Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла

Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла

В настоящей работе приводится двумерный вариант теории гибких конечнопроводящих ортотропных оболочек в микросекундном диапазоне при действии нестационарных магнитных полей. Уравнения движения оболочки при наличии пондеромоторных сил получены с помощью принципа виртуальных перемещений при использован...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2020
Автори: Мольченко, Л.В., Дармосюк, В.Н.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Назва видання:Прикладная механика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188269
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, В.Н. Дармосюк // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 117-132. — 21 XX назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-188269
record_format dspace
spelling irk-123456789-1882692023-02-19T01:27:34Z Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла Мольченко, Л.В. Мольченко, Л.В. Дармосюк, В.Н. В настоящей работе приводится двумерный вариант теории гибких конечнопроводящих ортотропных оболочек в микросекундном диапазоне при действии нестационарных магнитных полей. Уравнения движения оболочки при наличии пондеромоторных сил получены с помощью принципа виртуальных перемещений при использовании гипотез Кирхгофа – Лява. Приближенные уравнения электродинамики и соответствующие им граничные условия получены путем введения некоторых гипотез о характере распределения электромагнитного поля по толщине гибкой оболочки, близких по содержанию к гипотезам магнитоупругости тонких тел Розглянуто побудову рівнянь термомагнітопружності для гнучких ортотропних оболонок обертання з урахуванням ортотропної електропровідності і джоулевого тепла. Проведено аналіз термомагнітопружності зрізаної ортотропної конічної оболонки в осесиметричній постановці з урахуванням ортотропії електропровідності і джоулевого нагріву в порівнянні з гнучкою оболонкою з ізотропного матеріалу. Theory and method for solving the geometrically nonlinear problems of the thermomagnetic elasticity of the orthotropic shells of revolution with orthotropic electrical conductivity and Joule heat in the microsecond range are proposed. A resolving system of the flexible orthotropic conical shell with the orthotropic electrical conductivity and Joule heating is given. An example of the solution for a flexible truncated orthotropic conical shell with the orthotropic electrical conductivity and Joule heat is considered. The results of the solutions of flexible orthotropic and flexible isotropic shells are compared with the Joule temperature. 2020 Article Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, В.Н. Дармосюк // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 117-132. — 21 XX назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188269 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В настоящей работе приводится двумерный вариант теории гибких конечнопроводящих ортотропных оболочек в микросекундном диапазоне при действии нестационарных магнитных полей. Уравнения движения оболочки при наличии пондеромоторных сил получены с помощью принципа виртуальных перемещений при использовании гипотез Кирхгофа – Лява. Приближенные уравнения электродинамики и соответствующие им граничные условия получены путем введения некоторых гипотез о характере распределения электромагнитного поля по толщине гибкой оболочки, близких по содержанию к гипотезам магнитоупругости тонких тел
format Article
author Мольченко, Л.В.
Мольченко, Л.В.
Дармосюк, В.Н.
spellingShingle Мольченко, Л.В.
Мольченко, Л.В.
Дармосюк, В.Н.
Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла
Прикладная механика
author_facet Мольченко, Л.В.
Мольченко, Л.В.
Дармосюк, В.Н.
author_sort Мольченко, Л.В.
title Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла
title_short Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла
title_full Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла
title_fullStr Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла
title_full_unstemmed Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла
title_sort термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2020
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188269
citation_txt Термомагнитоупругое деформирование гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого тепла / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, В.Н. Дармосюк // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 117-132. — 21 XX назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT molʹčenkolv termomagnitouprugoedeformirovaniegibkihortotropnyhoboločekvraŝeniâperemennojžestkostisučetomdžoulevogotepla
AT molʹčenkolv termomagnitouprugoedeformirovaniegibkihortotropnyhoboločekvraŝeniâperemennojžestkostisučetomdžoulevogotepla
AT darmosûkvn termomagnitouprugoedeformirovaniegibkihortotropnyhoboločekvraŝeniâperemennojžestkostisučetomdžoulevogotepla
first_indexed 2025-07-16T10:15:37Z
last_indexed 2025-07-16T10:15:37Z
_version_ 1837798196989919232
fulltext 2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 4 117 Л . В . М о л ь ч е н к о 1 , И . И . Л о о с 2 , В . Н . Д а р м о с ю к ТЕРМОМАГНИТОУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ГИБКИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ С УЧЕТОМ ДЖОУЛЕВОГО ТЕПЛА Николаевский национальный университет им. В.А. Сухомлинского, ул. Никольская, 24, 54030, Николаев, Украина; e-mail: 1 l.molchenko@gmail.com, 2 Loiri@ ukr.net Abstract. Theory and method for solving the geometrically nonlinear problems of the thermomagnetic elasticity of the orthotropic shells of revolution with orthotropic electrical conductivity and Joule heat in the microsecond range are proposed. A resolving system of the flexible orthotropic conical shell with the orthotropic electrical conductivity and Joule heating is given. An example of the solution for a flexible truncated orthotropic conical shell with the orthotropic electrical conductivity and Joule heat is considered. The results of the solutions of flexible orthotropic and flexible isotropic shells are compared with the Joule temperature. Key words: magnetic field, Joule heat, Lorentz force, orthotropic conical shell, variable stiffness, orthotropic electrical conductivity. Введение. В теоретических и прикладных исследованиях значительное развитие получило направление, связанное с изучением нестационарных термомеханических процессов деформирования при воздействии на электропроводящие тела магнитных полей [8, 9, 17, 20]. Физические основы этих эффектов подробно обсуждены в ряде курсов по классической электродинамике и физике [12, 13, 16]. Действие магнитного поля на проводящие тела приводит к появлению нестацио- нарного электрического поля и индукционных токов, которые, взаимодействуя с маг- нитным полем, вызывают объемные электромагнитные (пондеромоторные) силы и появление источников джоулевого тепла. Электромагнитные силы и источники тепла, в свою очередь, вызывают волны напряжений и деформаций и изменяют термодина- мическое состояние тела, и, следовательно, изменяют электромагнитное поле и элек- трофизические свойства тела. Таким образом, механические, температурные и элек- тромагнитные поля оказываются взаимосвязанными и должны определяться из сов- местного решения динамических уравнений термомеханики и электродинамики Максвелла [1, 6]. В конкретных ситуациях рассмотренная задача может допускать различные упрощения. В частности, имея априорную информацию о характере распределения и измене- ния во времени магнитного поля на поверхностях оболочки (полученных, например, экспериментально), можно ограничиться рассмотрением только внутренней задачи. Однако даже в этом, наиболее простом случае, остается проблема – построение при- ближенных уравнений электродинамики и выражений для внутренних электромаг- нитных сил, согласованных с принятыми оболочечными гипотезами о распределении перемещений и деформаций по толщине оболочки. В настоящей работе приводится двумерный вариант теории гибких конечнопро- водящих ортотропных оболочек в микросекундном диапазоне при действии нестаци- онарных магнитных полей. Уравнения движения оболочки при наличии пондеромо- торных сил получены с помощью принципа виртуальных перемещений при использо- 118 вании гипотез Кирхгофа – Лява. Приближенные уравнения электродинамики и соот- ветствующие им граничные условия получены путем введения некоторых гипотез о характере распределения электромагнитного поля по толщине гибкой оболочки, близких по содержанию к гипотезам магнитоупругости тонких тел [1, 4, 6, 7]. К решению таких столь сложных задач в настоящее время можно подойти лишь численно, именно с этих позиций и дается формулировка основных разрешающих уравнений механики и электродинамики ортотропных оболочек вращения перемен- ной жесткости с учетом ортотропной электропроводности и джоулевого тепла. Изло- жение проведено в ортогональных криволинейных координатах с использованием теории конечных деформаций и лагранжевых переменных, как в уравнениях механи- ки, так и в электродинамической группе уравнений. 1. Двумерные уравнения магнитоупругости гибких ортотропных оболочек вращения в нестационарном магнитном поле. Рассмотрим гибкую ортотропную оболочку, находящуюся под действием неста- ционарных поверхностных и контурных силовых и нестационарных электромагнит- ных нагрузок. Предполагаем, что материал оболочки подчиняется обобщенному зако- ну Гука. Геометрические и механические характеристики оболочки, способы ее за- крепления такие, что для описания процесса деформирования можно применять вари- ант геометрически-нелинейной теории тонких оболочек в квадратичном приближе- нии. Срединную поверхность оболочки в недеформированном состоянии отнесем к криволинейной ортогональной системе координат ( , ),s  где s длина меридиана;   центральный угол в параллельном круге (рис. 1). Рис. 1 Координатные линии consts  и const  являются линиями главных кривизн срединной поверхности. Отсчитывая координату  по нормали к координатной по- верхности вращения, отнесем оболочку к ортогональной криволинейной простран- ственной системе координат ( , , ).s   Запишем первую квадратичную форму срединной поверхности оболочки враще- ния в каноническом виде: 2 2 2 2 ,dS ds r d  откуда видно, что коэффициенты первой квадратичной формы поверхности вращения в случае канонических координат будут 1, .A B r  Геометрические соотношения Кодацци – Гаусса принимают вид cos , dr ds  где  – угол между осью вращения и нормалью к оболочке, а также имеет место со- отношение sinR r   ( R – главный радиус кривизны). 119 В современных технологиях все чаще используются конструкционные материалы, которые в недеформированном состоянии являются анизотропными. Отметим, что предлагаемая теория нелинейной магнитоупругости оболочек разработана для пара – и диамагнитных веществ. К таким веществам, в частности, относятся бериллий, бо- роалюминий, вольфрам, кадмий, цинк и многие другие. Наряду с анизотропией мате- риала, они обладают анизотропией электропроводности и температуры. Все эти мате- риалы имеют монокристаллическое строение. Монокристаллы – это однородные ани- зотропные вещества, во всем объеме которых атомы расположены регулярно, так что все вещество состоит из одинаковых периодически повторяющихся кристаллических ячеек. Кристаллы в общем случае анизотропные в отношении электропроводности. Процесс переноса электричества в анизотропном кристаллическом теле подчиняется обобщенному закона Ома. Они характеризуются симметричными тензорами второго ранга электрической проводимости ij , магнитной проницаемости ij и диэлектри- ческой проницаемости ij . Таким образом, как и любые симметричные тензоры второго ранга, тензора ,ij ij  и ij путем надлежащего выбора осей координат могут быть приведены к диа- гональному виду. В общем случае тензора ,ij ij  и ij определяются тремя незави- симыми величинами – тремя главными значениями. В зависимости от той или иной симметрии кристалла число различных главных значений рассматриваемых тензоров может оказаться и меньшим трех. Отметим также, что диэлектрические и магнитные свойства твердого тела меня- ются не только при изменении его плотности, но и при деформациях, не изменяющих плотности (сдвигах). Деформация нарушает, вообще говоря, изотропию тела, в ре- зультате становятся анизотропными также и его диэлектрические и магнитные свой- ства, а скалярная диэлектрическая и магнитная проницаемости  и  заменяются диэлектрическими и магнитными тензорами ij и ij . Таким образом, материальные соотношения электродинамики, обобщенный закон Ома и выражения пондеромоторных сил запишем, соответственно, в виде ; ; ( ); ( ) . ij ij ij ij ст B H D E J E V B F E V B B J B                                (1) Здесь: J  – плотность электрического тока; стJ  – плотность стороннего электрического тока; E  – напряженность электрического поля; H  – напряженность магнитного поля; B  – магнитная индукция; D  – электрическая индукция; F   – сила Лоренца; V  – ско- рость деформирования. При построении двумерного варианта уравнений магнитоупругости упругих ор- тотропных оболочек вращения воспользуемся принципом виртуальных перемещений с применением гипотез Кирхгофа – Лява и электромагнитных гипотез [4, 6, 20].    1 1 2 2, , ; , , ;E E s t E E s t      1 1 2 2 3, , ; , , ; 0;J J s t J J s t J       1 1 1 1 1 1 ; 2 H H H H H h           2 2 2 2 2 1 ; 2 H H H H H h         3 3 , , .H H s t Здесь: 1 2,E E – компоненты напряженности электрического поля; 1 2 3, ,J J J – компо- ненты плотности электрического тока; 1 2 3, ,H H H – компоненты напряженности маг- 120 нитного поля; 1 2,H H  – известные компоненты напряженности магнитного поля на поверхностях оболочки; ( , )h h s  – толщина оболочки. Отметим, что при выводе двумерных соотношений будем пренебрегать изменени- ем плотности. Это упрощение не противоречит тому, что, допуская конечные дефор- мации, они в металлических оболочках могут реализоваться только при развитом пла- стическом течении. Из общих уравнений магнитоупругости гибких ортотропных оболочек вращения [4, 6, 19] и составляющих силы Лоренца (1) получим исходные соотношения гибких ортотропных оболочек вращения, находящихся в магнитном поле: уравнения магнитоупругости     2 2 1 cos ;s s s s s s S H r u rN N Q r P F r h s R R t                          2 2 2 1 cos sin sin ; s N v r S H H Q r P F r h r s s R t                             2 2 sin ;s s s Q r w rQ N N r P F r h s R t                     sin cos 0;s s s s H rM M rQ r N M r S s r                      21 1 0;s s s M r H rQ r N M r S r s R                     1 1 s r EB E t r s r               ; (2)  1 1 0,5 ;s H H Hv w E B B B t t r h                          2 0,5 ;s s s s H H Hu w E B B B t t s h                      выражения деформаций через перемещения 21 ; 2ss s s u w s R       21 cos sin 1 ; 2 v u w r r r            1 ;s s u v r r s r               1 cos ; ;s ss ss r r                (3) 1 cos 1 1 cos sin ,s s s u v v s r r R r r r s                            где ;s s w u s R       1 sinw v r r        – углы поворота нормали; соотношения упругости 121    1 ; 1 ; 1 1 s s ss s T s ss T s s e h e h N N e e                                        3 ; ; 2 1 12 1 s s s s e h e h S H                     3 3 1 ; 12 1 1 ; 12 1 s s ss s T s s ss T s e h M e h M                                   (4) ; ; .s s s s se e            Также     /2 /2 3 /2 /2 1 12 , , , ; , , , , h h T T h h T s t d T s t d h h                 где: ,T T  – интегральные характеристики температурного поля; sR – главный радиус кривизны;  – коэффициент линейного температурного расширения;  , , ,T s t  – джоулева температура оболочки. Составляющие силы Лоренца F   имеют вид  ст 1 1 0,5s s s w F h J B hE B h B B B t                   2 22 1 0,25 12 u u B B B B B t t                            1 0,25 ; 12s s s s v B B B B B B B B t                         стs Bh F hJ B B r                     2 1 0,25 12s s s s u h B B B B B B B B t                             2 21 0,25 12 B Bv B B B B B t                        ; (5)      ст ст0,5 2s s s Bh F h J B B J B B B B r                                2 2 20,5 0,5 0,25s s s s s s u w hE B B h B B B B B t t                           2 2 2 21 1 . 12 12 s s B B B B B B                 122 К полученным уравнениям необходимо присоединить начальные и граничные условия. Здесь: ,sN N – нормальные тангенциальные усилия; S – сдвигающее уси- лие; ,sM M  – изгибающие моменты; H – крутящий момент; ,sQ Q – поперечные усилия; , ,u v w – компоненты вектора перемещений; , , , , ,ss s ss s         – ком- поненты тензора деформаций; , ,sP P P  – составляющие механической силы; ,se e – модули Юнга; ,s   – коэффициенты Пуассона; 1 2,  – ортотропные компоненты тензора электропроводности;  – коэффициент магнитной проницаемости. 2. Уравнение теплопроводности для анизотропных тел. В общем случае закон Фурье можно записать в тензорном виде [10, 11]:  , , , ,i ij jq T i j s      . (6) Здесь iq – плотность теплового потока; ij – тензор теплопроводности. Тензор теплопроводности ij в ортогональной криволинейной системе координат имеет следующий вид: ss s s ij s s                            . Выбором системы координат тензор теплопроводности можно привести к диаго- нальному виду: 0 0 0 0 0 0 ss ij                . Уравнение теплопроводности в этом случае принимает следующий вид: ss T T T T С q t s s                                         или 2 2 2 2 2 2 qT T T T t C Cs                             . Здесь: q – плотность теплового потока; C – удельная теплоемкость. С учетом обозначений: / , / , /ss ss ss ssa C K K            уравнение теп- лопроводности принимает стандартный вид: 2 1ss qT a T t C        , (7) где 2 2 2 2 1 2 2 2 T T T K K s              . Таким образом, для анизотропной оболочки уравнение теплопроводности также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид оператора Лапласа, в нем появляются коэффициенты анизотропии , ,K K  корректирующие теплопроводность по направлениям. 123 3. Термодинамические соотношения для определения температуры прово- дящих оболочек. Сформулируем уравнения термодинамики гибких проводящих оболочек с учетом джоулевой температуры при действии магнитного поля в микросекундном диапазоне (переходный процесс) [3, 7, 15, 19]. Плотность магнитной энергии на единицу объема запишем в виде функции  0,5W BH   , а количество тепла, выделяемого током J  в единицу времени (мощность джоулева тепла на единицу массы) определяется формулой .дж JE Q     Запишем магнитное давление P в виде суммы двух составляющих ( , ) ( ) ( , ),TP T P P T    где ( )P  – составляющая давления, зависящая только от плотности  , ( , )TP T – тепловая составляющая, зависящая от температуры и плотности. Также представим приращение внутренней энергии в виде энергии без учета температуры и тепловой составляющих, т.е. TdU dU dU    , где 3ik ikdU d P de     ; 3 de div( grad ) .T T дж TdU P dQ T dt     (8) Здесь T – коэффициент теплопроводности. Примем далее, что приращение тепловой энергии пропорционально приращению температуры, т.е. ( ) ;TdU C T dT 0 ( ) T TU C T dT  , где C – удельная теплоемкость при постоянной деформации. Тогда уравнение (8) можем использовать для вычисления температуры  div grad .дж T T C Q T t       (9) Учитывая, что удельная теплоемкость металлов для температур выше 0T вплоть до точки плавления изменяется незначительно (не более чем на 5 – 10 % от среднего значения), тепловую энергию можно представить в виде    0 0 0 ; T ср T TU C T dT C T T U     0 0 0 ( ) T TU C T dT  , где срC – среднее значение теплоемкости на интервале 0[ , ]T T . Следуя [7], уравнение (9) преобразуется в известное уравнение теплопроводности с источником джоулева тепла 1 ; ; const,T дж T T Tср ср T Q T t C C               (10) где T – коэффициент тепловой диффузии. 124 Используя выражение для расчета джоулева тепла, оценим величину температу- ры, возникающую в результате джоулева нагрева в зависимости от величины магнит- ной индукции B  . Используя (8) и уравнение Максвелла rot ,ijH E   из соображений теории размерности и на основании (10) имеем 0 2 T cp D T T W T C         ; 2 0,5 B W    , (11) где 1/D ij   – коэффициент магнитной диффузии. В качестве характерного времени принято время диффузии магнитного поля на расстояние L , т.е. / Dt L   . Так как / 1T D   для металлов (например, для алюминия при 0 20T C  6/ 4,3 10 ,T D    для нержавеющей стали – 5/ 0,8 10 ),T D    то из символического уравнения (11) следует, что процессом теплопроводности в переходном режиме можно пренебречь. Таким образом, учитывая оценку членов уравнения (10) и в соответствии с фор- мулой (7), окончательно определяем величину температуры, возникающую в резуль- тате джоулева нагрева в виде 0 1 джср ij T T Q t C      . (12) Как известно, при действии на оболочку магнитного поля в ней возникают объем- ные силы Лоренца ^ .F J B      Исходя из уравнений для магнитной энергии оболочки и используя тождество  0,5A rotA A A AA           , выражение для пондеромоторных сил запишется в виде ,k k W F J B rotH B B H G                   где k k W G     – член силы Лоренца отвечающий джоулеву нагреву оболочки; kG  – базо- вый вектор;  – оператор в лагранжевой метрике; k – лагранжевы переменные ( 1, 2, 3).k  Таким образом, влияние джоулева тепла учитывается как в уравнениях магнито- упругости, так и в формуле силы Лоренца. Исходя из уравнения (12) имеем   2 2 ср дж П F П С h h Q dt C dT T T dt    , (13) где ПТ – температура на поверхности оболочки; СТ – температура срединной поверх- ности оболочки; F – коэффициент теплоотдачи. Выражение температуры, при изменении вдоль  , принимает вид 22 1 4 . 8 дж П T Q h T T h              Исходя из симметрии задачи для оболочек вращения, на срединной поверхнос- ти тепловой поток 0q  при 0  , а на поверхности – / 2джq Q h и .ПТ Т . С учетом (13), выражение для определения температуры принимает вид 125 22 4 1 4 . 8 2 ср дж T С П T F F Q h hC T T Т h h                    (14) Компоненты электрического тока с учетом стороннего тока имеют вид     1 2 0,5 ; 0,5 ; 0. s стs s ст s s w v J J E B B B t t w u J J E B B B J t t                                    4. Разрешающая система уравнений осесимметричных ортотропных оболо- чек вращения переменной жесткости с учетом ортотропной электропроводности и джоулевого тепла в геометрически нелинейной постановке. Принимая, что все компоненты возбужденного электромагнитного поля и поля пе- ремещений не зависят от координаты  , положим [4, 6]: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0.sv S H E B P F              При построении разрешающей системы уравнений термомагнитоупругости усе- ченной гибкой ортотропной конической оболочки выбираем в качестве искомых функций следующие: , , , , , , ,s s s su w N Q M B E  . В этом случае, разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений термомагнитоупругости гибкой ортотропной конической оболочки с учетом джоуле- вой температуры принимает вид [4]:  21 cos sin 1 1 2 s s s s T s u N u w s e h r r                    ; s w s     ,   3 12 1 cosss s s s M s e h r           ;  cos cos sin 1s s s CT N N e h u w P hJ B s r r r                       2 2 1 2 cos 0,5 s s s T e hw u u h E B B B B B h t t r t                      ; sincos sin cos sins s s Q Q N e h u w P s r r r r r                         2 20,5 [ 0,5 0,25CT s s s s s s w hJ B B h E B B B B t                   21 0,5 12 s s s s w u B B B B B t t                2 2 sin ] 12 s s s s T e hh w B B B h t r t             ; (15) 126   3 cos cos 1 12 s s s s s s M e h M Q N s r r                    3 sin cos 12s s s e h M r r               ;     2 0,5 s s s s B BB w u E B B B s t t h                      ; cosBE E s t r         . Здесь       22 22 2 2 2 2 2 2 2 4 1 0,25 8 4 1 2 0,5 ; 8 2 0. T T С ст s s s s T F ср T ст s s П T F F T h w w T J E B B E B B h t t hCh w u J E B B B T h t t                                                                                    Разрешающая система уравнений (15) является нелинейной смешанной гипербо- ло-параболической системой дифференциальных уравнений восьмого порядка с пе- ременными коэффициентами. Для определения произволов, которые появляются в общем решении системы уравнений (15) после интегрирования, необходимо присоединить граничные условия на контурах оболочки. Краевые условия для функций, характеризующие механиче- скую часть задачи, ставятся так же, как и в теории оболочек. Краевые условия для электромагнитных параметров могут задаваться через компоненты электрического поля или через комбинацию компонент магнитного и электрического полей. Началь- ные условия задаются в классическом виде. 5. Методика решения задач термомагнитоупругости гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевой температуры в осесимметричной постановке. Решение краевых задач магнитоупругости ортотропных оболочек вращения с учетом джоулевого тепла в нелинейной постановке связано с большими вычисли- тельными сложностями. Это объясняется тем, что система (15), описывающая напря- женно-деформируемое состояние (НДС) оболочки, является связанной, т.е. состоит из уравнений движения и электродинамики. Кроме того, она является нелинейной сме- шанной гиперболо-параболической системой дифференциальных уравнений в част- ных производных восьмого порядка с переменными коэффициентами. Объемные си- лы Лоренца – нелинейные и изменяются с изменением материальной и временной координат. Предложенный подход численного решения нелинейных задач магнитоупругости теории гибких оболочек вращения построен на последовательном применении конеч- но-разностной схемы Ньюмарка [21], методов квазилинеаризации [2] и дискретной ортогонализации [5]. Представим разрешающую систему уравнений (15) в векторной форме: 2 2 , , , , ; N N N F s t N s t t               (16) с граничными условиями    1 0 1 2 2, ; ,Ng N s t b g N s t b     127 и начальными условиями 0; 0 N N t      при 0.t  Здесь:  , , , , , , , T s s s sN u w N Q M E B   ; F  – в общем случае нелинейная вектор – функция; 1 2,g g – прямоугольные матрицы; 1 2,b b   – известные вектора. Для разделения переменных по времени использована конечно-разностная схема Ньюмарка    2 1 0,25 ; 0,5 . 0,250,25 t t t t t t t t t t t t tu u u u u u u t u u tt                      (17) Применение этой схемы позволяет весь интервал по времени разбить на конечные интервалы и отследить НДС на каждом временном промежутке. После применения схемы Ньюмарка (17), разрешающую систему магнитоупругос- ти (16) для соответствующего временного промежутка можно записать в векторной форме:  1 , , dN F s N ds     (18) где 1F  восьмимерный вектор. Граничные условия на контуре consts  имеют вид: 01 1 2 2/ ; / Ns s s sD N d D N d      , (19) где 1 2,D D – известные прямоугольные матрицы соответственно порядков 8k  и    8 8, 8k k   1 2,d d   – заданные векторы; k – количество граничных условий на контуре 0.s s Решение нелинейных краевых задач методом квазилинеаризации является анало- гом метода Ньютона для решения систем нелинейных дифференциальных уравнений в функциональном пространстве вектор-функций искомых решений поставленной задачи. Проводится линеаризация системы дифференциальных уравнений и гранич- ных условий, а также строится итерационный процесс решения нелинейной краевой задачи, для которого задается начальное приближение и на каждом шаге решается линейная краевая задача. Таким образом, нелинейная краевая задача (18), (19) приводится к последователь- ности линейных краевых задач                 1 1 1 1 0 1 1 2 2 , ; ; , 0,1, 2 ... , k k k k k k k k k N dN G N N B N N s b N ds B N N s b N k                   (20) где  , , , , , , , , T s s s sN u w N Q M E B   а 1,k kN N   – решения, соответственно, на ( 1)k  -ой и k k-ой итерациях;  1,k kG N N    – вектор правой части системы уравне- ний;    1 2 1( ), ( ), ,k k k kB N B N b N b N      – соответственно, матрицы и правые граничные условия. После применения изложенных выше методов, линейная краевая задача (20) ре- шается методом дискретной ортогонализации [5]. Отметим, что на каждом шаге итерационного процесса коэффициенты правой ча- сти линейной системы уравнений (20), элементы матриц 1 2,B B и компоненты векто- ров 1 2,b b   граничных условий зависят от количества шагов по материальной и часо- 128 вой переменной, а также от решения линейной задачи на предыдущем шаге, т.е. по- следовательность краевых задач – связанная последовательность линейных задач. На первом шаге по времени за начальное приближение в итерационном процессе выби- раем решение линейной задачи. На следующих шагах – решение, полученное на предыдущем шаге, что уже является решением нелинейной задачи. Выбор такой схе- мы существенно уменьшает количество итераций, необходимых при решении задачи. Заменяя производные по времени конечноразностными выражениями соответ- ственно схеме Ньюмарка, необходимо учитывать взаимосвязь между шагом по вре- мени и шагом интегрирования по переменной s. Для получения сходящегося алгорит- ма и выполнения критерия Куранта, преобразуем систему уравнений к «массовым» координатам Лагранжа. Эта процедура позволяет существенно увеличить шаг по вре- мени. При решении краевых задач для проводящих оболочек необходимо также учиты- вать ограничения, накладываемые на плотность тока и внешнее магнитное поле, дей- ствующее на нее. Эти ограничения связаны с джоулевым теплом и значением крити- ческой силы. 6. Числовой пример. Рассмотрим осесимметричную геометрически-нелинейную краевую задачу термо- магнитоупругости об определении НДС гибкой ортотропной конической оболочки переменной жесткости с учетом орто- тропной электропроводности и джоулево- го тепла (рис. 2). Оболочка упругая ортотропная, изго- товленная из металлического композит- ного материала бороалюминия. Бороалю- миний (парамагнетик) – композитный материал на основе матрицы из алюми- ния, армированный борными волокнами, обладающий высокими удельными харак- теристиками. Особо эффективное приме- нение бороалюминия в ракетно-космичес- кой технике. Его использование для дета- лей ракет «Атлас», космических кораблей «Аполлон» и «Шатл» позволило умень- шить их массу на 20 – 50 %. Полагаем, что на поверхностях ортотропной оболочки осуществляется теплооб- мен по закону Ньютона – Рихмана с внешней средой, имеющей температуру 0 С (с коэффициентом теплообмена F ). Также оболочка является проводником стороннего электрического тока стJ  . Пусть стационарная задача магнитоупругости для возмущенного состояния реше- на, т. е., известны векторы магнитной индукции начального состояния для внешней и внутренней областей. Рассматриваем случай, когда оболочка находится под воздействием нормальной составляющей механической силы 2 25 10 sin Н/мF t   и внешнего электрического тока 5 25 10 sin A/мстJ t   ( – круговая частота). Толщина оболочки переменная и изменяется за законами: 4 2 4 2 1 21) 5 10 (1 0,5 / ) м; 2) 5 10 (1 0,5 / ) м,h s b h s b        где 0,4 м.b  Граничные условия выбраны в следующем виде: 00; 0; 200; 0,5sin при 0; 0; 0; 0; 0 при 0, 4. s s s N u M Q B t s u w M B s              Параметры оболочки и материала выбраны следующие: Рис. 2 129 10 2 10 2 0 8 1 3 1 2 0; 0,4 м; 22,9 10 Н/м ; 10,7 10 Н/м ; 0,454 10 (ом м) ; 1,256 Гн/м; 2600 кг/м ; N ss s e e                 10,262; 0,32; 314,16 c ; 0,5 Тл; 820 Дж / (кг С);s sB C           4 23,6 10 1/ С; 228 Вт / (м С); 225Вт / (м С); /10.Т F            Отметим, что в справочной литературе отсутствуют точные данные по анизотро- пии бора. Поэтому, коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи вынуждены рас- сматривать как изотропные. Однако, такое допущение хорошо согласуется с экспери- ментом. Для определения влияния ортотропии на НДС оболочки, проведено сравнение напряженного состояния изотропной конической оболочки той же длины, аналогичной толщины и нагружения при тех же граничных условиях, что и для ортотропной оболочки. Параметры алюминиевой оболочки и материала выбраны следующие: 10 2 1 0 0; 0,4 м; 7,1 10 Н /м ; 314,16 с ; /10;Ns s E         3 6 7 10,3; 2670 кг /м ; 1,256 10 Гн /м; 3,13 10 (Ом м) ;           2 5 ° 820Дж / (кг С); 228 Вт / (м С); 225(м С); 2,36 10 1/ C; 0,5 Тл. ср Т F s С В                   Решения задач получено на интервале 21 10 c,t   временной шаг интегрирования 45 10 c.t    Рис. 3 На рис. 3 представлено безразмерное распределение прогиба 0/ ( ).w h s Здесь и на дальнейших графиках линия 1 отвечает толщине 1; линия 2 – толщине 2 в случае ор- тотропной оболочки; линия 3 отвечает толщине 1; линия 4 – толщине 2 для изотроп- ной оболочки. Под 0h понимаем среднее значение толщины оболочки. Максимальная нелинейность безразмерного прогиба оболочки из ортотропного материала достигается на торце оболочки 0s  при 35 10 сt   и равняется 0/ 2,85w h  (линия 1). Максимальное значение нелинейного прогиба на линии 2 со- 130 ставляет 1,28, т. е., нелинейность наблюдается только в первой точке. Начиная с точ- ки 0,08s м безразмерный прогиб близок к нулевому значению. Максимальная нелинейность безразмерного прогиба изотропной оболочки дости- гается также на торце 0s  при 35 10t c  и равняется 0/ 4,60w h  (линия 3). Мак- симальное значение безразмерного прогиба на линии 4 составляет 2,20. Исходя из результатов, представленных на рис. 3, делаем вывод, что в случае ор- тотропного материала (линии 1, 2), прогиб значительно меньше по сравнению с про- гибом оболочки из изотропного материала (линии 3, 4) при тех же параметрах обо- лочки. Это указывает на преимущество использования ортотропного материала при изготовлении элементов конструкций. Рис. 4 Рис. 4 иллюстрирует распределение джоулевой температуры ( ) CT t  при 0.s  Максимальное значение температуры в случае ортотропного материала достигает зна- чений 7,79 C (линия 1) и 59,90 C (линия 2). В случае изотропного материала мак- симальное значение температуры достигает 14,56 C (линия 3) и 133,36 C (линия 4). Сравнивая полученные результаты, отмечаем, что значения температуры орто- тропного материала меньше значений температуры изотропного материала. Рис. 5 131 Изучая рис. 5, 6, отмечаем, что тангенциальная составляющая ( )sF t и нормаль- ная составляющая силы Лоренца ( )F t  при 0,s  принимают меньшие значения в случае использования ортотропного материала конической оболочки, по сравнению с изотропным материалом. Отметим также, что значения тангенциальной составляю- Рис. 6 щей силы Лоренца принимают отрицательные значения на всем часовом интервале (рис. 5). На рис. 6 нормальная составляющая силы Лоренца принимает отрицательные значения для ортотропного материала (линии 1, 2). В случае изотропного материала значения нормальной составляющей силы Лоренца – положительные (линии 3, 4). Заключение. На основании полученных нелинейных уравнений термомагнитоупругости с ис- пользованием предложенной методики, имеем возможность определять НДС гибких ортотропных оболочек вращения переменной жесткости с учетом ортотропной элек- тропроводности и джоулевого нагрева. Предложенная методика позволяет рассматри- вать различные варианты физико-механических параметров ортотропных оболочек вращения в геометрически-нелинейной постановке. В качестве иллюстрации предложенного подхода рассмотрена задача осесиммет- ричной усеченной гибкой ортотропной конической оболочки переменной жесткости с учетом ортотропной электропроводности и джоулевого тепла, а также гибкой изо- тропной конической оболочки аналогичной длины, толщины и нагружения при тех же граничных условиях, что и для ортотропной оболочки. Проведено обсуждение полу- ченных результатов. Полученные результаты подтверждают преимущество использо- вания ортотропного материала. РЕЗЮМЕ. Розглянуто побудову рівнянь термомагнітопружності для гнучких ортотропних оболонок обертання з урахуванням ортотропної електропровідності і джоулевого тепла. Проведено аналіз термомагнітопружності зрізаної ортотропної конічної оболонки в осесиметричній постановці з урахуванням ортотропії електропровідності і джоулевого нагріву в порівнянні з гнучкою оболонкою з ізотропного матеріалу. 132 1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. – М.: Наука, 1977. – 272 с. 2. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – М.: Мир, 1968. – 184 с. 3. Будак В.Д., Мольченко Л.В., Овчаренко А.В. Численно-аналитическое решение краевых задач маг- нитоупругости. – Николаев: Илион, 2016. – 148 с. 4. Будак В.Д., Мольченко Л.В., Овчаренко А.В. Нелинейные магнитоупругие оболочки. – Николаев: Илион, 2016. – 136 с. 5. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных диффе- ренциальных уравнений // Успехи матем. наук. – 1963. – 16, вып. 5(99). – С. 171 – 174. 6. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупру- гости: Учебник. – К.: ИПЦ «Киевский университет», 2010. – 403 с. 7. Дресвянников В.И. О нестационарных задачах механики упруго-пластических проводящих тел при действии сильных импульсных магнитных полей // Прикл. проблемы прочности и пластичности. –1979. – Вып. 19. – С. 32 – 47. 8. Зоммерфельд А. Электродинамика. – М.: Изд-во иностр. лит., 1968. – 501 с. 9. Ландау Л.В., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 624 с. 10. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. – М.: Мир, 1967. – 385 с. 11. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. – М.: Наука, 1979. – 639 с. 12. Стрэттон Д.А. Теория электромагнетизма. – Москва, Ленинград: ГТТИ, 1948. – 540 с. 13. Тамм И.Е. Теория электромагнетизма. – М.: Наука, 1976. – 624 с. 14. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически-нелинейной теории тонких оболочек. // Механика твердого тела. – 1968. – № 1. – С. 56 – 62. 15. Bian Y.H. Analysis of Nonlinear Stresses and Strains in a Thin Current–Carrying Elastic Plate // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 1. – P. 108 − 120. 16. Elhajjar R., Saponara V., Muliana A. Smart composites. Mechanics and Design. – New York: CRC Press. – 2013. – 430 p. 17. Hutter K., Van de Ven A.F., Ursescy A. Electromagnetic Field Matter Interactions in Thermoelastic Sol- ids and Viscous Fluids. – Berlin: Springer. – 382 p. 18. Mol'chenko L.V., Loos I.I. Effect of Conicity on Axisymmetrical Strain State of Flexible Orthotropic Shell of Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 11. – P. 1261 – 1267. 19. Mol'chenko L.V., Fedorchenko L.N., Vasilieva L.Yu. Nonlinear Theory of Magnetoelasticity of Shells of Revolution with Joule Heat Taken into Account // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54. – N 3. P. 306 – 314. 20. Moon F.C. Magneto-Solid Mechanics. – New York: John Wiley and Sons Inc. – 1984. – 448 p. 21. Newmark N.M. A Method of Computation for Structural Dynamics //J. Eng. Mech. Div. Proc. ASCE. – 1959. – 85, N 7. – P. 67 – 97. Поступила 28.01.2019 Утверждена в печать 03.03.2020 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000640065002000410064006f0062006500200061006400650063007500610064006f00730020007000610072006100200069006d0070007200650073006900f3006e0020007000720065002d0065006400690074006f007200690061006c00200064006500200061006c00740061002000630061006c0069006400610064002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <FEFF004b0069007600e1006c00f30020006d0069006e0151007300e9006701710020006e0079006f006d00640061006900200065006c0151006b00e90073007a00ed007401510020006e0079006f006d00740061007400e100730068006f007a0020006c006500670069006e006b00e1006200620020006d0065006700660065006c0065006c0151002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c0020006b00e90073007a00ed0074006800650074002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Схожі ресурси