Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов

В данной статье разработано два варианта полуаналитического метода конечных элементов для исследования свободных колебаний слоистых композитных плит. Нижняя поверхность плиты может быть свободной, жестко закрепленной, опираться на слой конечной мощности. Оба подхода имеют свои преимущества и недоста...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Марчук, А.В., Ренейская, С.В., Лещук, О.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188268
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов / А.В. Марчук, С.В. Ренейская, О.Н. Лещук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 97-116. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-188268
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1882682023-02-19T01:27:13Z Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов Марчук, А.В. Ренейская, С.В. Лещук, О.Н. В данной статье разработано два варианта полуаналитического метода конечных элементов для исследования свободных колебаний слоистых композитных плит. Нижняя поверхность плиты может быть свободной, жестко закрепленной, опираться на слой конечной мощности. Оба подхода имеют свои преимущества и недостатки. Они весьма точны. В межах просторової теорії пружності побудовано два варіанти напіваналітичного методу скінченних елементів стосовно дослідження частот вільних коливань і форм розподілу переміщень в них. Розрахунок двома методами служить доказом достовірності аналізу. Проаналізовано частоти вільних коливань і відповідних форм розподілу переміщень шаруватої композитної плити, коли дві протилежні кромки вільні, а дві інші шарнірно закріплені. Розглянуто плиту з вільною нижньою поверхнею, яка жорстко закріплена нижньою поверхнею і що спирається на пружну основу у вигляді шару скінченної потужності з урахуванням його інерційних властивостей. Продемонстровано високу точність пропонованих моделей в даних задачах. Вказано на неприпустимість нехтування інерційними властивостями основ. Within the framework of the spatial theory of elasticity, two variants of the semi-analytical finite element method are constructed as applied to the study of the frequencies of free vibrations and the modes of distribution of displacements in them. An analysis by two methods is considered as proof of its reliability. An analysis is carried out of the frequencies of free vibrations and the corresponding modes of distribution of displacements of a laminated composite plate, when the two opposite edges are free and the other two are hinged. A plate with a free bottom surface, a rigidly fixed bottom surface and resting on an elastic base in the form of a layer of finite capacity is considered, taking into account its inertial properties. The high accuracy of the proposed models in the problems under consideration is demonstrated. The inadmissibility of neglecting the inertial properties of bases is pointed. 2020 Article Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов / А.В. Марчук, С.В. Ренейская, О.Н. Лещук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 97-116. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188268 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В данной статье разработано два варианта полуаналитического метода конечных элементов для исследования свободных колебаний слоистых композитных плит. Нижняя поверхность плиты может быть свободной, жестко закрепленной, опираться на слой конечной мощности. Оба подхода имеют свои преимущества и недостатки. Они весьма точны.
format	Article
author	Марчук, А.В. Ренейская, С.В. Лещук, О.Н.
spellingShingle	Марчук, А.В. Ренейская, С.В. Лещук, О.Н. Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов Прикладная механика
author_facet	Марчук, А.В. Ренейская, С.В. Лещук, О.Н.
author_sort	Марчук, А.В.
title	Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов
title_short	Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов
title_full	Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов
title_fullStr	Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов
title_full_unstemmed	Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов
title_sort	трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2020
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188268
citation_txt	Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов / А.В. Марчук, С.В. Ренейская, О.Н. Лещук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 97-116. — Бібліогр.: 43 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT marčukav trehmernyjanalizsvobodnyhkolebanijsloistyhkompozitnyhplitnaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementov AT renejskaâsv trehmernyjanalizsvobodnyhkolebanijsloistyhkompozitnyhplitnaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementov AT leŝukon trehmernyjanalizsvobodnyhkolebanijsloistyhkompozitnyhplitnaosnovepoluanalitičeskogometodakonečnyhélementov
first_indexed	2025-07-16T10:15:30Z
last_indexed	2025-07-16T10:15:30Z
_version_	1837798192722214912
fulltext	2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 4 97 А . В . М а р ч у к , С . В . Р е н е й с к а я , О . Н . Л е щ у к ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛИЗ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ ПЛИТ НА ОСНОВЕ ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Национальный транспортный университет, ул. Омельяновича-Павленко 1, 01010, Киев, Украина; e-mail: sm_ntu@ukr.net Abstract. Within the framework of the spatial theory of elasticity, two variants of the semi-analytical finite element method are constructed as applied to the study of the frequen- cies of free vibrations and the modes of distribution of displacements in them. An analysis by two methods is considered as proof of its reliability. An analysis is carried out of the fre- quencies of free vibrations and the corresponding modes of distribution of displacements of a laminated composite plate, when the two opposite edges are free and the other two are hinged. A plate with a free bottom surface, a rigidly fixed bottom surface and resting on an elastic base in the form of a layer of finite capacity is considered, taking into account its inertial properties. The high accuracy of the proposed models in the problems under consid- eration is demonstrated. The inadmissibility of neglecting the inertial properties of bases is pointed. Key words: 3D analysis, semi-analytical finite elements method, sandwich сomposite panel, free vibrations. Введение. В современной технике увеличивается использование конструктивных систем композитной структуры, в частности слоистых, с высоким уровнем разномодульности составляющих материалов, а также ортотропии. Они находятся в сложных условиях деформирования, имеют различные условия закрепления на контуре и контакта на внешних поверхностях, подвержены воздействию динамических нагрузок, близких к резонансу. Указанные особенности могут вызывать существенно трехмерный харак- тер в процессе динамического деформирования. Использование прямых точных методов пространственной теории упругости для исследования свободных колебаний указанных конструкций в значительной мере осложнено и ограничено рассмотрением плит с шарнирным опиранием. В частности, такие задачи рассматривались в [2, 26, 29]. Классические направления, построенные на упрощенных гипотезах Кирхгофа – Лява, могут приводить в определенных случаях к существенным погрешностям определения характеристик свободных колебаний. Поэтому продолжают развиваться различные уточненные варианты теорий исследо- вания динамического поведения слоистых конструкций, что отражено в следующих обзорах: [2, 11 – 14, 17, 20, 33, 36 – 38 и др.]. На основе тех или иных вариантов уточ- ненных моделей динамическое деформирование рассматривалось в работах [2, 4 – 10, 18, 19, 22, 23, 25, 33 – 37, 39 – 42 и др]. Продолжают развиваться различные численно- аналитические методы трехмерного анализа слоистых конструкций, в частности [1, 3, 9, 11, 12, 15, 16, 21, 24, 30 – 32, 43]. Несмотря на обилие работ, посвященных динами- ческому деформированию слоистых плит, авторы статьи не обнаружили исследова- ний в трехмерной постановке свободных колебаний плит с двумя свободными проти- воположными кромками при шарнирном закреплении двух других на упругом осно- 98 вании в виде слоя конечной мощности с учетом его инерционных свойств, а также на абсолютно жестком основании. Такой случай может быть составной частью расчет- ной схемы транспортных сооружений. Постановка задачи. Задачей данной работы является разработка двух вариантов полуаналитического метода конечных элементов, которые позволяют рассматривать свободные колебания слоистых композитных плит. В первом варианте полуаналитического метода конеч- ных элементов для аппроксимации искомых функций по планарной координате X привлекается конечно-элементная аппроксимация, искомые функции по координате Y представляются в виде ряда Фурье, по толщине (координата Z) привлекаются извест- ные полиномы [29]. Во втором варианте для аппроксимации искомых функций в плане по координате X используются полиномы, по координате Y привлекается ряд Фурье, а распределение искомых функций по толщине конструкции находится на ос- нове аналитического решения соответствующей системы дифференциальных уравне- ний [28]. Рассмотрение задач двумя методами при исследовании свободных колеба- ний с отысканием частот и форм распределения перемещений в них, служит дополни- тельным обоснованием достоверности получаемых результатов расчета. В этом плане они не конкурируют, а дополняют друг друга. При определении частот свободных колебаний в модели с аналитическим решением соответствующей системы диффе- ренциальных уравнений относительно искомых функций по толщине плиты в каче- стве отправных привлекаются частоты, полученные по модели с полиномиальной ап- проксимацией искомых функций по толщине. Привлечение для аппроксимации в плане по координате Y тригонометрических рядов Фурье в обоих вариантах предлагаемых подходов вводит известные ограниче- ния на рассматриваемые граничные условия на соответствующем контуре. По коор- динате X привлекается конечно-элементная аппроксимация, что существенно расши- ряет круг граничных условий, которые можно рассмотреть (шарнирный, свободный, жестко защемленный край). Возможно рассмотрение жесткого контакта слоев, про- скальзывающего контакта слоев по части поверхности перпендикулярно координате X. Комбинирование условий на поверхности слоев и на контуре позволяет рассмотре- ние композитных конструкций со сложным строением по толщине перпендикулярно координате X. В силу ограниченного объема статьи в данном сообщении ограничимся рассмотрением свободных колебаний плит со сводным краем по координате X (рас- пространенный случай в расчетных схемах транспортных сооружений). Рассматрива- ются варианты конструкции со свободной нижней поверхностью, с запрещенными перемещениями на нижней поверхности и опиранием на основание, которое модели- руется слоем конечной мощности (учитываются инерционные свойства основания). Рассмотрим слоистую конструкцию с композитными слоями с тремя плоскостями упругой симметрии (ортотропными слоями). Физико-механические характеристики ортотропных слоев связаны следующими соотношениями: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 21 22 31 33( ) 11 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 k k k k k k k k ke E E E        ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 11 22 32 33( ) 22 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 k k k k k k k k ke E E E        ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 11 23 22 33( ) 33 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 k k k k k k k k ke E E E        ; ( ) 23( ) 23 ( ) 23 2 k k ke G  ; ( ) 13( ) 13 ( ) 13 2 k k ke G  ; ( ) 12( ) 12 ( ) 12 2 k k ke G  . Верхний индекс ( k ) обозначает номер слоя. Направление 1 тождественно направ- лению X, 2 – Y, 3 – Z. Ось Z направлена вниз. Во втором разделе проводится суммиро- вание по нижним индексам l и p ( 1, 2, 3;l  1, 2, 3)p  . 99 §1. Построение варианта полуаналитического метода конечных элементов для исследования свободных колебаний на основе полиномиальной аппрокси- мации по толщине конструкции (В1). Представим вектор искомых перемещений следующим образом: ( )( ) ( ) 1 1 1( , , , ) ( , , ) ( )kk k l lx y z t x y t zfU U ; ( )( ) ( ) 2 2 2( , , , ) ( , , ) ( )kk k l lx y z t x y t zfU U ; ( )( ) ( ) 3 ( , , , ) ( , , ) ( ).kk k p px y z t x y t zU W  (1.1) Здесь ( ) 11 ( , , )k x y tU – тангенциальные перемещения на верхней поверхностях k -го слоя конструкции в направлении оси X; ( ) 12 ( , , )k x y tU – тангенциальные перемещения на нижней поверхности k-го слоя конструкции в направлении оси X; ( ) 13 ( , , )k x y tU – функ- ции сдвига в направлении оси X; ( ) 21 ( , , )k x y tU , ( ) 22 ( , , )k x y tU , ( ) 23 ( , , )k x y tU – тангенциаль- ные перемещения на лицевых поверхностях k-го слоя и функция сдвига в направле- нии осей Y; ( ) 1 ( , , )k x y tW , ( ) 2 ( , , )k x y tW – нормальные перемещения на лицевых по- верхностях k-го слоя конструкции; ( ) 3 ( , , ),k x y tW – функция обжатия; ( ) 11 ( )k zf , ( ) 12 ( )k zf , ( ) 21 ( )k zf , ( ) 22 ( )k zf , ( ) 1 ( )k z , ( ) 2 ( )k z – заданные полиномы первой степени; ( ) 3 ( ) k z – полином второй степени; ( ) 13 ( )k zf , ( ) 23 ( ) k zf – полиномы третьей степени [27]. Компоненты тензора деформаций слоя конструкции с использованием введенной аппроксимации (1.1) определяются на основе следующих соотношений: ( ) ( )( ) 1 11 1 k kk l l U fe x    ; ( ) ( )( ) 2 22 2 k kk l l U fe y    ; ( ) ( ) ( ) 33 k pk k pe W z    ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 12 1 22 k k k kk l l l l U Uf fe y x       ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 13 12 k k p kk k l l p f W e U z x       ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 23 22 k k p kk k l l p f W e U z y       . (1.2) Напряжения с учетом выражений для деформаций (1.2) записаны на основе зако- на Гука: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 ( ) 11 11 12 131 2 kk k pk kk k k kl l k pl l U Uf fC C C W x y z           ; ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 ( ) 22 21 22 231 2 kk k pk kk k k kl l k pl l U Uf fC C C W x y z           ; ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 ( ) 33 31 32 331 2 kk k pk kk k k kl l k pl l U Uf fC C C W x y z           ; (1.3) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 12 12 1 2 k k k kk k l l l l U Uf fG y x          ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 13 13 1 k k p kk k k l l p f W G U z x         ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 23 23 2 k k p kk k k l l p f W G U z y         . Вариация потенциальной энергии деформации с использованием выражений для деформаций (1.2) и напряжений (1.3) принимает вид 100 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 11 121 2 k k a t k k k kk kl l l l s a t U Uf fC C x y             ( ) ( ) ( )( ) 1( ) 13 1 k k p kk lk p l U fC W z x         ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 21 221 2 k k k kk kl l l l U Uf fC C x y        ( ) ( ) ( )( ) 2( ) 23 2 k k p kk lk p l U fC W z x         + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 31 321 2 k k k kk kl l l l U Uf fC C x y       ( ) ( ) ( ) ( ) 33 ( ) k k p pk k p k C W W pz z          (1.4) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 12 1 2( k k k kk l l l l U Uf fG y x         ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 k k k kl l l l U U f f y x           ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 13 1 1 k kk k p pk kk k kl l l p pl ff W W G U U z x z x                           ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 k kk k p pk kk k kl l l p pl ff W W dtdzdSG U U z y z y                            . Вариация кинетической энергии может быть записана следующим образом: 2 1 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 11 ( ) ( ) k k a t k kk kk k l l ll S a t T f fUU             ( ) ( )( ) ( ) 2 2 22 ( ) ( )k kk k l l llf fUU   ( ) ( ) ( )( )) ( )( k k kk pp pp dtW W      ( )( ) 1[( kk l lfU  ( )( ) 1 ) ( )kk ll fU  ( ) ( )( ) ( ) 2 2 ( ) ( )k kk k l l llf fUU   2 1 ( ) ( ) ( )( )) ( )]( k k kk pp pp t dzdSW W t   . (1.5) Искомые функции в плане конструкции по оси Х представляются линейными, по оси Y тригонометрическими функциями. ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 21 2( , , ) ( ( ) ( ))sink kk k k i t l l lu u ny x y t x xf fU U U e b    ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 21 2( , , ) ( ( ) ( ))cosk kk k k i t l l lu u ny x y t x xf fU U U e b    ; (1.6) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 21 2( , , ) ( ( ) ( ))sink kk kk i t p p pu u ny x y t x xf fW W W e b    , где 1( ) 1u x x Lf   ; 2( )u x x Lf  ; L – длина конечного элемента вдоль оси X;   частота свободных колебаний. Уравнения движения конечного элемента получаются на основе следующего ва- риационного уравнения: 0П T   . (1.7) 101 С учетом выражений для потенциальной (1.4) и кинетической (1.5) энергий, а также введенной аппроксимации (1.6), после соответствующих преобразований урав- нения (1.7) получаем алгебраические уравнения движения конечного элемента 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 11 1 ( ) ( ) 611 ( ) ( ) L k k k kus us lsus us us usll ll ll f x f x n B TU f x f x B f x f x U x x b                  ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 612 ( ) 12 ( )k k kus us lsus usll ll f x f x n B f x B f x U x x b             ( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0k k k kus us k ps lsus us us uslp lp ll f x f x CUW f x SD f x BT f x f x dxW U x x             ; ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 612 ( ) 12 ( ) L k k kus us us us lsll ll f x f x n B f x B f x U x x b              2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 22 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 622k k k kus us lsus us us usll ll ll f x f xn B f x f x TU f x f x B U b x x              ( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) 2( 2 2 ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0k k k kk ps lsus ws us uslp lp ll n CUW SD f x f x BT f x f x dxW U b            ; ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) L k k kus us lspl ws pl us f x f x SD f x CUW f x U x x          (1.8) ( ) ( ) ( ) 2( 2 2 ) ( ) ( )k k k lspl pl us us n CUW SD f x f x U b        2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1k k k ws ws k pspp pp ws ws pp df x df xn CC ZZ f x f x CC W b dx dx                2 ( ) ( )( ) ( ) 0k k pspp ws wsZT f x f x dxW     . Построенная система алгебраических уравнений движения равновесия конечного элемента записана относительно амплитудных значений тангенциальных перемеще- ний вдоль оси Х на внешних поверхностях слоя в узлах конечного элемента (в первом узле ( ) ( ) 111 121,k kU U ; во втором узле ( ) ( ) 112 122,k kU U ); амплитудных значений тангенциальных перемещений вдоль оси Y на внешних поверхностях слоя в узлах конечного элемента (в первом узле ( ) ( ) 211 221,k k U U ; во втором узле ( ) ( ) 212 222,k k U U ); амплитудных значений нор- мальных перемещений в узлах конечного элемента (в первом узле ( ) 11 kW , ( ) 21 kW ; во вто- ром узле ( ) 12 kW , ( ) 22 kW ); амплитудных значений сдвиговых функций в направлении оси Х (в первом узле ( ) 131 k U ; во втором узле ( ) 132 k U ); амплитудных значений сдвиговых функ- ций в направлении оси Y (в первом узле ( ) 231 kU ; во втором узле ( ) 232 kU ); амплитудных зна- чений функций обжатия (в первом узле ( ) 31 kW ; во втором узле ( ) 32 kW ). В общем для од- ного элемента имеем систему восемнадцати уравнений с восемнадцатью неизвестны- ми. Расположение искомых узловых амплитуд перемещений на внешних поверхно- 102 стях конечного элемента позволяет моделировать конструкцию не только в плане, но и по толщине. В матричном виде уравнение для слоя c учетом торцевых граничных условий имеет следующий вид:       ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111 12 13 11 12 13 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 21 22 23 2 21 22 23 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 31 32 33 313 kk k k k k k k k k k k k k k k k kk vk k k m m m k k k v m m m k k k mv                                                                                       ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 32 33 3 0 0 0 k k k k k v v m m v                                         , (1.9) где  ( ) 1 kv – амплитудные значения перемещений на верхней поверхности слоя;  ( ) 2 kv – амплитудные значения перемещений на нижней поверхности слоя;  ( ) 3 kv – ампли- тудные значения сдвиговых функций и функций обжатия слоя. Далее в статье будут исследованы свободные колебания трехслойной плиты. Для этого случая уравнения свободных колебаний будут иметь вид (1) (1) (1) 11 12 13 (1) (1) (2) (2) (1) (2) 21 22 11 12 23 13 (2) (2) (3) (3) (2) (3) 12 22 11 12 23 13 (3) (3) (3) 12 22 23 (1) 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k                                                                     (1) (1) 32 33 (2) (2) (2) 31 32 33 (3) (3) (3) 31 32 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k                                                         (1) (1) (1) 11 12 13 (1) (1) (2) (2) (1) (2) 21 22 11 12 23 13 (2) (2) (3) (3) (2) (3) 12 22 11 12 23 13 2 (3) (3) (3) 12 22 23 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m                                                                       (1) (1) (1) 32 33 (2) (2) (2) 31 32 33 (3) (3) (3) 31 32 33 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m m m m m                                                                       . (1.10) С учетом того, что плита разбивается на 100 конечных элементов, в этой задаче будет такое количество неизвестных: 101(3+1)3+10133= 2121. При наличии осно- вания, которое моделируется слоем конечной мощности количество неизвестных не- значительно возрастает 101(4+1)3+10143= 2727. Возможности современных ма- шин, а также наличие стандартных программ реализации уравнений (1.10) позволяет справиться с этой задачей. При разбиении слоя на 64 подслоя количество неизвестных существенно увели- чивается 101(643+1)3+1016433=116655; при наличии основания 101(644+1)3 + +1016443=155439. Для этого случая используем следующий алгоритм. Уравнения (1.9) для подслоя запишем так: 103 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 11 11 12 12 13 13 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 21 21 22 22 23 23 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 31 31 32 32 33 33 k k k k k k k k k k k k k k k k k k m k m k m k m k m k m k m k m k m                                                                                             ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 3 0 0 0 k k k k v v v                                  или             ( )( ) ( ) ( ) 111 12 13 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 23 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 31 32 33 3 0 0 0 kk k k k k k k k k k k vK K K K K K v K k k v                                                             . (1.11) Амплитудные значения сдвиговых аналогов перемещений слоя являются внут- ренними, они не совмещаются с другими слоями при расчете слоистой конструкции. От них можно избавиться по процедуре, аналогичной широко известной суперэле- ментной технологии. Запишем вектор амплитудных значений сдвиговых аналогов перемещений слоя с использованием уравнений (1.11)      1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 33 31 1 33 32 2 k k k k k k kv K K v K K v                    , далее уравнения (1.9) преобразуются к следующему виду: 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 13 33 31 12 13 33 32 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 23 33 31 22 23 33 32 k k k k k k k k k k k k k k k k K K K K K K K K K K K K K K K K                                                                                                ( ) 2 ( ) 2 0 0 k k v v                    .(1.12) Уравнения (1.12) запишем таким образом:         ( ) ( ) ( ) 11 12 1 ( ) ( ) ( ) 21 22 2 0 0 k k k k k k K K v K K v                                    . (1.13) Далее, соединяем соседние слои по два. Разрешающая система уравнений равно- весия для них имеет вид аналогичный (1.11), но теперь ( ) 3{ }kv – амплитудные значения перемещений на поверхности сопряжения двух рассматриваемых слоев. Редуцируем перемещения ( ) 3{ }kv , аналогично изложенной выше процедуре. Так повторяем до тех пор, пока не придем к системе уравнений следующего вида:         11 12 1 121 22 0 0 n K K v vK K                                         , (1.14) где теперь ( ) 1{ }kv – амплитудные значения перемещений на верхней поверхности па- кета слоев; 1{ }nv  – амплитудные значения перемещений на нижней поверхности па- кета слоев. Частоты свободных колебаний получаем из системы (1.14) методом последова- тельного сгущения интервала поиска, используя в качестве начальных частоты, полу- ченные по уравнениям (1.10). Такой подход значительно снижает количество операций при решении разреша- ющей системы уравнений (существенно исключаются операции с нулями). Выгода его становится особенно очевидной при разбиении слоя на подслои (2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.д.), а также если конструкция состоит из взаимно чередующихся одинаковых сло- 104 ев с разным направлением. Достоверность получаемых результатов подтверждается альтернативным расчетом по методике, излагаемой ниже. §2. Построение варианта полуаналитического метода конечных элементов для исследования свободных колебаний с отысканием распределения искомых функций по толщине конструкции на основе аналитического решения соответ- ствующей системы дифференциальных уравнений (В2). Введем следующую аппроксимацию искомых функций перемещений и напряже- ний в плане конечного элемента:  ( ) ( ) ( ) 1 11 121 2( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k k ny x y z t x t z x t zU u u b     ;  ( ) ( ) ( ) 2 21 221 2( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) cosk k k ny x y z t x t z x t zU u u b     ;  ( ) ( ) ( ) 3 1 21 2( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k k ny x y z t x t z x t zU w w b     ; (2.1)  ( ) ( ) ( ) 13 11 121 2( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k k ny x y z t x t z x t z b       ;  ( ) ( ) ( ) 23 21 221 2( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) cosk k k ny x y z t x t z x t z b       ;  ( ) ( ) ( ) 33 1 21 2( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k k ny x y z t x t z x t z b       , где 1( , ) (1 / )i tx t x Le    ; 2( , ) ( / )i tx t x Le   ; L  длина конечного элемента; ( ) 11 ( ),k zu ( ) 12 ( )k zu , ( ) 21 ( ),k zu ( ) 22 ( )k zu , ( ) 1 ( ),k zw ( ) 2 ( )k zw ,  ( ) ( ) ( ) 1 2( ), ( )k T k kw w z w z , ( ) 21 ( ),k z ( ) 22 ( )k z , ( ) 1 ( ),k z ( ) 2 ( )k z – искомые функции распределения перемещений и напряжений по толщине в узлах конечного элемента. Используя выражения для перемещений (2.1), находим деформации на основе из- вестных соотношений Коши. ( ) ( ) ( )1 2 11 11 12 ( , ) ( , ) ( , , , ) ( ) ( ) sink k kx t x t ny x y z t z ze u u x x b            ;  ( ) ( ) ( ) 22 21 221 2( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k kn ny x y z t x t z x t ze u u b b       ; ( ) ( ) 1 2( ) 33 1 2 ( ) ( ) ( , , , ) ( , ) ( , ) sin k k k z z nyw wx y z t x t x te z z b            ; ( ) ( ) 21 22( ) 23 1 2 ( ) ( ) ( , , , ) ( , ) ( , )2 k k k z zu ux y z t x t x te z z            ( ) ( ) 1 21 2( , ) ( ) ( , ) ( ) cos ;k kn ny x t z x t zw w b b         105 ( ) ( ) 11 12( ) 13 1 2 ( ) ( )1 2 1 2 ( ) ( ) ( , , , ) ( , ) ( , )2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) sin ; k k k k k z zu ux y z t x t x te z z x t x t ny z zw w x x b                      ( ) ( ) ( ) 12 11 121 2 ( ) ( )1 2 21 22 ( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) cos . k k k k k n x y z t x t z x t ze u u b x t x t ny z zu u x x b                  Напряжения и деформации связаны следующими соотношениями: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 11 12 22 13 33 k k k k k k ke eB B B   ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 21 11 22 22 23 33 k k k k k k ke eB B B   ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 33 13 11 23 22 33 k k k k k k ke e eB B B   ; ( ) ( ) ( ) 23 23 232k k kG e  ; ( ) ( ) ( ) 13 13 132k k kG e  ; ( ) ( ) ( ) 12 12 122k k kG e  . Разрешающую систему уравнений и соответствующие граничные условия полу- чим на основе вариационного уравнения ( )( ) 0kkR T   . Здесь 2 1 1 ( ) k k a t k S a t R      ( ) ( ) ( )1 2 11 11 12 ( , ) ( , ) ( ) ( )k k kx t x t z zu uB x x                    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 21 22 13 1 21 2 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k k k k kn ny x t z x t z x t z x t zu uB B b b               ( ) ( )1 2 11 12 ( , ) ( , ) ( ) ( ) sink kx t x t ny z zu u x x b                  ( ) ( ) ( )1 2 21 11 12 ( , ) ( , ) ( ) ( )k k kx t x t z zu uB x x                 ( )( ) ( ) 22 221 21( , ) ( ) ( , ) ( )kk kn x t z x t zu uB b      ( ) ( ) ( ) 23 1 21 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k k ny x t z x t zB b            ( ) ( ) 21 221 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink kn ny x t z x t zu u b b            ( ) ( ) ( ) 12 11 121 2( , ) ( ) ( , ) ( )k k kn n x t z x t zG u u b b         ( ) ( )1 2 21 22 ( , ) ( , ) ( ) ( ) cosk kx t x t ny z zu u x x b            ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 12 21 221 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) cosk k k kx t x tn n ny x t z x t z z zu u u u b b x x b                       106 ( ) ( ) 1 2( ) ( ) 1 21 2 1 2 ( ) ( ) ( ( , ) ( ) ( , ) ( ))sin ( , ) ( , ) sin k k k k ny z z nyw wx t z x t z x t x t b z z b                         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 13 11 12 23 21 221 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )k k k k k kx t x t n z z x t z x t zu u u uB B x x b                       ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 33 1 21 2 1 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) sin k k k k kz z nyw wx t x t x t z x t zB z z b                    ( ) ( ) 1 21 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k ny x t z x t z b             ( ) ( ) 21 221 2( , ) ( ) ( , ) ( ) cosk k ny x t r x t r b          ( ) ( ) 21 22 1 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) k kz zu ux t x t z z            ( ) ( ) 1 21 2( , ) ( ) ( , ) ( ) cosk kn ny x t z x t zw w b b         ( ) ( ) 21 22 1 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) k kz zu ux t x t z z           ( ) ( ) 1 21 2( , ) ( ) ( , ) ( )k kn n x t z x t zw w b b       ( ) ( ) ( ) 21 22 231 2( , ) ( ) ( , ) ( ) / cosk k k ny x t z x t z G b           ( ) ( ) 21 221 2( , ) ( ) ( , ) ( ) cosk k ny x t z x t z b              ( ) ( ) 11 12( ) ( ) 11 121 2 1 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) sin ( , ) ( , ) k k k k ny z zu ux t z x z x t x t b z z                   ( ) ( )1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) sink kx x ny z zw w x x b          ( ) ( ) 11 12 ( ) ( )1 2 1 221 ( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )( k k k kx t x tz zu ux t x t z zw w z z x x                    ( ) ( ) ( ) 11 12 131 2( , ) ( ) ( , ) ( ) / sink k k ny x t z x t z G b         ( ) ( ) 11 121 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k ny x t z x t z dtdzdS b            – вариация функционала Рейсснера; 107 ( )kT  2 1 1 2 2 ( ) ( )1 2 11 122 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) sin k k a t k k S a t x t x t ny z zu u bt t                          ( ) ( ) 11 121 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k ny x t z x t zu u b           2 2 ( ) ( )1 2 21 222 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) cosk kx t x t ny z zu u bt t                  ( ) ( ) 21 221 2( , ) ( ) ( , ) ( ) cosk k ny x t z x t zu u b           2 2 ( ) ( )1 2 1 22 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) sink kx t x t ny z zw w bt t                  ( ) ( ) 1 21 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k ny x t z x t z dtw w b          ( ) ( ) ( )1 2 11 12 ( , ) ( , ) ( ) ( ) sink k kx t x t ny z zu u t t b                     ( ) ( ) 11 121 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k ny x t z x t zu u b           ( ) ( )1 2 21 22 ( , ) ( , ) ( ) ( ) cosk kx t x t ny z zu u t t b                  ( ) ( ) 21 221 2( , ) ( ) ( , ) ( ) cosk k ny x t z x t zu u b           ( ) ( )1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ( ) ( ) sink kx t x t ny z zw w t t b                   2 1 ( ) ( ) 1 21 2( , ) ( ) ( , ) ( ) sink k tny x t z x t z dzdSw w b t            – вариация кинетической энергии. Разрешающая система уравнений для одного конечного элемента имеет следую- щий вид: 108 01 00( ) 13 00 00( ) 23 ( ) ( ) ( ) 15 00 25 00 33 00 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 11 11 12 00 66 01 12 10 13 10 2 ( ) ( ) ( ) 66 01 12 10 12 11 22 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) k k k k k k k k k k k k k k k k G n k k b G n B k B k B k b n n B k G k B k B k B k b b n n B k B k G k B b b                            ( ) ( ) 2 ( ) 00 23 00 ( ) 2 00 10 00 0 0 0 0 0 0 k k k k n k B k b n k k k b                                                                 00 ( ) 00 1 ( ) 2 ( )00 ( ) 1 00 ( ) 2 ( ) 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 0( ) 0 0 0 0 0 0( ) 0( ) 0 0 0 0 0 0( ) 0( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k z k u zz u z k w zz z k z z zk z k z                                                             .           (2.2) Здесь 00 / 3 / 6 / 6 / 3 l l k l l        ; 10 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 k         ; 11 1/ 1/ 1/ 1/ l l k l l       ; 01 10 Tk k ;  ( ) ( ) ( ) 1 11 12( ), ( )k T k ku u z u z ;  ( ) ( ) ( ) 2 21 22( ), ( )k T k ku u z u z ;  ( ) ( ) ( ) 1 2( ), ( )k T k kw w z w z ;  ( ) ( ) ( ) 1 11 12( ), ( )k T k kz z   ;  ( ) ( ) ( ) 2 21 22( ), ( )k T k kz z   ;  ( ) ( ) ( ) 1 2( ), ( )k T k kz z   . Далее, с использованием уравнений (2.2), формируем разрешающую систему дифференциальных уравнений для слоя с учетом кинематических граничных условий на контуре конструкции. 01 00( ) 13 00 00( ) 23 ( ) ( ) ( ) 15 00 25 00 33 00 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 11 11 12 00 66 01 12 10 13 10 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 66 01 12 10 12 11 22 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 (( ) ) ( ) 0 0 0 ( ) (( ) ) k k k k k k k k k k k k k k k k K K G n K K b G n B K B K B K b n n B K G K B K B K B K b b n n B K B K G K B K b b                   ( ) 0 23 00 ( ) 2 00 10 00 0 0 0 0 0 0 k k n B K b n K K K b                                                      109 00 ( ) 00 1 ( ) 2 ( )00 ( ) 1 00 ( ) 2 ( ) 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 0( ) 0 0 0 0 0 0( ) 0( ) 0 0 0 0 0 0( ) 0( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k i k i k i k i k i k i K z K u zz u z K w zz z K z z zK z K z                                                       .                 (2.3) Здесь    ( ) ( ) 1 1( ) ..., ( ),... Tk k i iu z u z ;    ( ) ( ) 2 2( ) ..., ( ),... Tk k i iu z u z ;    ( ) ( )( ) ..., ( ),... Tk k i iw z w z ;    ( ) ( ) 1 1( ) ..., ( ),... Tk k i iz z  ;    ( ) ( ) 1 1( ) ..., ( ),... Tk k i iz z  ;    ( ) ( ) 2 2( ) ..., ( ),... Tk k i iz z  , где i – номер точки, в которой определяются искомые функции. Вектор искомых функций может быть представлен таким образом:             ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 ( ) ( )( ) 4 41 ( ) 2 ( ) (1) ,..., ( ) ,..., ( ) (1) ,..., ( ) ,..., ( ) (1) ,..., ( ) ,..., ( ) (1) ,..., ( ) ,..., k i k k k i i ik i k k k i i i k k k k i i i i k kk i i ii k i k i u j J u j J w j J j                                        ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 5 5 5 ( ) ( ) ( ) 6 6 6 ( ) (1) ,..., ( ) ,..., ( ) (1) ,..., ( ) ,..., ( ) k k k k k i i i k k k i i i C J j J j J                             , где               1 1 , , , kk k J T zk k k kz z j JС C e C e C e           ; ( )k j – корни характеристического уравнения разрешающей системы дифференциальных уравнений, которые могут быть комплексными; ( ) 1 ( )k i j , ( ) 2 ( )k i j , ( ) 3 ( )k i j , ( ) 4 ( )k i j , ( ) 5 ( )k i j , ( ) 6 ( )k i j – её собственные вектора; ( )k jC – постоянные интегрирования, определяемые из условий контакта сло- ев и условий на лицевых поверхностях в каждом узле сетки разбиения конструкции на конечные элементы; J  общее количество искомых функций в слое. Частоты сво- бодных колебаний определяются методом последовательного сгущением интервала поиска. В качестве начальных используются частоты, полученные по модели с поли- номиальной аппроксимацией искомых функций по толщине конструкции. §3. Результаты числовых исследований. Предлагаемые модели тестировались для случая шарнирного опирания по конту- ру путем сопоставлений результатов расчета, полученных по предлагаемым методи- кам и аналитической модели [26, 29]. Получено близкое совпадение результатов рас- чета. С целью сокращения объема статьи такой расчет не приводим. В качестве исследовательской задачи рассмотрим свободные колебания трех- слойной плиты с композитными слоями, со следующими физико-механическими ха- 110 рактеристиками:    1 1 1 2/ 25 /1E E  ;    1 1 2 3E E ;    1 1 12 3/ 0,5 /1G E  ;    1 1 23 3/ 0, 2 /1G E  ;    1 1 13 12G G ;      1 1 1 12 13 23 0, 25v v v   ;      1 2 3      . Второй слой повернут на 90°. Толщина второго слоя равна сумме одинаковых толщин внешних слоев. Плита квадратная в плане a b L  с соотношением / 5L h  . Опора на контуре при 0,Y Y b  шарнирно-подвижная, при 0,X X a  край свободный, такое опи- рание часто встречается в расчетных схемах мостовых конструкций. Расчеты прово- дились по предлагаемым полуаналитическим методикам с полиномиальной аппрок- симацией искомых функций по толщине плиты (В1) и с аналитическим их отыскани- ем (В2). По стороне в направлении оси Х плита разбивалась на 100 элементов. В табл. 1 приведены три низшие частоты колебания плиты со свободными внеш- ними поверхностями. Они возникают при 1n  в аппроксимации (1.6) ( / )ny b . Таблица 1  12 2 2 3( / )h E   Номер частоты Расчет по модели В1, с рассмотрением каждого слоя в рамках одного подслоя Расчет по модели В1, когда каждый слой раз- бивается на 64 подслоя Расчет по модели В2, 1 3,39394e-002 3,38903e-002 3,38885e-002 2 5,16716e-002 5,13323e-002 5,13305e-002 3 1,705426e-001 1,69176e-001 1,69176e-001 На рис 1. представлены их формы в таких колебаниях. (Рассматривать не только частоты, но и формы свободных колебаний очень важно. В частности, в работе [27] показано, что коэффициент динамики в вынужденных колебаниях существенно зави- сит не только от близости частот свободных и вынужденных колебаний, но и от сте- пени совпадения формы распределения перемещений при статическом приложении нагрузки с распределением перемещений на соответствующей частоте свободных колебаний.). На левых частях рисунка показаны перемещения при / 2Y b , на пра- вых частях рисунка перемещения при X a . Для удобства представления на рисун- ках максимальным считается перемещение равное 0,3h . На первой частоте плита совершает поперечные изгибные колебания, на второй – колебания кручения, на третьей изгибные колебания в плане плиты. Расчет, прове- денный по двум рассматриваемым методикам, свидетельствуют о близком их соот- ветствии. Для получения достоверных результатов по модели В1 достаточно расчета в рамках одного подслоя как для вычисления частот, так и для получения распределе- ния перемещений. Расчет по модели В1 с разбиением каждого слоя на 64 подслоя и по модели В2 выполнялся методом последовательного сгущения интервала поиска с использовани- ем в качестве начальных частот, полученных по модели В1, с рассмотрением каждого слоя в рамках одного подслоя. Рисунки для трех вариантов расчета не отличаются. При разбиении каждого слоя на 64 подслоя результаты расчета по модели В1 стре- мятся к результатам расчета, полученным по модели В2, практически не отличаются (абсолютно совпадают при округлении до четырех значащих цифр), что является кос- венным подтверждением их достоверности 111 а б в Рис. 1 В табл. 2 представлены результаты расчета такой же конструкции, но с запрещен- ными перемещениями на нижней поверхности (расчетная модель дорожной одежды на мостах и скальных породах). Таблица 2  12 2 2 3( / )h E   Номер частоты Расчет по модели В1, с рассмотрением каждого слоя в рамках одного подслоя Расчет по модели В1, когда каждый слой раз- бивается на 64 подслоя Расчет по модели В2, 1 8,24258e-001 8,04085e-001 8,03912e-001 2 1,38257e+000 1,35819e+000 1,35801e+000 3 2,32489e+000 2,29406e+000 2,29387e+000 На рис. 2 представлены формы таких колебаний. Колебания на первой низшей частоте происходят при 1n  , на второй частоте при 2n  , на третьей – при 3n  . На первой и третьей частотах конструкция раска- чивается в плане в направлении оси X с присутствием небольшого изгиба. На второй частоте плита совершает чисто планарные колебания в направлении оси Y . Если по- грешность вычисления по модели В1 с рассмотрением каждого слоя в рамках одного подслоя в предыдущем случае не превышала одного процента, то в данном случае она несколько выше, но вполне приемлема. Расчет по модели В1 при разбиении каждого слоя на 64 подслоя и по модели В2 практически совпадает и подтверждает достовер- ность полученных результатов. 112 а б в Рис.2 В табл. 3 представлены три низших частоты свободных колебаний выше рассмат- риваемой плиты на упругом основании, которое моделируется слоем конечной мощ- ности со следующими физико-механическими характеристиками:    4 1 3 / 6,07E E ;  4 0, 25v   4  . Толщина основания равна толщине плиты. Нижняя поверхность основания жестко закреплена. Таблица 3  12 2 2 3( / )h E   Номер частоты Расчет по модели В1, когда каждый слой рас- сматривается в рамках одного подслоя Расчет по модели В1, когда каждый слой раз- бивается на 64 подслоя Расчет по модели В2, 1 1,67454e-001 1,60512e-001 1,60498e-001 2 1,72637e-001 1,61355e-001 1,61345e-001 3 2,08077e-001 1,89205e-001 1,89189e-001 На рис. 3 представлены формы таких колебаний (они возникают при 1n  ). Особенностью такого вида конструкции является то, что две первые частоты от- личаются незначительно. При колебании такой плиты без основания (первый пример) плита на первой нижней частоте совершает изгибные колебания, а на второй – кру- тильные. В данном случае на первое место выходят крутильные колебания, изгибные колебания на втором месте. На третьей частоте происходят крутильные колебания, но с противоположным раскачиванием плиты в плане в сравнении с колебаниями на пер- 113 вой частоте. Погрешность модели В1 при рассмотрении каждого слоя и основания в рамках одного подслоя выше, чем в предыдущих случаях, но ее можно считать при- емлемой в инженерных расчетах. Уточненный расчет по моделям В1 и В2 практиче- ски совпадает, что является подтверждением их достоверности. а б в Рис.3 Для обоснования необходимости учета инерционных свойств основания в дина- мических задачах произведем расчет по модели В1 с рассмотрением каждого слоя в рамках одного подслоя, если  4 0  . Квадрат первой частоты свободных колебаний  12 2 2 3( / )h E   составил 2,07700e-001(Гц) 2 . На ней плита совершает крутильные колебания. Квадрат второй частоты свободных колебаний составил 2,26554e-001(Гц) 2 . На этой частоте плита совершает изгибные колебания. На третьей частоте ( 2 =2,88945e-001(Гц) 2 ) плита совершает крутильные колебания. Пренебрежение учетом инерционных свойств материала основания может существенно завышать квадраты низших собственных частот. (Сравнивать со второй колонкой табл. 3). 114 Заключение. В данной статье разработано два варианта полуаналитического метода конечных элементов для исследования свободных колебаний слоистых композитных плит. Нижняя поверхность плиты может быть свободной, жестко закрепленной, опираться на слой конечной мощности. Оба подхода имеют свои преимущества и недостатки. Они весьма точны. Недостатки (в варианте с полиномиальной аппроксимацией по толщине – значительное количество жёсткостных характеристик и высокий порядок разрешающих уравнений; в варианте с аналитическим определением искомых функ- ций по толщине плиты – необходимость отыскания корней характеристической си- стемы уравнений и её собственных векторов) в свете современных возможностей вы- числительной техники в рассматриваемом классе задач незначительны. В модели с полиномиальной аппроксимацией искомых функций по толщине конструкции при разбиении каждого слоя на 64 подслоя и в модели с аналитическим отысканием иско- мых функций по толщине частоты свободных колебаний находят методом последова- тельного сгущения интервала поиска, с определением начальных частот, полученных по модели с полиномиальной аппроксимацией искомых функций по толщине кон- струкции при рассмотрении каждого слоя в рамках одного слоя. Эти подходы допол- няют друг друга, обосновывая достоверность получаемых результатов. Проведенные исследования показывают, что для достижения приемлемой точности при расчете по первому варианту полуаналитического метода конечных элементов достаточно каждый слой рассматривать в рамках одного подслоя, значения частот и распределения пере- мещений в таких колебаниях являются приемлемыми. Попытка расчета плиты на осно- вании без учета его инерционных свойств привела к неприемлемым результатам. РЕЗЮМЕ. В рамках просторової теорії пружності побудовано два варіанти напіваналітичного методу скінченних елементів стосовно дослідження частот вільних коливань і форм розподілу пере- міщень в них. Розрахунок двома методами служить доказом достовірності аналізу. Проаналізовано частоти вільних коливань і відповідних форм розподілу переміщень шаруватої композитної плити, коли дві протилежні кромки вільні, а дві інші шарнірно закріплені. Розглянуто плиту з вільною ниж- ньою поверхнею, яка жорстко закріплена нижньою поверхнею і що спирається на пружну основу у вигляді шару скінченної потужності з урахуванням його інерційних властивостей. Продемонстровано високу точність пропонованих моделей в даних задачах. Вказано на неприпустимість нехтування інерційними властивостями основ. 1. Баженов В.А., Гуляр О.І., Сахаров О.С., Солодей І.І. Напіваналітичний метод скінченних елементів в задачах динаміки просторових тіл. – Київ: КНУБА, 2012. – 248 с. 2. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания эле- ментов оболочечных конструкций. – Київ: Наук. думка, 1986. – 172 с. 3. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач механики оболочек на основе различных моделей. – Киев: Академпериодика, 2006. –472 с. 4. Папков С.О., Мелешко В.В. Изгибные колебания прямоугольной пластинки со свободными краями // Теорет. и прикл. механика. – 2009. – 46. – С. 104 – 111. 5. Aghababaei R., Reddy J. Nonlocal third-order shear deformation plate theory with application to bending and vibrations of plates // J. Sound and Vibr. – 2009. – 326, N1. – С. 227 – 286. 6. Akgoz B., Civalek O. Nonlinear vibration analysis of laminated plates resting on nonlinear two – parame- ters elastic foundations // Steel and Composite Structures. – 2011. – 11, N 5. – P. 403 – 421. 7. Altukhov A.V, Fomenko M.V. Elastic Vibrations of Sandwich Plates with Diaphragms at the Edges // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N2. – P. 179 –186. 8. Azarafza R. Fabrication, experimental modal testing, and a numerical analysis of composite sandwich structures with a grid-stiffened core // Mechanics of Composite Materials. – 2018. – 54, N 4. – P. 537 – 544. 9. Barta R.C., Qian L.F., Chen L.M. Natural frequencies of thick square plates made of orthotropic, trigonal, monoclinic, hexagonal and triclinic materials // J. Sound and Vibr. – 2004. – 270, N 4 – 5. – P. 1074 – 1086. 115 10. Bessaim A., et al. A new third-order shear and normal deformation theory for the static and free vibration analisis of sandwich plates with functionally graded isotopic face sheets // J. Sandwich Struct. Mater. – 2013. – 15, N 6 – P. 671 – 703. 11. Bespalova E.I. Determining the Natural Frequencies an Elastic Parallelepiped by the Advanced Kanto- rovich – Vlasov Method // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 4. – P. 410 – 421. 12. Bespalova E.I, Urusova G.P. Three-Dimensional Analysis of the Lower Frequencies of a Cantilevered Anisotropic Parallelepiped // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 4. – P. 367 – 377. 13. Birman V., Byrd L.W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Appl. Mech. Rev. – 2007. – 60, N 5. – P. 195 – 216. 14. Carrera E., Brischetto S. A survey with numerical assessment of classical and refined theories for the analysis of sandwich plates // Appl. Мech. Rev. – 2009. – 62, N 1. – P. 1 – 17. 15. Gorman D.J., Singhal R. Free vibration analysis of cantilever plates with step discontinuities in proper- ties by the method of superposition // J. Sound and Vibr. – 2002. – 253, N 3. – P. 631 – 652. 16. GrigorenkoYa.M., Bergulev A.S., Yaremchenko S.N. Numerical Solution of Bending Problems for Rec- tangular Plates // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 81 – 94. 17. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya. Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 123 – 193. 18. Gupta A.P. Vibration of rectangular orthotropic elliptic plates on quadratically varying thickness on elastic foundation // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. – 2004. – 126, N 1. – P. 132 – 140. 19. Güler K. Circular Elastic Plate Resting on Tensionless Pasternak Foundation // J. Eng. Mech., ASCE. – 2004. – 130, N 10. – P. 1251 – 1254. 20. Guz’ A.N., Shul’ga N.A. Dynamics of laminated and fibrous composites // Appl. Mech. Rev. – 1992. – 45, N 2. – P. 35 – 60. 21. Houmat A. Three-dimensional free vibration analysis of plates using the h-p version of the finite element method // J. Sound and Vibr. – 2006. – 290, N 3 –5. – P. 690 – 704. 22. Karnaukhova T.V., Pyatetskaya E.V. Resonant Vibrations of a Clamped Viscoelastic Rectangular Plate // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 8. – P. 904 – 917. 23. Levchenko V.V. Effect of Boundary Conditions on the Natural Frequencies and Vibration Modes of Pie- zoelectric Plates with Radially Cut Electrodes // Int. Appl. Mech. – 2015. –51, N 2. – P.187-195. 24. Liew K.M., Hung K.C., Lim K.M. A continuum three-dimensional vibration analysis of thick rectangular plates // Int. J. Solids and Struct. – 1993. – 30. – P. 3357 – 3379. 25. Liu L., Bhattacharya K. Wave propagation in a sandwich structure // Int. J. Solids and Struct. – 2009. – 46, N 17. – P. 3290 – 3300. 26. Marchuk A.V. Determination of the Natural Frequencies of Vibration of Nonuniform Slabs // Int. Appl. Mech. – 1999. – 35, N2. – P. 152 – 158. 27. Marchuk A.V., Gnedash S.V., Shandyba D.O. Free and forced vibrations of thick walled laminated aniso- tropic cylindrical shells with account for energy dissipation at frequencies close to resonance ones // Composites: Mechanics, Computations, Applications. – 2017. – 8, N 3. – P. 239 – 65 28. Marchuk A.V., Nishchota A.V. On the Strain-Stress State of Locally Loaded Layered Composite Slabs // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 3. – P.315 – 330. 29. Marchuk A.V., Piskunov V.G. Statics, vibrations and stability of composite panels with gently curved orthotropic layers. 1. Statics and vibrations // Mechanics of Composite Materials. – 1999. – 35, N 4. – P. 285 – 292. 30. McGee O.G., Giaimo G.T. Three-dimensional vibrations of cantilevered right triangular plates // J. Sound and Vibr. – 1992. – 159, N 2. – P. 279 – 293. 31. Nagino 1.H., Mikami T., Mizusawa T. Three-dimensional free vibration analysis of isotropic rectangular plates using the B-spline Ritz method // J. Sound and Vibr. – 2008. – 317, N 1 – 2. – P. 329 – 353. 32. Qu Y., Meng G. Three-dimensional elasticity solution for vibration analysis of functionally graded hollow and solid bodies of revolution. Part I: Theory // Europ. J. Mech. A / Solids. – 2014. – 44. – P. 222 – 233. 33. Qatu M.S. Vibration of Laminated Shells and Plates. – Amsterdam: Elsevier Academic Press, 2004. – 430 p. 34. Rao M., Desai Y Analytical solution for vibrations of laminated and sandwich plates using mixed theory // Composite Struct. – 2004. – 63, N 3. – P.373 – 330. 35. Shul’ga N.A. Mixed Systems of Equations in Kirchhoff’s Theory of the Transverse Vibrations of Plates // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 194 – 202. 116 36. Skosarenko Yu.V. Free Vibrations of Ribbed Cylindrical Shell Interacting with an Elastic Foundation // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 575 – 581. 37. Shimpi R.P., Patel H.G. Free vibrations of plate using two variable refined plate theory // J. Sound and Vibr. – 2006. – 296. – P. 979 – 999. 38. Soedel W. Vibrations of Shells and Plates. – New York: Marcel Dekker, Inc., 2004. – 532 p. 39. Stephen N.G. The second spectrum of Timoshenko beam theory – Further assessment // J. Sound and Vibr. – 2006. – 292, N 1 – 2. – P. 372 – 389. 40. Stephen, N.G., Puchegger S. On the valid frequency range of Timoshenko beam theory // J. Sound and Vibr. – 2006. – 297, N 3 – 5. – P. 1082 – 1087. 41. Tornabene F., Fantuzzi N., Viola E., Reddy J.N. Winkler-Pasternak Foundation Effect on the Static and Dynamic Analyses of Laminated Doubly-Curved and Degenerate Shells and Panels // Composites. Part B. Engineering. – 2014. – 57, N 1. – P. 269 – 296. 42. Tu T.M, Quoc N.H. Finite element modeling for bending and vibration analysis of laminated and sand- wich composite plates based on higher-order theory // Computational Material Sci. – 2010. – 49, N 4. – P. 390 – 394. 43. Woodcock Roland L., Bhat Rama B., Stiharu Ion G. Effect of ply orientation on the in-plane vibration of single-layer composite plates // J. Sound and Vibr. – 2008. – 312, N 1 – 2. – P. 94 – 108. Поступила 12.02.2019 Утверждена в печать 03.03.2020 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e0074007200750020007400690070010300720069007200650061002000700072006500700072006500730073002000640065002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f006100720103002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d002000e400720020006c00e4006d0070006c0069006700610020006600f60072002000700072006500700072006500730073002d007500740073006b00720069006600740020006d006500640020006800f600670020006b00760061006c0069007400650074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Трехмерный анализ свободных колебаний слоистых композитных плит на основе полуаналитического метода конечных элементов

Репозитарії

Схожі ресурси