Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства

Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства

Исследована симметрия инверсии отдельных компонент вектора перемещений итензора напряжений в решении задач Буссинеска и Черрути о действии нормальной и касательной (радиальной и окружной) сосредоточенных сил на упругое полупространство. С использованием принципа суперпозиции установленные свойства...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2020
1. Verfasser: Острик, В.И.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Schriftenreihe:Прикладная механика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188278
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства/ В.И. Острик // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 122-135. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-188278
record_format dspace
spelling irk-123456789-1882782023-02-21T01:26:47Z Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства Острик, В.И. Исследована симметрия инверсии отдельных компонент вектора перемещений итензора напряжений в решении задач Буссинеска и Черрути о действии нормальной и касательной (радиальной и окружной) сосредоточенных сил на упругое полупространство. С использованием принципа суперпозиции установленные свойства решений задач Буссинеска и Черрути перенесены на решение первой краевой задачи теории упругости для полупространства в случаях, когда одна из компонент нагрузки, заданной на границе полупространства, обладает симметрией инверсии, а две другие компоненты принимают нулевые значения. Исследована также симметрия инверсии в смешанной задаче, когда на одной части границы полупространства заданы нормальные усилия при отсутствии касательных усилий, а на другой  условия гладкого контакта, а также в задаче кручения упругого полупространства. Досліджено симетрію інверсії окремих компонент вектора переміщень та тензора напружень у розв'язку першої крайової задачі теорії пружності для півпростору у випадках, коли одна із компонент навантаження, заданого на межі півпростору, має властивість симетрії інверсії, а дві інші компоненти приймають нульові значення. Досліджено також симетрію інверсії у змішаній задачі, коли на одній частині межі півпростору задано нормальні зусилля за відсутності дотичних зусиль, а на іншій - умови гладкого контакту, а також у задачі кручення пружного півпростору із заданими на його межі дотичними напруженнями. The inversion symmetry of the separate components of the displacement vector and stress tensor in the solution of the first boundary problem of the theory of elasticity for a half-space is studied. The case is considered when one component of loading given at the half-space boundary has the inversion symmetry, and the other two components are equal to zero. The inversion symmetry is also studied for two problems: in the mixed one when on one part of the half-space boundary only the normal forces are given and the tangential forces are equal to zero, while the conditions of smooth contact are prescribed on the other part, and in a problem of torsion of an elastic half-space with the tangential stresses given on its boundary. 2020 Article Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства/ В.И. Острик // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 122-135. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188278 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Исследована симметрия инверсии отдельных компонент вектора перемещений итензора напряжений в решении задач Буссинеска и Черрути о действии нормальной и касательной (радиальной и окружной) сосредоточенных сил на упругое полупространство. С использованием принципа суперпозиции установленные свойства решений задач Буссинеска и Черрути перенесены на решение первой краевой задачи теории упругости для полупространства в случаях, когда одна из компонент нагрузки, заданной на границе полупространства, обладает симметрией инверсии, а две другие компоненты принимают нулевые значения. Исследована также симметрия инверсии в смешанной задаче, когда на одной части границы полупространства заданы нормальные усилия при отсутствии касательных усилий, а на другой  условия гладкого контакта, а также в задаче кручения упругого полупространства.
format Article
author Острик, В.И.
spellingShingle Острик, В.И.
Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства
Прикладная механика
author_facet Острик, В.И.
author_sort Острик, В.И.
title Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства
title_short Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства
title_full Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства
title_fullStr Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства
title_full_unstemmed Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства
title_sort симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2020
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188278
citation_txt Симметрия инверсии решений краевых задач теории упругости для полупространства/ В.И. Острик // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 122-135. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT ostrikvi simmetriâinversiirešenijkraevyhzadačteoriiuprugostidlâpoluprostranstva
first_indexed 2025-07-16T10:16:25Z
last_indexed 2025-07-16T10:16:25Z
_version_ 1837798246518358016
fulltext 2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 5 122 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 5 В . И . О с т р и к СИММЕТРИЯ ИНВЕРСИИ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА Институт прикладной физики НАН Украины, ул. Петропавловская, 58, 40000, Сумы, Украина; e-mail: v.i.ostryk@gmail.com Abstract. The inversion symmetry of the separate components of the displacement vec- tor and stress tensor in the solution of the first boundary problem of the theory of elasticity for a half-space is studied. The case is considered when one component of loading given at the half-space boundary has the inversion symmetry, and the other two components are equal to zero. The inversion symmetry is also studied for two problems: in the mixed one when on one part of the half-space boundary only the normal forces are given and the tan- gential forces are equal to zero, while the conditions of smooth contact are prescribed on the other part, and in a problem of torsion of an elastic half-space with the tangential stresses given on its boundary. Key words: inversion, elastic half-space, Boussinesq and Cerruti problems, torsion, po- tentials. Введение. Преобразование инверсии в некоторых случаях используется в теории упругости [3, 6, 7, 13, 14] и математической физике [8, 13] для получения решений краевых задач в полярных и сферических координатах. Обусловлено это тем, что гармоническая функция двух переменных при преобразовании инверсии остается гармонической [4], а преобразованная гармоническая функции трех переменных является гармонической по отношению к радиальной переменной (теорема Кельвина) [8]. Бигармоническая функция двух переменных при таком преобразовании остается бигармонической по отношению к квадрату радиальной переменной [13]. Последнее обстоятельство поз- воляет, например, получить решение двумерной задачи теории упругости о действии сосредоточенных сил на упругий диск, используя решение аналогичной задачи для упругой полуплоскости [6, 13, 14]. С помощью преобразования инверсии определя- ются функции Грина для круга и шара задачи Дирихле для уравнения Лапласа [12]. Если при преобразовании инверсии область, для которой формулируется краевая задача теории потенциала, остается без изменений (например, клин, полупростран- ство, конус) и граничные условия также не изменяются, то решение такой краевой задачи (с определенным функциональным множителем в случае трех переменных) переходит само в себя, т. е. обладает симметрией инверсии. Для любой краевой зада- чи теории упругости наличие симметрии инверсии в граничных условиях не влечет за собой симметрию инверсии решения. Тем не менее, как показано в работе [15], где исследованы основные граничные двумерные задачи для упругого клина, отдельные компоненты вектора перемещений и тензора напряжений все же имеют симметрию инверсии либо во всей области, либо на гранях клина. В работах [9, 16] при решении двух конкретных смешанных задач теории упругости для клина, в которых граничные условия обладают симметрией инверсии, показано, что нормальные перемещения и нормальные напряжения на одной из граней клина также обладают свойством симмет- рии инверсии. 123 Далее устанавливается симметрия инверсии отдельных компонент вектора пере- мещений и тензора напряжений в решениях первой основной задачи, смешанной за- дачи и задачи кручения для упругого полупространства. §1. Первая краевая задача. Нормальное нагружение. Вначале рассмотрим задачу Буссинеска о действии сосредоточенной силы P в точке 0x x , 0y y границы 0z  упругого полупространства 0z  . Декартовы компоненты вектора перемещений имеют вид [10] 0 2 0 00 1 2 4x x xP zu G z           ; 0 2 0 00 1 2 4y y yP zu G z           ; 2 2 0 0 1 2(1 ) 4z P zu G             ; 2 2 2 2 0 0 0( ) ( )x x y y z      , (1.1) где G  модуль сдвига;   коэффициент Пуассона. В сферических координатах  ,  ,  , которые связаны с декартовыми x , y , z следующим образом: sin cosx    ; sin siny    ; cosz   ( 0    , 0 2   , 0 2   ), из (1.1) получим    1 13 0 0 00 (1 2 )sincos cossin cos 2(1 ) sin cos 4 ( ) Pu l l G z                         ;  2 1 13 0 0 00 (1 2 )cossincos cos 2(1 ) sin cos 4 ( ) lPu l G z                       ; (1.2) 12 0 00 cos 1 2 sin 4 lPu G z             ; 2 2 2 0 12 sin cosl l       ; 0 cosx l  ; 0 siny l  ; 1    . Определяя напряжения из закона Гука и соотношений Коши на основе (1.2), вы- пишем их выражения лишь в случае несжимаемого материала:  2 15 0 3 sin cos cos 2 P l           ; 2 3 2 15 0 3 cos cos 2 lP         ; 2 2 15 0 3 cos sin 2 lP         ;   2 1 15 0 3 sin cos cos cos 2 lP l           ; (1.3)  1 15 0 3 sin cos cos sin 2 lP l            ; 2 1 13 2 0 0 1 3 cos cos cos 2 sin llP                ( 0,5  ). В общем случае сжимаемого материала ( 0,5  ) для дальнейшего достаточно ограничиться следующими выражениями для напряжений: 124 1 2 3 22 0 00 0 cos sin1(1 2 ) 2 ( ) ( ) P z z                    ; 1 2 2 2 2 3 22 0 0 00 0 0 cos1 3 cos (1 2 ) 2 ( ) ( ) l lP z z                              ; (1.4) 1 2 2 2 22 0 00 0 0 ctgcos sin sin(1 2 ) 2 ( )sin ( ) lP z z                             . На границе полупространства 2  имеем 1 22 0 cos(1 2 ) 4 lP u G          ; 2 0 (1 ) 1 2 P u G         ; 1 22 0 sin(1 2 ) 4 lP u G         ; 1 1 2 2 42, 2 2, 2 0 (1 2 ) 2 lP                      ; (1.5)  1 142 0 sin (1 2 ) cos lP l             . В решении (1.2)  (1.5) задачи Буссинеска осуществим преобразование инверсии, заменив переменную  на 2l  , а величину 0 , согласно ее выражению из (1.2),  на 0( )l   . В результате для случая несжимаемого материала приходим к тождествам   2 , , , ,l lu u              ;   2 , , , ,l lu u              ;   3 2 3 3 , , , ,l l                 ;   3 2 3 3 , , , ,l l                 ; (1.6)   3 2 3 3 , , , ,l l                 ( 0,5  ), которые показывают, что перемещения u , u , умноженные на  , и напряжения  ,  ,  , умноженные на 3 , являются симметричными при преобразовании инверсии относительно точки l  в любом радиальном направлении полупростран- ства. Для сжимаемого материала ( 0,5  ), как показывают равенства (1.4), тождества (1.6) не являются справедливыми. Вместе с тем, при произвольном значении  на границе полупространства 2  , согласно второму равенству (1.5), величина u является симметричной   2 , , , , 2 2 l lu u              , (1.7) а согласно третьему равенству (1.5) симметричной является величина u ,   2 2 , , , , 2 2 l lu u               . (1.8) 125 Как показывают остальные равенства (1.5), перемещения u и напряжения  ,  ,  не обладают симметрией инверсии на границе полупространства. Напряжения  (кроме точки l  ,   ),  ,  при / 2  обращаются в нуль в силу гра- ничных условий задачи. Перейдем теперь к случаю распределенной нормальной нагрузки, заданной на границе полупространства при отсутствии касательной нагрузки. Граничные условия этой задачи имеют вид 2 1 ( , ) 2 p G          ; 2 0      ; 2 0      . (1.9) Считаем при этом, что нормальная нагрузка, умноженная на 3 , является симмет- ричной при преобразовании инверсии   3 2 3 3 , ,l lp p           ( 2  ). (1.10) Из решения (1.2)  (1.5) задачи Буссинеска, используя принцип суперпозиции, по- лучаем для несжимаемого материала (00) (10) 2 1 2( , , ) sin ( , , ) cosu V V            ; (01) 2 ( , , ) cosu V      ; (20) 3 3 1 3 ( , , ) cos 2 V G        ; (02) 3 1 3 ( , , ) cos 2 V G        ; (1.11) (01) (11) 2 2 3 1 ( , , ) cosec 3 ( , , ) cos 2 V V G              ( 0,5  ) и для сжимаемого материала  (00) 12 2(1 ) , , 2 u V          ; 2 122 1 1 2 ( , ) sin 2 r ru p r drd             . (1.12) При этом потенциалы ( )km jV представляются в виде ( ) 2 1 1 1( , , ) ( , ) 2 j km j kmj r rV p r drd            ; 2 2 2 1 12 sin cosr r       ; 1 1cos sink m km   ( 1, 2, 3j  ; , 0, 1, ...k m  ). (1.13) Разбив интеграл из (1.13) на два интеграла по областям r l и r l ( 0 2   ) и произведя замену r на 2l r во втором из них, получим 2 1 ( ) 2 1 21 1 1( , , ) ( , ) 2 j km j j kmj r l lV p r r drd                      ; (1.14) 4 2 2 2 2 12 2 sin cosl l r r       . Ввиду того, что при замене  на 2l  величина 1 переходит в 2 , а величина 2  в 1 , из (1.14) для введенных потенциалов приходим к тождеству 1 2 2 2 1 2 ( ) ( )( , , ) , , j j km km j j l lV V                      . (1.15) 126 Из выражений (1.11), (1.12) на основании тождества (1.15) вытекает, что симмет- рия инверсии, выраженная в виде тождеств (1.6), (1.7) в случае сосредоточенной нор- мальной силы, имеет место также и в случае распределенной нормальной нагрузки, если выполнено условие (1.10). Все остальные компоненты решения, не входящие в тождества (1.6), (1.7), а именно перемещения u и напряжения  ,  ,  , не яв- ляются симметричными во всем полупространстве, даже в случае несжимаемого ма- териала. На границе полупространства все компоненты решения, кроме перемещения u , также не обладают симметрией инверсии. Можно также показать, что тождество (1.8) будет справедливым в случае, когда функция  2 ,p   является симметричной. Получим теперь свойства симметрии (1.6), (1.7) решения задачи с краевыми усло- виями (1.9), (1.10) иным способом, используя представление компонент вектора пе- ремещений в форме Папковича  Нейбера [5] через гармонические функции 0 , 1 , 2 , 3 : 14(1 )x Fu x       ; 24(1 )y Fu y       ; 34(1 )z Fu z       ; 0 1 2 3F x y z        (1.16) и теорему Кельвина об инверсии гармонической функции: если ( , , )    гармо- ническая функция, то функция 2( , , )l     тоже является гармонической [8]. Для удовлетворения второго и третьего граничных условий (1.9) положим [5] 1 0  ; 2 0  ; 0 3(1 2 ) z       (1.17) и перейдем к сферическим координатам. Получим 0 3 3(3 4 ) cos cosu                 ; (1.18) 0 3 3 1 (3 4 ) sin cosu                 ; 0 31 ctg sin u             . Отсюда находим 2 2 0 3 3 3 2 2 22(1 ) cos sin cos 2G                         ; 2 2 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1(1 2 ) cos 2(1 ) sin cos 2G                                 ; 2 0 0 0 3 2 2 2 2 1 1 1ctg (1 2 ) cos 2 sinG                             2 2 3 3 2 2 cos12 ctg sin sin                 ; (1.19) 2 0 3 3 31 1(1 2 ) sin 2(1 ) cos cos 2G                                 ; 2 0 3 3ctg1 1 2(1 ) ctg sin2G                          ; 127 2 2 0 3 3 2 ctg1 21 2 sinG                       . Первое граничное условие (1.9) с учетом равенств 0 2 1 zz          ; 2 2 2 2 2 0 2 1 1 zz                (1.20) преобразуем к виду 3 2 ( , )p           . (1.21) Согласно теореме Кельвина функция 2 3 3( , , ) ( ) ( , , )l l         является гармонической и на основании соотношений (1.10), (1.21) удовлетворяет граничному условию 3 2 ( , )p            . (1.22) Т.к. правые части граничных условий (1.21), (1.22) совпадают, то из теоремы единст- венности решения задачи Неймана для полупространства вытекает, что 3 ( , , )    3 ( , , )    , т.е. приходим к тождеству 2 3 3( , , ) , ,l l               . (1.23) Кроме того, из третьего тождества (1.17) и первого равенства (1.20) следует, что функция 0 , где 1 0 0     , симметрична на границе полупространства   2 0 0, , , , 2 2 l l                . (1.24) Тождества (1.23), (1.24) позволяют выявить симметрию инверсии отдельных сла- гаемых в соотношениях (1.18), (1.19). Например, первое и третье слагаемые в выра- жении для u из (1.18) не обладают симметрией инверсии в то время как второе сла- гаемое из этого выражения, умноженное на  , является симметричным благодаря тождеству (1.23). Таким образом, опираясь на соотношения (1.23), (1.24), убеждаемся в справедливости тождеств (1.6), (1.7). §2. Касательное радиальное нагружение. Используем решение задачи Черрути о действии на упругое полупространство 0z  касательной силы xQ , приложенной в точке 0x  , 0y  , 0z  и направленной вдоль оси Ox . Компоненты вектора перемещений в декартовых координатах для этой задачи имеют вид [10]: 2 2 3 2 1 1(1 2 ) 4 ( ) x x Q x xu G z z                    ; 2 2 1 21 4 ( ) x y Q xy u G z           ; 2 1 2 4 x z Q x zu G z          ; 2 2 2 2x y z    . (2.1) Как и в §1, перейдем к сферическим координатам и рассмотрим действие на упру- гое полупространство касательной радиальной силы Q , приложенной в точке l  , 2  ,   . Из (2.1) получим 128   1 1 13 0 0 sin cos 1 sin cos sin cos 4 Q u l l G                       1 1 1 0 0 0 sin cos1 2 1sin cos sin cos sin cos l l z z                            ;  1 1 13 0 0 cos cos sin cos cos cos 4 Q lu l G                   (2.2)   1 1 1 0 0 0 sin cos1 2 1cos cos sin cos cos sin l l z z                            ;   1 1 13 0 0 0 00 sin cos1 21 sin cos 1 sin 4 ( ) Q llu l l G z z                           . Напряжения в случае несжимаемого материала имеют вид   2 1 15 0 3 1 sin cos sin cos 2 Q l l              ;   2 2 2 1 15 0 3 sin cos cos cos 2 Q l l            ;   2 2 1 15 0 3 sin cos sin 2 Q l l           ;   1 1 15 0 3 sin cos sin cos cos cos 2 Q l l l               ; (2.3)   1 1 15 0 3 sin cos sin cos sin 2 Q l l l               ;  1 12 0 0 1 sin cos 1 ctg sin 2 Q l l                  ( 0,5  ). Для сжимаемого материала приведем лишь выражение 1 2 22 0 0 00 0 2 2 sin 2 cossin cos 1 4 ( ) Q l z zz                             . (2.4) Кроме того, на границе полупространства   1 1 132 0 0 1 cos cos cos 2 Q u l l G                      ; 1 32 0 (1 2 ) cos 4 Q l u G              ;  132 0 0 1 cos 2 Q u l l G                    ; (2.5)    2 1 1 12 52 0 0 0 1 2 61 cos cos sin 2 Q l l l l                            . 129 Для решения (2.2)  (2.5) имеют место тождества   2 , , , ,l lu u              ;   3 2 3 3 , , , ,l l                 ;   3 2 3 3 , , , ,l l                 ( 0,5  ), (2.6) справедливые во всем полупространстве, а также тождество   2 , , , , 2 2 l lu u              ( 0 0,5  ), (2.7) которое выполняется на границе полупространства. Пусть теперь на границе полупространства задана распределенная касательная радиальная нагрузка 2 1 ( , ) 2 p G          ; 2 0      ; 2 0      , удовлетворяющая условию симметрии (1.10). Из решения (2.2)  (2.5) задачи для сосредоточенной силы Q находим (10) (00) 1 4( , , ) sin ( , , )u V V         ; (10) 5 1 3 ( , , ) cos 2 V G      ; (01) 5 1 3 ( , , ) 2 V G      ( 0,5  ). (2.8) На границе полупространства    (10) (00) 1 42 2(1 ) , , 2 , , 2 2 u V V              . (2.9) Здесь ( ) 3 1 12 1 1 1( , , ) ( , ) ( sin cos )( sin cos ) 2 j km j kmj r rV p r r r drd                   ( 1, 2j  ; , 0, 1, ...k m  ). (2.10) Так же, как и в §1, для потенциалов ( ) 3 km jV  из (2.10) устанавливаем тождество 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 3 3( , , ) , , j j km km j j l lV V                        ( 1, 2j  ; , 0, 1, ...k m  ), на основании которого, а также, используя (1.15), из (2.8), (2.9) заключаем, что свой- ства симметрии (2.6), (2.7) имеют место и в случае распределенной нагрузки. §3. Касательное окружное нагружение. Касательная сила Q действует в окружном направлении и приложена в точке l  , 2  ,   . Из соотношений (2.1) получаем компоненты вектора переме- щений в сферической системе координат:  13 0 0 1 sin cos 4 Q u l G                1 1 0 0 0 sin cos1 2 1 sin cos sin sin l z z                        ; 130 13 0 0 cos sin 2 cos 4 2 Q l u G              (3.1) 1 1 0 0 0 sin cossin1 2 cos cos sin sin l z z                         ; 2 21 1 1 13 0 0 0 00 cos sin sin1 2sin sin cos 4 ( ) Q ll u G z z                           . В случае несжимаемого материала напряжения имеют следующий вид:  2 1 15 0 3 sin cos sin sin 2 Q l             ; 2 2 2 1 15 0 3 sin cos sin cos 2 Q l           ; 2 3 15 0 3 sin sin 2 Q l         ;  1 15 0 3 sin cos sin 2 sin 2 8 Q l l            ;   2 2 1 15 0 3 sin cos sin sin 2 Q l l           ; (3.2) 2 2 21 1 1 12 4 0 0 0 coscos sin 3 sin sin cos 2 sin Q ll                      ( 0,5  ). Для сжимаемого материала имеем 1 2 0 2 2 32 0 0 0 0 2 sin31(1 2 ) sin 2 ( ) ( ) Q z z                        ; 1 22 2 2 3 2 32 00 0 0 0 0 213 (1 2 ) sin 2 ( ) ( ) Q l l z z                              ; (3.3) 1 20 0 0 0 0 00 ctg ctg1 2 sin 212 sin 2 sin cos 2 2 Q l z z                                     . На границе полупространства  1 132 0 0 1 cos sin 2 Q u l G                    ; 122 0 (1 2 ) sin 4 Q u G             ; 2 1 132 0 0 1 cos sin 2 Q l u G                  ; (3.4) 2 1 1 13 22 0 0 (1 2 )cos 3 sin sin Q ll                      . Выражения (3.1), (3.2) показывают, что для несжимаемого материала выполняют- ся тождества (1.6), как и в случае действия нормальной сосредоточенной силы (§1). При произвольном значении  на границе полупространства / 2  имеют место тождества 131   2 , , , , 2 2 l lu u              ;   3 2 3 3 , , , , 2 2 l l                 . (3.5) Кроме того,   2 , , , , 2 2 lu u             . (3.6) Если на границе полупространства задана распределенная касательная окружная нагрузка 2 1 ( , ) 2 p G          ; 2 0      ; 2 0      , подчиненная условию (1.10), из решения (3.1), (3.2) с помощью принципа суперпози- ции получаем (01) (11) 1 2( , , ) ( , , ) sin cosu V V             ; (10) (02) 1 2( , , ) ( , , ) sinu V V          ; (12) 2 3 1 3 ( , , ) sin cos 2 V G         ; (03) 3 1 3 ( , , ) sin 2 V G        ; (3.7) (10) (02) (12) 1 2 3 1 1 ( , , ) cosec ( , , ) 3 ( , , ) sin cos 2 V V V G                      ( 0,5  ). При произвольном значении  на границе полупространства из (3.4) найдем    (10) (02) 1 22 2(1 ) , , 2 , , 2 2 u V V              ; 122 1 (1 2 ) ( , ) sin 2 r ru p r drd              ; (3.8)    (11) (03) 2 32 2 (1 2 ) , , 3 , , 2 2 V V                   . Из (3.7), (3.8) с использованием (1.15) заключаем, что свойства симметрии (1.6), (3.5) также имеют место в случае распределенной касательной окружной нагрузки. Можно также показать, что тождество (3.6) выполняется для симметричной функции  ,p   . §4. Смешанная задача. Пусть на части S границы полупространства заданы условия гладкого контакта, а на другой ее части 2 1 \S R S  условия первой задачи при отсутствии касательных усилий ( ( , )M    точка границы 2  полупространства): 2 ( , )u g        ( M S ); 2 1 ( , ) 2 p G          ( 1M S ); 2 0      ; 2 0      ( 2M R ). (4.1) При этом считаем, что при преобразовании инверсии, когда всякая точка ( , )M   пе- реходит в точку 2( , )M l   , область S переходит сама в себя, а значит, и область 1S переходит также сама в себя, а функции ( , )g   и 3 ( , )p   являются сим- метричными: 132   2 , ,l lg g           ;   3 2 3 3 , ,l lp p           . (4.2) Введем неизвестную функцию 2 1( , ) 2 q G          ( M S ). Тогда нормальные перемещения на границе полупространства на основании равенств (1.12), (1.13) примут вид 1 2 1 1 1 ( , ) ( , ) S S r ru q r drd p r drd                    . (4.3) Удовлетворив с помощью (4.3) первому граничному условию (4.1), относительно функции ( , )q r  получим интегральное уравнение 1 ( , ) ( , ) S rq r drd f      ( M S ); (4.4) 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 1 S rf g p r drd             . Ядро 11  уравнения (4.4) с точностью до множителя 1 (4 ) является фундаменталь- ным решением уравнения Лапласа, а его левая часть  потенциалом простого слоя [12]. Как известно [12], решение уравнения (4.4) является единственным. Исследуем симметрию решения ( , )q r  интегрального уравнения (4.4). Произве- дя замену переменной r на 2l r в интеграле по области 1S из правой части уравне- ния (4.4), с использованием второго тождества (4.2), получаем 1 1 1 2 ( , ) ( , ) S S lr rp r drd p r drd         . С учетом того, что при замене  на 2l  величина 2 из (1.14) переходит в 1 из (1.13), а также первого тождества (4.2), для правой части уравнения (4.4) имеем   2 , ,l lf f           . (4.5) Заменив в уравнении (4.4) r на 2l r и  на 2l  , преобразуем это уравнение, учитывая (4.5), к виду 3 2 3 1 , ( , ) S l l rq drd f rr            ( M S ). (4.6) Ввиду эквивалентности интегральных уравнений (4.4) и (4.6), а также их однозначной разрешимости, приходим к выводу, что решение ( , )q r  , умноженное на 3r , явля- ется симметричным, т. е. справедливо тождество   3 2 3 3 , ,l lq q           . (4.7) Заменив обозначение неизвестной функции ( , )q   , заданной в области S , на ( , )p   , замечаем, что второе тождество (4.2) относительно нормальных напряжений  выполнено на всей границе полупространства, как и в случае заданных напряже- ний  при отсутствии касательных напряжений  ,  на границе полупростран- ства, рассмотренном в §1 при условии (1.10). Следовательно, решение смешанной задачи при условиях (4.2) имеет симметрию инверсии для тех же компонент, что и в первой основной задаче, рассмотренной в §1. Т. е. имеют место тождества (1.6), (1.7). 133 §5. Задача кручения. Деформация кручения упругой среды вокруг оси Oz характеризуется наличием только одной компоненты u вектора перемещений ( 0u  , 0u  ), не зависящей от переменной  и удовлетворяющей уравнению [2, 10]: 2 2 2 1 0 sin u u      ;  2 2 2 1 1 sin sin                       . (5.1) Не равными тождественно нулю являются лишь напряжения u G            ;  sin sin G u        . (5.2) Пусть на границе полупространства заданы напряжения 2 1 ( )t G        , (5.3) для которых выполняется условие симметрии   3 2 3 3 l lt t         . (5.4) С учетом второго равенства (5.2), граничное условие (5.3) запишем в виде   2 sin ( )u t           . (5.5) Можно показать, что для всякой функции ( , )h   справедливо равенство 5 2 2 12 2 5 2 2 ( , ) ( , )1 1 sin sin h h l                          ; (5.6) 2l    ;  2 2 1 2 1 1 sin sin                         . При этом заметим, что из аналогичного (5.6) равенства 52 2 2 21 1 12 2 2 5 2 2 2 ( , , ) ( , , )1 1 sin sin h h l                               непосредственно вытекает теорема Кельвина об инверсии гармонической функции 1( , , ) ( , , )h        (см. §1). Обозначив ( , )u h    , из (5.1), (5.5) для функции ( , )h   получаем крае- вую задачу 2 2 2 ( , )1 0 sin h              ;   3 2 ( , ) sin ( )h t             . (5.7) Выполнив в (5.7) преобразовании инверсии 2l   , на основании (5.5), (5.6) получаем 2 2 2 ( , )1 0 sin h              ;   3 2 ( , )sin ( )h t              . (5.8) Из соотношений (5.7), (5.8) вытекает тождество ( , ) ( , )h h    , которое, с учетом замен ( , )u h    , 2l   , означает симметричность функ- ции u : 134   2l lu u          . (5.9) Из второго равенства (5.2) приходим к симметричности функции 3   :   3 2 3 3 , , , ,l l                 . (5.10) Из первого равенства (5.2), учитывая (5.9), заключаем, что напряжения  не обла- дают симметрией инверсии. §6. Примеры. 1. В точках jl  , 2  ,   границы полупространства приложены сосре- доточенные нормальные силы jP ( 1, 2j  ). В граничных условиях (1.9) необходимо взять 1 2 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( ) 2 P P p l l G l l                 , где ( )   дельта-функция Дирака. Условие симметрии (1.10) будет выполнено, если принять, что 1 2 1 2P P l l , 1 2l l l . Тогда, как показано в §1, будут иметь место тождества (1.6), (1.7). 2. В случае действия на границе полупространства касательных радиальных сил ( )jQ , приложенных в точках jl  , 2  ,   ( 1, 2j  ), при соблюдении усло- вия (1) (2) 1 2Q Q l l   , как показано в §2, имеют место тождества (2.6), (2.7), в кото- рых 1 2l l l . 3. В случае действия на границе полупространства касательных окружных сил ( )jQ , приложенных в точках jl  , 2  ,   ( 1, 2j  ), при соблюдении усло- вия (1) (2) 1 2Q Q l l   , как показано в §3, выполняются тождества (1.6), (3.5), в кото- рых 1 2l l l . 4. Пусть в границу полупространства вдавливается штамп, занимающий в плане область  1 2 1 2,S l l        . Поверхность основания штампа задана уравне- нием ( , )z g    , где ( , ) ( )g A    . Вне области контакта S граница полу- пространства свободна от напряжений. В частном случае, когда 1 0  , 2 2  , ( ) constA   , имеем осесимметричную контактную задачу для кольцевого штампа [1]. В пренебрежении силами трения в области контакта граничные условия задачи имеют вид (4.1). При этом ( , ) 0p    и выполнены тождества (4.2), в которых 1 2l l l . Как показано в §4, решение такой задачи обладает симметрией инверсии, выраженной тождествами (1.6), (1.7). 5. Кольцевой штамп, занимающий в плане область  1 2 , 0 2S l l       и имеющий основание, описываемое уравнением z A   ( constA  ), вдавливается в упругое полупространство и при этом равномерно вращается вокруг своей оси с учетом сил трения в области контакта. В области S возникают касательные окруж- ные напряжения 0 22          , где 0  коэффициент трения. Как и в [2, 11], напряжения 2     определяются из решения осесимметричной задачи о вдавлива- нии кольцевого штампа в упругое полупространство. Решение задачи получается наложением решений смешанной задачи о гладком контакте кольцевого штампа и 135 задачи кручения. Симметрия этих двух решений выражается тождествами (1.6), (1.7) и (5.9), (5.10), соответственно. Т.к. перемещения u и напряжения  , возникающие в задаче кручения, имеют согласно (5.9), (5.10) такую же симметрию инверсии, как и в смешанной задаче (второе и пятое равенство (1.6) при 0,5  ), напряжения  не являются симметричными в обеих задачах, а перемещения u и напряжения  ,  , входящие в (1.6), (1.7), в задаче кручения не возникают, то для решения рассматрива- емой задачи выполняются те же тождества (1.6), (1.7), что и для смешанной задачи. Заключение. Исследована симметрия инверсии отдельных компонент вектора перемещений и тензора напряжений в решении задач Буссинеска и Черрути о действии нормальной и касательной (радиальной и окружной) сосредоточенных сил на упругое полупро- странство. С использованием принципа суперпозиции установленные свойства реше- ний задач Буссинеска и Черрути перенесены на решение первой краевой задачи тео- рии упругости для полупространства в случаях, когда одна из компонент нагрузки, заданной на границе полупространства, обладает симметрией инверсии, а две другие компоненты принимают нулевые значения. Исследована также симметрия инверсии в смешанной задаче, когда на одной части границы полупространства заданы нормаль- ные усилия при отсутствии касательных усилий, а на другой  условия гладкого кон- такта, а также в задаче кручения упругого полупространства. РЕЗЮМЕ. Досліджено симетрію інверсії окремих компонент вектора переміщень та тензора напружень у розв’язку першої крайової задачі теорії пружності для півпростору у випадках, коли одна із компонент навантаження, заданого на межі півпростору, має властивість симетрії інверсії, а дві інші компоненти приймають нульові значення. Досліджено також симетрію інверсії у змішаній задачі, коли на одній частині межі півпростору задано нормальні зусилля за відсутності дотичних зусиль, а на іншій  умови гладкого контакту, а також у задачі кручення пружного півпростору із заданими на його межі дотичними напруженнями. 1. Антипов Ю.А. Точное решение задачи о вдавливании кольцевого штампа в полупространство // Докл. АН УССР. Сер. А.: Физ.-мат. и техн. науки.  1987.  № 7.  С. 29  33. 2. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости.  Москва: Гостехиздат, 1953.  264 с. 3. Клячко С.Д. Об использовании преобразования инверсии для моделирования в некоторых задачах теории упругости и пластичности // Прикл. механика и техн. физика.  1972.  № 2.  С. 134  136. 4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.  Москва – Ленинград: Гостехиздат, 1951.  608 с. 5. Лурье А.И. Теория упругости.  Москва: Наука, 1970.  940 с. 6. Ляв А. Математическая теория упругости.  Москва – Ленинград: Гостехиздат, 1935.  674 с. 7. Максимович В.Н., Пляцко Г.В. Применение метода инверсии к определению напряжений в неодно- родных телах // Прикл. механика.  1974.  10, № 10.  С. 70  76. 8. Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика.  Москва: Мир, 1964.  660 с. 9. Некислих К.М., Острик В.І. Розклинювання пружного клина // Вісн. Київського ун-ту ім. Т. Шев- ченка. Серія «Фіз.-мат. науки». – 2009. – № 3. – С. 91 – 96. 10. Новацкий В. Теория упругости. – Москва: Мир, 1975. – 872 с. 11. Ростовцев Н.А. К задаче о кручении упругого полупространства // Прикл. математика и механи- ка. – 1955. – 19. – 55 – 60. 12. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1977. – 735 с. 13. Michell J.H. The inversion of plane stress // Proc. London Math. Soc. – 1902. – 34. – P. 134. 14. Michell J.H. The flexure of a circular plate // Proc. London Math. Soc. – 1902. – 34. – P. 223 – 238. 15. Ostrik V.I. Inversion symmetry of the solutions of basic boundary-value problems of two-dimensional elasticity theory for a wedge // J. of Mathem. Scie.  2020.  247, N 1.  P. 108 – 138. 16. Ostryk V.I., Shchokotova O.M. Sliding contact of a punch with elastic wedge // Mater. Sci.  2012.  47, N 4.  P. 514  526. Поступила 16.04.2019 Утверждена в печать 09.07.2020 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020006d00610069007300200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200070007200e9002d0069006d0070007200650073007300f50065007300200064006500200061006c007400610020007100750061006c00690064006100640065002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /RUS <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge