Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем

Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
1. Verfasser: Муллажонов, Р.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2009
Schlagworte:
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18843
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 27-35. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-18843
record_format dspace
spelling irk-123456789-188432011-04-12T12:03:46Z Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем Муллажонов, Р.В. Математика Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем. We develop a notion of the transposition of matrices and apply this approach to the classification of large-scale linear systems. 2009 Article Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 27-35. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18843 531.36 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Муллажонов, Р.В.
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
description Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем.
format Article
author Муллажонов, Р.В.
author_facet Муллажонов, Р.В.
author_sort Муллажонов, Р.В.
title Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
title_short Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
title_full Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
title_fullStr Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
title_full_unstemmed Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
title_sort обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2009
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18843
citation_txt Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 27-35. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT mullažonovrv obobŝennoetransponirovaniematricistrukturylinejnyhkrupnomasštabnyhsistem
first_indexed 2025-07-02T19:47:16Z
last_indexed 2025-07-02T19:47:16Z
_version_ 1836565803481169920
fulltext УДК 531.36 © 2009 Р.В. Муллажонов Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем (Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком) Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем. Обобщенное транспонирование матрицы (см. [1]). Обобщенным транспонировани- ем произвольной матрицы A будем называть перестановку ее элементов по определенным законам или правилам. Рассмотрим прямоугольную матрицу A = (aij) размера m×n (m 6 n). Элементарными перестановками произвольных элементов матрицы являются: 1) перестановка строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы в прямом порядке; 2) перестановка строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы в обратном порядке; 3) перестановка i-строки с (m + 1 − i)-строками, i = 1, 2, . . . ,m; 4) перестановка j-столбца с (n + 1 − j)-столбцом, j = 1, 2, . . . , n; 5) перестановка i-строки с (m + 1 − i)-cтроками и j-столбца (n + 1 − j)-столбцами, i = = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. Известно, что каждую прямоугольную матрицу можно отождествить с некоторым пря- моугольником, в котором будут содержаться все элементы рассматриваемой матрицы. Главной (неглавной) диагональю матрицы A называется отрезок прямой, проходящий через точки, содержащие элементы aii, i = 1, 2, . . . ,m (ai,m+1, i = 1, 2, . . . ,m). Вертикальной (горизонтальной) осью матрицы A называется вертикальная (горизонтальная) ось симме- трии прямоугольника. Центром матрицы называется центр симметрии прямоугольника. Отметим, что главная (неглавная) диагональ матрицы A не совпадает с диагональю пря- моугольника. Поэтому при транспонировании размерность матрицы изменяется на n×m. Если m = n, то главная (неглавная) диагональ матрицы A совпадает с левой (правой) диагональю квадрата. Итак, с геометрической точки зрения транспонирование матрицы осуществляется отно- сительно точки или прямой. Если точка (прямая) является центром (осью) симметрии пря- моугольника, в котором лежит матрица, то размерность транспонированной матрицы не изменяется. Элементы матрицы, расположенные в точке или на прямой, относительно ко- торой осуществляется транспонирование, остаются неизменными. Транспонированной матрице соответствует прямоугольник, повернутый на 180◦ вокруг точки или прямой, относительно которой осуществляется транспонирование. Для раскрытия связи обобщенного транспонирования матриц со структурой линейной крупномасштабной механической системы (КМС) установим следующие соответствия. Пусть A = (aij) — прямоугольная матрица размера m× n (для определенности m 6 n) и КМС в R n состоит из m свободных подсистем. Элементам главной диагонали матри- цы aii, i = 1, 2, . . . ,m, соответствуют свободные подсистемы так, что подсистема, соответст- ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 27 вующая элементу aii, i = 1, 2, . . . ,m, уравновешивается с подсистемой, соответствующей элементу am+1−i,m+1−i. При этом элементам aij , i, j = 1, 2, . . . ,m, i < j (i > j), соответству- ют связи (обратные связи) между свободнымы подсистемами aii и ajj, i, j = 1, 2, . . . ,m, т. е. имеет место влияние подсистемы aii (ajj) на подсистему, соответствующую ajj (aii). Эти связи будем называть внутренними связями КМС. Остальным элементам, т. е. элемен- там aij , i = 1, . . . ,m, j = m+1, . . . , n, соответствуют связи свободных подсистем с другими подсистемами, которые действуют вместе с данной КМС. Эти связи будем называть вне- шними связями. При этом все связи являются внутренними. Отметим, что при таком соответствии элементам в неглавной диагонали соответствуют связи уравновешивающих подсистем. Если m четно, то для каждой свободной подсисте- мы существует уравновешивающаяся подсистема. Если m нечетно, то одна подсистема, соответствующая элементу a(m+1)/2,(m+1)/2 , не имеет уравновешивающей подсистемы. По- этому эту подсистему будем называть эталонной и рассматривать ее отдельно (например, в крупномасштабной энергетической системе одна машина обычно рассматривается как эталонная). Следовательно, процесс транспонирования описывает изменение внутренней структуры КМС. Теперь сформулируем определения элементарных транспонирований матрицы A. Матрица A = [aij ], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, называется транспонированной относи- тельно: 1) главной диагонали (обозначаем это AT = aij , j = 1, . . . , n, i = 1, . . . ,m), если она получена перестановкой строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы A в прямом порядке; 2) неглавной диагонали A⊥ = an+1−i,m+1−j, j = 1, . . . , n, i = 1, . . . ,m, если она получена перестановкой строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы A в обратном порядке; 3) горизонтальной оси A− = am+1−i,j , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, если она получена перестановкой i-строки с m + 1 − i-строками матрицы A; 4) вертикальной оси A| = ai,n+1−j, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, если она получена переста- новкой j-столбца с n + 1 − j-столбцами матрицы A; 5) центра A0 = am+1−i,n+1−j , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, если она получена перестановкой i-строки с m + 1 − i-строками и j-столбца с n + 1 − j-столбцами матрицы A. С геометрической точки зрения смысл приведенного определения состоит в том, что поворот соответствующего прямоугольника на 180◦ происходит вокруг прямой, проходящей через: a) главную диагональ матрицы A; b) неглавную диагональ матрицы A, c) горизонтальную ось матрицы A; d) вертикальную ось матрицы A; e) центр матрицы A. Применительно к КМС смысл обобщенного транспонирования состоит в адекватном описании внутренней структуры КМС при определенных физических изменениях. При этом структура КМС может изменяется так, что: 1) не изменяя свободных подсистем, преобразуются только связи между свободными подсистемами с соответствующими обратными связями; 2) не изменяя связей, преобразуются обратные связи между уравновешивающимися па- рами свободных подсистем либо преобразуются уравновешивающие подсистемы между со- 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10 бой и связи (обратные связи), кроме связей (обратных связей) между уравновешивающи- мися парами подсистем; 3) преобразуются в обратном порядке свободные подсистемы с обратными связями и свя- зями, соответствующими парам уравновешивающих свободных подсистем; 4) преобразуются в прямом порядке свободные подсистемы со связями и обратными связями между соответствующими парами уравновешивающих свободных подсистем; 5) полностью преобразуются соответствующие уравновешивающие свободные пары под- систем между собой и их связи с обратными связями, кроме эталонной подсистемы (если она есть). Замечания. 1. Если n (m) нечетно, то при транспонировании относительно вертикаль- ной (горизонтальной) оси не изменяется эталонная подсистема и, соответственно, верти- кальные (горизонтальные) связи, обратные связи, связанные с этими подсистемами, также не изменяются. Если n (m) четно, то такая подсистема не существует. 2. Если n и m нечетные, то при транспонировании матрицы A относительно центра в структуре КМС только эталонная подсистема не изменяется. Если m или n четные, то такая подсистема не существует. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в справедливости следующих соотно- шений для приведенных транспонированных матриц: 1. Если A и B — прямоугольные матрицы размера m × n, то (A+B)T = AT +BT , (A+B)⊥ = A⊥ +B⊥, (A+B)| = A| +B|, (A+B)− = A− +B−, (A+B)0 = A0 +B0. 2. Если A и B — прямоугольные матрицы размера m × n, α 6= 0 — действительное число, то (αA)T = αAT , (αA)⊥ = αA⊥, (αA)| = αA|, (αA)− = αA−, (αA)0 = αA0. 3. Если A — прямоугольная матрица размера m × n, то (AT )T = A, (A⊥)⊥ = A, (A|)| = A, (A−)− = A, (A0)0 = A. 4. Если A и B — прямоугольные матрицы размера m× n и n×m соответственно, то (AB)T = BTAT , (AB)⊥ = B⊥A⊥, (AB)0 = B0A0. 5. Если A — квадратная матрица n-го порядка, то (AT )⊥ = (A⊥)T = A0, (A|)− = (A−)| = A0, (A0)T = (AT )0 = A⊥, (A0)⊥ = (A⊥)0 = AT , (A0)| = (A|)0 = A−, (A0)− = (A−)0 = A|. 6. Если A — квадратная матрица n-го порядка, то A = (A0)−1(ATA⊥)T = (A0)−1(A⊥AT )⊥ = (A⊥AT )T (A0)−1 = (ATA⊥)⊥(A0)−1. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 29 7. Если A — неособенная квадратичная матрица, то (A−1)T = (AT )−1, (A−1)⊥ = (A⊥)−1, (A−1)| = (A|)−1, (A−1)− = (A−)−1, (A−1)0 = (A0)−1. 8. Если A — квадратичная матрица, то справедливы следующие равенства: а) E|A = E−A = A−, б) AE| = AE− = A|, в) E|AE| = E−AE− = A0, г) ATE| = A|, E|AT = A−, д) A⊥E| = A−, E|A⊥ = A|, е) A−E| = A0, E|A− = A, ж) A|E| = A, где E — единичная матрица, E| = E− =   0 0 . . . 1 . . . . . . . . . 1 0 . . . 0   . 9. Если A — квадратная матрица n-го порядка, то |AT | = |A⊥| = |A0| = |A|, |A|| = |A−| = (−1)α|A|, где α — количество перестановок столбцов или строк матрицы A, которые выполняются для получения из A матрицы A| или A−. Справедливость этих равенств следует из опре- деления 2 и свойств детерминанта. 10. Если A — квадратная матрица n-го порядка, E — единичная матрица n-го порядка и λ — параметр, то |AT − λE| = |A⊥ − λE| = |A0 − λE| = |A− λE|. Справедливость этих равенств, следует из свойств 1, 2, 7 и E = ET = E⊥ = E0. 11. Sp(AT ) = Sp(A⊥) = Sp(A0) = Sp(A), где Sp — след матрицы. 12. rang(AT ) = rang(A⊥) = rang(A|) = rang(A−1) = rang(A0) = rang(A), где rang(A) — ранг матрицы A. 13. Пусть A — квадратная матрица, ∆i, ∆ T i , ∆⊥ i , ∆0 i , (∆i, ∆ T i , ∆ ⊥ i ∆ 0 i ), i = 1, 2, . . . , n, — главные миноры (соответствующие им дополнительные миноры) матрицы A, AT , A⊥, A0 соответственно. Тогда справедливы следующие равенства: ∆i = ∆ 0 n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1, ∆n = ∆0 n = |A| = |A0|; ∆0 i = ∆n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1; 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10 ∆i = ∆T i , i = 1, 2, . . . , n, ∆n = ∆T n = |A| = |AT |; ∆i = ∆ ⊥ n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1, ∆n = ∆⊥ n = |A| = |A⊥|. Справедливость этих равенств следует из определения транспонированных матриц, со- отношений 7 и свойств детерминанта. Структуры КМС и свойства симметрической матрицы. Рассмотрим квадратную n × n-матрицу A = (aij), i, j = 1, 2, . . . , n, описывающую некоторую линейную крупномас- штабную систему. Матрица A называется обобщенно симметрической, если для каждого ее элемента су- ществует такой элемент, который симметричен относительно некоторой точки или элемен- тов этой матрицы на прямой. Элементы матрицы, лежащие в этой точке или на прямой, считаются симметричными относительно самих себя. Далее приведем описание всех видов симметрических матриц. Пусть матрица A ото- ждествлена с некоторым квадратом, тогда: a) левая (правая) диагональ квадрата называется главной (неглавной) диагональю ма- трицы A; b) вертикальная (горизонтальная) ось симметрии квадрата называется вертикальной (горизонтальной) осью матрицы A; c) центр симметрии квадрата будем называть центром матрицы A. Квадратная n × n матрица A называется симметрической относительно: 1) главной диагонали, если AT = A, т. е. aij = aji, i, j = 1, 2, . . . , n (обычная симметри- ческая матрица); 2) неглавной диагонали, если A⊥ = A, т. е. aij = an+1−j,n+1−i, i, j = 1, 2, . . . , n; 3) вертикальной оси, если A| = A, т. е. aij = ai,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n; 4) горизонтальной оси, если A− = A, т. е. aij = an+1−i,j, i, j = 1, 2, . . . , n; 5) центра матрицы, если A0 = A, т. е. aij = an+1−i,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n. Отметим, что в главной и неглавной диагоналях имеются элементы матрицы A, а в вер- тикальной и горизонтальной осях при четном n не имеется элементов матрицы A, при нечетном n имеются элементы матрицы A. B центре матрицы при четном n не имеется, а при нечетном n имеется элемент a(n+1)/2,(n+1)/2. Единичная матрица E симметрична относительно главной и неглавной диагонали и цен- тра матрицы. КМС в Rn, составленная из n свободных подсистем, называется симметрической отно- сительно: a) свободных подсистем, если соответствующие связи и обратные связи одинаковы, b) связей и обратных связей между уравновешивающимися парами свободных подси- стем, если уравновешивающиеся подсистемы между собой и связи, кроме связей между уравновешивающимися подсистемами, с соответствующими обратными связями одинаковы. c) центра КМС, если уравновешивающиеся подсистемы со своими парами и все связи с соответствующими обратными связями одинаковы. Справедливы следующие утверждения о свойствах симметрической матрицы: 1. Матрица, симметрическая относительно главной и неглавной диагонали, является симметрической относительно центра. 2. Матрица, симметрическая относительно вертикальной и горизонтальной осей, явля- ется симметрической относительно центра матрицы. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 31 3. Матрица, симметрическая относительно вертикальной (горизонтальной) оси, являе- тся особой матрицей. 4. Для каждой квадратичной матрицы A матрицы S1 = 1 2 (A+AT ), S2 = 1 2 (A+A⊥), S3 = 1 2 (A+A|), S4 = 1 2 (A+A−), S5 = 1 2 (A+A0) являются симметрическими относительно главной диагонали, неглавной диагонали, верти- кальной оси, горизонтальной оси и центра матрицы соответственно. 5. Если A — симметрическая матрица относительно главной (неглавной) диагонали, вертикальной (горизонтальной) оси, центра матрицы, то матрицы Ai (i = 1, 2, . . .), αA, T ∗AT также являются симметрическими относительно главной (неглавной) диагонали, верти- кальной (горизонтальной) оси и центра матрицы соответственно, где T — произвольная неособенная квадратная матрица, ∗ — означает соответствующее транспонирование, α — действительное число. 6. Если неособенная квадратичная матрица A симметрическая относительно главной (неглавной) диагонали и центра матрицы, то A−1 также симметрическая относительно глав- ной (неглавной) диагонали и центра матрицы соответственно. 7. Если квадратные матрицы A и B симметрические относительно центра матрицы, то AB и BA также являются симметрическими матрицами относительно центра матрицы. 8. Если квадратная матрица n-го порядка A симметрична относительно центра матрицы и ∆i, i = 1, 2, . . . , n, — главные миноры матрицы A, ∆i — их соответствующие дополнитель- ные миноры, то ∆i = ∆n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1. 9. Если квадратная матрица A симметрична относительно центра матрицы, то условия ∆i > 0, i = 1, 2, . . . , n− 1, ∆n = |A| > 0 (1) необходимы и достаточны для положительной определенности матрицы A. Для отрица- тельной определенности матрицы A условия (1) принимают вид (−1)i∆i > 0, i = 1, 2, . . . , n− 1, (−1)n = |A| > 0. (2) 10. Если квадратная n × n-матрица A симметрическая относительно: а) главной диагонали; б) неглавной диагонали; в) вертикальной оси матрицы; г) горизонтальной оси матрицы; д) центра матрицы, то ее можно разбить на блочные матрицы вида: а) при n = 2k A = ( A1 B1 BT 1 A2 ) , при n = 2k + 1 A =     A1 a1 B1 aT1 ak+1,k+1 aT2 BT 1 a2 A2     ; 32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10 б) при n = 2k A = ( A1 C1 CT 1 A⊥ 1 ) , при n = 2k + 1 A =     A1 a1 C1 aT2 ak+1,k+1 aT1 CT 1 a2 A⊥ 1     ; в) при n = 2k A = ( A1 A | 1 A2 A | 2 ) , при n = 2k + 1 A =     A1 a1 A | 1 (aT1 ) | ak+1,k+1 (aT2 ) | A2 a2 A | 2     ; г) при n = 2k A = ( A1 B1 A− 1 B− 1 ) , при n = 2k + 1 A =    A1 a1 B1 aT1 ak+1,k+1 aT2 A− 1 a−2 B− 1    ; д) при n = 2k A = ( A1 B1 B0 1 A0 1 ) , при n = 2k + 1 A =    A1 a2 B1 aT1 ak+1,k+1 (aT1 ) 0 B0 1 a02 A0 1    соответственно. Здесь все блочные матрицы квадратичные k-го порядка a1 = (ak+1,1, ak+1,2, . . . , ak+1,k) T , a2 = (ak+1,k+2, ak+1,k+3, . . . , ak+1,n) T . Квадратная матрица A = (aij) n-го порядка называется кососимметрической (антисим- метрической) относительно: 1) главной диагонали, если AT = −A, т. е. aij = −aji, i, j = 1, 2, . . . , n; 2) неглавной диагонали, если A⊥ = −A, т. е. aij = −an+1−j,n+1−i, i, j, = 1, 2, . . . , n; 3) вертикальной оси, если A| = −A, т. е. aij = −ai,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n; 4) горизонтальной оси, если A− = −A, т. е. aij = −an+1−i,j, i, j = 1, 2, . . . , n; 5) центра матрицы, если A0 = −A, т. е. aij = −an+1−i,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n. Из этого определения следует, что: 1. Для каждой квадратичной матрицы A матрица S1 = 1 2 (A−AT ), S2 = 1 2 (A−A⊥), S3 = 1 2 (A−A|), S4 = 1 2 (A−A−), S5 = 1 2 (A−A0) есть кососимметрическая относительно главной диагонали, неглавной диагонали, верти- кальной оси, горизонтальной оси и центра матрицы соответственно. 2. Если A — квадратичная матрица, то A = S1 + Si, i = 1, 2, 3, 4, 5, является разложением данной матрицы A на сумму симметрической и кососимметрической матриц относительно главной диагонали, неглавной диагонали, вертикальной оси, горизон- тальной оси и центра матрицы соответственно. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 33 3. Если квадратичная матрица A кососимметрическая относительно: а) главной диагонали; б) неглавной диагонали; в) вертикальной оси; г) горизонтальной оси; д) центра матрицы, то еe можно разбить на блочные матрицы вида: а) при n = 2k A = ( A1 B1 −BT 1 A2 ) , при n = 2k + 1 A =     A1 a1 B1 −aT1 −ak+1,k+1 aT2 −BT 1 −a2 A2     ; б) при n = 2k A = ( A1 C1 CT 1 −A⊥ 1 ) , при n = 2k + 1 A =     A1 a1 C1 aT2 −ak+1,k+1 −aT1 CT 1 −a2 −A⊥ 1     ; в) при n = 2k A = ( A1 −A | 1 A2 −A | 2 ) , при n = 2k + 1 A =     A1 −a1 −A | 1 (aT1 ) | −ak+1,k+1 −(aT2 ) | A2 −a2 −A | 2     ; г) при n = 2k A = ( A1 B1 −A− 1 −B− 1 ) , при n = 2k + 1 A =    A1 −a1 B1 −aT1 −ak+1,k+1 −aT2 −A− 1 −a−2 −B− 1    ; д) при n = 2k A = ( A1 B1 −B0 1 −A0 1 ) , при n = 2k + 1 A =    A1 a2 B1 aT1 −ak+1,k+1 −(aT1 ) 0 −B0 1 −a02 −A0 1    , где все блочные матрицы квадратичные k-го порядка a1 = (ak+1,1, ak+1,2, . . . , ak+1,k) T , a2 = (ak+1,k+2, ak+1,k+3, . . . , ak+1,n) T . Квадратная матрица A = (aij) n-го порядка называется ортогональной относительно 1) главной диагонали, если AT = A−1; 2) неглавной диагонали, если A⊥ = A−1; 3) вертикальной оси, если A| = A−1; 4) горизонтальной оси, если A− = A−1; 5) центра матрицы, если A0 = A−1. Из этого определения следует, что если квадратные матрицы A и B ортогональны отно- сительно главной (неглавной) диагонали, вертикальной (горизонтальной) оси и центра ма- трицы, то матрицы A−1 и AB также ортогональны относительно главной (неглавной) диа- гонали, вертикальной (горизонтальной) оси и центра матрицы соответственно. В заключение отметим, что линейные крупномасштабные системы имеют широкие при- ложения в механике и других областях науки и технологий. Возможные идентификации 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10 структуры КМС на основе обобщенных транспонированных матриц упрощают проблему анализа устойчивости систем такого рода (см. [2]). 1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – Москва: Наука, 1966. – 576 c. 2. Martynyuk A.A., Miladzhanov V.G., Bekmuratov K.A. Construction of hierarchical matrix Lyapunov function // Differen. Equat. and Dynam. Systems. – 1993. – 1, No 1. – P. 3–21. Поступило в редакцию 14.01.2009Андижанский университет, Республика Узбекистан R.V. Mullajonov Generalized transposition of the matrices and structure of linear large-scale systems We develop a notion of the transposition of matrices and apply this approach to the classification of large-scale linear systems. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 35