Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях

Наведено точний розв'язок для задачі пружного плоского згину шаруватого композитного бруса малої ширини під дією нормального навантаження, розподіленого на поздовжніх гранях по лінійному закону. Визначально співвідношення для параметрів напружено-деформованого стану отримано шляхом прямого розв...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Горик, А.В., Ковальчук, С.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Назва видання:	Прикладная механика
Теми:	Целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линейно распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала.
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188217
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях / А.В. Горик, С.Б. Ковальчук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 78-93. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-188217
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1882172023-02-17T01:26:27Z Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях Горик, А.В. Ковальчук, С.Б. Целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линейно распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала. Наведено точний розв'язок для задачі пружного плоского згину шаруватого композитного бруса малої ширини під дією нормального навантаження, розподіленого на поздовжніх гранях по лінійному закону. Визначально співвідношення для параметрів напружено-деформованого стану отримано шляхом прямого розв'язання плоскої задачі теорії пружності з врахуванням ортотропії пружних властивостей матеріалів шарів бруса та їх зміни по висоті поперечного перерізу за кусково-постійним законом. Отриманий аналітичний розв'язок дає розподіл напружень і переміщень в точках бруса по всьому пакету шарів і дозволяє виконувати практичні розрахунки на міцність і жорсткість, а також будувати розв'язки різних прикладних задач плоского згину композитних брусів. An exact solution of the problem on elastic plane bending of a layered bar of small width under action of the normal loads distributed on the longitudinal faces according to the linear law is presented. The defining relationships for the strain-stress state parameters are obtained by the direct solution of the plane problem of theory of elasticity taking into account orthotropy of the elastic properties of layer’s materials and their changes in the height of a cross-section according to the piecewise constant law. The analytical solution obtained gives the distribution of stress and displacements at the bar points on the whole package of layers and allows to perform the practical calculations for strength and rigidity as well as to construct the solutions of different application problems on plane bending of composite bars. 2020 Article Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях / А.В. Горик, С.Б. Ковальчук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 78-93. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188217 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линейно распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала. Целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линейно распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала.
spellingShingle	Целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линейно распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала. Целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линейно распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала. Горик, А.В. Ковальчук, С.Б. Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях Прикладная механика
description	Наведено точний розв'язок для задачі пружного плоского згину шаруватого композитного бруса малої ширини під дією нормального навантаження, розподіленого на поздовжніх гранях по лінійному закону. Визначально співвідношення для параметрів напружено-деформованого стану отримано шляхом прямого розв'язання плоскої задачі теорії пружності з врахуванням ортотропії пружних властивостей матеріалів шарів бруса та їх зміни по висоті поперечного перерізу за кусково-постійним законом. Отриманий аналітичний розв'язок дає розподіл напружень і переміщень в точках бруса по всьому пакету шарів і дозволяє виконувати практичні розрахунки на міцність і жорсткість, а також будувати розв'язки різних прикладних задач плоского згину композитних брусів.
format	Article
author	Горик, А.В. Ковальчук, С.Б.
author_facet	Горик, А.В. Ковальчук, С.Б.
author_sort	Горик, А.В.
title	Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях
title_short	Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях
title_full	Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях
title_fullStr	Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях
title_full_unstemmed	Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях
title_sort	решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линейно распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала.
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188217
citation_txt	Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях / А.В. Горик, С.Б. Ковальчук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 78-93. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT gorikav rešeniezadačiuprugogoizgibasloistojkonsolinormalʹnojlinejnoraspredelennojnagruzkojnaprodolʹnyhgranâh AT kovalʹčuksb rešeniezadačiuprugogoizgibasloistojkonsolinormalʹnojlinejnoraspredelennojnagruzkojnaprodolʹnyhgranâh
first_indexed	2025-07-16T10:08:59Z
last_indexed	2025-07-16T10:08:59Z
_version_	1837797779536084992
fulltext	2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 1 78 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 1 А . В . Г о р и к 1 , С . Б . К о в а л ь ч у к 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО ИЗГИБА СЛОИСТОЙ КОНСОЛИ НОРМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ НА ПРОДОЛЬНЫХ ГРАНЯХ Полтавская государственная аграрная академия, ул. Сковороды, 1/3, 36003, Полтава, Украина; e-mail: 1oleksii.goruk@pdaa.edu.ua; 2stanislav.kovalchuk@pdaa.edu.ua Abstract. An exact solution of the problem on elastic plane bending of a layered bar of small width under action of the normal loads distributed on the longitudinal faces according to the linear law is presented. The defining relationships for the strain-stress state parameters are obtained by the direct solution of the plane problem of theory of elasticity taking into account orthotropy of the elastic properties of layer’s materials and their changes in the height of a cross-section according to the piecewise constant law. The analytical solution obtained gives the distribution of stress and displacements at the bar points on the whole package of layers and allows to perform the practical calculations for strength and rigidity as well as to construct the solutions of different application problems on plane bending of composite bars. Key words: bar, composite, layer, bending, stress, deformation, displacement. Введение. Композитные элементы конструкций обладают хорошими соотношениями физи- ко-механических свойств, секрет получения которых заключается в комбинировании нескольких разнородных материалов. Однако такой технологический прием создает и основную проблему моделирования и расчета композитных элементов – анизотропию свойств и дискретную неоднородность материала, которые не позволяют использо- вать традиционные методы расчета, построенные на предпосылках об однородности и изотропии свойств материала. Для стержневых элементов технических сооружений очень распространенным видом деформации является плоский поперечный изгиб. Однако аналитическая тео- рия деформирования композитных изгибаемых брусьев, по сравнению с пластинами, плитами и оболочками, является наименее развитой. В научных работах, посвященных теоретическим проблемам моделирования из- гиба композитных брусьев, довольно распространенными являются неклассические или «уточненные» модели. Такие модели, в основном, построены на основе гипотез «классической» модели изгиба c учетом неоднородности материала, деформаций по- перечного обжатия и сдвига. При этом уточнение гипотез производится один раз вна- чале построения модели [12 – 14], либо на каждом шаге итерационного процесса [7, 11]. Такие модели достаточно универсальны и в большинстве практических случа- ев дают приемлемую точность определения отдельных параметров напряженно- деформированного состояния (НДС). Более точным и сложным направлением моделирования изгиба композитных брусьев является получение точных решений уравнений теории упругости с учетом неоднородности материала. Отдельные решения подобных задач с использованием не- которых упрощений получены такими известными учеными, как М.И. Мусхелишвили [3, 4], С.Г. Лехницкий [1, 2], N.J. Pagano [10]. Прикладное применение этих решений усложнено тем, что они носят общий характер и требуют проведения дополнительных 79 теоретических исследований для использования в частных случаях, либо позволяют учитывать только непрерывную неоднородность и граничные условия определенного типа. Однако подобные решения более точно описывают НДС неоднородного бруса, а несколько решений для разных случаев нагружения путем наложения дают возмож- ность получить решения более сложных задач. Поэтому развитие данного направле- ния моделирования изгиба композитных брусьев является важным и актуальным. В работе [8] авторами получено точное решение задачи упругого изгиба узкой слоистой консоли нагрузкой на торце, а в [9] – равномерно распределенными нор- мальными нагрузками на продольных гранях. Совместно эти решения позволяют строить прикладные решения многих задач деформирования слоистых брусьев с раз- личными комбинациями типовых нагрузок. В ряде важных для практики случаев, таких как действие гидростатического дав- ления, давления насыпных материалов и грунта, необходимо учитывать линейно рас- пределенную нагрузку, которая является одной из типовых для балочных элементов конструкций. Для изотропного бруса с сечением в виде узкого прямоугольника решение такой задачи будет подобно известному решению задачи о стенке плотины, подверженной давлению воды или сыпучего тела, которое получено M. Levy [6]. Решение аналогич- ной плоской задачи с помощью функции напряжений в виде полинома шестой степе- ни предложено A. Timpe в [15]. Однако применение таких решений и подходов к их получению невозможно для случая неоднородного бруса с анизотропными продоль- ными слоями. Поэтому, целью данной работы является получение решения задачи плоского изгиба узкого слоистого бруса под действием нормальной нагрузки, линей- но распределенной на продольных гранях, с учетом дискретной неоднородности и анизотропии его материала. §1. Постановка задачи. Рассмотрим слоистый консольный узкий брус с прямолинейной осью, состоящий из m продольных слоев одинаковой ширины b , выполненных из материалов с раз- личными упругими характеристиками (рис. 1). Поперечное сечение, высотой h , име- ет неизменное строение по длине бруса l . Заданы координаты границ слоев ,bd kz ( 1,k m ) и координаты продольных нижней и верхней граней: 1 0bdz z , 2 ,bd mz z . а б Рис. 1 Брус отнесен к прямоугольной декартовой системе координат xyz , в которой начало отсчета размещено в центре жесткости крайнего левого сечения. Ось Ox сов- падает с продольной осью жесткости бруса, а координатная плоскость xOz совпадает с продольной плоскостью симметрии. Слои бруса изготовлены из непрерывного ортотропного материала, для которого в произвольной точке одна из плоскостей упругой симметрии совпадает с попереч- ным сечением, а вторая – параллельна плоскости xOz . Для произвольного k -го слоя бруса известны упругие постоянные 80            , , , ,k k k k k k a x z xz xz zxS E E G v v , где    ,k k x zE E – модули упругости по направлению осей Ox и Oz ;  k xzG – модуль сдви- га в плоскостях, параллельных xOz ;    ,k k xz zxv v – коэффициенты Пуассона. Упругие характеристики материала для всего слоистого бруса будут кусочно- постоянными функциями  S a z , которые аналогично [8] и [9] представим с помо- щью смещенных функций Хевисайда H :       , 1 , 1 m kS a a bd k bd k k S H z z H z z         . (1.1) На границах слои жестко соединены и в процессе деформирования бруса отсутст- вует их относительное смещение и отрыв, т.е. выполняется условие абсолютно жест- кого соединения слоев. Продольные боковые грани и торец бруса с координатой 0x  свободны от внешних нагрузок и закреплений. На нижнюю ( 1z z ) и верхнюю ( 2z z ) продоль- ные грани бруса (рис. 1, а) действуют нормальные нагрузки 1zq и 2zq , которые рас- пределены по линейному закону 1 1 2 2;z zq q x q q x  , (1.2) где 1 2,q q – постоянные. На правом торце бруса ( x l ) заданы некоторые статические и кинематические условия, обеспечивающие его равновесие. Под действием приложенной нагрузки брус изгибается в продольной плоскости симметрии. Рассмотрим основные этапы решения задачи определения НДС такого композитного элемента при упругой работе ортотропных материалов его слоев. §2. Общее решение задачи. С учетом принятых допущений можно полагать, что в процессе деформирования рассматриваемый многослойный брус пребывает в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (НС) и для решения поставленной задачи можно использо- вать известные уравнения плоской задачи линейной теории упругости. При этом для учета неоднородности материала бруса упругие постоянные в законе Гука заменим соответствующими функциями (1.1): 1 ; ; ,x xz z xz xz x z xz xzE E E E G x x z x xz                     (2.1) где учтена зависимость E E x zx z xz      для ортотропных слоев. С учетом принятой нагрузки, на продольных гранях и свободном торце рассмат- риваемого бруса должны выполняться следующие статические граничные условия 1 2 1 21 2 ,\| ; \| ; \| 0;z z z z z z zx z z z zq x q x         (2.2) 0 0\| 0; \| 0x x xz x    . (2.3) Интегрируя уравнения равновесия плоской задачи теории упругости, с учетом (2.2) и (2.3) получим следующие зависимости для нормальных напряжений: 1 1 0 ; x z xz xz x z z dx dz q x z x               . (2.4) 81 Общую форму решения для касательных напряжений xz определим по распреде- лению поперечной силы zQ :  1 2 0 x z z zQ b q q dx  , откуда, с учетом (1.2) 2 1 21 2 2 z xz z q q dz x    . (2.5) Учитывая (2.5) можно прийти к выводу, что распределение напряжений zx по длине бруса должно быть квадратичной функцией координаты x 2 2 0 2xz xz xz x Z Z    , (2.6) где    2 2 0 0,xz xz xz xzZ Z z Z Z z     – неизвестные функции распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения бруса. Подставив (2.6) в (2.2) и (2.5), получим 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 0 2 0 21 2 , ,\| \| 0; 2 2 2 z z xz z z xz z z xz xz z z z z z z q qx x Z Z Z dz Z dz x               . (2.7) Сравнивая постоянные при одинаковых степенях x в равенствах (2.7), получим следующие условия для функций 0 xzZ и 2 xzZ :   2 2 1 1 2 2 1 1 0 2 0 2 , , 1 2\| 0; \| 0; 0; z z xz z z xz z z xz xz z z z z z z Z Z Z dz Z dz q q               . (2.8) Необходимо отметить, что второе граничное условие (2.3) требует равенства ну- лю функции 0 xzZ в (2.6). Однако, как будет показано ниже, это влечет за собой невоз- можность разделения определяющего уравнения задачи, поэтому ограничимся вы- полнением краевых и интегральных условий (2.8). С учетом (2.6) система решений (2.4) примет такой вид: 1 2 03 2 1; 6 z xz xz x z xz z dZ dZx x Z dz q x dz dz                  . (2.9) Подставив решения (2.6) и (2.9) в физические зависимости (2.1) получим следу- ющие соотношения для линейных и угловых деформаций: 1 2 03 2 1 1 1 6 z xz xz xz x xzE E E x x x z dZ dZx x Z dz q dz dz                        ; 1 2 03 2 1 1 6 z xz xz xz xz z xzE E E x x z z dZ dZx x Z dz q dz dz                         ; 2 2 01 2xz xz xzG xz x Z Z          . (2.10) Интегрируя соотношения Коши для линейных деформаций, получим общие вы- ражения для продольных u и поперечных w перемещений 1 1 0 0 \| ; \| x z x x z z z z u dx u w dz w       , (2.11) 82 где 0\|xu  , 1 \|z zw  – неизвестные функции распределения перемещений на свободном торце и нижней продольной грани, соответственно. Подставив первое и второе выражения (2.10) в (2.11), получим следующие зави- симости для перемещений: 1 2 04 2 2 1 0 1 1 \| 24 2 z xz xz xz xz xE E E x x x z dZ dZx x u Z dz q u dz dz                         ; (2.12) 1 1 1 1 2 03 2 1 1 \| 6 z z z xz xz xz xz xz z zE E E x x zz z z dZ dZx w dz x Z dz q dz w dz dz                                 . (2.13) Определяющее уравнение для неизвестных функций получим, подставив третье выражение (2.1), (2.12) и (2.13) в соотношение Коши для угловых деформаций xz 1 24\| 1 24 z z xz E x dw dZx d dx dz dz              1 1 0 2 22 2 1 1 2 z z xz xz xz xz xz xzE E E G x x x xzz z dZ dZ Zx d Z dz q dz dz dz dz                                      (2.14) 1 1 0 0 20 1 \| 1 0 z z x xz xz xz xzE E G x z xzz z du dZ Z Z dz q dz dz dz                              . Равенство (2.14) в общем случае может выполняться, если выражения в квадрат- ных скобках равны некоторым постоянным 2 0 1 xz E x dZd C dz dz         ; (2.15) 1 1 0 2 2 2 1 1 1 z z xz xz xz xz xz xzE E E G x x x xzz z dZ dZ Zd Z dz q dz C dz dz dz                                  ; (2.16) 1 1 0 0 20 1 2 \| 1z z x xz xz xz xzE E G x z xzz z du dZ Z Z dz q dz C dz dz                         , (2.17) где 0 1 2, ,C C C – неизвестные постоянные. С учетом равенств (2.15) – (2.17), интегро-дифференциальное выражение (2.14) преобразуется в линейное дифференциальное уравнение 1 4 2 0 1 2 \| 0 24 2 z zdw x x C C C dx      . (2.18) Следует отметить, что в случае тождественного равенства нулю функции 0 xzZ , как того требует второе граничное условие (2.3), будут получены два уравнения для функции 2 xzZ : 1 1 2 2 2 2 0 1 1 1 ; z z xz xz xz xz xz xzE E E G x x x xzz z dZ dZ Zd d C Z dz q dz C dz dz dz dz                                      . 83 Как видим, одновременное удовлетворение этих уравнений возможно только в случае 2 0xzZ   , что приводит к тривиальному решению всей задачи. Общее решение уравнения (2.15) с учетом (2.8) ( 1 2 \| 0xz z zZ    ), запишется так:   1 2 0 3 z E xz x z Z C z C dz     . (2.19) Подставив (2.19) в условия (2.8) и решив полученные уравнения, определим неиз- вестные постоянные:         1 2 1 1 2 0 3 0 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 ; q q B q q B C C B B B z B B B B B z B B          , (2.20) где аналогично решениям в [7] и [8] введены обозначения     2 2 2 1 1 1 1 0 1 2; ; z z z z E E E x x x z z z z dz B z dz B z dzdz B        . (2.21) В (2.21) и далее, нижние индексы в обозначениях определенных интегралов пока- зывают порядок подынтегрального выражения. С учетом (2.20) решение (2.19) примет следующий вид:     1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 2 0 z E xz x z q q Z B z B dz B z B B B B          . (2.22) В главной системе координат [7] (аналог главных приведенных осей инерции в [4]) постоянная 1B равна нулю, и решение (2.22) примет такой вид   1 2 1 2 2 z E xz x z q q Z z dz B      . (2.23) В дальнейшем для упрощения теоретических соотношений считаем, что принятая для бруса система координат xyz , является главной, в которой 1 0B  . (2.24) Общее решение уравнения (2.16) с учетом (2.23) и краевых условий (2.8) примет следующий вид:     1 1 1 1 0 1 2 3 1 1 1 4 2 z z z z E E E xz x xz x x z z z z q q Z dz q dz C z z dz C dz B                  , (2.25) где для упрощения изложения введено обозначение функции       1 1 1 1 1 3 1z z z z z E Exz x xz xG E xz xz z z z z z dz z dz dz z dzdz                        . (2.26) В (2.26) индекс в обозначении функции 3 означает ее порядок при constS a  . Подставив решение (2.25) в соответствующие краевые и интегральные условия (2.8), после решения полученных уравнений относительно неизвестных с учетом (2.24), получим 3 01 2 1 1 1 2 1 4 1 1 4 4 1 12 2 2 2 0 2 02 ; D Dq q q D q q z D D C D C q z B B B B B BB                   , (2.27) 84 где введены обозначения для определенных интегралов       2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 3 3 4 3; ; ; z z z z E E xz xz x x z z z z D dz D z dz D dz D z dz             . (2.28) Подставив (2.27) в решение (2.25), получим соотношение для искомой функции 0 xzZ в таком виде: 1 1 0 3 01 2 4 1 3 1 2 2 0 2 0 z z E E xz x xz x z z D Dq q D D Z z dz q z dz B B B B B                                     . (2.29) Применив решения (2.23) и (2.29) в выражении (2.6), получим следующее реше- ние для касательных напряжений:   1 1 2 31 2 4 3 2 2 02 z z E E xz x x z z Dq q Dx z dz z dz B B B                           1 01 1 2 0 z E xz x z DD q z dz B B                . (2.30) Следует отметить, что решение (2.30) является непрерывным по переменной z , а значит, соответствует условиям абсолютно жесткого соединения слоев. Согласно (2.30) касательные напряжения xz на торце с координатой 0x  не мо- гут быть равны нулю, как этого требует второе граничное условие (2.3). Поэтому по- лученное решение будет точным только в случае, если на данном торце будет дей- ствовать касательная нагрузка 1 1 3 01 2 4 1 1 3 1 2 2 0 2 0 z z E E xz x xz x z z D Dq q D D q z dz q z dz B B B B B                                     . (2.31) Однако, по четвертому условию (2.8) равнодействующая нагрузки 1xzq будет рав- на нулю. Поэтому, согласно принципу локальности, распределение параметров НДС в полученном решении будет отличаться от точного только вблизи торца с нагрузкой. Решение для нормальных напряжений x и z получим, подставив соотношения (2.23) и (2.29) в (2.9): 3 3 01 2 4 1 3 1 2 2 0 2 06 E E x x xz x D Dq q D z D zx z x q x B B B B B                                    ; (2.32)   1 1 1 2 1 2 z z E z x z z q q z dzdz q x B             . (2.33) Согласно (2.32) нормальные напряжения x скачкообразно изменяют величину на границах слоев. В пределах произвольного однородного слоя распределение на- пряжений x состоит из линейной и кубической составляющей, которая зависит от всех упругих характеристик материала слоя. В то же время распределение напряжений z (2.33) зависит только от функции продольного модуля упругости E x и подчиняется кубическому закону в пределах однородного слоя. При этом напряжения z являются непрерывными, что соответ- ствует условию абсолютно жесткого соединения слоев. 85 Для однородного ортотропного бруса соотношения для напряжений (2.30), (2.32) и (2.33) примут следующий вид:    2 2 2 2 21 2 3 120 2 20 4 160 x xz xz xz Eq q x h z h z Gh                  ; (2.34)  2 2 21 2 3 20 2 3 20 10 x x xz xz Eq q x h z xz Gh                 ; (2.35)   21 2 13 2 2z q q h z h z q x h         . (2.36) Для изотропного бруса на основе (2.34) – (2.36) получены такие зависимости    2 2 2 2 21 2 3 60 20 4 80xz q q x h z h z h          ; (2.37)  2 2 21 2 3 10 3 20 5x q q x h z xz h         ; (2.38)   21 2 13 2 2z q q h z h z q x h         . (2.39) Соотношения (2.37) – (2.39) после соответствующих замен и преобразований можно привести к виду известного решения задачи о стенке плотины подверженной давлению воды [5], что косвенно подтверждает правильность полученных решений (2.30), (2.32) и (2.33). Уравнения (2.17) и (2.18) служат для получения неизвестных функций распреде- ления перемещений 0\|xu  и 1 \|z zw  . Их решения получены в таком виде:   1 1 1 1 1 0 0 2 0 1 2 1 0, 1 \| \| z z z z xz xz xz x xz xE E G z zx z xzz z z z dZ Z u Z dz q dzdz dz C z z u dz                               ; (2.40)   1 1 5 3 1 2 4 1 2 1 1 2 , 0 2 2 2 1 \| \| 120 6z z z z x q q Dx x w q q q D C x w B B B               . (2.41) Следует отметить, что согласно (2.40) свободный торец слоистого бруса будет ис- кривленным, причем в пределах однородного слоя функция распределения продоль- ных перемещений будет иметь пятый порядок. Однако величина такого искривления на фоне линейной составляющей будет незначительной. Выражения (2.40) и (2.41) вместе с (2.12), (2.13), (2.23) и (2.29) составляют реше- ние задачи для перемещений и позволяют определить их величину в произвольной точке слоистого бруса. Соответствующие функции распределения перемещений бу- дут непрерывными, что соответствует условию абсолютно жесткого соединения слоев и свидетельствует о правильности выполненных преобразований. Решения (2.40) и (2.41) содержат три неизвестные постоянные интегрирования: 2C , 10,\|x z zu   и 1, 0\|z z xw   , которые должны определяться с помощью кинематических усло- вий, соответствующих способу закрепления бруса. По условиям поставленной задачи брус имеет закрепление торца с координатой x l . Полученные решения для переме- щений (2.12), (2.13), (2.40) и (2.41) не позволяют задать идеализированное абсолютно жесткое закрепления торца, поскольку невозможно удовлетворить условие отсутствия 86 перемещений всех его точек ( \| 0, \| 0x l x lu w   ) путем подбора трех неизвестных постоянных: 12 0,, \| ,x z zC u   1 , 0\|z z xw   . Однако можно задать кинематические усло- вия, которые приближенно моделируют жесткое закреп- ление путем полного или частичного ограничения пере- мещений отдельных точек закрепленного торца. В реше- ниях [8] и [9] моделирование жесткого закрепления тор- ца бруса предложено выполнять согласно схеме на рис. 2, которой отвечают следующие кинематические условия 1 2 1, , ,\| 0; \| 0; \| 0x l z z x l z z x l z zu u w        . (2.42) Условия (2.42) исключают продольные перемещения u только в крайних точках закрепленного сечения бруса, поэтому не исключено его искривление (депланация). Можно задать множество других кинематических условий, которые отличаются от (2.42) и учитывают особенности различных способов закрепления торца, однако исследование этого вопроса выходит за пределы рассматриваемой задачи. Используя решения (2.23) и (2.29), согласно выражениям (2.10), можно получить соотношения для линейных и угловых деформаций 3 01 2 1 1 2 2 06x Dq q Dx z q x z B B B               1 1 1 31 2 4 2 2 0 1z z z E x xzG xzz z z Dq q D x z dz z dz dz z B B B                    ; (2.43)   1 1 3 31 2 4 3 2 2 0 1 6 z z Exz z xz xE z z z x z Dq q D x z z dzdz B B B                               01 1 2 0 1xz xz E E x z DD z q x B B                    ; (2.44)   1 1 2 31 2 4 3 2 02 2 z z E E xz x xG xz z z Dq q D z x dz z dz B BB                           1 01 1 2 0 z E xz xG xz z Dq D z dz B B                 . (2.45) Согласно (2.43) функция распределения продольных деформаций x является не- прерывной, что соответствует условию абсолютно жесткого соединения слоев. Таким образом, получены аналитические соотношения для всех параметров НДС слоистого бруса: напряжений – (2.30), (2.32), (2.33), перемещений – (2.12), (2.13), (2.40), (2.41), деформаций – (2.43) – (2.45), которые, вместе с решениями (2.23) и (2.29) для определяющих функций 2 xzZ и 0 xzZ , составляют решение поставленной за- дачи. Это решение является точным, если на свободном торце приложена самоурав- новешенная касательная нагрузка 1xzq , определяемая соотношением (2.31). Рис. 2 87 §3. Частный случай определения перемещений. Рассмотрим случай, когда линейная нагрузка приложена только к одной из про- дольных граней бруса на рис. 1. Приняв 1 0q  в соотношениях (2.12), (2.13), (2.40), (2.41), после выполнения пре- образований получим зависимости для перемещений для случая, когда действует только нагрузка 2zq :     1 1 1 4 2 32 4 2 2 0 1 2 12 z z z E x xzG xzz z z Dq Dzx u x z dz z dz dz z B B B                            1 1 1 1 32 4 3 2 2 0 1z z z z E x xzE zz z z z Dq D z dzdz z dzdz B B B                       (3.1)   1 1 1 32 4 3 2 1 0, 2 2 0 1 \| z z E x x z zG xzz z Dq D z dz dz C z z u B B B                           ;     1 1 1 1 3 32 4 3 2 2 0 1 6 z z z z E xz x xzE zz z z z Dq D zx w z dz x z dzdz dz B B B                               1 5 32 4 2 , 0 2 2 1 \| 6 20 z z x q D x x C x w B B            . (3.2) Подставив соотношения (3.1) и (3.2) в условия (2.42) получим систему уравнений, решение которой дает неизвестные постоянные: 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 12 1 2 24 q l D H B D C B B hl hl               ; (3.3) 1 4 32 1 4 0, 2 2 2 1 0 12 \| 1 24x z z Dq z l D u B B z Bl               ; (3.4) 1 5 2 4 4 4 2 , 0 2 2 2 2 2 35 \| 1 6 30z z x q l D H B D w B B hl hl                . (3.5) В соотношениях (3.3) – (3.5) использованы обозначения определенных интегралов     2 1 1 1 2 1 z z z E x xG xzz z z D z dz z dz dz              ; 2 1 1 34 4 3 2 0 1 z z E xG xzz z DD B z dz dz B B                      ; (3.6)   2 1 1 1 1 34 4 3 2 0 1 z z z z E x xzE zz z z z DD H z dzdz z dzdz B B                      . 88 Для композитного бруса, состоящего из мало податливых деформациям попереч- ного обжатия слоев, величина 1, 0\|z z xw   будет мало отличаться от значения стрелы прогиба f . В таком случае на основе (3.5) можно записать 5 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 35 1 6 30 q l D H B D f B B hl hl               . (3.7) Для однородного ортотропного и изотропного бруса соотношение (3.7), соответ- ственно, преобразуется к виду 5 2 4 2 2 4 31 1 3 30 4 2 x x xz x y xz z E Eq bl h h f E J G El l                      ; (3.8)   5 2 4 2 2 4 1 3 1 2 5 30 4 2y q bl h h f EJ l l                  , (3.9) где 3 12yJ bh . Следует отметить, что если в (3.8) отбросить податливость материала бруса де- формациям поперечного сдвига и обжатия ( , ; , 0xz z xz zxG E    ), то получим со- отношение, известное из курса сопротивления материалов: 5 2 30 x y q bl f E J  , (3.10) что косвенно подтверждает корректность полученного решения. Сравнивая соотношения (3.8) с (3.10), можно отметить, что выражения в квадрат- ных скобках являются относительным уточнением величины стрелы прогиба бруса, которое дает «классическая модель изгиба». Такое уточнение для длинных брусьев с большим отношением l h будет незначительным, однако, с его уменьшением, осо- бенно для анизотропных брусьев, быстро достигает значительных величин. Напри- мер, для изотропного стального бруса ( 2,5E G  ) с 10l h  уточнение стрелы про- гиба составит 0,8%, а при 5l h  – 3,3%. Для бруса из стеклопластика ( 8,2;x xzE G  3,3x zE E  ) уточнение составит: при 10l h  – 2,3%, при 5l h  – 9,4%. Для уг- лепластикового бруса ( 26,0; 15,6x xz x zE G E E  ) получим: при 10l h  – 6,8%, при 5l h  – 27,9%. §4. Пример реализации решения. Для апробации решения применим полученные теоретические соотношения для определения НДС трехслойной консоли длиной 0,25мl  , с попереч- ным сечением, изображенным на рис. 3. Для нагрузок (1.2) приняты следующие значения коэффициентов: 2 3,75МПа/мq   ; 1 1,85МПа мq   . Материалы слоев и их упругие характеристики: алюминиевый сплав (слой 1P ):    1 1 70 ГПаx zE E  ;  1 26,9 ГПаxzG  ;  1 0,34xz  ; Рис. 3 89 древесина (слой 2P ):  2 12,1ГПаxE  ;  2 0,69 ГПаzE  ;  2 1, 21ГПаzxG  ;  2 0,49xz  ; углепластик (слой 3P ):  3 142,8ГПаxE  ;  3 9,13 ГПаzE  ;  3 5, 49 ГПаxzG  ;  3 0,32xz  . Поскольку соотношения для параметров НДС были получены в главной системе координат, для их применения необходимо определить положение центра жесткости сечения O . С использованием методики приведенной в [8] во вспомогательной системе y O z  была определена координата центра жесткости сечения: 0,0338мOz  (рис. 3). Функции упругих характеристик S a , сформированные согласно (1.1), имеют сле- дующий вид       1 0,0338 0,0298S a aS z z                    2 30,0298 0,0082 0,0082 0,0161 ,a aS z z S z z          (4.1) где          , , ,k k k k k a x z xz xzS E E G  . Также были сформированы дополнительные функции упругих характеристик:          ,1 ,1k k k k k a xz x z xzS E E G , которые использованы вместо соответствующих отноше- ний функций S a во избежание проблем при их интегрировании. Применение (4.1) в соотношениях (2.21) и (2.28), позволило получить необходи- мые значения постоянных, которые характеризуют жесткость слоистого бруса: 9 5 0 1 21,8822 10 Н м; 0,0000Н; 5,6861 10 Н мВ B В       ; 2 4 2 4 3 0 1 22,2540 10 м; 2,1392 10 м ; 4,0616 10 мD D D          ; (4.2) 5 2 3 3 3 45, 4024 10 Н м ; 5,2725 10 Н мD D        . После подстановки соответствующих функций (4.1) и постоянных (4.2) в соотно- шения (2.23) и (2.29) получены функции 2 xzZ и 0 xzZ . Их графики приведены на рис. 4. а б Рис. 4 Согласно (2.29) и (2.31) график на рис. 4, а показывает распределение самоурав- новешенной касательной нагрузки 1xzq на свободном торце. Параметры НС бруса можно получить, подставив функции 2 xzZ и 0 xzZ в соотно- шения (2.6), (2.9), или подставив функции механических характеристик (4.1) и посто- янные (4.2), непосредственно, в соотношения (2.30), (2.32) и (2.33). 90 Графики распределения продольного модуля упругости E x и нормальных напря- жений x в отдельных сечениях бруса, приведены на рис. 5. Здесь для сравнения, штриховой линией нанесены графики распределения напряжений в случае пренебре- жения податливостью материала бруса деформациям сдвига и обжатия, что соответ- ствует гипотезе плоских сечений. Рис. 5 Как видим, на границах разделения слоев напряжения x скачкообразно изменя- ют свою величину, однако нет пропорциональной зависимости с изменением про- дольного модуля упругости E x , поскольку соотношение (2.32) учитывает влияние всех механических характеристик. Графики на рис. 5 показывают, что использование гипотезы плоских сечений приводит к значительным погрешностям при определении величины и характера рас- пределения напряжений x . В закрепленном сечении это приводит к завышенным значениям максимальных напряжений на продольных поверхностях (на 6,9% для слоя 1P и 23,7% для слоя 3P ), а в средней части бруса – к смещению максимума напряжений к внешней поверхно- сти крайних слоев при существенном его уменьшении. Графики распределения напряжений обжатия z и касательных напряжений xz приведены на рис. 6. Рис. 6 Распределения напряжений z подобны во всех сечениях бруса и не зависят от податливости материалов его слоев деформациям сдвига и поперечного обжатия. Существенное отличие распределений касательных напряжений xz , полученных с использованием точного решения (сплошная линия) и решения с применением ги- 91 потезы плоских сечений (штриховая линия), наблюдается только вблизи свободного торца, где напряжения малы по величине. Распределения линейных и угловых деформаций получены подстановкой (4.1) и (4.2) в соотношения (2.43) – (2.45). Графики продольных линейных деформаций x для отдельных сечений бруса приведены на рис. 7. Рис. 7 Подстановкой (4.1), (4.2) и функций 2 xzZ и 0 xzZ в соотношения (2.40), (2.41), (2.12) и (2.13) получены общие решения для перемещений u и w , а с использованием ус- ловий (2.42) определены неизвестные постоянные 1 1 3 5 4 2 0, , 01, 2767 10 ; \| 4,7440 10 м; \| 4,7504 10 мx z z z z xC u w              . (4.3) Графики распределения перемещений для отдельных сечений и продольных во- локон бруса приведены на рис. 8 Рис. 8 92 Распределения продольных перемещений u по высоте сечений показывают нали- чие депланации поперечных сечений бруса, которая увеличивается по мере прибли- жения к закреплению. Использование гипотезы плоских сечений приводит к значительному изменению величины и характера распределения продольных u и поперечных перемещений w . Для перемещений u пренебрежение податливостью материалов слоев деформациям поперечного сдвига и обжатия приводит к увеличению максимальных значений, а для поперечных – к уменьшению. При этом существенно меняется форма искривленной оси бруса и величина стрелы прогиба бруса уменьшается на 48%. С использованием полученных соотношений для перемещений была построена форма бруса после деформации с увеличением перемещений в 200 раз (рис. 9, а). Для сравнения на рис. 9, б приведена форма бруса после деформации, которая отвечает гипотезе плоских сечений. а б Рис. 9 Необычная кривизна продольных граней бруса на рис. 9, а и значительное ис- кривление его поперечных сечений, которые получены в результате применения точ- ного решения, возникают вследствие большой податливости материалов слоев де- формациям поперечного сдвига и обжатия, а также малого отношения l h . Дополнительные расчеты показали, что с ростом l , при прочих одинаковых ис- ходных данных, форма бруса после деформации приобретает более привычные очер- тания и только при 20l h  исчезают видимые отличия от формы, которую дает уп- рощенное решение с использованием гипотезы плоских сечений. Заключение. Таким образом, в данной работе поставлена и решена методами линейной теории упругости задача определения НДС при плоском изгибе консольного слоистого бруса малой ширины, под действием линейно распределенных нагрузок на продольных гра- нях, при абсолютно жестком соединении слоев. Полученные соотношения для пара- метров НДС (2.30), (2.32), (2.33), (2.12), (2.13), (2.40), (2.41), (2.43) – (2.45) составляют точное решение задачи теории упругости в случае, если на незакрепленном торце действует касательная нагрузка (2.31) с нулевой равнодействующей. Построенное решение позволяет учитывать произвольные количество и порядок чередования сло- ев, а также ортотропию упругих характеристик их материалов. Теоретические соотношения реализованы при определении НДС трехслойной ко- роткой консоли. Полученные результаты показывают существенное влияние податли- вости материала слоев деформациям поперечного сдвига и обжатия на распределение нормальных напряжений x . В то же время, напряжения поперечного обжатия z и касательные напряжения xz , могут с достаточной для практики точностью опреде- ляться с использованием гипотезы плоских сечений. Податливость материала бруса деформациям сдвига и обжатия также существен- но влияет на распределение и максимальные значения продольных перемещений u и, особенно, поперечных перемещений w . 93 Полученное решение может быть использовано для прогнозирования прочности и жесткости многослойных консольных брусьев в условиях плоского изгиба, а также разработки прикладных методов расчета таких элементов конструкций. Р Е З Ю М Е . Наведено точний розв’язок для задачі пружного плоского згину шаруватого ком- позитного бруса малої ширини під дією нормального навантаження, розподіленого на поздовжніх гранях по лінійному закону. Визначальні співвідношення для параметрів напружено-деформованого стану отримано шляхом прямого розв’язання плоскої задачі теорії пружності з врахуванням ортотро- пії пружних властивостей матеріалів шарів бруса та їх зміни по висоті поперечного перерізу за кус- ково-постійним законом. Отриманий аналітичний розв’язок дає розподіл напружень і переміщень в точках бруса по всьому пакету шарів і дозволяє виконувати практичні розрахунки на міцність і жорс- ткість, а також будувати розв’язки різних прикладних задач плоского згину композитних брусів. 1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416 с. 2 Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. – М.: – Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1947. – 355 с. 3. Мусхелишвили Н.И. К задаче кручения и изгиба упругих брусьев, составленных из различных ма- териалов // Изв. Акад. наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. – 1932. – Вып. 7. – С. 907 – 945. 4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с. 5. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с. 6. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. – М.: Гос. изд.-во физ.-мат. лит., 1959. – 364 с. 7. Goryk A.V. Modeling Transverse Compression of Cylindrical Bodies in Bending // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 9. – P. 1210 – 1221. 8. Goryk A.V., Kovalchuk S.B. Elasticity theory solution of the problem on plane bending of a narrow layered cantilever beam by loads at its free end // Mech. Compos. Mater. – 2018. – 54, N 2. – P. 179 – 190. 9. Goryk A.V., Kovalchuk S.B. The solution of the problem of plane transverse bending of a layered cantilever beam under the action of a normal uniform load // Strength of Materials. – 2018. – 50, N 3. – P. 406 – 418. 10. Pagano N.J. Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending // J. Comp. Mater. – 1969. – N 3. – P. 398 – 411. 11. Piskunov V.G. An Iterative Analytical Theory in the Mechanics of Layered Composite Systems // Mech. Compos. Mater. – 2003. – 39, N 1. – P. 1 – 16. 12. Piskunov V.G., Grinevitskii B.V. Variant of an Analytical Shear Model for the Stress-Strain State of Hetero- geneous Composite Beams // Mech. Compos. Mater. – 2004. – 40, N 5. – P. 409 – 418. 13. Sayyad A.S., Ghugal Y.M. Bending, buckling and free vibration responses of hyperbolic shear deforma- ble FGM beams // Mech. of Advanced Composite Structures. – 2018. – 5, N 1. – P. 13 – 24. 14. Shvab’yuk V.I., Pasternak Ya.M., Rotko S.V. Refined solution of the Timoshenko problem for an ortho- tropic beam on a rigid base // Materials Science. – 2010. – 46, N 1. – P. 56 – 63. 15. Timpe A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen einfach gelöst mit Hilfe der Airyschen Funktion // Z. Math. Physik. – 1905. – 52. – P. 348 – 383. Поступила 06.06.2018 Утверждена в печать 05.11.2019

Решение задачи упругого изгиба слоистой консоли нормальной линейно распределенной нагрузкой на продольных гранях

Репозитарії

Схожі ресурси