этот вопрос рассмотрен в монографиях [54] (глава 3) и [57] (т. 1, стр. 304 – 312). В монографиях [30] за 1971 г. и [31] за 1973 г., а также в статьях [216] за 1969 г., [179] за 1982 г. и [177] за 2001 г. было отмечено, что при численных исследованиях обнаружено – рассмотрение форм потери устойчивости третьего (Рис. 3.29) и четвер- того (Рис. 3.30) рода не приводит к получению критических нагрузок ниже, чем по 37 формам потери устойчивости первого (Рис. 3.27) и второго (Рис. 3.28) рода; в после- дующие годы вышеизложенная информация последовательно представлена в моно- графиях [54] (глава 3) и [57] (т. 1, глава 3). Из вышеприведенных сведений следует вывод, что при анализе асимптотической точности континуальной теории внутрен- него разрушения (внутренней неустойчивости), изложенной в п. 3.3.2.1, достаточно рассматривать формы потери устойчивости первого (Рис. 3.27) и второго (Рис. 3.28) рода, исследованные в рамках модели кусочно-однородного тела (среды, материала) в п. 3.3.3.1. Необходимо отметить, что аналогичные исследования были проведены в рамках модели кусочно-однородной среды и ТЛТУДТ для слоистых композитов (в рамках подхода и метода п. 3.3.3.1) применительно к пространственной задаче в случае ком- позитов с полимерной матрицей (хрупкое разрушение), а также применительно к плоской и пространственной задачам в случае композитов с металлической матрицей (пластическое разрушение). Во всех вышеуказанных случаях при исследовании были получены такие же результаты, как и для слоистых композитов с полимерной матри- цей применительно к плоской задаче, обсуждаемые результаты представлены доста- точно подробно в монографиях [54] (глава 3) и [57] (т. 1, глава 3). Таким образом, можно считать, что выше в общем случае доказано следующее Утверждение. Утверждение. Для слоистых композитных материалов с полимерной и ме- таллической матрицей континуальная теория (п. 3.3.2.1) внутреннего разруше- ния, построенная на основе модели однородного материала с усредненными па- раметрами и ТЛТУДТ, имеет следующие свойства: 1) является асимптотически точной и соответствует форме потери устойчи- вости первого рода (изгибной моде, Рис. 3.27); 2) не описывает внутреннее разрушение, соответствующее форме потери устойчивости второго рода (моде растяжения, Рис. 3.28). Поскольку потеря устойчивости во внутренней структуре слоистого композита и вызванный старт разрушения возникает при меньшем значении критической нагрузки (из двух значений критических нагрузок, соответствующих формам потери устойчи- вости первого (Рис. 3.27) и второго (Рис. 3.28) рода), то обсуждаемый анализ можно продолжить и целесообразно выделить три характерных случая. Первый случай. При разрушении реализуется форма потери устойчивости пер- вого рода и не реализуется форма потери устойчивости второго рода. В этом случае обсуждаемая континуальная теория описывает разрушение. Второй случай. При разрушении может реализоваться и форма потери устой- чивости первого рода, и форма потери устойчивости второго рода. В этом случае, как следует из Таблиц 3.1. и 3.2 монографий [54] (стр. 182, 183) и [57] (т. 1, стр. 300, 301), величины критических нагрузок, вычисленные в рамках модели кусочно-однородной среды (п. 3.3.3.1) и ТЛТУДТ для форм потери устойчивости первого (Рис. 3.27) и вто- рого (Рис. 3.28, мода растяжения) рода, отличаются незначительно в рассмотренных примерах [54] и [57] (т. 1). Таким образом, и во втором случае обсуждаемая контину- альная теория дает надежную информацию о величине теоретического предела прочности; по-видимому, в рассматриваемом случае целесообразно расширить коли- чество анализируемых числовых примеров. Третий случай. При разрушении не реализуется форма потери устойчивости первого рода и реализуется форма потери устойчивости второго рода. В этом случае в соответствии с вышесформулированным Утверждением обсуждаемая континуаль- ная теория внутреннего разрушения (п. 3.3.2.1) при сжатии не описывает внутреннее разрушение слоистых композитов при сжатии. Для выяснения пригодности выраже- ния (3.14) для определения теоретического предела прочности слоистых композитов в рассматриваемом третьем случае, по-видимому, целесообразно провести численное исследование для ряда слоистых композитов с привлечением подхода п. 3.3.3.1 в рам- ках модели кусочно-однородного материала применительно к форме потери устойчи- вости второго рода (Рис. 3.28, мода растяжения). 38 Вышеизложенными в настоящем п. 3.3.3.3.1 сведениями ограничимся при анализе континуальной теории внутреннего разрушения композитов при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала, изложенной в п. 3.3.2.1, применительно к слоистым композитам при сжатии вдоль слоев (Рис. 3.25 и 3.26). 3.3.3.3.2. О построении метода исследования для сложных форм потери устойчивости слоистых композитов. При исследовании устойчивости слоистых композитов в рамках модели кусочно-однородной среды (материала, тела) и ТЛТУДТ (§2 настоящей обзорной статьи) во всех анализируемых формах потери устойчивости выделялись множители ( 1 1 1sin l x  − в случае плоских задач, Рис. 3.25; 1 1 1(sin )l x   1 2 2(cos )l x  − в случае пространственных задач, Рис. 3.26), где 1l и 2l − длины полу- волны форм потери устойчивости вдоль слоев. Таким образом, в рамках модели «бесконечно длинных слоев» принима- лось, что каждый из слоев теряет устой- чивость по одинаковой периодической (в фазе или противофазе) форме потери ус- тойчивости вдоль слоев. При рассматри- ваемых формах потери устойчивости плос- кости с одинаковой фазой в форме поте- ри устойчивости (вдоль координаты 1x в случае плоских задач (Рис. 3.25) и вдоль координат 1x и 2x в случае простран- ственных задач (Рис. 3.27), в общем случае вдоль слоев) расположены перпендикуляр- но слоям. Все же более сложными являются формы потери устойчивости, которые являются периодическими вдоль слоев, но плоскости с одинаковой фазой в форме по- тери устойчивости расположены произвольно относительно плоскости слоев. Для более четкой характеристики форм потери устойчивости в обсуждаемом слу- чае введено понятие о плоскости  , которая состоит из точек композита, имеющих одинаковую фазу (по координатам вдоль слоев) в форме потери устойчивости; при этом плоскость  занимает произвольное положение, определяемое ортом нормали n (Рис. 3.32), и форма потери устойчивости является периодической по координатам вдоль слоев (по 1x − в случае плоской задачи, Рис. 3.25; по 1x и 2x − в случае про- странственной задачи, Рис. 3.26). В первом октанте на Рис. 3.32 плоскость  заштри- хована и определяется ортом n нормали с составляющими 2 2 2 1 2 3 1 2 3, , ; 1.n n n n n n   (3.19) В статье [376] в явном виде построены решения системы статических уравнений ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи) для слоистых композитов применительно к вышеука- занным формам потери устойчивости и показано, что при предложенном подходе по- лучаем конечного порядка характеристический определитель, элементы которого представляются в замкнутом виде. Целесообразно отметить, что применительно и к обсуждаемым формам потери устойчивости относятся сведения п. 3.3.1 об общности подхода второго направления и его полному соответствию общепринятому и стро- гому методу исследования явления потери устойчивости – анализу поведения малых возмущений в рамках линеаризированных трехмерных динамических задач; лишь в силу выполнения достаточных условий применимости метода Эйлера в [376] ограни- чились построением решений статических уравнений ТЛТУДТ. 3.3.3.3.3. Выводы из последовательного анализа теории Дау-Грунфеста- Розена-Шурца. Краткие сведения о формировании названия «теория Дау-Грунфеста- Розена-Шурца» представлены в заключительной части п. 3.1.2 настоящей обзорной статьи. Обсуждаемые результаты указанной теории (по классификации настоящей статьи) относятся к первому направлению (весьма приближенные подходы), весь- Рис. 3.32 39 ма краткой характеристике которого посвящен п. 3.1.2; целесообразно отметить, что в п. 3.1.2 сформулировано пять групп основных приближенных допущений, которые характерны для первого направления исследований. Характерным представителем первого направления, как уже отмечалось в п. 3.1.2, является статья [551], которая опубликована на английском языке в 1965 г. и на русском языке в 1967 г. в виде статьи [161], которая, по-видимому, была первой публикацией (в первом направлении) с результатами теоретического характера и которая вошла в многотомные издания энциклопедического характера по разрушению [160] и по композитам [127]. В связи с вышеизложенным анализ теории Дау- Грунфеста-Розена-Шурца проводится по результатам статей [551, 161]; целесообразно отметить, что к обсуждаемым публикациям относятся все пять групп приближенных допущений, указанных в п. 3.1.2. Анализ результатов обсуждаемой теории целесооб- разно проводить на основании соответствующих результатов второго направления, в которых, как уже отмечалось в начале п. 3.1.3.1, не принимаются вышеуказанные пять групп приближенных допущений. Такой анализ теории Дау-Грунфеста-Розена- Шурца проводился в монографии [54] за 1990 г. на стр. 206 – 214, в монографии [57] (т. 1) за 2008 г. на стр. 328 – 335 и в сокращенном виде в обзорной статье [65] за 2016 г. на стр. 22 – 26. Вышеуказанный анализ обсуждаемой теории проводился на основании результатов для слоистых композитов, полученных в рамках второго направления и, частично, изложенных в настоящем пункте 3.3.3; в связи с этим данный п. 3.3.3.3.3, посвященный изложению выводов из обсуждаемого анализа, включен в п. 3.3.3. От- метим, что основные результаты статей [551, 161] представлены ниже на Рис. 3.33, в который входят Фиг. 3.22 – 3.24 статьи [161]. Для удобства анализа обсуждаемых результатов целесообразно отметить, что все величины, относящиеся к наполнителю (армирующие элементы, волокна, слои и т.п.) и к матрице (связующее), отмечены индексами: « a » и « m» − в настоящей обзорной статье; « B » и « M » − в обсуждаемой статье [161] и на Рис. 3.33, в который вошли Фиг. 3.22, 3.23 и 3.24 статьи [161], являющейся переводом на русский язык статьи [551]. Из обсуждения и анализа результатов статей [551, 161], которые представлены в монографиях [54, 57], можно сделать следующие краткие выводы. 1. При анализе закономерностей в волокнистом композите применяется, по суще- ству, модель слоистого композита, поскольку исследования проводятся в рамках плоской задачи в плоскости 0x y (Рис. 3.33, Фиг. 3.22), хотя применяется терминоло- гия, соответствующая волокнистому композиту. При этом вышеуказанное моделиро- вание никак не обосновывается. 2. Обсуждаемая теория имеет качественные противоречия, ниже ограничимся формулировкой двух позиций. 2.1. Теория [551, 161] не допускает (не описывает) потери устойчивости (внут- ренней неустойчивости) по сдвиговой моде композита (ни при каких соотношениях между жесткостными и геометрическими параметрами композита). Отметим, что «сдвиговая» мода (Фиг. 3.22б на Рис. 3.33) соответствует форме потери устойчивости первого рода (Рис. 3.27). Этот вывод следует при строгом анализе (в соответствии с подходами, изложенными в п. 3.1.1 возле Рис. 3.3) из выражения (В.26) на стр. 96 [161], которое свидетельствует, что зависимость типа ( )p p  (3.2) для выражения (В.26) [161] имеет монотонный характер – типа кривой B на Рис. 3.2. В монографии [54] сформулированный вывод фактически изложен в более подробном виде на стр. 207 – 209 [54]. В рамках второго направления (более строго и точного по сравнению с [551, 161] строго доказано (например, в заключительной части п. 3.3.3.1 настоящей обзор- ной статьи), что потеря устойчивости во внутренней структуре (внутренняя неустой- чивость) по «сдвиговой» или «изгибной» моде может возникать или не возникать в зависимости от соотношений между жесткостными и геометрическими парамет- рами композита. В частности, неустойчивость по «сдвиговой» или «изгибной» моде (форме потери устойчивости первого рода, Рис. 3.27) возникает при малых концен- трациях наполнителя, что отмечено в монографии [54] на стр. 209. 40 Рис. 3.33 В вышеизложенном заключается первое качественное противоречие теории [551, 161]. 2.2. Теория [551, 161] при больших концентрациях наполнителя (армирующих эле- ментов, волокон и т.п.) приводит к физически некорректному результату для «сдвиго- вой» или «изгибной» моды (формы потери устойчивости первого рода, Рис. 3.27). Так, из выражения (3.29) [161] на стр. 82 следует, что теоретический предел прочности при сжатии стремится к «бесконечности», когда 1B  (в [161] через B обозначена объ- емная концентрация наполнителя). В рамках второго направления (более строгого и точного по сравнению с [551, 161]) строго доказано, что в вышеуказанной ситуации теоретический предел прочно- сти на сжатие стремится к конечной величине [57] (т. 1, стр. 189, выражение (2.71)); отмеченный результат также следует из выражения (3.14) при 1aS  и 1 0m aS S   , где aS ~ B . Таким образом, в вышеизложенном заключается второе качественное противо- речие теории [551, 161]. 41 3. Обсуждаемая теория имеет количественные погрешности, ниже ограничимся формулировкой двух позиций. 3.1. Результаты теории [551, 161] и соответствующие результаты второго направления для слоистых композитов существенно отличаются друг от друга при малых и больших концентрациях наполнителя (армирующие элементы, волокна, слои и т.п.). Отмеченный вывод представлен в монографии [54] на стр. 210. 3.2. Результаты теории [551, 161] и соответствующие результаты второго направ- ления для слоистых композитов при довольно малых концентрациях наполнителя (ар- мирующие элементы, волокна, слои и т.п.) могут отличаться друг от друга в три раза и более. Отмеченный вывод изложен в верхней части стр. 211 монографии [54]. Таким образом, обсуждаемая теория Дау-Грунфеста-Розена-Шурца (в виде пуб- ликаций [551, 161]) и ее количественные результаты имеют существенные каче- ственные противоречия и количественные погрешности по отношению к теории и результатам, построенным с обычно принятой точностью в механике деформируемых тел (второе направление, построенное на основе ТЛТУДТ). В связи с этим для опре- деления достоверности отдельных конкретных результатов, полученных в рамках обсуждаемой теории, необходимо проводить дополнительные исследования. Следует отметить, что вышесформулированные выводы из анализа статей [551, 161], представленные в сокращенной форме, соответствуют обзорной статье [65] за 2016 г. на стр. 24 – 26; в наиболее полной форме соответствующий анализ и выводы изложены в монографии [54] за 1990 г. на стр. 206 – 214. Также целесообразно отметить, что вышесформулированные выводы из анализа статей [551, 161] совместно с пятью группами основных приближенных допущений, которые сформулированы в п. 3.1.2 и которые характерны для первого направления исследований (п. 3.1.2), дают определенное представление обо всех исследованиях первого направления. Все же, как уже неоднократно подчеркивалось, в настоящей статье не ставилась цель изложить обзор исследований по первому направлению для слоистых композитов. Вышесформулированными сведениями ограничимся при рассмотрении результатов, относящихся к п. 3.3.3 (Слоистые композиты. Модель кусочно-однородной среды). 3.3.4. Волокнистые однонаправленные композиты. Модель кусочно-однород- ной среды. В настоящем пункте (п. 3.3.4) в весьма краткой форме приведена инфор- мация о механике разрушения при сжатии (вдоль волокон) волокнистых однонаправ- ленных композитов с полимерной и металлической матрицами, построенной на осно- ве модели кусочно-однородной среды (тела, материала). В этом случае отдельно для материалов матрицы (связующего) и каждого волокна (армирующего элемента) при- меняются основные соотношения ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи) и на границах раз- дела (interface) в виде цилиндрических поверхностей принимаются условия непре- рывности напряжений и перемещений. Исследования проводятся для хрупкого и пла- стического разрушения; в последнем случае предварительно принимается обобщен- ная концепция продолжающегося нагружения, в краткой форме изложенная в §2 настоящей обзорной статьи. В соответствии с основным подходом, изложенным в п. 3.3.1, в рассматриваемом случае исследований приходим к анализу статических уравнений и соответствующих граничных условий ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи) для кусочно-однородной среды и на заключительном этапе исследований приходим к задаче на собственные значения с привлечением аппарата ТЛТУДТ. Целесообразно отметить, что в настоящем п. 3.3.4 приводится только информация о результатах, по- лученных для волокнистых однонаправленных композитов, в поверхностях раздела которых отсутствуют дефекты; в связи с этим для результатов, представленных в п. 3.3.4, выполняются условия непрерывности векторов напряжений и перемещений на всех цилиндрических поверхностях раздела. Основные результаты получены для внутреннего разрушения (потеря устойчивости во внутренней структуре, внутренняя неустойчивость), результаты для которого изложены в монографии [57] (т. 1, глава 4), и для приповерхностного разрушения (потеря устойчивости в приповерхностных сло- ях внутренней структуры, приповерхностная неустойчивость), результаты для кото- 42 рого изложены в монографии [57] (т. 1, глава 6); частично основные результаты также представлены в монографиях [30, 31, 54] и в весьма краткой форме в обзорной статье [65]. Предварительно обсуждаемые результаты для волокнистых однонаправленных композитов были опубликованы в статьях, основные из которых вошли в список ли- тературы к настоящей обзорной статье и вошли в перечень основных статей, относя- щихся ко всему второму направлению и приведенному во вводной части §3 настоя- щей обзорной статьи; дополнительную информацию об опубликованных статьях можно получить из списков литературы к монографиям [30, 31, 54, 57]. Основные результаты для волокнистых однонаправленных композитов в виде характеристиче- ских определителей для внутреннего и приповерхностного разрушения изложены в единой общей форме для теорий 1, 2 и 3 в соответствии с терминологией п. 2.2 и вводной части п. 2.4. Ниже в настоящем п. 3.3.4 обсуждаются в весьма краткой форме лишь основные результаты по механике разрушения волокнистых однонаправленных композитов при сжатии вдоль волокон, полученные в рамках модели кусочно-однородной среды и ТЛТУДТ, основы математического аппарата которой в краткой форме изложены в §2 настоящей обзорной статьи; при этом учитывается краткое изложение рассматривае- мого вопроса в обзорной статье [65]. 3.3.4.1. Внутреннее разрушение. При исследовании внутреннего разрушения (внутренней неустойчивости) рассматривается волокнистый однонаправленный ком- позит, который занимает бесконечное пространство (Рис. 3.1), применяются статиче- ские уравнения ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи), что обосновано в п. 3.3.1, и анализ проводится в соответствии с процедурой, изложенной в п. 3.1.1, с учетом подхода, изложенного возле Рис. 3.3. Также принимается, что укорочения вдоль волокон в мат- рице и волокнах (в докритическом состоянии при сжатии вдоль волокон) совпадают, что соответствует Примечанию 3.8. Целесообразно отметить следующую ситуацию. В волокнистых однонаправлен- ных композитах при сжатии вдоль волокон (Рис. 3.1), в отличие от слоистых компози- тов при сжатии вдоль слоев (Рис. 3.2), может возникнуть в докритическом состоя- нии неоднородное напряженное состояние, зависящее от пространственных перемен- ных в плоскости поперечного сечения. Однородное докритическое состояние может возникать только в двух случаях: первый – материалы волокон и матрицы являются несжимаемыми; второй – материалы волокон и матрицы имеют одинаковые коэффи- циенты Пуассона ( a m  ). Указанное условие не выполняется, когда коэффициенты Пуассона материалов волокна не равны ( a m  ); в этом случае получаем неодно- родное докритическое состояние. В связи с этим возникает вопрос о необходимости учитывать (в задачах устойчивости волокнистых однонаправленных ком- позитов) неоднородность докритиче- ского состояния для случая a m  . В монографии [57, т. 1, глава 4, §1, стр. 391 – 396] на примере одного волокна исследован этот вопрос; при этом для неоднородного докритического состо- яния достаточно точные результаты получены численным методом. Так, на Рис. 3.34 представлена зависимость величин 10Т  ( Т − теоретическое значение предельного укорочения) и /кр крR l  (критическое значение па- раметра волнообразования / ;R l  R − радиус поперечного сечения во- Рис. 3.34 43 локна; l − длина полуволны (вдоль оси волокна) формы потери устойчивости) от па- раметра 1lg( )a mE E . Кривые для величины кр отмечены цифрами 1, кривые для величины 10Т  отмечены цифрами 2; сплошные кривые относятся к случаю 0,2a  и 0,4m  (докритическое состояние неоднородное), штриховые кривые относятся к случаю 0,2a m   (докритическое состояние однородное) и штрих- пунктирные кривые относятся к случаю 0,4a m   (докритическое состояние од- нородное). Отметим, что на Рис. 3.34 для величины 10Т  сплошные и штрихпунк- тирные линии практически совпадают. Также отметим, что случай 0,2a  и 0,4m  согласно Табл. 0.1 и Табл. 0.2 [57, т. 1, с. 67 и с. 68] соответствует наиболь- шему отличию в коэффициентах Пуассона для типичных наполнителей и связующих. Из анализа результатов на Рис. 3.34 и Табл. 4.1 [57, т. 1, с. 395] сделан следующий вывод: при 1 20a mE E  , выполняя исследования с точностью до 5%, можно не учи- тывать неоднородность докритического состояния, вызванную различием в значе- ниях коэффициентов Пуассона для наполнителя и связующего, и проводить исследо- вания при равных значениях коэффициента Пуассона 0,3a m   . Сформулирован- ный вывод дает возможность обоснованно применять общие решения статических уравнений ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи, пп. 2.5.1 и 2.5.2), которые получены для однородных докритических напряженных состояний; все изложенные ниже результа- ты для волокнистых однонаправленных композитов получены указанным способом. Для волокнистых однонаправленных композитов при сжатии вдоль волокон (Рис. 3.1) возникают различные задачи в зависимости от структуры композита в плоскости по- перечного сечения и рассматриваемых расчетных схем. На Рис. 3.35 (в плоскости по- перечного сечения) показаны следующие расчетные схемы. 1. Одно волокно (Рис. 3.35, а) – для волокнистых композитов с малой концен- трацией наполнителя, когда соседние во- локна не взаимодействуют между собой. 2. Два волокна (Рис. 3.35, б) – для во- локнистых композитов с малой концен- трацией наполнителя, когда вследствие нерегулярности структуры при потере устойчивости могут взаимодействовать два соседних волокна. 3. Один периодический ряд волокон (Рис. 3.35, в) – для волокнистых компози- тов периодической структуры, когда при потере устойчивости волокна в пределах одного ряда взаимодействуют между собой, а соседние ряды волокон не взаимодействуют между собой (весьма малые расстояния между волокнами в одном ряду, весьма большие расстояния между соседними рядами). 4. Несколько периодических рядов волокон (Рис. 3.35, г) – для волокнистых ком- позитов периодической структуры, когда при потере устойчивости волокна в преде- лах каждого ряда взаимодействуют между собой, ряды волокон в пределах группы рядов взаимодействуют между собой и различные группы рядов не взаимодействуют между собой. 5. Двоякопериодическая структура волокон (Рис. 3.35, д) – для волокнистых ком- позитов двоякопериодической структуры при весьма малых расстояниях между со- седними волокнами, когда при потере устойчивости необходимо учитывать взаимо- действие в рамках модели двоякопериодической структуры. Количество вариантов исследований для волокнистых однонаправленных компо- зитов определяется не только количеством расчетных схем, приведенных на Рис. 3.35 (всего 5 расчетных схем), но и тем, что для каждой расчетной схемы необходимо ис- следовать различные формы (или типы форм) потери устойчивости, определяемые Рис. 3.35 44 свойствами симметрии в плоскости поперечного сечения. Безусловно, после проведения исследова- ний по различным формам потери устойчивости необходимо проводить минимизацию полученных всех собственных чисел (обычно первых собствен- ных чисел для каждого типа форм потери устойчи- вости) с целью определения критического значения укорочения вдоль оси волокон. Для примера на Рис. 3.36 показаны (в плоскости поперечного сечения) различные типы форм потери устойчивости для двух волокон (Рис. 3.35, б). Так, Рис. 3.36, а соответствует формам потери устойчиво- сти в одной фазе из плоскости волокон; Рис. 3.36, б соответствует формам потери устойчивости в про- тивофазе из плоскости волокон; Рис. 3.36, в соот- ветствует формам потери устойчивости в противофазе в плоскости волокон; Рис. 3.36, г соответствует формам потери устойчивости в одной фазе в плоскости волокон. Общий метод решения вышесформулированных задач, который применялся при исследовании всех задач по механике внутреннего разрушения при осевом сжатии волокнистых однонаправленных композитов в рамках второго направления, вклю- чает следующие составные элементы. Применение для волокон и матрицы общих ре- шений статических уравнений ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи, пп. 2.5.1 и 2.5.2) в кру- говых цилиндрических координатах. Представление решения в виде суммы решений в локальных цилиндрических координатах в форме рядов Фурье с неопределенными коэффициентами, включающих специальные функции кругового цилиндра. Получе- ние характеристических уравнений в виде бесконечных характеристических опреде- лителей с вычислением элементов в явном виде. Доказательство, что указанные бес- конечные характеристические определители для несоприкасающихся волокон явля- ются определителями нормального типа. Отмеченное доказательство обосновывает при приближенном определении корней замену бесконечных определителей конеч- ными определителями, т.е. применять метод усечения. Обоснование практической сходимости указанного метода посредством сравнения значений корней, получаю- щихся при увеличении порядка усеченных определителей. Вышеуказанным методом получены многочисленные результаты по внутреннему разрушению при сжатии волокнистых однонаправленных композитов с полимерной и металлической матрицами; достаточно подробное и последовательное изложение этих результатов представлено в монографии [57, т. 1, глава 4]. По-видимому, отмеченные результаты являются в настоящее время наиболее точными и строгими; кроме того, метод позволяет уточнять полученные результаты для несоприкасающихся волокон. Пример. Весьма кратко рассмотрим определение экспериментальных и теорети- ческих пределов прочности при одноосном сжатии вдоль волокон для металлокомпо- зита (однонаправленный волокнистый бороалюминиевый композит с 50% содержани- ем волокон бора, 0,5a mS S  ) ВКА-1 с волокнами бора диаметром 140 мкм; общий вид образцов из бороалюминия представлен на Рис. 3.37 и на Рис. 3.38 при значитель- ном увеличении представлена внутренняя структура бороалюминиевого композита в поперечном сечении. Обсуждаемые результаты были опубликованы в статье [95] и сравнительно подробно изложены в монографии [57] (т. 1, глава 4, с. 486 − 488), где можно получить более подробную информацию. При теоретических исследованиях применялась теория 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) в соответствии с терминологией п. 2.2 настоящей статьи; также рассматривалось пла- стическое разрушение, под которым в соответствии с Примечанием 3.7 понимается этап нагружения, когда вся матрица находится в состоянии пластического дефор- мирования. В связи с этим для описания пластического деформирования матрицы применялось соотношение (3.8) в рамках модели несжимаемого изотропного пласти- ческого материала. В рассматриваемом волокнистом однонаправленном бороалюми- Рис. 3.36 45 ниевом композите в качестве матрицы применялся технический алюминий АД – 1, для которого (применительно к отожженным и неотожженным образцам) определя- лись параметры mA и mk , входящие в соотношение (3.8); более подробные сведения по этому вопросу изложены в монографии [57] (т. 1, глава 4, с. 486 − 488). Так были определены [95]: 130МПа; 0,43 для отожженной матрицы (алюминия); 70МПа; 0,25 для неотожженной матрицы(алюминия). m m m m A k A k       (3.20) Интересно отметить, что величины mA и mk для неотожженного алюминия (3.20) полностью совпадают с числовыми значениями соответствующих величин при треть- ей аппроксимации в (3.9). Отметим, что по существу рассматривались два металло- композита (отожженный и неотожженный); при экспериментальных исследованиях было разрушено 32 отожженных и 14 неотожженных образца, для которых были оп- ределены экспериментальные пределы прочности. Теоретические пределы прочности были определены в рамках континуальной теории разрушения (п. 3.3.2.1) и в рамках модели кусочно-однородной среды для волокнистых однонаправленных композитов (п. 3.3.4.1) при расчетной схеме композита двоякопериодической структуры (Рис. 3.35, д). Вышеуказанные результаты представлены в Табл. 3.1, которая соответствует Табл. 4.10 [57] (т. 1, глава 4, с. 487). Из анализа результатов, представленных в Табл. 3.1, следует, что континуальная теория разрушения дает результаты, весьма близкие к средним экспериментальным результатам, а механика разрушения в рамках модели кусочно- однородной среды дает результаты, весьма близкие к максимальным эксперименталь- ным результатам. Таблица 3.1 Материал 3( ) ,эк  МПа 3( ) ,Т  МПа max min Среднее Континуальная теория Модель кусочно- однородной среды Отожженный 965 501 665 736 958 Неотожженный 1716 1049 1282 1467 1972 Дополнительную информацию о результатах по внутреннему разрушению волок- нистых однонаправленных композитов, обсуждаемых в настоящем п. 3.3.4.1, можно получить из монографии [57] (т. 1, глава 4). Необходимо отметить, что при определе- нии теоретических пределов прочности при одноосном сжатии вдоль волокон бороа- Рис. 3.37 Рис. 3.38 46 люминиевого композита при пластическом разрушении в рамках континуальной тео- рии разрушения (п. 3.3.2.1) вычисления проводились в первом приближении, как и в примере п. 3.3.2.1, результаты которого приведены на Рис. 3.23. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов (Табл. 3.1) по опреде- лению предела прочности при одноосном сжатии вдоль волокон, рассматриваемых бо- роалюминиевых однонаправленных композитов позволяет сделать следующие выводы. 1. Для континуальной теории разрушения (п. 3.3.2) получаем близкие значения теоретического предела прочности на сжатие по сравнению со средними значениями указанной величины, полученными из эксперимента; так, в случае отожженного ма- териала эти результаты отличаются друг от друга на 11%, а в случае неотожжённого – на 14,4%. 2. Механика разрушения с использованием модели кусочно-однородной среды (п. 3.3.4.1) дает значения теоретического предела прочности при одноосном сжатии, близкие максимальным значениям предела прочности при сжатии, полученным экс- периментально. Так, в случае отожженного материала отличие между этими результа- тами составляет 1%, а в случае неотожжённого – 15%. Вышеизложенными сведениями ограничимся при рассмотрении результатов по внутреннему разрушению волокнистых однонаправленных композитов при сжатии вдоль волокон; обсуждаемые результаты получены в рамках модели кусочно- однородной среды и ТЛТУДТ, основные положения которой и соответствующий ма- тематический аппарат изложены в §2 настоящей обзорной статьи. 3.3.4.2. Приповерхностное разрушение. Рассмотрим в весьма краткой форме информацию о результатах о приповерхностном разрушении волокнистых однона- правленных композитов, полученных в рамках модели кусочно-однородной среды; достаточно подробная информация по этому вопросу содержится в монографии [57] (т. 1, глава 6). При исследовании поверхностной не- устойчивости рассматривается волокнистый однонаправленный композит (Рис. 3.1), ко- торый занимает полупространство; при этом граничной поверхностью является плоскость, проходящая параллельно одно- направленным волокнам (Рис. 3.1). В связи с вышеизложенным в плоскости попереч- ного сечения волокнистого однонаправ- ленного композита (Рис. 3.1) при исследо- вании поверхностной неустойчивости рас- сматривается полуплоскость (Рис. 3.39) с различными структурами, соответствую- щими характерным расчетным схемам. На Рис. 3.39 показано 5 характерных расчетных схем, описание которых можно провести по аналогии с описанием предыдущего п. 3.3.4.1, где это описание приведено приме- нительно к внутреннему разрушению. Отметим, что на Рис. 3.39, как и на Рис. 3.35 и 3.36, темными кружочками изображены поперечные сечения волокон. При исследо- вании поверхностной неустойчивости волокнистых однонаправленных композитов анализируются формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от гра- ницы нижнего полупространства на Рис. 3.39, что определяется дополнительным ус- ловием. При формировании структуры решения дополнительно к структуре решения предыдущего пункта 3.3.4.1 вводится дополнительное слагаемое в виде интегрально- го преобразования Фурье, обеспечивающее удовлетворение граничным условиям на плоской границе нижнего полупространства. С учетом вышеуказанной структуры представления решения в дальнейшем применялся метод решения, информация о ко- тором представлена перед Примером предыдущего п. 3.3.4.1. Конкретные результаты получены о приповерхностном разрушении однонаправ- ленных волокнистых композитов с полимерной и металлической матрицами. Доста- точно подробное изложение результатов по рассматриваемой проблеме представлено в монографии [57] (т. 1, глава 6). Рис. 3.39 47 3.3.4.3. О построении метода исследования для сложных форм потери устой- чивости волокнистых однонаправленных композитов. При исследовании устой- чивости волокнистых однонаправленных композитов (п. 3.3.4.1 и 3.3.4.2) в рамках модели кусочно-однородной среды (материала, тела) и ТЛТУДТ (§2 настоящей об- зорной статьи) во всех анализируемых формах потери устойчивости выделялся мно- житель 1 3sin l x  , где координата 3x отсчитывается вдоль волокон и l – длина по- луволны формы потери устойчивости также вдоль волокон. Таким образом, в рамках модели «бесконечно длинных волокон» принималось, что каждый из армирующих элементов (волокна) теряет устойчивость по одинаковой периодической форме поте- ри устойчивости вдоль волокон. В определенном смысле подтверждением реализации вышеуказанных форм потери устойчивости являются результаты экспериментальных исследований для композитов с полимерной (эпоксидная смола) матрицей; результа- ты таких экспериментов представлены на Рис. 3.5 – для композита со стеклянными волокнами и на Рис. 3.6 – для композита с углеродными волокнами. При рассматриваемых формах потери устойчивости плоскости с одинаковой фа- зой в форме потери устойчивости (вдоль координаты 3x , вдоль волокон) в композите расположены перпендикулярно оси 30x (перпендикулярно волокнам); в связи с этим, по-видимому, можно считать, что разрушение распространяется по указанным плос- костям. В определенном смысле подтверждением вышеуказанной процедуры относи- тельно форм потери устойчивости является строгое доказательство (п. 3.3.2.1) в рамках континуальной теории разрушения (п. 3.3.2) того, что (при хрупком разруше- нии) разрушение распространяется по плоскостям, которые являются перпендикуляр- ными направлению действия сжимающих нагрузок. Отметим, что в континуальной теории разрушения (п. 3.3.2) рассматривается сжатие вдоль направления преимуще- ственного армирования (в данном случае – вдоль волокон и слоев). Все же приведен- ные рассуждения с привлечением результатов континуальной теории для обоснования одного из составляющих моментов теории в рамках модели кусочно-однородной сре- ды являются недостаточно логичными и последовательными, поскольку континуаль- ная теория разрушения является приближенной и менее строгой по сравнению с тео- рией на базе модели кусочно-однородной среды. В связи с вышеизложенным представляется достаточно целесообразным разра- ботка метода исследования в теории устойчивости волокнистых однонаправленных композитов, позволяющего анализировать более общие формы потери устойчивости по сравнению с формами потери устойчивости, которые рассмотрены в пп. 3.3.4.1 и 3.3.4.2. Безусловно, наряду с разработкой метода исследования также весьма необходи- мым является анализ конкретных классов задач для формирования общих выводов. В статье [319] для волокнистых однонаправленных композитов (Рис. 3.1) при од- ноосном сжатии вдоль волокон для наиболее сложной двоякопериодической структу- ры, которая показана в плоскости поперечного сечения (на Рис. 3.35 д), предложен метод исследования для более сложных форм потери устойчивости. Метод статьи предназначен для исследований в рамках модели «бесконечно длинных волн» (вдоль оси 30x ), когда сжатие осуществляется вдоль оси 30x и формы потери устойчивости также являются периодическими вдоль оси 30x , но плоскости  на Рис. 3.32 с оди- наковой фазой вдоль 30x (в форме потери устойчивости) занимают произвольное по- ложение, определяемое ортом n нормали к плоскости  . Для волокнистых однона- правленных композитов в [319] в круговых цилиндрических (локальных для каждого волокна) координатах построены в явном виде решения статических уравнений ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи), соответствующие произвольному положению плос- кости  , применительно к наиболее сложной двоякопериодической структуре, кото- рая в плоскости поперечного сечения показана на Рис. 3.35 д. Для обсуждаемого слу- чая в [319] отмечено, что при реализации рассматриваемого метода исследования по- лучаем характеристическое уравнение в виде бесконечного определителя; при этом 48 доказывается, что бесконечный определитель является определителем нормального типа для несоприкасающихся волокон, что в свою очередь обосновывает возможность определения корней методом усечения бесконечного определителя при численном исследовании, практическая же сходимость достигается путем сравнения результатов при увеличении порядка усеченного определителя. Целесообразно отметить, что при- менительно к обсуждаемым формам потери устойчивости при сжатии волокнистого однонаправленного композита относятся сведения п. 3.3.1 об общности подхода вто- рого направления и его полному соответствию общепринятому и строгому методу исследования явления потери устойчивости – анализу поведения малых возмущений в рамках линеаризированных трехмерных задач; лишь в силу выполнения достаточных условий применимости метода Эйлера в [319] ограничились построением решений статических уравнений ТЛТУДТ. Безусловно, подход [319] позволяет осуществить (при соответствующих измене- ниях) переход к более простым периодическим структурам для волокнистых одно- направленных композитов, которые в плоскости поперечного сечения показаны на Рис. 3.35, в, г. В настоящее время конкретные результаты получены лишь для про- стейшей периодической структуры, для которой поперечное сечение однонаправлен- ного волокнистого композита представлено на Рис. 3.35, в − это один периодический ряд волокон в бесконечной матрице. К расчетной схеме, представленной на Рис. 3.35, в, приходим в случае волокнистых однонаправленных композитов периодической струк- туры, когда при потере устойчивости волокна в пределах одного ряда взаимодей- ствуют между собой, а соседние ряды волокон не взаимодействуют между собой (весьма малые расстояния между соседними волокнами в одном ряду, весьма большие расстояния между соседними рядами). Обсуждаемые результаты представлены в ста- тьях [405] за 2002 г., [406] за 2005 г. и (первоначального характера) в [425] за 1991 г. в рамках теории 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) в соот- ветствии с терминологией п. 2.2 настоящей статьи для хрупкого разрушения (при мо- делировании материалов волокон и матрицы линейно-упругим изотропным телом); краткое изложение обсуждаемых результатов представлено в обзорной статье [65] на стр. 43 – 46. В вышеуказанных публикациях сделан следующий вывод – в исследуе- мой ситуации наименьшее критическое напряжение соответствует форме потери устойчивости, когда плоскость  (Рис. 3.32) перпендикулярна волокнам при сжатии вдоль волокон. Этот вывод соответствует экспериментальным результатам, изложенным в п. 3.2.1, и методам исследования внутреннего разрушения, применяе- мым в п. 3.3.3.1 для слоистых композитов и в п. 3.3.4.1 для волокнистых однонаправ- ленных композитов, в рамках модели кусочно-однородного материала (среды, тела) и ТЛТУДТ (§2 настоящей обзорной статьи). В заключение к п. 3.3.4 целесообразно отметить следующую ситуацию. В этом пункте в весьма краткой форме обсуждены основные результаты по механике хрупко- го и пластического внутреннего и приповерхностного разрушения волокнистых одно- направленных композитов при сжатии вдоль волокон, полученные в рамках модели кусочно-однородной среды и ТЛТУДТ (§2 настоящей статьи) применительно к волок- нам кругового поперечного сечения. В вышеуказанной постановке также получены соответствующие результаты для волокнистых однонаправленных композитов с во- локнами некругового поперечного сечения; указанные результаты представлены в ста- тьях [82, 409, 410, 538, 539], а также в других статьях, которые не вошли в список ли- тературы к настоящей обзорной статье. Вышеизложенными сведениями ограничимся в §3 настоящей обзорной статьи при изложении и анализе результатов по Проблеме 1 (Разрушение в композитных мате- риалах при сжатии вдоль армирующих элементов). Заключение к §3. Необходимо отметить, что §3, посвященный Проблеме 1, в на- стоящей обзорной статье занимает существенный объем; указанная ситуация объяс- няется следующими тремя соображениями. 49 1. Автор настоящей обзорной статьи и его ученики занимаются исследованиями по Проблеме 1 уже 50 лет; первые статьи были опубликованы еще в 1969 г. ([25, 26]). 2. По Проблеме 1 получены существенные результаты в монографиях, статьях и докладах на международных конференциях; основные публикации, указанные в спис- ке литературы к настоящей обзорной статье, отмечены во вводной части §3. 3. Полученные в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института ме- ханики имени С.П.Тимошенко НАНУ результаты по Проблеме 1 уже получили опре- деленное признание мирового научного сообщества. В качестве примера можно ука- зать публикацию специального выпуска известного журнала «Applied Mechanics Re- views» (USA) еще в 1992 г. Micromechanics of composite materials: Focus on Ukrainian research // Appl. Mech. Reviews (Special Issue, A.N.Guz – Guest Editor). – 1992. – 45, № 2. – Р. 13 – 101. Обсуждаемый специальный выпуск включен в список литературы настоящей об- зорной статьи под № 534, где указаны названия статей, входящих в этот выпуск, и их авторы. В связи с вышеизложенной ситуацией (большой объем §3) описание результатов и их анализ применительно к Проблемам 2 – 8 будут представлены в более сокра- щенном виде. §4. Проблема 2. Модель коротких волокон в теории устойчивости и в меха- нике разрушения композитных материалов при сжатии. В настоящем параграфе в достаточно краткой форме (по сравнению с Проблемой 1, §3 настоящей статьи) излагаются основные результаты по обсуждаемой проблеме, полученные в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ с 1999 г.; при этом изложение рассматриваемых результа- тов представлено в стиле, анонсированном во Введении в настоящую статью (без привлечения аспектов математического характера). Также приведена информация о некоторых результатах экспериментальных исследований, соответствующих форми- рованию обсуждаемой проблемы. Основные результаты по рассматриваемой проблеме, полученные сотрудниками отдела динамики и устойчивости сплошных сред, представлены в монографии [64] за 2015 г., в обзорной статье [65] за 2016 г. и в статьях [66, 67, 252 – 254, 362 – 368, 504], а также в ряде других, которые не вошли в список литературы к настоящей статье; более подробный список литературы представлен в монографии [64] и в обзорной статье [65]. По рассматриваемому научному направлению подготовлена и защищена диссер- тация на степень доктора физико-математических наук (DSc) В.А.Декретом. Целесообразно отметить, что композитные материалы создаются как со сравни- тельно длинными волокнами (предмет рассмотрения механики разрушения для этих материалов при сжатии в Проблеме 1), так и с достаточно короткими волокнами (ар- мирующими элементами). При экспериментальных исследованиях при сжатии в слу- чае композитов с короткими волокнами было обнаружено явление потери устойчиво- сти во внутренней структуре композита с формами потери устойчивости, которые не являются периодическими вдоль осей волокон и которые характерны для коротких волокон в матрице. Теория устойчивости при сжатии в рассматриваемом случае, что соответствует построению механики разрушения, описывающей начало (старт) раз- рушения, была развита с привлечением ТЛТУДТ (§2 настоящей обзорной статьи), построенной с обычно принятой точностью в механике деформируемых тел; основ- ные результаты были получены автором и его учениками, включая и конкретные ре- зультаты в рамках плоской задачи для композитов различной структуры. 4.1. Экспериментальные результаты по потере устойчивости во внутренней структуре композитов при сжатии. Случай коротких волокон. Прежде всего, как и в п. 3.2.1 для случая «длинных» волокон, так и в настоящем п. 4.1 для случая «ко- ротких» волокон, необходимо отметить, что анализируемое явление (потеря устойчи- вости во внутренней структуре) не наблюдается для однородных материалов (в рам- ках модельных представлений); оно характерно только для композитов (как для структурно-неоднородных материалов, в которых наличие внутренней структуры учитывается на различных уровнях их анализа). Модель «бесконечно длинных воло- 50 кон», очевидно, применима к сравнительно длинным волок- нам (армирующим элементам). Apriori можно ожидать, что в случае сравнительно коротких армирующих элементов (во- локон) формы потери устойчивости во внутренней структуре композита могут существенно отличаться от форм потери устойчивости, представленных на Рис. 3.4 – 3.6 и соответст- вующих модели «бесконечно длинных волокон». В качестве примера рассмотрим результаты экспериментальных иссле- дований, опубликованных в статье [554] в 2004 г. и относя- щихся к устойчивости достаточно коротких углеродных нановолокон в полимерной матрице. На Рис. 4.1, соответст- вующем публикации [554], показаны формы потери устойчи- вости двух коротких углеродных нановолокон; причем в пра- вом нижнем углу Рис. 4.1 указан масштаб изображения в на- нометрах. Формы потери устойчивости на Рис. 4.1 не имеют ничего общего с формами потери устойчивости, которые представлены на Рис. 3.4 – 3.6. Так, на Рис. 3.4 – 3.6 формы потери устойчивости являются периодическими синусои- дальными (вдоль волокон) формами с достаточно большим числом периодов; на Рис. 4.1 формы потери устойчивости коротких нановолокон приближенно могут быть аппрокси- мированы синусоидальными формами с одним полупериодом, в этом случае величины критических значений нагрузок и укорочений существенно зависят от граничных условий на торцах армирующих элементов (волокон). Таким образом, можно считать, что вышеприведенные сведения, относящиеся к Рис. 4.1, являются экспериментальным обоснованием модели «волокон конечных раз- меров». Учитывая вышеизложенные сведения и соображения, относящиеся к Рис. 3.4 – 3.6 и 4.1, можно считать, что модель «бесконечно длинных волокон» и модель «волокон конечных размеров» имеют экспериментальное обоснование, но они применимы к различного типа композитам. Так, модель «бесконечно длинных волокон» применима к композитам со сравнительно длинными армирующими элементами (волокнами); модель же «волокон конечных размеров» применима к композитам с достаточно короткими армирующими элементами (волокнами); заметим, что отмеченные сооб- ражения, следующие из экспериментальных результатов на Рис. 3.4 – 3.6 и 4.1, отно- сятся лишь к исследованию явления потери устойчивости во внутренней структуре композита. 4.2. Постановка задач. Прежде всего, отметим, что в настоящем §4 рассматри- ваются композиты, образованные короткими волокнами (в качестве армирующих элементов, наполнителя), которые находятся в матрице (связующем). При этом при- нимается, что указанные композиты имеют оси симметрии свойств материала; сле- дует отметить, что чрезвычайно сложно создавать элементы конструкций из материа- лов, не имеющих осей симметрии свойств материала; в связи с этим вышеизложенное предположение представляется вполне целесообразным. Наличие осей симметрии свойств композита обеспечивается способом укладки армирующих элементов (в рас- сматриваемом случае – коротких волокон). При сжатии вдоль осей симметрии свойств композита в соответствии с Общей концепцией внутреннего разрушения (п. 3.1.1) и Общей концепцией приповерхно- стного разрушения (п. 3.1.3.2) старт (начало) разрушения в рассматриваемых случаях определяется появлением потери устойчивости во внутренней структуре компози- та (внутренняя неустойчивость) или в приповерхностных слоях внутренней струк- туры композита (приповерхностная неустойчивость). Таким образом, при указан- ном сжатии построение механики разрушения осуществляется построением теории внутренней и приповерхностной потери устойчивости рассматриваемых композитов. Рис. 4.1 51 В настоящем §4 приводятся в краткой форме основные результаты, полученные автором статьи и его учениками, по построению механики разрушения (в указанном выше смысле) при сжатии композитов, армированных короткими волокнами (в каче- стве наполнителя); обсуждаемые результаты получены в рамках модели кусочно- однородной среды (тела, материала) и ТЛТУДТ, основы которой изложены в §2 на- стоящей обзорной статьи. Как уже неоднократно отмечалось, указанный подход (мо- дель кусочно-однородной среды с привлечением ТЛТУДТ) является наиболее после- довательным и строгим в механике деформируемых тел. Ниже на Рис. 4.2, а, … , е приведены основные наиболее простые расчетные схе- мы, относящиеся к Проблеме 2 (Модель коротких волокон в теории устойчивости и в механике разрушения композитов при сжатии), когда «на бесконечности» (при 1x   ) композит сжимается усилиями интенсивности constP  . а б в г д е Рис. 4.2 52 1. Одно короткое волокно (Рис. 4.2, а) – для композитов с малой концентрацией наполнителя, когда соседние волокна не взаимодействуют между собой ни в докрити- ческом состоянии, ни при потере устойчивости. В этом случае рассматривается одно волокно в бесконечной (по координатам 1 2 3, ,x x x ) матрице и исследуются формы поте- ри устойчивости, которые затухают при удалении от волокна (при 1 2 3, ,x x x  ). 2. Два коротких волокна, расположенных на одной линии (Рис. 4.2, б), – для ком- позитов с малой концентрацией наполнителя, когда вследствие нерегулярности структуры могут взаимодействовать два соседних волокна (Рис. 4.2, б) в докритичес- ком состоянии и при потере устойчивости. В этом случае рассматриваются два волокна (Рис. 4.2, б) в бесконечной (по координатам 1 2 3, ,x x x ) матрице и исследуются формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от волокна (при 1 2 3, ,x x x  ). 3. Два коротких волокна, расположенных параллельно (Рис. 4.2, в), − для компо- зитов с малой концентрацией наполнителя, когда вследствие нерегулярности структуры могут взаимодействовать два соседних волокна (Рис. 4.2, в) в докритическом состоянии и при потере устойчивости. В этом случае рассматриваются два волокна (Рис. 4.2, в) в бесконечной (по координатам 1 2 3, ,x x x ) матрице и исследуются формы потери устой- чивости, которые затухают при удалении от волокна (при 1 2 3, ,x x x  ). 4. Один периодический ряд коротких волокон, расположенных на одной линии (Рис. 4.2, г), − для композита периодической структуры, когда в докритическом со- стоянии и при потере устойчивости два соседних волокна в пределах одного перио- дического ряда взаимодействуют между собой, а соседние ряды волокон не взаимо- действуют между собой (малые расстояния между соседними волокнами в одном ря- ду, весьма большие расстояния между соседними рядами). В этом случае рассматри- вается периодический ряд волокон (Рис. 4.2, г) в бесконечной (по координатам 2x и 3x ) матрице при выполнении условий периодичности по координате 1x и исследуют- ся формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от ряда волокон (при 2x и 3x  ) и которые являются периодическими по координате 1x . 5. Один периодический в направлении оси 20x ряд коротких волокон, располо- женных параллельно (Рис. 4.2, д) – для композита периодической структуры, когда в докритическом состоянии и при потере устойчивости два соседних волокна в преде- лах одного периодического ряда взаимодействуют между собой, а соседние ряды во- локон не взаимодействуют между собой (малые расстояния между соседними волок- нами в пределах одного периодического ряда, весьма большие расстояния между со- седними рядами). В этом случае рассматривается периодический (по координате 2x ) ряд волокон (Рис. 4.2, д) в бесконечной (по координатам 1x и 3x ) матрице при выпол- нении условий периодичности по координате 2x и исследуются формы потери устой- чивости, которые затухают при удалении от ряда волокон (при 1x и 3x  ) и кото- рые являются периодическими по координате 2x . 6. Одно короткое волокно вблизи свободной поверхности 2 0x  (Рис. 4.2, е) – для композитов с малой концентрацией наполнителя, когда соседние волокна не взаимо- действуют между собой ни в докритическом состоянии, ни при потере устойчивости; при этом в силу нерегулярности структуры существуют волокна, расположенные вблизи свободной поверхности 2 0x  и взаимодействующие со свободной поверхно- стью и в докритическом состоянии и при потере устойчивости. В этом случае рас- сматривается одно волокно в полубесконечной матрице (в нижнем полупространстве ( 2 0x  )), которое взаимодействует с границей нижнего полупространства (на границе при 2 0x  выполняются определенные граничные условия в докритическом состоя- нии и соответствующие однородные граничные условия при потере устойчивости); 53 при этом анализируются формы потери устойчивости, которые затухают при удале- нии от границы полупространства и волокна (при 2x  ) и при удалении только от волокна (при 1x и 3x  ). Следует отметить, что шестая расчетная схема (Рис. 4.2, е) является самой про- стейшей расчетной схемой при исследовании приповерхностного разрушения; без- условно, количество простейших расчетных схем при исследовании приповерхност- ного разрушения можно существенно расширить, если в расчетных схемах, представ- ленных на Рис. 4.2, б – д, предусмотреть введение границы полупространства. Вышеизложенные расчетные схемы (Рис. 4.2, а – е) при применении математиче- ского аппарата ТЛТУДТ, изложенного в §2 настоящей обзорной статьи, являются са- мыми простейшими расчетными схемами механики разрушения композитов, армиро- ванных короткими волокнами в качестве наполнителя, при сжатии вдоль волокон (применительно к внутреннему и приповерхностному разрушениям) в случае прове- дения исследований в рамках модели кусочно-однородной среды (материала, тела). Возникающие при этом задачи являются сугубо трехмерными (пространственными) задачами ТЛТУДТ; как уже отмечалось в п. 3.3.1, при действии внешних нагрузок в виде «мертвых» нагрузок, что общепринято в механике композитов, строго доказано выполнение достаточных условий применимости статического метода исследова- ния устойчивости (п. 2.4.2 – первый результат) и, таким образом, рассматриваемые задачи сводятся к трехмерным статическим задачам на собственные значения, т.е. применяется метод Эйлера. Таким образом, обсуждаемые исследования в рамках второго направления или подхода (п. 3.1.3) полностью соответствуют общеприня- тому и строгому методу исследования явления потери устойчивости – анализу пове- дения малых возмущений в рамках линеаризированных трехмерных динамических задач. Как уже отмечалось выше, сформулированные задачи механики разрушения ком- позитов, армированных короткими волокнами, при сжатии вдоль волокон, расчетные схемы для которых представлены на Рис. 4.2, а – е, являются статическими трех- мерными (пространственными) задачами ТЛТУДТ. Для композитов существуют и двумерные статические задачи ТЛТУДТ, для которых расчетные схемы являются двумерным аналогом трехмерных статических задач и расчетных схем, представлен- ных на Рис. 4.2, а – е, − это двумерные задачи (плоская деформация) композитов лен- точной структуры. Композиты ленточной структуры. Обычно под композитами ленточной струк- туры понимаются композиты, в которых наполнителем являются тонкие ленты раз- личной формы. В настоящем §4 будем рассматривать композиты, в которых наполни- телем являются достаточно длинные ленты плоской формы, расположенные парал- лельно и имеющие форму поперечного сечения постоянную вдоль всей длины. При построении расчетных схем армирующие ленты будем считать бесконечны- ми в направлении оси 30x ( 3x    , ось 30x направлена перпендикулярно к плоскости рисунка); в этом случае можно рассматривать двумерные задачи (плоская деформация) в плоскости 1 20x x и поперечное сечение ленты будем называть арми- рующим элементом, что и представлено на Рис. 4.3, а – е темным цветом. На Рис. 4.3, а – е представлено в плоскости 1 20x x шесть расчетных схем, визуально соответствую- щих Рис. 4.2, а – е, где армирующие элементы (поперечные сечения лент) представ- лены темными прямоугольниками; кратко рассмотрим описание указанных на Рис. 4.3, а – е шести расчетных схем, учитывая аналогию в описании шести расчетных схем, представленных трехмерных (пространственных) задач ТЛТУДТ на Рис. 4.2, а – е. 1. Один армирующий элемент (Рис. 4.3, а) − для композитов с малой концентра- цией наполнителя, когда соседние армирующие элементы не взаимодействуют между собой ни в докритическом состоянии, ни при потере устойчивости. В этом случае рас- сматривается один армирующий элемент в бесконечной (по координатам 1x и 2x ) матрице и исследуются формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от армирующего элемента (при 1 2,x x  ). 54 P P 1x 2x 2l 1m 2m 1l r а б в г д е Рис. 4.3 2. Два армирующих элемента, расположенных на одной линии (Рис. 4.3, б), – для композитов с малой концентрацией наполнителя, когда вследствие нерегулярности структуры могут взаимодействовать два соседних армирующих элемента (Рис. 4.3, б), расположенных на одной линии, в докритическом состоянии и при потере устойчиво- сти. В этом случае рассматриваются два соседних армирующих элемента, располо- женных на одной линии (Рис. 4.3, б), в бесконечной (по координатам 1x и 2x ) матри- це и исследуются формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от двух соседних армирующих элементов (при 1 2,x x  ). 3. Два армирующих элемента, расположенных параллельно (Рис. 4.3, в), − для композитов с малой концентрацией наполнителя, когда вследствие нерегулярности структуры могут взаимодействовать два соседних армирующих элемента (Рис. 4.3, в), расположенных параллельно, в докритическом состоянии и при потере устойчивости. В этом случае рассматриваются два соседних армирующих элемента, расположенных параллельно (Рис. 4.3, в), в бесконечной (по координатам 1x и 2x ) матрице и иссле- P P 1x 2x 2l 1m 2m 1l r 55 дуются формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от двух арми- рующих элементов (при 1 2,x x  ). 4. Один периодический ряд армирующих элементов, расположенных на одной линии (Рис. 4.3, г), − для композита периодической структуры, когда в докритическом состоянии и при потере устойчивости два соседних армирующих элемента в пределах одного периодического ряда взаимодействуют между собой, а соседние периодиче- ские ряды армирующих элементов не взаимодействуют между собой (малые расстоя- ния между двумя соседними армирующими элементами в одном периодическом ряду, весьма большие расстояния между соседними периодическими рядами армирующих элементов). В этом случае рассматривается один периодический ряд армирующих элементов, расположенных на одной линии (Рис. 4.3, г), в бесконечной (по координа- те 2x ) матрице при выполнении условий периодичности по координате 1x и иссле- дуются формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от периодиче- ского ряда армирующих элементов (при 2x  ) и которые являются периодиче- скими по координате 1x . 5. Один периодический в направлении оси 20x ряд армирующих элементов, рас- положенных параллельно (Рис. 4.3д) – для композита периодической структуры, ко- гда в докритическом состоянии и при потере устойчивости два соседних армирующих элемента в пределах одного периодического ряда взаимодействуют между собой, а соседние периодические ряды армирующих элементов не взаимодействуют между собой (малые расстояния между двумя соседними армирующими элементами в одном периодическом ряду, весьма большие расстояния между соседними периодическими рядами армирующих элементов). В этом случае рассматривается один периодический (по координате 2x ) ряд ар- мирующих элементов (Рис. 4.3, д), расположенных параллельно, в бесконечной (по координате 1x ) матрице при выполнении условий периодичности по координате 2x и исследуются формы потери устойчивости, которые затухают при удалении от ряда армирующих элементов (при 1x   ) и которые являются периодическими по ко- ординате 2x . 6. Один армирующий элемент вблизи свободной поверхности 2 0x  (Рис. 4.3, е) – для композитов с малой концентрацией армирующих элементов, когда соседние армирующие элементы не взаимодействуют между собой ни в докритическом состоя- нии, ни при потере устойчивости; при этом в силу нерегулярности структуры сущест- вуют армирующие элементы, расположенные вблизи свободной поверхности 2 0x  и взаимодействующие со свободной поверхностью и в докритическом состоянии и при потере устойчивости. В этом случае рассматривается один армирующий элемент в полубесконечной матрице (в нижней полуплоскости ( 2 0x  )), который взаимодейст- вует с границей нижнего полупространства (на границе при 2 0x  выполняются оп- ределенные граничные условия в докритическом состоянии и соответствующие одно- родные граничные условия при потере устойчивости); при этом анализируются фор- мы потери устойчивости, которые затухают при удалении от границы полуплоскости и армирующего элемента (при 2x  ) и при удалении только от армирующего элемента. Следует отметить, что шестая расчетная схема (Рис. 4.3, е) является самой про- стейшей расчетной схемой при исследовании приповерхностного разрушения в рам- ках плоской задачи (плоская деформация); безусловно, количество простейших рас- четных схем при исследовании приповерхностного разрушения в рамках плоской за- дачи (плоская деформация) можно существенно расширить, если в расчетных схемах, представленных на Рис. 4.3, б –д, предусмотреть введение границы полуплоскости. 56 Вышеприведенные расчетные схемы (Рис. 4.3, а – е) при применении математиче- ского аппарата ТЛТУДТ, приведенного в §2 настоящей обзорной статьи, являются самыми простейшими расчетными схемами механики разрушения композитов (с наполнителем в виде рассматриваемых коротких армирующих элементов) при сжатии вдоль армирующих элементов (применительно к внутреннему и приповерхностному разрушениям) в случае проведения исследований в рамках модели кусочно- однородной среды (материала, тела) для плоской задачи (плоская деформация). Воз- никающие при этом задачи являются сугубо двухмерными задачами ТЛТУДТ; как уже отмечалось в п. 3.3.1, при действии внешних нагрузок в виде «мертвых» нагрузок, что общепринято в механике композитов, строго доказано выполнение достаточных условий применимости статического метода исследования устойчивости (п. 2.4.2 – первый результат) и, таким образом, рассматриваемые задачи сводятся к двухмерным статическим задачам на собственные значения, т.е. применяется метод Эйлера. Таким образом, обсуждаемые исследования в рамках второго направления или под- хода (п. 3.1.3) полностью соответствуют общепринятому и строгому методу исследо- вания явления потери устойчивости – анализу поведения малых возмущений в рамках линеаризированных динамических задач применительно к плоской задаче (плоской деформации). Целесообразно отметить еще одно соображение, относящееся к постановке плоских задач (плоская деформация) в рамках второго направления или подхода (п. 3.1.3), рас- четные схемы для которых приведены на Рис. 4.3, а – е. В рамках модели кусочно- однородной среды и второго направления в п. 3.3.3 изложены результаты для слои- стых композитов применительно к плоской (Рис. 3.25) и пространственной (Рис. 3.26) задачам в случае внутреннего и приповерхностного разрушения; при этом слои наполнителя и связующего рассматривались достаточно длинными, что давало воз- можность считать их бесконечными. Если применительно к плоской задаче (Рис. 3.25) считать слои наполнителя короткими (конечных размеров), то приходим к различным схемам, представленным на Рис. 4.3, а – е; таким образом, для плоских задач в плос- кости 1 20x x название «армирующий элемент» (применяемое при описании схем на Рис. 4.3, а – е для обозначения поперечного сечения наполнителя ленточной структу- ры) и название «короткий слой», которое можно применить для обозначения напол- нителя в слоистом композите (Рис. 3.35), совпадает по смыслу. Следовательно, можно считать, что расчетные схемы на Рис. 4.3, а – е относятся к плоским задачам для слои- стых композитов с наполнителем в виде коротких слоев, которые помещены в матри- цу (связующее) и ориентированы вдоль оси 10x (Рис. 4.3, а – е). Таким образом, можно считать, что в настоящем п. 4.2 изложена постановка задач для композитов, армированных однонаправленными короткими волокнами и корот- кими слоями, при сжатии вдоль армирующих элементов с привлечением модели ку- сочно-однородной среды. При этом на Рис. 4.2, а – е представлены расчетные схемы для композита с короткими волокнами, которые соответствуют трехмерным (про- странственным) задачам, и на Рис. 4.3, а –е представлены расчетные схемы для ком- позита с короткими слоями, которые соответствуют двухмерным (плоским) задачам применительно к плоской деформации. Целесообразно отметить, что в предыдущем §2 и в настоящем §3 обсуждаются результаты, которые относятся к достаточно близким проблемам и которые получены для различных расчетных схем, в основном, в рамках модели кусочно-однородных сред (материалов, тел); в связи с этим представляется уместным провести классифи- кацию применяемых расчетных схем, чему и посвящен следующий пункт. 4.3. Классификация расчетных схем. Об аналогиях. В краткой форме рассмот- рим классификацию расчетных схем, которые применяются в §§2 и 3 настоящей об- зорной статьи в рамках модели кусочно-однородной среды. Заметим, что модель ку- сочно-однородной среды (материала, тела) заключается в том, что для описания де- формирования матрицы и отдельно каждого элемента наполнителя применяются со- отношения различных однородных деформируемых тел; при этом на границах раздела 57 наполнителя и матрицы (interface) обеспечивается выполнение определенных (раз- личных в зависимости от постановки задач) условий непрерывности векторов напря- жений и перемещений. Дополнительно отметим, что в модели кусочно-однородной среды (в широком смысле) для описания деформирования матрицы и каждого эле- мента наполнителя необязательно применение трехмерных строгих соотношений классических моделей механики деформируемых тел; возможно применение упро- щенных или усложненных вышеуказанных соотношений с соответствующими рас- четными схемами, при этом условия на поверхности раздела также формулируются в рамках принятых расчетных схем. Учитывая вышеизложенные сведения вводного характера, в настоящем п. 4.3 вы- делим три типа расчетных схем общего характера, которые применяются при постро- ении механики разрушения однонаправленных волокнистых и слоистых композитов при сжатии и которые ниже представлены в виде трех отдельных пунктов. 4.3.1. Модель бесконечно длинных волокон и слоев в рамках первого на- правления исследований. Рассматриваются достаточно длинные волокна и слои (в качестве наполнителя, при этом в случае слоистых композитов, естественно, рассмат- риваются и достаточно длинные слои матрицы); в этом случае в расчетных схемах волокна и слои считаются бесконечно длинными и исследуются периодические (си- нусоидальные) вдоль волокон и слоев формы потери устойчивости. В вышеизложен- ной ситуации, очевидно, в случае волокнистых композитов исследования необходимо проводить в трехмерной (пространственной) постановке и в случае слоистых ком- позитов можно ограничиться исследованием в двухмерной постановке (в рамках пло- ской деформации). С применением обсуждаемого в настоящем п. 4.3.1 подхода исследования прово- дятся в рамках первого направления (весьма приближенные подходы), краткое описание которого с указанием характерных приближенных допущений представлено в п. 3.1.2; следует отметить, что вышеуказанные приближенные допущения вносятся в основные соотношения для наполнителя и матрицы, а также в условия на границе раздела. Вышеотмеченные характеристики особенностей первого направления четко проявляются при рассмотрении общеизвестных и общепринятых публикаций [551] и [161], результаты которых вошли в фундаментальные коллективные издания по раз- рушению [160] и по композитным материалам [127]; краткие сведения по последова- тельному анализу и выводам из этого анализа по публикациям [551] и [161] представ- лены в п. 3.3.3.3.3 настоящей обзорной статьи. Фактически исследования в [551] и [161] проводятся в рамках плоской задачи в плоскости 0x y (Рис. 3.33 соответствует Фиг. 3.22 в [551] и [161]) и армирующие элементы при этом называются волокнами; в действительности же на Рис. 3.33 (Фиг. 3.22) армирующие элементы (в рамках плоской задачи) являются полосами, соответствующими поперечному сечению слоис- тых композитов. Таким образом, в [551] и [161] рассматривается фактически плоская задача для слоистого композита и полученные конкретные результаты Рис. 3.33 (Фиг. 3.23 и 3.24) также относятся к плоской задаче; при обсуждении результатов применяется терминология, соответствующая волокнистому композиту, хотя для волокнистого композита необходимо проводить исследования в рамках трехмерной (простран- ственной) постановки, соответствующей, например, Рис. 4.2, а – е. Учитывая вышеиз- ложенное, можно считать, что в [551] и [161] предложен приближенный подход к исследованию волокнистых композитов, который заключается в следующем: 1) исследования проводятся в рамках плоской задачи для слоистых композитов; 2) полученные результаты количественного характера для слоистых композитов применяются для анализа явлений, которые возникают в волокнистых композитах; 3) применяется терминология, характерная для волокнистых композитов, называя волокнами армирующие элементы в рамках плоской задачи (в рамках плоской задачи армирующие элементы являются полосами). 58 Дополнительно следует отметить, что в вышеуказанном приближенном подходе вопрос о существовании аналогии между слоистыми и волокнистыми композитами при их исследовании не ставится и не комментируется. К тому же результаты [551] и [161] в рамках плоской задачи для слоистых композитов, полученные с привлечением первого подхода (п. 3.1.2), являются достаточно приближенными; как уже отмеча- лось, точность обсуждаемых результатов рассмотрена в п. 3.3.3.3.3 настоящей обзор- ной статьи. 4.3.2. Модель бесконечно длинных волокон и слоев в рамках второго на- правления исследований. Как и в предыдущем п. 4.3.1, рассматриваются достаточно длинные волокна и слои (в качестве наполнителя, при этом в случае слоистых компози- тов, естественно, рассматриваются и достаточно длинные слои матрицы); в этом случае в расчетных схемах волокна и слои считаются бесконечно длинными и исследуются периодические (синусоидальные) вдоль волокон и слоев формы потери устойчивости, что соответствует результатам экспериментальных исследований (Рис. 3.4 – 3.6). В вышеизложенной ситуации, как уже отмечалось в предыдущем п. 4.3.1, очевидно, в случае волокнистых композитов исследования необходимо проводить в трехмерной (пространственной) постановке и в случае слоистых композитов можно ограничиться исследованиями в двухмерной постановке (в рамках плоской деформации). С приме- нением обсуждаемой в настоящем п. 4.3.2 модели исследования проводятся в рамках второго направления (строгие последовательные подходы на основе ТЛТУДТ), краткое описание которого с указанием характерных моментов представлено в п. 3.1.3. Информация о результатах, полученных в рамках модели кусочно-однородной среды (материала, тела) и ТЛТУДТ для упругих и пластических тел с определяющими соотношениями достаточно общего вида, представлена для волокнистых композитов в трехмерной (пространственной) постановке в п. 3.3.4 настоящей обзорной статьи; наиболее полное изложение обсуждаемых результатов помещено в главах 4 и 6 моно- графии [57] (т. 1). Информация о результатах, полученных в рамках модели кусочно- однородной среды (материала, тела) и ТЛТУДТ для упругих и пластических тел с определяющими соотношениями достаточно общего вида, представлена для слои- стых композитов в трехмерной (пространственной) постановке (Рис. 3.26) и в част- ном случае (для плоской деформации, Рис. 3.25) в двухмерной постановке в п. 3.3.3 настоящей обзорной статьи; наиболее полное изложение обсуждаемых результатов помещено в главах 3 и 5 монографии [57] (т. 1). Из вышеизложенной информации об обсуждаемых результатах для волокнистых и слоистых композитов, полученных с привлечением модели бесконечно длинных волокон и слоев, а также модели кусочно-однородной среды в рамках второго на- правления (п. 3.1.3) следует, что в рассматриваемой ситуации не возникает потреб- ность ставить вопрос о существовании аналогий между волокнистыми и слоистыми композитами при их исследовании. Основанием для вышеизложенного вывода явля- ется то положение, что все обсуждаемые в п. 4.3.2 результаты получены в трехмерной (пространственной) постановке для волокнистых и слоистых композитов с полимер- ной и металлической матрицей и с привлечением ТЛТУДТ, что составляет основу второго направления (п. 3.1.3); лишь для плоской задачи (плоская деформация) применительно к слоистым композитам (Рис. 3.25) исследования проведены в двух- мерной постановке, которая в рассматриваемом случае строго следует из трехмерной (пространственной) постановки. Как уже отмечалось в п. 3.3.1, исследования в рам- ках второго направления (второго подхода) полностью соответствуют общеприня- тому и строгому методу исследования явления потери устойчивости – анализу пове- дения малых возмущений в рамках линеаризированных трехмерных динамических задач. Кроме того, модель кусочно-однородной среды и привлечение аппарата ТЛТУДТ, что характерно для второго направления, составляют самый строгий под- ход в механике разрушения композитов при сжатии, который можно представить в рамках механики деформируемого тела. Вышеизложенные соображения относятся также и ко всем результатам, которые обсуждаются в п. 4.3.2. 59 4.3.3. Модель коротких волокон и слоев в рамках второго направления ис- следования. В отличие от пп. 4.3.1 и 4.3.2, в настоящем п. 4.3.3 рассматриваются композиты с достаточно короткими армирующими элементами, когда для обсуждае- мой ситуации неприменима модель бесконечно длинных волокон и слоев; в этом слу- чае и формы потери устойчивости, как следует из экспериментальных исследований (Рис. 4.2), имеют уже другой характер – они не являются периодическими вдоль оси армирующих элементов при сжатии также вдоль армирующих элементов. Примечание 4.1. Характерной особенностью исследуемых задач в рамках модели п. 4.3.3 является неоднородное докритическое состояние (трехмерное – в общем слу- чае волокнистых и слоистых композитов и двухмерное – в частном случае плоских задач для слоистых композитов). В рамках модели настоящего пункта исследуются задачи для волокнистых и сло- истых композитов. В случае волокнистых композитов рассматривается бесконечная матрица, арми- рованная короткими волокнами; простейшие расчетные схемы в этом случае для ис- следования внутреннего разрушения (внутренней неустойчивости) и приповерхност- ного разрушения (приповерхностной неустойчивости) приведены на Рис. 4.2, а – е. Рассматриваемые задачи сводятся к трехмерным статическим задачам ТЛТУДТ (в силу проведения исследования в рамках второго направления) на собственные зна- чения; характерной особенностью обсуждаемых задач является зависимость коэффи- циентов соответствующих систем дифференциальных уравнений от трех простран- ственных переменных. Примечание 4.2. В силу вышеизложенных сведений конкретные результаты для волокнистых композитов, армированных короткими волокнами, для расчетных схем на Рис. 4.2а-е возможны лишь при привлечении численных методов и компьютерной механики. В настоящее время конкретные результаты для расчетных схем на Рис. 4.2, а – е еще не получены ни для первого направления, краткое описание которого представлено в п. 3.1.2, ни для второго направления, краткое описание которого представлено в п. 3.1.3. В случае слоистых композитов возможно рассмотрение двухмерных задач, соот- ветствующих плоской деформации в плоскости 1 20x x на Рис. 4.3, а – е для компози- тов ленточной структуры; в этом случае наполнителем являются достаточно длинные ленты плоской формы, которые являются параллельными вдоль оси 30x (ось 30x на- правлена по перпендикуляру к плоскости Рис. 4.3, а – е) и имеющими форму попе- речного сечения постоянной вдоль всей длины. В обсуждаемой ситуации рассматри- ваются двухмерные задачи в плоскости поперечного сечения для бесконечной двух- мерной матрицы, армированной короткими армирующими элементами, соответст- вующими поперечным сечениям лент; простейшие расчетные схемы в этом случае для исследования внутреннего разрушения (внутренней неустойчивости) и припо- верхностного разрушения (приповерхностной неустойчивости) приведены на Рис. 4.3, а – е. Рассматриваемые задачи сводятся к двухмерным статическим задачам ТЛТУДТ (в силу проведения исследования в рамках второго направления) на собственные значения; характерной особенностью обсуждаемых задач является зависимость коэф- фициентов соответствующих систем дифференциальных уравнений от двух про- странственных переменных. Примечание 4.3. В силу вышеизложенных сведений конкретные результаты для слоистых композитов с короткими армирующими элементами в рамках плоской зада- чи (плоская деформация) применительно к расчетным схемам, представленным на Рис. 4.3, а – е, возможно получить лишь с привлечением численных методов и компь- ютерной механики. В настоящее время конкретные результаты для простейших расчетных схем, представленных на Рис. 4.3, а – е, уже получены для плоской задачи (плоская дефор- мация) в рамках второго направления (модель кусочно-однородной среды и мате- матический аппарат ТЛТУДТ); эти результаты изложены в публикациях (монография, обзорная статья и отдельные статьи), которые указаны во вводной части настоящего §4. 60 Примечание 4.4. Вышеуказанные результаты получены для плоской задачи (рас- четные схемы на Рис. 4.3, а – е); все же учитывая приближенный подход к исследо- ванию волокнистых композитов, указанный в заключительной части п. 4.3.1 и факти- чески предложенный в [551] и [161], полученные результаты для плоской задачи [64, 67, 252 – 254, 362 – 368, 504] в рамках постановки и модели настоящего п. 4.3.3 могут применяться для анализа явлений, которые возникают в волокнистых композитах (в рамках пространственных задач для расчетных схем на Рис. 4.2, а – е). В связи с вы- шеизложенной ситуацией в обсуждаемых публикациях, относящихся к плоской зада- че (плоская деформация), применяется терминология, характерная для волокнистых композитов; при этом короткими волокнами называются армирующие элементы в рамках плоской задачи, представленные на Рис. 4.3, а – е, хотя в действительности на Рис. 4.3, а – е армирующие элементы соответствуют поперечным сечениям наполнителя в виде лент в композитах ленточной структуры. Это Примечание 4.4 можно отнести к постановке плоских задач механики хрупкого разрушения композитов с короткими армирующими элементами при сжатии, которая изложена в следующем п. 4.4 насто- ящего §4. 4.4. Постановка плоских задач механики хрупкого разрушения композитов с короткими армирующими элементами при сжатии. В предыдущих пунктах на- стоящего §4 уделялось достаточно много внимания различным аспектам постановоч- ного характера, относящимся к модели коротких волокон (в общем смысле – корот- ких подкрепляющих элементов) в теории устойчивости и в механике разрушения композитов при сжатии вдоль вышеуказанных коротких подкрепляющих элементов, которые являются наполнителем в композите. В монографии [64] и в обзорной статье [65] обсуждаемая модель называлась моделью «волокон конечных размеров»; по-видимому, для обсуждаемой модели можно предложить еще ряд равнозначных названий. 4.4.1. О постановке задач. Учитывая вышеотмеченные сведения, ниже в настоя- щем п. 4.4.1 приведем в краткой форме основные позиции, относящиеся к постановке плоских задач и методам их исследования при хрупком разрушении с привлечением простейших расчетных схем, представленных на Рис. 4.3, а – е. Основные результаты, относящиеся к постановке задач, методам решения и конкретной информации об ис- следованных задачах, представлены в публикациях [64 – 67, 252 – 254, 362 – 368, 504] и в ряде других; по-видимому, можно считать, что указанные результаты являются первыми результатами в мире по достаточно строгому исследованию для композитов с короткими армирующими элементами применительно к теории устойчивости и хрупкому разрушению при сжатии. Основные положения обсуждаемого подхода, которые определяют постановку за- дач и, естественно, пределы ее применимости, можно определить следующим образом. 1. Анализируется хрупкое разрушение рассматриваемых композитов при сжатии вдоль армирующих элементов, в связи с этим материалы армирующих элементов, в соответствии с Примечанием 4.4 в дальнейшем будем называть волокнами, и матри- цы моделируются линейно-упругими изотропными телами. Целесообразно отметить, что вышеуказанное моделирование при хрупком разрушении композитов можно счи- тать приемлемым при сравнительно краткосрочном действии внешних нагрузок и при умеренных температурах. 2. Исследования проводятся в рамках теории 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) по терминологии п. 2.2 настоящей обзорной статьи; для указанной теории принимается, что докритическое состояние определяется по гео- метрически линейной теории. Целесообразно отметить, что обсуждаемое допущение можно считать приемлемым для сравнительно жестких волокнистых композитов, ко- торые разрушаются преимущественно при сравнительно малых деформациях. 3. Рассматривается нагружение внешними «мертвыми» нагрузками, в этом случае, как уже неоднократно отмечалось в §§3 и 4 настоящей статьи, выполняются доста- точные условия применимости статического метода ТЛТУДТ (метода Эйлера) и об- суждаемые задачи сводятся к статическим двухмерным задачам на собственные зна- чения, при этом коэффициенты соответствующей системы дифференциальных урав- нений зависят от двух переменных (от 1x и 2x в соответствии с Рис. 4.3, а – е). 61 4. На границах раздела наполнителя и матрицы (Рис. 4.3, а – е) принимаются усло- вия непрерывности векторов напряжений и перемещений как при определении докри- тического состояния, так и при исследовании соответствующих задач устойчивости. 5. Для расчетных схем, представленных на Рис. 4.3, а – е, применительно к иссле- дованию внутреннего и приповерхностного разрушения принимаются соответствую- щие условия затухания «на бесконечности», для периодической системы волокон также принимаются соответствующие условия периодичности; обсуждаемые условия достаточно подробно рассмотрены в п. 4.2 применительно к каждой из простейших расчетных схем, представленных на Рис. 4.3, а – е. 6. Исследование проводится в рамках плоской задачи (плоская деформация) с привлечением вышеуказанного варианта ТЛТУДТ в лагранжевых координатах ( 1x , 2x ), которые в отсчетном состоянии (первом, недеформированном) совпадают с де- картовыми координатами. Вышеизложенные основные положения обсуждаемого подхода приведены в соот- ветствии с монографией [64] и обзорной статьей [65]. 4.4.2. О методе численного исследования задач п. 4.4. Как уже отмечалось в Примечании 4.3, рассматриваемые двухмерные статические задачи на собственные значения с переменными коэффициентами в дифференциальных уравнениях, завися- щими от двух переменных 1x и 2x (Рис. 4.3, а – е), могут быть исследованы лишь с привлечением численных методов и компьютерной механики. В связи с этим ниже приведем краткую информацию о численном исследовании задач, расчетные схемы для которых представлены на Рис. 4.3, а – е и постановка которых (основные положе- ния подхода) приведены выше в настоящем п. 4.4.1; при этом целесообразно отме- тить, что вышеуказанные основные положения подхода, изложенные в начале п. 4.4.1, следует рассматривать совместно с обсуждением расчетных схем на Рис. 4.3, а – е, которое изложено в п. 4.2 после Рис. 4.3, а – е. Обсуждаемую краткую информацию представим, следуя обзорной статье [65]; более подробная информация изложена в монографии [64]. Численное решение сформулированных задач выполняется методом конечных разностей с применением вариационно-разностного подхода и использованием базо- вых схем. Указанный общий метод подробно изложен в обзорной статье [504] (при- менительно к широким классам задач механики композитов). Ниже, следуя [65], рас- смотрим основные этапы реализации численного метода [504] применительно к про- стейшей расчетной схеме, представленной на Рис. 4.3, а. Для этого вместо бесконеч- ной области (в расчетной схеме) вводится конечная область, ограниченная внешним прямоугольником с размерами 1 2l l ; отметим, что такой же конечный прямоугольник с размерами 1 2l l указан на всех простейших расчетных схемах Рис. 4.3. При опреде- лении докритического состояния и исследовании соответствующей задачи ТЛТУДТ условия затухания «на бесконечности» заменяются такими же условиями затухания на внешней границе прямоугольника. При этом размеры прямоугольника 1 2l l выби- раются такими, чтобы их дальнейшее увеличение не влияло на конечные результаты (величину критической нагрузки), что определяется в результате вычислительного эксперимента. При помощи прямых, параллельных осям 10x и 20 ,x в расчетной обла- сти (прямоугольника с размерами 1 2l l ) вводится неравномерная по каждому из направлений разностная сетка     , где  − множество внутренних узлов и  − множество граничных узлов; на Рис. 4.4, а показана неравномерная сетка и на Рис. 4.4, б – ячейка. При этом сетка вводится так, чтобы в пределах каждой ячейки материал (или волокна, или матрицы) был однородным; кроме того, предполагается возможность уплотнения сетки в окрестности резкого изменения свойств материала (например, возле линии разделения матрицы и волокна). Предполагается, что уплот- нение сетки возле линий разделения матрицы и волокна можно проводить до такого 62 уровня, чтобы дальнейшее уплотнение сетки не влияло на конечные результаты (вели- чину критической нагрузки), что определяется в результате вычислительного экспе- римента. Таким образом, сеточная область, которая состоит их множества внутренних и граничных узлов, представляет собой совокупность прямоугольных ячеек; каждая из ячеек имеет механические и геометрические характеристики компонента компози- та (связующего или наполнителя), который содержится в данной ячейке. Дискретные задачи на сетке  получаются вариационно-разностным способом с применением концепции базовых схем. Компоненты базовых схем определяются пу- тем аппроксимации и минимизации соответствующего функционала на шаблоне ячейки сетки. Следует отметить, что при реализации указанной процедуры примени- тельно к исследованию задачи устойчивости используются вариационные принципы ТЛТУДТ, в краткой форме изложенные в п. 2.5 настоящей обзорной статьи. Путем суммирования значений базовых схем в каждом узле сеточной области получаются разностные задачи, являющиеся дискретными аналогами соответствующих контину- альных задач. Указанным выше способом формируются в операторной форме разностные зада- чи для определения докритического состояния (в рамках классической линейной тео- рии упругости) и для исследования задачи устойчивости (в рамках ТЛТУДТ в виде теории 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) по терминоло- гии п. 2.2 настоящей обзорной статьи). При этом разностные операторы соответст- вующих задач устойчивости сохраняют свойства самосопряженности и положитель- ной определенности соответствующих дифференциальных операторов. Таким обра- зом, и задача устойчивости сводится к решению соответствующих сеточных уравне- ний, что может быть представленным в виде обобщенной алгебраической задачи на собственные значения. Для получения численных результатов решения алгебраических задач использу- ются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы: метод Холецкого, метод сопряженных градиентов, метод итерирования подпространств, метод градиентного спуска. Вышеприведенными весьма краткими сведениями ограничимся при информации о численном методе исследования задач, постановка которых представлена в п. 4.4.2 и в п. 4.2 после Рис. 4.3, а – е. 4.5. Результаты исследований плоских задач механики хрупкого разрушения композитов с короткими волокнами при сжатии. В настоящем п. 4.5 в весьма краткой форме приведем информацию о конкретных результатах по исследованию плоских задач механики хрупкого разрушения композитов, армированных короткими волокнами, при сжатии; обсуждаемые конкретные результаты получены в рамках по- становки п. 4.4.1 с привлечением метода исследования, краткая информация о кото- ром представлена в п. 4.4.2, применительно к простейшим расчетным схемам на Рис. 4.3, а – е, соответствующим различной структуре рассматриваемых композитов. а б Рис. 4.4 63 Примечание 4.5. В публикациях [64 – 67, 252 – 254, 362 – 368, 504] было введено и использовано понятие – «мысленные» формы потери устойчивости; в связи с этим указанное понятие целесообразно четко определить, поскольку оно также будет при- меняться в настоящем п. 4.5 при анализе конкретных результатов, полученных для расчетных схем на Рис. 4.3, а – е. «Мысленными» формами потери устойчивости называются заранее (до проведе- ния вычислительных экспериментов) представленные общие картины деформирова- ния волокна и окружающей его окрестности матрицы при потере устойчивости, полу- ченные из физических соображений с учетом относительных жесткостных и геомет- рических характеристик волокна и матрицы. Таким образом, «мысленные» формы потери устойчивости не всегда соответ- ствуют отдельным собственным функциям обсуждаемой задачи, а характеризуют об- щую предполагаемую картину деформирования волокна и окружающей его окрестно- сти матрицы. Все же «мысленные» формы потери устойчивости в ряде случаев удоб- ны при анализе конкретных результатов. Пример. Рассмотрим случай, когда жесткость волокна значительно больше жест- кости матрицы; в этом случае можно считать, что при совместном деформировании (волокна и матрицы при потере устойчивости) характер деформирования волокна приближается к модели абсолютно твердого тела. В этом случае единственно воз- можной «мысленной» формой потери устойчивости волокна и окружающей его окрестности матрицы является поворот волокна как абсолютно твердого тела. Вышеизложенное Примечание 4.5 целесообразно отнести к вводной части п. 4.5. 4.5.1. Асимптотический переход к модели «бесконечно длинных волокон». Информацию по обсуждаемому вопросу приведем на основании исследований при- менительно к расчетной схеме Рис. 4.3, а для одного волокна, где введены обозначе- ния: L − длина волокна; D − размер в поперечном сечении; более подробно обсуж- даемый вопрос рассмотрен в статье [363] и в обзорной статье [65]. Вполне очевидно, что при строгой и последовательной постановке задач в случае 1LD  из резуль- татов для расчетной схемы на Рис. 4.3, а, соответствующей модели «коротких воло- кон», должны следовать результаты для расчетной схемы на Рис. 4.5, соответствую- щей модели «бесконечно длинных волокон». Заметим, что на Рис. 4.5 представлены верхняя и нижняя полуплоскости (матрица), которые соединены через бесконечную полосу (наполнитель) шириной D ; рассматривается полоса, которая в соответствии с Примечанием 4.4 в рамках плоской задачи приближенно моделирует бесконечное волокно. Расчетная модель на Рис. 4.5 соответствует Рис. 3.25 (при mh  и 2 ah D ) в п. 3.3.3 настоящей обзорной статьи, где рассматриваются результаты ис- следований для слоистых композитов с привлечением модели «бесконечно длинных Рис. 4.5 64 волокон» (в рассматриваемом случае слоистых композитов – с привлечением модели «бесконечно длинных слоев») в рамках второго направления по терминологии п. 3.1.3 (модель кусочно-однородной среды, последовательные подходы на основе ТЛТУДТ). Результаты сравнительного анализа представлены в виде зависимости величины кр a 11 от геометрического параметра 1LD . В случае модели «бесконечно длинных волокон» (Рис. 4.5) эта величина соответствует критическому значению деформации вдоль оси 10x как для армирующих элементов (волокно, слой), так и для матрицы в силу Примечания 3.3. В случае модели «волокон конечных размеров» или «коротких волокон» величина кр a 11 вводится следующим выражением: крa крa 11 11 1 2 1 2( , ) при 0 и 0x x x x    (4.1) применительно к Рис. 4.3, а; следовательно, величина (4.1) соответствует критиче- скому значению деформации вдоль оси 10x в средней точке армирующего элемента (Рис. 4.3, а), которая характеризует только критическое значение деформации волокна и не характеризует критическое значение деформации матрицы. При этом критиче- ское значение деформации вдоль оси 10x (Рис. 4.3, а) для матрицы, которое определя- ется «на бесконечности», может достигать существенно отличных значений. Указан- ную ситуацию следует обязательно учитывать при сравнении результатов, получен- ных с применением рассматриваемых моделей. На Рис. 4.6 и 4.7 представлены результаты, которые, соответственно, относятся к микро- и нанокомпозитам с полимерной матрицей со следующими механическими свойствами: 2,68ГПаmE  , 0,4m  ; при этом различие между микро- и нанокомпо- зитами устанавливается в соответствии со шкалой уровней, приведенной в моногра- фиях [90, 423]. Для микрокомпозитов вычисления проводились при следующих зна- чениях механических параметров 1 10;30;50;100;150a mE E   ( aE и mE − модули Юнга для волокон и матрицы) в интервале изменения геометрического параметра 110 1510LD  ; на Рис. 4.6 соответствующие кривые отмечены числами значений параметра 1 a mE E  . Для нанокомпозитов вычисления проводились для более высоких значений параметра 1 285;373;448;500;1000a mE E   и в более широком интервале изменения параметра 1LD ( 110 2310LD  ); на Рис. 4.7 соответствующие кривые отмечены числами значений параметра 1 a mE E  . На Рис. 4.6 и 4.7 сплошными линиями Рис. 4.6 65 показаны результаты, относящиеся к модели «коротких волокон», пунктирными ли- ниями показаны результаты, относящиеся к модели «бесконечно длинных волокон». Из анализа результатов, представленных на Рис. 4.6 и 4.7, следует, что для всех рассмотренных значений параметра 1 a mE E  при увеличении геометрического пара- метра 1LD в рассмотренных интервалах критические значения деформации вдоль оси 10x (Рис. 4.3, а), вычисленные в рамках модели «коротких волокон», асимптоти- чески приближаются к критическим значениям, вычисленным в рамках модели «бес- конечно длинных волокон». При этом для верхних значений рассматриваемых интер- валов изменения геометрического параметра критические значения вышеуказанных деформаций практически совпадают, что может быть основой для определения пре- делов применимости модели «бесконечно длинных волокон» в зависимости от значе- ний параметров 1 a mE E  и 1LD . Такого типа результаты анализа приведены в статье [363], обзорной статье [65] и монографии [64]; вышеизложенные результаты настоя- щего п. 4.5.1 представлены в форме, соответствующей обзорной статье [65]. 4.5.2. Результаты для одного волокна при сжатии вдоль волокна. Расчетная схема представлена на Рис. 4.3, а. Постановка задач включает позицию 1 после Рис. 4.3, а – е в п. 4.2, п. 4.3.3 и п. 4.4.1; при этом исследования проводились ме- тодом, краткая информация о котором представлена в п. 4.4.2. Для более четкого обсуждения полу- ченных результатов указанная расчетная схема (Рис. 4.3, а) представлена на Рис. 4.8 совместно с «мысленными» (по терминологии Примечания 4.5) форма- ми потери устойчивости одного короткого волокна (Рис. 4.8) при сжатии вдоль во- локна; при этом рассматриваемые «мыс- ленные» формы (a, b, c и d) представле- ны в нижней части Рис. 4.8. Необходимо отметить, что на Рис. 4.8, как и на других подобных рисунках п. 4.5, относящихся к «мысленным» формам по- тери устойчивости, отрезками «темных» линий изображены формы средних линий Рис. 4.7 Рис. 4.8 66 формы волокон (армирующих элементов) после потери устойчивости. При этом под- разумевается, что окружающая волокна ближайшая окрестность матрицы деформиру- ется при потере устойчивости соответствующим образом в силу положения 4 (п. 4.4.1) постановки плоских задач механики хрупкого разрушения композитов с короткими армирующими элементами при сжатии. Вышеотмеченное положение 4 (п. 4.4.1) за- ключается в том, что на границах раздела наполнителя и связующего (матрицы) (Рис. 4.3, а – е) принимаются условия непрерывности векторов напряжений и перемещений как при определении докритического состояния, так и при исследовании соответствую- щих задач устойчивости. «Мысленные» формы потери устойчивости (a и b на Рис. 4.8) можно назвать симметричными относительно вертикальной оси 20x ; необходимо отметить, что формы a и b являются равнозначными (критические нагрузки совпадают) в силу сим- метричности расчетной схемы на Рис. 4.8 (верхняя часть рисунка) относительно гори- зонтальной оси 10x . Симметричные формы потери устойчивости можно назвать изги- бными формами по аналогии с соответствующими формами потери устойчивости полосы при осевом сжатии. «Мысленные» формы потери устойчивости (c и d на Рис. 4.8) можно назвать ан- тисимметричными формами потери устойчивости относительно вертикальной оси 20x . Антисимметричная форма потери устойчивости c соответствует как бы «жест- кому» повороту волокна (армирующего элемента), когда материал связующего (мат- рицы) не обеспечивает достаточного «поддерживающего» действия, вследствие чего при потере устойчивости поблизости торцов волокна как бы образуется «шарнир», близкий к пластическому шар- ниру. Очевидно, что обсуждае- мая форма потери устойчивости может иметь место, когда арми- рующие элементы и матрица су- щественно отличаются по жест- кости, что характерно для тех- нологических процессов. Анти- симметричная форма потери устойчивости (d) как бы соот- ветствует повороту армирую- щего элемента с изгибом. Полученные результаты численного решения рассматриваемой задачи устойчи- вости представлены на Рис. 4.9 в виде зависимости величины кр 11 , которая характе- ризует критическое значение деформации вдоль оси 10x (Рис. 4.8) для матрицы «на бесконечности», от коэффициента формы армирующего элемента (величины k ) 1 1 1 2 .k m m L D     (4.2) Вычисления проводились для следующих значений параметров: 1 a mE E  =100, 200, 300, 500, 1000; 2,76 ГПа,mE  0,35a m   ; 100 500k  . На Рис. 4.9 приве- дены результаты лишь для трех значений параметра 1 100; 300;1000,a mE E   что и от- мечено возле каждой кривой. Необходимо отметить, что в рассматриваемых вычисле- ниях для матрицы использовались механические свойства (величины mE и m ), соот- ветствующие полиамиду литьевому. Для указанного материала предельное укороче- ние, соответствующее пределу прочности, равно 0,028. На всех кривых на Рис. 4.9 величина критической деформации для матрицы «на бесконечности» (величина кр 11 ), соответствующая потере устойчивости, существенно меньше вышеуказанного зна- чения предельного укорочения для матрицы. Отмеченная ситуация свидетельствует о возможности разрушения обсуждаемого композита при сжатии за счет потери Рис. 4.9 67 устойчивости во внутренней структуре до достижения предела прочности для матрицы. Рассмотрим примеры определения формы потери устойчивости при численном исследовании обсуждаемой задачи; при этом форму потери устойчивости будем харак- теризовать безразмерным перемещением * 2u вдоль вертикальной оси 20x на Рис. 4.8, которое отнесено к амплитудному множителю, согласно следующему выражению        2 2 1 * 2 1 2 1 2 2 1 20 0 , max , . x x u x u x x u x x            (4.3) В верхней части Рис. 4.10 представлены формы потери устойчивости, которые характе- ризуются функцией * 2 1( )u x в виде (4.3), для композита с па- раметрами 1 1000;a mE E   mE  2,76 ГПа; 0,35;a m   при этом кривая 1 относится к слу- чаю 10k  и кривая 2 относит- ся к случаю 30,k  где k определяется выражением (4.2). В нижней части Рис. 4.10 пред- ставлена часть расчетной схемы на Рис. 4.8; причем линейные размеры на верхней и нижней частях Рис. 4.10 вдоль горизонтальной оси 10x совпа- дают, таким образом, торцы волокна соответствуют на верхней части 1 0,5x   . Сле- довательно, на верхней части Рис. 4.10 кривые, иллюстрирующие форму потери устойчивости, относятся: при 1 0,5x  − к короткому волокну; при 10,5 1,0x  − к матрице. Из анализа результатов по численному определению форм потери устойчивости для обсуждаемой задачи, которые представлены на верхней части Рис. 4.10, можно сделать (применительно к части кривых 1 и 2 в пределах короткого волокна, при 1 0,5x  ) следующие выводы: 1. При достаточно коротких волокнах (в рассматриваемом случае при 10,k  где k определяется выражением (4.2)) реализуется форма потери устойчивости (кривая 1), которая соответствует «мысленной» антисимметричной форме (Рис.4.8 – форма с). В этом случае как бы происходит «жесткий» поворот армирующего элемента; более подробное описание формы с представлено выше в настоящем п. 4.5.2. 2. При более длинных волокнах (в рассматриваемом случае при 30,k  где k оп- ределяется выражением (4.2); указанная тенденция сохраняется и при 30k  ) реали- зуется форма потери устойчивости (кривая 2), которая соответствует «мысленной» симметричной или изгибной форме (Рис. 4.8 – форма а); более подробное описание формы а представлено выше в настоящем п. 4.5.2. Таким образом, вышеприведенный анализ и выводы из него свидетельствуют о том, что «мысленные» формы потери устойчивости, рассмотренные в Примечании 4.5, представляются весьма полезными при анализе форм потери устойчивости, получен- ных при численном исследовании. Дополнительные сведения о полученных результатах при исследовании задач, расчетная схема для которых представлена на Рис. 4.3, а, изложены в монографии [64], обзорной статье [65], отдельных статьях [66, 366, 368] и в других публикациях. Рис. 4.10 68 4.5.3. Результаты для последовательно расположенных двух волокон при сжатии вдоль волокон. Расчетная схема представлена на Рис. 4.3, б. Постановка задач включает позицию 2 после Рис. 4.3, а – е в п. 4.2, п. 4.3.3 и п. 4.4.1; при этом исследо- вания проводились методом, краткая информация о котором представлена в п. 4.4.2. Для более четкого обсуждения полученных результатов обсуждаемая расчетная схема (Рис. 4.3, б) представлена на Рис. 4.11 совместно с «мысленными» (по терминологии Примечания 4.5) формами потери устойчивости последовательно расположенных двух коротких волокон (Рис. 4.11) при сжатии вдоль волокон; при этом рассматрива- емые «мысленные» формы (a, b, c и d) представлены в нижней части Рис. 4.11. Необходимо отметить, что на Рис. 4.11, как и на других по- добных рисунках п. 4.5, относя- щихся к «мысленным» формам потери устойчивости, отрезками «темных» линий изображены фор- мы средних линий формы воло- кон (армирующих элементов) после потери устойчивости. При этом подразумевается, что окру- жающая волокна ближайшая ок- рестность матрицы деформиру- ется соответствующим образом при потере устойчивости в силу положения 4 (п. 4.4.1) постанов- ки плоских задач механики хруп- кого разрушения композитов с короткими армирующими эле- ментами при сжатии. Вышеот- меченное положение 4 (п. 4.4.1) заключается в том, что на грани- цах раздела наполнителя и связующего (матрицы) (Рис. 4.3, а – е) принимаются усло- вия непрерывности векторов напряжений и перемещений как при определении докри- тического состояния, так и при исследовании соответствующих задач устойчивости. «Мысленные» формы потери устойчивости a, b, c и d, представленные на нижней части Рис. 4.11 можно характеризовать следующим образом. Изгибная форма потери устойчивости а соответствует случаю, когда каждое ко- роткое волокно (армирующий элемент) теряет устойчивость как бы почти без взаимо- действия с другим коротким волокном (армирующим элементом). Форма потери устойчивости b соответствует случаю, когда возникает как бы жесткий поворот каждого волокна независимо друг от друга. Такой случай может реализовываться для достаточно жесткого материала волокон, когда матрица не обес- печивает надлежащего поддерживающего действия и при потере устойчивости на торцах как бы образуется «шарнир», близкий к пластическому шарниру, и когда во- локна мало взаимодействуют друг с другом. Форма потери устойчивости с соответствует случаю, когда два волокна теряют устойчивость как бы по «одной изгибной форме» (общая изгибная форма потери устойчивости). Такой случай может реализовываться, по-видимому, для достаточно гибких волокон при весьма малом расстоянии между волокнами. Форма потери устойчивости d соответствует случаю, когда два соседних волокна теряют устойчивость как бы при сравнительно жестком взаимном повороте соседних волокон с некоторым изгибом. Такой случай реализуется, по-видимому, для доста- точно жесткого материала волокон, когда матрица между волокнами не обеспечивает надлежащего поддерживающего действия и при потере устойчивости между волок- нами как бы возникает «шарнир», близкий к пластическому шарниру. Построение «мысленных» форм потери устойчивости для расчетной схемы, пред- ставленной в верхней части Рис. 4.11, можно продолжить, рассматривая «мысленные» формы потери устойчивости, представленные в нижней части Рис. 4.11, как первые «мысленные» формы потери устойчивости. Рис. 4.11 69 При численном исследовании дополнительно вводится безразмерный параметр * 1 1 1 ,r r m  характеризующий безразмерное расстояние между торцами двух соседних волокон (Рис. 4.3, б); геометрические размеры 1 2,m m и r указаны на Рис. 4.3, а. Чис- ленные исследования проводились для композита со следующими параметрами: 1 1000;a mE E   a m  =0,35; 2,76 ГПа;mE  1 1 2 100;k m m   0,001 * 1 32;r  необ- ходимо отметить, что вышеуказанное значение параметра 1 a mE E  может возникать в технологических процессах, учитывая существенную зависимость mE от температуры. На Рис. 4.12, а и б (а – при * 1r =1, б – при * 1 0,001r  ) представлено распределение вдоль оси 10x безразмерного перемещения * 2u вдоль вертикальной оси 20x , которое определяется выражением (4.3); эти результаты представлены в верхней части Рис. 4.12, а и б. Из результатов, представленных на Рис. 4.12, а (случай * 1 1r  ), следует, что со- ответствующая форма потери устойчивости (верхняя часть Рис. 4.12, а) достаточно близка к «мысленной» форме потери устойчивости с, которая представлена в нижней части Рис. 4.11 и названа «общей изгибной формой потери устойчивости». а б Рис. 4.12 Из результатов, представленных на Рис. 4.12, б (случай * 1 0,001r  ), следует, что соответствующая форма потери устойчивости (верхняя часть Рис. 4.12, б) достаточно близка к «мысленной» форме потери устойчивости d, которая представлена в нижней части Рис. 4.11 и названа как «взаимный поворот соседних волокон с изгибом при наличии как бы шарнира между торцами». Целесообразно отметить, что на нижней части Рис. 4.11 «мысленные» формы потери устойчивости a, b, c и d, представленные в виде «темных» отрезков кривых линий, относятся лишь к волокнам («темные» от- резки кривых на Рис. 4.11 ограничены вертикальными пунктирными прямыми, соот- ветствующими линейным размерам волокон). В связи с этим сравнение с линиями, представляющими вычисленными формы потери устойчивости на Рис. 4.12, а и б, можно проводить лишь в пределах линейных размеров, соответствующих волокнам; так, на Рис. 4.12, а указанное сравнение можно проводить при 0,5 1x  1,5, а на Рис. 4.12, б – при 0,0005 1x  1,0. Результаты численного исследования вопроса о влиянии взаимодействия двух ко- ротких волокон при их последовательном размещении (расчетные схемы на Рис. 4.3, б и 4.11) на величину критической нагрузки в матрице «на бесконечности» (при 1x   ), которая, как и в п. 4.5.2, обозначена через кр 11 , представлено на Рис. 4.13 в виде зависимости кр 11 от величины * 1r − безразмерного расстояния между торцами в интервале изменения * 1r в виде * 10,001 32.r  Для более компактного представления обсуждаемых результатов на Рис. 4.13 рассматриваемый интервал * 1(0,001 32)r  раз- 70 делен на две части * 1(0,001 0,01)r  и * 1(0,1 32),r  для которых приняты различ- ные масштабы на оси * 10r . Сближение торцов двух коротких цилиндров на Рис. 4.13 Рис. 4.13 соответствует закономерностям, которые представлены на Рис. 4.13 и наблюдаются при движении по оси * 1r справа налево от * 1 32r  до * 1 0,001.r  Так, на интервале от * 1 32r  до * 1 8r  происходит монотонное увеличение величины кр 11 , на интервале от * 1 8r  до * 1 0,001r  происходит монотонное уменьшение величины кр 11 . При этом на интервале от * 1 32r  до * 1 0,005r  форма потери устойчивости соответствует «мыс- ленной» общей изгибной форме с на Рис. 4.11 и на интервале от * 1 0,005r  до * 1 0,001r  форма потери устойчивости соответствует «мысленной» форме «с взаим- ным поворотом и изгибом при наличии шарнира между торцами волокон» (форма d на Рис. 4.11). Таким образом, описан новый механический эффект – немонотонное изме- нение критической деформации при сближении армирующих элементов в композите. Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении полученных ре- зультатов для последовательно расположенных двух коротких волокон при сжатии вдоль волокон. Дополнительную информацию можно получить из монографии [64], отдельных статей [107, 367] и других публикаций. 4.5.4. Результаты для параллельно расположенных двух волокон при сжатии вдоль волокон. Расчетная схема представлена на Рис. 4.3, в. Постановка задач вклю- чает позицию 3 после Рис. 4.3, а – е в п. 4.2, п. 4.3.3 и п. 4.4.1; при этом исследования проводились методом, краткая информация о котором представлена в п. 4.4.2. Ниже приведем в качестве примера лишь один результат, полученный указанным числен- ным методом и относящийся к исследованию вопроса о влиянии взаимодействия двух коротких волокон при их параллельном расположении (расчетная схема на Рис. 4.3, в) на величину критической нагрузки в матрице «на бесконечности» (при 1x   ), которая, как и в пп. 4.5.2 и 4.5.3, обозначена через кр 11 . Как и в п. 4.5.3, исследования проводились для композита со следующими зна- чениями основных параметров: 1 1000;a mE E   0,35;a m   2,76 ГПа;mE  k  1 1 2 100;m m   необходимо отметить, что вышеуказанное значение параметра 1 a mE E  может возникать в технологических процессах, учитывая существенную зависимость mE от температуры. Проводились численные исследования зависимости величины критической нагрузки кр 11 от расстояния между двумя параллельно расположенными короткими волокнами при сжатии вдоль волокон; в расчетной схеме на Рис. 4.3, в расстояние между параллельно расположенными волокнами характеризуется величи- ной r , в связи с этим вводился безразмерный параметр * 1 2 1r r m  . Результаты иссле- 71 дований для рассматриваемого композита представлены на Рис. 4.14 в виде зависимо- сти величины кр 11\| \| от параметра * 2r на интервале * 20,001 32.r  Как и на Рис. 4.13, относящемся к случаю последовательного расположения двух коротких волокон (рас- четная схема на Рис. 4.3, б), так и на Рис. 4.14, относящемся к случаю параллельного расположения двух коротких волокон (расчетная схема на Рис. 4.3, в) для более ком- пактного представления обсуждаемых результатов рассматриваемый интервал * 2(0,001 32)r  разделен на две части * 2(0,001 2)r  и * 2(2 32),r  для которых приняты различные масштабы на оси * 20r . Следует отметить, что сближение параллельно расположенных двух коротких во- локон в соответствии с расчетной схемой на Рис. 4.3, в происходит при уменьшении параметра * 2r , т.е. при движении по оси * 20r справа налево от * 2 32r  до * 2 0,001.r  Из результатов, приведенных на Рис. 4.14, следует, что при сближении волокон (при движении по оси * 20r справа налево) происходит монотонное увеличение, что соот- ветствует обычно принятым соображениям инженерного характера. Отмеченная си- туация еще раз подчеркивает, что в предыдущем п. 4.5.3 был обнаружен новый меха- нический эффект – немонотонное изменение величины критической деформации при сближении армирующих элементов в композите. 4.5.5. Результаты для одного периодического ряда последовательно располо- женных волокон при сжатии вдоль волокон. Расчетная схема представлена на Рис. 4.3, г. Постановка задач включает позицию 4 после Рис. 4.3, а – е в п. 4.2, п. 4.3.3 и п. 4.4.1; при этом исследования проводились методом, краткая информация о кото- ром представлена в п. 4.4.2. Следует подчеркнуть, что позиция 4 после Рис. 4.3, а – е предусматривает, что для расчетной схемы на Рис. 4.3, г ставятся условия затухания «на бесконечности» лишь по координате 2x (при 2x  ), а по координате 1x ста- вятся условия периодичности; в связи с этим при реализации численного метода ис- следования возникает следующая ситуация. Как уже отмечалось в п. 4.4.2, при реали- зации численного метода бесконечная область заменяется конечной областью в виде прямоугольника 1 2l l , который на Рис. 4.3, г указан пунктирными линиями. Учитывая вышеизложенное, для периодического ряда (Рис. 4.3, г) в указанном «пунктирном» прямоугольнике фиксируется размер 1l из условий периодичности и лишь размер 2l изменяется для обеспечения условий затухания «на бесконечности» (при 2x  ), т.е. значение параметра 2l определяется путем вычислительного эксперимента. Следует отметить, что для периодической структуры (Рис. 4.3, г) с периодом 1T m r  можно рассматривать периодические (вдоль оси 10x ) формы потери устой- чивости с периодом, кратным периоду структуры, в виде 1( )N m r , где N − целое число. В этом случае «пунктирный» прямоугольник на Рис. 4.3, г при использовании его в вычислительном эксперимента имеет размеры 1 2l l , где 1 1( )l N m r  ; при этом «пунктирный» прямоугольник уже охватывает N коротких волокон. Рис. 4.14 72 Рис. 4.15 Рис. 4.16 Рассмотрим построение «мысленных» форм потери устойчивости для периодиче- ской структуры (Рис. 4.3г), ориентируясь на «пунктирный» прямоугольник на этом рисунке, в который входит одно короткое волокно. На Рис. 4.15 показаны «мыслен- ные» формы (а, б, в) потери устойчивости, которые являются симметричными отно- сительно вертикальных линий, проведенных через середины отрезкой между торцами соседних волокон. На Рис. 4.16 показаны «мысленные» формы (а, б, в) потери устой- чивости, которые являются антисимметричными относительно указанных вертикаль- ных линий. Вышеуказанные на Рис. 4.15 и 4.16 «мысленные» формы потери устойчи- вости можно также характеризовать тем, что форма а на Рис. 4.15 и формы б и в на Рис. 4.16 являются периодическими вдоль оси 10x с периодом, равным периоду структуры T , а формы б и в на Рис. 4.15 и форма а на Рис. 4.16 являются периодиче- скими вдоль оси 10x с периодом, равным удвоенному периоду структуры 2 T . До- полнительно можно ввести безразмерный параметр * 1 1r r m  , который характеризу- ет расстояние между торцами двух соседних волокон; геометрические параметры 1 2,m m и r указаны на расчетной схеме (Рис. 4.3, г). «Мысленные» формы потери устойчивости, представленные на Рис. 4.15 и 4.16, можно также (по аналогии с п. 4.5.3, Рис. 4.11) характеризовать следующим образом. «Мысленную» форму потери устойчивости а на Рис. 4.15 можно назвать доста- точно близкой к изгибной форме потери устойчивости, которая реализуется в случае достаточно отдаленных волокон при практически отсутствующем взаимном влиянии. «Мысленную» форму потери устойчивости б на Рис. 4.15 можно назвать близкой к жесткому повороту недалеко расположенных волокон, которая реализуется для до- статочно жестких материалов волокон при их сравнительно близком расположении, когда матрица не обеспечивает надлежащего поддерживающего влияния и между торцами соседних волокон возникает «пластический шарнир». «Мысленную» форму потери устойчивости в на Рис. 4.15 можно назвать близкой к повороту с изгибом, которая реализуется для относительно жестких материалов во- локон и соответствует форме потери устойчивости б на Рис. 4.15, дополненной неко- торым изгибом волокон. Приведенные соображения о «мысленных» формах потери устойчивости удобно использовать при интерпретации конкретных результатов по описанию форм потери устойчивости, полученных путем численного решения задач. Так, на Рис. 4.17 пред- ставлена информация о форме потери устойчивости композита с конкретными пара- метрами применительно к расчетной схеме на Рис. 4.3, г; приведенные результаты получены численным методом, краткие сведения о котором представлены в п. 4.4.2. Обсуждаемая информация на Рис. 4.17 представлена в пределах одного волокна в безразмерных координатах 1x , отнесенных к длине волокна 1m на Рис. 4.3, г; в связи с этим на Рис. 4.17 10,5 0,5.x   На Рис. 4.17 информация о форме потери устойчи- вости, которая определена в результате численного решения, представлена в виде распределения по оси 10x безразмерного вертикального перемещения * 2u , вычислен- 73 ного по выражению (4.3). Результаты на Рис. 4.17 представлены для двух случаев рас- стояний между торцами соседних волокон, которое характеризуется безразмерным параметром * 1 1r r m  (геометрические параметры указаны на расчетной схеме на Рис. 4.3, г): первый случай * 1r  , расстояние между торцами двух соседних волокон равно длине волокна, соответствует кривой 1; второй случай * 0,2r  соответствует кривой 2. Из анализа результатов на Рис. 4.17 следует, что форма потери устойчиво- сти (кривая 1, * 1r  ) практически совпадает с «мысленной» формой потери устойчи- вости а на Рис. 4.15 и форма потери устойчивости (кривая 2, * 0,2r  ) практически совпадает с «мысленной» формой потери устойчивости в на Рис. 4.15. Кроме того, из анализа результатов на Рис. 4.17 следует, что при сближении последовательно распо- ложенных коротких волокон в периодическом ряде происходит смена форм потери устойчивости; аналогичная ситуация имела место и в случае двух последовательно расположенных волокон, о чем свидетельствуют результаты на Рис. 4.10 и 4.12. Рис. 4.17 Ниже приведем информацию о результатах исследования зависимости величины кр 11 (величины критической деформации вдоль оси 10x в матрице «на бесконечно- сти» (при 1x   ) в соответствии с расчетной схемой на Рис. 4.3, г) от безразмерной величины * 1 1r r m  (геометрические параметры 1 2,m m и r указаны на расчетной схеме на Рис. 4.3, г), характеризующей относительное расстояние между торцами двух соседних волокон в периодическом ряду последовательно расположенных ко- ротких волокон (Рис. 4.3, г). Обсуждаемые результаты получены численным методом, краткая информация о котором представлена в п. 4.4.2; при этом после получения числового значения соответствующей величины кр 11 , являющейся соответствующим собственным значением, численные исследования о получении информации о соот- ветствующей собственной функции, по которой определяется соответствующая фор- ма потери устойчивости, не проводились. Исследования проводились для композита со следующими параметрами 1 a mE E  =1000; a m  =0,35; mE =2,76 ГПа; 1 1 2k m m  =100; 200; 300; 500; безразмерное расстояние r между торцами двух со- седних волокон изменялось в интервале 0,2 r  4,5. Полученные результаты пред- ставлены на Рис. 4.18, где цифрами 1, 2, 3, 4 отмечены кривые, соответствующие зна- чениям параметра k =100; 200; 300; 500; при этом штрихпунктирные линии соответ- 74 ствуют значениям величины кр 11 для случая одного волокна при тех же значениях параметра k . Из результатов, представленных на Рис. 4.18, можно сделать вывод о том, что при расстояниях между торцами двух соседних волокон, пре- вышающих длину волокна (при * 1r  ), величина критической деформации кр 11 для периодического ряда после- довательно расположенных волокон при сжатии вдоль волокон совпада- ет практически со значением кр 11 для одного изолированного волокна таких же размеров при сжатии вдоль волокна. Рис. 4.18 Из вышеизложенного вывода, относящегося к механике взаимодействия коротких волокон в композите, можно сделать вывод инженерного характера, относящийся к созданию композитов и который можно сформулировать следующим образом. С точки зрения критерия прочности при сжатии композитных материалов (армированных короткими волокнами) вдоль волокон создание композитов при aS  50% ( aS − объ- емная концентрация волокон) может оказаться не эффективным для указанных ма- териалов с неоднородной структурой. Дело в том, что из Рис. 4.18 следует, что при * 1 ( 1r r  соответствует расстоянию между торцами соседних волокон, которое равно длине волокна; в этом случае 50%)aS  происходит существенное уменьшение величины кр 11 , т.е. снижение предела прочности при aS  50%. В случае композитов с упорядоченной структурой (например, двоякопериодиче- ской структурой в плоскости поперечного сечения волокнистого композита) поддер- живающее влияние соседних периодических рядов коротких волокон может не допу- стить снижения величины кр 11 при росте величины aS , который возникает (в соот- ветствии с кривыми на Рис. 4.18) на интервале (0,2 r  1) при сближении торцов. Необходимо отметить, что сближение торцов двух соседних волокон в периодичес- ком ряду последовательно расположенных коротких волокон соответствует движе- нию по оси 0r на Рис. 4.18 справа налево. В случае композитов с неупорядоченной (нерегулярной) структурой в отдельных частях композита могут возникать ситуации, которым соответствует расчетная схема на Рис. 4.3, г (один периодический ряд волокон в «бесконечном» пространстве, т.е. без взаимодействия с волокнами соседних рядов). В этом случае в таких частях ком- позита справедлив вывод, относящийся к механике взаимодействия коротких воло- кон в композите, который сформулирован при анализе результатов на Рис. 4.18; сле- довательно, к таким частям материала относится и вывод о неэффективности созда- ния обсуждаемых материалов при 50%.aS  Безусловно, для обсуждаемого эффекта необходимы еще дополнительные иссле- дования, но обсуждаемое явление существует. Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении результатов, отно- сящихся к расчетной схеме на Рис. 4.3, г; дополнительную информацию можно полу- чить из монографии [64], обзорной статьи [65], отдельных статей [109, 252, 365] и других публикаций. 75 4.5.6. Результаты для одного периодического ряда параллельно расположен- ных волокон при сжатии вдоль волокон. Расчетная схема представлена на Рис. 4.3, д. Постановка задач включает позицию 5 после Рис. 4.3, а – е в п. 4.2, п. 4.3.3 и п. 4.4.1; при этом исследования проводились методом, краткая информация о котором пред- ставлена в п. 4.4.2. Дополнительно вводится безразмерный параметр 1 1 ;r r m  гео- метрические параметры 1 2,m m и r указаны на расчетной схеме на Рис. 4.3, д. Следу- ет подчеркнуть, что позиция 5 после Рис. 4.3, а – е предусматривает, что для расчет- ной схемы на Рис. 4.3, д ставятся условия затухания «на бесконечности» лишь по ко- ординате 1x (при 1x   ), а по координате 2x ставятся условия периодичности; в связи с этим при реализации численного метода исследования возникает следующая ситуация. Как уже отмечалось в п. 4.4.2, при реализации численного метода беско- нечная область заменяется конечной областью в виде прямоугольника 1 2 ,l l который на Рис. 4.3, д указан пунктирными линиями. Учитывая вышеизложенное, для перио- дического ряда (Рис. 4.3, д) в указанном «пунктирном» прямоугольнике фиксируется размер 2l из условия периодичности и лишь размер 1l изменяется для обеспечения условий затухания «на бесконечности» (при 1x   ), т.е. значения параметра 1l оп- ределяются путем вычислительного эксперимента. Следует отметить, что для периодической структуры (Рис. 4.3, д) с периодом 2T m r  можно рассматривать периодические (вдоль оси 20x ) формы потери ус- тойчивости с периодом, кратным периоду структуры, в виде 2( ),N m r где N − целое число; при этом «пунктирный» прямоугольник уже охватывает N коротких волокон. Рассмотрим построение «мысленных» форм потери устойчивости для периодиче- ской структуры (Рис. 4.3, д), ориентируясь на «пунктирный» прямоугольник на этом рисунке, в который входит одно короткое волокно. Указанное построение осуществ- ляется по аналогии с построением в предыдущем пункте. Для примера на Рис. 4.19 показаны «мысленные» формы потери устойчивости а, б, в и г, которые можно также характеризовать по аналогии с п. 4.5.5; отметим только, что «мысленные» формы поте- ри устойчивости а и б на Рис. 4.19 имеют вдоль вертикальной оси период 2T m r  , а формы в и г на Рис. 4.19 имеют вдоль вертикальной оси период, равный 22( )m r . Ограничимся вышеприведенными сведениями при обсуждении построения «мыслен- ных» форм потери устойчивости применительно к расчетной схеме на Рис. 4.3, д. Рис. 4.19 Ниже, следуя [253], приведем информацию о результатах исследования зависимо- сти величины кр 11 (величины критической деформации вдоль оси 10x в матрице «на бесконечности» (при 1x   ) в соответствии с расчетной схемой на Рис. 4.3, д) от безразмерной величины * 1 1r r m  (геометрические параметры 1 2,m m и r указаны на расчетной схеме на Рис. 4.3, д), характеризующей относительное расстояние между 76 соседними параллельными волокнами в бесконечном периодическом ряду волокон, расположенных вдоль оси 20x . Исследования проводились для композитов со следу- ющими значениями параметров [253]: aE =1,2 ТПа; mE =3,5 ГПа; 0,4;a m   1 1 2k m m  =10; 20; 50; 100; 500 при изменении r в интервале 0,2 r  4,5. Результа- ты исследований представлены на Рис. 4.20, где цифрами возле каждой кривой указа- но значение параметра k . Из результатов, представ- ленных на Рис. 4.20, можно сделать вывод, что с увеличе- нием расстояния между сосед- ними волокнами, величина ко- торого превышает длину волок- на (при * 1r  ) значение вели- чины кр 11 практически не из- меняется и соответствует ре- зультатам, полученным для од- ного волокна в матрице (рас- четная схема на Рис. 4.3, а). Величина кр 11 для одного во- локна в матрице представлена на Рис. 4.20 пунктирной линией для каждого значения параметра k . При уменьшении расстояния между соседними волокнами в ряду парал- лельных волокон (расчетная схема на Рис. 4.3, д), т.е. при * 1r  ,как следует из Рис. 4.20, величина критической деформации вдоль оси 10x (величина кр 11\| \| ) увеличивается для всех случаев, определяемых значением параметра k . Таким образом, в случае перио- дического ряда параллельных волокон (расчетная схема Рис. 4.3, д) не возникает си- туация, которая подробно обсуждена в заключительной части п. 4.5.5 применительно к случаю периодического ряда последовательно расположенных волокон (расчетная схема на Рис. 4.3, г) и которая возникла в связи с уменьшением величины кр 11\| \| при * 1r  , что следует из результатов на Рис. 4.18 для расчетной схемы на Рис. 4.3, г. Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении результатов, относя- щихся к расчетной схеме на Рис. 4.3, д; дополнительную информацию можно получить из монографии [64], обзорной статьи [65], отдельных статей [110, 253] и других публикаций. 4.5.7. Результаты для одного волокна, расположенного вблизи поверхности, при сжатии вдоль волокна. (Анализ приповерхностной неустойчивости). Расчет- ная схема представлена на Рис. 4.3, е. Постановка задач включает позицию 6 после Рис. 4.3, а – е в п. 4.2, п. 4.3.3 и п. 4.4.1; при этом исследования проводились методом, краткая информация о котором представлена в п. 4.4.2. Дополнительно вводится без- размерный параметр * 1 1r r m  , который характеризует относительное расстояние от волокна до границы полуплоскости (граничной поверхности материала); геометричес- кие параметры 1 2,m m и r указаны на расчетной схеме на Рис. 4.3, е. Как уже отмечалось в п. 4.2 после позиции 6, шестая расчетная схема (Рис. 4.3, е), исследования в рамках которой проводятся в настоящем п. 4.5.7, является самой про- стейшей расчетной схемой при исследовании приповерхностного разрушения в рамках второго направления (строгие последовательные подходы на основе ТЛТУДТ), краткое описание которого представлено в п. 3.1.3, и модели кусочно-однородной среды применительно к плоской задаче (плоская деформация). Безусловно, количество простей- ших расчетных схем при исследовании приповерхностного разрушения в рамках плоской задачи (плоская деформация) можно существенно расширить, если в расчетных схемах, представленных на Рис. 4.3, б – д, предусмотреть введение границы полуплоскости. Рис. 4.20 77 При исследовании обсуждаемой проблемы в рамках простейшей расчетной схемы (Рис. 4.3, е), чему и посвящен настоящий п. 4.5.7 исключительно, на границе полу- плоскости при 2 0x  (Рис. 4.3, е) для плоской задачи (плоская деформация) ставятся определенные граничные условия. В настоящем п. 4.5.7 рассматриваются при 2 0x  только граничные условия в напряжениях на незагруженной свободной полуплоско- сти при определении докритического состояния; в этом случае при исследовании за- дачи устойчивости при 2 0x  ставятся однородные граничные условия в напряжени- ях. В рассматриваемом случае исследования явления приповерхностной потери ус- тойчивости применительно как к определению докритического состояния, так и к ре- шению соответствующей задачи устойчивости ставятся условия затухания «на беско- нечности» при 1x   и 2 .x  Учитывая вышеизложенное, при применении численного метода, краткая инфор- мация о котором представлена в п. 4.4.2, полубесконечная область (полуплоскость) заменяется конечной областью в виде прямоугольника с размерами 1 2l l , который представлен на Рис. 4.3, е. При этом одна из сторон вышеуказанного прямоугольника проходит по границе полуплоскости, а остальные три стороны прямоугольника указа- ны «пунктирными» линиями на Рис. 4.3, е; на «пунктирных» сторонах прямоугольни- ка ставятся граничные условия, соответствующие условиям затухания при 1x   и 2x  . При применении вышеуказанного численного метода размеры обсуждаемо- го прямоугольника увеличиваются за счет изменения положения «пунктирных» сто- рон; при этом размеры 1 2l l выбираются такими, чтобы их дальнейшее увеличение не влияло на конечные результаты (на величину критического нагружения или вели- чину критической деформации), что определяется в результате вычислительного экс- перимента. Примечание 4.6. Необходимо отметить специфическую ситуацию, которая воз- никает при исследовании в рамках механики приповерхностного разрушения, началь- ным этапом (стартом) которого является приповерхностная потеря устойчивости в композите возле поверхности материала, когда возле поверхности материала находит- ся армирующий элемент конечных размеров (например, короткое волокно, Рис. 4.3, е). Обсуждаемую ситуацию рассмотрим на примере самой простейшей расчетной схемы (Рис. 4.3, е), относящейся к исследованию приповерхностного разрушения. В этом случае при нагружении «на бесконечности» (при 1x   ) равномерно распределен- ной по 2x нагрузкой постоянной интенсивности имеет место возле короткого цилин- дра несимметричное (относительно срединной линии цилиндра, при 2 2( 0,5 )x r m   на Рис. 4.3, е) распределение материала, так как при 2 0x  материал отсутствует во- обще. При указанных условиях возле короткого волокна возникает локальный изгиб, вызванный отмеченной несимметричностью в распределении материала; причем от- меченный локальный изгиб возрастает с ростом величины сжимающей нагрузки. Об- суждаемая ситуация возникает в докритическом состоянии; следовательно, в рассмат- риваемом случае имеет место значительно более сложный механизм потери устойчи- вости по сравнению с потерей устойчивости стержня при осевом сжатии. Целесооб- разно отметить, что применительно к расчетной схеме на Рис. 4.3, е задание «на бес- конечности» (при 1x   ) равномерно распределенной по 2x нагрузки постоянной интенсивности эквивалентно заданию «на бесконечности» (при 1x   ) постоянно- го укорочения вдоль оси 10x (независящего от 2x ). Примечание 4.7. Необходимо отметить, что ситуация, рассмотренная в Приме- чании 4.6, не имеет места при проведении исследований о приповерхностном разру- шении композитов в рамках модели «бесконечно длинных армирующих элементов», которые расположены параллельно свободной поверхности композитов. Такие ре- зультаты в рамках второго направления, краткое описание которого представлено в 78 п. 3.1.3, и модели кусочно-однородной среды, в весьма краткой форме изложены для слоистых композитов в п. 3.3.3.2 и для волокнистых однонаправленных композитов в п. 3.3.4.2. Дело в том, что при получении вышеуказанных результатов «на бесконеч- ности» (возле граничной поверхности) задаются одинаковые укорочения для армиру- ющих элементов и матрицы, что естественно в рамках модели «бесконечно длинных слоев и волокон» и что приводит к возникновению однородного докритического со- стояния. В монографии [64], обзорной статье [65], отдельных статьях [111, 254] и в ряде других публикаций приведены многочисленные результаты количественного харак- тера, относящиеся к описанию локального изгиба короткого волокна применительно к определению докритического состояния в рамках расчетной схемы на Рис. 4.3, е; ни- же приведем лишь два конкретных примера. Наличие обсуждаемого изгиба в докри- тическом состоянии для расчетной схемы на Рис. 4.3, е удобно характеризовать раз- ностью вертикальных перемещений (перемещений 0 2u ) в следующей форме 1 1 1 0* 0 0 2 2 20 0,5 , x x m u u u     (4.4) где: 1 0 2 0x u  − вертикальное перемещение (перемещение 0 2u ) на вертикальной линии, проходящей через центр армирующего элемента; 1 1 0 2 0,5x m u  − вертикальное перемеще- ние (перемещение 0 2u ) на вертикальной линии, проходящей через торец армирующего элемента. В этом случае, положив в (4.4)  2 20,5x r m   , согласно Рис. 4.3, е полу- чаем разность вертикальных перемещений центра армирующего элемента и центра торца армирующего элемента в виде      2 2 1 1 1 2 2 0* 0 0 2 2 20,5 0 0,5 0,5 . x r m x x m x r m u u u         (4.5) Положив в (4.4) 2 0,x  согласно Рис. 4.3, е получаем разность вертикальных пе- ремещений точек, лежащих на свободной поверхности и являющихся проекцией (центра армирующего элемента и центра торца армирующего элемента) на свободную поверхность, в следующем виде   2 1 1 1 2 0* 0 0 2 2 20 0 0,5 0 . x x x m x u u u       (4.6) Рис. 4.21 На Рис. 4.21 показана зависимость величины 0* 2u (4.4) (разности вертикальных перемещений) от (безразмерного расстояния от свободной поверхности) величины * 1 1r r m  (геометрические параметры указаны на Рис. 4.3, е); при этом кривая 1 на 79 Рис. 4.21 соответствует случаю (4.5) и кривая 2 на Рис. 4.21 соответствует случаю (4.6). Результаты на Рис. 4.21 получены для следующего интервала (0,0 r  15,0) изменения безразмерного расстояния до свободной поверхности на Рис. 4.3, е. Резуль- таты, представленные на Рис. 4.21, получены для конкретного композита со следующи- ми параметрами: 1 343;a mE E   3,51 ГПа;mE  0,4;a m   1 1 2 1000.k m m   Из результатов, представленных на Рис. 4.21 следует, что во всем интервале из- менения r (0 r  15) величина разности вертикальных перемещений центра ар- мирующего элемента и торца армирующего элемента (кривая 1) не равна нулю, что свидетельствует о существовании локального изгиба; лишь при 15r  рассматри- ваемая разность 0 . Таким образом, при * 15r  локальный изгиб отсутствует и получаемые числовые результаты соответствуют случаю одного армирующего эле- мента в бесконечной матрице (расчетная схема на Рис. 4.3, а, результаты в п. 4.5.2). На Рис. 4.22 для докритического состояния в конкретном композите показана (в безразмерных величинах) зависимость величины разности вертикальных перемеще- ний центра армирующего элемента и центра торца армирующего элемента (величины (4.5)) от величины сжимающей нагрузки «на бесконечности» в соответствии с рас- четной схемой на Рис. 4.3, е; при этом на Рис. 4.22 пунктирной линией представлено значение крP , соответствующее потере устойчивости. Рис. 4. 22 На Рис. 4.23 представлены результаты, относящиеся к исследованию приповерх- ностной потери устойчивости для расчетной схемы на Рис. 4.3, е. Обсуждаемые ре- зультаты получены для композитов со следующими значениями параметров: 1 a mE E  =343; 1000; mE =3,51 ГПа; a m  =0,4; 1 1 2k m m  =200, 1000 и для следующего интервала изменения (0 r  15) безразмерного параметра 1 1r r m  ; при этом геометрические параметры 1 2,m m и r указаны на Рис. 4.3, е. Следует отметить, что на Рис. 4.23 пунктирными линиями показаны значения кр 11 для одного волокна в «бесконечной» матрице (расчетная схема на Рис. 4.3, а, внутренняя потеря устойчиво- сти) при соответствующих значениях геометрических и механических параметров композита. Кривые 1, 2 и 3 на Рис. 4.23 соответствуют композитам со следующими значениями параметров: кривая 1 ~ 1 a mE E  =1000, k =1000; кривая 2 ~ 1 a mE E  =343, k =200; кривая 3 ~ 1 a mE E  =1000, k =200. Кривые 1, 2 и 3 на Рис. 4.23 при росте па- раметра r (при удалении волокна от свободной поверхности на Рис. 4.3, е) асимпто- 80 тически приближаются снизу к соответствующим пунктирным линиям и при r =1 практически совпадают с ними. Заметим, что случай r =1 соответствует расстоянию волокна от свободной поверхности материала (Рис. 4.3, е), равной длине волокна. Рис. 4.23 Таким образом, из вышеизложенного анализа следует, что для рассмотренных композитов имеют место два следующих вывода. 1. При r  1 нет необходимости исследовать приповерхностную неустойчивость, так как для нее величина кр 11 практически совпадает с соответствующим значением кр 11 , вычисленным для внутренней неустойчивости (расчетная схема на Рис. 4.3, а, волокно в «бесконечной» матрице). 2. При r  1 исследование приповерхностной неустойчивости является целесо- образным, так как при 0r  возможно уменьшение величины кр 11 до 30% по срав- нению со значением кр 11 , вычисленным для внутренней неустойчивости (расчетная схема на Рис. 4.3, а, волокно в «бесконечной» матрице). Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении результатов, отно- сящихся к расчетной схеме на Рис. 4.3, е; дополнительную информацию можно полу- чить из монографии [64], обзорной статьи [65], отдельных статей [111, 254, 368] и других публикаций. 4.6. Заключение к §4. Прежде всего, целесообразно отметить, что Проблема 2 «Модель коротких волокон в теории устойчивости и в механике разрушения компо- зитных материалов при сжатии», анализу которой посвящен §4 настоящей обзорной статьи, начала активно разрабатываться лишь с начала ХХI-го века. В связи с этим в обсуждаемом параграфе существенное внимание уделено аспектам постановочного характера, что в свою очередь и привело к расширению объема представленного ма- териала. В настоящем параграфе для модели коротких волокон, как и в предыдущем пара- графе для модели «бесконечно длинных» волокон и слоев, принята Общая концеп- ция, заключающаяся в том, что при сжатии обсуждаемых композитов вдоль волокон и слоев начало (старт) разрушения определяется потерей устойчивости во внут- ренней структуре композитов по типу внутренней или приповерхностной неустой- чивости. Следует отметить, что вышеуказанный механизм начала разрушения полу- чил определенное экспериментальное подтверждение, соответствующие результаты представлены в обсуждаемых параграфах. 81 Изложенные в §4 сведения по обсуждаемой Проблеме 2, относящиеся к поста- новке задач, подходам и конкретным результатам, основаны на модели кусочно- однородной среды с привлечением аппарата ТЛТУДТ; отмеченный общий подход, по-видимому, является наиболее строгим в рамках механики деформируемых тел применительно к исследуемой проблеме. Конкретные результаты по Проблеме 2 при вышеуказанном общем подходе могут быть получены лишь с привлечением численных методов, так как во всех задачах, относящихся к Проблеме 2, приходим к неоднород- ным докритическим напряженно-деформированным состояниям. В §4 по Проблеме 2 анализировались пространственные (трехмерные) задачи и плоские (двухмерные в случае плоской деформации) задачи. Пространственные (трехмерные) задачи относятся к композитам, которые армированы наполнителем в виде коротких цилиндров кругового поперечного сечения. Плоские (двухмерные) за- дачи при строгом рассмотрении относятся к ленточным композитам; при приближен- ном рассмотрении результаты указанных задач можно использовать при анализе яв- лений, которые возникают в композитах, армированных короткими волокнами. В настоящее время по Проблеме 2 исследованы задачи лишь применительно к хрупкому разрушению. При исследовании (в рамках вышеизложенных постановок) соответствующих задач применительно к пластическому разрушению возникают до- полнительные сложности, связанные с определением докритического неоднородного состояния с учетом зон разгрузки, изменяющихся в процессе нагружения. Актуальным для Проблемы 2 является исследование влияния формы торцов ко- ротких волокон на величину критической деформации при сжатии; при этом следует учесть, что величина кр 11 (критическое укорочение при потере устойчивости) являет- ся критерием разрушения, начальный этап (старт) которого определяется потерей устойчивости. Отмеченный критерий разрушения является критерием разрушения интегрального характера, поскольку величина кр 11 определяется через собственное число соответствующей задачи на собственные значения в рамках ТЛТУДТ. В силу интегрального характера применяемого критерия разрушения, по-видимому, можно считать, что влияние формы торцов коротких волокон на величину кр 11 будет менее ощутимым по сравнению с применением локальных критериев разрушения, которые определяются значениями некоторых инвариантов тензора напряжений в рассматри- ваемой точке материала. Все же, несмотря на вышеизложенное соображение, исследо- вание влияния формы торцов коротких волокон на величину кр 11 (критическое уко- рочение, соответствующее потере устойчивости) является достаточно актуальным для рассматриваемой в настоящем §4 Проблемы 2. §5. Проблема 3. Разрушение в виде смятия торцов при сжатии композитных материалов. В настоящем параграфе в весьма краткой форме (по сравнению с Проблемой 1, §3 настоящей статьи и Проблемой 2, §4 настоящей статьи) излагаются основные ре- зультаты по обсуждаемой проблеме, полученные в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ; при этом изложение рассматриваемых результатов представлено в стиле, анонсированном во Введении в настоящую статью (без привлечения аспектов математического характера). Также приведена информация о некоторых результатах экспериментальных исследований, соответствующих формированию обсуждаемой проблемы. 5.1. Введение. Основные результаты по рассматриваемой проблеме, полученные сотрудниками отдела динамики и устойчивости сплошных сред, представлены в мо- нографиях [54] (глава 7, §4, с. 568 – 589) и [57] (т. 2, глава 11, §4, с. 529 – 551), обзор- ных статьях [329, 336, 347, 350] и [21] (в списке литературы к [336]), отдельных стать- ях [51, 76, 304, 305, 317, 325] и в докладах на международных конференциях [312, 314, 316, 320, 321, 323, 324], а также в ряде других публикаций, которые не вошли в список литературы к настоящей обзорной статье. Необходимо отметить, что название 82 явления «смятие торцов при сжатии композитов», которое исследуется в рамках об- суждаемой Проблемы 3, переводилось на английский язык как «buckling of the ends» − в [304, 305], «bearing strain in end faces» – в [312, 314] и «end-crush fracture of com- pressed composites» − в [347, 350]. В русскоязычной литературе явление «смятия тор- цов при сжатии композитов» также называется «метелкованием». Следует отметить, что диссертация на степень доктора физико-математических наук (DSc) Ю.В.Коханенко также, частично, относится к рассматриваемому научному направлению. В целом же вышеуказанная диссертационная работа Ю.В.Коханенко посвящена разработке численного метода исследования задач, основанного на методе конечных разностей с привлечением вариационно-разностного подхода и использова- нием базовых схем, краткое описание которого приведено в п. 4.4.2; обсуждаемый метод предназначен для кусочно-однородных сред, что соответствует модели кусоч- но-однородных материалов в механике композитов, в том числе в исследованиях с привлечением аппарата ТЛТУДТ. В связи с вышеизложенным следует отметить, что в список литературы к настоящей обзорной статье включены публикации, результаты которых получены с привлечением обсуждаемого метода, например [64, 65, 76, 128, 129, 503, 504] и ряд других. Вышеизложенными сведениями общего характера ограничимся при формирова- нии Введения к §5 настоящей обзорной статьи. 5.2. Экспериментальные исследования. Предметом исследований в рассматри- ваемой Проблеме 3 является анализ явлений, которые возникают возле торцов ком- позитов в виде однонаправленных волокнистых или слоистых материалов при сжатии вдоль волокон и слоев или в композитах другой структуры при сжатии вдоль осей симметрии свойств материала. В связи с вышеотмеченным, в настоящем п. 5.2 при рассмотрении результатов экспериментальных исследований основное внимание бу- дем уделять анализу характера разрушений возле торцов в образцах из композитов. Рассмотрим характер разрушения возле торцов образцов из металлокомпозита, экспериментальные результаты для которого представлены в Примере в заключи- тельной части п. 3.3.4.1. Обсуждаемые экспериментальные результаты относятся к одноосному сжатию вдоль волокон для металлокомпозита (однонаправленный волок- нистый бороалюминиевый композит с 50% содержанием волокон бора, 0,5)a mS S  ВКА-1 с волокнами бора диаметром 140 мкм. Общий вид образцов из бороалюминия до разрушения представлен на Рис. 3.37 и на Рис. 3.38 представлена (при значитель- ном увеличении) внутренняя структура бороалюминиевого борокомпозита в попереч- ном сечении. На Рис. 5.1 представ- лен общий вид разрушенного об- разца при пластическом разруше- нии; из Рис. 5.1 следует, что левый торец образца разрушился в виде смятия торца, когда разрушение имеет локальный характер (возле левого торца) и не распространяет- ся на всю длину образца. Целесооб- разно отметить, что общий вид раз- рушенной части образца на Рис. 5.1 визуально имеет вид «метелки», в связи с чем и появился термин раз - Рис. 5.1 рушения в виде «метелкования». Вышеизложенные результаты (Рис. 5.1) наряду с другими результатами по пла- стическому разрушению при одноосном сжатии бороалюминиевого композита в виде смятия торцов, как уже отмечалось в п. 3.3.4.1 настоящей обзорной статьи, опубли- кованы в статье [95] и сравнительно подробно изложены в монографии [57] (т.1, глава 4, с. 486 – 488), где можно получить более подробную информацию. 83 Целесообразно отметить, что среди разнообразных механизмов, реализуемых при разрушении композитов, достаточно распространенными являются механизмы, свя- занные с разрушением при смятии торцов для образцов и элементов конструкций из композитов в случае сжатия, в рассмотренном примере – в случае одноосного сжатия. В общих чертах явление разрушения при смятии торцов состоит в том, что (для об- разцов и элементов конструкций из композитов) происходит местное разрушение материала возле торцов, при этом указанное разрушение не распространяется дале- ко от торцов и уменьшается при удалении от них. В связи с этим пределы прочности материала, соответствующие разрушению при смятии торцов, несколько меньше пре- делов прочности, соответствующих разрушению всего материала (вдали от торцов, внутреннего разрушения – по терминологии п. 3.3). Учитывая вышеизложенное, обычно при экспериментальном определении пределов прочности при сжатии (име- ются в виду пределы прочности, соответствующие разрушению материала вдали от торцов) на образцах при помощи различных конструкционных и технологических приемов исключают возможность проявления смятия торцов. В частности, проявле- ние смятия торцов исключается с помощью приматывания концов образцов по боко- вым поверхностям вблизи торцов или посредством помещения торцов образцов в обоймы из более жесткого материала. Применение последнего приема для образцов из стеклопластика реализовано в исследованиях, результаты которых представлены на Рис. 3.8 – 3.10, где торцы образцов из стеклопластика помещались в специально изготовленные металлические оправки. Непринятие вышеуказанных приемов может привести к явлению разрушения в виде смятия торцов, что и показано на Рис. 5.1. Исключение явления смятия торцов в случае экспериментальных исследований образцов в лабораторных условиях (посредством применения различных конструкци- онных или технологических приемов) не исключает проявления этого и других анало- гичных явлений в натурных элементах конструкций. Явления, аналогичные разруше- нию при смятии торцов, наблюдаются в различных элементах конструкций, напри- мер, в различных соединениях и стыковочных узлах. Применительно к древесине (как конструкционному материалу) эти явления известны давно и неоднократно наблюда- лись и описывались многими исследователями. Необходимо также отметить, что яв- ление разрушения посредством смятия торцов наблюдается также при сложном напряженном состоянии, когда внешние сжимающие нагрузки, приложенные к тор- цам, достигают определенных значений. Отметим, что экспериментальное исследование явления разрушения при смятии торцов довольно сложное и не всегда приводит к однозначным результатам. Это свя- зано с тем, что при экспериментальных исследованиях обычно получают результат (снимок разрушенного возле торца образца или значение предела прочности), соот- ветствующий уже закончившемуся процессу разрушения при смятии торца. Для ис- следования или описания рассматриваемого явления необходимо иметь сведения о первоначальном этапе разрушения (с целью выявления причин и механизма соответ- ствующего явления); по сложной же картине разрушенного возле торца образца (со- ответствующего заключительному этапу разрушения) трудно провести идентифика- цию процессов на первоначальном этапе разрушения. Аналогичная ситуация возника- ет и в §3 настоящей статьи при анализе результатов экспериментальных исследований применительно к Проблеме 1 (Разрушение в композитных материалах при сжатии вдоль армирующих элементов). Учитывая вышеизложенные сведения и соображения, представляется целесообраз- ным и актуальным развитие теории, которая описывала бы разрушение при смятии тор- цов в континуальном приближении или в рамках модели кусочно-однородной среды. 5.3. Теоретические исследования. Применительно к обсуждаемой Проблеме 3 результаты теоретических исследований представлены в публикациях, которые ука- заны во Введении (п. 5.1) в настоящий §5. Все указанные результаты теоретических исследований получены исключительно в рамках второго направления (строгие последовательные подходы на основе ТЛТУДТ), краткая характеристика которого приведены в п. 3.1.3. Ниже в настоящем п. 5.3 в весьма краткой форме представлены теоретические результаты раздельно для: формулировки общей концепции, для моде- ли кусочно-однородной среды и для континуального приближения (для континуаль- ной модели). 84 5.3.1. Общая концепция. В общем случае рассматриваются композиты различ- ной структуры, которые в континуальном приближении моделируются ортотропны- ми материалами; при этом принимается, что указанные материалы или образцы из таких материалов имеют торец, совпадающий с одной из плоскостей ортотропии, и к торцу приложена нормальная сжимающая нагрузка. Вышеизложенную ситуацию можно рассматривать как расчетную схему, к которой относится и образец (Рис. 5.1, после разрушения) из однонаправленного волокнистого композита, когда поперечное сечение загружено внешней нормальной сжимающей нагрузкой. Общая концепция. В вышеуказанной ситуации (внутренняя структура композита позволяет в континуальном приближении моделировать рассматриваемый композит ортотропным материалом; торец расположен в одной из плоскостей ортотропии мате- риала; на торце приложена нормальная сжимающая нагрузка – сжатие осуществляется вдоль одной из осей симметрии свойств материала и геометрической формы элемента конструкции) начальным этапом (стартом) разрушения при смятии торцов являет- ся приповерхностная потеря устойчивости возле загруженного торца. При анализе дальнейшего развития рассматриваемого механизма разрушения необходимо учиты- вать его возможное взаимодействие с другими механизмами разрушения. Теоретичес- ким пределом прочности и теоретическим значением предельного укорочения при приповерхностном разрушении возле загруженного нормальным сжатием торца (разрушение при смятии торцов) являются величина критической нагрузки и величи- на критического укорочения, вычисленные в рамках применяемого варианта ТЛТУДТ. Вышесформулированная Общая концепция дает возможность разрабатывать ме- ханику разрушения при смятии загруженных торцов при сжатии, исследуя припо- верхностную неустойчивость возле загруженного сжатием торца, как в рамках модели кусочно-однородной среды, так и в рамках континуальной теории. В обсуждаемых исследованиях принимается, что нагружение торца осуществляется «мертвыми» на- грузками, в связи с этим для хрупкого и пластического разрушений выполняются, в соответствии с п. 2.4.2, достаточные условия применимости статического метода ис- следования соответствующих задач ТЛТУДТ; таким образом, исследования по смя- тию торцов полностью соответствуют общепринятому и строгому методу исследова- ния явления потери устойчивости – анализу поведения малых возмущений в рамках линеаризированных трехмерных динамических задач. Примечание 5.1. По-видимому, можно считать, что определяющим фактором, обеспечивающим возникновение разрушения в виде смятия торцов, является реали- зация определенных граничных условий на торцах. Дело в том, что сжатие на тор- цах реализуется: в случае образцов – через достаточно жесткие опорные плиты; в случае элементов конструкций – через достаточно жесткие стыковочные узлы. В вы- шеуказанных двух случаях нагружения сжатием на торцах в силу достаточной жест- кости опорных плит и стыковочных узлов обеспечивается на торце одинаковое уко- рочение армирующих элементов (например, волокон или слоев) и матрицы (связую- щего); отмеченная ситуация соответствует случаю, когда на всей поверхности торца композита заданы одинаковые нормальные перемещения в виде граничных условий. Если в силу конструкционных или технологических особенностей (например, поли- ровка поверхности опорной плиты), на торце при нагружении сжатием обеспечивает- ся весьма малое трение или его полное отсутствие, то отдельные части композита на торце могут достаточно свободно скользить вдоль плоскости опорной плиты; в об- суждаемой ситуации, по-видимому, и возникает разрушение в виде смятия торцов. Таким образом, для возникновения явления разрушения в виде смятия торцов: «наиболее благоприятными» являются граничные условия на поверхности торца, ко- гда на поверхности торца заданы постоянные нормальные перемещения и нулевые касательные напряжения; «наименее благоприятными» являются граничные условия на поверхности торца, когда на поверхности торца заданы постоянные нормальные перемещения и нулевые касательные перемещения. Следует отметить, что «наименее благоприятные» граничные условия соответствуют закреплению торцов в абсолютно жесткие обоймы (типа результатов эксперимента, представленных на Рис. 3.9 и 3.10), когда разрушение в виде смятия торцов не происходит. 85 Примечание 5.2. При исследовании задач механики разрушения при смятии тор- цов в рамках модели кусочно-однородной среды можно рассматривать двухмерные (плоские) задачи и трехмерные (пространственные) задачи. Плоские задачи (для плоской деформации) при строгом и последовательном рассмотрении и истолковании относятся к композитам ленточной структуры, в которых армирующими элементами являются параллельные бесконечные ленты постоянного поперечного сечения, направленные перпендикулярно к плоскости рассматриваемого рисунка (как и в п. 4.2 применительно к Рис. 4.3, а – е), и к композитам слоистой структуры (типа представ- ленных на Рис. 3.2). При приближенном истолковании результаты для плоских задач (для плоской деформации) можно использовать при анализе явлений, которые возни- кают в однонаправленных волокнистых композитах, по аналогии с приближенным подходом, который в краткой форме описан в заключительной части п. 4.3.1. Про- странственные задачи при последовательном рассмотрении относятся к однонаправ- ленным волокнистым композитам (типа представленных на Рис. 3.1). Вышеизложенными сведениями ограничимся при формулировке и обсуждении Общей концепции, а также при рассмотрении отдельных моментов, относящихся к постановке и анализу задач механики разрушения при смятии торцов композитных материалов в случае сжатия. 5.3.2. Об исследованиях в рамках модели кусочно-однородной среды. В каче- стве примера исследования разрушения при смятии торцов, выполненного в рамках модели кусочно-однородной среды с привлечением аппарата ТЛТУДТ, в краткой форме рассмотрим результаты статьи [76], где обсуждаемые результаты получены для простейшей модели механики разрушения при смятии торцов; при этом изменим обо- значения статьи [76] на обозначения, принятые в настоящей обзорной статье. Иссле- дования проводятся в соответствии с Общей концепцией, изложенной в предыдущем п. 5.3.1, для хрупкого разрушения при смятии торцов с привлечением теории 3 (вто- рой вариант теории малых докритических деформаций) в соответствии с терминоло- гией п. 2.2 применительно к слоистым композитам (Рис. 3.2, модель «бесконечно длинных» слоев) в случае малой концентрации армирующих элементов (слоев напол- нителя), когда взаимовлияния двух соседних армирующих элементов (слоев) при по- тере устойчивости можно не учитывать; при этом анализ проводится только для одного торца (на Рис. 5.2 – для верхнего торца). Простейшая расчетная схема, соответствующая вышеизложенной постановке за- дачи, представлена на Рис. 5.2 применительно к плоской задаче (плоская деформация) в плоскости 1 20x x , где ось 30x направлена по перпендикуляру к плоскости Рис. 5.2. Поскольку явление смятия торца наблюдается только возле торца, затухая при удале- нии от торца, и в рассматриваемом случае анализируется ситуация, когда соседние армирующие элементы не взаимодействуют между собой (в силу их малой концен- трации), то простейшая расчетная схема на Рис. 5.2 сводится к нижней полуплоскости 2 0x  с одним армирующим элементом в виде полуполосы. Таким образом, исследо- вание необходимо провести для части нижней полуплоскости, содержащей армиру- ющий элемент, задавая граничные условия при 2 0x  и условия затуха- ния при 2x  и 1x   ; условно обсуждаемая часть полуплоскости выделена «волнистой линией» и гра- ницей при 2 0x  , где через 2 ah , как и на Рис. 3.2, обозначена толщина арми- рующего элемента (слоя). При анализе хрупкого разрушения при смятии торцов свойства материа- лов наполнителя и связующего моде- лируются линейно-упругим изотроп- ным телом; в связи с этим соотноше- ния упругости будем использовать в Рис. 5.2 86 традиционной форме, учитывая использование теории 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) 2 ; 2 ;a a a m m m ij ij a nn a ij ij ij m nn m ij               , , , ,2 ; 2 .a a a m m m ij i j j i ij i j j iu u u u     (5.1) В (5.1), как и во всей настоящей обзорной статье, применяются обозначения для упругих постоянных в виде: , ,a a aE  и a − для армирующих элементов (для напол- нителя); , ,m m mE  и m − для матрицы (связующего). В краткой форме рассмотрим определение докритического состояния согласно вышеизложенной постановке. Ограничимся анализом сжатия торца через жесткую опорную плиту, что на Рис. 5.2 условно показано системой вертикальных стрелок; в этом случае в соответствии с Примечанием 5.1 на поверхности торца (на Рис. 5.2 при 2 0x  ) возникает одинаковое укорочение наполнителя и связующего ( 0 0 22 22 a m  ). Все величины докритического состояния, как и во всей настоящей обзорной статье, отмеча- ются дополнительно индексом «нуль». Примем также на торце (при 2 0x  на Рис. 5.2) отсутствует трение между образцом и опорной плитой; указанное условие согласно Примечанию 5.1 соответствует «наиболее благоприятным» граничным условиям для возникновения явления разрушения в виде смятия торцов. Таким образом, на торце (при 2 0x  ) для определения докритического состояния получаем следующие гра- ничные условия: 0 0 22 12 1 2, 0 при и 0 ;a a ac x h x     0 0 22 12 1 2, 0 при и 0 ; const .m m ac x h x c      (5.2) При граничных условиях в виде (5.2) на торце (при 2 0x  на Рис. 5.2) с учетом соотношений (5.1) для плоской деформации в плоскости 3 0x  (Рис. 5.2, 33 0  ) до- критическое состояние определяется в аналитической форме в следующем виде:     10 0 0 0 11 12 22 220; 0; 4 2 ;a a a a a a a a a                 10 0 0 0 11 12 22 220; 0; 4 2 ;m m m m m m m m m             0 0 22 22 const .a m c    (5.3) В краткой форме рассмотрим результаты исследования задачи устойчивости в соответствии с вышеизложенной постановкой задачи применительно к докритиче- скому состоянию в виде (5.3), следуя статье [76]; обсуждаемая задача устойчивости имеет локальный характер возле торца при 2 0x  на Рис. 5.2. Граничные условия на поверхности торца для задачи устойчивости, согласованные с условиями (5.2) для докритического состояния, имеют следующий вид 22 12 1 20; 0 при и 0;a a ax h x     22 12 1 20; 0 при и 0.m m ax h x     (5.4) В силу локального характера рассматриваемой задачи устойчивости также ставят- ся условия затухания при удалении от торца (при 2x  ) и условия затухания при 1x   в силу анализа случая слоистых композитов с весьма малой концентрацией наполнителя (случай, когда два соседних слоя наполнителя не взаимодействуют меж- ду собой при потере устойчивости); обсуждаемые условия затухания представляются в следующей форме: 87 2 2 10 при ; 0 при или .a mx x x      u u (5.5) Для задачи устойчивости в рамках соотношений (2.21) – (2.27) и (2.10) – (2.13) применяемой теории 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) также формулируются условия непрерывности векторов напряжений и перемещений при 1 ax h  с учетом выражений (2.10) и (2.23). Задача устойчивости для нижней полуплоскости 2 0x  (Рис. 5.2) в рамках выше- указанной применяемой теории при определяющих уравнениях в виде (5.1), гранич- ных условиях в виде (5.4) на границе полуплоскости при 2 0x  , условиях затухания в виде (5.5) и вышеуказанных условиях непрерывности векторов напряжений и пере- мещений при 1 ax h  исследовалась численным методом, краткая информация о ко- тором представлена в п. 4.4.2. При численном исследовании рассматриваемой задачи полубесконечная область (нижняя полуплоскость) заменялась конечной областью в виде прямоугольника со сторонами 1 22( )al h l  , который указан на Рис. 5.2; при этом значения величин 1 1 al h и 1 2 al h выбирались из условия независимости конечного результата (критических значений укорочений или напряжений) от значений указан- ных величин. Было установлено, что при 1 1 10al h  и 1 2 20al h  дальнейшее увели- чение этих величин не приводит к изменению конечных результатов; в связи с этим все нижеприведенные результаты были получены при следующих значениях указан- ных величин 1 1 al h =10 и 1 2 al h =20. Результаты были получены как применительно к определению форм потери устойчивости для задачи, расчетная схема для которой представлена на Рис. 5.2, так и применительно к определению критического значения сжимающих напряжений 0 22 a (в наполнителе) или 0 22 m (в матрице) через критическое значение укорочения 0 0 22 22 a m  на торце; отмеченные результаты по определению форм потери устойчивости и критических значений параметров нагружения рассмот- рим раздельно. Вначале рассмотрим результаты по определению форм потери устойчивости в обсуждаемой задаче, расчетная схема для которой представлена на Рис. 5.2. В обсуж- даемой задаче форму потери устойчивости удобно характеризовать горизонтальными перемещениями (перемещениями вдоль оси 10x на Рис. 5.2); в этом случае особенно характерным является горизонтальное перемещение точек срединной линии арми- рующего элемента, т.е. перемещение  1 20,au x . На Рис. 5.3 показано изменение без- размерного перемещения  * 1 1 1 20,a au u x h  вдоль оси * 20x , где 1 2 2* ax x h   ; таким образом, на Рис. 5.3 показано изменение безразмерного горизонтального перемещения * 1u точек срединной линии армирующего элемента при удалении от торца. Результа- ты на Рис. 5.3 представлены для композитов при 0,3a m   для следующих случа- ев: 1 a mE E =25 в виде сплошной линии; 1 a mE E =100 в виде пунктирной линии; 1 a mE E =1600 в виде штрихпунктирной линии. Из Рис. 5.3 следует, что затухание горизонтального перемещения * 1u при удалении от торца имеет вид «быстро затуха- ющей волны» и практически полное затухание достигается при * 2x  15, что соответ- ствует 7,5 толщин наполнителя; при этом * 1max u достигается при * 2x  5 (2,5 толщины наполнителя) и составляет 5 толщин наполнителя. Необходимо отметить, что выше- приведенные числовые характеристики явления затухания горизонтальных переме- щений в форме потери устойчивости относятся лишь к рассмотренным примерам композитов с учетом рассмотренной в настоящем п. 5.3.2 постановки задач. 88 Ниже рассмотрим результаты по определению критических значений парамет- ров нагружения, соответствующих потере устойчивости. Из выражений (5.3) для кри- тических значений получаем следующие соотношения                кр 1 кр кр 1 кр кр кр0 2 0 0 2 0 0 0 22 22 22 22 22 221 ; 1 ; .a a m m a m a a m mE E               (5.6) В (5.6) через 0 кр 22( )a и 0 кр 22( )m обозна- чены критические укорочения для арми- рующего элемента и матрицы на торце (Рис. 5.2), которые равны между собой в силу рассматриваемого способа нагруже- ния торца через опорную плиту. На Рис. 5.4 приведена зависимость величины  кр1 0 1 кр 22 a a aP E E    (5.7) от параметра 1 a mE E (кривая 1 для a  0,3;m  кривая 2 для 0,3a  и m  0,4); причем на горизонтальной оси применена логарифмическая шкала 1ln( ).a mE E  Примечание 5.3. Необходимо отметить, что в настоящем пункте 5.3.2 сравни- тельно подробно обсуждены результаты, которые изложены в статье [76], в связи со следующей ситуацией. В статье [76], по-видимому, впервые были представлены ре- зультаты по исследованию краевых эффектов в теории устойчивости композитов в рамках модели кусочно-однородной среды с привлечением аппарата ТЛТУДТ. В слу- чае задач статики композитов результаты многочисленных исследований краевых эффектов в трехмерной постановке с привлечением модели кусочно-однородной сре- ды изложены в 12-томной монографии [145] (т. 1, раздел III, главы 10 – 12, с. 313 – 445), где также достаточно подробно изложен разработанный численный метод ис- следования. 5.3.3. Об исследованиях в рамках континуальной среды (континуальное при- ближение). В настоящем пункте в достаточно краткой форме обсудим результаты исследования явления разрушения при смятии торцов образцов или элементов конст- рукций из композитов, когда композиты моделируются однородными материалами с усредненными параметрами, применительно к хрупкому и пластическому разрушени- ям; при этом отметим, что в п. 5.3.2 в рамках модели кусочно-однородного тела обсу- ждены соответствующие результаты только применительно к хрупкому разрушению. Рис. 5.3 Рис. 5.4 89 Обсуждаемые результаты представлены в ряде статей, которые указаны во Введении (п. 5.1) в настоящий §5; кроме того, обсуждаемые результаты достаточно последователь- но изложены в монографии [57] (т. 2, глава 11, §4, с. 529 – 551), что и будет использо- вано в настоящем п. 5.3.3 при кратком изложении соответствующих результатов. Основные положения континуальной теории разрушения в виде смятия торцов при сжатии композитов сводятся к следующим положениям. 1. Принимается Общая концепция, изложенная в п. 5.3.1, в соответствии с кото- рой начальным этапом (стартом) разрушения при смятии торцов является припо- верхностная потеря устойчивости возле загруженного торца. Теоретическим пре- делом прочности и теоретическим значением предельного укорочения при приповерх- ностном разрушении возле загруженного нормальным сжатием торца (разрушение при смятии торцов) является величина критической нагрузки и величина критическо- го укорочения, вычисленные в рамках применяемого варианта ТЛТУДТ. 2. Принимаются сведения и соображения о роли граничных условий при реализа- ции разрушения при смятии торцов, которые изложены в Примечании 5.1. 3. При исследовании явления смятия торцов не будем учитывать влияния боко- вых поверхностей образца или элемента конструкции, а также взаимовлияния двух противоположных торцов (достаточно длинный образец), что дает возможность проводить исследование для нижнего по- лупространства 3 0x  (Рис. 5.5), где то- рец отмечен «сеткой». 4. При исследовании поверхностной неустойчивости вблизи загруженного тор- ца докритическое состояние будем считать однородным. Если докритическое состоя- ние является неоднородным, то примени- тельно к каждой точке торцевой поверх- ности будем рассматривать локальную поверхностную неустойчивость (как бы выде- ляя малую окрестность этой точки); таким образом, снова приходим к однородному докритическому состоянию. 5. Внешнюю нормальную сжимающую нагрузку, приложенную к торцу при 3 0x  (Рис. 5.5), будем считать «мертвой»; таким образом, для хрупкого и пластиче- ского разрушения выполняются, в соответствии с п. 2.4.2, достаточные условия при- менимости статического метода исследования (метода Эйлера). 6. Будем рассматривать слоистые и волокнистые композиты. Для слоистых ком- позитов будем считать, что слои направлены перпендикулярно к торцевой поверхно- сти 3 0x  . Применительно к волокнистым композитам будем рассматривать однона- правленные или ортогонально-армированные материалы при условии, что направле- ние преимущественного армирования совпадает с осью 30x (Рис. 5.5), т.е. направлено перпендикулярно к торцевой поверхности 3 0x  . 7. В континуальном приближении вышеуказанные композиты с полимерной или металлической матрицей будем моделировать однородным сжимаемым ортотропным упругим или упруго-пластическим материалом с усредненными постоянными, оси симметрии свойств которого совпадают с осями выбранной системы координат (Рис. 5.5); в случае трансверсального материала будем считать, что плоскости 3 constx  явля- ются плоскостями изотропии. 8. Будем исследовать только приповерхностную неустойчивость возле загружен- ного торца (на Рис. 5.5 загруженный торец отмечен «сеткой»), когда напряжения и перемещения затухают при 3x  . Рис. 5.5 90 9. Исследования будем проводить в рамках одного из вариантов ТЛТУДТ – в рам- ках теории 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) в соответ- ствии с терминологией п. 2.2 настоящей обзорной статьи. С привлечением основных положений 1 – 9 развита континуальная теория разру- шения при смятии торцов при хрупком и пластическом разрушении, разработан ме- тод исследования плоских и пространственных задач, основанный на применении интегралов Фурье, а также получены конкретные результаты. Достаточно последова- тельно и подробно вышеуказанные результаты, как уже отмечалось во вводной части настоящего п. 5.1.3, изложены в монографии [57] (т. 2, глава 11, §4, с. 529 – 551); ни- же в весьма краткой форме лишь приведем заключительные результаты. Предварительно рассмотрим следующие обозначения:  см 3 Т  − теоретический предел прочности при одноосном сжатии вдоль оси 30x (Рис. 5.5) при разрушении в виде смятия торца;  3 Т  − теоретический предел прочности при одноосном сжатии вдоль оси 30x (без возникновения явления разрушения в виде смятия торца) при внутреннем разру- шении (вдали от торца); такое же обозначение применялось в континуальной теории разрушения, изложенной в п. 3.3.2. В результате строгого анализа получен заключительный результат, который с при- влечением вышеприведенных обозначений можно представить в следующей форме    см 3 3Т Т .    (5.8) Неравенство (5.8) соответствует соображениям физического характера и неодно- кратно наблюдаемым результатам экспериментальных исследований, свидетельству- ющих о том, что разрушение однородных материалов, как правило, начинается с по- верхности материала. В связи с этим следует отметить, что, хотя в §5 рассматривают- ся композитные материалы, но в п. 5.3.3 рассматривается континуальное приближе- ние для композитов и в континуальном приближении композиты являются однород- ными материалами. Несмотря на строго доказанное неравенство (5.8), входящие в него величины от- личаются между собой незначительно, что также доказано в монографии [57] (т. 2, глава 11, §4, с. 529 – 551) для хрупкого и пластического разрушения в виде смятия торцов; для иллюстрации вышеуказанной ситуации рассмотрим пример для случая хрупкого разрушения. Пример. Рассмотрим волокнистый однонаправленный композит, в котором во- локна направлены вдоль оси 30x на Рис. 5.5 и который в плоскости поперечного сече- ния (при 3 constx  на Рис. 5.5) имеет неупорядоченную структуру. Обсуждаемый композитный материал при хрупком разрушении моделируется упругим трансвер- сально-изотропным материалом, в котором плоскостями изотропии являются плос- кости 3 constx  на Рис. 5.5. При вышеуказанном моделировании в монографии [57] (т. 2, глава 11, §4, с. 542 – 543) получено выражение (11.276), которое можно предста- вить в следующем виде       2 см 2 2 3 3Т Т 1 1 1 . G E E E E                 (5.9) В (5.9) дополнительно введены обозначения: E − модуль Юнга вдоль оси 30 ;x E − модуль Юнга в плоскости изотропии (при 3 constx  ); G − модуль сдвига при сдвиге вдоль волокон, 31 32G G G   . Для обсуждаемого волокнистого однонаправленного композита в континуальном приближении выполняются (как для материала с пони- женной сдвиговой жесткостью) следующие условия ; .G E G E    (5.10) 91 Из (5.9) и (5.10) получаем соотношение    см 3 3Т Т .    (5.11) Аналогичное соотношение имеет место и при пластическом разрушении, однако доказательство имеет значительно более громоздкий вид. Вывод. Соотношение (5.11) можно использовать при приближенном сравнении величины  см 3 экспер  (экспериментальное значение предела прочности при одноосном сжатии вдоль оси 30x в случае разрушения в виде смятия торцов) со значением вели- чины  см 3 Т  , включая две позиции. Первая позиция заключается в визуальном подтверждении принадлежности экс- периментально наблюдаемого разрушения к разрушению при смятии торцов (типа фотографии на Рис. 5.1). Вторая позиция заключается в сравнении значения величины  см 3 экспер  со значе- нием величины  3 Т  в соответствии с соотношением (5.11). Рассмотрим предложенную процедуру сравнения, которая представлена в выше- изложенном Выводе, применительно к отожженному и неотожженному бороалюми- ниевому однонаправленному композиту ВКА-1, который обсуждался в Примере в п. 3.3.4.1. В этом случае первая позиция реализуется анализом фотографии на Рис. 5.1; вторая позиция определяется анализом результатов, представленных в Табл. 5.1. Не- обходимо отметить, что Табл. 5.1 соответствует монографии [57] (т. 2, с. 551, Табл. 11.8). Также следует отметить, что числовые значения для  см 3 экспер  в Табл. 5.1 соответ- ствуют средним значениям для 32 образцов в случае отожженного и для 14 образцов в случае неотожженного материала; более подробные сведения о вышеизложенных ре- зультатах представлены в статье [95]. Таблица 5.1 Материал ВКА – 1 Предел прочности, МПа  см 3 экспер   см 3 Т  Отожженный 665 736 Неотожженный 1282 1467 Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком анализе резуль- татов по Проблеме 3 (Разрушение в виде смятия торцов при сжатии композитных материалов), которые получены в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ. РЕЗЮМЕ. Оглядова стаття присвячена короткому опису та відповідному аналізу основних ре- зультатів по некласичним проблемам механіки руйнування, які одержані автором статті та його уч- нями за останні 50 років у відділі динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАНУ. Оглядова стаття розділена на три частини. Перша частина має підзаголо- вок «Загальні питання» і опублікована в журналі «Прикладная механика» (55, № 2, 2019); в першу частину включені Вступ та §§1 і 2. Друга частина має підзаголовок «Руйнування композитних мате- ріалів при стиску» і публікується в журналі «Прикладная механика» (55, № 3, 2019); в другу частину включені §§3 – 5. Третя частина має підзаголовок «Інші некласичні проблеми механіки руйнування»; в третю частину включені §§6 – 10 та список літератури, який є загальним для всіх трьох частин. Поступила 26.03.2018 Утверждена в печать 05.03.2019

Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). II

Institution

Ähnliche Einträge