Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу

Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу

Одержано умови стiйкостi в середньому квадратичному систем лiнiйних стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
Hauptverfasser: Малик, І.В., Ясинський, В.К.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2009
Schlagworte:
Математика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18841
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / I.В. Малик, В.К. Ясинський // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-18841
record_format dspace
spelling irk-123456789-188412011-04-12T12:03:44Z Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Малик, І.В. Ясинський, В.К. Математика Одержано умови стiйкостi в середньому квадратичному систем лiнiйних стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу. The conditions of the stability in mean square are obtained for stochastic functional differential equations of the neutral type. 2009 Article Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / I.В. Малик, В.К. Ясинський // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18841 519.21 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Малик, І.В.
Ясинський, В.К.
Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
description Одержано умови стiйкостi в середньому квадратичному систем лiнiйних стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу.
format Article
author Малик, І.В.
Ясинський, В.К.
author_facet Малик, І.В.
Ясинський, В.К.
author_sort Малик, І.В.
title Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
title_short Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
title_full Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
title_fullStr Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
title_full_unstemmed Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
title_sort асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2009
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18841
citation_txt Асимптотична поведінка в середньому квадратичному розв'язків систем стохастичних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / I.В. Малик, В.К. Ясинський // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 15-20. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT malikív asimptotičnapovedínkavserednʹomukvadratičnomurozvâzkívsistemstohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹnejtralʹnogotipu
AT âsinsʹkijvk asimptotičnapovedínkavserednʹomukvadratičnomurozvâzkívsistemstohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹnejtralʹnogotipu
first_indexed 2025-07-02T19:47:11Z
last_indexed 2025-07-02T19:47:11Z
_version_ 1836565797910085632
fulltext УДК 519.21 © 2009 I. В. Малик, В. К. Ясинський Асимптотична поведiнка в середньому квадратичному розв’язкiв систем стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу (Представлено академiком НАН України В. С. Королюком) Одержано умови стiйкостi в середньому квадратичному систем лiнiйних стохасти- чних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу. Нехай на ймовiрнiсному базисi (Ω, F, P,ℑ), де ℑ = {Ft, t > 0} — фiльтрацiя, задано ви- падковий процес x(t) = x(t, ω) ∈ R n, стохастичний диференцiал якого задовольняє сис- тему лiнiйних стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу (НСДФС) [1] d{Dxt} = {Lxt}dt+ {Gxt}dw(t) + ∫ Z P (z)xtṽ(dz, dt) (1) за початковою умовою x0 = ϕ, (2) де xt ≡ {x(t + s),−h 6 s 6 0} ∈ S[−h,0] — простiр Скорохода [2] неперервних справа функцiй, що мають лiвостороннi границi; ϕ ∈ S[−h,0] — F0-вимiрний випадковий процес; w(t) = w(t, ω) — одновимiрний випадковий вiнерiв процес, що узгоджений з ℑ = {Ft, t > 0}; ṽ(dz, dt) ≡ v(dz, dt)−Π(dz) dt — центрована пуассонова мiра, яка узгоджена з ℑ i незалежна вiд w(t). D, L, G — функцiонали [3], що заданi для ψ ∈ S[−h,0] спiввiдношеннями Dψ ≡ 0∫ −h [dr1(t)]ψ(t), Lψ ≡ 0∫ −h [dr2(t)]ψ(t), Gψ ≡ 0∫ −h [dr3(t)]ψ(t), P (z)ψ = 0∫ −h [dr4(z, t)]ψ(t), (3) де ri(t), i = 1, . . . , 4, — матричнi функцiї з простору R n∗n, елементи яких належать S[−h,0] та мають обмежену варiацiю на вiдрiзку [−h, 0]. Для лiнiйного НСДФС (1), (2) має мiсце теорема iснування та єдиностi з точнiстю до стохастичної еквiвалентностi сильного розв’язку x(t) ∈ R n, для якого iснує скiнченний другий момент E|x(t)|2 < ∞ за умови, що другий момент початкової функцiї обмежений E‖ϕ‖2 < ∞. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 15 Поряд iз системою (1) розглянемо вiдповiдну детермiновану систему dDxt = Lxtdt. (4) Якщо позначити через V (z) = z 0∫ −h dr1(s)e zs − 0∫ −h dr2(s)e zs (5) характеристичну матрицю системи (4), то det(V (z)) є характеристичним квазiполiномом [4]. Надалi дiють такi припущення: 1) усi коренi z ∈ C рiвняння det ( z 0∫ −h dr1(s)e zs ) = 0 (6) мають вiд’ємнi дiйснi частини; 2) усi коренi z ∈ C характеристичного рiвняння detV (z) = 0 (7) мають вiд’ємнi дiйснi частини. Вiдомо [3], що при виконаннi припущень 1, 2 рiвняння (4), (2) має асимптотично стiйкий тривiальний розв’язок y(t) ≡ 0. Через X(t) позначимо матрицю Кошi, тобто матричний розв’язок рiвняння (4) за початковою умовою X(t) ≡ 1(t) = { 0 n, −h 6 t < 0, 1 n, t = 0, де 1 n, 0n — вiдповiдно одинична та нульова матриця в просторi Rn∗n. Лема 1 [1]. Сильний розв’язок НСДФС (1), (2) можна подати у виглядi x(t) = y(t) + t∫ 0 X(t− s) 0∫ −h dr3(s1)x(s+ s1) dw(s) + + ∫ Z t∫ 0 X(t− s) 0∫ −h dr4(z, s1)x(s+ s1)ṽ(dz, dt), (8) де y(t) — розв’язок задачi (4), (2). Теорема 1. Нехай на ймовiрнiсному базисi (Ω, F, P,ℑ) задано НСДФС (1) за поча- тковою умовою (2) та виконуються припущення 1, 2. Тодi тривiальний розв’язок задачi Кошi (1), (2) асимптотично стiйкий у середньому квадратичному тодi i лише тодi, коли всi власнi значення матрицi D = ∞∫ 0 X1(t)⊗XT 1 (t) dt+ ∞∫ 0 ∫ Z X2(z1, t)⊗XT 2 (z1, t)Π(dz1) dt (9) 16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10 меншi 1 за модулем, де Xi заданi рiвностями X1(t) ≡ GXt; X2(z, t) ≡ P (z)xt. Доведення. Розглянемо матрицю S(t) = x(t)xT (t) [5] розмiрностi n× n, яку розгляда- тимемо на асимптотичну стiйкiсть у середньому квадратичному [6] поелементно. Зрозумiло, що з асимптотичної стiйкостi в l.i.m. матрицi S(t) випливає асимптотична стiйкiсть три- вiального розв’язку x(t) ≡ 0 задачi (1), (2). А також з нестiйкостi в l.i.m. матрицi S(t) випливає нестiйкiсть x(t) ≡ 0 задачi Кошi (1), (2). Обчислимо Q(t) ≡ E{S(t)}: E(x(t)xT (t)) = E(y(t)yT (t)) + t∫ 0 X(t− s)E { 0∫ −h dr3(s1)x(s+ s1) 0∫ −h xT (s+ s2)(dr3(s2)) T+ + ∫ Z 0∫ −h dr4(z, s1)x(s + s1) 0∫ −h xT (s+ s1)(dr3(z, s1)) TΠ(dz) } XT (t− s) ds. (10) Введемо до розгляду деякий лiнiйний функцiонал R [3] i обчислимо E{Rxt(Rxt) T }, (11) де як R узято по черзi функцiонали G та P (z): E(Gxt(Gxt) T ) = E(Gyt(Gyt) T ) + + t∫ 0 GXt−sE { Gxs(Gxs) T + ∫ Z P (z)xs(P (z)xs) TΠ(dz) } (GXt−s) Tds, E(P (z)xt(P (z)xt) T ) = E(P (z)yt(P (z)yt) T ) + + t∫ 0 P (z)Xt−sE { Gxs(Gxs) T + ∫ Z P (z)xs(P (z)xs) TΠ(dz) } (P (z)Xt−s) Tds. Додавши двi останнi рiвностi, отримаємо E(Gxt(Gxt) T ) + ∫ Z E(P (z1)xt(P (z1)xt) T )Π(dz1) = = E(Gyt(Ryt) T ) + ∫ Z E(P (z1)yt(P (z1)yt) T )Π(dz1) + + t∫ 0 GXt−sE { Gxs(Gxs) T + ∫ Z P (z)xs(P (z)xs) TΠ(dz) } (GXt−s) Tds+ + ∫ Z t∫ 0 P (z1)Xt−sE { Gxs(Gxs) T+ ∫ Z P (z)xs(P (z)xs) TΠ(dz) } (P (z1)Xt−s) TΠ(dz1)ds. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 17 Введемо такi позначення: u1(t) ≡ Gxt; u2(z, t) ≡ P (z)xt; y(1)(t) ≡ Gyt; y(2)(z, t) ≡ P (z)yt; u(t) ≡ u1(t)u T 1 (t) + ∫ Z u2(z1, t)u T 1 (z1, t)Π(dz1); G(z) ≡ ∞∫ 0 e−ztu(t) dt; Y (z) ≡ ∞∫ 0 e−zt ( y(1)(t)(y(1)(t))T + ∫ Z y(2)(z1, t)(y (2)(z1, t)) TΠ(dz1) ) dt. (12) Враховуючи позначення (12), легко отримати рiвнiсть Eu(t) = E { y(1)(t)(y(1)(t))T + ∫ Z y(2)(z1, t)(y (2)(z1, t)) TΠ(dz1) } + + t∫ 0 X1(t− s)Eu(s)(X1(t− s))Tds + + ∫ Z t∫ 0 X2(z1, t− s)Eu(s)(X2(z1, t− s))TΠ(dz1) ds. (13) Застосуємо перетворення Лапласа [7] до лiвої та правої частин матричного рiвняння вiдновлення (13), одержимо рiвняння для зображень G(z) = Y (z) + ∞∫ 0 e−ztX1(t)G(z)X T 1 (t) dt+ ∞∫ 0 e−zt ∫ Z X2(z1, t)G(z)X T 2 (z1, t)Π(dz1) dt. (14) Очевидно, що зображення G(z), як функцiя дiйсної змiнної, є спадною i невiд’ємною [7]. Зауважимо, що з асимптотичної стiйкостi в l.i.m. елементiв матрицi Rxt(Rxt) T випливає асимптотична стiйкiсть в l.i.m. елементiв матрицi Q(t), а отже, i асимптотична стiйкiсть в l.i.m. розв’язку задачi Кошi для НСДФC (1), (2). Очевидно, що має мiсце i протилежне твердження вiдносно нестiйкостi даних рiвнянь. Рiвняння (14) при G = G(0) набуде вигляду G = Y (0) + ∞∫ 0 X1(t)GX T 1 (t) dt+ ∞∫ 0 e−zt ∫ Z X2(z1, t)GX T 2 (z1, t)Π(dz1) dt. (15) Зауважимо, що розв’язки y(t), X1(t) та X2(t) є експоненцiально обмеженими [1] внаслi- док виконання припущень 1, 2 щодо вiд’ємностi дiйсних частин коренiв характеристичних рiвнянь (6), (7). Для подальших мiркувань щодо дослiджень асимптотичної стiйкостi в l.i.m. розв’язкiв НСДФС (1), (2) обчислимо спочатку добуток матриць X = (Xi,j)i,j=1,...,n, G = (Gi,j)i,j=1,...,n, тобто XGXT = ( n∑ k=1 n∑ l=1 Xi,kXj,lGk,l ) . (16) 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10 Для спрощення викладок скористаємось поняттям тензорного добутку матриць [5]: X ⊗XT =   X11X T X12X T X13X T . . . X1nX T X21X T X22X T X23X T . . . X2nX T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xn1X T Xn2X T Xn3X T . . . X1nX T   . (17) Отже, матричне рiвняння (15), враховуючи (17), набуде вигляду G̃ = M̃ + ( ∞∫ 0 X1(t)⊗XT 1 (t) dt+ ∞∫ 0 ∫ Z X2(z1, t)⊗XT 2 (z1, t)Π(dz1) dt ) G̃, (18) де для матрицi A = An,n визначена матриця прямого добутку Ã = (a11, a12, . . . , a1n, a21, a22, . . . , an, . . . , an1, an2, . . . , ann) T . Тодi (18) перепишемо таким чином: ( In2 − ∞∫ 0 X1(t)⊗XT 1 (t) dt− ∞∫ 0 ∫ Z X2(z1, t)⊗XT 2 (z1, t)Π(dz1) dt ) G̃ = M̃. (19) Оскiльки G̃ є деяке перетворене (Rn × R n → R n∗n) перетворення Лапласа вiд E{x(t)xT (t)} i M̃ — перетворення Лапласа для y, яке є скiнченне для Re z > −ρ (мож- на стверджувати на основi припущень 1 та 2), то асимптотична поведiнка E{x(t)xT (t)} еквiвалентна Kez0t, де z0 — полюс з максимальною дiйсною частиною для G̃ (або G). Тодi для асимптотичної стiйкостi x(t), як сильного розв’язку НСДФC (1), (2), необхiдно i доста- тньо, щоб z0 < 0. А це означає [7], що перетворення Лапласа G̃ (або G) не повинно мати полюсiв при z > 0. Тобто матричне рiвняння ( In2 − ∞∫ 0 X1(t)⊗XT 1 (t) dt− ∞∫ 0 ∫ Z X2(z1, t)⊗XT 2 (z1, t)Π(dz1) dt ) Ĝ = M̂ має розв’язок при Re z > 0. Таким чином, усi власнi значення матрицi D = ∞∫ 0 X1(t)⊗XT 1 (t) dt+ ∞∫ 0 ∫ Z X2(z1, t)⊗XT 2 (z1, t)Π(dz1) dt повиннi бути меншi 1 за модулем [7]. Необхiднiсть i достатнiсть асимптотичної стiйкостi в l.i.m. тривiального розв’язку x(t) ≡ ≡ 0 НСДФC (1), (2) гарантується еквiвалентними перетвореннями теореми 1 i властивостя- ми оригiналiв E{x(t)xT (t)} для вiдповiдних перетворень Лапласа. Теорему доведено. 1. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. – Рига: Зи- натне, 1989. – 421 с. 2. Биллинсгли П. Сходимость вероятностных мер – Москва: Наука, 1977. – 352 с. 3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 420 с. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 19 4. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. – Москва: Мир, 1967. – 545 с. 5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – Москва: Мир, 1996. – 655 с. 6. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 612 с. 7. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. – Москва: Наука, 1971. – 288 с. Надiйшло до редакцiї 20.03.2009Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Юрiя Федьковича I. V. Malyk, V.K. Yasynski Asymptotic behavior in mean square of the solution of stochastic functional differential equations of the neutral type The conditions of the stability in mean square are obtained for stochastic functional differential equations of the neutral type. 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10

Ähnliche Einträge