Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1
В данном исследовании решена задача оптимального управления стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. В постановке задачи использованы интегральный критерий и ограничение на управление, а решение задачи получено в виде программного управления и обратной связи....
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2020
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188266 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1/ В.С. Ловейкин, Ю.А. Ромасевич, А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 78-86. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-188266 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1882662023-02-19T01:27:32Z Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1 Ловейкин, В.С. Ромасевич, Ю.А. Хорошун, А.С. В данном исследовании решена задача оптимального управления стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. В постановке задачи использованы интегральный критерий и ограничение на управление, а решение задачи получено в виде программного управления и обратной связи. Виконано постановку задачі оптимального керування стабілізацією перевернутого маятника з маховиком. Критерій задачі представлено у вигляді лінійно-квадратичного інтегрального функціоналу, використано також обмеження на керування. Для розв'язування задачі використано варіаційне числення і чисельний синтез регулятора. Для першого варіанту задача є ізопериметричною. Знайдено її розв'язок і розроблено алгоритм врахування тривалості керування рухом системи. Для другого варіанту вихідну задачу зведено до задачі мінімізації нелінійної функції, яку розв'язано з використанням модифікованого методу рою частинок. Проведено короткий порівняльний аналіз отриманих результатів та вказано переваги і недоліки оптимальних керувань The problem of optimal control of stabilization of inverted pendulum with a flywheel is stated. The criterion of the problem is presented in the form of the linearquadratic integral functional. The constraint on the control is used as well. To solve the problem, the calculus of variations and numerical synthesis of the controller is used. For the first variant, the problem is isoperimetric. Its solution is found, and an algorithm was developed for taking into account the changing the duration of the control system motion. For the second variant, the initial problem is reduced to the problem of minimization of a nonlinear function, which is solved by the modified particle swarm method. A brief comparative analysis of the results is carried out and the advantages and disadvantages of optimal controls are given. 2020 Article Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1/ В.С. Ловейкин, Ю.А. Ромасевич, А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 78-86. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188266 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В данном исследовании решена задача оптимального управления стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. В постановке задачи использованы интегральный критерий и ограничение на управление, а решение задачи получено в виде программного управления и обратной связи. |
| format |
Article |
| author |
Ловейкин, В.С. Ромасевич, Ю.А. Хорошун, А.С. |
| spellingShingle |
Ловейкин, В.С. Ромасевич, Ю.А. Хорошун, А.С. Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1 Прикладная механика |
| author_facet |
Ловейкин, В.С. Ромасевич, Ю.А. Хорошун, А.С. |
| author_sort |
Ловейкин, В.С. |
| title |
Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1 |
| title_short |
Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1 |
| title_full |
Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1 |
| title_fullStr |
Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1 |
| title_full_unstemmed |
Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1 |
| title_sort |
оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. часть 1 |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2020 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188266 |
| citation_txt |
Оптимальное управление стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Часть 1/ В.С. Ловейкин, Ю.А. Ромасевич, А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 78-86. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT lovejkinvs optimalʹnoeupravleniestabilizaciejperevernutogomaâtnikasmahovikomčastʹ1 AT romasevičûa optimalʹnoeupravleniestabilizaciejperevernutogomaâtnikasmahovikomčastʹ1 AT horošunas optimalʹnoeupravleniestabilizaciejperevernutogomaâtnikasmahovikomčastʹ1 |
| first_indexed |
2025-07-16T10:15:12Z |
| last_indexed |
2025-07-16T10:15:12Z |
| _version_ |
1837798178345189376 |
| fulltext |
2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 4
78 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 4
В . С . Л о в е й к и н 1 , Ю . А . Р о м а с е в и ч 1 , А . С . Х о р о ш у н 2
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТАБИЛИЗАЦИЕЙ
ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА С МАХОВИКОМ. ЧАСТЬ 1
1Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины,
ул. Героев обороны, 12 в, Киев, Украина; e-mail: romasevichyuriy@ukr.net
2Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины,
ул. Петра Нестерова, 3, Киев, Украина; e-mail: center@inmech.kiev.ua
Abstract: The problem of optimal control of stabilization of inverted pendulum with a
flywheel is stated. The criterion of the problem is presented in the form of the linear-
quadratic integral functional. The constraint on the control is used as well. To solve the
problem, the calculus of variations and numerical synthesis of the controller is used. For the
first variant, the problem is isoperimetric. Its solution is found, and an algorithm was devel-
oped for taking into account the changing the duration of the control system motion. For the
second variant, the initial problem is reduced to the problem of minimization of a nonlinear
function, which is solved by the modified particle swarm method. A brief comparative anal-
ysis of the results is carried out and the advantages and disadvantages of optimal controls
are given.
Keywords: inverted pendulum, optimal control, constraint, numerical optimization,
controller.
Введение.
Задача стабилизации маятника с маховиком, которая была впервые поставлена и
решена в работе [13], привлекает внимание многих исследователей. Она позволяет
оценить эффективность разных методов синтеза управлений движением систем, в
которых количество степеней свободы больше, чем число управляемых переменных
(управлений). Такие системы довольно распространены в сферах робототехники, гру-
зоподъемных машин, летательных аппаратов, электрических средств индивидуально-
го передвижения (сигвеи, гироборды) и так далее.
Для решения задачи были предложены различные формы управлений [3 – 6, 10,
14]. Все они являются нелинейными функциями фазовых координат системы, по-
скольку в этих исследованиях использована нелинейная модель перевернутого маят-
ника с маховиком.
С позиций практической реализации управления важно учитывать ограничения на
управление и фазовые координаты системы. Ограничения на управление в задаче ста-
билизации маятника с маховиком были использованы в работе [12].
В работе [2] получено уравнение Рикатти, из решения которого следует решение
задачи оптимальной стабилизации системы. Критерием является линейноквадрати-
ческий интегральный функционал, который включает вектор фазовых координат и
управление. Решение задачи получено в численном виде.
Задача определения коэффициентов оптимального регулятора для стабилизации
системы решена в работе [9]. Для этого использованы методы роя частиц и генетиче-
ский алгоритм. С точки зрения необходимого времени для решения задачи первый
метод оказался более эффективным.
В данном исследовании решена задача оптимального управления стабилизацией
перевернутого маятника с маховиком. В постановке задачи использованы интеграль-
79
ный критерий и ограничение на управление, а решение задачи получено в виде про-
граммного управления и обратной связи.
§1. Модель перевернутого маятника с маховиком.
Рассмотрим систему, динамическая модель которой представлена на рис. 1. В дан-
ном исследовании примем предположение о малом отклонении маятника от вертикали.
Это предположение основано на том, что динамическую систе-
му, которая представлена на рис. 1, можно перевести в окрест-
ность положения равновесия системы (вертикальное расположе-
ния маятника). Например, если начальное положение системы
описывается условиями (0) , (0) 0, (0) 0, то ее можно
перевести из этого положения путем «накачки» энергии [13].
После того, как система зашла в область, где sin( )
появляется возможность с достаточной степенью точности
использовать линейные уравнения ее движения. Отметим, что
при этом должны быть учтены ограничения на управление,
которые будут указаны в дальнейшем изложении.
При составлении системы дифференциальных уравнений
движения системы также не будем учитывать силы трения и
электромагнитную инерционность привода. Все эти предпо-
ложения дают возможность описать движение перевернутого
маятника с маховиком с помощью следующей системы урав-
нений:
1 2 ;
( ) ,
J
J M
(1.1)
где − обобщенная координата угла отклонения маятника от вертикали; – угло-
вая скорость движения маховика маятника; g − ускорение свободного падения; l –
расстояние от центра масс маятника до оси его поворота; L – эквивалентная длинна
маятника; J – момент инерции маховика и ротора электродвигателя; М – электро-
магнитный момент, создаваемый электродвигателем; 1 и 2 – коэффициенты, опре-
деляемые из следующих соотношений: 2
1 ,p wJ m L 2 ( ) ;p w pm l m L g m – масса
маятника; wm – масса маховика и электродвигателя; pJ – момент инерции маятника.
Точка над символом в уравнениях (1.1) и в последующем изложении означает диффе-
ренцирование по времени.
§2. Постановка задачи оптимального управления.
Для того, чтобы выполнить постановку задачи оптимального управления необхо-
димо задать краевые условия движения элементов системы. Предположим, что в
начальный момент времени ( 0)t маятник уже отклонен от вертикали на угол 0 и
имеет угловую скорость 0 , а маховик вращается с угловой скоростью 0 :
0 0 0(0) , (0) , (0) ;
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0,Т Т Т
(2.1)
где Т – длительность управляемого режима движения системы.
Из краевых условий (2.1) следует, что управление движением системы должно
переводить ее из точки фазового пространства 0 0 0[ , , ] ТФ в начало координат.
Существует бесконечное множество таких управлений, которые удовлетворяют
условия (2.1). Из этого множества необходимо выбрать одно, которое бы удовлетво-
Рис. 1
80
ряло условие минимизации оптимизационного критерия. В рамках данного исследо-
вания он представляет собой переменные электрические потери в двигателе постоян-
ного тока независимого возбуждения E (предполагается, что такой двигатель приво-
дит в движение маховик). Минимизация такого критерия позволит управлять движе-
нием системы в энергетически-эффективном режиме, что особенно важно при огра-
ниченной емкости источника питания (как правило, аккумуляторной батареи). С уче-
том выражения, которое описывает электромагнитный момент двигателя постоянного
тока независимого возбуждения, а также системы уравнений (1.1), оптимизационный
критерий Е можем представить в следующем виде:
2
1 22 2
0
( ) min,
ТR
E J dt
c F
(2.2)
где R – сопротивление якоря двигателя; с – коэффициент двигателя, определяемый
его конструкцией; F – постоянный магнитный поток двигателя.
Проверка критерия (2.2) на тип экстремума по условию Лежандра позволяет
определить, что он может достигать минимума. Действительно, всегда выполняется
усиленное условие Лежандра:
22
1 2 2
12
( )
2( ) 0.
J
J
(2.3)
Практическая реализация оптимального управления связана с учетом ограниче-
ний на управление. В данном исследовании ограничения на управление представля-
ются в классическом виде:
max ,M М (2.4)
где maxМ – максимальный электромагнитный момент двигателя.
Для решения задачи (1.1), (2.1), (2.2), (2.4) используем вариационное исчисление
[1], а также численный метод оптимизации [11].
§3. Вариационный подход.
Отметим, в критерий (2.2) входит лишь функция ( )t и ее вторая производная по
времени. Для остановки маховика к концу управляемого режима движения маятника
( ) 0Т необходимо это условие выразить через функцию ( ).t Для этого из перво-
го уравнения системы (1.1) найдем угловое ускорение маховика и проинтегрируем
полученное по времени:
2 1
0 0 0
T T T
dt dt dt.
J J
(3.1)
Проведя последующие преобразования выражения (3.1) и учитывая краевые усло-
вия (2.1), получаем
1
0 0
2 20
T J
dt .
(3.2)
Таким образом, на экстремаль функционала (2.2) налагается изопериметрическое
условие (3.2). Для того, чтобы учесть его в расчетах введем в рассмотрение вспомога-
тельную функцию:
2
1 2( ) ,L J (3.3)
где – неопределенный множитель Лагранжа.
Необходимым условием минимума интегрального критерия (1.3) при учете изо-
периметрического условия (3.3) является уравнение Эйлера – Пуассона, которое запи-
сывается следующим образом:
81
,2)1( 4
2
0
2 A
L
dt
d
i
IV
i
i
i
i
i
(3.4)
где – частота собственных колебаний маятника, определяемая следующим образом
2 1( );J А – коэффициент, который включает неизвестный множитель Ла-
гранжа 2
1( ) ( ) .A J
Решение неоднородного дифференциального уравнения (3.4) представим в таком
виде:
1 2 3 4 4
( ) cos( ) ( )sin( ) ,
A
С С t t С С t t
(3.5)
где 1 4, ,С С – постоянные интегрирования. Для расчета 1 4, ,С С и коэффициента А
используем краевые условия (2.1), а также изопериметрическое условие (3.2): они
формируют систему линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы
представляется в таком виде:
2 2 2 2
1 0 1 2 2 0 0 2 0
2 2 2 2 1
0 1 2 2 0 0 2
( ( ( ) ( 2) 2 cos( ))
( ( ) ( ))sin( ))( ( 4 4cos( ) sin( ))) ,
С Т Т J T t
Т J t Т t Т T
.)))sin()cos(44())(sin()
())cos(22)(((
,)))sin()cos(44))(sin((
)))((sin)()(()sin())cos()2(
2)(())2cos()cos(43((
,)))2sin(4)sin(8))2cos(
)cos(8(92())(2sin())()((
)sin()(2)2cos(2)cos()3
(2))1())(3((2(
,)))sin(8)2cos()2sin(4
)cos(8(92())(2sin())()3((
)sin()3(2)2cos()2()cos()
)((2)2)1(2)32(((
122
20
2
201
2
0020
2
0221
2
0
3
122
2
2
002
2
21
2
0002
0
2
0221
2
0
22
204
1
33
2002
2
21
2
0
0
2
201
2
0020
2
20
1
2
00
2
02
22
2
2
1
2
203
1
33
2002
2
21
2
0
0
2
201
2
00020
2
21
2
00
2
02
22
21
2
02
TTTTTJ
TTJTА
TTTTTT
TJTTTT
TJТTTTС
TTT
TTTTTJT
TJTTJ
TTJTTTС
TTT
TTTTTJТ
tJTTtJ
TTJТТС
(3.6)
Следующим шагом в решении задачи является нахождение угловой скорости ма-
ховика. Это важно с точки зрения реализации управления на практике: управляемым
параметром в современных электроприводах может быть как угловая скорость, так и
электромагнитный момент. Для определения ω(t) необходимо проинтегрировать уг-
ловое ускорение маховика, полученное из первого уравнения системы (1.1). В резуль-
тате получим:
1 4 2 2 2
2 2 1 2 3 4 1 2
2 2
4 2 1 1 2 1 2
( ( ( ( ) ( )( )) cos( )
( ( ) ( )( ))sin( ))),
B J At C C C t T
C C C t T
(3.7)
где В – постоянная интегрирования, которую необходимо найти из начального усло-
вия (2.1). В результате решения этого алгебраического уравнения имеем
82
1 2
2 3 1 3 2 2 0(( ) ) ( ) .B J С С С С (3.8)
Таким образом, задача оптимального управления движением маятника решена.
Полученный результат не дает возможности непосредственно учитывать ограничение
(2.4). Для этой цели необходимо изменять длительность режима управления .Т Ана-
литическое решение задачи нахождения такого минимального значения min ,Т при ко-
тором ограничение (2.4) не нарушается не представляется возможным в силу того, что
при этом необходимо решать трансцендентные уравнения, которые имеют несколько
корней. Проблема усложняется также необходимостью проверки ограничений в нача-
ле и конце управляемого режима движения системы. Возможным вариантом решения
указанных проблем является использование алгоритма, который состоит в следующем:
1) задают значения параметров системы , , , , , ,p p wL l J J m m а также вектор
начальных значений фазовых переменных 0 0 0, , ;
2) задают значение Т немного большим нуля (в рамках данного исследования
0,01 с) и численно находят значение максимального maxTM и минимального minTM
электромагнитных моментов электродвигателя на промежутке [0, ];t T
3) если max min maxmax ( , ) ,T TM M M то увеличивают значение Т на величину Т
(в рамках данного исследования принято 0,01 сТ ) до тех пор, пока не будет вы-
полнено условие max min maxmax ( , ) .T TM M M
Для иллюстрации работы алгоритма зададимся определенными значениями пара-
метров динамической системы, которые занесены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Параметр Значение
Эквивалентная длинна маятника , мL 12,9ꞏ10
Расстояние от центра масс маятника до оси его поворота , мl 12,6ꞏ10
Момент инерции маховика и ротора электродвигателя 2, кгмJ 31,5ꞏ10
Момент инерции маятника Jp, кгм2 24,2ꞏ10
Масса маятника , кгpm 13,0ꞏ10
Масса маховика и электродвигателя , кгwm 12,8ꞏ10
Начальный угол отклонения маятника 0, рад 1–1,5ꞏ10
Начальная угловая скорость маятника 0 рад/с, 1–1,5ꞏ10
Начальная угловая скорость маховика 0, рад/с 0
Максимальный электромагнитный момент двигателя
max , НмМ
16,0ꞏ10
В результате работы алгоритма было найдено значение min 3,99 с.Т
Для графического представления полученных результатов построим графики
функций (рис. 2 и рис. 3). Серая точка на рис. 2 обозначает начало координат. Отме-
тим влияние значений начальных фазовых координат на оптимальное управление.
Например, при одновременном изменении знаков φ0 и 0 график электромагнитного
момента двигателя (рис. 3) симметрично отображается относительно оси времени.
83
Рис. 2 Рис. 3
§4. Численная оптимизация управления (синтез оптимального регулятора).
В предыдущем пункте найден закон оптимального программного управления.
Однако, такой вид закона не учитывает текущее фазовое состояние объекта управле-
ния: управление (электромагнитный момент двигателя) есть функцией времени. Для
того, чтобы учесть возможные воздействия, которые априори неизвестны и которые
могут помешать попаданию системы в желаемое конечное состояние (2.1), необходи-
мо синтезировать управление в виде обратной связи (оптимального регулятора). Пер-
вым этапом такого синтеза является задание формы оптимального закона управления
0 1 2 0 1 2 max
max 0 1 2 max
max 0 1 2 max
, если ;
, если ;
, если ,
A A A A A A М
M М A A A М
М A A A М
(4.1)
где 0 1 2, ,А А А – коэффициенты, которые необходимо найти. Закон (4.1) можно рас-
сматривать как нелинейную функцию фазового вектора Ф, вектора коэффициентов
0 1 2, ,А А А Т
А и ограничения (2.4).
Для того, чтобы найти компоненты вектора А будем рассматривать уравнения
(1.1) в виде MISO-системы. При этом входными параметрами являются компоненты
вектора ,А а выходная величина представлена в виде суммы:
Ф( ) min,Cr Т E (4.2)
где – весовой коэффициент, который определяет важность достижения концевых
условий (2.1). В рамках данного исследования это значение принято равным 610 ,
поскольку при этом (в ходе работы алгоритма) сохраняется баланс между уменьше-
нием значения исходного критерия Е и обеспечением концевых условий (2.1). Чис-
ленное значение критерия Cr (4.2) было найдено путем численного интегрирования
уравнений (1.1) при учете управления (4.1).
Таким образом, мы свели задачу оптимального управления к задаче минимизации
функции (4.2) с ограничением (2.5). Для ее решения используем модифицированный
метод роя частиц (ME-PSO), который описан в работе [11]. Отметим, что метод ME-
PSO относится к классу метаэвристических методов, которые успешно применяются
для решения многих оптимизационных задач [7].
Число частиц в рое принято равным 5000, при работе алгоритма выполнено 20
итераций. Кроме того, примем, что длительность управляемого режима min 3,99 с.Т
В результате решения задачи (4.2) получены следующие значения компонентов
вектора 0 1 2: 0,37; 171,98; 38,98.А А А А Графическое представление полученных
результатов показано на рис. 4 и рис. 5.
84
Рис. 4 Рис. 5
В следующем разделе проведем короткий анализ полученных результатов.
§5. Краткий сравнительный анализ результатов.
Для определения преимуществ и недостатков синтезированных оптимальных за-
конов управления системой, которые получены в §3 и §4, выполним их сравнитель-
ный анализ. Для этого занесем в табл. 5.1 численные значения оценочных показате-
лей, которые характеризуют найденные оптимальные законы управления. Для прове-
дения более полного анализа все численные показатели рассчитаны для разных
начальных условий фазового состояния маятника: 1) 0 0,15 рад,
0 0 15 рад /с;, 2) 0 0,15 рад, 0 0 15 рад /с, .
Таблица 5.1
Оценочный показатель
Вид управления
программное
оптимальный
регулятор
Значение критерия оптимизации Е*, (Нм)2с-1
23,66ꞏ10 27,70ꞏ10
21,60ꞏ10 24,10ꞏ10
Максимальное абсолютное значение
угловой скорости маховика ׀ωmax׀, рад/с
16,78ꞏ10 16,94ꞏ10
14,46ꞏ10 14,08ꞏ10
Максимальное абсолютное значение
угловой скорости маятника ׀ max рад/с ,׀
13,16ꞏ10 01,00ꞏ10
13,04ꞏ10 18,24ꞏ10
Максимальное абсолютное отклонение
маятника от вертикали ׀φmax׀**, рад
22,32ꞏ10 24,47ꞏ10
21,52ꞏ10 22,98ꞏ10
* приведены значения определенного интеграла, который входит в критерий ;E
** указаны значения обратного к 0 знака, что соответствует абсолютному значению перерегули-
рования угла отклонения маятника от вертикали.
В табл. 5.1 первая и вторая строчки соответствуют рассматриваемым вариантам
начальных условий движения маятника. Отметим, что при одновременном изменении
знаков 0 и 0 оценочные показатели движения системы не изменяются.
Анализ данных, которые приведены в табл. 5.1, показывает преимущество про-
граммного закона управления, поскольку (нежелательные) оценочные показатели,
которые ему соответствуют, меньше. Недостатки оптимального регулятора могут
быть объяснены тем, что система относительно длительно находится под действием
граничного управления max .M Это может быть результатом: 1) определения лишь
локального минимума критерия (2.2) в задаче синтеза оптимального регулятора; 2)
неэффективным представлением критерия (2.1) и концевых условий (2.2) в виде кри-
85
терия Cr (4.2). Во втором случае проблему можно решить с помощью использования
одного из алгоритмов многокритериальной оптимизации.
Принципиальным преимуществом оптимального регулятора является учет факти-
ческого состояния системы. Это означает, что в случае действия какого-либо не-
учтенного в модели (1.1) фактора (например, трения) система будет отклоняться от
экстремали. Однако, оптимальный регулятор позволит перевести систему в желаемое
конечное состояние (2.1). При этом переход из любого фазового состояния будет про-
исходить оптимально. Для оптимального программного управления утверждение от-
носительно перехода системы в желаемое конечное состояние при действии неучтен-
ных динамических факторов не истинно.
Кроме того, оптимальный регулятор позволяет уменьшить длительность управляе-
мого режима движения системы без увеличения max .M Например, на рис. 6 и 7 приве-
дены результаты синтеза оптимального регулятора движения системы, аналогичный
тому, который был выполнен в §4. При этом 1,00 ,Т с другие параметры системы и
алгоритма остались без изменений. В результате найдены следующие значения ком-
понентов вектора 0 1 2: 0,56; 238,48; 37,36.А А А А
Рис. 6 Рис. 7
Из рис. 7 видно, что большую часть времени управление находится на границах
допустимой области. «Сильное» управление позволяет уменьшить длительность ста-
билизации системы. В пределе возможно найти такое граничное значение Т, при ко-
тором задача (2.2) превращается в задачу оптимального быстродействия.
Кроме того, преимуществом численной оптимизации регулятора стабилизации
системы является принципиальная возможность учета других ограничений, например,
на угловую скорость маховика, угол отклонения маятника и другие, а также возмож-
ность учета нелинейных эффектов системы (например, использование исходных не-
линейных уравнений движения системы, учет вязкого и сухого трения, введение в
математическую модель движения динамической системы уравнений электропривода
[8]). Эти вопросы будут исследованы в дальнейших работах.
Заключение.
В первой части исследования найдено два решения задачи оптимального управ-
ления стабилизацией перевернутого маятника с маховиком. Обоснованы критерий
оптимизации, который отображает энергетические потери привода, и ограничение на
управление. Задача представлена как вариационная с интегральным ограничением.
Найдено ее аналитическое решение в виде программного управления. Разработан ал-
горитм нахождения минимальной длительности управляемого режима, который поз-
волил учесть ограничение на управление системой.
Кроме того, исходная задача была сведена к задаче минимизации нелинейной
функции, для решения которой был использован модифицированный метод роя ча-
стиц (ME-PSO). Решение задачи получено в виде обратной связи. Сравнение полу-
ченных оптимальных управлений (программного и в виде обратной связи) показало
86
преимущество программного управления. Приведены два возможных объяснения ре-
зультатов сравнительного анализа, а также рекомендации по улучшению эффективно-
сти численного расчета оптимального регулятора.
Очевидно, что между оптимальными управлениями (программным и в виде об-
ратной связи) существует связь, которую необходимо исследовать. Кроме того, вы-
бранные в постановке задачи критерий и ограничение являются довольно частными,
хотя и обоснованными. Дальнейшим направлением исследований является разработка
комплексного критерия оптимизации и обобщение ограничений на фазовые коорди-
наты системы и управление, а также разработка алгоритмов решения задачи опти-
мального управления стабилизацией маятника с маховиком в нелинейной постановке.
РЕЗЮМЕ. Виконано постановку задачі оптимального керування стабілізацією перевернутого
маятника з маховиком. Критерій задачі представлено у вигляді лінійно-квадратичного інтегрального
функціоналу, використано також обмеження на керування. Для розв’язування задачі використано
варіаційне числення і чисельний синтез регулятора. Для першого варіанту задача є ізопериметрич-
ною. Знайдено її розв’язок і розроблено алгоритм врахування тривалості керування рухом системи.
Для другого варіанту вихідну задачу зведено до задачі мінімізації нелінійної функції, яку розв’язано
з використанням модифікованого методу рою частинок. Проведено короткий порівняльний аналіз
отриманих результатів та вказано переваги і недоліки оптимальних керувань.
1. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. − М.: Энергия, 1977. − 280 с.
2. Brevik P. Two-axis reaction wheel inverted pendulum. Thesis for Master of Science in Cybernetics and
Robotics. – Trondheim: Norwegian University of Science and Technology, 2017. – 63 p.
3. Haddad N.K., Chemori A., Pena J.J., Belghith S. Stabilization of inertia wheel inverted pendulum by
model reference adaptive IDA-PBC: From simulation to real-time experiments / 3rd Int. Conf. on Con-
trol, Engineering and Information Technology (CEIT) – Tlemcen. – 2015. – P. 1 – 6.
4. Herniindez V.M., Sira-Ramirez H. Generalized PI Control for swinging up and balancing the inertia wheel
pendulum / Proc. American Control Conf. – 2003. – P. 2809 – 2814.
5. Iriarte R., Aguilar L.T., Fridman L. Second order sliding mode tracking controller for inertia wheel pen-
dulum // J. Franklin Institute. – 2013. – 350, N 1. – P. 92 – 106.
6. Khoroshun A.S. Stabilization of the Upper Equilibrium Position of a Pendulum by Spinning an Inertial
Flywheel // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 5. – P. 547 – 556.
7. Loveikin V.S., Romasevich Yu.A., Khoroshun S.A., Shevchuck A.G. Time-Optimal Control of a Simple
Pendulum with a Movable Pivot. Part 1 // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 3. – P. 358 – 365.
8. Nikitina N.V. Stability Analysis of Rotary Motions of a Quadcopter // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N
6. – P. 648 – 653.
9. Martinez-Soto R., Rodriguez A., Castillo O., Aguilar L.T. Gain optimization for inertia wheel pendulum
stabilization using particle swarm optimization and genetic algorithms // Int. J. of Innovative Compu-
ting, Information and Control. – 2012. – 8, N 6. – P. 4421 – 4430.
10. Qaiser N., Iqbal N., Hussain A., Qaiser N. Exponential stabilization of the inertia wheel pendulum using
dynamic surface control // J. of Circuits, Systems, and Computers. – 2007. – 16, N 1 – P. 81 – 92.
11. Romasevych Yu., Loveikin V. A Novel Multi-Epoch Particle Swarm Optimization Technique // Cybernet-
ics and Information Technologies. – 2018. – 18(3). – P. 62 – 74.
12. Santibanez V., Kelly R., Sandoval J. Control of the Inertia Wheel Pendulum by Bounded Torques / Proc.
44th IEEE Conf. on Decision and Control and European Control Conf. – 2005. – P. 8266 – 8270.
13. Spong M.W., Corke P., Lozano R. Nonlinear control of the inertia wheel pendulum // Automatica. –
2001. – 37. – P. 1845 – 1851.
14. Zhang A., Yang C., Gong S., Qiu J. Nonlinear stabilizing control of underactuated inertia wheel pendu-
lum based on coordinate transformation and time-reverse strategy // Nonlinear Dynamics. – 2016. – 84,
N 4 – P. 2467 – 2476.
Поступила 25.01.2019 Утверждена в печать 03.03.2020
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
/ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064406440637062806270639062900200641064A00200627064406450637062706280639002006300627062A0020062F0631062C0627062A002006270644062C0648062F0629002006270644063906270644064A0629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E0635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E>
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002c0020006b00740065007200e90020007300650020006e0065006a006c00e90070006500200068006f006400ed002000700072006f0020006b00760061006c00690074006e00ed0020007400690073006b00200061002000700072006500700072006500730073002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020012b00700061016100690020007000690065006d01130072006f00740069002000610075006700730074006100730020006b00760061006c0069007401010074006500730020007000690072006d007300690065007300700069006501610061006e006100730020006400720075006b00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043c0430043a04410438043c0430043b044c043d043e0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f00200432044b0441043e043a043e043a0430044704350441044204320435043d043d043e0433043e00200434043e043f0435044704300442043d043e0433043e00200432044b0432043e04340430002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|