Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями
В работе в рамках линеаризированной теории упругости получено решение плоской задачи о передаче горизонтальной сосредоточенной нагрузки от слабо неоднородного бесконечного стрингера к защемлённой одной гранью упругой бесконечной полосе с начальными напряжениями. Исследования проведены в общем виде д...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2020
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188286 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями / С.Ю. Бабич, Н.Н. Дихтярук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 69-78. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-188286 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1882862023-02-21T01:26:52Z Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями Бабич, С.Ю. Дихтярук, Н.Н. В работе в рамках линеаризированной теории упругости получено решение плоской задачи о передаче горизонтальной сосредоточенной нагрузки от слабо неоднородного бесконечного стрингера к защемлённой одной гранью упругой бесконечной полосе с начальными напряжениями. Исследования проведены в общем виде для теории больших начальных деформаций и нескольких вариантов теории малых начальных деформаций при произвольной структуре упругого потенциала. Решение задачи сведено относительно нормальных и тангенциальных контактных напряжений к разрешающей системе рекуррентных систем интегро-дифференциальных уравнений, решение для которых построено по степеням малого параметра. Нулевое приближение решения неоднородной задачи строится при помощи интегрального преобразования Фурье. В рамках лінеаризованої теорії пружності отримано розв`язок плоскої контактної задачі про передачу горизонтального навантаження від слабко неоднорідного нескінченного в обох напрямках стрингера до защемленої на одному краї пружної смуги з початковими напруженнями. Дослідження проведено в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та різних варіантів теорії малих початкових деформацій для довільної структури пружного потенціалу. Розв’язок задачі про знаходження нормальних і тангенціальних контактних напружень зведено до розв’язуючої системи рекурентних систем інтегро-диференціальних рівнянь, розв’язки яких побудовано за степенями малого параметру. Нульове наближення розв’язку неоднорідної задачі будується за допомогою інтегрального перетворення Фур’є. Контактні напруження представлено у вигляді інтегралів Фур’є. Within the framework of the linearized theory of elasticity, the solution is obtained for the plane contact problem on the transfer of the horizontal load from the weakly inhomogeneous infinite in both directions stringer into the stripe with initial stresses. The study is carried out in the general case of the theory of large (finite) initial deformations and various versions of the theory of small initial deformations with an arbitrary form of the elastic potential. The solution of the problem on finding the normal and tangential contact stresses is reduced to the recurrent systems of integro-differential equations, solutions of which are constructed by the orders of a small parameter. The zeroth approximation is built by the integral Fourier transform. The contact stresses expressions are represented by the Fourier integrals. 2020 Article Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями / С.Ю. Бабич, Н.Н. Дихтярук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 69-78. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188286 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе в рамках линеаризированной теории упругости получено решение плоской задачи о передаче горизонтальной сосредоточенной нагрузки от слабо неоднородного бесконечного стрингера к защемлённой одной гранью упругой бесконечной полосе с начальными напряжениями. Исследования проведены в общем виде для теории больших начальных деформаций и нескольких вариантов теории малых начальных деформаций при произвольной структуре упругого потенциала. Решение задачи сведено относительно нормальных и тангенциальных контактных напряжений к разрешающей системе рекуррентных систем интегро-дифференциальных уравнений, решение для которых построено по степеням малого параметра. Нулевое приближение решения неоднородной задачи строится при помощи интегрального преобразования Фурье. |
| format |
Article |
| author |
Бабич, С.Ю. Дихтярук, Н.Н. |
| spellingShingle |
Бабич, С.Ю. Дихтярук, Н.Н. Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями Прикладная механика |
| author_facet |
Бабич, С.Ю. Дихтярук, Н.Н. |
| author_sort |
Бабич, С.Ю. |
| title |
Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями |
| title_short |
Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями |
| title_full |
Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями |
| title_fullStr |
Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями |
| title_full_unstemmed |
Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями |
| title_sort |
передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2020 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/188286 |
| citation_txt |
Передача нагрузки от бесконечного неоднородного стрингера к защемленной одной гранью упругой полосе с начальными напряжениями / С.Ю. Бабич, Н.Н. Дихтярук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 69-78. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT babičsû peredačanagruzkiotbeskonečnogoneodnorodnogostringerakzaŝemlennojodnojgranʹûuprugojpolosesnačalʹnyminaprâženiâmi AT dihtâruknn peredačanagruzkiotbeskonečnogoneodnorodnogostringerakzaŝemlennojodnojgranʹûuprugojpolosesnačalʹnyminaprâženiâmi |
| first_indexed |
2025-07-16T10:17:09Z |
| last_indexed |
2025-07-16T10:17:09Z |
| _version_ |
1837798292747976704 |
| fulltext |
2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 6 69
С . Ю . Б а б и ч 1 , Н . Н . Д и х т я р у к 2
ПЕРЕДАЧА НАГРУЗКИ ОТ БЕСКОНЕЧНОГО НЕОДНОРОДНОГО
СТРИНГЕРА К ЗАЩЕМЛЁННОЙ ОДНОЙ ГРАНЬЮ УПРУГОЙ ПОЛОСЕ
С НАЧАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ
1 Институт механики им.С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: desc@inmech.kiev.ua
2 Хмельницкий национальный университет, ул. Институтская,11,
29016, Хмельницкий, Украина; e-mail: mega-dihtyaruk@ukr.net
Abstract. Within the framework of the linearized theory of elasticity, the solution is ob-
tained for the plane contact problem on the transfer of the horizontal load from the weakly
inhomogeneous infinite in both directions stringer into the stripe with initial stresses. The
study is carried out in the general case of the theory of large (finite) initial deformations and
various versions of the theory of small initial deformations with an arbitrary form of the
elastic potential. The solution of the problem on finding the normal and tangential contact
stresses is reduced to the recurrent systems of integro-differential equations, solutions of
which are constructed by the orders of a small parameter. The zeroth approximation is built
by the integral Fourier transform. The contact stresses expressions are represented by the
Fourier integrals.
Key words: сontact problem, linearized theory of elasticity, elastic strip, initial (residu-
al) tension, initial deformation.
Введение.
Одним из наиболее распространенных на практике способов передачи внешних
усилий является контактное взаимодействие. В связи с этим исследование вопросов
контактного взаимодействия (контактные задачи) твердых тел представляется весьма
актуальной проблемой. Эта проблема актуальна как с точки зрения развития фунда-
ментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки
зрения приложений к различным отраслям современной техники. Особенно широкое
применение теория контактных задач находит в машиностроении, так как передача
усилий в узлах и механизмах машин сопровождается контактным взаимодействием
деталей [14, 15, 19]. Методы, развиваемые в теории контактных задач, позволяют
найти распределение давлений в местах контакта, изучить концентрацию напряжений
и разработать критерии ее снижения. Одним из важных факторов при контактном
взаимодействии (наряду с другими) является учёт начальных напряжений [1 – 3, 6, 8,
9]. Несмотря на существенное достижение в развитии контактных задач, вопрос учета
начальных напряжений при контактном взаимодействии остался почти полностью
неразработанным до последнего времени. Как известно, практически во всех элемен-
тах конструкции присутствуют начальные напряжения. Последние могут быть вызва-
ны различного рода причинами. Например, технологическими операциями, проводи-
мыми при изготовлении целого ряда материалов или сборкой конструкций. В земной
коре начальные напряжения возникают вследствие действия геостатических и геоди-
намических сил в композитных материалах при технологических процессах их созда-
ния; в кровеносных сосудах живых организмов. Начальные напряжения необходимо
учитывать при решениях задач о деформировании грунтов (особенно мёрзлых). Кро-
70
ме того, в упруго пластических телах также могут присутствовать внутренние оста-
точные напряжения после снятия нагрузок. Иногда целесообразно преднамеренно
создавать начальные напряжения (остаточные и технологические) для компенсации
тех напряжений, которые возникают в элементах конструкций в процессе работы, и
повышают их прочностные характеристики. Таким образом, механика материалов и
элементов конструкций, геофизика, сейсмология, механика горных пород, механика
композитов, биомеханика, неразрушающие методы определения напряжений и ряд
других – такой далеко не полный перечень научных направлений фундаментального и
прикладного характера, в которых возникают проблемы, связанные с необходимо-
стью исследования влияния начальных (или остаточных) напряжений или деформа-
ций. Исходя из этого, следует отметить важность необходимости исследования влия-
ния начальных напряжений на напряженно-деформированное состояние в области
контакта. Учет начальных напряжений при расчете ответственных элементов кон-
струкций, машин и сооружений позволяет при их создании более эффективно учесть
прочностные ресурсы материалов путем правильной оценки запасов прочности и су-
щественно снизить их материалоемкость, сохраняя нужные фундаментальные харак-
теристики в целом. Очень часто с целью увеличения прочности конструкции возника-
ет необходимость усиления некоторых несущих элементов конструкций упругими
креплениями (стрингерами). Результаты исследований в этом направлении при нали-
чии в конструкции начальных напряжений описаны в работах [2, 3, 17, 19]. Результа-
ты данной работы отличаются от ранее известных тем, что здесь впервые рассматри-
вается исследование контактного взаимодействия предварительно напряжённой поло-
сы с бесконечным неоднородным стрингером.
§1. Постановка задачи и исходные разрешающие уравнения.
Пусть упругая однородная полоса толщины t с начальными напряжениями за-
щемлена гранью 2y t , а на другой своей грани 2 0y усилена неоднородным бес-
конечным упругим стрингером малой толщины h. Усиленная таким образом беско-
нечная упругая полоса с начальными напряжениями подвергается воздействию вер-
тикальных и горизонтальных сил интенсивностей 0 1p y и 0 1q y , соответственно
(рис. 1).
Рис. 1
Осевое напряжение по направлению оси 1Oy находим по формуле
1 1 11 1 , 1y y y yy E y ; (1.1)
1 1
1
1
1
.y y
du y
y
dy
(1.2)
Здесь 1( )u y – горизонтальные перемещения точек упругого стрингера.
Используя условия равновесия упругого стрингера, имеем
1
1 1 1 0 1
1
y
y y y q t q t dt y
h
. (1.3)
Учитывая (1.1) – (1.3), находим
71
1
1
0 1
1 1
1
ydu y
q t q t dt y
dy E h
. (1.4)
Из предположения, что стрингер в вертикальном направлении изгибается как обычная
балка, примем
4
1
1 0 1 14
1
.
d v y
D p y p y y
dy
(1.5)
Здесь 1( )v y – вертикальные перемещения точек стрингера; D – жесткость стрингера на
изгиб; 0 1 1( ),p y p y – интенсивность вертикальных сил.
На линии контакта стрингера с упругой полосой имеют место условия
1 1 1 1 2 1 1 1; , ,u y u y v y u y y y (1.6)
где 1 1 2 1,u y u y – перемещения точек в упругой полосе с начальными напряжения-
ми. Нужно определить закон распределения нормальных и тангенциальных контакт-
ных напряжений вдоль линии соединения стрингера с полосой.
Для определения неизвестных перемещений и напряжений по линии контакта
стрингера с полосой предварительно решим вспомогательную задачу, а именно:
найдём поле упругих перемещений и напряжений в предварительно напряжённой
бесконечной полосе от действия приложенной к её свободной грани сосредоточенной
силы ,P направленной под произвольным углом 0 . Используется при этом инте-
гральное преобразование Фурье (рис. 2).
Рис. 2
Исследования проведены в рамках линеаризированной теории упругости при
произвольной структуре упругого потенциала в общем виде для теории больших (ко-
нечных) и нескольких вариантов теории малых начальных деформаций. При переходе
к различным вариантам теории малых начальных деформаций необходимо ввести
упрощения, указанные в [1, 4, 5].Следуя [1, 11, 13], для решения поставленной задачи
используем решения для сжимаемых и несжимаемых тел в координатах деформиро-
ванного начального состояния ³ i iy . Тогда перемещения, которые определяют
начальное состояние в случае однородных начальных напряжений, имеют вид
0 11 1m im i i im i i iu x y . (1.7)
Здесь 1, 2i i – удлинения, которые характеризируют начальное деформирован-
ное состояние; ix – лагранжевые координаты; 0
mu – перемещения, которые определя-
ют начальное состояние; im – компоненты метрического тензора деформаций. Рас-
сматривается случай плоской деформации, когда 11 22
0 0 1 2 3 30, 0, , 1s s ,
72
где 11 22
0 0 3, ,s s – известные величины, которые зависят от начального напряженного
состояния и вида упругого потенциала.
Запишем граничные условия задачи для верхней грани упругой полосы с начальными
напряжениями от приложенной силы P под углом 0 . Исходя из рис. 2, находим
22 1 1 0 11 1 1 0,0 sin ; ,0 cosQ y P y Q y P y ; (1.8)
1 1 2 1 10; 0 ( )u y t u y t y , (1.9)
где 1( )y – дельта-функция Дирака.
В результате решения поставленной задачи функции влияния от действия нор-
мальной силы (при 0 / 2 ) для равных корней ( 1 2n n ) имеют вид
1 11 111
0
1
cosh y H y d
; 1 12 112
0
1
sin ;h y H y d
(1.10)
для неравных корней ( 1 2n n )
1 11 111
0
1
cos ;h y H y d
1 12 112
0
1
sin .h y H y d
(1.11)
Здесь , , 1, 2ijh i j – функции влияния, которые характеризируют перемещения
граничных точек грани 2 0y бесконечной упругой полосы с начальными напряже-
ниями от единичной нормальной силы. Ядра ;ij ijH H имеют вид [3, 10, 18, 25]:
для равных корней ( 1 2n n )
22 2 1
11 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1,0 ;H H n s sh s s sh s
11 0
12 2 0 0 1 1 1 1 1 1
1
,0
m n
H H i s s s s s s
n
(1.12)
и для неравных корней ( 1 2n n )
2 2
11 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1,0 ch2 shH H n s s s s s
2 1
0 1 1 1 1 4 2 ;s ch s (1.13)
10 1
12 2 0 1 3 0 1 1 1 1 1 1 2
1
,0 .
n m
H H i s s s s s
n
Функции влияния от действия единичной тангенциальной силы (при 0 0 ) для
равных корней ( 1 2n n ) такие:
21 1 21 1
0
1
sin ;h y H y d
22 1 22 1
0
1
cos .h y H y d
(1.14)
Для неравных корней ( 1 2n n ) можем записать
21 1 21 1
0
1
sinh y H y d
; 22 1 22 1
0
1
cos .h y H y d
(1.15)
73
Ядра ijH и ijH , соответственно, имеют вид [3, 21, 22]:
для 1 2n n
2 2
21 0 1 1 1 1 11 ch shH m s s s s
2 2 1
0 1 1 11 1 1 1 1 11 sh ch ch ;m s s s sh s (1.16)
22 2 2 10 1
22 1 11 1 1 1 1 1 1
1
( ) ch ;
m m
H i s s s sh s s
n
для 1 2n n
1
21 0 1 1 2 3 1 2 3 2 ;H m ss s s
2 20 1
22 1 2 1 1 1 4 1 1 1
1
1 ch 2 sh
m m
H i s ss s ss
n
(1.17)
2 2 1
1 21 1 1 4 3 2ch .ss s
Здесь 1n и 2n
корни определяющего уравнения [1, 23, 24]. Величины, фигурирующие
в формулах (1.12), (1.13), (1.15), (1.16), выражены через известные параметры началь-
ного напряжённого состояния [3, 4, 20].
§2. Разрешающая система рекуррентных систем уравнений.
Используя принцип суперпозиции, перемещения точек упругой полосы с началь-
ными напряжениями в направлении осей 10y и 20y от одновременного действия нор-
мальных и тангенциальных напряжений для сжимаемых и несжимаемых тел в случае
упругих потенциалов произвольной структуры, определяются формулами [3, 12]
1 1 11 1 12 1u y h y p d h y q d
;
(2.1)
2 1 21 1 22 1 .u y h y p d h y q d
Следуя [3, 4], согласно принятых предположений и обозначений, задачу можно
сформулировать в виде системы уравнений
22
2 1
1 1 0 12 2
1 1
( )
( )
d u yd
D y p y p y
dy dy
1( );y (2.2)
1
1 1
1 1 0
1
( )
( ) ,
y
du y
E y h q q d
dy
где 1 1 1( ) ( )D y IE y – жесткость стрингера на изгиб; I – параметр неоднородности
жесткости.
Пусть материал стрингера обладает слабой неоднородностью, изменяющейся по
закону
1 1 1( ) [(1 ( )]E y Е f y 1( )y , (2.3)
где 1( )f y некоторая известная функция; малый параметр.
Используя условия контакта (1.6) и представляя неизвестные контактные напря-
жения 0 1p y , 0 1q y в виде ряда по степеням малого параметра, запишем
74
( )
0 1 1
0
( );k k
k
p y p y
( )
0 1 1
0
( )k k
k
q y q y
1( )y . (2.4)
Из (2.2), используя (2.3), (2.4), а также формулу (2.1), получаем разрешающую си-
стему рекуррентных систем интегро-дифференциальных уравнений
4 (0)
(0)2 1
0 1 0 14
1
( )
( )
d u y
D p y p y
d y
1( )y ; (2.5)
2 (0)
(0)1 1
0 1 0 12
1
( )
( ) ( )
( )
d u y
E h q y q y
d y
;
4 ( )
( ) ( 1)2 1
0 1 1 14
1
( )
( )
k
k kd u y
D p y f y
d y
( 1, 2,...)k ; (2.6)
2 ( )
( ) ( 1)1 1
0 1 2 12
1
( )
( ) ( ),
( )
k
k kd u y
E h q y f y
d y
где
( ) ( )
1 1 21 1 22 1
k ku y h y p d h y q d
1( , 0, 1,...);y k
(2.7)
( ) ( )
2 1 11 1 12 1 ;k ku y h y p d h y q d
2 ( 1)2
( 1) 2 1
1 1 0 12
11
( )
( ) ( )
( )( )
k
k d u yd
f y D f y
d yd y
( 1, 2, ...)k ;
( 1)
( 1) 1 1
2 1 0 1
11
( )
( ) ( ) ;
( )( )
k
k du yd
f y E h f y
d yd y
0 0 .D E I
Здесь 0D – нулевой член разложения в ряд величины 1( )D y .
Система (2.5) описывает контактную задачу для однородного бесконечного стрин-
гера [3, 7], каждая последующая система из (2.6) отличается от предыдущей лишь
внешней нагрузкой. Следовательно, решение контактной задачи для предварительно
напряжённой полосы, усиленной неоднородным бесконечным стрингером, сводится к
решению ряда однородных контактных задач, отличающихся лишь сходными внеш-
ними нагрузками. Нулевое приближение решения, т.е. решение системы (2.5) с помо-
щью преобразования Фурье, построено в [3] и принимает вид
12 1
1 21 0 22 02
i yp y H q H p H e d
1( );y
(2.8)
11
1 11 0 12 02
i yq y H q iH p H e d
.
Здесь величины 1 ( ),H ( ) , 1, 2ijH i j выражаются через известные функции
( )ijH и ( ) , 1, 2ijH i j , которые определяются согласно формулам для равных и
неравных корней определяющего уравнения [1, 3, 4] в случае конкретной структуры
упругих потенциалов; остальные приближения решений, которые являются влиянием
неоднородности материала стрингера строятся аналогичным способом, 0 ( )p и
0 ( )q – трансформанты Фурье от функций контактных напряжений по линии контак-
та; – коэффициент Ляме.
75
Таким образом, k-е приближение имеет вид
1( ) ( )
1
1
( )
2
isyk kp y P s e ds
; 1( ) ( )
1
1
( )
2
isyk kq y Q s e ds
( 1, 2, ...)k ,
где
2 ( 1) 2 3 ( 1)
1 0 22 0 2 12( )
( ) ( ) 1 ( ) ( )
( )
k k
k
Ds f s E hs H s E hs f s H s
P s
L s
( 1, 2, ...)k ;
(2.9)
( 1) 4 3 ( 1)
0 2 0 11 0 1 12( )
( ) ( ) 1 ( ) ( )
( )
k k
k
IE hs f s D hs H s D hs f s H s
Q s
L s
являются трансформантами Фурье контактных напряжений.
В (2.9)
4 2 4 2
0 11 0 22 0 0 12( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )L s D s H s E hs H s D E s hH s ;
( 1) ( 1)
1( ) ( )k k
j jf s F f y ( 1, 2)j ( 1, 2, ...)k .
Здесь F – оператор преобразования Фурье для указанной функции (функционал).
§3. Решение систем разрешающих уравнений.
Применив к обеим частям системы (2.8) интегральное преобразование Фурье по
переменной 1y и используя теорему о свёртке, найдём выражения для контактных
напряжений в упругих полосах с начальными напряжениями. Нулевое приближение
решения для случая равных и неравных корней разрешающего уравнения примет вид
(2.8), если в этих формулах произвести замену для равных корней 1 2( )n n * ( )ijH на
( )ijH , для неравных корней 1 2( )n n * ( )ijH на ( )ijH , где ядра ijH и ijH ,
соответственно, имеют вид (1.17)
Рассмотрим числовые примеры для несжимаемых тел неогуковского материала
(потенциал Трелоара) (рис. 3, 4).
Рис. 3
76
Рис. 4
Потенциал
Трелоара
Уменьшение, % Увеличение, %
λ1 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
p( ) / p0 63,45 44,02 31,76 0 38,26 40,68 72,42
q( ) / q0 54,06 51,76 36,52 0 47,88 53,33 60,72
В таблице p( ), q( ) – безразмерные контактные нормальные и тангенциальные
напряжения. Значение 1 1 (на графиках сплошная линия) соответствует классиче-
ской теории упругости и совпадает с результатом работы [5]; 1 0,7; 0,8; 0,9 соот-
ветствует начальным напряжениям сжатия; 1 1,1; 1,2; 1,3 соответствует начальным
напряжениям растяжения; – безразмерная координата начального напряжённого
состояния в упругой полосе с начальными напряжениями.
Анализ графиков показывает: в случае сжатия ( 1 1 ) наличие начальных напря-
жений в упругой полосе приводит к значительному уменьшению контактных напря-
жений, в случае растяжения ( 1 1 ) – к их увеличению.
Заключение.
В работе в рамках линеаризированной теории упругости получено решение плос-
кой задачи о передаче горизонтальной сосредоточенной нагрузки от слабо неодно-
родного бесконечного стрингера к защемлённой одной гранью упругой бесконечной
полосе с начальными напряжениями. Исследования проведены в общем виде для тео-
рии больших начальных деформаций и нескольких вариантов теории малых началь-
ных деформаций при произвольной структуре упругого потенциала. Решение задачи
сведено относительно нормальных и тангенциальных контактных напряжений к раз-
решающей системе рекуррентных систем интегро-дифференциальных уравнений,
решение для которых построено по степеням малого параметра. Нулевое приближе-
ние решения неоднородной задачи строится при помощи интегрального преобразова-
ния Фурье. В конечном итоге контактные напряжения представлены в виде интегра-
77
лов Фурье. Исследования, представленные в статье, дают возможность сделать ряд
обобщающих выводов, относящихся к влиянию начальных напряжений на закон рас-
пределения контактных усилий под бесконечным стрингером, взаимодействующим с
предварительно напряженной полосой.
1. В общем случае при равных и неравных корнях определяющего уравнения [1]
для рассмотренного в рамках линеаризированной теории класса задач сформулирован
общий метод их решения, дающий возможность получить решение поставленных
задач, если известно решение аналогичных линейных (без начальных напряжений)
задач.
2. Контактные напряжения на линии контакта с упругой накладкой существенно
зависят от начальных напряжений. Влияние количественного характера начальные
напряжения оказывают значительнее в высокоэластичных материалах по сравнению с
более жесткими материалами. Качественное влияние имеет идентичный характер.
Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы-
полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ-
лений научных исследований» (КПКВК 6541230).
Р Е З Ю М Е . В рамках лінеаризованої теорії пружності отримано розв`язок плоскої контакт-
ної задачі про передачу горизонтального навантаження від слабко неоднорідного нескінченного в
обох напрямках стрингера до защемленої на одному краї пружної смуги з початковими напруження-
ми. Дослідження проведено в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та різ-
них варіантів теорії малих початкових деформацій для довільної структури пружного потенціалу.
Розв’язок задачі про знаходження нормальних і тангенціальних контактних напружень зведено до
розв’язуючої системи рекурентних систем інтегро-диференціальних рівнянь, розв’язки яких побудо-
вано за степенями малого параметру. Нульове наближення розв’язку неоднорідної задачі будується
за допомогою інтегрального перетворення Фур’є. Контактні напруження представлено у вигляді
інтегралів Фур’є.
1. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Смешанные задачи для упругого основания с начальными
напряжениями. – Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. – 468 c.
2. Гузь О.М., Бабич С.Ю., Рудницький В.Б. Контактна взаємодія пружних тіл з початковими напру-
женнями. – Київ.: Вища шк., 1995. – 305 с.
3. Діхтярук М.М. Визначення функції впливу для пружної смуги з початковими (залишковими)
напруженнями // Праці. 4-го Міжн. симп. з трибофатики (ISTF), 23 – 27 вересня 2002 р. Тер-
нопіль (Україна) / Відп. ред. В.Т.Трощенко. – Тернопіль: Терноп. держ. техн. ун-т ім. Івана Пу-
люя, 2002. – С. 426 – 431.
4. Діхтярук М.М. Періодична контактна задача для пружної смуги з початковими (залишковими)
напруженнями // Доп. НАН України. – 2004. – № 3. – С. 46 – 49.
5. Саркисян В.С. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. – Ереван:
Изд. Ереван. ун-та, 1983. – 260 с.
6. Akopyan V.N., Mirzoyan S.Å., Mkhitaryan S.M. The Problem of the Contact between a Broken Stringer
and an Elastic Infinite Strip Containing a Vertical Edge Crack // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. –
P. 176 – 186.
7. Aleksandrov V.M. Optimal control of linear systems with interval constraints // Zh. Vychisl. Mat. Mat.
Fiz. – 2015. – 55, N 5. – P. 758 – 775.
8. Babich S.Yu., Guz A.N., Rudnitsky V.B. Contact Problems for Prestressed Elastic Bodies and Rigid and
Elastic Punches // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 7. – P. 744 – 765.
9. Babich S.Yu., Dikhtyaruk N.N., Degtyar S.V. Contact Problem for Two Identical Strips Reinforced by
Periodically Arranged Fasteners with Initial Stresses // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 6. – P. 629 –
635.
10. Bespalova E.I. Finite Integral Transform Method in Static Problems for Inhomogeneous Plates // Int.
Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6. – P. 651 – 663.
11. Guz A.N. Establishing the Foundations of the Mechanics of Fracture of Materials Compressed along
Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 1. – P. 1 – 57.
78
12. Guz A.N. Ultrasonic Nondestructive Method for Stress Analysis of Structural Members and Near-Surface
Layers of Materials: Focus on Ukrainian Research (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 3.
– P. 231 – 252.
13. Guz A.N. Recognition of the Achievements of the S.P. Timoshenko Institute of Mechanics by the
World’s Scientific Community // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 1. – P. 1 – 11.
14. Guz A.N. Nonclassical Problems of Fracture/Failure Mechanics: On the Occasion of the 50th Anniversary
of Research (Review). II // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 3. – P. 239 – 295.
15. Guz A.N., Bagno A.M. Influence of Prestresses on Quasi-Lamb Modes in Hydroelastic Waveguides // Int.
Appl. Mech. – 2020. – 56, N 1. – P. 1 – 12.
16. Dikhtyaruk N.N. Load transfer from the infinite stringer to the two jammed along one edge identical
stripes with initial (residual) stresses // Scie. J. Ternopil Nat. Techn. University. – 2016 – 83, N 3. – P.
51 – 61.
17. Dikhtyaruk N.N . Equilibrium of a Prestressed Strip Reinforced with Elastic Plates // Int. Appl. Mech. –
2004. – 40, N 3. – P. 290 – 296.
18. Dikhtyaruk N.N., Kurinenko O.V., Poplavskaya E.A., Samaruk N.N. Interaction between a Finite Stringer
and Two Identical Prestressed Strips: Contact Problem // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 1.
– P. 79 – 85.
19. Lugovoi P.Z., Meish V.F., Meish Yu.A., Orlenko S.P. Dynamic Design of Compound Shell Structures of
Revolution Under Nostationary Loads // Int. Appl. Mech. – 2020. – 56, N 1. – P. 22 – 32.
20. Moses O.P., Adewale A.O., Olusegun O.A. Numerical Analysis of Thermo-Elastic Contact Problem of
Disc Brakes for Vehicle on Gradient Surfaces // World J. of Engineering and Technology. – 2016. – 4,
N 1. – P. 51 – 58.
21. Rudnitsky V.B., Dikhtyaruk N.N. A Prestressed Elastic Strip with Elastic Reinforcements // Int. Appl.
Mech. – 2002. – 38, N 11. – P. 1354 – 1360.
22. Rudnitsky V.B., Dikhtyaruk N.N. Interaction between an Infinite Stringer and Two Identical Prestressed
Strips: Contact Problem // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 2. – P. 149 – 155.
23. Yaretskaya N.A. Three-Dimensional Contact Problem for an Elastic Layer and a Cylindrical Punch with
Prestresses // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 4. – P. 378 – 388.
24. Yaretskaya N.A. The impact of the initial (residual) stresses on the contact interaction of elastic cylindri-
cal punch and an elastic layer // Bulletin of NAS of Ukraine. – 2014. – N 1. – P. 57 – 62.
25. Yuan W.K., Long J.M., Ding Y., Wang G.F. Micro/Nanocontact Between a Rigid Ellipsoid and an Elastic
Substrate With Surface Tension // J. App. Mech. – 2017. – 84, N 1. – P. 011 – 012.
Поступила 27.05.2019 Утверждена в печать 09.07.2020
|