Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем

Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем

В данной работе рассматривается акустическая система, принятая к рассмотрению в публикации [22], однако предполагается, что среда испытывает динамическое возбуждение за счет излучаемого сферическим телом акустического давления. Целью работы является получение частотных зависимостей для давления и ск...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2020
Автори: Кубенко, В.Д., Янчевский, И.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Назва видання:Прикладная механика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188224
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем / В.Д. Кубенко, И.В. Янчевский // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 18-35. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-188224
record_format dspace
spelling irk-123456789-1882242023-02-18T01:26:22Z Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем Кубенко, В.Д. Янчевский, И.В. В данной работе рассматривается акустическая система, принятая к рассмотрению в публикации [22], однако предполагается, что среда испытывает динамическое возбуждение за счет излучаемого сферическим телом акустического давления. Целью работы является получение частотных зависимостей для давления и скорости при различных соотношениях геометрических параметров системы с целью выявления возможных аномальных частот, обусловленных волновым взаимодействием сферического тела с торцом сосуда. Розглядається заповнена ідеальною стисливою рідиною напівнескінченна кругова циліндрична порожнина, що містить розташоване поблизу її торця сферичне тіло. Поверхня тіла випромінює періодичний тиск із заданою частотою і амплітудою. Розв'язується задача визначення гідродинамічних характеристик системи залежно від частоти збудження і геометричних параметрів. Застосовується метод розділення змінних, трансляційні теореми додавання для сферичних хвильових функцій і співвідношення, що представляють сферичні хвильові функції через циліндричні і навпаки. Такий підхід дозволяє задовольнити усім граничним умовам і отримати точний розв'язок граничної задачі. Обчислення зведені до розв'язання нескінченної системи алгебраїчних рівнянь відносно якої стверджується, що її розв'язок методом зрізання сходиться. Визначення полів тиску і швидкості показало, що дана система має низку значень частоти збудження, при яких акустичні характеристики перевищують амплітуду збудження на декілька порядків. Ці аномальні частоти відрізняються від частот, властивих нескінченній циліндричній порожнині зі сферичним тілом. При цьому навіть у випадку, коли радіус сферичного випромінювача малий і аномальні явища в нескінченній посудині слабо виражені, в напівнескінченній порожнині вони можуть проявитися суттєво. A semi-infinite circular cylindrical cavity filled with an ideal compressible liquid which contains a spherical body located near to its end is considered. The body surface radiates the periodic pressure with the given frequency and amplitude. The problem of determining the hydrodynamic characteristics of the system depending on the frequency of excitation and geometrical parameters is solved. The method of separation of variables, the translational addition theorems for the spherical wave functions, and the relations representing the spherical wave functions through the cylindrical ones and inverse are applied. This approach allows to satisfy all boundary conditions and to obtain the exact solution of boundary problem. The calculations are reduced to solving the infinite system of algebraic equations. Further, it is asserted that its solution obtained by the truncation method converges. Determination of the pressure fields and velocities is displayed that the considered system has the series of frequencies of excitation at which the acoustic performances can exceed several orders the amplitude of excitation. These anomalous frequencies differ from the frequencies inherent for an infinite cylindrical cavity with a spherical body. Thus, even in a case when the radius of spherical emitter is small, and therefore the anomalous phenomena in an infinite vessel are poorly expressed, in a semi-infinite vessel they can appear essentially. 2020 Article Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем / В.Д. Кубенко, И.В. Янчевский // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 18-35. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188224 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В данной работе рассматривается акустическая система, принятая к рассмотрению в публикации [22], однако предполагается, что среда испытывает динамическое возбуждение за счет излучаемого сферическим телом акустического давления. Целью работы является получение частотных зависимостей для давления и скорости при различных соотношениях геометрических параметров системы с целью выявления возможных аномальных частот, обусловленных волновым взаимодействием сферического тела с торцом сосуда.
format Article
author Кубенко, В.Д.
Янчевский, И.В.
spellingShingle Кубенко, В.Д.
Янчевский, И.В.
Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем
Прикладная механика
author_facet Кубенко, В.Д.
Янчевский, И.В.
author_sort Кубенко, В.Д.
title Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем
title_short Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем
title_full Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем
title_fullStr Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем
title_full_unstemmed Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем
title_sort аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2020
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188224
citation_txt Аномальные частоты в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью при динамическом возбуждении сферическим излучателем / В.Д. Кубенко, И.В. Янчевский // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 18-35. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT kubenkovd anomalʹnyečastotyvpolubeskonečnomcilindričeskomsosudesžidkostʹûpridinamičeskomvozbuždeniisferičeskimizlučatelem
AT ânčevskijiv anomalʹnyečastotyvpolubeskonečnomcilindričeskomsosudesžidkostʹûpridinamičeskomvozbuždeniisferičeskimizlučatelem
first_indexed 2025-07-16T10:09:39Z
last_indexed 2025-07-16T10:09:39Z
_version_ 1837797820338274304
fulltext 2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 2 18 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 2 В . Д . К у б е н к о 1 , И . В . Я н ч е в с к и й 2 АНОМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТЫ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ С ЖИДКОСТЬЮ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ СФЕРИЧЕСКИМ ИЗЛУЧАТЕЛЕМ 1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; е-mail: vdk@inmech.kiev.ua 2 Национальный технический университет Украины «КПИ им. И. Сикорского», пр. Победы, 37, 03056, Киев, Украина, е-mail: i.yanchevskyi@kpi.ua Abstract. A semi-infinite circular cylindrical cavity filled with an ideal compressible liq- uid which contains a spherical body located near to its end is considered. The body surface radiates the periodic pressure with the given frequency and amplitude. The problem of deter- mining the hydrodynamic characteristics of the system depending on the frequency of excita- tion and geometrical parameters is solved. The method of separation of variables, the transla- tional addition theorems for the spherical wave functions, and the relations representing the spherical wave functions through the cylindrical ones and inverse are applied. This approach allows to satisfy all boundary conditions and to obtain the exact solution of boundary problem. The calculations are reduced to solving the infinite system of algebraic equations. Further, it is asserted that its solution obtained by the truncation method converges. Determination of the pressure fields and velocities is displayed that the considered system has the series of frequen- cies of excitation at which the acoustic performances can exceed several orders the amplitude of excitation. These anomalous frequencies differ from the frequencies inherent for an infinite cylindrical cavity with a spherical body. Thus, even in a case when the radius of spherical emitter is small, and therefore the anomalous phenomena in an infinite vessel are poorly ex- pressed, in a semi-infinite vessel they can appear essentially. Key words: semi-infinite cylindrical vessel, compressible liquid, spherical oscillator, anomalous phenomena. Введение. Взаимодействие акустических, упругих и электромагнитных волн с системой от- ражающих тел в безграничном пространстве является предметом многочисленных исследований уже более века и отражено в ряде монографий и статей. В подавляю- щем большинстве случаев рассматриваются системы однотипных тел, как правило, это системы либо цилиндрических, либо сферических тел [5, 7, 18, 27, 29]. При анали- тическом подходе к решению задач для таких систем применяется разделение пере- менных в общем решении волновых уравнений в соответствующих системах коорди- нат и применяются трансляционные теоремы сложения для записи волновых функций в координатах каждого тела системы. Применяются также численные методы и мето- ды граничных интегральных уравнений. Дифракционные задачи для систем тел, ограниченных неоднотипными поверхно- стями, например, цилиндрическими и сферическими, исследованы в значительно меньшей степени. Можно указать на подход, изложенный в публикации [19], в кото- рой, на основе представления цилиндрических волновых функций через сферические и обратно [6, 19], использования теорем сложения для цилиндрических волновых функций и, отдельно, для сферических функций [7, 13], предложен способ изучения дифракции стационарных акустических волн на системах неоднотипных препятствий, сводящий исходную граничную задачу к решению бесконечных систем алгебраичес- ких уравнений с коэффициентами в виде несобственных интегралов. 19 Наиболее доступными к исследованию являются осесимметричные задачи, когда внутри бесконечного акустического или упругого цилиндра расположено сфериче- ское тело с центром на оси цилиндра, а действующая нагрузка обладает осевой либо центральной симметрией. Отметим несколько исследований такого рода. Отражение упругих волн сферическим препятствием внутри упругого цилиндра рассмотрено в работе [30]. Случай акустического волновода с акустически мягкой и жесткой по- верхностью волновода и сферы представлен в статье [24]. В работе [8] изучается ди- намическое взаимодействие осциллирующей сферы с заполненной жидкостью цилин- дрической оболочкой в упругой среде. Отражению волны кручения от поверхности сферической полости в упругом цилиндре посвящена публикация [23]. Несимметрич- ное возбуждение такой системы рассмотрено в работе [17]. В практическом отношении такие задачи могут быть связаны с изучением акусти- ческих процессов в рамках установления принципов организации движения и взаимо- действия плавающих частиц, капель жидкости, газовых пузырьков и кавитационных образований в топливопроводах посредством возникающих в таких процессах радиа- ционных сил [16, 34]. Методы акустики достаточно интенсивно используются в раз- нообразных геофизических исследованиях, в нефтеразведке и нефтедобыче. В частно- сти, расшифровка отраженного сигнала акустического источника, помещенного в ствол скважины, позволяет определить свойства извлекаемого продукта. Может быть предложено еще одно применение акустического излучателя в скважине. В публика- циях [20, 21, 33] показано, что система, состоящая из заполненной жидкостью цилин- дрической полости и погруженного в нее сферического тела, обладает так называе- мыми аномалиями или «условно резонансными» свойствами – при некоторых часто- тах возбуждения имеет место многократное увеличение акустического давления в полости. Это явление положено в основу патента Украины [9], согласно которому при закупоривании перфорированной области цилиндрического коллектора нефтяной скважины можно добиться очистки перфорации, возбуждая специально погружаемое в скважину тело на одной из «резонансных» частот системы. Очевидно, что скважина, ограниченная в донной части, например, рабочим инструментом, акустически более адекватно моделируется в виде заполненной жидкостью полубесконечной цилиндри- ческой полости с жестким днищем (торцом). С учетом сказанного в публикации [22] построено аналитическое решение акустической задачи для полубесконечной круго- вой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью и содержащей сферическое тело. Рассматривается граничная задача Неймана – среда в жесткой по- лости цилиндра испытывает кинематическое возбуждение за счет излучаемой телом периодической радиальной скорости, торцевое сечение полости также является жест- ким. Установлено, что при такой постановке задачи в полубесконечном акустическом цилиндре появляются новые аномальные частоты, приводящие к существенному уве- личению (на несколько порядков) гидродинамических характеристик. В данной работе рассматривается акустическая система, принятая к рассмотре- нию в публикации [22], однако предполагается, что среда испытывает динамическое возбуждение за счет излучаемого сферическим телом акустического давления. Целью работы является получение частотных зависимостей для давления и скорости при различных соотношениях геометрических параметров системы с целью выявления возможных аномальных частот, обусловленных волновым взаимодействием сфериче- ского тела с торцом сосуда. Установлено, что, как и в случае кинематического воз- буждения, изученного в работе [22], ограниченность сосуда с жидкостью в осевом направлении приводит к появлению в полубесконечном сосуде (при небольшом уда- лении сферического возбудителя от жесткого днища сосуда) аномальных частот, от- личных от подобных частот, свойственных бесконечному сосуду. Амплитуды давле- ния (скорости) при таких частотах многократно возрастают. При этом даже в случае, когда в бесконечном сосуде аномальные явления слабо выражены (радиус сфериче- ского излучателя мал по сравнению с радиусом сосуда), в полубесконечном сосуде они могут проявиться существенно. 20 Как и в работах [22, 32], решение задачи строится методом «мнимых источников» (методом изображений) [4, 5]: вместо полубесконечного сосуда с жидкостью вводится в рассмотрение бесконечный сосуд, в котором кроме реального тела предполагается наличие «мнимого» сферического тела, зеркально расположенного относительно тор- цевого сечения. Мнимое тело имеет тот же радиус и возбуждается таким образом, что удается реализовать соответствующее граничное условие в торцевом сечении, моде- лирующее жесткое днище или свободную поверхность. Таким образом, фактически решается акустическая задача для двух одинаковых сферических тел, возбуждаемых специальным образом. Аналогичный прием использован в работе [14], в которой рас- смотрена задача дифракции для сферического тела вблизи границы акустического по- лупространства. Здесь уместно вспомнить, что исследования рассеяния волн на си- стеме двух сфер имеют многолетнюю историю, и одни из первых решений получены для акустической [15, 26], упругой [4, 5] и электромагнитной сред [3, 11] с примене- нием теорем сложения для сферических волновых функций, являющихся решениями скалярных или векторных уравнений Гельмгольца. Указанные теоремы, по-видимому, впервые опубликованные в работах [7, 13], дают возможность представить волновое поле каждой сферы в координатах другой сферы и таким образом удовлетворить гра- ничным условиям посредством разделения переменных. Задачи многократного отра- жения (multiple scattering), по-прежнему являются актуальными в различных областях естествознания (см. [27, 28]). Для выполнения граничных условий на поверхности каждой сферы, а также на поверхности цилиндрической полости и ее торца применяются трансляционные тео- ремы сложения скалярных сферических волновых функций и соотношения, позволя- ющие представить сферические волновые функции через цилиндрические и обратно [6, 19]. В результате решение граничной задачи сведено к решению бесконечной си- стемы алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов общего ре- шения, матрица которой содержит несобственные интегралы. Бесконечная система решается методом усечения. Точность удовлетворения граничным условиям контро- лируется. Как результат определены зависимости акустического давления и скорости от частоты динамического возбуждения в характерных точках полости при различных соотношениях между радиусами полости и сферы и зазором между сферическим те- лом и днищем. Решена осесимметричная задача, однако, в принципе подход может быть развит для рассмотрения достаточно общих конфигураций. Таким образом, в работе получено точное решение многосвязной скалярной зада- чи многократного рассеяния для полубесконечного сосуда с жидкостью и располо- женным вблизи торца динамически возбуждаемым сферическим телом. Произведен- ные вычисления показали, что взаимодействие излучаемого сферическим телом аку- стического давления с днищем полубесконечной цилиндрической полости приводит к возникновению новых аномальных частот возбуждения [31], при которых происходит многократное повышение давления (скорости) в жидкости. §1. Постановка задачи и общее решение. Полубесконечная жесткая круговая цилиндрическая полость заполнена идеальной сжимаемой жидкостью и содержит сферическое тело, на поверхности которого задано давление, периодически изменяющееся во времени с частотой  . Требуется найти волновой потенциал жидкости и через него зависимость давления и скорости от ча- стоты колебаний в различных точках полости. Предположим, что сферическое тело находится на оси цилиндра и, таким образом, имеет место осевая симметрия. Обозна- чим через 0 радиус цилиндра; 0r – радиус сферы, h – расстояние между центром сферы и торцевым сечением цилиндра. Отнесем рассматриваемую систему к цилиндрическим координатам ( , z ) с нача- лом в центре O торцевого сечения и введем также сферическую систему координат ( 1 1 1, ,r   ) с началом в точке 1O , совпадающей с центром тела (рис. 1). В дальнейшем координата  выпадает из рассмотрения вследствие осевой симметрии. 21 Рис. 1. Используются безразмерные переменные, в которых характерными единицами являются радиус цилиндра 0 , скорость звука в жидкости c и величина 2c , имею- щая размерность давления. Здесь и далее обозначено:  – плотность среды; p – заданное давление на по- верхности сферического тела; 2   – круговая частота ( – длина волны); p и V – гидродинамические давление и скорость. Если принять, что временной множитель i te  всюду подразумевается, то задача состоит в построении решения уравнения Гельмгольца относительно волнового по- тенциала возмущений  [10] при соответствующих граничных условиях на боковых поверхностях цилиндра и сферы, на торце цилиндра. Потенциал  связан с давлени- ем и скоростью посредством формул p i   ; gradU    . (1.1) Если на поверхности сферы задано осесимметричное осциллирующее давление в виде функции 1( ),p  относительно которой предполагается возможность представле- ния ее в виде ряда по полиномам Лежандра 1(cos )mP  [1], то граничное условие в си- стеме координат 1 1 1O r  имеет вид     1 0 1 1 0 cos .m mr r m p p P           (1.2) На жесткой поверхности цилиндрической полости ( 0 1   ) имеет место усло- вие непроницаемости 1 0.      (1.3) В торцевом сечении 0z  в общем случае граничное условие можно записать в виде   0 0, z p V     (1.4) где V обозначает нормальную компоненту вектора скорости. При 0  условие (1.4) определяет сечение 0z  как свободную границу, при 0  – как жесткую стенку. Ниже при вычислениях ограничимся случаем жесткой стенки в торцевом сечении цилиндра. Решение для других случаев строится аналогично. Задача решается методом «мнимых источников» [5]. В соответствии с этим, вме- сто полубесконечной области рассматривается бесконечная цилиндрическая полость с жидкостью, содержащая два одинаковых сферических тела, которые расположены на 22 оси полости симметрично на расстоянии h от торцевой плоскости 0z  . При этом тело 1 – реальное, тело 2 – «мнимое», искусственно вводимое определенным образом возбуждаемое тело, наличие которого позволит реализовать необходимое граничное условие в плоскости 0z  . С центром мнимого тела 2O (на расстоянии 2h от 1O ) свяжем сферическую си- стему координат ( 2 2 2, ,r   ) (рис. 1). Для такой системы тел в соответствии с имеющимися граничными поверхностями и принципом суперпозиции волновой потенциал  можно представить в виде суммы цилиндрического  cyl , z и сферических потенциалов    1 sph 1 1,r  и    2 sph 2 2,r           1 2 cyl sph 1 1 sph 2 2, , ,z r r       . (1.5) Цилиндрический потенциал cyl ( , ),z ограниченный на оси цилиндра ( 0  ), запишем в виде [10]   2 2 cyl 0( , ) ( ) .i zz B J e d           (1.6) Здесь ( )B  – искомая плотность, 0 ( )J x – цилиндрическая функция Бесселя индекса 0 [1]. Потенциалы   sph j ( 1, 2j  ) в сферических координатах ( , )j jr  с учетом условий излучения при jr  [10] может быть записано следующим образом:     sph 0 ( , ) ( ) (cos )j j j j m m j m j m r X h r P        ( 1,2j  ). (1.7) Здесь  j mX – искомые коэффициенты,   mh x – сферическая функция Ханкеля I-го рода индекса m [1]. Суммарный потенциал  необходимо представить в координатах, связанных с каждой граничной поверхностью. Это даст возможность удовлетворить граничным условиям (1.2) – (1.4). С этой целью перепишем сферическое решение (1.7) в цилин- дрических координатах, для чего используется известное соотношение [6, 19]  2 2 0( ) (cos ) ( ) 2 m i z h m j m j m i h r P P H e d                 ( 1, 2),j  (1.8) позволяющее представить сферическую волновую функцию через цилиндрическую. В формуле (1.8) сферической системе координат  1 1,r  соответствует цилиндри- ческая система ( , )Z z h   , системе 2 2( , )r  – система ( , ).Z z h   Если представить        1 2 sph sph 1 1 sph 2 2, ,r r     и использовать соотношения (1.7) и (1.8), можно суммарный сферический потенциал переписать в цилиндрических координатах   2 2 sph 0 ( ) .i zA H e d          (1.9) Здесь      1 2 0 1 2 m i h i h m m m m A i X e X e P                  . В свою очередь цилиндрическое решение (1.6) можно записать в сферических ко- ординатах ( , )j jr  ( 1, 2)j  на основе использования следующего известного пред- ставления [10]: 23  2 2 0 0 ( ) 2 1 ( ) (cos ).i z m m m m m e J i m P j r P                 (1.10) Здесь ( )mj x – сферическая функция Бесселя индекса m . В результате цилиндрический потенциал в сферических системах координат ( , )j jr  ( 1, 2j  ) имеет следующее представление:                 1 1 cyl 1 1 0 2 2 cyl 2 2 0 ( ) (cos ); 2 1 ; ( ) (cos ); 2 1 . m i h m m m m m m m i h m m m m m m B j r P B i m B P e d B j r P B i m B P e d                                          (1.11) Потенциалы   sph ( , )j j jr  ( 1, 2j  ) из формулы (1.7) могут быть переписаны в сферических координатах ( , )k kr  ( 2, 1)k  при помощи трансляционных теорем сло- жения сферических функций. В литературе, посвященной задачам многократного рассеяния (multiple scattering), представлено значительное количество публикаций с изложением скалярных и векторных теорем сложения. В данной работе будут исполь- зованы обозначения и теоремы, приведенные в монографии [7], которые примени- тельно к рассматриваемой задаче имеют вид 0 0 0 ( ) (cos ) (2 , ) ( ) (cos );m j m j n m jk n k n k n h r P Q h j r P             0 0 0 0 0 2 (2 , ) 2 (cos ); n m n m m nl n m jk l l l jk l n mn i Q h i b h h P N           0 2 2 1nN n   ; , 1,2j k  ; k j . Здесь угол jk обозначает координату начала системы координат kO в сферической системе с началом в точке .jO В данной задаче 12 0  и 21 .  Так как 12(cos ) 1lP   и 21(cos ) ( 1) ,l lP    теоремы сложения можно переписать в более компактном виде   0 0 0 ( ) (cos ) (2 ) ( ) (cos )j m j m j n m n k n k n h r P Q h j r P         ( 1, 2),j  (1.12) где        (2 1) 0 0 0 0 0 2 2 2 ( 1, 2); n m n m j l j m n n m l l l n m n i Q h i b h h j N           (1.13)  0 0 2( , ,0,0 | ,0)m n lb m n l            2 2 2 1 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 если четное; ! ! ! 1 ! 2 2 2 0 если нечетное. k l k m k n k l k k k k m n l k k                                      (1.14) Здесь k m n l   ; ( , , 0, 0 | , 0)m n l – частный случай коэффициентов Клебша-Гордана ( m , n ,…, 1m , 2m | l , 1 2m m ) [1, 2 7] при 1 2 0*.m m  *Укажем, что в выражении коэффициентов Клебша-Гордана (в общем случае) в русскоязычном изда- нии справочника [1] допущена опечатка, которая также воспроизведена в [7]. Правильное выражение ука- занных коэффициентов можно получить, используя [2]. 24 Представления (1.5), (1.9), (1.11) и (1.12) позволяют записать полный потенциал в координатах, связанных с каждой граничной поверхностью. Это даст возможность удовлетворить всем граничным условиям. Так, полный потенциал возмущений в сферических координатах приобретает сле- дующий вид: – в координатах 1 1( , ) :r         1 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 ( , ) ( ) (2 ) ( ) ( ) (cos );m m f m f m m m m m f r X h r X Q h j r B j r P                     (1.15) – в координатах 2 2( , ) :r         2 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 ( , ) ( ) (2 ) ( ) ( ) (cos ).m m f m f m m m m m f r X h r X Q h j r B j r P                     (1.16) Здесь коэффициенты  1 mB и  2 mB определяются через неизвестную плотность ( )B  по формулам (1.11), величины  1 0 0m fQ ,  2 0 0m fQ – по формулам (1.13), (1.14). Полный потенциал в цилиндрической системе координат имеет вид 2 2 2 2 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) .i zz B J A H e d                   (1.17) Здесь    1 2 0 1 ( ) ( ) . 2 m i h i h m m m m A i X e X e P                §2. Удовлетворение граничным условиям. Рассмотрим последовательно удовлетворение граничным условиям на каждой по- верхности. 2.1. Условие на цилиндрической поверхности полости. Из условия непроница- емости на этой поверхности (1.4) и выражения (1.17) при 1  имеем        2 2 2 2 2 2 1 1 0.i zB J A H e d                  Отсюда вследствие единственности преобразования Фурье следует        2 2 2 2 1 1 0B J A H         , или, с учетом выражения для  A  из формулы (1.12), получим            2 2 1 21 2 2 0 1 1 2 m i h i h m m m m H B i X e X e P J                      . (2.1) Соотношение (2.1) дает возможность представить коэффициенты  j mB ( 1,2j  ; 0,1,m   ), заданные формулами (1.11), через неизвестные  k mX ( 1,2k  ):         1 1 2 2 0 2 1 2 m f m f fm f fm f m B i X q X q         ;           2 1 1 2 0 1 2 1 2 m f m f fm f fm f B m i X q X q         . (2.2) Здесь введены следующие обозначения: 25 2 2 1 2 2 1 ( ) ; ( ) fm f m H q P P d J                           2 2 1 21 2 2 1 ( ) ; ( ) i h fm f m H q P P e d J                         (2.3)   2 2 2 21 2 2 1 ( ) . ( ) i h fm f m H q P P e d J                          2.2. Условие на торце цилиндрической полости. Если при 0z  имеем свобод- ную границу ( 0  в формуле (1.4)), то из (1.4), (1.5) и (1.7) следует равенство    1 2 1 1 2 2 0 0 ( ) (cos ) ( ) (cos ) 0.m m m m m m z m X h r P X h r P           (2.4) Учитывая, что в плоскости 0z  имеют место равенства 1 2r r , 2 1    , и, кро- ме того, для полиномов Лежандра справедливо соотношение      1 m m mP x P x   [1], из формулы (2.4) получаем      1 2 1 0 1 ( ) (cos ) 0, m m m m m m X X h r P         откуда вследствие ортогональности полиномов Лежандра вытекает следующее соот- ношение между коэффициентами  j mX ( 1,2j  ):    1 1 2( 1) .m m mX X  (2.5) Аналогично, в случае жесткой границы ( 0  в формуле (1.4))      1 21 . m m mX X  (2.6) Ниже ограничимся последним случаем. 2.3. Условие на поверхности сферического тела. Из граничного условия на по- верхности сферического тела (1.2), применяя представление волнового потенциала возмущений в сферических координатах (1.15) и выражения (1.13), (2.2), (2.3) и (2.6), а также используя свойство ортогональности полиномов Лежандра, получим беско- нечную систему алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов               1 1 2 1 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 fm f m m m f m f mf mf m f i X h r j r X Q h m i q q p                 ( 0, 1, 2, , ).m   (2.7) Если в системе уравнений (2.7) произвести замену переменных  1 0( ) ,m m mh r X x  (2.8) она приобретет стандартную форму    0 0 , ,m m f f m f i x A r h x p      ( 0,1, 2, ... , ).m   (2.9) Коэффициенты системы (2.9) имеют вид              2 10 0 0 0 0 ( )2 1 2 ( , , ) 1 2 1 ) . 2 ( ) 2 1 f fm m fm f m f fm fm m j rm A r h Q h i q q h r m               (2.10) 26 Величины  2 0 0m fQ , fmq и  1 fmq вычисляются по формулам (1.13) и (2.3), соответ- ственно. Практические вычисления выполнены на основе системы уравнений (2.9) в сле- дующей последовательности. 1. Задается множество исходных параметров задачи: радиус цилиндрической по- лости 0 =1; радиус сферы 0r ; расстояние от стенки до центра сферы h ; частота воз- буждения  . 2. Задается амплитуда давления на поверхности сферического излучателя (функ- ция 1( )p  ) и вычисляются коэффициенты mp разложения по полиномам Лежандра. 3. Коэффициенты бесконечной системы   0( , , )m fA r h вычисляются по формуле (2.10). Методом усечения решается бесконечная система уравнений (2.9) относительно mx ( 0,1, ... , ),m N где N определяет необходимое для достижения требуемой точ- ности число членов в выражении для суммарного потенциала. 4. Из формулы (2.8) находятся коэффициенты (1) .mX 5. Выражение для суммарного потенциала возмущений  строится по формуле (1.15) с учетом (2.2), (2.3) или, если воспользоваться (2.9),    1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) (cos ). ( ) N m m m m m m m m m j ri r X h r p X h r P j r                  (2.11) 6. Вычисляются давление p и нормальная скорость V : ;p i   2 2Re( ) Im( ) ;p p p  1 ;V r    2 2Re( ) Im( ) .V V V  (2.12) Здесь Re( )p – давление в начале периода колебания, Im( )p – спустя четверть перио- да; p – амплитуда колебаний. 7. Проверяется точность выполнения граничных условий на поверхности сферы, цилиндра и на торце. Для вычислений искомых характеристик на цилиндрической поверхности можно использовать выражение для потенциала в цилиндрических координатах (1.17) с уче- том (2.1) и (2.6). В ниже приведенных примерах вычислений рассматривалась только центрально-симметричная форма возбуждения сферического излучателя, то есть в выражении (1.3) положено 0p =1; mp =0 ( 1,2, ,m   ). §3. Особенности процедуры вычислений. Трудности вычислений были связаны, в первую очередь, с использованием тео- рем сложения в сферических координатах, в частности, с вычислением функций  (j) 0 0 2n mQ h ( 1, 2j  ) в выражении (1.13). Эти функции содержат коэффициенты Клебша-Гордана или тесно связанные с ними коэффициенты Гаунта [11] в виде множи- телей и, кроме того, функцию Ханкеля  2lh h . Количество подлежащих вычислению коэффициентов Клебша-Гордана быстро растет с ростом числа N . Кроме того, коэф- фициенты Клебша-Гордана имеют вид дроби, числитель и знаменатель которой со- держат произведения нескольких факториалов, и вследствие этого они достаточно громоздки для вычислений (см. (1.14)). Во второй половине прошлого века были предложены способы вычисления этих величин при помощи ряда рекуррентных соот- ношений [11, 12, 25]. К сожалению, применение авторами разных обозначений и нор- 27 мировок несколько затрудняет их использование. В то же время вычислительная мощность современных компьютеров позволяет в настоящее время реализовать пря- мое вычисление коэффициентов Клебша-Гордана. Здесь для вычислений использова- лась формула (2.9). Трудности оперирования с очень большими числами, которые возникают в вычисляемых коэффициентах при больших значениях числа усечения N , удалось преодолеть представив дробь в правой части (1.14) в виде произведения нескольких дробей (от трех до девяти). Количество дробей выбиралось разработанной авторами настоящей работы программой в автоматическом режиме в зависимости от значений входных параметров ( , , ).h N Другой метод вычисления выражений такого рода состоит в использовании операций логарифмирования произведений. Более серьезным препятствием при вычислениях оказалось наличие в функциях   0 0 (2 )j n mQ h ( 1, 2)j  функции Ханкеля  2 .lh h При больших значениях N ее по- рядок становится большим и, соответственно, значение функции ( [0, 2 ])lh l N при малых значениях аргумента также становится большим по абсолютному значению. В результате имеет место существенный разброс в точности вычислений значений функций. Это вынуждает ограничить параметр усечения ,N что, в свою очередь, ограничивает диапазон расчетных соотношений между значениями радиуса сферы 0r и расстоянием до торца h . Проверка точности удовлетворения граничных условий показала, что необходимая точность вычислений (порядка 2 – 4 % погрешности при выполнении граничных условий) имеет место тогда, когда величины 0 0r  и 0h r являются величинами одного порядка. При этом для всех нижеследующих примеров вычислений достаточным значением параметра усечения оказалось значение 20.N  Еще одна проблема состоит в вычислении параметров fmq ,  1 fmq и  2 fmq , представ- ленных несобственными интегралами (2.3). Они упрощаются на основе свойства ( ) ( 1) ( ),n n nP x P x   , а именно     2 2 1 2 2 0 1 2 если четное; 0 если нечетное; f m fm H P P d f m q J f m                                      2 2 1 2 2 0 11 2 2 1 2 2 0 1 2 cos2 eсли четное; 2 sin 2 если нечетное. f m fm f m H P P hd f m J q H i P P hd f m J                                                     Для  2 fmq справедливо равенство      2 11 f m fm fmq q   . Процедуры вычислений fmq и  1 fmq идентичны. На рассматриваемом интервале интегрирования (0,∞) подынтегральные функции имеют одну или несколько особых точек (в зависимости от значения  ), при приближении к которым их значения не- ограниченно возрастают. К ним относятся точки   и 2 2 s    ( s – нули функции Бесселя первого порядка), в которых знаменатель подынтегральных выра- жений обращается в ноль. При вычислении интегралов эти точки выделялись малой  -окрестностью. Исследование поведения подынтегральных функций в окрестности этих точек показало, что справа и слева от них они принимают одинаковые по моду- лю и противоположные по знаку значения, поэтому значением интегралов на этих 28 бесконечно малых интервалах при устремлении  к нулю можно пренебречь, и сами интегралы понимаются как интегралы в смысле главного значения. При интегрирова- нии на интервале (  ,∞) функции 1H и 1J выражаются через модифицированные функции Бесселя (функции Бесселя мнимого аргумента). Верхний бесконечный предел заменялся на конечное значение, которое принималось таким, чтобы была обеспечена стабильность числовых результатов, как минимум, в третьем десятичном знаке. §4. Числовые результаты. Вычисления были произведены для нескольких значений безразмерных радиуса сферы 0r и расстояния h между центром сферы и днищем. Основное внимание было сосредоточено на случае, когда сферическое тело достаточно близко расположено к дни- щу. Диапазон безразмерных частот возбуж- дения сферы был выбран в виде 0 10.  Шаг сканирования частоты выбирался рав- ным 0,1; 0,05 и 0,01 (для обеспечения досто- верности результатов с ростом частоты при- ходилось выбирать более мелкий шаг зада- ния ее значений). Ниже приведены числовые результаты, полученные для безразмерного радиуса сферического тела 0 0,1; 0,25r  и 0 00,5 ( 1)r   при значениях величины ,h равной 1,0h  и 0,75. Определялось гидродинамическое давление и скорость в не- скольких характерных точках полости (в проходящем через центр сферы поперечном сечении цилиндра и на оси симметрии задачи – оси )z со следующими цилиндричес- кими координатами – см. рис. 2, на котором показано осевое сечение полости и харак- терные точки рассматриваемой системы: точки A и E лежат на поверхности сферы; точка С – на поверхности цилиндра; точка О – на поверхности торца; точки В и F – на середине отрезков AC и EO, соответственно: 1 – A 0( , );r z h    2 – B 0 0( ( ) 2 , );r z h     3 – C 0( , );z h    4 – E 0( 0, );z r h    5 – F ( 0,  0( ) 2);z r h  6 – O ( 0, 0).z   На нижеприведенных рисунках сплошными линиями обозначены характеристики, вычисленные для полубесконечного сосуда, пунктиром для сравнения показаны соот- ветствующие кривые для бесконечного сосуда. При этом всюду на рисунках пред- ставлены абсолютные значения расчетных величин. Ввиду большого количества гра- фического материала ниже приведены результаты вычисления давления как наиболее показательные. Пример 1. 0 0,1;r  1,0.h  На рис. 3, а сплошной линией представлено значение детерминанта ND усечен- ной системы (2.9) как функция частоты  для полубесконечной полости. Пунктиром представлено значение детерминанта системы 0ND , соответствующего случаю бес- конечной полости. Напомним, что при вычислениях был выбран параметр усечения бесконечной системы (2.9) 20.N  Анализ поведения детерминанта позволяет визуально обнаружить значения ча- стоты возбуждения, при которых можно ожидать аномальных значений искомых ха- рактеристик. Таким частотам отвечают минимумы детерминанта. Сравнение сплош- ных и пунктирной кривых показывает, что такие минимумы (и, следовательно, соот- ветствующие частоты) гораздо резче выражены в случае полубесконечного сосуда. При этом они не являются собственными значениями – детальный анализ значений Рис. 2 29 детерминанта ND показывает, что его минимумы малы, однако не равны ну- лю. Аналогичное утверждение спра- ведливо и для последующих примеров. Рисунки 3, б, в показывают давле- ние p как функцию частоты в шести выше обозначенных характерных точ- ках (см. рис. 2). Рис. 3, б представляет графики давления в функции частоты возбуждения в поперечном сечении цилиндра ( )z h  в точках A (кривые 1 и 1 ), B (кривые 2 и 2 ) и C (кривые 3 и 3 ); рис. 3, в – в точках оси z : E (кривые 4 и 4 ), F (кривые 5 и 5 ) и O (кривые 6 и 6 ). Каждая кривая на ри- сунках обозначена цифрой, совпадаю- щей с цифровым обозначением харак- терной точки на рис. 2. При этом циф- ровое обозначение кривых для беско- нечного сосуда помечено макроном (на- пример, цифрами 1 и 1 на рис. 3, а обо- значены кривые давления в точке A при 1,0h  и h  , соответственно). Кривые 1, ,1 4, 4 на рис. 3, б, в позволяют визуально убедиться в вы- полнения граничного условия на по- верхности излучателя. В данной кон- фигурации рассматриваемой системы 0( 0,1; 1,0)r h  радиус сферического тела невелик по сравнению с радиусом сосуда 0 1  и расстоянием до торца h . Вследствие этого аномальные явле- ния, присущие задаче для бесконеч- ной полости, проявляются слабо. Об этом свидетельствуют кривые ,2 3 на рис. 4, б, кривые ,5 6 на рис. 3, в. Действительно, диапазон изменения амплитуды скорости невелик, макси- мумы кривых незначительны. В то же время, для полубесконечной полости влияние торца, как свидетельствует соответ- ствующие кривые 2, 5 и 6, является существенным: даже при рассмотренном удале- нии сферического тела от торца величиной в 9 радиусов сферы значение давления при некоторых частотах возбуждения увеличивается на порядок. Такие частоты будем называть аномальными или «условно резонансными». Пример 2. 0 0,25; 1,0.r h  Графики значений детерминантов усеченной разрешающей системы (4.2) ND и 0ND в зависимости от частоты приведены на рис. 4, а. а б в Рис. 3 30 На рисунке обе кривые прибли- жаются к нулю при некоторых значе- ниях частоты, поэтому следует ожи- дать особенности поведения кривых давления и скорости как для сферы в полуограниченном сосуде, так и для сферы в бесконечной полости. Рис. 4,б представляет кривые давления в точ- ках A (кривые 1, ),1 С (кривые 3, );3 рис. 4, в – в точках E (кривые 4, )4 и O (кривые 6, 6 ). Мы не приводим данные для точек для точек B и F, так как они подобны кривым, построен- ным для точек С и О, соответственно, и загромождают рисунок. Кривые 1, ,1 4 и 4 демонстрируют удовлетворение граничных условий. Так как в данном примере радиус сфе- рического тела больше, чем в предыду- щем, аномальные явления проявляют- ся гораздо интенсивнее. Имеет место один максимум для бесконечной полос- ти – кривая 3 на рис. 4, б и четыре мак- симума различной интенсивности для полубесконечной – кривая 3. Рис. 4, б демонстрирует наличие двух макси- мумов для бесконечной полости (кри- вая )6 и шесть максимумов для полу- бесконечной – кривая 6. Можно заме- тить, что значения «резонансных» час- тот отличаются от аналогичных частот бесконечного сосуда. В работе [20] для бесконечной по- лости было установлено, что в случае бесконечной полости с жидкостью ано- мальные частоты коррелируются с соб- ственными частотами колебаний коль- ца, лежащего в поперечном сечении цилиндра. В случае полубесконечной области аномальные частоты не сов- падают с указанными частотами. Пример 3. 0 0,5; 1,0.r h  В этом примере радиус сферическо- го тела увеличен вдвое при том же зна- чении параметра h , что и в предыдущем примере, так что расстояние между его по- верхностью и плоскостью торца теперь равно радиусу сферы. Показанные на рис. 5, а кривые детерминантов ND и 0ND свидетельствуют о возможных нескольких значениях аномальных частот. Показанные на рис. 5, б, в гра- фики давления в точках А(кривые 1 и )1 и Е (кривые 4 и ),4 как и ранее, свидетель- ствуют об удовлетворении граничному условию на сферическом излучателе. а б в Рис. 4 31 Кривые 3 и 6 показывают наличие 8 аномальных частот, которые в большей или меньшей мере проявляются в увеличении амплитуды давления в точках С и О. В слу- чае бесконечной полости имеется две такие частоты – кривые 3 и .6 Укажем, что графики на рисунках 5, а также на последующих рисунках 6, намеренно ограничены по оси ординат в частности для того, чтобы было видно поведение кривых на граничных поверхностях. На рис. 5, б масштаб по оси ординат увеличен в пять раз, однако пиковые значения кривых показать все равно не удалось. Реальный порядок значений давления и скорости для фиксированных частот можно наблюдать ниже на рис. 7 – 10. Пример 4. 0 0,5; 0,75.r h  Эти же явления наблюдаются в системе с конфигурацией, в которой радиус сферы сохранен, а расстояние между поверхностью сферы и торцевой плоскостью цилин- дрической полости уменьшено до половины радиуса сферы. а б в Рис. 6 а б в Рис. 5 32 Рис. 6, а представляет детерминанты ND (сплошная линия) и 0ND (пунктир). Как и ранее, можно визуально (приблизительно) указать частоты, при которых следует ожидать аномальных значений амплитуды давления (скорости). Рис. 6, б показывает давление в характерных точках A и C, рис. 6, в – давление в точках E и O. Для бесконечной полости имеет место задача из предыдущего примера. Для полубесконечного сосуда наблюдается до восьми значений аномальных частот, причем их значения изменились. Пример 5. Пространственное распределение физических характеристик при фик- сированной частоте. Для конфигурации системы из примера 2 0( 0,5; 1,0)r h  приведем распределе- ние давления и скорости вдоль радиуса цилиндра и вдоль его оси при двух характерных частотах (рис. 7 – 10). По оси абсцисс откладываются приведенные безразмерные коор- динаты 0 0( ) / (1 )r r r r u   и 0 0( ) / ( ),z z r h r   так что значению 0r  и значению 0z  отвечает, соответственно, точка A и точка E на поверхности сферы (см. рис. 2); значению 1r  – точка C на поверхности полости; значению 1z  – точка О на торце. Графики, показанные на рис. 7, получены для частоты возбуждения 1,984,  ко- торая является аномальной («условно резонансной») частотой для бесконечного сосу- да. При этом рис. 7, а представляет распределение амплитуды давления вдоль радиуса цилиндра (между поверхностями сферы и цилиндра) в сечении ,z h  а рис. 7, б – вдоль оси цилиндра (между поверхностью сферы и сечением цилиндра 0).z  Эти рисунки кроме распределения в пространстве показывают уровень амплитуд гидро- динамических характеристик в случае возбуждения системы на аномальной частоте: указанные амплитуды могут превышать амплитуду возбуждения на 4 – 5 порядков. Для полубесконечного сосуда при той же частоте аналогичные графики приведе- ны на рис. 8. Частота 1,984  не является аномальной частотой в этом случае, вследствие чего значения амплитуд на рис. 7 для бесконечного сосуда отличаются от аналогичных для полубесконечного сосуда (рис. 8) на несколько порядков. а б Рис. 7 а б Рис. 8 33 Графики, изображенные на рис. 9, получены для бесконечного сосуда при частоте возбуждения  =1,7705. Эта частота не является для него частотой аномалии. Распре- деление давления вдоль радиуса цилиндра в сечении z h  показано на рис. 9, а, а вдоль оси цилиндра (между поверхностью сферы и торцом цилиндра) – на рис. 9, б. В то же время для полубесконечного сосуда эта частота является аномальной. Графики распределения давления, представленные, соответственно, на рис. 10 для полубесконечного сосуда показывают, что значения амплитуд для такого сосуда при аномальной частоте возбуждения превосходят аналогичные для бесконечной полости (при той же частоте возбуждения, которая для неe не является аномальной) на не- сколько порядков. Заметим, что приведенные здесь числовые результаты удалось получить для слу- чая, когда зазоры EO и AC (рис. 2) являются сопоставимыми величинами. Это обу- словлено тем, что был выбран прямой метод вычисления соответствующих коэффи- циентов трансляционных теорем сложения. Выводы. В работе исследуются особенности акустических процессов в полубесконечном цилиндрическом сосуде с жидкостью, динамически возбуждаемом сферическим те- лом, которое расположено вблизи торца сосуда. Акцент сделан на изучении влияния ограниченности сосуда в осевом направлении и сравнении со случаем бесконечного сосуда. Метод разделения переменных вместе с использованием трансляционных тео- рем сложения для сферических волновых функций, а также соотношений, которые представляют сферические волновые функции через цилиндрические и обратно, поз- волил удовлетворить всем граничным условиям и получить точное решение рассмат- риваемой граничной задачи. Вычисление искомых физических характеристик сведено к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Можно утверждать, что определитель этой системы является определителем нормального типа, и, следова- тельно, ее решение находится методом усечения. Ранее при решении аналогичной задачи для бесконечного сосуда [21, 33] было установлено существование спектра частот возбуждения (так называемые «условно резонансные» или аномальные частоты), при которых давление или скорость много- а б Рис. 9 а б Рис. 10 34 кратно возрастают. Эти частоты коррелируют с собственными частотами колебаний поперечного сечения цилиндра с жидкостью. При решении данной задачи установле- ны следующие особенности, которые во многом аналогичны результатам работы [22]. Аномальные явления, присущие бесконечному сосуду, имеют место и в случае полубесконечного сосуда. Ограничение сосуда с жидкостью в осевом направлении приводит к появлению в полубесконечном сосуде отличных от свойственных беско- нечному сосуду аномальных частот, при которых амплитуды давления (скорости) многократно возрастают. При этом даже в случае, когда в бесконечном сосуде ано- мальные явления слабо выражены (радиус сферического излучателя мал относитель- но радиуса сосуда), аномальные явления в соответствующем полубесконечном сосуде могут проявиться существенно. Значения аномальных частот зависят как от соотно- шения между радиусами цилиндрической полости и сферического тела, так и от рас- стояния между сферой и торцом сосуда. Возбуждение бесконечного сосуда с жидко- стью на аномальной (условно резонансной) частоте полубесконечного сосуда не при- водит к появлению аномальных особенностей. Обратное также верно. Приведенные в работе числовые результаты получены для случая, когда крат- чайшие расстояния «сфера – торец сосуда» и «сфера – цилиндрическая поверхность» имеют сопоставимые значения. Причину появления аномальных частот в полубесконечном сосуде, по-видимому, можно объяснить, если отталкиваться от частного случая, когда радиус сферического включения совпадает с радиусом цилиндра, так что имеет место ограниченный объем среды между сферическим телом и торцом сосуда. Этот объем, очевидно, обладает спектром собственных частот. С уменьшением радиуса сферического тела спектр трансформируется в полученные здесь аномальные частоты, при которых амплитуда давления в сосуде существенно выше амплитуды возбуждения. Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы- полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ- лений научных исследований» (КПКВК 6541230). РЕЗЮМЕ. Розглядається заповнена ідеальною стисливою рідиною напівнескінченна кругова циліндрична порожнина, що містить розташоване поблизу її торця сферичне тіло. Поверхня тіла випромінює періодичний тиск із заданою частотою і амплітудою. Розв’язується задача визначення гідродинамічних характеристик системи залежно від частоти збудження і геометричних параметрів. Застосовується метод розділення змінних, трансляційні теореми додавання для сферичних хвильових функцій і співвідношення, що представляють сферичні хвильові функції через циліндричні і навпаки. Такий підхід дозволяє задовольнити усім граничним умовам і отримати точний розв’язок граничної задачі. Обчислення зведені до розв’язання нескінченної системи алгебраїчних рівнянь відносно якої стверджується, що її розв’язок методом зрізання сходиться. Визначення полів тиску і швидкості по- казало, що дана система має низку значень частоти збудження, при яких акустичні характеристики перевищують амплітуду збудження на декілька порядків. Ці аномальні частоти відрізняються від частот, властивих нескінченній циліндричній порожнині зі сферичним тілом. При цьому навіть у випадку, коли радіус сферичного випромінювача малий і аномальні явища в нескінченній посудині слабо виражені, в напівнескінченній порожнині вони можуть проявитися суттєво. 1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. – М.: Наука, 1979. – 832 с. 2. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. – М.: Наука, 1965. – 576 с. 3. Гермогенова O.A. Отражение плоской электромагнитной волны двумя сферами // Изв. АН СССР. Сер. Геофизика. – 1963. – Т. 4. – С.403–405. 4. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – К.: Наук. думка, 1972. – 254 с. 5. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – К.: Наук. думка, 1978. – 308 с. 6. Ерофеенко В.Т. Связь между основными решениями в цилиндрических и сферических координа- тах уравнений Гельмгольца и Лапласа // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1972. – № 4. – С. 42 – 46. 7. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. – Минск: Наука и техника, 1968. – 584 с. 8. Кубенко В.Д., Дзюба В.В. Динамика взаимодействия жесткой цилиндрической полости, заполнен- ной сжимаемой жидкостью, со сферическими включениями при гармоническом возбуждении 35 // Проблемы механики: Сб. науч. тр. к 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. – М.: Физ.- мат. лит., 2003. – С. 489 – 501. 9. Кубенко В.Д., Луговий П.З., Головко К.Г. Спосіб обробки привибійної зони пласта. – Патент України на корисну модель № 65064 від 25.11.2011. 10. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. – М.: ИЛ, 1960. – 896 с. 11. Brunning J.H., Lo Y.T. Multiple scattering by spheres. Tech. Rep. – Illinois: Antenna Laboratory, Uni- versity of Illinois, 1969. – 180 p. 12. Cruzan O.R. Translation addition theorem for spherical wave functions // Quart. Appl. Math. –1962. – Vol. 20, Iss. 1. – P. 33 – 40. 13. Friedman B., Russek O. Addition theorems for spherical waves // Quart. Appl. Math. –1954. – 12. – P. 13 – 23. 14. Gaunaurd G.C., Huang H. Acoustic scattering by a spherical body near a plane boundary // J. Acoust. Soc. Am. – 1994. – 96. – P. 2526 – 2536. 15. Gaunaurd G.C., Huang H., Strifors H.C. Acoustic scattering by a pair of spheres // J. Acoust. Soc. Am. – 1995. – Vol. 98. – P. 495 – 507. 16. Guz A.N., Zhuk A.P., Bagno A.M. Dynamic of Elastic Bodies, Solid Particles, and Fluid Parcels in a Compressible Viscous Fluid (review) // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 5. – P. 449 – 507. 17. Hasheminejad S.M., Hosseini H. Nonaxisymmetric interaction of a spherical radiator in a fluid-filled permeable borehole // Int. J. of Solids and Str. – 2008. – 45. – P. 24 – 47. 18. Kubenko V.D. Determining the Dynamic Characteristics of Viscous Liquid in a Cylindrical Cavity Acted upon by a Spherical Radiator // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 3. – P. 296 – 304. 19. Kubenko V.D. Diffraction of Steady Waves at a Set of Spherical and Cylindrical Bodies in an Acoustic Medium // Sov. Appl. Mech. – 1987. – 23, N 6. – P. 605 – 610. 20. Kubenko V.D., Dzyuba V.V. Interaction of an Infinite Thin Elastic Cylindrical Shell and a Pulsating Spherical Inclusion in Potential Flow of Ideal Compressible Liquid: Internal Axisymmetric Problem // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 3. – P. 297 – 312. 21. Kubenko V.D., Dzyuba V.V. Resonant phenomena in axisymmetric hydroelastic systems from cylindrical shell with inclusion under presence of internal compressible liquid and external elastic medium // J. of Fluids and Structures. – 2006. – 22, N 4. – P. 577 – 594. 22. Kubenko V.D., Yanchevskyi I.V. ”Resonance” phenomenon of kinematic excitation by a spherical body in a semi-infinite cylindrical vessel filled with liquid // Acta Mechanica. – 2019. – 230. – P. 1009 – 1025. 23. Lee D.S. Scattering of torsional waves by a spherical cavity in a long circular elastic cylinder // Acta Mechanica. – 2003. – 164. – P. 47 – 59. 24. Linton C.M. Acoustic scattering by a sphere in a circular cylindrical waveguide // The Quart. J. of Mech. and Appl. Math. – 1995. – 48. – P. 211 – 235. 25. Makovsky D.W. Configurations analysis of radiative scattering for multiple sphere // Proc. R. Soc. Lond. A. – 1991. – 433. – P. 599 – 614. 26. Marnevskaya L. Diffraction of a plane scalar wave by two spheres // Soviet Physics Acoustics. – 1969. – 14. – P. 356 – 360. 27. Martin P.A. Multiple Scattering: Interaction of Time-Harmonic Waves with N Obstacles. – London: Cambridge University Press, 2006. – 450 p. 28. Martin P.A. Multiple scattering and scattering cross sections // J. Acoust. Soc. Am. –2018. – 143, N 2. – P. 995 – 1002. 29. Mishchenko M.I, Travis I.D., Lacis A.A. Multiple Scattering of Light by Particles. Radiative Transfer and Coherent Backscattering. – Cambridge: Cambridge University Press, 2006. – 478 p. 30. Olsson S. Transmission and reflection of elastic waves by a spherical obstacle in an infinite circular cy- lindrical rod // The Quart. J. of Mech. and Appl. Math. – 1994. – 47. – P. 583 – 606. 31. Wood R.W. Anomalous diffraction gratings // Phys. Rev. – 1935. – 48. – P. 928 – 933. 32. Yanchevskii I.V. Nonstationary Vibrations of Electroelastic Cylindrical Shell in Acoustic Layer // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 4. – P. 431 – 442. 33. Zhuk A.P., Kubenko V.D., Zhuk Ya.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a fluid-filled cavity // J. Acoust. Soc. Am. – 2012. – 132, N 4. – P. 2189 – 2197. 34. Zhuk A.P., Zhuk Ya.A. On the Acoustic Radiation Force Acting upon a Rigid Spherical Particle Near the Free Liquid Surface // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 5. – P. 544 – 551. Поступила 03.01.2019 Утверждена в печать 05.11.2019

Схожі ресурси