Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости
В настоящей работе излагается построение теории электромагнитных волн и про водимости на основе трехконтинуумной механики электропроводного тела. Исходной является схема металлического проводника в виде совокупности взаимодействующих нейтральных атомов, каждый из которых состоит из положительно зар...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2020
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188223 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 3-17. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-188223 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1882232023-02-18T01:26:24Z Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости Хорошун, Л.П. В настоящей работе излагается построение теории электромагнитных волн и про водимости на основе трехконтинуумной механики электропроводного тела. Исходной является схема металлического проводника в виде совокупности взаимодействующих нейтральных атомов, каждый из которых состоит из положительно заряженного ядра, связанной с ним части и свободной части электронов, имеющих отрицательный заряд. Для элементарного объема проводника, содержащего большое количество атомов, вводятся плотности носителей зарядов ядер, связанных и свободных электронов, а также соответствующие перемещения и парциальные напряжения. Викладено новий принцип побудови теорії електромагнітних хвиль і електропровідності. В основу покладено схему металічного провідника у вигляді сукупності взаємодіючих нейтральних атомів, кожен з яких складається з позитивно зарядженого ядра, зв'язаної з ним частини електронів і вільної частини електронів, що мають негативний заряд. Макроскопічна модель провідника приймається у вигляді трьох взаємопроникних взаємодіючих континуумів - позитивно зарядженої сукупності ядер, негативно зарядженої сукупності зв'язаних з ядрами електронів і негативно зарядженої сукупності вільних електронів (електронного газу). Вводяться щільності носіїв відповідних зарядів, а також відповідні парціальні переміщення і парціальні напруження. Формулюються рівняння балансу щільностей носіїв зарядів, рівняння збереження імпульсу і рівняння стану, що зв'язують динамічні і кінематичні параметри. На основі рівнянь збереження заряду і теореми Гауса-Остроградського рівняння триконтинуумної механіки провідника перетворюються у систему зв'язаних динамічних рівнянь відносно макропереміщень каркаса звіязаних зарядів, напруженостей електричних полів, зумовлених зв'язаними і вільними зарядами, а також щільності струму провідності. Рівняння інваріантні відносно перетворень Галілея. Як частинні випадки з них випливають закон Ома і рівняння Максвелла. A new principle of the theory of electromagnetic waves and conduction is presented. The scheme is based on a metallic conductor as a set of interacting neutral atoms, each of which consists of a positively charged nucleus, a part of electrons associated with it, and a free part of electrons having the negative charge. The macroscopic model of the conductor is represented as three interpenetrating interacting continua — a positively charged set of nuclei, a negatively charged set of electrons connected to the nuclei and a negatively charged set of free electrons (electron gas). The carrier densities of the corresponding charges are introduced, as well as the corresponding partial displacements and partial stresses. The balance equations of charge carrier densities, the equations of conservation of momentum, and the equations of state that relate dynamic and kinematic parameters are formulated. Basing on the charge conservation equations and the Gauss-Ostrogradsky theorem, the equations of three-continuum mechanics of the conductor are transformed into a system of coupled dynamic equations with respect to the macroscopic displacements of the skeleton of bound charges, electric field strengths due to bound and free charges, and conductivity current density. These equations are invariant with respect to Galileo transformations. As the special cases, the Ohm’s law and Maxwell's equations follow from them. 2020 Article Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 3-17. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188223 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В настоящей работе излагается построение теории электромагнитных волн и про водимости на основе трехконтинуумной механики электропроводного тела. Исходной является схема металлического проводника в виде совокупности взаимодействующих нейтральных атомов, каждый из которых состоит из положительно заряженного ядра, связанной с ним части и свободной части электронов, имеющих отрицательный заряд. Для элементарного объема проводника, содержащего большое количество атомов, вводятся плотности носителей зарядов ядер, связанных и свободных электронов, а также соответствующие перемещения и парциальные напряжения. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, Л.П. |
| spellingShingle |
Хорошун, Л.П. Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости Прикладная механика |
| author_facet |
Хорошун, Л.П. |
| author_sort |
Хорошун, Л.П. |
| title |
Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости |
| title_short |
Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости |
| title_full |
Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости |
| title_fullStr |
Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости |
| title_full_unstemmed |
Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости |
| title_sort |
трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2020 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188223 |
| citation_txt |
Трехконтинуумная механика проводников как основа теории электромагнитных волн и проводимости / Л.П. Хорошун // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 3-17. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT horošunlp trehkontinuumnaâmehanikaprovodnikovkakosnovateoriiélektromagnitnyhvolniprovodimosti |
| first_indexed |
2025-07-16T10:09:33Z |
| last_indexed |
2025-07-16T10:09:33Z |
| _version_ |
1837797813966077952 |
| fulltext |
2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 2 3
Л . П . Х о р о ш у н
ТРЕХКОНТИНУУМНАЯ МЕХАНИКА ПРОВОДНИКОВ КАК ОСНОВА
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН И ПРОВОДИМОСТИ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина: e-mail: stochac@inmech.kiev.ua
Abstract. A new principle of the theory of electromagnetic waves and conduction is
presented. The scheme is based on a metallic conductor as a set of interacting neutral atoms,
each of which consists of a positively charged nucleus, a part of electrons associated with it,
and a free part of electrons having the negative charge. The macroscopic model of the con-
ductor is represented as three interpenetrating interacting continua — a positively charged
set of nuclei, a negatively charged set of electrons connected to the nuclei and a negatively
charged set of free electrons (electron gas). The carrier densities of the corresponding charg-
es are introduced, as well as the corresponding partial displacements and partial stresses.
The balance equations of charge carrier densities, the equations of conservation of momen-
tum, and the equations of state that relate dynamic and kinematic parameters are formulated.
Basing on the charge conservation equations and the Gauss-Ostrogradsky theorem, the
equations of three-continuum mechanics of the conductor are transformed into a system of
coupled dynamic equations with respect to the macroscopic displacements of the skeleton of
bound charges, electric field strengths due to bound and free charges, and conductivity cur-
rent density. These equations are invariant with respect to Galileo transformations. As the
special cases, the Ohm’s law and Maxwell's equations follow from them.
Key words: three-continuum mechanics, interacting continua, electromagnetic waves,
conductivity, bound charges, electron gas, charge conservation.
Введение.
В механике сплошных сред широкое распространение получили исследования
связанных полей, описывающих взаимодействия механических, тепловых, электро-
магнитных, диффузионных и других процессов. Уравнения связанных полей строятся,
как правило, на основе синтеза общепринятых уравнений конкретной совокупности
процессов. Так на основе синтеза основных классических разделов механики сплош-
ных сред и теории теплопроводности, а также теории электромагнитных процессов,
возникли новые направления, такие как термоупругость, электроупругость, магнито-
упругость. Они являются теоретической основой для решения ряда актуальных задач,
среди которых можно отметить новое направление в термоупругости [8], а также ис-
следования статических и динамических задач магнитоупругости [17, 18, 21] и элект-
роупругости [1, 3, 7, 12, 19, 20, 22 – 24].
Существующая теория электроупругости, в основу которой положены эффекты
электромеханического взаимодействия в пьезоэлектриках, базируется на уравнениях
статики или динамики упругого тела, уравнениях электростатики (акустическое при-
ближение) и уравнениях состояния, связывающих тензор напряжений и вектор элек-
трической индукции с тензором деформаций и вектором напряженности электриче-
ского поля. При этом предполагается, что внутренняя энергия является функцией де-
формаций и электрической индукции. Недостатком акустического приближения, ба-
зирующегося на уравнениях электростатики, является невозможность описать связан-
4
ные акустические и динамические электромагнитные процессы, которые могут
наблюдаться в виде возбуждения электромагнитных волн акустическими волнами.
Кроме того, недостаточно обоснована зависимость внутренней энергии от электриче-
ской индукции, которая [4] является лишь внешним электрическим полем, созданным
свободными зарядами, независимо от нахождения в нем диэлектрика.
В работах [14, 15] изложен новый принцип построения теории линейной и нели-
нейной электроупругости, в основу которого положены уравнения двухконтинуум-
ной механики диэлектриков как смеси положительных и отрицательных зарядов, по-
парно связанных в нейтральные молекулы или ячейки. Внутренняя энергия принима-
ется функцией деформаций компонентов смеси и разности их перемещений, порож-
дающей вектор поляризации и обусловленное им электрическое поле связанных заря-
дов. Построенные уравнения описывают эффекты пьезоэлектрики и электрострикции
с учетом динамики электромагнитных процессов. В частном случае из них следуют
уравнения Максвелла [16] для диэлектриков.
Существует мнение [9], что уравнения Максвелла, являющиеся фундаментальным
физическим законом и занимающие исключительное место в современной физике,
явно угаданы, а не строго выведены из экспериментальных данных. Основанием для
этого послужило то, что в первой своей работе по электродинамике Максвелл на ос-
нове законов Кулона, Ампера и Фарадея сформулировал дифференциальные уравне-
ния электромагнитного поля, которые не описывали электромагнитные волны. Спустя
пять лет Максвелл в своих уравнениях дополнил ток проводимости так называемым
«током смещения» в виде производной по времени напряженности электрического
поля, объясняя его происхождение поляризацией молекул под воздействием электри-
ческого поля. Это позволило описать электромагнитные волны, тем не менее, некото-
рые физики отрицательно отнеслись к току смещения. Появились попытки [10] обос-
новать его существование необходимостью симметрии уравнений Максвелла. Однако
строгого обоснования существования и физического смысла тока смещения не было
дано. Нет оснований также считать строгим определение тока смещения как произ-
водной по времени вектора электрической индукции [6], так как электрическая ин-
дукция составляет ту часть электрического поля, которая создается свободными заря-
дами [4].
Если же исходить из двухконтинуумной механики диэлектриков [14, 15], то с уче-
том определения вектора поляризации и порождаемого им электрического поля при-
ходим к связанным уравнениям относительно макроперемещений нейтральных моле-
кул и вектора напряженности электрического поля. В случае неподвижного диэлек-
трика из них как частный случай следуют уравнения Максвелла. При этом слагаемое,
которое Максвелл искусственно ввел под названием «ток смещения», здесь является
результатом интегрирования инерционной составляющей уравнения для вектора по-
ляризации и порождаемого им электрического поля. В то же время согласно принято-
му обоснованию [6], базирующемуся на законе сохранения электрического заряда, ток
смещения в диэлектрике оказывается равен нулю при использовании модели двух-
континуумной механики.
Представления двухконтинуумной механики применялись [11] для описания свя-
занных процессов деформирования электропроводного тела и движения отрицательно
заряженного электронного газа в положительно заряженной кристаллической решет-
ке. Однако рассматриваемое двухконтинуумное представление не дает возможности
описать поляризацию проводника, порождающую электрическое поле связанных за-
рядов.
В настоящей работе излагается построение теории электромагнитных волн и про-
водимости на основе трехконтинуумной механики электропроводного тела. Исходной
является схема металлического проводника в виде совокупности взаимодействующих
нейтральных атомов, каждый из которых состоит из положительно заряженного ядра,
связанной с ним части и свободной части электронов, имеющих отрицательный заряд.
Для элементарного объема проводника, содержащего большое количество атомов,
вводятся плотности носителей зарядов ядер, связанных и свободных электронов, а
также соответствующие перемещения и парциальные напряжения. Формулируются
5
уравнения баланса плотностей носителей зарядов, уравнения сохранения импульса
положительных, отрицательных связанных и отрицательных свободных зарядов, а
также уравнения состояния, связывающие динамические и кинематические парамет-
ры. На основе уравнений сохранения заряда, вытекающих из уравнений баланса
плотностей носителей зарядов, и теоремы Гаусса уравнения трехконтинуумной меха-
ники проводника преобразуются в систему связанных динамических уравнений отно-
сительно макроперемещений каркаса проводника, образованного положительными и
связанными отрицательными зарядами, напряженностей электрических полей, обу-
словленных связанными и свободными зарядами, а также плотности тока проводимо-
сти. Уравнения инварианты относительно преобразований Галилея. Для определен-
ных частных случаев они могут быть представлены в форме закона Ома и уравнений
Максвелла, построенных на основе законов Фарадея, Ампера, Био – Савара.
§1. Уравнения трехконтинуумной механики проводников.
Рассмотрим твердое тело, представляющее собой совокупность взаимодействую-
щих атомов, каждый из которых состоит из положительно заряженного ядра и опре-
деленного числа окружающих его отрицательно заряженных электронов. Предполага-
ем, что в равновесном состоянии атома при отсутствии внешних воздействий центры
положительного и отрицательного зарядов совпадают. Отвлекаясь от квантовомеха-
нического описания состояния атома и электропроводности тела, будем исходить из
простейшей схемы, считая, что ядро имеет положительный заряд 1q , а окружающие
ядро электроны состоят из связанной с ним части с зарядом – 2q и свободной части с
зарядом – 3q , удовлетворяющих равенству 1 2 3q q q . Наличие свободных электро-
нов, способных перемещаться по всему объему тела, определяет электропроводность
твердого тела. Молекулярные токи, приводящие к намагничиванию, не учитываются.
Взаимное смещение центров зарядов ядра и связанной с ним части электронов опреде-
ляет поляризацию. В частном случае при 3q = 0 твердое тело является диэлектриком.
Для элементарного объема твердого тела, содержащего достаточно большое чис-
ло атомов, т.е. для элементарного макрообъема, можно ввести плотности носителей
зарядов 1 2 3, ,n n n , представляющих собой число соответствующих зарядов 1 2, ,q q
3q в единице объема. Если заряды не возникают и не исчезают, а только перемеща-
ются, то плотности носителей зарядов удовлетворяют уравнениям баланса
1 2 331 2
1 2 3, , ,
0; 0; 0,i i ii i i
nn n
n u n u n u
t t t
(1.1)
где 1 2 3, ,i i iu u u – векторы скоростей соответственно положительных, отрицательных
связанных и отрицательных свободных зарядов, относящиеся к элементарному мак-
рообъему, точки сверху обозначают соответствующие субстанциональные производ-
ные по времени
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ,; ;i i i
i i n n i i n n i i n n
u u u
u u u u u u u u u
t t t
. (1.2)
Если принять, что в начальный момент времени в каждой точке твердого тела имеет
место равновесное и нейтральное состояние, то начальные плотности носителей зарядов
совпадают и равны числу атомов N в единице макрообъема, т.е. 10 20 30 .n n n N
Умножим уравнения (1.1) соответственно на массы положительного, отрицатель-
ного связанного и отрицательного свободного зарядов 1 2 3, ,m m m . Принимая во вни-
мание, что 1 1 1 2 2 2 3 3 3, ,n m n m n m представляют собой плотности массы соот-
ветствующих зарядов, приходим к уравнениям сохранения массы
1 2 331 2
1 2 3, , ,
0; 0; 0.i i ii i i
u u u
t t t
(1.3)
6
Введем парциальные напряжения 1 2 3, ,ij ij ij как составляющие равнодействую-
щих сил, действующих на соответствующие заряды макроплощадки, отнесенные к
размеру макроплощадки. При этом пренебрегаем касательными составляющими пар-
циальных напряжений 3
ij , которые связаны с вязкостью электронного газа, образо-
ванного отрицательными свободными зарядами, т.е. принимаем 3
3ij ijp , где 3p –
парциальное давление электронного газа, ij – единичный тензор. Тогда уравнения
сохранения импульса положительных, отрицательных связанных и отрицательных
свободных зарядов, отнесенные к элементарному макрообъему твердого тела, можно
представить в виде
1 1 12 13 1
1 , ;i ij j i i iu R R F 2 2 12 23 2
2 , ;i ij j i i iu R R F
3 13 23 3
3 3,i i i i iu p R R F .
(1.4)
Здесь 12 13 23, ,i i iR R R – результирующие силы кинематического взаимодействия между
соответствующими зарядами, отнесенные к элементарному макрообъему, 1 2 3, ,i i iF F F
– объемные силы, действующие на соответствующие заряды элементарного макро-
объема, 1 2 3, ,i i iu u u – субстанциональные производные от соответствующих скоростей
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ,; ; .i i i
i i n n i i n n i i n n
u u u
u u u u u u u u u
t t t
(1.5)
Для замыкания уравнений (1.3), (1.4) необходимо дополнительно сформулировать
уравнения состояния, связывающие динамические и кинематические параметры. По-
ложительно заряженные ядра и связанные с ними отрицательно заряженные электро-
ны образуют каркас твердого тела, поэтому описание их совместного механического
поведения будем строить по аналогии с линейной теорией двухкомпонентных упру-
гих смесей [8]. Совместное механическое поведение электронного газа с положитель-
ными и отрицательными связанными зарядами будем описывать на основе аналогии с
теорией смеси твердой и жидкой фаз [5]. Тогда уравнения состояния для двухкомпо-
нентного линейно-упругого анизотропного тела с движущимся в нем электронным
газом можно представить в виде
1 11 1 12 2 1 1 2 ;ij ijmn mn ijmn mn mij m mh u u
2 21 1 22 2 2 1 2 ;ij ijmn mn ijmn mn mij m mh u u 3 3 3p p ;
12 1 2 1 1 2 2 ;i ij j j imn mn imn mnR u u h h 13 1 1 3 23 2 2 3; ;i ij j j i ij j jR r u u R r u u (1.6)
; ; ; , , 1, 2 ,vk vk vk vk k k k k
ijmn mnij jimn ijnm imn inm ij ji ij jih h r r k
где
( , ) , ,
1
, ( 1, 2),
2
k k k k
mn m n m n m nu u u k (1.7)
, , ,vk k k
ijmn imn ij ijh r – материальные тензоры, определяемые физико-механическими
свойствами и структурой твердого проводящего тела, причем симметрия их относи-
тельно индексов связана с существованием упругого потенциала для двухкомпонент-
ного анизотропного твердого тела и симметрией тензоров ,k k
ij ij , а также с принци-
пом Онзагера в термодинамике необратимых процессов [2]. Взаимное влияние упру-
гих деформаций двухкомпонентного твердого тела и сжимаемости электронного газа,
а также температура не учитываются.
7
Подставляя (1.6), (1.7) в (1.4), приходим к уравнениям
1 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 3 1
1 , , , , ;i ijmn m nj ijmn m nj mi n imn m n mi n imn m n ij j j ij j j iu u u h h u h h u u u r u u F
2 21 1 22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2
2 , , , , ;i ijmn m nj ijmn m nj imn min m n mi n im n m n ij j j ij j j iu u u h h u h h u u u r u u F
3 1 1 3 2 2 3 3
3 3,i i ij j j ij j j iu p r u u r u u F .
(1.8)
Если считать, что объемные силы заданы и учесть уравнение состояния электрон-
ного газа 3 3 3p p , то уравнения (1.3), (1.8) образуют замкнутую систему относи-
тельно параметров 1 2 3
1 2 3 3, , , , , ,i i iu u u p , описывающих механическое поведение
трехконтинуумной системы – положительные заряды, связанные отрицательные заря-
ды и свободные отрицательные заряды.
Введем замену
1 2 1 2 1 2; ; ;i i i i i i ij ij ij ij ij iju u u u u u . (1.9)
Тогда субстанциональные производные (1.2), (1.5) преобразуются таким образом
1 2 1 2; ; ; ;i i i i i i i i i i i iu u u u u u u u u u u u
, , ;i
i i n n i n n
u
u u u u u
t
, , ;i
i i n n i n n
u
u u u u u
t
(1.10)
, , ;i
i i n n i n n
u
u u u u u
t
, , .i
i i n n i n n
u
u u u u u
t
При этом уравнения сохранения массы (1.3), сохранения импульса (1.4) и состояния
(1.6) приводятся соответственно к виду
33
3, , ,
0; 0; 0;i i i i ii i i
u u u u u
t t t
(1.11)
13 23
,i i ij j i i iu u R R F ;
(1.12)
12 13 23
, 2i i ij j i i i iu u R R R F ; 3 13 23 3
3,i i i i iu p R R F ;
* * ;ij ijmn mn ijmn mn mij mh u ;ij ijmn mn ijmn mn mij mh u 3 3 3p p ;
12 *2 4 ;i ij j imn mn imn mnR u h h (1.13)
13 23 3 13 23 3; ,i i ij j j ij j i i ij j j ij jR R r u u r u R R r u u r u
где введены обозначения
, , , ,
1 1
;
2 2ij i j j i ij i j j iu u u u ; 1 2 1 2;i i i i i iF F F F F F ;
11 21 12 22 11 21 12 22; ;ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn
11 22 12 21 * 1 2 1 2; 2 ; 2 ;ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn imn imn imn imn imn imnh h h h h h
1 2 1 2; ; 1 2 1 2;ij ij ij ij ij ijr r r r r r . (1.14)
8
Подставляя (1.13) в (1.12), приходим к уравнениям
* * 3
, , , ;i i ijmn m nj ijmn m nj mij m j ij j j ij j iu u u u h u r u u r u F
* 3
, , , , 4 ;i i mnij m nj ijmn m nj imj m j mij m j ij j ij j j ij j iu u u u h u h u u r u u r u F
3 3
3 3, 3i i ij j j ij ju p r u u r u F mij mij imjh h h ,
(1.15)
которые совместно с (1.11) и уравнением состояния электронного газа 3 3 3p p
образуют замкнутую систему относительно параметров 3
3 3, , , , , ,i i iu u u p .
Для изотропного твердого проводника материальные тензоры, входящие в (1.15),
представлены формулами
2 ; 2 ;ijmn ij mn ijmn ijmn ij mn ijmnI I
2 ; ;ijmn ij mn ijmn ij ijI 1 2
1 2; ;ij ij ij ijr r r r (1.16)
1 2 1 2; ; ;ij ij ij ijr r r r r r r r r r ; * 0imn imnh h ,
где , , , ,
1 2, , , ,r r – постоянные материала; ,ij ijmnI – единичные тензо-
ры. Тогда уравнения (1.15) принимают вид
3
, , , , ;i i i rr r ri i rr r ri i i i iu u u u u u r u u r u F
i iu u 3
, , , , 4i rr r ri i rr r ri i i i i iu u u u u r u u ru F ;
3 3
3 3, 3i i i i iu p r u u r u F .
(1.17)
Системы уравнений (1.11), (1.15), (1.17) с учетом уравнения состояния 3 3 3p p
описывают динамические поля макроперемещений iu каркаса, образованного поло-
жительными и связанными отрицательными зарядами, взаимных смещений 2 iu по-
ложительных и связанных отрицательных зарядов и скоростей перемещений 3
iu сво-
бодных отрицательных зарядов. Нетрудно проверить, что уравнения (1.3), (1.8),
(1.11), (1.15), (1.17) инвариантны относительно преобразований Галилея.
§2. Переход к связанным уравнениям механики и электродинамики.
Уравнения трехконтинуумной механики проводников, полученные выше, опери-
руют чисто механическими параметрами. Поэтому дальнейшая задача состоит в пре-
образовании их к такой форме, чтобы они описывали состояние и динамические про-
цессы в проводниках в терминах электродинамики. С этой целью вернемся к уравне-
ниям баланса плотностей носителей зарядов (1.1). Умножим каждое из этих уравне-
ний соответственно на заряды 1 2 3, ,q q q и сложим. В результате после некоторых
преобразований с учетом (1. 9) получим уравнение сохранения электрического заряда
, 0,e
i iI
t
(2.1)
где плотность электрического заряда e , согласно общепринятым представлениям [4,
6], определяется формулой
1 1 2 2 3 3 ,e n q n q n q (2.2)
а электрический ток iI представляется суммой
9
кон пол пр кон пол
1 1 2 2; ; ;i i i i i e i i iI I I I I u I n q n q u пр 3
3 3 .i i i iI j n q u u (2.3)
Здесь кон
iI – конвекционный ток; пол
iI – ток поляризации или скорость поляризации;
пр
i ij I – ток проводимости. При 1 2 1 2,q q n n N выражение для пол
iI приводит к
известному определению поляризации [6] элементарного объема диэлектрика.
Если принять во внимание теорему Гаусса [4]
, 4 ,i i eE k (2.4)
где iE – вектор напряженности электрического поля, образованного плотностью e ,
1k и 01/ 4k , соответственно, в системах СГС и СИ, то закон сохранения элек-
трического заряда (2.1) можно представить также в форме
кон см пр
,
0i i i i
I I I , (2.5)
где, согласно общепринятым представлениям, см пол1
4
i
i i
E
I I
k t
– ток смещения
для проводника.
Плотность электрического заряда (2.2) можно представить как сумму двух плот-
ностей
1 1 2 2 3 3, ,n c n c
e e e e en q n q n q (2.6)
где n
e – плотность поляризационных или связанных зарядов, c
e – плотность сво-
бодных зарядов. Поэтому вектор напряженности электрического поля iE также со-
стоит из двух слагаемых
,n c
i i iE E E (2.7)
которые связаны с соответствующим плотностями, согласно теореме Гаусса, уравне-
ниями
, ,4 ; 4n n c c
i i e i i eE k E k . (2.8)
Умножая первые два уравнения (1.1), соответственно, на 1 2,q q и складывая,
получим уравнение сохранения поляризационных зарядов
пол
, ,
0,
n
ne
i i e i i
I u
t
(2.9)
где n
e iu – конвекционный ток, обусловленный перемещением поляризационных за-
рядов. Умножая третье уравнение (1.1) на 3q , с учетом (2.3), приходим к уравнению
сохранения свободных зарядов
, ,
0,
c
ce
i i e i i
j u
t
(2.10)
где c
e iu – конвекционный ток, обусловленный перемещением свободных зарядов.
Если принять, что в начальный момент времени плотности носителей связанных
зарядов совпадают 10 20n n N , то, интегрируя уравнение (2.9) по времени, в ли-
нейном приближении получаем
, , 0,n n
e i i eo i iP u (2.11)
где вектор поляризации iP и начальная плотность поляризационных зарядов n
eo
определяются формулами
10
1 2 1 2; n
i i eoP N q q u N q q . (2.12)
При 1 2q q из (2.11) следует известное уравнение связи плотности поляризационных
зарядов и дивергенции вектора поляризации для диэлектрика [14].
Векторы напряженности n
iE и поляризации iP обусловлены распределением в
пространстве связанных зарядов, поэтому между ними должны существовать опреде-
ленные соотношения. Исключая из (2.8), (2.11) плотность n
e , получаем уравнение
,
1
0,
4
n n
i i eo i
i
E P u
k
(2.13)
которое тождественно удовлетворяется равенством
4n n
i i eo iE k P u . (2.14)
Равенство (2.14) можно получить также путем усреднения по элементарному макро-
объему напряженности электрического поля, образованного переместившимися свя-
занными зарядами дискретной системы атомов.
На основе (2.5), (2.7), (2.9), (2.14) находим выражение для тока смещения в про-
воднике
cм 1
4
c
ni i
i eo
E u
I
k t t
. (2.15)
Отсюда следует, что в диэлектрике 1 2 3, 0, 0c
iq q q E ток смещения отсутствует.
Необходимо обратить внимание на тот факт, что вектор поляризации iP и пере-
мещения iu являются исходными параметрами, характеризующими согласно (2.12),
(2.14) расположение связанных зарядов в пространстве. Напряженность же электри-
ческого поля является вторичным фактором в том смысле, что она характеризует
электрическое поле, порожденное согласно закону Кулона векторами 1
iu , 2
iu , или iP и
iu . Поляризация iP , порождаемая взаимным смещением связанных зарядов, и кон-
вективный перенос связанных зарядов n
eo iu могут быть вызваны различными факто-
рами как электрического, так и неэлектрического характера. Это внешнее электри-
ческое поле в
iE , поле свободных зарядов с
iE , инерционные и гравитационные силы,
деформации проводника, изменения температуры и т.п.
Согласно (2.3), (2.12), (2.14) можем записать
3 1 2
1 2 1 2
1 1
; , ;
4
n
i i i i i ic
e
q q
u E u u u j
kN q q q q
. (2.16)
Подставляя (2.16) в (1.15), получаем систему уравнений
*
1 , , , , ;ijn n n
i ijmk ijmk m kj mij m j ij j ijmk m kj mij m j ij j j ic
e
r
D u h u r u E h E r E j F
2 , , 4i mkij ijmk m kj imj mij m j ij j ij jD u h h u u r u (2.17)
, , 4 ;ijn n n n
ijmk m kj mij m j ij j ij j j ic
e
r
E h E E r E j F
3
3 3, ,ij n
i i i ij j j ic
e
r
D p j r E u F
11
где обозначено
1 ;n
i i iD u E 2 ;n
i i iD u E
3 3
,
1 1 1
;i i i i i k kc c c
e e ek
D u j u j u j
t
2 2
, , , ,1 ;n n n ni
i i k k i k k i k k i k k
u
u u u u E E u E E
t
2
, , , ,1
n
n n n n ni
i i k k i k k i k k i k k
E
E E u u E u u E E
t
; (2.18)
2 2
, , , ,1 ;n n n ni
i i k k i k k i k k i k k
u
u u u u E E u E E
t
2
, , , ,1
n
n n n n ni
i i k k i k k i k k i k k
E
E E u u E u u E E
t
.
Для изотропного проводника, согласно (1.16), (1.17), уравнения (2.17) принимают вид
* * *
1 , ,i i rr r ri iD u u r u
, , ;n n n
i rr r ri i i ic
e
r
E E r E j F
2 , , 4i i rr r ri i iD u u u ru (2.19)
, , 4 ;n n n n
i rr r ri i i i ic
e
r
E E E rE j F
3
3 3, ,n
i i i i i ic
e
r
D p j r E u F
где левые части определяются соотношениями (2.18).
В механике сплошных сред объемные силы обычно принимают заданными. Хотя
в принципе они могут зависеть от искомых параметров уравнений, однако такая зави-
симость в большинстве задач пренебрежимо мала. В задачах электродинамики суще-
ственную роль играют пондеромоторные объемные силы, зависящие от электромаг-
нитных параметров. Они обусловлены воздействием электрического и магнитного
полей соответственно на заряженные и движущиеся заряженные элементы. Первые из
них определяются напряженностью электрического поля согласно закону Кулона, а
вторые – произведениями напряженности магнитного поля на скорости движения за-
ряженных участков согласно законам Био-Савара и Ампера. Ограничимся рассмотре-
нием объемных сил, связанных только с пондеромоторным воздействием электриче-
ского поля. В этом случае имеем выражения
1 в 2 в 3 в
1 1 2 2; ; ;c
i i i i i i i e i iF n q E E F n q E E F E E
в в
1 1 2 2 1 1 2 2; ,i i i i i iF n q n q E E F n q n q E E
(2.20)
где в
iE – заданная напряженность внешнего электрического поля, связанная с некото-
рой плотностью зарядов в
e согласно теореме Гаусса
12
в в
, 4i i eE k . (2.21)
С учетом (2.16) уравнения сохранения массы (1.11) представляются в виде
, ,
0; 0;n n
i i i ii i
u E u E
t t
3
3
,
1
0.i ic
e i
u j
t
(2.22)
При этом вследствие равенства 3 3 3
c
em q последнее уравнение в (2.22) тожде-
ственно уравнению (2.10).
Таким образом, уравнения (2.17), (2.22) или (2.19), (2.22) совместно с уравнением
состояния 3 3 3p p образуют систему 13 уравнений относительно 16 параметров
, ,n
i iu E 1 2 3 3, , , , ,c
i ij E p . Их замыкание можно осуществить на основе предположе-
ния о потенциальности поля c
iE , обусловленного свободными зарядами, т.е. принять
равенство
,
c
i iE , (2.23)
где – скалярный потенциал. Тогда, согласно (2.8), получим уравнение
, 4 0,c
rr ek (2.24)
которое совместно с (2.23) замыкает указанную выше систему уравнений.
Системы уравнений (2.17) (или (2.19)), (2.22) – (2.24), где приняты обозначения
(2.18), (2.20), описывают динамические связанные поля механических макропереме-
щений iu каркаса проводника, образованного положительными и связанными отри-
цательными зарядами, напряженностей электрических полей ,n c
i iE E , обусловленных
соответственно поляризацией и свободными зарядами, а также тока проводимости ij .
Уравнения инвариантны относительно преобразований Галилея.
§3. Уравнения электродинамики изотропных проводников.
Связанность механических и электрических процессов в проводниках, которая
следует из уравнений (2.17), (2.19), (2.22) – (2.24), а также наблюдается в опытах, тре-
бует в общем случае их совместного изучения. Разделить их можно лишь приближен-
но или для некоторых гипотетических частных случаев. Так, если предположить, что
каркас проводника, образованный связанными зарядами, движется с постоянной ско-
ростью consti iu U , то в уравнении (2.11) слагаемое ,
n
eo i iu обращается в нуль. По-
этому в уравнениях (2.16) – (2.19), (2.22) следует положить нулю все слагаемые с
множителем . Тогда уравнения (2.19) с учетом (2.18) для изотропного проводника
принимают вид
2
,
, ,2
2
nn
i k n n ni
k k p i kp i k k
EE
U U U E E E
tt
, , ,
1
;
n
n n ni
i rr r ri k i k i ic
e
E r
E E r U E j F
t
2
,
, ,2
2
nn
i k n n ni
k k p i kp i k k
EE
U U U E E E
tt
13
, , ,
1
4 ;
n
n n n ni
i rr r ri i k i k i ic
e
E r
E E E r U E j F
t
3
,
,
1i
k i k i kc c
e e k
j
U j j j
t
3
3, ,
n
ni
i i k i k ic
e
Er
p j r U E F
t
.
(3.1)
Исключая из первых двух уравнений (3.1) нелинейные слагаемые ,
n n
i k kE E и ,
n n
i k kE E , с
учетом (2.20) получим систему двух уравнений электродинамики равномерно движу-
щегося проводника
2
, 2 2 2
, 2 , 1 2 ,2
в
,
2
;
nn
i k n n n ni
k k p i kp i rr r ri i
n
ni
k i k i i i
EE
U U U E c E c c E pE
tt
E
b U E nj m E E
t
3
,
,
1i
k i k i kc c
e e k
j
U j j j
t
в
3, , ,
n
n ci
i i k i k e i ic
e
Er
p j r U E E E
t
(3.2)
где обозначено
2
1
1 2
1
2 2 ;
4
c
2
2
1 2
1
4
c
;
1 2
p
;
1 2
1 2
1
;
2
r r
b
2 1
2 1
1
;
2 c
e
r r
n
1 2
1 2
1
2
q q
m
m m
. (3.3)
Уравнения (2.22) – (2.24), (3.2) и уравнения состояния 3 3 3p p образуют замкну-
тую систему относительно 14 параметров 1 2 3 3, , , , , , ,n c
i i iE j E p . При этом они
инвариантны относительно преобразований Галилея.
В случае неподвижного проводника 0iU уравнения (3.2) принимают вид
2
2 2 2 в
2 , 1 2 ,2
n n
n n ni i
i rr r ri i i i i
E E
b c E c c E pE nj m E E
tt
;
3
,
1i
i kc c
e e k
j
j j
t
в
3, .
n
ci
i i e i ic
e
Er
p j r E E
t
(3.4)
При этом вполне естественно, что они перестают быть инвариантными относительно
преобразований Галилея, так как при 0iU исчезают некоторые слагаемые, обеспе-
чивающие эту инвариантность. Поэтому требовать инвариантность уравнений (3.4)
было бы серьезной ошибкой.
Если бесконечный неподвижный проводник находится в однородном постоянном
внешнем электрическом поле в( const)iE , то уравнения (2.22) – (2.24), (3.4) с учетом
(2.14) имеют стационарные решения
в c в; ;n
i i i i i
n m
j E E E E
p
2
3 1 2 3const; ; .
c
en n n N
r
(3.5)
Первое соотношение в (3.5) представляет собой закон Ома для плотности тока, где
– электропроводность. Однако в общем случае, когда электродинамические парамет-
ры нестационарны или неоднородны, необходимо исходить из уравнений (2.22) –
(2.24), (3.4).
14
При отсутствии свободных зарядов 1 2 3, 0q q q q имеют место равенства
3 1 20; 0; 0; 0; 0; .c c n
e i i i ij E p r r E E (3.6)
В этом случае из первого уравнения (3.4) следует уравнение электродинамики для
диэлектрика
2
2 2 2 2
2 , 1 2 ,2
,i
i rr r ri i i
E
c E c c E s E f
t
(3.7)
где
2
1
1 2
1
2 2 ;
4
c
2
2
1 2
1
;
4
c
2 2
1 2
4
i
N q
f
в
iE ;
2 2
2
1 2
4 N q
s
.
(3.8)
Второе уравнение (3.4) удовлетворяется тождественно.
Уравнения электродинамики изотропных проводников (3.2), (3.4) получены на
основе уравнений трехконтинуумной механики сплошных сред, базирующихся, как
известно, на законах Ньютона. Естественно, возникает вопрос, как они связаны с об-
щеизвестными и общепринятыми уравнениями электродинамики Максвелла [16], по-
строенными путем сведения к дифференциальной форме фундаментальных эмпири-
ческих законов электромагнетизма и введения понятия тока смещения для устранения
определенных противоречий. Для выяснения этого вопроса исследуем некоторые
частные случаи системы уравнений (3.4) для неподвижного проводника.
Если пренебречь напряженностями электрических полей, связанных со свобод-
ными зарядами и заданными внешними источниками, а также изменяемостью во вре-
мени и пространстве дивергенции электрического поля, плотности и давления сво-
бодных зарядов, т.е. принять в
, 3,0, , 0, 0, 0
c
c n e
i i i i r r iE E E E E p
t
, то си-
стема уравнений (3.4) в линейном приближении принимает вид
2
2
2 ,2
;i
i rr i i i
EE
b c E pE nj mE
tt
3
i
i
j r
j
t
2
3 3
.
c c
e i e
i
r E
E
t
(3.9)
Вводя формальное обозначение
,
2
1
rot , roti
i i ipq q p
B
E E e E
c t
. (3.10)
Приходим, по сути, к опытному закону электромагнитной индукции Фарадея или
второму уравнению Максвелла, где iB – вектор магнитной индукции; ipqe – единич-
ный антисимметричный тензор. Тогда пользуясь равенством , , ,i rr r ri ipq qmn n mpE E e e E ,
из первого уравнения (3.9) получим
2
22
roti
i i i
EE
b c B p m E nj
t tt
. (3.11)
Рассмотрим случай, когда во втором уравнении (3.9) можно пренебречь измене-
нием тока и напряженности во времени, т.е. имеет место закон Ома
i ij E . (3.12)
Подставим (3.12) в (3.11) и проведем интегрирование по времени, пренебрегая слага-
емым in p m E и начальными условиями. В результате приходим к уравнению
15
2 rot ,i i
i i i
E Eb
c B bE j
t t
(3.13)
совпадающему по форме с первым уравнением Максвелла, где, согласно принятым
предпосылкам, имеет место равенство , , 0.i i i ij E
В случае, когда можно пренебречь сопротивлением проводника 1 2 0r r , из
второго уравнения (3.9) следует равенство
2
3
c
i e
i
j
E
t
. (3.14)
Исключая из (3.11), (3.14) напряженность iE и проводя интегрирование по времени,
приходим к уравнению
3
2 2
rot ,i
i ic
e
p m E
c B j
t
(3.15)
которое также совпадает по форме с первым уравнением Максвелла.
В общем случае, если из второго уравнения (3.9) и (3.11) исключить ток ij , то по-
сле интегрирования по времени и пренебрежения слагаемым in p m E придем к
уравнению
3
2 rot ,
c
i e
i i i
n E n r
c B j b E
r t r
(3.16)
которое по форме является более общим по сравнению с первым уравнением Макс-
велла.
Таким образом, уравнения (3.4) для определенных частных случаев могут быть
представлены в форме уравнений Максвелла, т.е. они согласуются с фундаменталь-
ными опытными законами Фарадея, Ампера, Био – Савара, положенными в основу
теории Максвелла. Если сравнить уравнения (3.13), (3.15), (3.16), то можно прийти к
выводу, что коэффициенты пропорциональности в зависимости rot iB от ij могут
быть различными для различных проводников и различных условий проведения опы-
та. В целом же уравнения (3.4) являются более общими по сравнению с уравнениями
Максвелла и законом Ома и имеют вполне четкий механический смысл.
Необходимо обратить внимание также на то обстоятельство, что описание элек-
тромагнитных волн в теории Максвелла стало возможным только за счет искусствен-
ного введения тока смещения в первоначальное уравнение, построенное на основе
опыта. В уравнениях же (3.13), (3.15), (3.16) соответствующее слагаемое /iE t вхо-
дит вполне естественно и характеризует инерционность поляризации материала. Оно
сохраняется и в случае диэлектрика 1 2 3, 0q q q , в то время как ток смещения,
согласно (2.15), для диэлектрика равен нулю.
Заключение.
Уравнения Максвелла являются теоретической основой учения об электрических
и магнитных явлениях и занимают исключительное место в современной физической
науке, имеющей многочисленные применения в технике и быту. Они явились уни-
кальной трансформацией в дифференциальную форму фундаментальных опытных
законов Кулона, Ампера, Био-Савара и электромагнитной индукции Фарадея. Однако
в первом варианте сформулированные Максвеллом динамические дифференциальные
уравнения электромагнитного поля не описывали электромагнитные волны. В следу-
ющем варианте дифференциальных уравнений Максвелл дополнил ток проводимо-
сти, формирующий магнитное поле, током смещения, аргументируя его происхожде-
16
ние поляризацией молекул под воздействием электрического поля. Это позволило
описать электромагнитные волны, однако строгого обоснования сущности и физиче-
ского смысла тока смещения не было дано. Это вызвало отрицательное отношение к
уравнениям и току смещения части физиков [9], а также попытки обосновать ток
смещения необходимостью симметрии [10] уравнений Максвелла или пояснением [4],
что ток смещения не является током в обычном смысле слова, т. е. перемещением
зарядов. Нет оснований также определять ток смещения как производную по времени
[6] вектора электрической индукции, так как электрическая индукция составляет ту
часть электрического поля, которая создается свободными зарядами [4] независимо от
наличия в нем диэлектриков или проводников.
Обосновать и объяснить физическую сущность слагаемого, введенного Максвел-
лом под названием «ток смещения», позволяет новый принцип построения уравнений
электромагнитомеханики диэлектриков [14, 15] и проводников. Для диэлектрика в
основу построения положена двухконтинуумная модель механики, описывающая де-
формирование диэлектрика как смеси попарно связанных в нейтральные образования
положительных и отрицательных зарядов. Аналогично для проводника принимается
трехконтинуумная модель механики, описывающая деформирование каркаса положи-
тельных и связанной с ними части отрицательных зарядов и течение в нем свободной
части отрицательных зарядов (электронного газа). Исходя из уравнений баланса носи-
телей положительных зарядов, связанной с ними части отрицательных и свободной
части отрицательных зарядов, а также теоремы Гаусса уравнения трехконтинуумной
механики проводника преобразуются в систему уравнений относительно макропере-
мещений каркаса связанных положительных и отрицательных зарядов, напряженно-
стей электрических полей, порождаемых связанными и свободными зарядами, а также
плотности тока проводимости. Для частных случаев из них следует закон Ома и пред-
ставление в форме уравнений Максвелла. При этом слагаемое, введенное Максвеллом
искусственно как ток смещения, входит вполне естественно и характеризует инерци-
онность поляризации каркаса связанных зарядов и порождаемой нею напряженности
электрического поля.
Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы-
полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ-
лений научных исследований» (КПКВК 6541230).
РЕЗЮМЕ. Викладено новий принцип побудови теорії електромагнітних хвиль і електропро-
відності. В основу покладено схему металічного провідника у вигляді сукупності взаємодіючих ней-
тральних атомів, кожен з яких складається з позитивно зарядженого ядра, зв’язаної з ним частини
електронів і вільної частини електронів, що мають негативний заряд. Макроскопічна модель провід-
ника приймається у вигляді трьох взаємопроникних взаємодіючих континуумів – позитивно зарядже-
ної сукупності ядер, негативно зарядженої сукупності зв’язаних з ядрами електронів і негативно за-
рядженої сукупності вільних електронів (електронного газу). Вводяться щільності носіїв відповідних
зарядів, а також відповідні парціальні переміщення і парціальні напруження. Формулюються рівнян-
ня балансу щільностей носіїв зарядів, рівняння збереження імпульсу і рівняння стану, що зв’язують
динамічні і кінематичні параметри. На основі рівнянь збереження заряду і теореми Гауса-Остро-
градського рівняння триконтинуумної механіки провідника перетворюються у систему зв’язаних
динамічних рівнянь відносно макропереміщень каркаса зв’язаних зарядів, напруженостей електрич-
них полів, зумовлених зв’язаними і вільними зарядами, а також щільності струму провідності. Рів-
няння інваріантні відносно перетворень Галілея. Як частинні випадки з них випливають закон Ома і
рівняння Максвелла.
1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций: в
5-и томах. Т. 5. Электроупругость. – К.: Наук. думка, 1989. – 280 с.
2. Де Гроот С.Р. Термодинамика необратимых процессов. – М.: Гостехиздат, 1956. – 280 с.
3. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике. – М.: Изд-во ино-
странной литературы, 1952. – 447 с.
17
4. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. – М.: Физматгиз, 1963. – 432 с.
5. Рахматуллин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред //
Прикл. мат. и механика. – 1956. – 20, вып.2. – С. 184 – 195.
6. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. – 616 с.
7. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных
композитных материалов. – К.: Наук. думка, 1989. – 208 с.
8. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. – К.: Наук. думка, 1984.
– 112с.
9. Шапиро И.С. К истории открытия уравнений Максвелла // Успехи физ. наук. – 1972. – 108, № 2. –
С. 319 – 333.
10. Borc A.M. Maxwell, Displacement Current, and Symmetry // American J. of Physics. – 1963, № 11.
– P. 854 – 859.
11. Demiray H.A. Continuum Theory of Elastic Solid State Plasma // J. Techn. Phys. – 1978. – 19, N 2. – P.
267 – 279.
12. Haywang W., Lubitz K., Wersing W. Piezoelectricity. Evolution and Future of a Technology. – Berlin:
Springer, 2008. – 579 p.
13. Katzir S. The Beginning of Piezoelectricity. – Berlin: Springer, 2006. – 266 p.
14. Khoroshun L.P General Dynamic Equations of Electromagnetomechanics for Dielectrics and Piezoelec-
trics // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 4. – P. 407 – 420.
15. Khoroshun L.P. Two – Continuum Mechanics of Dielectrics as the Basis of the Theory of Piezoelectrici-
ty and Electrostriction // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 2. – P. 143 – 154.
16. Maxwell J.C. A Treatise on Electricity and Magnetism. In 2 vol.: Vol. 2. – Oxford: Clarendon Press. –
24. – 445 p.
17. Mol’chenko L.V., Fedorchenko L.N., Vasil’eva L.Ya. Nonlinear Theory of Magnetoelasticity of Shells of
Revolution with Joule Heat Taken into Account // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 3. – P. 306 – 314.
18. Moon F.C. Magneto-Solid Mechanics. – New York: Wiley, 1984. – 437 p.
19. Wang Z.K., Chen G.C. A general solution and the application of space axisymmetric problem in piezoe-
lectric material // Appl. Math. and Mech. Engl. Ed. – 1994 –15, N 7. – P. 615 – 626.
20. Wen C.W., Weng G.J. Theoretical approach to effective electrostriction in inhomogeneous materials //
Phys. Rev. B. – 2000. – 61, N 1. – P. 258 – 265.
21. Yamamoto Y., Miya K. Elektromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures. –
Amsterdam: Elsevier Science – North Holland, 1987. – 450 p.
22. Yang J. An Introduction to the Theory of Piezoelectricity. – New York: Springer, 2005. – 299 p.
23. Ye Z.G. Handbook of Advanced Dielectric, Piezoelectric and Ferroelectric Materials. Synthesis, Proper-
ties and Applications. – Cambridge: Elsevier Science and Technology, 2008. – 1096 p.
24. Zhang T.Y., Gao C.F. Fracture behaviors of piezoelectric materials // Theor. Appl. Fract. Mech. – 2004.
– 41, N 1 – 3. – P. 339 – 379.
Поступила 04.03.2019 Утверждена в печать 05.11.2019
|