Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины

Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины

В данной статье в рамках развитых теорий и методов расчета изучен дополнительный аспект, связанный с наиболее полным изучением факторов, способных повлиять на сложное связанное термомеханическое поведение эластомерных элементов конструкций при гармоническом нагружении. Наличие предварительного нагру...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2020
Автори: Жук, Я.А., Остос, А.Х.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Назва видання:Прикладная механика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188264
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины / Я.А. Жук, А.Х. Остос // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 47-60. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-188264
record_format dspace
spelling irk-123456789-1882642023-02-19T01:27:14Z Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины Жук, Я.А. Остос, А.Х. В данной статье в рамках развитых теорий и методов расчета изучен дополнительный аспект, связанный с наиболее полным изучением факторов, способных повлиять на сложное связанное термомеханическое поведение эластомерных элементов конструкций при гармоническом нагружении. Наличие предварительного нагружения может, наряду с другими факторами, существенно повлиять на амплитудно- и температурно-частотные характеристики колебаний таких тел. В частности, в данной работе изучается влияние приложенных предварительных мембранных усилий на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной вязкоупругой пластины. Надано постановку задачі про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів шарнірно опертої в'язкопружної еластомірної пластини, що знаходиться під дією попередніх мембранних навантажень. Розглянуто випадок квадратної та прямокутної пластин. Досліджено вплив властивостей еластомерів, попереднього навантаження та умов теплообміну на амплітудно- і температурно-частотні характеристики вимушених коливань пластини та досягнення критичних значень температури, при яких відбувається розм'якшення матеріалу. A statement of the problem on the forced resonant vibrations and dissipative heating of a hinged viscoelastic elastomeric plate under cyclic loading is given for the particular case of the membrane prestress forces application. An effect of the elastomer properties, level of press, and the heat transfer conditions on the amplitude-frequency and temperature-frequency characteristics of the forced vibrations, as well as the response of the material below the melting temperature, is studied in details. 2020 Article Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины / Я.А. Жук, А.Х. Остос // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 47-60. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188264 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В данной статье в рамках развитых теорий и методов расчета изучен дополнительный аспект, связанный с наиболее полным изучением факторов, способных повлиять на сложное связанное термомеханическое поведение эластомерных элементов конструкций при гармоническом нагружении. Наличие предварительного нагружения может, наряду с другими факторами, существенно повлиять на амплитудно- и температурно-частотные характеристики колебаний таких тел. В частности, в данной работе изучается влияние приложенных предварительных мембранных усилий на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной вязкоупругой пластины.
format Article
author Жук, Я.А.
Остос, А.Х.
spellingShingle Жук, Я.А.
Остос, А.Х.
Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины
Прикладная механика
author_facet Жук, Я.А.
Остос, А.Х.
author_sort Жук, Я.А.
title Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины
title_short Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины
title_full Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины
title_fullStr Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины
title_full_unstemmed Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины
title_sort влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2020
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188264
citation_txt Влияние предварительного нагружения на резонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной термовязкоупругой пластины / Я.А. Жук, А.Х. Остос // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 47-60. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT žukâa vliâniepredvaritelʹnogonagruženiânarezonansnyekolebaniâidissipativnyjrazogrevprâmougolʹnojtermovâzkouprugojplastiny
AT ostosah vliâniepredvaritelʹnogonagruženiânarezonansnyekolebaniâidissipativnyjrazogrevprâmougolʹnojtermovâzkouprugojplastiny
first_indexed 2025-07-16T10:14:52Z
last_indexed 2025-07-16T10:14:52Z
_version_ 1837798156139495424
fulltext 2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 4 47 Я . А . Ж у к 1 , 2 , А . Х . О с т о с 1 ВЛИЯНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАГРУЖЕНИЯ НА РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИССИПАТИВНЫЙ РАЗОГРЕВ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ 1Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, просп. Глушкова, 4е, 01033, Киев, Украина; e-mail: y.zhuk@i.ua 2Институт механики им.С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; Abstract. A statement of the problem on the forced resonant vibrations and dissipative heating of a hinged viscoelastic elastomeric plate under cyclic loading is given for the par- ticular case of the membrane prestress forces application. An effect of the elastomer proper- ties, level of press, and the heat transfer conditions on the amplitude-frequency and tempera- ture-frequency characteristics of the forced vibrations, as well as the response of the materi- al below the melting temperature, is studied in details. Key words: resonance vibration, dissipative heating, viscoelastic material, prestressed rectangular plate. Введение. Конструкционные элементы типа балок, пластинок и оболочек из эластомерных материалов, обладающих рядом специфических свойств, находят широкое примене- ние в качестве основных несущих либо функциональных составляющих конструкций современной техники [1, 2, 14, 17]. К основным особенностям механического поведе- ния эластомеров при деформировании относятся: способность к обратимым деформа- циям, небольшие значения модулей при деформациях растяжения, сжатия, сдвига; наличие комплекса релаксационных свойств; способность изменять механические свойства во времени и под действием внешних факторов как механического, так и немеханического характера; значительные механические потери при циклических деформациях и т.д. В частности, гистерезис (внутреннее трение) для эластомеров проявляется в отставании по фазе деформации от нагрузки и необратимом рассеива- нии части механической энергии [9, 14 – 16, 19]. Наиболее ярко особенности поведе- ния элементов конструкций из таких материалов проявляются при динамическом нагружении и его типичном случае – гармоническом приложении нагрузки. При этом часть механической энергии вследствие внутреннего трения переходит в теплоту, и наблюдается явление саморазогрева или диссипативного разогрева [2, 4, 11]. Указанная особенность, а также низкая теплопроводность эластомеров, препят- ствующая быстрому отводу тепла, приводят к тому, что элементы конструкций нахо- дятся в неизотермических условиях при деформировании, в них генерируется темпе- ратурное поле [7, 8, 11]. Диссипированная за период энергия обычно невелика, по- этому температуру можно считать медленно меняющейся функцией [4, 6]. При этом, как правило, пренебрегают колебаниями температуры в течение периода, которые имеют термоупругую или диссипативную природу. Имеющиеся экспериментальные данные [15, 16] свидетельствуют об их пренебрежимой малости в большинстве прак- тически важных задач. Характерной особенностью рассматриваемого процесса является то, что он состо- ит из четырех взаимосвязанных подпроцессов. Первый отвечает нестационарному 48 волновому процессу наложения бегущих отраженных волн, заканчивающемуся обра- зованием определенной формы колебаний. Второй подпроцесс – затухающие биения на некоторой форме колебаний. Эта фаза заканчивается формированием режима ква- зистационарных колебаний. Третий подпроцесс, описываемый усредненными состав- ляющими движения, связан с реакцией на усредненные составляющие внешних нагрузок или начальными деформациями. Последний подпроцесс – возрастание тем- пературы виброразогрева в условиях квазистационарных колебаний. Каждый из ука- занных подпроцессов имеет свой характерный временной масштаб [6], соотношение между которыми позволяет развивать упрощенные теории описания связанного тер- момеханического, термоэлектромеханического, термомагнитомеханического поведе- ния элементов конструкций. Детальные обзоры указанных подходов к решению задач механики связанных полей в материалах и элементах конструкций сделаны в работах [11 – 13]. Указанные подходы развиваются с применением теории амплитудных уравнений, характеризующих термомеханическое поведение вязкоупругих тел при циклическом деформировании, в двух интерпретациях. Первая из них основана на применении ме- тодов Галеркина и эквивалентной линеаризации к общим определяющим уравнениям, которые считаются применимыми к процессам с произвольными историями дефор- мирования [2 – 4]. В рамках второй интерпретации амплитуды напряжений задаются в виде тензорных функций тензоров амплитуд деформаций, не связанных с каким- либо общим определяющим уравнением. Скалярные функции инвариантов амплитуд, температуры и частоты конкретизируются непосредственно из экспериментов при сложном деформированном (напряженном) состоянии с различным соотношением параметров нагружения. Ограничения на уравнения в этом случае накладываются исходя из требований симметрии среды и термодинамики необратимых процессов. Кроме того, с использованием концепции комплексных амплитуд и модулей при гармонических колебаниях полная система линейной связанной термовязкоупругости формулируется в терминах комплексных амплитудных уравнений и дополняется комплексным аналогом уравнений движения [2 – 4]. Таким образом, задача колебаний и разогрева вязкоупругих тел имеет свою специфику, а ее важное практическое зна- чение требует разработки самостоятельной амплитудной теории указанных процес- сов. Подробный обзор развитых теорий и их многочисленные применения содержится в работах [2 – 5, 9, 11, 13, 20]. В данной статье в рамках развитых теорий и методов расчета изучен дополни- тельный аспект, связанный с наиболее полным изучением факторов, способных по- влиять на сложное связанное термомеханическое поведение эластомерных элементов конструкций при гармоническом нагружении. Наличие предварительного нагружения может, наряду с другими факторами, существенно повлиять на амплитудно- и темпе- ратурно-частотные характеристики колебаний таких тел [18]. В частности, в данной работе изучается влияние приложенных предварительных мембранных усилий на ре- зонансные колебания и диссипативный разогрев прямоугольной вязкоупругой пла- стины. 1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим прямоугольную пластину толщины h и размерами a и b в плане. Поведение материала пластины считаем линейным вязкоупругим независящим от частоты, амплитуды и температуры. Пластина отнесена к прямоугольной декартовой системе координат , ,x y z с началом нормальной координаты 0z  на срединной плоскости пластины. Контур пластины задается отрезками прямых 0,x a ; 0,y b . На пластину могут действовать предварительные мембранные растягивающие усилия в плоскости пластины: нормальные xxN , yyN и сдвиговые xyN , с помощью которых моделируется наличие возникших при изготовлении или предварительно наведенных напряжений. Механические колебания пластины возбуждаются поверхностным дав- лением    0 0, cos , sinzq q x y t q x y t    , гармонически изменяющемся во времени 49 t с амплитудой       1 22 2 0 0 0, , ,q x y q x y q x y   , распределенной по некоторому закону по поверхности пластины, и круговой частотой  , близкой к резонансной. Контур пластины считаем шарнирно опертым и теплоизолированным, а на лице- вых поверхностях происходит конвективный теплообмен с внешней средой темпера- туры CT . Для моделирования механического поведения рассматриваемой пластины относи- тельно механических переменных по толщине принимаем гипотезы Кирхгофа – Лява [1]. Вязкоупругие свойства материалов описываются интегральными операторами линейной вязкоупругости [2 – 4], которые в случае гармонического деформирования материала сводятся к умножению комплексных величин ( )( )a b a ia b ib       . Температуру виброразогрева балки принимаем постоянной по толщине пластины. Применение вариационного принципа позволяет получить уравнение поперечных колебаний пластины в общем случае в виде [1]   2 2 0 02 2 2 22 2 2 2 2 0 22 2 2 2 2 2 ; ; 2 , , ( , , ) , xy xy yyxx xy yyxx N N NN u v J J x y x yt t M MM w w w N u v w kw q x y t J J x yx y t t x y                                       (1) где , ,u v w – перемещения точек пластины; ijN и ijM , , ,i j x y – усредненные по толщине пластины усилия и моменты 2 2 2 2 ; ; h hxx xx xx xx yy yy yy yy h h xy xy xy xy N M N dz M z dz N M                                                                  (2)  , , xx xy xy yy w w w w N u v w N N N N x x y y x y                         , k – жесткость основания (для случая пластины на упругом основании). Моменты инерции 0J , 1J и 2J из (1) определяются по формулам 0 2 1 2 32 2 1 0 12 h h J h J z dz J z h                                           . Заметим, что слагаемое с 2J в правой части третьего уравнения из (1) следует удерживать, если необходимо учесть инерцию вращательных движений элементов пластины. Поскольку считаются справедливыми гипотезы Кирхгофа – Лява, то мембранные и изгибные напряжения будут развязанными. Приложенные предварительные напря- жения считаем постоянными ( 0 constxx xxN N  , 0 constyy yyN N  , 0 constxy xyN N  ), тогда задача в плоскости пластины становится статически определимой, а первое и второе уравнения системы (1) удовлетворяются тождественно. Классические кинематические соотношения теории пластин в предположении справедливости гипотез Кирхгофа – Лява записываются в виде [1, 18] 0 1 0 1 0 1; ; ;xx xx xx yy yy yy yy yy yyz z z              50 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 ; ; ; ; ; 2 ,xx yy xy xx yy xy u v u v w w w x y y x x yx y                              (3) где 0 xx , 0 yy и 0 xy – мембранные деформации, а 1 xx , 1 yy и 1 xy – изгибные деформации (кривизны и закручивание). Физические соотношения, связывающие силовые и кинематические величины, в общем случае анизотропного материала, с учетом определений (2) приобретают из- вестный вид [1] 0 1 11 12 13 11 12 13 0 1 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 330 1 ; T xx xx xxxx xx T yy xy yy yy xy T xy xyxy xy xy NN MA A A D D D N A A A N M D D D A A A D D D N MN                                                                                      , T xx T yy T xy M M M                (4) где ijA и ijD , , 1,3i j  – коэффициенты жесткости при растяжении и изгибе, соответ- ственно; T ijN и T ijM , , ,i j x y – усилия и моменты, обусловленные тепловой дефор- мацией. В нашем случае считаем их малыми вследствие малости коэффициентов теп- лового расширения для эластомеров и пренебрегаем этими слагаемыми. Для случая изотропного материала соотношения (4) перепишем в виде [1, 2] 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ; 1 0 , 1 1 0 0 0 0 2 2 xx xxxx xx yy xy yy xy xy xyxy xy N M N A M D N M                                                                                    (5) где   2 3 2 2 ; . 121 12 1 Eh Ah Eh A D        (6) Тут E и  – модуль Юнга и коэффициент Пуассона, соответственно. Подставляя (5) и (6) в третье уравнение системы (1), с учетом того, что в рассмат- риваемом случае в качестве предварительных выступают мембранные усилия, полу- чаем уравнения движения в перемещениях     4 4 4 2 04 2 2 4 2 2 , , , , w w w w D N u v w q x y t J x x y y t                  или   2 2 2 2 4 0 0 0 2 2 2 2 , ,xx xy yy w w w w D w h N N N q x y t x yt x y                , (7) где 4 4 4 4 4 2 2 4 2 x x y y            . Таким образом, в случае независящих от температуры свойств материала в пред- положении постоянства температуры по толщине пластины механическая задача рас- падается на две: 1) задачу о плоском напряженном состоянии и 2) задачу о чистом изгибе. Задача о плоском напряженном состоянии и определяет предварительное напряженное состояние, на которое накладывается чистый изгиб, изменяющийся во времени по гармоническому закону. 51 Условия шарнирного опирания записываются в виде 2 2 2 2 0, 0 при 0, ; 0, 0 при 0, . w w w x a w y b x y           (8) При гармоническом нагружении исследование стационарных колебаний возмож- но с привлечением концепции комплексных модулей и комплексных амплитуд [2 – 6]. В этом случае уравнение (7) можно переписать в виде   2 2 2 2 4 2 0 0 0 2 2 2 2 ,xx xy yy w w w w D w h N N N q x y x yt x y                       , (9) где D D iD   ,      , , ,w x y w x y iw x y   и      , , ,q x y q x y iq x y   – ком- плексные изгибные жесткости, прогибы пластины и нагрузка; 1i   . При этом гра- ничные условия (8) будут иметь тот же вид с заменой действительной переменной w на комплексную w . Закон изменения прогибов и нагрузки во времени определяется соответственно формулами             , , , cos , sin ; , , , cos , sin . w x y t w x y t w x y t q x y t q x y t iq x y t           Комплексное уравнение (9) эквивалентно системе двух действительных уравне- ний вида 2 2 2 4 4 2 0 0 0 2 2 2 2 2 4 4 2 0 0 0 2 2 2 ; 2 , xx xy yy xx xy yy w w w D w D w h w N N N q x yx y w w w D w D w h w N N N q x yx y                                             (10) при этом граничные условия (8) приобретают вид 2 2 2 2 2 2 2 2 0, 0 при 0, ; 0, 0 при 0, . w w w w x a x x w w w w y b y y                     (11) Стационарное температурное поле описывается усредненным за период колеба- ний и в плоскости поперечного сечения уравнением стационарной теплопроводности начальное и граничные условия записываются так:   2 2 2 2 2 0S C D T T h T T W x y              , (12) где T – температура;  и S – коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи с лицевых поверхностей пластины;  – плотность материала; CT – температура окру- жающей среды; DW – усредненная по толщине пластины и за период колебаний диссипативная функция      1 1 1 1 1 1 , 2D xx xx xx xx yy yy yy yy xy xy xy xyW M M M M M M                          (13) где 52 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ;xx xx xx yy yy yy w w w w M M iM D M M iM D x y x y                                         2 1 .xy xy xy w M M iM D x y             (14) Здесь ijM , , ,i j x y – комплексные аналоги моментов из (2);  – комплексный ко- эффициент Пуассона i     . Отметим, что в данной постановке используется вариант модели циклической вязкоупругости, которому соответствует действитель- ный коэффициент Пуассона и комплексный коэффициент объемного расширения. Поэтому везде далее    , 0   . В терминах температуры виброразогрева (приращения температуры) CT T   уравнение (12) примет вид 2 2 2 2 2 0 DS W h hx y              . (15) Уравнение (15) следует дополнить граничными условиями на контуре пластины 0 при 0, ; 0 при 0, .x a y b x y          (16) Уравнения (10), (15) с выражением для диссипативной функции (13), дополнен- ные механическими (11) и тепловыми (16) граничными условиями формируют поста- новку задачи о вынужденных колебаниях и диссипативном разогреве предварительно нагруженной прямоугольной пластины 2. Построение решения задачи. Для решения задачи рассмотрим случай, когда предварительное нагружение плас- тины реализуется под действием только нормальных растягивающих нагрузок: 0 const 0xxN   , 0 const 0yyN   , 0 0xyN  . Для шарнирного опирания решение задачи о стационарных колебаниях определя- ется в виде [1, 2]     , 1 , 1 , sin sin ; , sin sinmn mn m n m n m x n y m x n y w x y w w x y w a b a b              , (17) где mnw и mnw – неизвестные величины – комплексные амплитуды, определяющие собственную форму колебаний, соответствующую собственной частоте mn . Формула для определения этой частоты при наличии предварительных растягивающих мем- бранных усилий известна [1, 2] 22 2 2 2 0 0 0 1 mn xx yy m n m n D N N h a b a b                                         . (18) Здесь 0D – изгибная жесткость пластины в случае упругого поведения материала. Для вязкоупругого материала она определяется соотношением 2 2 2 0D D D   . В данной статье изучаются околорезонансные колебания mn  с частотами, близкими к соответствующей собственной частоте для моды колебаний с номером mn. В этом случае предполагается, что нагружение реализуется нагрузкой, распреде- ленной по поверхности пластины по соответствующему этой частоте закону 53   0 0, , sin sin cos sin sin sinmn mn m x n y m x n y q x y t q t q t a b a b        , причем в случае изменения поперечной нагрузки во времени по закону только синуса или косинуса это выражение упрощается очевидным образом. Тогда реакция пластины будет определяться резонирующей модой mn, и суммы в выражении (17) можно опустить. Подставив полученное выражение в (10) и с учетом 0 0xyN  , получаем систему двух линейных алгебраических уравнений относительно mnw и mnw вида 2 2 ; , mn mn mn mn mn mn w D A ph B w D A q w D A w D A ph B q                       (19) где 4 2 2 42x x y yA k k k k   ; 0 2 0 2 xx x yy yB N k N k  ; xk m x a ; yk n x b . Решение уравнения (18) определяется соотношениями               1 2 4 2 2 4 2 0 2 0 2 4 2 2 4 1 4 2 2 4 2 0 2 0 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 0 2 , ; 2 2 ; 2 2 ; 2 mn mn mn x x y y xx x yy y mn x x y y mn x x y y xx x yy y mn x x y y x x y y xx x w w q D k k k k h N k N k q D k k k k q D k k k k h N k N k q D k k k k D k k k k h N k                                                     2 2 0 2 4 2 2 42 .yy y x x y yN k D k k k k         (20) Решение уравнения стационарной теплопроводности (15) ищем в виде 0 1 2 12( , ) cos 2 cos 2 cos 2 cos 2x y x yx y k x k y k x k y        , (21) при котором граничные условия удовлетворяются автоматически. Здесь 0 , 1 , 2 и 12 – константы, которые подлежат определению. Для решения задачи теплопроводности необходимо найти выражения для дисси- пативной функции через комплексные амплитуды перемещения. Из (14) находим 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; mn mn mn mn xx mn mn mn mn xx mn mn mn mn yy w w w w M D D x y x y w w w w M D D x y x y w w w w M D D y x y x                                                                                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 1 ; 1 . mn mn mn mn xx mn mn mn mn xy xy w w w w M D D y x y x w w w w M D D M D D x y x y x y x y                                                                  (22) Подстановка (22) в (13) с учетом (3) после громоздких преобразований приводит к выражению для диссипативной функции в виде 54   2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . mn mn mn mn D mn mn mn mn mn mn w w w w W D x x y y w w w w w w x y x yx y x y                                                                                  (23) Подстановка (20), (21) и (23) в уравнение стационарной теплопроводности (15) с последующим приравниванием коэффициентов при соответствующих свободных членах, косинусах cos 2 xk x , cos 2 yk y и их произведении cos 2 cos 2x yk x k y приводит к следующим выражениям для коэффициентов 0 , 1 , 2 и 12 :               2 4 2 2 4 0 2 4 2 2 4 2 2 1 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 12 2 2 1 ; 16 2 1 ; 16 2 2 1 ; 16 2 1 16 2 mn x x y y S mn x x y y x y x S mn x x y y x y y S mn x x y y x y S D w k k k k D w k k k k k k k h D w k k k k k k k h D w k k k k k k h                                                        , (24) где    2 2 2 mn mn mnw w w   – квадрат амплитуды прогиба. Подстановка коэффициентов (24) в формулу (21) позволяет определить темпера- турное поле в пластине, колеблющейся на частоте, близкой, к частоте соответствую- щего резонанса. 3. Числовые результаты и их анализ. Численные расчеты проведены для случая квадратной и прямоугольной эласто- мерных пластин. Квадратную пластину было выбрано с размерами a = 0,1 м, b = 0,1 м, h = 0,005 м. Полиэтилен обладает следующими комплексными характеристиками [16]: 88,0 10E   Н/м2, 66,3 10E   Н/м2, tg = /E E    0,0079. Физические свойства ма- териала следующие:   0,46,   953 кг/м3 , а коэффициенты теплоотдачи и тепло- проводности равны 24Вт / (м С)S   и 0,36Вт / (м С)   , соответственно. Гармоническое нагружение пластины: исследовано с разными предварительными мембранными xxN и поперечными yyN нагрузками, при этом был введен коэффици- ент /f xx yyK N N . При воздействии на пластину внешнего давления с амплитудой q  600 Н/м2 (при этом q  0) частота собственных колебаний по первой моде (m = 1, n = 1) получается 11 472,2f  Гц. Так как исследования проводятся в околорезонансной области, то рас- пределение прогиба и температуры строятся на основной частоте 11f , где 2mn mnf   – собственная частота, соответствующая первой форме колебаний. Максимальный прогиб maxw достигается в центре пластины (точка / 2x a , / 2y b ) и равен 31,8 10 м. Максимальная температура разогрева пластины, max , также достигается в этой же точке. Везде далее на рисунках приведены характеристи- 55 ки, вычисленные для точек максимальных значений амплитуд и температур для соот- ветствующих мод колебаний. На рис. 1 построены амплитудно- и температурно-частотные характеристики ко- лебаний пластины в окрестности первой резонансной частоты для 70 10fK  при раз- личных значениях внешнего давления. Здесь верхним индексом обозначено фиксиро- ванное значение предварительного усилия yyN  70 Н/м при переменном значении xxN . На рис. 1 штрих-пунктирной, сплошной и штриховой линиями показаны АЧХ и ТЧХ для амплитуд внешней нагрузки q  350, 500 и 600 Н/м2, соответственно. а б Рис. 1 Из рис. 1, а видно, что поведение АЧХ соответствует типичному поведению ха- рактеристик в случае линейного вязкоупругого материала и сопровождается увеличе- нием амплитуды прогиба при возрастании амплитуды внешнего воздействия. Соот- ветствующая этому случаю ТЧХ, представленная на рис. 1, б, иллюстрирует резкое возрастание температуры на резонансе, что при достижении критического значения параметра нагружения приводит к опасным уровням разогрева. Максимальная темпе- ратура равна max  92,97°С. На рис. 2 приведены амплитудно- и температурно-частотные характеристики ко- лебаний в точке максимальных прогибов и температур в окрестности первой резо- нансной частоты при амплитуде внешнего давления q  600 Н/м2 для разных значе- ний коэффициента 70 fK . На рис. 2 штрих-пунктирной, сплошной и штриховой линия- ми показаны АЧХ и ТЧХ для 70 fK  0, 40 и 100, соответственно. а б Рис. 2 Рис. 2, а иллюстрирует эффект сдвига резонансной частоты вправо (в область бо- лее высоких значений частоты) при увеличении предварительных растягивающих 56 нагрузок в пластине, что соответствует известному теоретическому и эксперимен- тально подтверждаемому результату. Аналогичная картина наблюдается и для случая ТЧХ (рис. 2, б). Сдвиг области резонанса вправо сопровождается нарастанием темпе- ратуры, что непосредственно следует из формул (24). Для эластомера, выбранного в качестве материала пластины, температура плавле- ния равна 120°С. Поэтому в данной работе в качестве критического значения темпе- ратуры разогрева cr выбрано значение 100°С, при котором наблюдается заметное размягчение материала. На рис. 3 результаты расчета АЧХ и ТЧХ обобщены для значительного интервала изменения коэффициента 70 fK при внешнем давлении q  600 Н/м2, где величина 70 fK откладывается по третьей координате. Полученные графики качественно иллюс- трируют сдвиг обоих характеристик в область более высоких частот. а б Рис. 3 На рис. 4 показана зависимость максимальной температуры разогрева пластины от внешнего давления при разных значениях коэффициента 70 fK , рассчитанные для постоянного значения частоты колебаний 11 =f 468,3 Гц, которая соответствует соб- ственной частоте колебаний эластомерной пластины при 70 fK  0, т.е. в случае от- сутствия нормального предварительного напряжения xxN  0 при yyN  70 Н/м. Здесь штрих-пунктирной, сплошной и штриховой линиями показаны ТЧХ для 70 fK  2, 5 и 10 соответственно. Максимальная температура на этой частоте колебаний достигается при 70 fK  0 (резонанс). В последствии, по мере увеличения 70 fK АЧХ и ТЧХ смеща- ются вправо, что приводит к уменьшению амплитуд прогибов и температур вслед- ствие того, что указанное значение частоты оказывается на дорезонансной растущей ветви характеристики (режим фиксированной частоты). Моделирование разогрева плас- тины для рассматриваемого режима фиксированной частоты проведено для широкого интервала значений амплитуд внешней нагрузки q . Ре- зультаты расчета максимальной тем- пературы показаны на рис. 5 штрих- пунктирной, сплошной и штриховой линиями амплитуд q  1000, 800 и 600 Н/м2 соответственно. Критиче- ская температура cr  100°С показа- на сплошной горизонтальной линией. Рис. 4 57 а б Рис. 5 На рис. 5, а показана зависимость максимальной температуры виброразогрева от коэффициента 70 fK на растущей ветке (на частоте 11f  468,3 Гц), а на рис. 5, б – ана- логичная зависимость для нисходящей ветви (для частоты 11 =f 505,9 Гц). Анализ результатов показывает, что для растущей ветви максимальная температура разогрева уменьшается с ростом 70 fK вследствие смещения ТЧХ вправо от частоты линейного упругого резонанса. Увеличение амплитуды нагрузки приводит к повышению темпе- ратуры. В общем, в такой ситуации наличие (либо приложение) предварительных напряжений имеет позитивный эффект на тепловую многоцикловую усталость мате- риала, увеличивая период надежной работы конструкции. При достаточно высоких амплитудах нагружения в области малых значений 70 fK наблюдается разогрев выше критической температуры, что приводит к размягчению материала и разрушению конструкции. Для частот, лежащих на нисходящей ветви АЧХ для линейно упругого материала, ситуация противоположная (рис. 5, б). Увеличение 70 fK смещает АЧХ вправо, что приводит к увеличению амплитуды колебаний и температуры разогрева на данной частоте. В таком случае предварительные напряжения негативно влияют на усталостную прочность, рассчитываемую по тепловому критерию. Исследованная стационарная задача гармонических колебаний квадратной плас- тины качественно имеет те же самые амплитудные характеристики на второй (и на всех последующих) моде колебаний ( 2, 1m n  или 1, 2m n  ), но максимальные прогибы и максимальный разогрев достигается в точках / 4, / 2x a y b  и / 4,x a / 2y b , 3 / 4, / 2.x a y b  а б Рис. 6 58 Аналогичные расчеты были проведены и для пластины прямоугольной формы. Далее в качестве типичных представлены результаты для пластины с размерами: a = 0,175 м, b = 0,1 м, h = 0,005 м. Предварительные напряжения, как и ранее, задава- лись с помощью мембранных растягивающих нормальных усилий xxN и yyN , прило- женных вдоль соответствующих осей. На рис. 6 построены амплитудно- и температурно-частотные характеристики мак- симальных прогибов и температур на первой моде колебаний (m = 1, n = 1) в окрест- ности первой резонансной частоты для 500 10fK  (при yyN  500 Н/м) при различных значениях амплитуды внешнего давления. На рис. 6 штрих-пунктирной, сплошной и штриховой линиями показаны АЧХ и ТЧХ для амплитуд внешней нагрузки q  100, 250 и 350 Н/м2, соответственно. Видно, что максимальный прогиб достигается при наибольшем значении q  350 Н/м2 и равен 3 max = 2,5 10w  м (рис. 6, а). При этом наблюдается максимальное значение температуры виброразогрева max  61,5°С. Влияние коэффициента отношения нормальных мембранных усилий fK на амплитудно- и температурно-час- тотные характеристики колебаний пла- стины представлено на рис. 7 для ам- плитуды давления q  350 Н/м2. Здесь штрих-пунктирной, сплошной и штри- ховой линиями показаны АЧХ и ТЧХ для 500 fK  0, 40 и 100, соответственно. Наблюдается характерное для таких си- туаций возрастание как резонансной час-тоты, так и температуры виброразо- грева при увеличении fK . а б Рис. 8 На рис. 8, а показана зависимость максимальной температуры разогрева пластины от амплитуды внешней нагрузки при разных значениях коэффициента 500 fK для коле- баний в режиме фиксированной частоты 11 =f 314,5 Гц, которая соответствует основ- ной собственной частоте колебаний пластины при 500 fK  0. На рис. 8, а штрих-пунктирной, сплошной и штриховой линиями показаны мак- симальные температуры для 500 fK  0,2, 1 и 2, соответственно. Максимальная темпе- ратура увеличивается при возрастании fK (так, например, max  73,4°С при 500 fK  0,2). Рис. 7 59 На рис. 8, б показана зависимость максимальной температуры от коэффициента 500 fK на растущей ветке ( 11 =f 314,5 Гц ). На рис. 8, б штриховой, сплошной и штрих- пунктирной линиями показана зависимость максимальной температуры виброразог- рева для амплитуд внешней нагрузки q  350, 500 и 600 Н/м2, соответственно. Видно, что увеличение предварительных напряжений приводит к уменьшению (для заданной частоты колебаний) температуры разогрева, в то время как увеличение амплитуды нагрузки ведет к нарастанию максимальной температуры. Для обеспечения работо- способности пластины следует выбирать такие режимы колебаний, при которых уро- вень разогрева не превышает критического значения cr . Критические уровни пред- варительных напряжений и нагрузок определяются по точкам пересечения ТЧХ с ли- нией cr  100°С. Заключение. В предположении справедливости гипотез Кирхгофа – Лява представлены поста- новка и решение задачи о вынужденных резонансных колебаниях и виброразогреве вязкоупругой эластомерной пластины с предварительными нормальными мембран- ными усилиями в случаях квадратной и прямоугольной пластины, шарнирно закреп- ленной по контуру. Для наиболее энергоемкой первой моды изгибных колебаний шарнирно опертой пластины исследовано влияние указанного предварительного со- стояния, а также уровня внешней распределенной нагрузки, свойств материала, усло- вий теплообмена на частотные зависимости максимальной амплитуды прогиба и тем- пературы диссипативного разогрева. Определены критические значения предвари- тельных напряжений, при которых температура виброразогрева достигает значения, при котором материал пластины начинает размягчаться. Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы- полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ- лений научных исследований» (КПКВК 6541230). Р Е З Ю М Е . Дано постановку задачі про вимушені резонансні коливання і дисипативний розі- грів шарнірно опертої в’язкопружної еластомірної пластини, що знаходиться під дією попередніх мембранних навантажень. Розглянуто випадок квадратної та прямокутної пластин. Досліджено вплив властивостей еластомерів, попереднього навантаження та умов теплообміну на амплітудно- і темпе- ратурно-частотні характеристики вимушених коливань пластини та досягнення критичних значень температури, при яких відбувається розм’якшення матеріалу. 1. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. – М.: Наука, 1982. – 568 с. 2. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. – К.: Наук. думка, 1986. – 222 с. 3. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Термомеханика предварительно деформированных вязкоупругих тел. – К.: Наук. думка, 1990. – 304 с. 4. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К., Гуменюк Б.П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении – К.: Наук. думка, 1985. – 288 с. 5. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К., Червинко О.П. Влияние предварительного деформирования на резонансные колебания и диcсипативный разогрев вязкоупругого цилиндра конечной длины // Прикл. механика. – 1997.– 33, № 1. – С. 39 – 42. 6. Потураев В.Н., Дырда В.И., Карнаухов В.Г. и др. Термомеханика эластомерных элементов кон- струкций при циклическом нагружении. – К.: Наук. думка, 1987. – 288 с. 7. Anderson V.W., Lazan B.J. Damping and fatigue properties of magnesium and magnese-copper alloys proposed as new high damping materials. – Minnesota: Internal rept., Aero Library. – 1957. – 243 p. 8. Behnke R., Kalishke M. Thermo-mechanically coupled investigation of steady state rolling tires by numer- ical simulation and experiment // Int. J. of Non-Linear Mechanics. – 2015. – 68. – С. 101 – 131. 9. Bulat A.F., Dyrda V.I., Karnaukhov V.G. Durability of Thermoviscoelastic Bodies Under Long-Term Cyclic Loading // Int. App. Mech. – 2019. – 55, N 5. – P. 495 – 503. 60 10. Green A.E. Large elastic deformations and non-linear continuum mechanics. – Oxford: Clarendon Press, 1960. – 455 p. 11. Hashemi M., Zhuk Y. The Influence of Strain Amplitude, Temperature and Frequency on Complex Shear Moduli of Polymer Materials under Kinematic Harmonic Loading // Mechanics and Mechanical Engineering. – 2017. – 21, N 1. – P. 157 – 170. 12. Hashemi M., Zhuk Y.A. Thermomechanical Stability and Thermal Fatigue Failure of Nanocomposite Structural Elements under Static and Cyclic Loading. – Lambert Academic Publishing, 2018. – 208 p. 13. Hashemi M., Zhuk Y.A. The Influence of Temperature on the Cyclic Properties of the Transversely Iso- tropic Nanocomposite System Under Kinematic Harmonic Loading // J. of Math. Scie. – 2019. – 236, N 2. – P. 185 – 198. 14. Karnaukhov V.G., Kirichok I.F. Forced Harmonic Vibrations and Dissipative Heating-up of Viscoelastic Thin-Walled Elements (Review) // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 2. – P. 174 – 195. 15. Karnaukhov V.G., Kirichok I.F., Kozlov V.I. Electromechanical Vibrations and Dissipative Heating of Viscoelastic thin-walled Piezoelements (Review) // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 2. – P. 182 – 212. 16. Karnaukhov V.G., Kirichok I.F., Kozlov V.I. Thermomechanics of Inelastic Thin-Wall Structural Mem- bers with Piezoelectric Sensors and Actuators under Harmonic Loading (Review) // Int. App. Mech. – 2017. – 53, N 1. – P. 6 – 58. 17. Lazan B. Damping of Materials and Members in Structural Mechanics. – Oxford: Pergamon Press, 1968. – 318 p. 18. Liu C.J., Zheng Z.L., Yang X.Y., Guo J.J. Geometric Nonlinear Vibration Analysis for Pretensioned Rec- tangular Orthotropic Membrane // Int. App. Mech. – 2018. – 54, N 1. – P. 104 – 119. 19. Nashif A.D., Jones D.I., Henderson J.P. Vibration Damping. – New York: Wiley-Interscience Publica- tion. – 1985. – 448 p. 20. Snowdon J.C. Vibration and Shock in Damped Mechanical Systems. – New York: The Pensylvania State University, 1968. – 486 p. Поступила 14.05.2019 Утверждена в печать 03.03.2020 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020012b00700061016100690020007000690065006d01130072006f00740069002000610075006700730074006100730020006b00760061006c0069007401010074006500730020007000690072006d007300690065007300700069006501610061006e006100730020006400720075006b00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Схожі ресурси