К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии
В настоящей работе задача идентификации ядер наследственности нелинейновязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии решается путем формулировки соотношений, устанавливающих зависимость между ядрами ползучести при сложном и одномерном напряженных состояниях в рамках модели вязкоупругости...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2019
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188191 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии / В.П. Голуб, Ю.М. Кобзарь, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 6. — С. 25-45. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-188191 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1881912023-02-16T01:26:28Z К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии Голуб, В.П. Кобзарь, Ю.М. Фернати, П.В. В настоящей работе задача идентификации ядер наследственности нелинейновязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии решается путем формулировки соотношений, устанавливающих зависимость между ядрами ползучести при сложном и одномерном напряженных состояниях в рамках модели вязкоупругости, основанной на гипотезе пропорциональности девиаторов и на задании нелинейности вязкоупругих свойств в форме уравнений типа уравнения Работнова. Сформульовано залежності між ядрами спадковості ізотропних нелінійно-в'язкопружних матеріалів за умов складного та одновимірного напружених станів. Визначальні рівняння нелінійної в'язкопружності задані у формі, що відповідає гіпотезі пропорційності девіаторів. Нелінійність в'язкопружних властивостей задається моделями типу моделі Работнова. Розв'язано та апробовано експериментально задачі розрахунку деформацій повзучості та релаксації напружень у тонкостінних трубчастих елементах за умов комбінованого навантаження розтягом із скрученням.Сформульовано залежності між ядрами спадковості ізотропних нелінійно-в'язкопружних матеріалів за умов складного та одновимірного напружених станів. Визначальні рівняння нелінійної в'язкопружності задані у формі, що відповідає гіпотезі пропорційності девіаторів. Нелінійність в'язкопружних властивостей задається моделями типу моделі Работнова. Розв'язано та апробовано експериментально задачі розрахунку деформацій повзучості та релаксації напружень у тонкостінних трубчастих елементах за умов комбінованого навантаження розтягом із скрученням. The relationships between the heredity kernels of isotropic nonlinear viscoelastic materials under the complex and one-dimensional stress states are formulated. The constitutive equations are given in the form that corresponds to the hypothesis of deviators proportionality. The nonlinearity of viscoelastic properties is given by the models of the Rabotnov’s type one. The problems of analysis of the creep strains and stress relaxation in the thin-walled tubular elements under combined load of tension with torsion are solved and experimentally approved. 2019 Article К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии / В.П. Голуб, Ю.М. Кобзарь, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 6. — С. 25-45. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188191 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В настоящей работе задача идентификации ядер наследственности нелинейновязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии решается путем формулировки соотношений, устанавливающих зависимость между ядрами ползучести при сложном и одномерном напряженных состояниях в рамках модели вязкоупругости, основанной на гипотезе пропорциональности девиаторов и на задании нелинейности вязкоупругих свойств в форме уравнений типа уравнения Работнова. |
| format |
Article |
| author |
Голуб, В.П. Кобзарь, Ю.М. Фернати, П.В. |
| spellingShingle |
Голуб, В.П. Кобзарь, Ю.М. Фернати, П.В. К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии Прикладная механика |
| author_facet |
Голуб, В.П. Кобзарь, Ю.М. Фернати, П.В. |
| author_sort |
Голуб, В.П. |
| title |
К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии |
| title_short |
К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии |
| title_full |
К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии |
| title_fullStr |
К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии |
| title_full_unstemmed |
К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии |
| title_sort |
к определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188191 |
| citation_txt |
К определению параметров ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии / В.П. Голуб, Ю.М. Кобзарь, П.В. Фернати // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 6. — С. 25-45. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT golubvp kopredeleniûparametrovâdernasledstvennostiizotropnyhnelinejnovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii AT kobzarʹûm kopredeleniûparametrovâdernasledstvennostiizotropnyhnelinejnovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii AT fernatipv kopredeleniûparametrovâdernasledstvennostiizotropnyhnelinejnovâzkouprugihmaterialovprisložnomnaprâžennomsostoânii |
| first_indexed |
2025-07-16T10:07:24Z |
| last_indexed |
2025-07-16T10:07:24Z |
| _version_ |
1837797679659220992 |
| fulltext |
2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 6 25
В . П . Г о л у б , Ю . М . К о б з а р ь , П . В . Ф е р н а т и
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ ЯДЕР НАСЛЕДСТВЕННОСТИ
ИЗОТРОПНЫХ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины
ул. Нестерова, 3, Киев, 03057, Украина; creep@inmech.kiev.ua
Abstract. The relationships between the heredity kernels of isotropic nonlinear viscoe-
lastic materials under the complex and one-dimensional stress states are formulated. The
constitutive equations are given in the form that corresponds to the hypothesis of deviators
proportionality. The nonlinearity of viscoelastic properties is given by the models of the
Rabotnov’s type one. The problems of analysis of the creep strains and stress relaxation in
the thin-walled tubular elements under combined load of tension with torsion are solved and
experimentally approved.
Key words: nonlinear viscoelasticity, isotropic material, the complex stress state, hy-
pothesis of deviators proportionality, creep kernel, stress relaxation kernel, thin-walled tubu-
lar element, tension with torsion.
Введение.
Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости наследственного
типа тесно связано с выбором структуры ядер наследственности, включающих ядра
ползучести и ядра релаксации. Ядра задаются некоторыми заранее выбранными
функциями, удовлетворяющими ряду требований и содержащими необходимое число
параметров, которые подлежат определению из экспериментов.
При одномерном напряженном состоянии ядра наследственности и параметры
ядер определяются непосредственно по результатам аппроксимации данных прямых
измерений деформаций ползучести или релаксации напряжений функциями, задаю-
щими ядра. Детальный анализ методов выбора функций, задающих ядра наследствен-
ности, и методов определения параметров ядер наследственности линейно- и нели-
нейно-вязкоупругих материалов при одномерном напряженном состоянии представ-
лен в [1, 2, 8 – 14, 21, 23].
Задача идентификации ядер наследственности при сложном напряженном состоя-
нии является существенно более сложной и её решение ограничивается рассмотрени-
ем некоторых частных случаев.
В случае линейно-вязкоупругих материалов эта задача сводится, в основном, к ус-
тановлению зависимости между ядрами наследственности при сложном и одномер-
ном напряженных состояниях [3, 4, 16, 19]. Определяющие уравнения линейной тео-
рии вязкоупругости при сложном напряженном состоянии задаются в виде суперпо-
зиции уравнения для сдвигов и уравнения объемного деформирования [3, 4, 19] и ис-
ходя из гипотезы пропорциональности девиаторов [13, 14]. В качестве одномерного
напряженного состояния рассматривались одноосное растяжение гладких цилиндри-
ческих образцов с измерением продольных и поперечных деформаций ползучести и
чистое кручение тонкостенных трубчатых образцов с измерением угловых деформа-
ций ползучести.
26
Исследования по идентификации ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих
материалов при сложном напряженном состоянии весьма немногочисленны и ограни-
чиваются, как правило, двумерными задачами [8, 9, 17]. Обзор соответствующих про-
цедур, основанных на использовании кратно-интегрального представления Volterra –
Freshet, изложен в [22].
В настоящей работе задача идентификации ядер наследственности нелинейно-
вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии решается путем фор-
мулировки соотношений, устанавливающих зависимость между ядрами ползучести
при сложном и одномерном напряженных состояниях в рамках модели вязкоупру-
гости, основанной на гипотезе пропорциональности девиаторов и на задании нели-
нейности вязкоупругих свойств в форме уравнений типа уравнения Работнова.
§1. Постановка задачи. Исходные соотношения.
Рассматриваются процессы ползучести и релаксации напряжений изотропных,
однородных, нестареющих нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напря-
женном состоянии. Определяющие уравнения ползучести, задающие зависимость
между компонентами тензора деформаций ij , тензора напряжений ij и временем t
при постоянной температуре записываются для таких материалов в виде
0
0
0 0
0
( );1 3
( ) ( ) ( ) ( ) , 1,3 ;
3 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ,
i i
ij ij ij ij
i
t
i i i i i i
t
t t
t t t t i j
t
t t K t d
t t K t d
(1.1)
решением которых являются уравнения релаксации
0
0
0
0
( );2 1
( ) ( ) ( ) ( ) , 1,3 ;
3 ( ) 3
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) .
i i
ij ij ij ij
i
t
i i i i i i i
t
t t
t t t t i j
t
t t R t d
t t R t d
(1.2)
Здесь ( )v – объемная деформация; ( )i – интенсивность деформаций; 0 ( )t – сред-
нее напряжение; ( )i t – интенсивность напряжений; ( )i i t , ( )t – функции,
задающие нелинейность скалярных вязкоупругих свойств; ( )iK t , ( )K t и
( )iR t , ( )R t – ядра ползучести и релаксации, соответственно; i , – реоло-
гические параметры; ij – дельта-функция Кронекера.
Идентификация ядер ползучести ( )iK t и ( )K t в (1.1) и ядер релаксации
( )iR t и ( )R t в (1.2) осуществляется с использованием результатов испытаний
на ползучесть при постоянных напряжениях двух групп одномерных базовых экспе-
риментов.
Первая группа базовых экспериментов включает испытания на ползучесть
сплошных цилиндрических образцов при одноосном растяжении с замером продоль-
ных и поперечных деформаций. Зависимости между напряжениями, деформациями и
временем задаются в этом случае уравнениями [11, 13]
11 11 11 11 11 11
0
( ) ( ) ( ) ( ) ;
t
t t K t d
27
22 22 11 22 22 11
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t t K t d
(1.3)
где 11( )t – одноосное растягивающее напряжение; 11( )t и 22 ( )t – продольная и
поперечная деформации, включающие упругую деформацию и деформацию ползу-
чести; 11( ) и 22 ( ) – функции, задающие нелинейность вязкоупругих свойств в
продольном и поперечном направлениях; 11( )K t и 22 ( )K t – ядра продольной и
поперечной ползучести; 11 , 22 – реологические параметры.
Вторая группа базовых экспериментов включает испытания на ползучесть сплош-
ных цилиндрических образцов при одноосном растяжении с замером продольных
деформаций и тонкостенных трубчатых образцов при чистом кручении с замером
угловых деформаций. Зависимости между напряжениями, деформациями и временем
задаются в этом случае уравнениями [2, 3]
11 11 11 11 11 11
0
21 21 21 21 21 21
0
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t
t t K t d
t t K t d
(1.4)
где 21( )t – напряжение кручения; 21( )t – сдвиговая деформация, включающая уп-
ругую деформацию и деформацию ползучести; 21( ) – функция, задающая нелиней-
ность вязкоупругих свойств при чистом сдвиге; 21( )K t – ядро сдвиговой ползуче-
сти; 21 – реологический параметр. Остальные обозначения в (1.4) совпадают с при-
нятыми в (1.3).
Уравнения в (1.1), а также уравнения (1.3) и (1.4), задающие физико-механические
свойства нелинейно-вязкоупругих материалов, используя модифицированный прин-
цип суперпозиции Leaderman – Rersoz [18, 20], могут быть разрешены относительно
деформаций в форме
0
( ) ( ) ( ) ( )
t
t t K t d (1.5)
при условии, что при const
0
( ) 1 ( ) ( )
( )
td
K t K t d K t
dt
. (1.6)
Здесь 1( ) ( ) – обращения функций ( ) ; ( )K t и – ядра ползучести и рео-
логические параметры в исходных определяющих уравнениях; ( )K t и – ядра
ползучести и реологические параметры в обращениях исходных определяющих урав-
нений вида (1.5); ( ) и ( ) – компоненты и инварианты напряженно-деформиро-
ванного состояния в уравнениях (1.1) – (1.4).
В дальнейшем считается, что коэффициенты пропорциональности в соотношени-
ях (1.6) при ( )K t соизмеримы с единицей и не зависят от уровня напряжений,
так что
; ( ) ( ); ; ( ) ( );i i i iK t K t K t K t
11 11 11 11 22 22 22 22; ( ) ( ); ; ( ) ( ) ;K t K t K t K t (1.7)
21 21 21 21; ( ) ( ).K t K t
28
Нелинейность вязкоупругих свойств в уравнениях (1.1) – (1.4) задается функция-
ми ( ) и их обращениями ( ) , структура которых выбирается в форме сглаживаю-
щих кубических сплайнов [3, 14], так что
2 3 2 3
0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3,( ) ; ( ) ,j j j j j j j ja a a a b b b b (1.8)
где коэффициенты 0, ;ja и 0, ;jb определяются по результатам обработки соот-
ветствующих экспериментальных данных (см. раздел 4); j – количество интервалов
разбиения осей деформаций и напряжений в графическом представлении эксперимен-
тальных данных.
Ядра наследственности в (1.1) – (1.5) задаются дробно-экспоненциальными функ-
циями [20]
(1 )
0
1 ( ) ( )
( ) ;
(1 )(1 )( )
n n
a
n
t
K t
nt
(1 )
0
1 ( 1) ( ) ( )
( ) ,
(1 )(1 )( )
n n n
a
n
t
R t
nt
(1.9)
где , – параметры ядер, подлежащие определению из экспериментов.
Задача заключается в установлении зависимости между ядрами ползучести нели-
нейно-вязкоупругих материалов при сложном и одномерном напряженных состояни-
ях, в определении параметров ядер и в экспериментальной апробации сформулиро-
ванных соотношений между ядрами на задачах расчета деформаций ползучести и ре-
лаксации напряжений в тонкостенных трубчатых элементах из полимерных материа-
лов при комбинированном нагружении растяжением с кручением.
§2. Идентификация скалярных ядер наследственности при сложном напря-
женном состоянии.
Устанавливается зависимость между ядрами интенсивности деформаций ползуче-
сти и объемной ползучести, задающими скалярные свойства ползучести при сложном
напряженном состоянии, и ядрами продольной, поперечной и сдвиговой ползучести
при одноосном растяжении и чистом кручении, задающими базовые характеристики
ползучести.
2.1. Компоненты и инварианты тензоров напряжений и деформаций. При од-
ноосном растяжении компоненты тензоров напряжений и деформаций в случае изме-
рения в эксперименте продольных и поперечных деформаций записываются в виде
11( ) 0 0
( ) 0 0 0
0 0 0
ij
t
t
и
11
22
33
( ) 0 0
( ) 0 (t) 0
0 0 ( )
ij
t
t
t
, (2.1)
в случае измерения в эксперименте только продольных деформаций – в виде
11( ) 0 0
( ) 0 0 0
0 0 0
ij
t
t
и
11
11
11
( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
0 0 ( )
ij
t
t t
t
, (2.2)
а при чистом кручении – в виде
21
12
0 ( ) 0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij
t
t t
и
12
21
0 ( ) 0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij
t
t t
. (2.3)
29
Здесь 11( )t – одноосное растягивающее напряжение; 11( )t , 22 ( )t , 33( )t – продоль-
ная и поперечные деформации при одноосном растяжения; 12 ( )t , 21( )t – касатель-
ные напряжения при чистом кручении; 12 ( )t , 21( )t – сдвиговые деформации при
чистом кручении; – коэффициент Пуассона.
Зависимости интенсивности напряжений i , интенсивности деформаций i ,
среднего напряжения 0 , объемной деформации от компонент тензора напряже-
ний ij и тензора деформаций ij задаются в (1.1) и (1.2) уравнениями
2 2 2 2 2 2
11 22 22 33 33 11 12 23 31
2 2 2 2 2 2
11 22 22 33 33 11 12 23 31
0 11 22 33 0 11 22 33
2
6 ;
2
2
6 ;
3
1
( ); 3 ,
3
i
i
v
(2.4)
которые с учетом (2.1), (2.2) и (2.3) записываются в виде
11 11 22 0 11 v 11 22
2 1
( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ); ( ) ( ) 2 ( ) ,
3 3i it t t t t t t t t t (2.5)
в виде
11 11 0 11 v 11
2(1 ) 1
( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ) ; ( ) (1 2 ) ( )
3 3i it t t t t t t t
(2.6)
и, соответственно, в виде
21 21 0 v
2
( ) 3 ( ); ( ) ( ); 0; ( ) 0,
3
i it t t t t (2.7)
где в (2.6) принято, что 22 33 11( ) ( ) ( )t t t . Деформации ползучести 11( )t и
22 ( )t в (2.5) и 21( )t в (2.7) измеряются в эксперименте.
2.2. Идентификация скалярных ядер наследственности по ядрам продольной
и поперечной ползучести. Устанавливается зависимость между ядрами интенсивно-
сти деформаций ползучести ( )iK t и ядрами объемной ползучести ( )K t при
сложном напряженном состоянии и ядрами продольной 11( )K t и поперечной
22 ( )K t ползучести при одноосном растяжении. Зависимость между ядрами уста-
навливается исходя из совместного решения уравнений в (1.1), разрешенных относи-
тельно ( )i t и ( )t , и уравнений (1.3), разрешенных относительно 11( )t и 22 ( )t .
Уравнения в (1.1), разрешенные относительно ( )i t и ( )t с использованием
представления (1.5) и соотношений (1.7), сводятся к уравнениям
,)()()()(
;)()()()(
0
0
0
0
dtKtt
dtKtt
t
ii
t
iiiii
(2.8)
а уравнения (1.3), разрешенные относительно 11( )t и 22 ( )t ,– соответственно к урав-
нениям
11 11 11 11 11 11 11
0
( ) ( ) ( ) ( ) ;
t
t t K t d
30
22 22 11 22 22 22 11
0
( ) ( ) ( ) ( ) .
t
t t K t d
(2.9)
Здесь 11( )K t , 11 , 22 ( )K t , 22 – ядра и реологические параметры, удовлетворя-
ющие условию (1.6) и равенствам (1.7).
При ( ) consti t и 0 ( ) constt уравнения (2.8) записываются с учетом соотно-
шений (2.5) и (2.6) в виде
11 22
0
22 0 11
0
3
( ) ( ) 1 ( ) ( );
2
1 1
( ) ( ) 1 ( ) ( ) ,
2 2
t
i i i i
t
t K d t
t K d t
(2.10)
а уравнения (2.9) – соответственно, в виде
11 11 11 11 11 22 22 11 22 22
0 0
( ) ( ) 1 ( ) ; ( ) ( ) 1 ( ) ,
t t
t K d t K d
(2.11)
где принято 1( ) ( )i i , 1
0 0( ) ( ) , 1
11 11( ) ( ) , 1
22 22( ) ( ) .
Уравнения (2.10) преобразуем к виду
11 1 11
0 0
22 11 11
0 0
1 1
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ;
3 3
1 1 1
( ) 1 ( ) 1 ( ) ,
3 3 2
t t
i i i
t t
i i i
t K d K d
t K d K d
(2.12)
где, как и в (2.5), принято
0 11 0 11 22
1 1
; 2
3 3
.
Из совместного решения уравнений (2.11) и (2.12) для зависимости между ядрами
ползучести ( )iK t , ( )K t , 11( )K t , 22 ( )K t и между функциями 11( )i , 11( ) ,
11 11( ) , 22 11( ) получаем две системы уравнений
11 11 11 11 11 11
11 11 22 11 22 22
1 1
( ) ( ) ( ) ( );
3 3
1 1 1
( ) ( ) ( );
2 3 3
i i i
i i i
K t K t K t
K t K t K t
11 11 11 22 11
11 11 11 22 11
2
( ) ;
3
( ) 2 ,
i
(2.13)
определители которых не равны нулю, что свидетельствует о существовании нетри-
виальных решений систем уравнений (2.13).
Решение первой системы уравнений в (2.13) с учетом второй системы уравнений
позволяет установить зависимость между ядрами ползучести ( )iK t и 11( )K t и 22 ( )K t
в (1.1) в виде
11 11 11 11 22 11 22 22
11 11 22 11
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )i i
K t K t
K t
, (2.14)
31
а между ядрами ползучести ( )K t и 11( )K t и 22 ( )K t в (1.3) в виде
11 11 11 11 22 11 22 22
11 11 22 11
( ) ( ) 2 ( ) ( )
( )
2
K t K t
K t
, (2.15)
которые позволяют рассчитывать дискретные значения скалярных ядер ползучести
нелинейно-вязкоупругих материалов при сложном напряженном состоянии, исполь-
зуя значения ядер продольной и поперечной ползучести при одноосном растяжении.
2.3. Идентификация скалярных ядер наследственности по ядрам продольной
и сдвиговой ползучести. Устанавливается зависимость между ядрами интенсивности
деформаций ползучести ( )iK t и ядрами объемной ползучести ( )K t при слож-
ном напряженном состоянии и ядрами продольной 11( )K t и сдвиговой 21( )K t
ползучести при одноосном растяжении и чистом кручении.
Зависимость между ядрами устанавливается исходя из совместного решения
уравнений в (1.1) разрешенных относительно ( )i t и ( )t и уравнений (1.4), разре-
шенных относительно 11( )t и 21( )t .
Уравнения в (1.1), разрешенные относительно ( )i t и ( )t , записываются в виде
(2.8), а уравнения (1.4), разрешенные относительно 11( )t и 21( )t , соответственно в виде
11 11 11 11 11 11 11
0
21 21 21 21 21 21 21
0
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t
t t K t d
t t K t d
(2.16)
в котором также использованы представление (1.5) и соотношения (1.7).
Представим далее первое уравнение в (2.8) с учетом соотношений (2.7) в виде
21 21 21
0
33
( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )
2 2
t
i
i i it t K t d
,
приравнивая которое правой части второго уравнения в (2.16) при 21( ) constt , по-
лучаем соотношение
21 21 21 21 21
0 0
3
( ) 1 ( ) 3 1 ( )
2
t t
i i iK d K d
. (2.17)
Функция ( )i , исходя из гипотезы существования единой диаграммы мгновенно-
го деформирования в координатах « i i », может быть представлена равенством
11
21
2
3 3
i i
, (2.18)
подставляя которое в уравнение (2.17) получаем соотношение
21 21
0 0
1 ( ) 1 ( )
t t
i iK d K d . (2.19)
Дифференцируя далее обе части уравнения (2.19) по t и используя теорему Нью-
тона – Лейбница [10], получаем соотношение
21 21( ) ( )i iK t K t , (2.20)
32
позволяющее рассчитывать дискретные значения ядер интенсивности деформаций
ползучести при сложном напряженном состоянии, используя значения ядер сдвиговой
ползучести при чистом кручении.
Зависимость между ядрами объемной ползучести ( )K t и ядрами продольной
11( )K t и сдвиговой 21( )K t ползучести устанавливается исходя из совместного
решения уравнений в (1.1) и уравнений (2.8).
Уравнение объемной деформации в (2.8) с учетом соотношений для 0 ( )t и ( )t
в (2.5) представим в виде
11 22 11 11
0
1 1
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
t
t t t K t d
, (2.21)
а первое уравнение в (1.1) – в виде
11 11 22 11 11
( )1 3 1
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
3 2 ( ) 3
i
i
t
t t t t t
t
или, после некоторых упрощений, соответственно, в виде
11 22 11
( )
2 ( ) ( ) 3 ( )
( )
i
i
t
t t t
t
. (2.22)
Из совместного решения уравнений (2.21) и (2.22) получаем уравнение
11 11 11 11
0
( )1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 ( )
t
i
i
t
t t K t d t
t
,
которое с учетом первого соотношения в (2.8) сводится к уравнению
11 11 11
0
11 11
0
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
( ) ( ) ( ) .
t
t
i i i i
t t K t d
t K t d
(2.23)
Полагая далее, что 11 const и подставляя (2.18) и (2.20) в (2.23), получаем с
учетом (2.18) соотношение
11 11 11 11 11 11 11 21 11
0
11 21 21 21 11
0 0
1 1 2 1
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
1 1 2 1
( ) ( ) ,
3 3 3 3
t
t t
K d
K d K d
в котором примем, что
11 11 11 21 11
1 1 2 1
( )
3 3 3 3
, (2.24)
а
11 11 11 11 11 21 21 21 11
0 0 0
1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
t t t
K d K d K d
, (2.25)
где неизвестными считаются функции ( )i и ( )K .
Дифференцируя далее обе части уравнения (2.25) по t и используя теорему Нью-
тона – Лейбница [7], а также соотношение для ( ) из (2.24), для функции ( )K t
получаем соотношение
33
11
11 11 11 11 21 21 21
11
11 11 21
2
( ) ( ) ( )
3 3( )
2
( )
3 3
K t K t
K t
, (2.26)
позволяющее рассчитывать дискретные значения ядер объемной ползучести при
сложном напряженном состоянии, используя значения ядер продольной ползучести
при одноосном растяжении и сдвиговой ползучести при чистом кручении.
§3. Экспериментальная апробация методов идентификации ядер наслед-
ственности при сложном напряженном состоянии.
Методы идентификации ядер наследственности нелинейно-вязкоупругих матери-
алов при сложном напряженном состоянии, изложенные в разделе 2, апробируются
экспериментально на задачах расчета деформаций ползучести и релаксации напряже-
ний при двухосном нагружении.
3.1. Объект исследования. Материальные константы. В качестве объекта ис-
следования выбраны тонкостенные трубчатые образцы из полиэтилена высокой плот-
ности ПЭВП наружным диаметром Hd = 51 мм и толщиной стенки h = 5 мм. Образцы
испытывались на ползучесть и на релаксацию при одноосном растяжении и чистом
кручении и комбинированном нагружении растяжением с кручением. Эксперимен-
тальные данные заимствованы из [9].
МПа,
%,, 1211 %,22
1
2
1
2
МПа,
%,, vi
а б
Рис. 1
На рис. 1 приведены «мгновенные» диаграммы деформирования для полиэтилена
ПЭВП, построенные по данным базовых экспериментов, для одномерного (а) и слож-
ного (б) напряженных состояний. Для одномерного напряженного состояния построе-
ны «мгновенные» диаграммы продольного растяжения (○) в координатах « 11 11 » и
поперечного сжатия в координатах « 22 22 » (●) и « 22 22 »(◒) при одноосном
растяжении и мгновенная диаграмма сдвига ( ) в координатах « 21 21 » при чистом
кручении. Для сложного напряженного состояния построены единые диаграммы де-
формирования (○) в координатах « i i » и диаграммы объемного деформирования
(●) в координатах « ». Диаграмма поперечного сжатия в координатах
« 22 22 » построена по результатам замеров величины 22 при одноосном растяже-
нии напряжениями 11 , а диаграмма « 22 22 » по значениям величины 22 , рассчи-
танной на основе данных о величине 11 и коэффициенте Пуассона 0 . Диаграммы
деформирования в координатах « i i » и « » построены для двух групп базо-
вых экспериментов.
Точками на рис. 1, а нанесены исходные экспериментальные данные, а на рис. 1, б
– дискретные значения величин i и , соответствующих выбранным значениям
i i и 0 и рассчитанных согласно (2.6). Сплошными линиями на рис. 1, а
34
нанесена аппроксимация экспериментальных данных сглаживающими кубическими
сплайнами (1.8). Линиями 1 на рис. 1, б нанесена аппроксимация дискретных значе-
ний функций ( )i i и 0( ) , рассчитанных на основе данных первой группы базо-
вых экспериментов, а линиями 2 – на основе второй группы базовых экспериментов.
В табл. 1 приведены значения коэффициентов сглаживающих кубических сплай-
нов (1.8) для диаграмм деформирования, приведенных на рис. 1, и для их обращений.
Таблица 1
11 11( ) 11,j a3,j, МПа a2,j, МПа a1,j, МПа a0,j, МПа
0 – 0,042 73407,25 –9730,52 710,0067 0
22 22( ) 22,j с3,j, МПа с2,j, МПа с1,j, МПа с0,j, МПа
0 – 0,019 1460660 –75822,6 1865,488 0
12 12( ) 12,j p3,j, МПа p2,j, МПа p1,j, МПа p0,j, МПа
0 – 0,018 154859,8 –13365,8 593,4515 0
( )i i i,j f3,j, МПа f2,j, МПа f1,j, МПа f0,j, МПа
0 – 0,04 9,65010–4 –1,19710–4 7,72410–2
( ) v,j f3,j, МПа f2,j, МПа f1,j, МПа f0,j, МПа
0 – 0,00436 5,4602107 –2,6578105 1,2085103
11 11( )
11,j b3,j, МПа–3 b2,j, МПа–2 b1,j, МПа–1 b0,j, МПа
0 – 0,018 1,6710–6 210–5 0,001422 0
22 11( )
11,j d3,j, МПа–3 d2,j, МПа–2 d1,j, МПа–1 d0,j, МПа
0 – 18 1,3710–6 2,8410–6 0,000552 0
12 12( )
12,j r3,j, МПа–3 r2,j, МПа–2 r1,j, МПа–1 r0,j, МПа
0 – 7,7 1,0210–5 2,910–5 0,001734 0
( )i i i,j g3,j, МПа–3 g2,j, МПа–2 g1,j, МПа–1 g0,j, МПа
0 – 18 2,0310–6 1,5210–5 0,001316 0
0( )
0 m3,j, МПа–3 m2,j, МПа–2 m1,j, МПа–1 m0,j, МПа
0 – 5 –2,906410–5 1,284410–4 9,566410–4 0
5 – 7 0 0 0 0,004361
%,, 2211
часt,
1
1
2
3
3
4
4
2
1
2
3
4
часt,
%,21
а б
Рис. 2
На рис. 2 приведены базовые кривые продольной (○) и поперечной (●)ползучести
полиэтилена ПЭВП при одноосном растяжении (а) напряжениями 11 = 2,5 (1); 5,0 (2);
7,5 (3); 10,0 (4) МПа и кривые сдвиговой ползучести (◐) при чистом кручении (б)
напряжениями 21 = 1,17 (1); 2,34 (2); 3,51 (3); 4,68 (4) МПа. Точками нанесены экспе-
риментальные данные, а линиями – аппроксимация экспериментальных данных сгла-
живающими кубическими сплайнами [15].
Нелинейность вязкоупругих свойств полиэтилена ПЭВП обосновывается нели-
нейностью мгновенных диаграмм деформирования (см. рис. 1 и табл. 1) и нарушени-
ем условия линейности [13]
35
, ,
( )
( )
j
k k
j j
J t n
t t
S t
; 1,j m , (3.1)
где ,kt , ,kt
– расчетное и, соответственно, табличное значения квантиля статистики;
( )jJ t – выборочное среднее значение функции ползучести ( )jJ t ; ( )J jS t – выбороч-
ное среднее квадратичное отклонение функции ползучести ( )jJ t ; m – число времен-
ных интервалов разбиения базовых кривых ползучести; n – объем выборки (число
функций ползучести); – погрешность.
Нарушение условия линейности (3.1) иллюстрируется сопоставлением на рис. 3
расчетных ,kt и табличных ,kt
значений квантиля статистики для функций ползуче-
сти полиэтилена ПЭВП при одноосном растяжении (а) и чистом кручении (б). Расчет-
ные значения квантиля статистики ,kt нанесены штриховыми линиями для продоль-
ной и сдвиговой ползучести и штрихпунктирной линией для поперечной ползучести.
Табличные значения квантиля статистики ,kt
[6] нанесены жирными сплошными
линиями.
kt ,
*
,kt
часt,
а б
Рис. 3
Из данных, приведенных на рис. 3 следует, что условие линейности (3.1) для всех
рассмотренных видов ползучести не выполняется, поскольку ,kt < ,kt
, так что поли-
этилен ПЭВП для заданного диапазона напряжений относится к классу нелинейно-
вязкоупругих материалов.
Параметры ядер интенсивности деформаций ползучести ( )iK t и объемной
ползучести ( )K t в (1.1) определяются по результатам аппроксимации дискретных
значений ядер, рассчитанных по соотношениям (2.14), (2.15) и (2.20), (2.26), дробно-
экспоненциальными функциями (1.9). Соотношения (2.14) и (2.15) позволяют рассчи-
тывать дискретные значения ядер ( )iK t и ( )K t по ядрам продольной
11( )K t и поперечной 22 ( )K t ползучести, а соотношения (2.20) и (2.26) – по яд-
рам продольной 11( )K t и сдвиговой 21( )K t ползучести. Методика определения
параметров ядер 11( )K t , 22 ( )K t и 21( )K t нелинейно-вязкоупругих материа-
лов изложена в [12, 15]. Параметры этих ядер определяются исходя из условия подо-
бия мгновенных диаграмм деформирования и изохронных диаграмм ползучести.
В табл. 2 приведены рассчитанные по изложенной в [13, 14] методике параметры
дробно-экспоненциальных ядер продольной 11( )K t и поперечной 22 ( )K t ползу-
чести, а в табл. 3 – продольной 11( )K t и сдвиговой 21( )K t ползучести полиэти-
лена высокой плотности ПЭВП.
t, час
t,k
t*,*
,kt
часt,
36
Таблица 2
П
ол
иэ
ти
ле
н
П
Э
В
П
11( )K t , час-1
22 ( )K t , час-1
11 11(1 )
11,час 11(1 )
11,час
22 22(1 )
22 ,час 22(1 )
22 ,час
–0,1681 5,4039 4,5723 –0,2720 3,9906 3,6874
( )iK t , час–1 ( )K t , час–1
i (1 ),час i
i
(1 ),час i
i
(1 ),час
(1 ),час
–0,1988 4,9293 4,2870 –0,0574 8,3649 8,0242
При определении параметров ядер продольной и поперечной ползучести исполь-
зованы результаты испытаний на ползучесть при одноосном растяжении с замером
продольных и поперечных деформаций (см. рис. 2, а), а при определении параметров
ядер сдвиговой ползучести – результаты испытаний на ползучесть при чистом круче-
нии с замером угловых деформаций (см. рис. 2, б).
Таблица 3
П
ол
иэ
ти
ле
н
П
Э
В
П
11( )K t , час–1
22 ( )K t , час–1
11 11(1 )
11,час 11(1 )
11,час
22 22(1 )
22 ,час 22(1 )
22 ,час
–0,1681 5,4039 4,5723 –0,2059 4,6747 3,3220
( )iK t , час–1 ( )K t , час–1
i (1 ),час i
i
(1 ),час i
i
(1 ),час
(1 ),час
–0,2059 4,6747 3,3220 –0,0987 7,0030 10,1678
часt,
ii K
часt,
vvK
а б
Рис. 4
На рис. 4 приведены дискретные значения (точки) и их аппроксимация дробно-
экспоненциальными функциями (линии) ядер интенсивности деформаций ползучести
(а) и объемной ползучести (б) для полиэтилена высокой плотности ПЭВП. Дискрет-
ные значения ядер, рассчитанных по формулам (2.14) и (2.15), нанесены светлыми
точками, а их аппроксимация – линиями. Дискретные значения ядер, рассчитанных по
формулам (2.20) и (2.26), нанесены темными точками, а их аппроксимация – линиями.
Расчеты по формулам (2.14), (2.15), (2.20) и (2.26) выполнены при условии, что
11 const , 21 const , 0 . Параметры дробно-экспоненциальных ядер ползучести
i , i , i и , , , найденные по результатам аппроксимации их дискретных
значении, приведены в табл. 2 и 3.
37
3.2. Ползучесть тонкостенных трубчатых элементов. Методы идентифика-
ции ядер наследственности, изложенные в разделе 2, апробируются экспериментально
на задачах расчета деформаций продольной, поперечной и сдвиговой ползучести тон-
костенных трубчатых элементов при одноосном растяжении, чистом кручении и рас-
тяжении с кручением.
Компоненты тензора напряжений ( )ij t при комбинированном нагружении тон-
костенных трубчатых образцов одноосным растяжением с кручением и соответству-
ющие компоненты тензора деформаций ( )ij t записываются в виде
11 21
12
0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij t h t
и
11 21
12 22
33
(t) (t) 0
( ) (t) (t) 0
0 0 ( )
ij t
t
, (3.2)
где 11 – одноосное растягивающее напряжение; 21 – касательное напряжение кру-
чения; 11( )t , 22 ( )t , 33( )t – продольная и поперечные деформации ползучести соот-
ветственно; 21( )t – сдвиговая деформация ползучести; ( )h t – единичная функция
Хевисайда.
Для компонент тензора деформаций ползучести ( )ij t из системы уравнений (1.1)
с учетом (1.9) получаем уравнение
(1 )
0
0
(1 )
0 0
0
( )3 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) (1 )(1 )
( )1
( ) ( ) ,
3 (1 )(1 )
i
n nt
i
ij i i i i ij ij
i i
n nt
ij
t
t t d t t
t n
t
t d
n
(3.3)
где [ ]i , [ ] – обращения функций ( )i , ( ) , задающих нелинейность скаляр-
ных вязкоупругих свойств в (1.1); i , i , i и v , , v – параметры дробно-
экспоненциальных ядер интенсивности деформаций ползучести и объемной ползуче-
сти соответственно. Остальные обозначения совпадают с принятыми в (1.1) и (1.9).
Продольная ползучесть. Рассчитываются деформации продольной ползучести
11( )t тонкостенных трубчатых элементов из полиэтилена высокой плотности ПЭВП
при одноосном растяжении напряжениями 11 const ( 21 12 0 ) и при комбини-
рованном нагружении одноосным растяжением напряжениями 11 const и кручени-
ем напряжениями 21 22 const .
Для деформаций продольной ползучести 11( )t из (3.3) при 11 const и
21 12 0 получаем с учетом (2.5) уравнение
(1 )(1 )3
11 , 11
0 0
(1 )(1 )3
, 11
0 0
( ) 1
1 (1 )(1 )
1 1
1 ,
3 3 1 (1 )(1 )
i
v
k
n n
i
k j i
k n i
k
n n
v
k j v
k n v
t
t g
n
t
m
n
(3.4)
а при 11 const и 21 22 const – с учетом (2.4) уравнение
(1 )(1 )3
2 2
11 , 11 212 2
0 011 21
1
( ) 3 1
1 (1 )(1 )3
i
k
n n
i
k j i
k n i
t
t g
n
38
(1 )(1 )3
, 11
0 0
1 1
1 .
3 3 1 (1 )(1 )
v
k
n n
ij k j
k n v
t
m
n
(3.5)
Здесь ,k jg и ,k jm – коэффициенты сглаживающих кубических сплайнов вида (1.8)
обращений [ ]i и [ ]v функций ( )i , ( )v , имеющие размерность деформаций и
зависящие от j-го интервала разбиения оси напряжений.
Результаты расчетов деформаций продольной ползучести 11( )t тонкостенных
трубчатых элементов из полиэтилена высокой плотности ПЭВП, выполненных по
уравнениям (3.4) и (3.5) с использованием приведенных в табл. 1 – 3 значений мате-
риальных констант, сопоставлены на рис. 5 с экспериментальными данными при од-
ноосном растяжении (а) и комбинированном нагружении растяжением с кручением (б).
Здесь и далее экспериментальные данные нанесены точками, а результаты расчетов – ли-
ниями. Штриховыми линиями нанесены результаты расчетов с использованием парамет-
ров ядер ( )iK t и ( )K t , приведенных в табл. 2, а штрихпунктирными линиями – с
использованием параметров ядер ( )iK t и ( )K t , приведенных в табл. 3.
часt,
%,11
t, час
11, %
а б
Рис. 5
При одноосном растяжении сопоставление результатов расчета с эксперимен-
тальными данными выполнено при напряжениях 11 = 2,5 (○); 5,0 (◒); 7,5 (◓); 10,0 (●)
МПа, а при комбинированном нагружении растяжением с кручением – при напряже-
ниях 11 = 1,77; 21 = 0,83 (○) МПа; 11 = 3,54; 21 = 1,66 (◒) МПа; 11 = 5,31; 21 = 2,49
(◓) МПа; 11 = 7,08; 21 = 3,32 (●) МПа.
Поперечная ползучесть. Рассчитываются деформации поперечной ползучести
22 ( )t тонкостенных трубчатых элементов из полиэтилена высокой плотности ПЭВП
при одноосном растяжении напряжениями 11 const ( 21 12 0 ) и при комбини-
рованном нагружении одноосным растяжением напряжениями 11 const и кручени-
ем напряжениями 21 12 const .
Для деформаций поперечной ползучести 22 ( )t из (3.3) при 11 const и
21 12 0 получаем с учетом (2.5) уравнение
(1 )(1 )3
22 , 11
0 0
(1 )(1 )3
, 11
0 0
( )1
( ) 1
2 1 (1 )(1 )
( )1 1
1 ,
3 3 1 (1 )(1 )
i
v
k
nn
i
k j i
k n i
k
nn
i
k j v
k n v
t
t g
n
t
m
n
(3.6)
а при 11 const и 21 12 const с учетом (2.4) – уравнение
39
(1 )(1 )3
2 211
22 , 11 212 2
0 0
11 21
(1 )(1 )3
, 11
0 0
( )1
( ) 3 1
2 1 (1 )(1 )3
( )1 1
1 ,
3 3 1 (1 )(1 )
i
v
k
nn
i
k j i
k n i
k
nn
v
k j v
k n v
t
t g
n
t
m
n
(3.7)
где все обозначения совпадают с принятыми в (3.4) и (3.5).
Результаты расчетов деформаций поперечной ползучести 22 ( )t тонкостенных
трубчатых элементов из полиэтилена высокой плотности ПЭВП, выполненным по
уравнениям (3.6) и (3.7) с использованием приведенных в табл. 1 – 3 значений мате-
риальных констант, сопоставлены на рис. 6 с экспериментальными данными при од-
ноосном растяжении (а) и комбинированном нагружении растяжением с кручением
(б). При одноосном растяжении сопоставление результатов расчета с эксперименталь-
ными данными выполнено при напряжениях 11 = 2,5 (○); 5,0 (◒); 7,5 (◓); 10,0 (●) МПа.
При комбинированном нагружении растяжением с кручением сравниваются значения
деформаций ползучести при напряжениях 11 = 1,77; 21 = 0,83 (○) МПа; 11 = 3,54; 21 =
= 1,66 (◒) МПа; 11 = 5,31; 21 = 2,49 (◓) МПа; 11 = 7,08; 21 = 3,32 (●) МПа, рассчи-
танные с использованием параметров ядер ползучести ( )iK t и ( )K t , приведен-
ных в табл. 2 (штриховая линия) и в табл. 3 (штрихпунктирная линия).
часt,
%,22
часt,
%,22
а б
Рис. 6
Сдвиговая ползучесть. Рассчитываются деформации сдвиговой ползучести 21( )t
тонкостенных трубчатых элементов из полиэтилена высокой плотности ПЭВП при
чистом кручении напряжениями 21 const ( 11 0 ) и при комбинированном нагру-
жении одноосным растяжением напряжениями 11 const и кручением напряжения-
ми 21 12 const .
Для деформаций сдвиговой ползучести 21( )t из (3.3) при 21 12 const и
11 0 получаем с учетом (2.7) уравнение
(1 )(1 )3
21 , 21
0 0
3
( ) 3 1
2 1 (1 )(1 )
i
k
n n
i
k j i
k n i
t
t g
n
, (3.8)
а при 11 const и 21 12 const с учетом (2.5) и (2.7) – уравнение
(1 )(1 )3
2 211
21 , 11 212 2
0 0
11 21
( )3
( ) 3 1
2 1 (1 )(1 )3
i
k
nn
i
k j i
k n i
t
t g
n
, (3.9)
где все обозначения совпадают с принятыми в (3.4) и (3.5).
40
часt,
%,21
t, час
21, %
а б
Рис. 7
Результаты расчетов деформаций сдвиговой ползучести 21( )t тонкостенных
трубчатых элементов из полиэтилена высокой плотности ПЭВП, выполненных по
уравнениям (3.8) и (3.9) с использованием приведенных в табл. 1 – 3 значений мате-
риальных констант, сопоставлены на рис. 7 с экспериментальными данными при чи-
стом кручении (а) и комбинированном нагружении растяжением с кручением (б). При
чистом кручении сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными
выполнено при напряжениях 21 = 1,17 (○); 2,34 (◒); 3,51 (◓); 4,68 (●) МПа, а при
комбинированном нагружении растяжением с кручением – при напряжениях 11 = 1,77;
21 = 0,83 (○) МПа; 11 = 3,54; 21 = 1,66 (◒) МПа; 11 = 5,31; 21 = 2,49 (◓) МПа; 11 =
= 7,08; 21 = 3,32 (●) МПа.
3.3. Релаксация напряжений в тонкостенных трубчатых элементах. Методы
идентификации ядер наследственности, изложенные в разделе 2, апробируются экс-
периментально на задачах расчета релаксации нормальных и касательных напряже-
ний в тонкостенных трубчатых элементах при одноосном растяжении, чистом круче-
нии и комбинированном нагружении растяжением с кручением.
Компоненты тензора деформаций ( )ij t и соответствующие компоненты тензора
напряжений ( )ij t при комбинированном деформировании тонкостенных трубчатых
образцов одноосным растяжением с кручением записываются в виде
11 21
12 22
33
0
( ) ( ) 0
0 0
ij t h t
;
11 21
12
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0 0
0 0 0
ij
t t
t t
, (3.10)
где все обозначения совпадают с принятыми в (3.2).
Для компонент тензора напряжений ( )ij t в (3.10) из системы уравнений (1.2) по-
лучаем с учетом (1.9) уравнение
(1 )
0
(1 )
0
( 1) ( )2 1
( ) ( ) ( )
3 ( ), (1 )(1 )
( 1) ( )1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
3 (1 )(1 )
i
v
n nnt
i i
ij i i i i i
i i i
n nnt
v v
ij ij v ij v v v v v
v
t
t t d
t t n
t
t t t t d
n
(3.11)
где ( )i t и ( )t – интенсивность деформаций ползучести и деформация объемной
ползучести; ( )i и ( ) – функции, задающие нелинейность скалярных вязкоупру-
гих свойств. Остальные обозначения совпадают с принятыми в (3.3).
41
Релаксация нормальных напряжений. Рассчитывается уменьшение во времени рас-
тягивающих напряжений 11( )t в тонкостенных трубчатых элементах из полиэтилена
ПЭВП при одноосном деформировании удлинениями 11 const ( 21 12 0 ) и ком-
бинированном деформировании удлинениями 11 const и сдвигами 21 12 const .
Для расчета релаксации нормальных напряжений 11( )t из (3.11) при 11 const
и 21 12 0 получаем с учетом (2.4) и (2.6) уравнение
(1 )(1 )3
11 , 11
0 0
(1 )(1 )3
, 11
0 0
( 1) ( )2(1 )2
( ) 1
3 3 1 (1 )(1 )
( 1) ( )
(1 2 ) 1 ,
1 (1 )(1 )
i
v
k nn n
i i
k j i
k n i
nn n
m v v
m j v
m n v
t
t f
n
t
k
n
(3.12)
а при 11 const и 21 12 const – уравнение
3
2 2
11 , 11 212 2 0
11 21
(1 )(1 ) 3
, 11
0 0
(1 )(1 )
0
(1 )3 2
( ) (1 ) 3
2 3(1 ) 3
( 1) ( )
1 (1 2 )
1 (1 )(1 )
( 1) ( )
1
1 (1 )(1 )
i
k
k j
k
nn n
mi i
i m j
n mi
nn n
n
t f
t
k
n
t
n
,
(3.13)
где – коэффициент Пуассона нелинейно-упругого материала; ,k jf и ,m jk – коэф-
фициенты сглаживающих кубических сплайнов вида (1.8) функций ( )i и ( ) ,
имеющие размерность напряжений и зависящие от j-го интервала разбиения оси де-
формаций.
часt,
МПа,11
часt,
МПа,21
а б
Рис. 8
Результаты расчетов релаксации нормальных напряжений 11( )t в тонкостенных
трубчатых элементах из полиэтилена высокой плотности ПЭВП, выполненных по
уравнениям (3.12) и (3.13) с использованием приведенных в табл. 1 – 3 значений ма-
териальных констант, сопоставлены на рис. 8 с экспериментальными данными при
одноосном растяжении (а) и комбинированном нагружении растяжением с кручением
(б). При одноосном растяжении фиксировались значения удлинений 11 = 1,0 (○); 2,0
(◒); 3,0 (◓); 4,0 (●) %, а при комбинированном нагружении растяжением с кручени-
42
ем фиксировались значения удлинений 11 и сдвигов 21 : 0,71 и 0,61 (○); 1,41 и 1,22
(◒); 2,12 и 2,84 (◓); 2,83 и 2,45 (●) %.
Релаксация касательных напряжений. Рассчитывается уменьшение во времени
касательных напряжений 21( )t в тонкостенных трубчатых элементах из полиэтилена
высокой плотности ПЭВП при чистом кручении сдвиговыми деформациями
21 12 const ( 11 = 0) и при комбинированном деформировании удлинениями
11 const и сдвигами 21 12 const .
Для расчета релаксации касательных напряжений 21( )t из (3.10) при
21 12 const и 11 = 0 получаем с учетом (2.4) и (2.7) уравнение
(1 )(1 )3
21 , 21
0 0
( 1) ( )1 2
( ) 1
1 (1 )(1 )3 3
im nn n
i i
k j i
m n i
t
t f
n
, (3.14)
а при 21 12 const и 11 const – уравнение
3
2 221
21 , 11 212 2 0
11 21
(1 )(1 )
0
2
( ) (1 ) 3
3(1 ) 3
( 1) ( )
1 ,
1 (1 )(1 )
i
k
k j
k
nn n
i i
i
n i
t f
t
n
(3.15)
где все обозначения совпадают с принятыми в (3.12) и (3.13).
часt,
МПа,21
часt,
МПа,21
а б
Рис. 9
Результаты расчетов релаксации касательных напряжений 21( )t в тонкостенных
трубчатых элементах из полиэтилена высокой плотности ПЭВП, выполненных по
уравнениям (3.14) и (3.15) с использованием приведенных в табл. 1 – 3 значений ма-
териальных констант сопоставлены на рис. 9 с экспериментальными данными при
чистом кручении (а) и комбинированном нагружении растяжением с кручением (б).
При чистом кручении фиксировались значения сдвигов 21 = 0,87 (○); 1,73 (◒); 2,60
(◓); 3,40 (●) %, а при комбинированном нагружении растяжением с кручением фик-
сировались значения удлинений 11 и сдвигов 21 : 0,71 и 0,61 (○); 1,41 и 1,22 (◒); 2,12
и 2,84 (◓); 2,83 и 2,45 (●) %.
§4. Обсуждение результатов.
Эффективность сформулированных в работе методов идентификации скалярных
ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при слож-
ном напряженном состоянии основывается на решении задач расчета деформаций
ползучести и релаксации напряжений в тонкостенных трубчатых элементах из поли-
43
этилена высокой плотности ПЭВП. Рассмотрено нагружение трубчатых элементов
одноосным растяжением, чистым кручением и комбинированным нагружением рас-
тяжением с кручением. Рассчитывались деформации продольной, поперечной и сдви-
говой ползучести, а также релаксация нормальных и касательных напряжений. Уро-
вень приложенных напряжений изменялся примерно на порядок.
В целом, как это следует из сопоставления расчетных и экспериментальных дан-
ных, приведенных на рис. 5 – 9, получено вполне удовлетворительное согласование
результатов расчетов с результатами экспериментов. Максимальная погрешность при
расчетах деформаций ползучести не превышает 25% и получена для деформаций про-
дольной ползучести 11 (см. рис. 5, б) при комбинированном нагружении растяжени-
ем с кручением. При расчетах релаксации напряжений максимальная погрешность
составляет 41% и получена для нормальных напряжений 11 (см. рис. 8, б) также при
комбинированном нагружении растяжением с кручением. С экспериментальными
данными лучше согласуются результаты расчетов деформаций ползучести, выпол-
ненные с использованием параметров ядер, которые найдены по методике, основан-
ной на замерах деформаций продольной и поперечной ползучести при одноосном
растяжении. В этом случае максимальная погрешность не превышает 10%. Результа-
ты расчетов релаксации напряжений от методики определения параметров ядер на-
следственности практически не зависят.
При расчете деформаций ползучести и релаксации напряжений с использованием
параметров ядер ( )iK t и ( )K t , дискретные значения для которых рассчитывались по
формулам (2.14) и (2.15), нелинейность вязкоупругих свойств задавалась только
функциями 11 11( ) и 22 11( ) . Решение первой системы уравнений в (2.13) позволя-
ет установить зависимость между ядрами ползучести ( )iK t , ( )K t в (1.1) и 11( )K t ,
22 ( )K t в (1.3) в виде
11 11 11 11 22 11 22 22
11
( ) ( ) ( ) ( )2
( )
3 ( )i i
i
K t K t
K t
(4.1)
и, соответственно, в виде
11 11 11 11 22 11 22 22
11
( ) ( ) 2 ( ) ( )
( )
1
3
K t K t
K t
, (4.2)
где нелинейность вязкоупругих свойств при сложном напряженном состоянии задает-
ся также нелинейностью зависимости интенсивности деформаций i от интенсивно-
сти напряжений i и нелинейностью зависимости объемной деформации от сред-
него напряжения 0 .
На рис. 10, в качестве примера, приведены результаты расчета (линии) деформа-
ций сдвиговой ползучести (а) и релаксации касательных напряжений (б) в тонкостен-
ных трубчатых элементах из полиэтилена высокой плотности ПЭВП, выполненные с
использованием соотношений для ядер ползучести (2.14) и (2.15) – штриховые линии
и (4.1) и (4.2) – штрихпунктирные линии при комбинированном нагружении растяже-
нием с кручением. Точками нанесены экспериментальные данные, заимствованные из
[9]. Расчетные и экспериментальные значения деформаций ползучести соответствова-
ли значениям напряжений на рис. 7, б, а расчетные и экспериментальные значения
релаксации напряжений – значениям деформаций на рис. 9, б.
Результаты расчетов деформаций ползучести и релаксации напряжений, выпол-
ненные для двух форм соотношений между ядрами ползучести при сложном и одно-
мерном напряженном состояниях, практически, как видно из рис. 10, совпадают. Ана-
логичные оценки получены для деформаций продольной и поперечной ползучести и
для релаксации нормальных напряжений.
44
часt,
МПа,21
часt,
%,21
а б
Рис. 10
Заключение.
Задача идентификации ядер наследственности изотропных нелинейно-вязкоупру-
гих материалов при сложном напряженном состоянии сводится, по существу, к уста-
новлению зависимости между ядрами, задающими вязкоупругие свойства при слож-
ном и одномерном напряженных состояниях. При сложном напряженном состоянии в
качестве ядер наследственности, подлежащих идентификации, рассматриваются ядра
интенсивности деформаций ползучести и ядра объемной ползучести. В качестве базо-
вых ядер наследственности при одномерном напряженном состоянии может быть ис-
пользована комбинация ядер продольной и поперечной ползучести при одноосном
растяжении или комбинация ядер продольной ползучести при одноосном растяжении
и сдвиговой ползучести при чистом кручении.
Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы-
полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ-
лений научных исследований» (КПКВК 6541230).
РЕЗЮМЕ. Сформульовано залежності між ядрами спадковості ізотропних нелінійно-
в'язкопружних матеріалів за умов складного та одновимірного напружених станів. Визначальні рів-
няння нелінійної в'язкопружності задані у формі, що відповідає гіпотезі пропорційності девіаторів.
Нелінійність в'язкопружних властивостей задається моделями типу моделі Работнова. Розв’язано та
апробовано експериментально задачі розрахунку деформацій повзучості та релаксації напружень у
тонкостінних трубчастих елементах за умов комбінованого навантаження розтягом із скрученням.
1. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. Теория и приложения. – М.: Наука, 1973. – 288 с.
2. Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. Длительная прочность в машиностроении. – М.:
Машиностроение, 1977. – 248 с.
3. Колтунов А.А. Метод определения объемных и сдвиговых характеристик упруго-вязких наслед-
ственных сред по экспериментам на одноосное растяжение (сжатие) // Механика полимеров. –
1969. – № 4. – С. 754 – 758.
4. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. – М.: Высш. шк., 1976. – 277 с.
5. Крегерс А.Ф., Килевич М.Р. Комплексное исследование полиэтилена высокой плотности в услови-
ях нелинейной ползучести и релаксации напряжений // Механика композитных материалов. –
1985. – № 2. – С. 195 – 201.
6. Степнов М.Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний. – М.: Машино-
строение, 1972. – 232 с.
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3-х томах. Том 2. –
Ленинград: Гос. изд-во физ.-матем. лит., 1960. – 860 с.
8. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. – New-York: Academic Press Inc., 1971. –
338 p.
9. Ferry J.D. Viscoelastic Properties of Polymers. 2nd ed. – New-York: John Willey and Sons, 1971. – 633 p.
10. Findley W.N., Lai J.S., Onaran K. Creep and Relaxation of Nonlinear Viscoelastic Materials. – Amster-
dam: North-Holland Publishing Company, 1976. – 367 p.
11. Golub V.P., Application of Fractional Exponential Hereditary Kernels in the Nonlinear Theory of Visco-
elasticity // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 727 – 734.
45
12. Golub V.P., Fernati P.V., Lyashenko Ya.G. Determining the Parameters of the Fractional Exponential
Hereditary Kernels of Linear Viscoelastic Materials // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 9.
– P. 963 – 974.
13. Golub V.P., Kobzar’ Yu.M., Ragulina V.S. A Method for Determining the Parameters of the Hereditary
Kernels in the Nonlinear Theory of Viscoelasticity // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 3. – P. 290 – 301.
14. Golub V.P., Pavlyuk Ya.V., Fernati P.V. Determining Parameters of Fractional-Exponential Heredity
Kernels of Nonlinear Viscoelastic Materials // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – P. 419 – 433.
15. Golub V.P., Pogrebnyak A.D., Romanenko I.B. Application of Smoothing Spline Approximations in
Problems on Identifications of Creep Parameters // Int. Appl. Mech. – 1997. – 33, N 6. – P. 477 – 484.
16. Kobzar’ Yu.M. Models of Long-Term Brittle Fracture of Rods in Tension and Compression under Creep
Conditions // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – P. 444 – 453.
17. Lai J.S.Y., Findley W.N. Behavior of nonlinear viscoelastic material under simultaneous stress relaxation
in tension and creep in torsion // ASME J. Appl. Mech. – 1969. – N 36 – P. 22 – 37.
18. Leaderman H. Elastic and Creep Properties of Filaments Materials and Other High Polymers. – Wash-
ington: Textile Foundation, 1943. – 289 p.
19. Maslov B.P. Combined Numerical and Analytical Determination of Poisson’s Ratio for Viscoelastic
Isotropic Materials // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 2. – P. 220 – 230.
20. Persoz B. Le principle de superposition de Boltzman // Cahier Groupe Frans. Ětudes Rhěol. – 1957. – 2,
N 1. – P. 237 – 245.
21. Rabotnov Y.N. Creep problems in structural members. – Amsterdam: North-Holland Publishing Compa-
ny, 1969. – 822 p.
22. Stafford R.O. On mathematical forms for the material functions in nonlinear viscoelasticity // J. Mech.
and Phys. Solids. – 1969. – 17, N 5. – P. 339 – 354.
23. Ward I.M. Mechanical Properties of Solid Polymers. – New York: Willey and Sons, 1971. – 345 p.
Поступила 13.11.2018 Утверждена в печать 04.06.2019
|