Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2)

Впервые решена в трехмерной постановке задача о возбуждении волн Лэмба системой внешних сил, которые произвольным образом распределены в объеме и на поверхности некоторой ограниченной области изотропной пластины. Решение содержит вывод соотношений для нахождения амплитудных множителей антисимметричн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Петрищев, О.Н., Романюк, М.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188219
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2) / О.Н. Петрищев, М.И. Романюк // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 105-127. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-188219
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1882192023-02-17T01:26:26Z Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2) Петрищев, О.Н. Романюк, М.И. Впервые решена в трехмерной постановке задача о возбуждении волн Лэмба системой внешних сил, которые произвольным образом распределены в объеме и на поверхности некоторой ограниченной области изотропной пластины. Решение содержит вывод соотношений для нахождения амплитудных множителей антисимметричных и симметричных относительно срединной плоскости упругого слоя радиально распространяющихся волн Лэмба, при использовании интегрального преобразования Ханкеля. Таким образом, на основе общего решения задачи о возбуждении нормальных волн Лэмба системой неосесимметричных объемных и поверхностных нагрузок построена математическая модель электроакустического преобразователя в режиме возбуждения ультразвуковых волн в изотропных твердых телах. Розглянуто принцип і метод розрахунку електроакустичних перетворювачів в режимі збудження пружних хвиль в ізотропних твердих тілах. При розв'язанні однорідної граничної задачі динамічної теорії пружності отримано співвідношення, які повністю визначають весь набір власних функцій (нормальних хвиль). Розглянуто основні розв'язки крайової задачі динамічної теорії пружності в припущенні, що джерело просторово розвинених хвиль Лемба не має осьової симетрії. Виконано кількісні оцінки комплексних коренів дисперсійного рівняння для симетричних і антисиметричних хвиль Лемба. Розглянуто принцип і метод розрахунку електроакустичних перетворювачів в режимі збудження пружних хвиль в ізотропних твердих тілах. A problem of excitation of spatially developed Lamb waves by a system of volume and surface loads is formulated and completely analytically solved. With the application of the direct and inverse integral Hankel transform, the relations are obtained for determining the amplitude factors of the radially propagating non-axisymmetric Lamb waves, that are excited by a system of volume and surface loads in an arbitrary region of an isotropic elastic layer. The relations are obtained for calculating the components of the displacement vector of material particles of the elastic layer in the far field. 2020 Article Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2) / О.Н. Петрищев, М.И. Романюк // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 105-127. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188219 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Впервые решена в трехмерной постановке задача о возбуждении волн Лэмба системой внешних сил, которые произвольным образом распределены в объеме и на поверхности некоторой ограниченной области изотропной пластины. Решение содержит вывод соотношений для нахождения амплитудных множителей антисимметричных и симметричных относительно срединной плоскости упругого слоя радиально распространяющихся волн Лэмба, при использовании интегрального преобразования Ханкеля. Таким образом, на основе общего решения задачи о возбуждении нормальных волн Лэмба системой неосесимметричных объемных и поверхностных нагрузок построена математическая модель электроакустического преобразователя в режиме возбуждения ультразвуковых волн в изотропных твердых телах.
format	Article
author	Петрищев, О.Н. Романюк, М.И.
spellingShingle	Петрищев, О.Н. Романюк, М.И. Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2) Прикладная механика
author_facet	Петрищев, О.Н. Романюк, М.И.
author_sort	Петрищев, О.Н.
title	Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2)
title_short	Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2)
title_full	Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2)
title_fullStr	Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2)
title_full_unstemmed	Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2)
title_sort	возбуждение пространственно развитых волн лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (часть 2)
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2020
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188219
citation_txt	Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2) / О.Н. Петрищев, М.И. Романюк // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 105-127. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT petriŝevon vozbuždenieprostranstvennorazvityhvolnlémbasistemojobʺemnyhipoverhnostnyhnagruzokčastʹ2 AT romanûkmi vozbuždenieprostranstvennorazvityhvolnlémbasistemojobʺemnyhipoverhnostnyhnagruzokčastʹ2
first_indexed	2025-07-16T10:09:11Z
last_indexed	2025-07-16T10:09:11Z
_version_	1837797791521308672
fulltext	2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 1 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 1 105 О . Н . П е т р и щ е в 1 , М . И . Р о м а н ю к 2 ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО РАЗВИТЫХ ВОЛН ЛЭМБА СИСТЕМОЙ ОБЪЕМНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ НАГРУЗОК (ЧАСТЬ 2) 1 Государственное предприятие «Киевский научно-исследовательский институт гидроприборов», ул. Василия Сурикова, 3, 01035, Киев, Украина; e-mail: petrischev@ukr.net 2 Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского», просп. Победы, 37, 03056, Киев, Украина; e-mail: romanyuk_rita@ukr.net Abstract. A problem of excitation of spatially developed Lamb waves by a system of volume and surface loads is formulated and completely analytically solved. With the appli- cation of the direct and inverse integral Hankel transform, the relations are obtained for de- termining the amplitude factors of the radially propagating non-axisymmetric Lamb waves, that are excited by a system of volume and surface loads in an arbitrary region of an iso- tropic elastic layer. The relations are obtained for calculating the components of the dis- placement vector of material particles of the elastic layer in the far field. Keywords: Lamb waves, integral Hankel transform, amplitude factors, displacement vector of material particles, mathematical modeling. Введение. Исследование закономерностей процесса возбуждения радиально распространя- ющихся волн Лэмба мотивируется достаточно широким перечнем обстоятельств. Во-первых, это проблема эффективной генерации волн Лэмба с наперед обуслов- ленными характеристиками в заданном диапазоне частот. Позитивное решение этой проблемы является необходимым и достаточным условием для существенного повы- шения уровня достоверности и надежности результатов ультразвуковых дефектоло- гических исследований листового металлопроката. Помимо этого, появляются пред- посылки для рационального конструирования ультразвуковых преобразователей, ко- торые обладают необходимой эффективностью в режиме излучения и чувствитель- ностью в режиме приема упругих волн. Во-вторых, понимание закономерностей возбуждения волн Лэмба внешними си- лами, распределенными в некотором объеме упругого слоя, дает возможность адек- ватно интерпретировать результаты мониторинга шумов акустической эмиссии и ре- гистрации отраженных от различного рода структурных неоднородностей ультразву- ковых сигналов. В-третьих, понимание качественных и количественных характеристик процесса возбуждения волн Лэмба формируют теоретическую основу алгоритмов обработки результатов экспериментальных исследований физико-механических параметров ма- териалов с помощью ультразвуковых методов неразрушающего контроля. Вообще говоря, изучение закономерностей процесса возбуждения волн Лэмба со- здает предпосылки для решения весьма актуальной в ультразвуковой технике про- блемы влияния измерительного прибора (ультразвукового тракта), на параметры ре- гистрируемых сигналов, т.е. на результаты измерений. 106 Расчет амплитудных множителей радиально распространяющихся волн Лэм- ба, что формируются в дальнем поле системой объемных и поверхностных нагрузок. Ранее было показано, что характеристики ультразвуковых гармонических волн, которые существуют за пределами области нагружения, и которые возбуждаются контактным или бесконтактным (электромагнитным) способом, могут быть получены в результате решения следующей неоднородной граничной задачи, которая в терми- нах амплитуд гармонически изменяющихся во времени по закону i te  характеристик физических полей записывается в следующем виде:   2 02 grad div Grot rot 0 ;kG x V         u u u f    (1) (2 ) 0 ,i ij ij kk ij kn G x S         , (2) где  и G – константы Ламе; u  – вектор смещения материальных частиц; 0 – плотность материала упругого слоя;  – частота смены знака внешних нагрузок f  и ij  ; in – i -й компонент вектора внешней нормали к поверхности S , которая ограни- чивает исследуемый объем V упругого слоя; ij – компоненты тензора бесконечно малых деформаций, причем kk - линейный инвариант тензора деформаций; ij – символ Кронекера. В качестве объемных нагрузок выступают либо силы Лоренца, либо (в случае ферромагнитных металлов) линейные комбинации градиентов вектора напряженности переменного магнитного поля, которое создается сторонними токами. Поверхностные плотности внешних сил формируются компонентами тензора Макс- велла или, в случае ферромагнетиков, компонентами вектора напряженности пере- менного магнитного поля. Общее решение граничной задачи (1) – (2) при 0 f  и 0ij   будет моделировать контактный способ возбуждения ультразвуковых волн. Таким образом, граничная задача (1) – (2) является универсальной математиче- ской моделью процесса возбуждения ультразвуковых волн внешними силами, кото- рые изменяются во времени по гармоническому закону i te  . Для эффективного решения задачи (1) – (2) необходимо иметь в своем распоря- жении соотношения, которые описывают свободные колебания материальных частиц упругого слоя (нормальные волны), т.е. собственные функции (общие решения) зада- чи (1) – (2) при 0 f  и 0ij   . Однородная граничная задача при весьма общих предположениях относительно пространственного распределения волнового поля смещений материальных частиц решена в работе [5]. Если ввести цилиндрическую систему координат, начало которой располагается в срединной плоскости изотропной пластины, то, следуя результатам работы [5], можем записать следующие соотноше- ния для расчета компонентов вектора смещения материальных частиц:                     2 2 1 1 0 sin1 , , , ; cos2 Am A m n m n m n m n n u z U z B H H n                                               2 2 1 1 0 cos1 , , , ; sin2 Am A m n m n m n m n n u z U z B H H n                                            2 0 sin , , , , cos Am A z z m n m n m n n u z U z B H n                    (3) где m – номер нормальной волны, антисимметричной (символ A ) относительно сре- динной плоскости 0z  пластины; ( , ) ( , )A mU z z    – собственные функции одно- 107 родной граничной задачи (1) – (2), они же моды, причем  2 2 2 cos ( , ) sin sin cos A m m m m m m m m m m h U z z z h                   ;   2 2 2 2 cos ( , ) cos cos cos A m m z m m m m m m m h U z z z h                 , (4) где m , m и m – волновые числа, которые удовлетворяют трансцендентному урав- нению 2 2 2 2( ) 4 sin cos ( ) cos sin 0,A m m m m m m m m m mh h h h              (5) где h – половина толщины упругого слоя. Волновые числа m , m и m имеют смысл проекций волновых векторов невзаи- модействующих волн сжатия-растяжения и сдвига на аксиальную и радиальную оси цилиндрической системы координат, т.е. 2 2 2 m m k    и 2 2 2 m m sk   , где 2k  2 0 ( 2 )G    и 2 2 0sk G  ; (2) ( )mH   – функции Ханкеля второго рода. Выбор функций Ханкеля обусловлен принятой зависимостью от времени i te  . Константа  n mB  имеет смысл амплитудного множителя m -ой антисимметричной волны Лэм- ба и определяется в результате решения граничной задачи (1) – (2). Корни уравнения (5), которое имеет смысл условия существования антисиммет- ричной волны Лэмба на данной частоте  , т.е. волновые числа m , полностью опре- деляют основные кинематические характеристики нормальной волны. Для симметричных относительно срединной плоскости пластины (символ S ) волн Лэмба имеем расчетные соотношения следующего вида:                     2 2 1 1 0 sin1 , , , ; cos2 Sm S m n m n m n m n n u z U z A H H n                                               2 2 1 1 0 cos1 , , , sin2 Sm S m n m n m n m n n u z U z A H H n                            ;                 2 0 sin , , , , cos Sm S z z m n m n m n n u z U z A H n                    (6) где 2 2 2 sin ( , ) cos cos ; ( )sin S m m m m m m m m m m h U z z z h                2 2 2 2 sin ( , ) sin sin , ( )sin S m m z m m m m m m m h U z z z h                (7) где  n mA  – амплитудный множитель, определяемый в результате решения гранич- ной задачи (1) – (2); волновые числа m , m и m удовлетворяют трансцендентному уравнению 2 2 2 2( ) ( ) sin cos 4 cos sin 0.S m m m m m m m m m mh h h h              (8) Граничная задача (1) – (2) в цилиндрической системе координат ( , , )z  записы- вается следующим образом: 108                , , , ,n n n n zR U z R U z R U z f z G                  ; (9)                , , , ,n n n n zT U z T U z T U z f z G                  ; (10)                , , , ,n n n n z zZ U z Z U z Z U z f z G                 ; (11)             , , , n n nz z z h U z U z h G z                   ; (12)             , , , n n n z z z h U z n U z h G z                 ; (13)                 2 2 2 2 , ,, 2 , n nn nzs s z h U z U zU zk k n U z k z k                                   ,n zz h G   . (14) При записи соотношений (9) – (14) приняты следующие обозначения:           2 0 sin1 , , , ; cos n z z n U z u z d nq                              2 при 0; 1 1; n q n                2 0 cos1 , , , ; sin n n U z u z d nq                                  2 0 , , , sin1 ; cos, ,, n z z n zz zzzz f z f z n d nq hh                                                                                   2 0 , cos, ,1 ; sin, ,, n n zz f z nf z d nhqh                                                  22 2 2 2 , ,1 1 , , n n n ns U z U zk R U z U z k                                        22 2 2 2 , , , ; n n n s U zn U z k U z z                        2 2 2 , , , n n ns U zk n n R U z U z k                       109         2 , , ; n n U zn n U z                      22 2 , , 1 ; n n zs z U zk R U z k z                             2 2 2 , ,2 , 1 , ; n n n ns U z U zk n n n T U z U z k                                                2 2 2 , ,1 1 , , n n n nU z U z T U z U z                                   2 2 2 2 2 2 2 , , , ; n n ns s U z k n U z k U z z k                     2 2 , , 1 ; n n zs z U zk n T U z k z                         22 2 , ,1 , 1 ; n n n s U z U zk Z U z k z z                                 2 2 , , 1 ; n n s U zk n Z U z k z                               2 2 2 2 , ,1 , , n n n nz z z z U z U z n Z U z U z                           22 2 2 2 , , . n nzs s z U zk k U z k z       Очевидно, что окружные гармоники    ,nU z  ( , , )z   компонентов вектора смещения материальных частиц упругого слоя удовлетворяют условиям физической реализуемости источника волнового поля, т.е. предельным условиям следующего вида:            , , lim , , , 0. n n n U z U z U z z                 (15) Условие (15) имеет вполне очевидный физический смысл – источник конечной мощности генерирует поле смещений материальных частиц и деформаций малых объемов упругого слоя, которые обращаются в нуль на бесконечности. Условие (15) позволяет применить для решения системы уравнений (9) – (11) ин- тегральное преобразование Ханкеля [1]. Рассмотрим вначале уравнение (11). Применительно к этому уравнению введем прямое интегральное преобразование Ханкеля для аксиального компонента    ,n zU z следующим соотношением: 110           0 , , ,n n z z nU z U z J d        , (16) где    ,n zU z – интегральный образ n -ой окружной гармоники аксиального компо- нента вектора смещения материальных частиц изотропного упругого слоя;  – пара- метр интегрального преобразования, числовое значение которого подлежит определе- нию в ходе дальнейшего решения задачи;  nJ  – функция Бесселя n -го порядка. Прямому преобразованию Ханкеля (16) соответствует обратное, которое позволяет восстановить оригинал функции    ,n zU z по её интегральному образу    ,n zU z . Это преобразование имеет вид           0 , ,n n z z nU z U z J d        . (17) Воздействуя интегральным преобразованием (16) на фрагменты уравнения (11), получаем после применения стандартной процедуры интегрирования по частям с ис- пользованием условий (15) следующий результат:                   22 2 2 2 0 , , , , ; n n n nzs z z n z U zk Z U z Z U z J d U z k z                     (18)           0 , ,n n nZ U z Z U z J d                       2 1 12 0 1 1 , ; 2 ns n n k U z J J d k z                               (19)           0 , ,n n nZ U z Z U z J d                       2 1 12 0 1 1 , , 2 ns n n k U z J J d k z                              (20) где 2 2 2 sk   . Принимая во внимание конструкцию выражений (19) и (20), введем следующие обозначения:            1 1 0 1 , , ; 2 n n n nU z U z J J d             (21)            1 1 0 1 , , . 2 n n n nU z U z J J d             (22) Прямым интегральным преобразованиям Ханкеля (21) и (22) должны соответ- ствовать обратные преобразования, которые записываются в следующем виде:            1 1 0 1 , , 2 n n n nU z U z J J d             ; (23)            1 1 0 1 , , 2 n n n nU z U z J J d             . (24) 111 С учетом определений (21) и (22) трансформированное уравнение (11) можно за- писать как                 22 2 0 2 2 2 2 , , 1 1 , , , n n n nzs s z z U z U zk k U z f z k z k z G                   (25) где            0 , , ,n n nU z U z U z     ;           0 , ,n n z z nf z f z J d        . Воздействуя на левую и правую части уравнений (9) и (10) интегральными преоб- разованиями Ханкеля (21) и (22) соответственно, получаем следующие результаты:                , , , , ;n n n n zR U z R U z R U z f z G                  (26)                , , , , ,n n n n zT U z T U z T U z f z G                  (27) где            1 1 0 1 , , 2 n n n nR U z R U z J J d                                 22 2 2 2 2 , , , n n ns s U zk U z k U z k z                       2 1 1 0 1 , 2 n n n n U z J J d                         2 2 2 1 12 0 1 , 2 2 2 ns n n k U z n n J n n J d k                 ;            1 1 0 1 , , 2 n n n nR U z R U z J J d                            2 2 2 0 21 1 , 2 nns nJk U z d k                          2 2 2 2 2 2 1 12 2 0 ,1 2 2 2 n s s n n U z k k n n n J n n n J d k k                                 ;            1 1 0 1 , , 2 n n z z n nR U z R U z J J d                                 2 2 1 12 2 0 , , 1 1 2 n n z zs s n n U z U zk k n J J d k z k z                                 ;            1 1 0 1 , , 2 n n n nT U z T U z J J d                                  2 2 2 1 12 0 , 2 2 2 n s n n U zk n n J n n J d k                           2 1 1 0 , 2 n n n U zn J J d            ; 112            1 1 0 1 , , 2 n n n nT U z T U z J J d                             2 2 2 , , n n U z U z z                      2 2 2 2 12 0 ,1 , 2 2 n n s s n U z k k U z n n n J k                       2 2 2 12 2s n k n n n J d k             ;            1 1 0 1 , , 2 n n z z n nT U z T U z J J d                             2 1 12 0 , 1 2 n zs n n U zk n J J d k z                     ;            1 1 0 1 , , 2 n n n nf z f z J J d             ;            1 1 0 1 , , 2 n n n nf z f z J J d             . Почленно вычитая из уравнения (27) элементы уравнения (26), получаем следу- ющую конструкцию:                 22 2 02 0 02 2 2 , , 1 , 1 , , n n n nzs s U z U zk k U z f z k z k z G                  (28) где 2 2 2;k              0 , , , ;n n nU z U z U z                0 , , , .n n nf z f z f z     Построим общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (25), (28) для случая, когда    , 0n zf z  и    0 , 0.nf z  Следуя стандартной техно- логии [4] решения обыкновенных дифференциальных уравнений, введем следующие обозначения:      1 0 , ;ny z U z      0 2 , ; nU z y z z         3 , ;n zy z U z       4 , . n zU z y z z    (29) При этом системе однородных дифференциальных уравнений (25), (28) будет со- ответствовать следующая система линейных дифференциальных уравнений:    1 2 ;y z y z        2 2 2 2 1 42 2 1 ;s sk k y z y z y z k k                 3 4 ;y z y z        2 2 2 4 2 32 2 1 , s s k k y z y z y z k k               (30) где штрих означает производную по переменной z . Характеристическое уравнение системы уравнений (30) записывается следующим образом: 113 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 1 s s s s r k k r k k r kk r k k                             . (31) Раскрывая определитель в левой части уравнения (31), получаем следующее уравнение:  4 2 2 2 2 2 0,r r        которое имеет четыре простых корня 1,2r i  и 3,4 .r i   Каждому простому кор- ню kr соответствует система частных решений       1 1 ;kk k r zy z A e       2 2 ;kk k r zy z A e       3 3 ;kk k r zy z A e       4 4 .kk k r zy z A e (32) Коэффициенты  k jA ( 1, 2, 3, 4)j  определяются из системы однородных алгебра- ических уравнений следующего вида:     1 2 0;k k kr A A         2 2 2 1 2 42 2 1 0;k k ks s k k k A r A A k k                  3 4 0;k k kr A A         2 2 2 2 3 42 2 1 0.k k k k s s k k A A r A k k               (33) Очевидно, что система уравнений (33) может быть решена только лишь с точно- стью до постоянного множителя. Отбросим одно, например, первое уравнение, из системы уравнений (33). Оставшиеся три уравнения перепишем в следующем виде       2 2 2 2 4 12 2 1 ;k k ks s k k k r A A A k k                 3 4 0;k k kr A A         2 2 2 2 3 42 2 1 0.k k k k s s k k A A r A k k               (34) Несложно убедиться в том, что решения неоднородной системы алгебраических уравнений (34), т.е. коэффициенты   2 ,kA   3 kA и   4 ,kA определяются следующими рас- четными формулами:     2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 ( ) ; ( 2 ) k k s k s k k s s s s k r k k A A r r k k k k k k k                   2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 ( ) ; ( 2 ) k k s s k k s s s s k k k A A r r k k k k k k k              (35)     2 2 2 2 4 1 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 ( ) . ( 2 ) k k s s k s s s s k k k A A r k k k k k k k              Подстановка константы   2 kA в отброшенное первое уравнение системы уравнений 114 (33) дает следующий результат:       2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 0. 2 s k kk k k s s s s k k r r A r r k k k k k k k                    (36) Так как 4 2 2 2 2 2( ) 0,k kr r        то равенство (36) выполняется при любых ко- нечных значениях константы   1 .kA Для последующих вычислений необходимо выписать общие решения системы ли- нейных уравнений для функций    1 0( ) ,ny z U z и    3( ) , .n zy z U z Так как общее решение для функции ( )jy z является суперпозицией частных решений   ( ),k jy z то            1 2 3 4 0 1 1 1 1, .n i z i z i z i zU z A e A e A e A e         (37) Соответствующие величинам   1 kA коэффициенты   3 kA определяются второй рас- четной формулой (35), и для конкретных значений корней характеристического урав- нения (31) принимают следующие значения:    1 1 3 1 ;A i A        2 2 3 1 ;A i A       3 3 3 1 ;A i A       4 4 3 1 .A i A     При этом            1 2 3 4 1 1 1 1, .n i z i z i z i z zU z i A e i A e i A e i A e                 (38) Поскольку амплитудные множители  n mA  и  n mB  должны иметь размер- ность метр в квадрате [см. выражения (3), (4) и (6), (7)], постольку введем следующие обозначения:    1 2 1 1 ; i A A A         1 2 1 1 1 ;B A A         3 4 1 1 ; i C A A         3 4 1 1 1 .D A A    При этом выражения (37) и (38) принимают следующий вид:    0 , sin cos sin cos ;nU z A z B z C z D z            (39)    , cos sin cos sin .n zU z A z B z C z D z             (40) Принимая во внимание конструкцию выражений (39) и (40), общие решения не- однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (25), (28) будем отыскивать в виде следующей суперпозиции решений:          0 , ( ) sin ( ) cos ( ) sinnU z A A z z B B z z C C z z              ( ) cos ;D D z z   (41)          , ( ) cos ( ) sin ( ) cosn zU z A A z z B B z z C C z z               ( ) sin ,D D z z   (42) где ( ),A z ( ),B z ( )C z и ( )D z – варьируемые константы, которые формируют частное решение неоднородной системы уравнений (25), (28). Потребуем, чтобы эти констан- ты обеспечивали минимальное количество вычислений в ходе решения системы 115 уравнений (25), (28). Для этого варьируемые константы должны удовлетворять сле- дующим условиям: ( )sin ( )cos ( )sin ( )cos 0;A z z B z z C z z D z z              (43) ( ) cos ( )sin ( )cos ( )sin 0.A z z B z z C z z D z z               (44) Определив, с учетом выполнения условий (43) и (44) первую и вторую производ- ные функций    ,n zU z и    0 ,nU z , после подстановки результатов вычислений и предполагаемого вида общих решений (41) и (42) в уравнения (25) и (28), получаем следующие результаты:   2 2 0 ( , ) ( ) cos ( )sin ( )cos ( )sin ; nf z A z z B z z C z z D z z G               (45) 2 2 2 2 2 2 ( )sin ( )coss sk k A z z B z z k k          2 2 2 2 2 2 ( , ) ( )sin ( )cos . n s s zk k f z C z z D z z k k G          (46) Условия (43), (44) и соотношения (45), (46) образуют неоднородную систему ал- гебраических уравнений, из которой единственным образом определяются производ- ные варьируемых констант. Интегрируя полученные решения для производных варь- ируемых констант, получаем следующие расчетные формулы:        02 0 1 ( ) , cos , sin ; z n n z h A z f f d                        02 0 1 ( ) , sin , cos ; z n n z h B z f f d                       02 0 1 ( ) , cos , sin ; z n n z h C z f f d                           02 0 1 ( ) , sin , cos . z n n z h D z f f d                   (47) Константы A , B , C и D определяются из граничных условий (12) – (14). Воздействуем на левую и правую части условия (12) интегральным преобразова- нием (21). После применения процедуры интегрирования по частям получаем следу- ющий результат:                1 1 0 , , , 2 n n n z z n n z h U z n U z U z J J d z                              , , n z h G     (48) где            1 1 0 1 , , . 2 n n z z n nh h J J d                  (49) Левую и правую части граничного условия (13) подвергнем интегральному пре- образованию (22): 116                 1 1 0 , , , , 2 n n n z z n n z h U z hn U z J J d z G                           (50) где            1 1 0 1 , , . 2 n n z z n nh h J J d                  (51) Поэлементно вычитая из соотношения (50) выражение (48), получаем следующую конструкцию:            0 0, , , , n n n z z h U z h U z z G                (52) где правая часть            0 , , , .n n n z zh h h           Правую и левую части граничного условия (14) трансформируем с помощью ин- тегрального преобразования (16). После выполнения необходимых вычислений полу- чаем следующий результат:            2 2 02 2 , , 2 , , n n nz zzs s z h U z hk k U z k z k G                    (53) где по-прежнему            0 , , , ,n n nU z U z U z     а правая часть           0 , , .n n zz zz nh h J d          (54) Подставляя определения (41) и (42) в трансформированные граничные условия (52) и (53), получаем для фиксированных значений аксиальной координаты z h  следующую систему алгебраических уравнений: 2 2 2 2( ) sin ( ) cos 2 sin 2 cosA h B h C h D h                   ( , ) ; n zz z h h G     2 2 2 22 cos 2 sin ( ) cos ( ) sinA h B h C h D h                    0 0 , ; n h h G     2 2 2 2( ) sin ( ) cos 2 sin 2 cosA h B h C h D h                 ( , ) ; n zz h G     2 2 2 22 cos 2 sin ( ) cos ( ) sinA h B h C h D h                 0 ( , ) , n h G     (55) где 2 2 2 2( ) ( ) ( )sin ( ) ( )cos 2 ( )sinz h A h h B h h C h h               2 ( )cos ;D h h  117 2 2 0 ( ) 2 ( )cos 2 ( )sin ( ) ( )cosh A h h B h h C h h            2 2( ) ( )sin .D h h    Главный определитель системы уравнений (55) имеет следующий вид:    0 4 , , ,AS SSF F      (56) где   2 2 2 2, ( ) sin cos 4 cos sin ;ASF h h h h              2 2 2 2, ( ) cos sin 4 sin cosSSF h h h h            – аналитические конструкции весьма похожие на условия существования антисим- метричных ( )AS и симметричных ( )SS относительно срединной плоскости упругого слоя радиально распространяющихся волн Лэмба [см. выражения (5) и (8)]. Определив алгебраические дополнения при искомых константах, получаем сле- дующие результаты:           2 21 1 , , ( ) cos 2 , n n zz zz AS A h h h F G                           0 0 1 , , 2 sinn n Ah h h G                ;            2 21 1 , , sin 2 , n n zz zz SS B h h h F G                           0 0 1 , , 2 cos ;n n Bh h h G                        1 1 , , 2 cos 2 , n n zz zz AS C h h h F G                          2 2 0 0 1 , , ( )sin ;n n Ch h h G                          1 1 , , 2 sin 2 , n n zz zz SS D h h h F G                          2 2 0 0 1 , , ( ) cos ,n n Dh h h G                 (57) где 2 2 0( )( )cos ( ) 2 sin ;A z h h h h          2 2 0( )( )sin ( ) 2 cos ;B z h h h h          2 2 0( )2 cos ( ) ( )sin ;C z h h h h          2 2 0( )2 sin ( ) ( )cos .D z h h h h          118 После определения констант A , B , C , D и варьируемых констант ( ),A z ( ),B z ( )C z и ( )D z можно записать выражения для интегральных образов    ,n zU z и    0 ,nU z в следующем виде:                     , , , , ; , , n n n n z z z z AS SS AS z SS z U z R z F F            (58)                     0 0 0 0 , , , , , , , n n n n AS SS AS z SS z U z R z F F            (59) где    ,n zR z и    0 ,nR z – регулярные части общего решения неоднородной гра- ничной задачи в терминах интегральных образов. При этом        , ( ) ( ) 2 cos ( ) ( ) 2 sinn zR z A z A h z B z B h z             ( ) ( ) 2 cos ( ) ( ) 2 sin ;C z C h z D z D h z              0 , ( ) ( ) 2 sin ( ) ( ) 2 cosnR z A z A h z B z B h z            ( ) ( ) 2 sin ( ) ( ) 2 cos .C z C h z D z D h z       Несмотря на то, что функции ( )A z и ( )A h имеют особенности при 0  [см. выражения (47)], а функции  D z и  D h неограниченно возрастают при 0  , можно утверждать, что функции    ,n zR z и    0 ,nR z являются ограниченными и дифференцируемыми при любых вещественных значениях параметра интегрального преобразования  . Говоря иными словами, функции    ,n zR z и    0 ,nR z являются аналитическими на действительной оси Re комплексной плоскости числовых зна- чений параметра интегрального преобразования Ханкеля. Символами    ,n zAS z ,    ,n zSS z ,    0 ,nAS z и    0 ,nSS z в соотношениях (58) и (59) обозначены следу- ющие выражения:        1 , , ( ) ( ) cos 2 n n z A A AAS z S h b B h d D h z                , ( ) ( ) cos ;n C C CS h b B h d D h z               1 , , ( ) ( ) sin 2 n n z B B BSS z S h a A h c C h z               , ( ) ( ) sin ;n D D DS h a A h c C h z                   0 1 , , sin 2 n n A A AAS z S h b B h d D h z               , ( ) ( ) sin ;n C C CS h b B h d D h z        119        0 1 , , ( ) ( ) cos 2 n n B B BSS z S h a A h c C h z               , ( ) ( ) cos ,n D D DS h a A h c C h z        (60) где                 2 2, 1 , , cosn n n A zz zzS h G h h h                       0 0, , 2 sinn nh h h          ;  22 2 2cos cos 4 sin sinAb h h h h          ;  2 22Ad     ;                 2 2, 1 , , sinn n n B zz zzS h G h h h                       0 0, , 2 cosn nh h h          ;  22 2 2sin sin 4 cos cosBa h h h h          ;  2 22Bc     ;              , 1 , , 2 cosn n n C zz zzS h G h h h                       2 2 0 0, , sinn nh h h            ;  2 22Cb     ,  22 2 24 cos cos sin sinCd h h h h          ;              , 1 , , 2 sinn n n D zz zzS h G h h h                       2 2 0 0, , cosn nh h h            ;  2 22Da     ,  22 2 24 sin sin cos cosDc h h h h          . При выполнении обратного преобразования Ханкеля представляется целесообраз- ным аналитически продолжить интегралы (17), (23) и (24) на всю вещественную ось параметра интегрального преобразования  . Несложно показать, что   0 ( , )nf z     1 0 ( , )n i ne f z  и    ( , ) ( , ).n nn i z zf z e f z   Переобозначим варьируемые константы следующим образом: ( ) ( , ),A z A z ( ) ( , ),B z B z ( ) ( , )C z C z и ( ) ( , ).D z D z На основании соотношений для интегральных образов объемных плотностей внеш- них сил можно показать, что ( , ) ( , ),n iA z e A z   ( , ) ( , ),n iB z e B z   ( , )C z   1 ( , )n ie C z  и  1( , ) ( , ).n iD z e D z   Поскольку    ( , ) ( , ),n nn i A AS h e S h     а ( ) ( , ) ( )n i A Ab B h e b B h    и ( ) ( , ) ( ),n i A Ad D h e d D h    постольку константа ( )A A  на левой полуоси вещественных значений параметра  принимает значе- нии ( ) ( ).n iA e A   Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что 120 ( ) ( ),n iB e B    1( ) ( )n iC e C   и  1( ) ( ).n iD e D   Совокупность опреде- ленных выше значений позволяет утверждать, что аналитические продолжения инте- гральных образов компонентов вектора смещения    ( , ) ( , )n nn i z zU z e U z   и      1 0 0( , ) ( , ).n n i nU z e U z   Так как            0 , 2 , 2 ,n n nU z U z U z      , то можно утверждать, что подынтегральные выражения в интегралах (17), (23) и (24) являются четными функциями параметра  , т.е.                    , , , ;n n nn i n i z n z n z nU z J d e U z e J d U z J d                           1 1,n n nU z J J d                       1 2 0 1 1 1 , 2 n n i i n nU z e J e J d                        1 1 0 1 1 1 , 2 n i n n i n ne U z e J J d                    0 1 1 1 , 2 n n nU z J J d         . Из последних соотношений следует, что            0 1 1 0 1 , , 2 n n n nU z U z J J d                      0 1 1 1 , 4 n n nU z J J d              ; (61)            0 1 1 0 1 , , 2 n n n nU z U z J J d                     0 1 1 1 , 4 n n nU z J J d             ; (62)                 0 1 , , , 2 n n n z z n z nU z U z J d U z J d               . (63) Рассмотрим преобразование (63). Так как функция Бесселя является линейной комбинацией функций Ханкеля пер- вого и второго рода, то интеграл (63) можно переписать в следующем виде          1 , , 2 n n z z nU z U z J d                    1 21 , 4 n z n nU z H H d           , (64) где    1 nH  и    2 nH  – функции Ханкеля первого и второго рода порядка n . Из- вестно [3], что функцию Ханкеля    1 nH  можно аналитически продолжить в верх- 121 нюю полуплоскость плоскости комплекс- ных значений аргумента – в данной ситу- ации – в верхнюю полуплоскость плоско- сти комплексных значений параметра интегрального преобразования  . Функ- ция    2 nH  допускает аналитическое продолжение в сектор arg 0    , т.е. в нижнюю полуплоскость. При этом ин- тегралы (64) вдоль вещественной оси     можно рассматривать как интегралы вдоль элементов замкнутых контуров  K  и  K  (рис. 1), каждый из которых состоит из полуокружности  C   и  C   бесконечного радиуса и бесконеч- ных прямых   и   , которые находятся бесконечно близко сверху и снизу отно- сительно оси вещественных значений параметра  . Обход замкнутых контуров про- изводится в направлениях, которые указаны стрелками на рис. 1. Таким образом,                         1 21 , , , 4 n n n z z n z n K K U z U z H d U z H d                      . (65) Рассмотрим первое слагаемое в фигурной скобке выражения (65). В соответствии с конструкцией выражения (38) запишем результат интегрирова- ния по замкнутому контуру  K  в виде следующей суммы:                    1, , ,n z n z z z K U z H d R A z S z            , (66) где             1,n z z n K R R z H d        ;                 1, , , n z z n ASK AS z A z H d F z          ; (67)                 1, , , n z z n SSK SS z S z H d F z          . (68) Следуя основной теореме теории функций комплексного переменного [2], необ- ходимо записать, что интеграл по замкнутому контуру  K  от аналитической функ- ции    ,n zR z равен нулю, т.е.                       1 1, ,n n z z n z n K R R z H d R z H d                          1, 0n z n C R z H d        . Согласно лемме Жордана [2] интеграл от аналитической функции по дуге беско- Рис. 1 122 нечного радиуса всегда равняется нулю. Последнее означает, что             1, 0n z z nR R z H d         . (69) Теперь рассмотрим интеграл (67). Совершенно очевидно, что среди бесконечного множества числовых значений па- раметра  в верхней полуплоскости arg 0   всегда найдутся такие значения m , которые на любой, произвольно заданной частоте  обратят в нуль знаменатель подынтегрального выражения (67), т.е. будет выполнено условие  , 0AS mF    . При этом, естественно, числовое значение m равняется m – m -ому корню дисперсион- ного уравнения (5) антисимметричных, относительно срединной плоскости упругого слоя, волн Лэмба. При этом    ,AS m A mF     , где 2 m m  , поскольку волновое число m входит в уравнение (5) во второй степени. Рассмотрим область низких частот, где распространяющимися, т.е. переносящими энергию от области приложения внешних сил в периферийные области упругого слоя, являются только лишь первые симметричная и антисимметричная нормальные волны Лэмба (рис. 2). Произвольно выбранной круговой частоте н на рис. 2 соответствует безразмерная частота  2н н sh v   . Кривые на рис. 2 – это фрагменты частотных спектров волновых чисел антисимметричных (штриховые) и симметричных (сплош- ные кривые) нормальных волн Лэмба. По оси абсцисс на рис. 2 отсчитываются значе- ния безразмерного волнового числа 2 h   . Из приведенных на рис. 2 построений видно, что на выбранной частоте н суще- ствует распространяющаяся антисимметричная волна Лэмба с действительным вол- новым числом 1 12A Ah   и одна не распространяющаяся волна с чисто мнимым волновым числом 2 22A Ai i h   . Помимо этого, существует бесконечное множество нормальных волн с комплексным значением постоянной распространения 2A A k k h   ( 3,4 ,5,...k  ). Комплексные волновые числа A k ( A k ) также обращают в нуль знаменатель  ,AS нF   подынтегрального выражения в интеграле (67). Для удобства дальнейших построений введем бесконечно малое затухание в постоянную распространения распространяющейся антисимметричной волны Лэмба, т.е. будем полагать, что  1 1 0 limA A i        . Рис. 2 123 После всего сказанного выше можно утверждать, что на комплексной плоскости чис- ловых значений параметра интегрального преобразования  имеются точки m , в кото- рых функция ( , ) ( ) 0,A AS н m A mF      а подынте- гральное выражение в интеграле (67) теряет анали- тичность. Расположение таких точек на комплекс- ной плоскости  на частоте н показано на рис. 3. Черта сверху над символом комплексного корня означает комплексное сопряжение. В ближайшей окрестности особой точки m знаменатель подынтегрального выражения (67) можно представить следующим рядом Тейлора    , ,AS н AS н mF F           2 2 2 , A m m AS нA m F              (70)       2 2 22 22 ,1 ... 2 A m m AS нA m F                    2 2 2 ,1 ... ! A m m n n AS нA m n F n              . Так как ( , ) ( ) 0,AS н m A mF      а разность 2 A m  по определению ближайшей окрестности является очень малым комплексным числом, то в случае, когда первая производная 2 2( , ) ( ) 0 A m m AS нF          , разложение (70) принимает достаточно про- стой вид: 2( , ) ( ) ( ),A A AS н m A mF        (71) где штрих означает первую производную выражения (5) по переменной A m . В ряде точек (они показаны на рис. 2 двойными кружками), в которых берут на- чало две ветви корней уравнения (5), первая производная ( ) 0.A A m  При этом 2 21 ( , ) ( ) ( ), 2 A A AS н m A mF        (72) где ( )A A m – вторая производная по переменной A m . В ближайшей окрестности этих точек, например, в самом начале ветви действительных волновых чисел первой рас- пространяющейся антисимметричной волны Лэмба, знаменатель подынтегрального выражения (67) следует определять как сумму второго и третьего элемента разложе- ния (70), т.е. 2 2 21 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 A A A A AS н m A m m A mF               (73) Разложением (73) необходимо пользоваться до тех значений 1 A , пока не начнет выполняться сильное неравенство 3 1 1 1 12 ( ) (1 2) 8( ) ( ) ,A A A A A A       где 12 A и 3 18( )A – вычеты в простом полюсе и в полюсе второго порядка. После этого необхо- димо пользоваться представлением (71). Рис. 3 124 В ближайшей окрестности особой точки A m разложение (71) можно представить в следующем виде: ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ),A A A A i A AS н m m A m m m A mF e                (74) где m – фиксированное, сколь угодно малое число – радиус малой окружности mC , внутри которой находится особая точка A m ;  - полярный угол. Поскольку 0m  , постольку параметр интегрального преобразования на окружности mC с хорошей степенью точности равен волновому числу A m , а его изменение i md i e d   . Так как результат интегрирования аналитической функции не зависит от формы контура интегрирования, то его можно деформировать как угодно. Деформируя кон- тур  K  таким образом, чтобы внутри его не осталось ни одной особой точки A m , можем записать следующее:                      1 1, , , , n n z z n n AS н AS нK AS z AS z H d H d F F                                      2 1 1 3 , , , , k n n z z n n k AS н AS нC C AS z AS z H d H d F F                                           1 1 3 , , 0. , , k n n z z n n k AS н AS нC C AS z AS z H d H d F F                     (75) Интегралы вдоль отрезков (см. рис. 4, где показаны деформированные контуры  K  и  K  ), которые соединяют бесконечно малые окружности mC с прямой   и полуокружностью бесконечного радиуса  C   равны нулю, поскольку два, бесконечно близко расположенных отрезка, можно рассматривать как один отрезок, который проходится дважды в противоположных направлениях. Интегралы по окружностям mC при использовании представления (74) вычисляются элементарно:           2 1 1 0 ( , )( , ) ( ) ( , ) 2 ( ) m nn A A Az mz n m n mA A AS н m A mC AS zAS z H d H i d F                   1( , ) ( ). ( ) n A Az m n mA A m A m AS z i H        (76) После этого необходимо подчерк- нуть, что волновые числа A m , m и m , входящие в аналитическое описание кон- струкции   ( , )n A z mAS z связаны между собой условием существования антисим- метричных волн (5). Используя эту взаи- мосвязь, можно показать, что    ( , ) ( ) ( , ),n nA A A A z m m m z mAS z B U z   (77) где   ( )n A m mB  – безразмерный амплитуд- ный множитель; ( , )A A z mU z  – определен- ный выражением (4) аксиальный компо- нент вектора смещения материальных частиц упругого слоя в m -ой антисим- Рис. 4 125 метричной волне Лэмба. Безразмерный амплитудный множитель   ( )n A m mB  определя- ется следующим выражением:       2 21 ( ) ( , ) ( , ) ( ) cos 2 n n nA m m zz m zz m m m mB h h h G                      0 0, , 2 sinn n m m m m mh h h                            2 2 2 0 02 ( ) cos , , , , cos h n n n nm m m m m z m z m s m m h h f z U z f z U z dz k h                   , (78) где G - модуль сдвига; A m m  ;   0 ( , ) 2 ( , ) 2 ( , )n A A m m mU z U z U z      . При этом не- обходимо указать, что аналитическое продолжение    ( ) ( ).n nA n i A m m m mB e B   Из формулы (75) следует, что искомый интеграл вдоль бесконечной прямой   определяется следующим образом:                      1 1 1 1 1 1 1 , , , n nz A A A A n z nA AS н A AS z i H d B U z H F                                            1 1 2 2 2 22 3 2 , , n nk k A A A A A z k n k z nA k A k A B i i U z H B i U z i H i                                 1 2 3 , n k k A z k n k k A k B i U z H               . (79) Поскольку (см., например [3])    1 2( ) ( )i n i n nH ze e H z   и        2 1 n nH z H z (чер- та сверху означает комплексное сопряжение), постольку соотношение (79) можно записать в следующем виде                          1 2 1 1 1 1 1 , , , , , n nz A A A A n z n zA AS н A AS z i H d B U z H BP z F                   (80) где ( ) ( , )zBP z – аксиальные смещения материальных частиц упругого слоя в ближ- нем (относительно области приложения внешних сил) поле. При этом      1 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) n A A A A z z nA A i BP z B i U z i H i                    1 1 2 3 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . ( ) n nA A z k k k n k z k k k n k k A k i U z B H U z B H                 (81) Интегрирование по контуру ( )K  отличается от интегрирования по контуру ( )K  только лишь тем, что интеграл вдоль бесконечной прямой ( ) равен минус интегра- лу от минус до плюс бесконечности. Принимая во внимание это обстоятельство, мож- но записать следующий результат:                          2 2 1 1 1 1 1 , , , , , n nz A A A A n z n zA AS н A AS z i H d B U z H BP z F                   (82) где                2 2 2 2 2 2 , ,n A A A A z z nA A i BP z B i U z i H i              126                      2 2 2 3 1 , ,n nA A z k k k n k z k k k n k k A k i U z B H U z B H                               1 2 2 2 2 2 ,n A A A A z nA A i B i U z i H i                                   1 1 2 3 , , , . A n nz k A A z k k k n k z k k k n k k A k U z i U z B H U z B H                    Подставляя в определение (64) оригинала функции   ( , )n zU z выражения (80) и (82), получаем окончательный вид формулы для расчета аксиальных смещений в поле антисимметричных волн Лэмба на частоте н смены знака внешних сил        2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), 2 ( ) An n AnA A A A z z n zA A i U z B U z H BP z           (83) где        1 2 2 2 2 2 , ( ) ( , ) ( ) 2 ( ) An n A A A A z z nA A i BP z B i U z i H i               1 2 3 1 ( , ) ( ) ( ) 2 ( ) nA z k k k n k k A k i U z B H              1( , ) ( ) ( )nA z k k n kU z B H      . Из показанных на рис. 2 построений следует, что на вы- бранной частоте ( )н н существует одна распространяю- щаяся симметричная волна Лэмба с постоянной распростра- нения 1 S и бесконечное множество не переносящих энер- гию мод с комплексными волновыми числами k , располо- жение которых на комплексной плоскости показано на рис. 5. Повторяя все те же рассуждения, что и при вычислении интегралов (67) и (82), можно показать, что симметричная (относительно срединной плоскости упругого слоя) состав- ляющая интеграла (65), т.е. аксиальный компонент вектора смещения      ( , ) ( , ) ( , ) 4Sn z z zU z S z S z       определя- ется следующей расчетной формулой:      (2) 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), 2 ( ) Sn n SnS S S S z z n zS i U z A U z H BP z           (84) где 1 1 1( ) ( ) ;S S S S Sd d     2 1 1( ) ;S S  1( )S S  определено выражением (8);              2 21 , , sin 2 n n nS m m zz m zz m m m mA h h h G                       0 0, , 2 cosn n m m m m mh h h                          2 2 2 0 02 ( ) sin , , , , ; sin h n n n Sm m m m m z m z m s m m h h f z U z f z U z dz k h                   (85) S m m  , а для первого слагаемого в формуле (84) 1 S m  ;   0 ( , ) 2 ( , )n S m mU z U z   2 ( , );S mU z   ( , )S mU z  и ( , )S mU z  определены расчетными формулами (7); Рис. 5 127   ( , )Sn zBP z – симметричная составляющая аксиальных смещений материальных ча- стиц упругого слоя в ближнем поле, причем    , 2 Sn z i BP z                          1 1 2 2 1 , ,n nS S z k k k n k z k k k n k k S k U z A H U z A H                 . Обращение функции   0 ( , )nU z , заданной выражением (59) и численно равной  2 ( , )nU z  или   ( , )nU z  дает результаты, которые имеют конструкцию аналогич- ную выражениям (83) и (84). Это позволяет утверждать, что искомые амплитудные множители ( )n mB  и ( ),n mA  которые фигурируют в разложениях (3) и (6) определя- ются следующим образом:  ( ) ( ); ( ) n S n m m mS S m i A A        ( ) ( ). ( ) n A n m m mA A m i B B       (86) Естественно, что общие решения (3) и (6), определяющие параметры волнового поля смещений материальных частиц упругого слоя при его неосесимметричном на- гружении внешними силами, содержат в своем составе в качестве частного случая математическое описание осесимметричного поля. Полагая 0n  , и удерживая ниж- ние тригонометрические функции в разложениях (3) и (6), получаем расчетные фор- мулы для описания осесимметричного напряженно-деформированного состояния упругого слоя, которые были ранее опубликованы в работе [6]. Заключение. Впервые решена в трехмерной постановке задача о возбуждении волн Лэмба систе- мой внешних сил, которые произвольным образом распределены в объеме и на поверх- ности некоторой ограниченной области изотропной пластины. Решение содержит вы- вод соотношений для нахождения амплитудных множителей антисимметричных и симметричных относительно срединной плоскости упругого слоя радиально распро- страняющихся волн Лэмба, при использовании интегрального преобразования Ханкеля. Таким образом, на основе общего решения задачи о возбуждении нормальных волн Лэмба системой неосесимметричных объемных и поверхностных нагрузок по- строена математическая модель электроакустического преобразователя в режиме воз- буждения ультразвуковых волн в изотропных твердых телах. РЕЗЮМЕ. Сформульовано та повністю аналітично вирішено проблему збудження просторово розвинених хвиль Лемба системою об’ємних та поверхневих навантажень. Застосовуючи пряме та обернене інтегральне перетворення Ганкеля, отримано співвідношення для визначення коефіцієнтів амплітуд радіально розповсюджуваних неосесиметричних хвиль Лемба, які збуджуються системою об’ємних та поверхневих навантажень у довільній області ізотропного пружного шару. Отримано співвідношення для обчислення компонентів вектора переміщення частинок матеріалу пружного шару в дальньому полі. 1. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970. – 710 с. 2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с. 3. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 с. 4. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1985. – 448 с. 5. Petrishchev O.N., Romanyuk M.I. Excitation of Spatially Developed Lamb Waves by a System of Body and Surface Loads (Part I) // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 6. – P. 660 – 681. 6. Petrishchev O.N., Trushko N.S. Modeling the Radiation of Ultrasonic Waves by a Unit Source of Acoustic Emission Noise // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 207 – 222. Поступила 29.05.2018 Утверждена в печать 05.11.2019

Возбуждение пространственно развитых волн Лэмба системой объемных и поверхностных нагрузок (Часть 2)

Репозитарії

Схожі ресурси