Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения
В данной статье, используя метод интегральных неравенств, получены оценки решений нелинейных дробно-подобных систем уравнений и устанавливаются условия ограниченности движения....
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2020
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188273 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 56-64. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-188273 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1882732023-02-21T01:26:45Z Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. В данной статье, используя метод интегральных неравенств, получены оценки решений нелинейных дробно-подобных систем уравнений и устанавливаются условия ограниченности движения. Наведено результати аналізу обмеженості розвязків нелінійних систем з дробово-подібною похідною вектора стану. За допомогою інтегральних нерівностей отримано оцінки розвязків та встановлено умови обмеженості руху. Як приклад розглядаються системи при постійно діючих збуреннях. The article presents the results of the analysis of boundedness solutions of nonlinear systems with fractional-like derivative of the state vector. By the method of integral inequalities, we obtain estimates of the solutions and establish the conditions of boundedness of solutions. 2020 Article Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 56-64. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188273 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В данной статье, используя метод интегральных неравенств, получены оценки решений нелинейных дробно-подобных систем уравнений и устанавливаются условия ограниченности движения. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| spellingShingle |
Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения Прикладная механика |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения |
| title_short |
Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения |
| title_full |
Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения |
| title_fullStr |
Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения |
| title_full_unstemmed |
Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения |
| title_sort |
ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2020 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188273 |
| citation_txt |
Ограниченность решений дробно-подобных уравнений возмущенного движения / А.А. Мартынюк, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 56-64. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa ograničennostʹrešenijdrobnopodobnyhuravnenijvozmuŝennogodviženiâ AT martynûkčernienkoûa ograničennostʹrešenijdrobnopodobnyhuravnenijvozmuŝennogodviženiâ |
| first_indexed |
2025-07-16T10:15:59Z |
| last_indexed |
2025-07-16T10:15:59Z |
| _version_ |
1837798220853411840 |
| fulltext |
2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 5
56 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 5
А . А . М а р т ы н ю к , Ю . А . М а р т ы н ю к - Ч е р н и е н к о
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДРОБНО-ПОДОБНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: center@inmech.kiev.ua
Abstract The article presents the results of the analysis of boundedness solutions of
nonlinear systems with fractional-like derivative of the state vector. By the method of
integral inequalities, we obtain estimates of the solutions and establish the conditions of
boundedness of solutions.
Key words: nonlinear fractional-like system of equations, integral method inequalities,
boundedness of solutions.
Введение.
Понятие дробной производной непрерывной функции возникло в математическом
анализе после вопроса Лопиталя к Лейбницу в 1695 году: как понимать выражение
/n nd x dt при = 1/ 2n ? Ответ Лейбница был таким: «This is an apparent paradox from
which, one day, useful consequences will be drawn» (см. [9] и библиографию там).
Возросший интерес в последние два десятилетия к уравнениям с дробными про-
изводными [4, 8, 10, 14, 16, 23] обусловлен возможностью более точного описания
процессов в некоторых моделях явлений реального мира.
А именно, в теории автоматического управления предложено использовать зако-
ны управления, содержащие производные дробного порядка [5, 7]. При этом было
показано, что лучший способ обеспечения эффективного управления дробными си-
стемами, является использование дробных контроллеров.
Другим примером дробной системы является трехмерное уравнение тепло-
переноса при наличии контроля по краям [3].
Благодаря экспериментальным данным, полученным в работе Шмидта и Драм-
хеллера [24] установлено, что ток, протекающий через конденсатор, пропорционален
не целочисленной производной напряжения в сети.
В реологии, когда вязкоупругие твердые вещества используются в качестве изо-
ляторов или вибрационных демпферов, дробные производные являются подходящим
средством для более точного описания затухания в системе. При этом уменьшается
количество параметров модели [25, 26].
Исследователи пользуются наиболее распространенными определениями дробной
производной Римана – Лиувилля, Адамара, Грюнвальда – Летникова и др. [23, 10]. В
1969 году Капуто было предложено новое определение дробной производной [6], ко-
торое расширило возможности анализа уравнений возмущенного движения с дробной
производной Капуто вектора состояния. В монографии [12] изложены результаты для
уравнений этого типа, полученные вплоть до 2009 года.
В статьях [2, 11] предложено определение дробной производной, названной авто-
рами «conformable fractional derivative», что в русском переводе ближе всего к выра-
жению «дробно-подобная производная». В настоящей статье используется именно это
выражение.
57
Данная статья является продолжением исследований дробно-подобных уравнений
возмущенного движения, начатых в работах [1, 15, 17 – 20, 27], в которых приводится
обобщение прямого метода Ляпунова на этот класс уравнений возмущенного движе-
ния, устанавливается принцип сравнения со скалярной и векторной функциями Ляпу-
нова, находятся условия практической устойчивости относительно многообразий ре-
шений дробно-подобных уравнений, приводятся условия практической устойчивости
для импульсных систем с дробно-подобной производной вектора состояния, рассмат-
ривается новый класс нейронных дробно-подобных систем.
В данной статье, используя метод интегральных неравенств, получены оценки
решений нелинейных дробно-подобных систем уравнений и устанавливаются условия
ограниченности движения.
§1. Элементы дробно-подобного математического анализа (см. [2, 11]).
Пусть (0,1]q и задана непрерывная функция 0( ) : [ , )x t t R .
Рассмотрим функцию 2( , , ) : (0,1]w t q R R такую, что ( , , ) 0w t q при
0 и при любом 0 < 1q . Класс таких функций будем обозначать ([0, ))qC .
Определение 1.1. Пусть функция 0: [ , )x t R . Для любого (0,1]q определим
выражение
0
( ( ))q
tD x t формулой
0
( ( , , )) ( )
( ( )) = lim , ( , , ) 0 ,
( , , )
q
t
x t w t q x t
D x t w t q
w t q
где ( , , ) 0w t q при 0 и при любом значении 0 < 1q , 0 0t , если предел
существует и конечен.
Выражение
0
( ( ))t
qD x t – называется дробно-подобной производной (ДПП) функ-
ции ( )x t порядка 0 < 1q .
Приведем некоторые примеры функции ( , , )w t q , из имеющихся к настоящему
времени в литературе.
(a) 1( , , ) = qw t q t (см. [11]); (b) 1
0( , , ) = ( ) qw t q t t (см. [2]);
(c) ( , , ) = exp( )qw t q t t t (см. [9]); (d) ( , , ) = ( )qw t q tE t t
(см. [26]),
где
=0
( ) = , > 0, ,
( 1)
km
k
k
z
E z z C
усеченная однопараметрическая функция Мит-
таг – Леффлера.
Далее в статье применяется Определение 1.1 с функцией (b). В этом случае имеем
следующее определение.
Определение 1.2. Пусть функция 0: [ , )x t R . Для любого (0,1]q дробно-
подобная производная функции ( )x t ,
0
( ( ))t
qD x t принимает вид
1
0
0
( ( ) ) ( )
( ( )) = lim , 0 .
q
q
t
x t t t x t
D x t
Если 0 = 0t , тогда будем писать 0 ( ( )) = ( ( ))q qD x t D x t . Если ( ( ))qD x t существует на
(0, )b , тогда
0
( (0)) = ( ( ))lim
q q
t
D x D x t
. Если ДПП функции ( )x t порядка q существует
на 0( , )t , тогда будем говорить, что ( )x t является q -дифференцируемой на 0( , )t .
58
Если функция ( )x t дифференцируема, тогда
1
0
0
( ( ) ) ( )
( ( )) = lim , 0 =
q
q
t
x t t t x t
D x t
1
1 10
0 01
0
( ( ) ) ( )
lim ( ) , 0 = ( )
( )
q
q q
q
x t t t x t dx
t t t t
dtt t
,
(1.1)
где /dx dt обычная производная функции ( )x t . Отсюда следует, что для существова-
ния дробно-подобной производной
0
( ( ))q
tD x t функции ( )x t необходимо и достаточно
чтобы функция ( )x t была дифференцируемая в обычном смысле.
Замечание 1.1. В отличие от определений дробной производной непрерывной
(или абсолютно дифференцируемой) функции в определении 1.1 используется не ин-
теграл, а предел, и это существенно изменяет свойства дробно-подобной производ-
ной.
При любой дробно-подобной функции (а) – (г) в Определении 1.1 имеет место
следующее утверждение.
Теорема 1.1 Пусть (0,1]q и ( ), ( )x t y t – q -дифференцируемые функции в точке
> 0t .
Тогда верны соотношения
(а)
0 0 0
( ( ) ( )) = ( ( )) ( ( ))q q q
t t tD ax t by t aD x t bD y t при всех ,a b R ;
(б) 1 1
00
( ) = ( )q p q p
tD t p t t t при всех p R ;
(в)
0 0 0
( ( ) ( )) = ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))q q q
t t tD x t y t x t D y t y t D x t ;
(г) 0 0
20
( ) ( ( )) ( ) ( ( ))( )
=
( ) ( )
q q
t tq
t
y t D x t x t D y tx t
D
y t y t
;
(д)
0
( ( )) = 0q
tD x t для любой функции ( ) =x t .
Доказательство. Утверждения (а), (в) – (д) доказаны (см. [11]). Покажем спра-
ведливость утверждения (б). Из определения 1.1 следует, что
1
0
0 0
( ( ) )
( ) = =lim
q p p
q p
t
t t t t
D t
1 1 2
0
0
( ) ( )
=lim
p q p pt p t t t O t
1 1
2 1 10
0
0
( )
= ( ) = ( ) .lim
q p
q pp t t t
O p t t t
Заметим, что в статье [28] приведено не верное утверждение о том, что соотноше-
ние (б) получается из определения 1.2 заменой t на 0( )t t в выражении функции (a).
Замечание 1.2. Для всех известных дробных производных, включая определение
дробной производной Римана – Лиувилля
0
10
1 ( )
( ) = ,
( ) ( )
tn
r
t n q n
t
d x s
D x t ds
n q dt t s
59
где 1 < <n q r и 2 1
0
( ) = tz e t dt
– гамма функция Эйлера и Капуто
10
0
1 ( )
( ) =
( ) ( )
t n
c
t q n
t
x s
D x t ds
n q t s
утверждения (а) – (д) не имеют места, за исключением утверждения (д) для дробной
производной Капуто. Причиной этого является применение интеграла в определении
дробной производной.
Дробно-подобный интеграл порядка 0 < 1q вводится формулой
1
0 00
0 0
( ) = ( ) ( , ) = ( ) ( ) ,
t t
q q
t q
t t
I x t x s d t t s t x s ds
где интеграл понимается в смысле Римана.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.2 Пусть функция 0( ) : ( , )x t t R q -дифференцируемая при 0 < 1q .
Тогда при всех 0>t t верно соотношение
00 0
( ( )) = ( ) ( ).q q
t tI D x t x t x t
Остановимся на физической интерпретации дробно-подобной производной. Ис-
пользование в определении 1.1 предела вместо интеграла, применяемого в определе-
ниях дробной производной Римана – Лиувиля, Капуто и др., позволяет дать следую-
щую физическую интерпретацию дробно-подобной производной.
Пусть точка P движется по прямой на R для моментов времени 1 =t t и
1
2 0= ( ) qt t t t , где > 0 и 0 < 1q . Обозначим 1( )S t и 2( )S t путь пройденный
точкой P за время 1t и 2t , соответственно.
Очевидно, что соотношение
1
02 1
1
2 1 0
( ( ) ) ( )( ) ( )
= = ( )
( )
q
avrq
S t t t S tS t S t
v t
t t t t
является q -средней скоростью движения точки P за время 1
0( ) qt t .
Рассмотрим
1
0
0
( ( ) ) ( )
( ( )) = lim , 0 =
q
q
t
S t t t S t
D S t
1
1 10
0 01
0
( ( ) ) ( )
lim ( ) , 0 = ( ) = ( ),
( )
q
q q
instq
S t t t S t dS
t t t t v t
dtt t
где /dS dt обычная мгновенная скорость точки P .
При = 1q это обычная мгновенная скорость движения точки P в любой момент
времени t на R . При 0 < < 1q это q-мгновенная скорость движения точки P при
любом значении t на R .
Таким образом, физическим смыслом дробно-подобной производной является q -
мгновенная скорость изменения вектора состояния рассматриваемой механической
или другой природы системы.
Далее применяются некоторые из приведенных результатов при анализе уравне-
ний возмущенного движения с дробно-подобной производной вектора состояния.
§2. Дробно-подобная неоднородная система.
Рассматривается дробно-подобная система уравнений возмущенного движения
0
( ) = ( , ( )) ( )t
qD x t g t x t f t ; (2.1)
0( ) = 0x t , (2.2)
60
где , ( , )n q n nx R g C R R R , :f R R и 0>t t . Предполагается, что начальная
задача (2.1) – (2.2) имеет решение 0( , ,0) ( , )q n nx t t C J R R R при всех t J где
J R – открытый интервал.
Замечание 2.1 Учитывая соотношение (1.1) дробно-подобная система уравнений
(2.1) эквивалентна системе
1 1
0 0
( )
= ( , ( ))( ) ( )( ) ,q qdx t
g t x t t t f t t t
dt
решения которой могут быть исследованы методами, разработанными в теории обык-
новенных дифференциальных уравнений.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2.1. При выполнении перечисленных условий о дробно-подобной системе
(2.1) ее решение имеет вид
1 1
0 00 0
( ) ( , ( ))
( ) =
( ) ( )
t t
q q
t t
f s q s x s
x t ds ds
s t s t
(2.3)
при всех t J .
Доказательство. Так как ( )x t , ( , ( ))g t x t и ( )f t – непрерывные функции, то инте-
гралы
0
( ( , ( )))q
tI g t x t и
0
( ( ))q
tI f t существуют и
0 0
( ( ))q q
t tI D x t существует при всех t J .
В этом случае из Теоремы 1.2 следует, что
0 0
( ( )) = ( )q q
t tI D x t x t . (2.4)
Применяя оператор
0
q
tI к системе уравнений (2.1) и учитывая начальные условия
(2.2), получим
0
( ) = ( ( , ( ) ( )))q
tx t I g s x s f s
при всех 0>t t . Этим лемма 2.1 доказана.
Далее введем предположения:
1H )
1
00
( )
( ) = <
( ) q
t
f s
F t ds
s t
равномерно по 0t R ;
2H ) существует положительная постоянная > 0k такая, что ( , )g t x k x при
всех ( , ) rt x J B , где = { : }rB x R x r .
Покажем, что имеет место такое утверждение.
Теорема 2.1 Пусть для дробно-подобной системы (2.1) выполняются условия 1H
– 2H . Тогда для решений системы (2.1) имеет место оценка
0( )
( ) exp
qt t
x t B k
q
(2.5)
при всех 0>t t .
Доказательство. При выполнении условия 1H теоремы 1 найдется положитель-
ная постоянная > 0B такая, что
( )F t B (2.6)
при всех t J R . Учитывая условия 2H и оценку (2.6) а также соотношение (2.4)
приходим к интегральному неравенству
1
0
0
( ) ( ) ( )
t
q
t
x t B k s t x s ds . (2.7)
61
Обозначим 1
0 0
0
( ) = ( ) ( ) = ( ( ) )
t
q
t
t
qW t B k s t x s ds B I k x s , очевидно 0( )W t B . За-
метим, что ( ) ( )W t x t и
0
( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 0q
tD W t kW t k x t kW t k x t k x t при всех t J . (2.8)
Умножим (2.8) на выражение 0( )
( ) = exp
q
t t
M t k
q
и учитывая, что
0
( ) =q
tD M t
( ),kM t получим
0
( ( ) ( )) 0q
tD W t M t при всех t J . Так как произведение ( ) ( )W t M t
является q -дифференцируемым на J , согласно соотношений (в) из Теоремы 1.1 имеем
0 00 0
( ( ) ( )) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) 0q q
t t
I D W t M t M t W t M t W t M t W t B при всех t J . (2.9)
Из неравенства (2.9) следует неравенство
1 0( )
( ) ( ) ( ) = exp
qt t
x t W t BM t B k
q
при всех t J .
Этим теорема 2.1 доказана.
Следствие 2.1 Если в дробно-подобной системе (2.1) выполняется условие 1H и
вектор-функция ( , ) = ( )g t x A t x , где ( )A t - n n – матрица с непрерывными элемента-
ми на любом конечном интервале, тогда для решения ( )x t имеет место оценка (2.5) с
постоянной = sup( ( ) : )k A t t J .
Следствие 2.2 Если в дробно-подобной системе (2.1) выполняется условие 1H и
вектор-функция ( , ) =g t x Cx , где C - n n – постоянная матрица, тогда соотношение
10 0
0
0
( ) ( )
( ) = exp exp ( )( )
t q q
q
t
t t s t
x t C C f s s t ds
q q
является решением ДПС (2.1) при начальных условиях (2.2).
§3. Дробно-подобная система при постоянно действующих возмущениях.
Рассматривается дробно-подобная система при постоянно действующих возму-
щениях в виде
0
( ) ( , ( )) ( , ( ))q
tD x t g t x t r t x t ; (3.1)
0( ) = 0x t , (3.2)
где , ( , )n n nx R g C R R R , ( , )n nr C R R R и ( ,0) 0r t при всех t R . Предпо-
ложим, что решение ( )x t начальной задачи (3.1) – (3.2) существует на интервале J .
Лемма 3.1 Пусть для ДПС (3.1) выполняются условия, указанные выше, тогда
решение ( )x t начальной задачи (3.1) – (3.2) удовлетворяют соотношению
1 1
0 00 0
( , ( )) ( , ( ))
( ) =
( ) ( )
t t
q q
t t
g s x s r s x s
x t ds ds
s t s t
при всех t J . (3.3)
Доказательство. Леммы 3.1 аналогично доказательству леммы 2.1.
Далее о составляющих правой части ДПС (3.1) сделаем следующие предположения:
1H ) для постоянно действующих возмущений ( , ( ))r t x t существует непрерывная
функция ( )h t такая, что ( , ) ( )r t x h t при всех ( , ) rt x J B ;
2H )
1
00
( )
( ) = <
( ) q
t
h s
H t ds
s t
равномерно по 0t R ;
62
3H ) существует непрерывная функция ( )m t такая, что ( , ) ( )g t x m t x при всех
( , ) rt x J B .
Получим оценку решений ДПС (3.1) при нулевых начальных условиях, т.е. при
условиях начала движения из состояния равновесия.
Теорема 3.1 Предположим, что для ДПС (3.1) выполняются условия 1H – 3H , то-
гда для нормы решений ( )x t выполняется оценка
1 1
0 0
0
( ) ( ) exp ( )( ) ( ) ( )( )
t t
q q
t
x t H t m s s t ds m H t d
при всех t J . (3.4)
Доказательство. Из соотношения (3.3) при выполнении предположений 1H – 3H
нетрудно получить интегральное неравенство
1
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
q
t
x t H t m s x s s t ds (3.5)
при всех t J . Обозначим
1
0
0
( ) = ( ) ( ) ( )
t
q
t
G t m s x s s t ds (3.6)
и заметим, что 0( ) = 0G t . Из соотношения (3.6) следует, что
0
( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
qD G t m t x t m t H t G t m t H t m t G t . (3.7)
Из неравенства (3.7) следует, что
1 1
0 0
0
( ) exp ( )( ) ( ) ( )( )
t t
q q
t
G t m s s t ds m H t d
. (3.8)
Учитывая, что
( ) ( ) ( )x t H t G t , (3.9)
получаем оценку (3.4).
Этим теорема 3.1 доказана.
Замечание 3.1. Полагая 1
0( ) = ( )( )qs m s s t в неравенстве (3.5) приходим к инте-
гральному неравенству
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) , >
t
t
x t H t s x s ds t t . (3.10)
Применяя к этому неравенству теорему 1.1.2 из монографии [13], получим оценку
0
( ) ( ) [ ( ) ( )]exp ( )
t
t s
t
x t H t s H s d ds
при всех 0>t t . (3.11)
Оценка (3.11) совпадает с оценкой (3.4).
Следствие 3.1 Если в ДПС (3.1) вектор-функция ( , ) = ( )g t x A t x , где ( )A t - n n –
матрица с непрерывными элементами на любом конечном интервале, тогда оценка
(3.4) имеет вид
0( )
( ) ( ) exp
qt t
x t H t k k
q
10
0
0
( )
( ) exp ( )
t q
q
t
s t
H s k s t ds
q
при всех t J .
Здесь = sup( ( ) ) : .k A t t J
63
Следствие 3.2 Если в неравенстве (3.10) функция ( )H t является неубывающей
при всех 0>t t , тогда оценка (3.11) принимает вид
1
0
0 0
( ) ( ) exp ( ) = ( ) exp ( )( )
t t
q
t t
x t H t s ds H t m s s t ds
при всех 0>t t .
§4. Приложения.
4.1 Ограниченность движения. ДПС (2.1) и (3.1) будем рассматривать при значениях
( , ) nt x R R . Принимая во внимание результаты монографии [29] стр. 36, приведем:
Определение 4.1 Движение ДПС (2.1) является q -ограниченным, если существу-
ет постоянная 00 < ( , ) <t q такая, что для любого решения 0( , ,0)x t t ДПС (2.1)
имеет место оценка 0 0( , ,0) < ( , )x t t t q при всех 0t t и 0 < 1q , где 0( , )t q может
зависеть от каждого решения.
Определение 4.2 Движение ДПС (2.1) является равномерно q -ограниченным, ес-
ли величина 0( , )t q в определении 4.1 не зависит от 0t .
Оценка (2.5) позволяет получить условия ограниченности движения ДПС (2.1) в
следующем виде.
Теорема 4.1 Если условия теоремы 1.1 выполняются при всех ( , ) nt x R R , то-
гда движение ДПС (2.1) будет q -ограниченным, если
0
0
0
( )
( , ) = exp <sup
q
t t
t t
t q B k
q
. (4.1)
Доказательство. При выполнении условий теоремы 4.1 при всех 0t t имеет ме-
сто оценка (2.5). Если выполняется условие (4.1) тогда 0( ) ( , )x t t q при всех 0t t .
Этим теорема 4.1 доказана.
Далее рассмотрим ДПС (3.1) и покажем, что верно следующее утверждение.
Теорема 4.2 Если условия теоремы 4.1 выполняются при всех ( , ) nt x R R , то-
гда движение ДПС (3.1) будет q -ограниченным, если
* 1 1
0 0 0
0 0
( , ) = ( ) exp ( )( ) ( ) ( )( ) <sup
t t
q q
t t t
t q H t m s s t ds m H t d
. (4.2)
Доказательство. При выполнении условий теоремы 4.1 при всех 0t t имеет ме-
сто оценка нормы решений в виде (3.4).
Если выполняется неравенство (4.2) тогда верна оценка *
0( ) ( , )x t t q при всех
0t t , т.е. движение ДПС (3.1) является ограниченным.
Заключение.
Приведенные результаты исследования уравнений возмущенного движения с
дробно-подобной производной вектора состояния системы являются фрагментом об-
щей качественной теории этого класса уравнений. Метод интегральных неравенств, в
данном случае линейных, позволяет получить простые достаточные условия ограни-
ченности движения нелинейных систем. Представляет интерес распространение по-
лученных результатов на системы нелинейных уравнений возмущенного движения,
рассмотренные в статьях [21, 22].
Показано, что дробно-подобная производная имеет физический смысл q -мгно-
венной скорости изменения вектора состояния дробно-подобной системы. На важ-
ность этого вопроса указывалось в статье [18] и в процессе обсуждения результатов
статьи [15] с профессором Т.А. Бартоном (США).
Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы-
полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ-
лений научных исследований» (КПКВК 6541230).
64
РЕЗЮМЕ. У статті наведено результати аналізу обмеженості розвязків неліній-них систем з
дробово-подібною похідною вектора стану. За допомогою інтегральних нерівностей отримано оцінки
розвязків та встановлено умови обмеженості руху. Як приклад розглядаються системи при постійно
діючих збуреннях.
1. Мартынюк А.А. Об устойчивости дробно-подобных систем уравнений возмущенного движения
// Доп. НАН України. – 2018. – № 6. – С. 9 – 16.
2. Abdeljawad T. On conformable fractional calculus // J. Comput. and Appl. Math. – 2015. – 279. – Р 57 – 66.
3. Bagley R.L., Torvik P.J. On the appearance of the fractional derivatives in the behaviour of real materials // J.
Appl. Mech. – 1984. – 41. – P. 294 – 298.
4. Burton T.A. Liapunov Theory for Integral Equations with Singular Kernels and Fractional Differential Equations.
– Port Angeles: CreateSpace Independent Publishing Platform, 2012. – 392 p.
5. Caponetto R., Dongola G., Fortuna L., Petras I. Fractional Order Systems: Modeling and Control Applications.
World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A. – 72. – Singapore: World Scientific, 2010. – 178 p.
6. Caputo M. Elasticita e Dissipazione – Bologna: Zanichelli, 1969. – 150 p.
7. Chen Y.Q., Petras I., Xue D. Fractional order control-a tutorial. In Proc. IEEE American Contr. Conf., St –
Louis, USA. – 2009. – P. 1397 – 1411.
8. N'Doye I. Generalization du lemme de Gronwall – Bellman pour la stabilization des systemes fractionnaires. –
PhD These, Université Henri Poincaré - Nancy I, 2011. – 223 p.
9. Katugampola U. N. A new fractional derivative with classical properties, arXiv:1410.6535 v2 [math CA], 8 Nov.
2014. – 8 p.
10. Kilbas A., Srivastava M.H., Trujillo J.J. Theory and Application on Fractional Differential Equations. –
Amsterdam: North Holland, 2006. – 540 p.
11. Khalil Al Horani M., Yousef A., Sababheh M. A new definition of fractional derivative // J. of Comput. and
Appl. Math. –2014. – 264. – Р. 65 – 70.
12. Lakshmikantham V., Leela S., Devi J.V. Theory of Fractional Dynamic Systems. – Cambridge: Cambridge
Scientific Publisher, 2009. – 170 p.
13. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability Analysis of Nonlinear Systems. Second Ed. – Berlin:
Birkhauser, 2015. – 329 p.
14. Martynyuk A.A. On the stability of a system of equations with fractional derivatives with respect to two
measures // J. Math. Sci. – 2016. – 217. – Р. 468 – 475.
15. Martynyuk A.A., Stamova I.M. Fractional-like Derivative of Lyapunov-type Functions and Applications to the
Stability Analysis of Motion // Electronic J. of Differential Equations. – 2018. – N 62. – P. 1 – 12.
16. Martynyuk A.A., Stamova I.M., Martynyuk-Chernienko Yu.A. Stability analysis of the set of trajectories
for differential equations with fractional dynamics // Eur. Phys. J. Special Topics – 2017. – 226. –
P. 3609 – 3637.
17. Martynyuk A.A., Stamov G., Stamova, I.M. Practical stability analysis with respect to manifolds and bounded-
ness of differential equations with fractional-like derivatives // Rocky Mountain J. of Mathematics. – 2019. –
49, N 1. – Р. 211 – 233.
18. Martynyu, A.A., Stamov G., Stamov I.M. Integral estimates of the solutions of fractional-like equations of
perturbed motion // Nonlinear Analysis: Modelling and Control – 2019. – 24, N 1. – P. 138 – 149.
19. Martynyuk A.A., Stamov G.Tr., Stamova I.M. Fractional-like Hukuhara derivatives in the theory of set-valued
differential equations // Chaos, Solitons and Fractals. – 2020. – 131. – 109487.
20. Martynyuk A.A., Stamov G.Tr., Stamova I.M., Impulsive fractional-like differential equations: practical stability
and boundedness with respect to h-manifolds // Fractal and Fractional (MDPI). – 2019. – 3, N 50. – P. 1 – 16.
21. Martynyuk A.A., Khusainov D.Ya, Chernienko V.A. Constructive Estimation of the Lyapunov Function for
Quadratic Nonlinear Systems // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 3. – P. 346 – 357.
22. Martynyuk A.A., Chernienko V.A. Sufficient Conditions of Stability of Motion of Polinomial Systems // Int.
Appl. Mech. – 2020. – 56, N 1. – P. 13 – 21.
23. Podlybny I. Fractional Differential Equations. – London: Academic Press, 1999. – 368 p.
24. Schmidt V. H., Drumheller J. E. Dielectric properties of lithium hydrazinium sulfate // Physical Review. – 1971.
– B, N 4. – P. 4582 – 4597.
25. Soula M. Etude du Comportement Mecanique des Materiaux Viscoelastiques par les Derivees Fractionnaires
// PhD Thesis, Conservatoire National des Arts et Metiers de Paris, 1996.
26. Sousa J.V.C., Oliveira E.C. A new truncated M - fractional derivative type unifying some fractional derivative
types with classical properties. // Int. J. of Analysis and Applications. – 2017. – P. 1 – 16.
27. Stamov G., Stamova I., Martynyuk A.A, Stamov T. Design and practical stability of a new class of impulsive
fractional – like neural networks // Entropy (MDPI). – 2020. – 22(3), 337. – 18 p.
28. Unal E., Gokdogan A. Solution of conformable fractional ordinary differential equations via differential
transform method // Optik – Int. J. for Light and Electron Optics. – 2017. – 128. – P. 264 – 273.
29. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. – Tokyo: Publ. Math. Soc., 1966. – 223 p.
Поступила 24.04.2018 Утверждена в печать 09.07.2020
|