Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку
Одержано критерiй в iнтегральнiй формi для визначення показника експоненти Ляпунова розв’язку стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18989 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 28-32. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18989 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-189892011-04-16T12:04:44Z Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку Малик, І.В. Математика Одержано критерiй в iнтегральнiй формi для визначення показника експоненти Ляпунова розв’язку стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння. The criterion is obtained in the integral form to define Lyapunov’s exponent power of the solution of the stochastic functional differential equation. 2009 Article Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 28-32. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18989 519.21 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Малик, І.В. Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| description |
Одержано критерiй в iнтегральнiй формi для визначення показника експоненти Ляпунова розв’язку стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння. |
| format |
Article |
| author |
Малик, І.В. |
| author_facet |
Малик, І.В. |
| author_sort |
Малик, І.В. |
| title |
Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_short |
Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_full |
Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_fullStr |
Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_full_unstemmed |
Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| title_sort |
експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18989 |
| citation_txt |
Експоненційний ріст розв'язку стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу в скалярному випадку / I.В. Малик // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 28-32. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT malikív eksponencíjnijrístrozvâzkustohastičnogodiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnânejtralʹnogotipuvskalârnomuvipadku |
| first_indexed |
2025-07-02T19:53:18Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:53:18Z |
| _version_ |
1836566183133839360 |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2009
I. В. Малик
Експоненцiйний рiст розв’язку стохастичного
диференцiально-функцiонального рiвняння
нейтрального типу в скалярному випадку
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Одержано критерiй в iнтегральнiй формi для визначення показника експоненти Ляпу-
нова розв’язку стохастичного диференцiально-функцiонального рiвняння.
Нехай на iмовiрнiсному базисi [1] (Ω, F, P,ℑ), де ℑ ≡ {Ft, t > 0} — фiльтрацiя, задано
випадковий процес, який задовольняє лiнiйне стохастичне диференцiально-функцiональне
рiвняння нейтрального типу (НCДФР)
d{Dxt} = {Lxt}dt+ {Gxt}dw(t) (1)
за невипадковою початковою умовою
x0 = ϕ. (2)
Тут випадковий процес x(t) = x(t, ω) : R+ × Ω −→ R
1; xt ≡ {x(t + s),−h 6 s 6 0 ∈
∈ C([−h, 0]); ϕ ∈ C([−h, 0]); w(t) = w(t, ω) — одновимiрний випадковий вiнеровий процес,
що узгоджений з ℑ; D, L, G — функцiонали, що заданi на просторi функцiй ψ ∈ C([−h, 0])
спiввiдношеннями [2, 3]
Dψ ≡
ǫ
∫
−h
dr1(s)ψ(s);
Lψ ≡
ǫ
∫
−h
dr2(s)ψ(s);
Gψ ≡
ǫ
∫
−h
dr3(s)ψ(s),
(3)
де ri, i = 1, 2, 3, — функцiї обмеженої варiацiї на вiдрiзку [−h, ǫ], для яких виконується
умова ri(t) = ci при t ∈ (0, ǫ]; ǫ > 0.
Для задачi (1), (2) має мiсце теорема iснування та єдиностi з точнiстю до стохастичної
еквiвалентностi сильного розв’язку x(t) ∈ R
1, для якого iснує E{x2(t)} < ∞ [4].
Поряд з рiвнянням (1) розглянемо вiдповiдне детермiноване диференцiально-функцiо-
нальне рiвняння нейтрального типу (НДДФР) [3]
d{Dyt} = {Lyt}dt (4)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
за невипадковою початковою умовою
y0 = ϕ. (5)
Наведемо спочатку деякi твердження, якi будуть необхiднi надалi.
Лема 1 [3]. Якщо
V ar[−h,0)r1 < 1, (6)
то розв’язок y(t) ≡ 0 лiнiйного НДДФР (4), (5) є експоненцiально стiйкiсний тодi i тiльки
тодi, коли всi коренi характеристичного квазiполiнома
V (z) ≡ z
{ ǫ
∫
−h
dr1(s)e
zs
}
−
ǫ
∫
−h
dr2(s)e
zs (7)
лежать в лiвiй пiвплощинi комплексної площини C, тобто
∃ ρ > 0, ∀ z ∈ C : V (z) = 0 ⇒ Re z < −ρ. (8)
Розглянемо функцiю Кошi X(t) [2] як розв’язок (4), що задовольняє початкову умову
X(t) ≡ 1(t) =
{
0, −h 6 t < 0,
1, t = 0.
(9)
Зауважимо, що вiрне твердження щодо зображення функцiї Кошi X(t) за допомогою
характеристичного квазiполiнома:
Лема 2 [2]. Функцiя Кошi X(t) має вигляд
X(t) =
1
2πi
∫
Re z=µ
eztV −1(z) dz, (10)
де µ > −ρ.
Лема 3 [5]. Розв’язок НСДФР (1), (2) задовольняє стохастичне iнтегральне рiвняння
x(t) = y(t) +
t
∫
0
X(t− s)Gxs dw(s), (11)
де y(t) — розв’язок (4), (5).
Дамо означення експоненцiальної стiйкостi в середньому квадратичному розв’язку
НСДФР (1), (2).
Означення 1. Тривiальний розв’язок задачi (1), (2) назвемо експоненцiально стiйким
в середньому квадратичному, якщо iснують сталi M > 0 i c > 0, такi що ∀ t > 0 i ϕ ∈
∈ C([−h, 0])
E|x(t)|2 6Me−ct‖ϕ‖2, (12)
де ‖ϕ‖ ≡ sup
−h6t60
|ϕ(t)|, E{·} — операцiя математичного сподiвання.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 29
Теорема 1 [5]. Нехай виконується умови (6) i (8) для коефiцiєнтiв НДДФР i коренiв
його характеристичного квазiполiнома (7).
Тодi необхiдною i достатньою умовою експоненцiальної стiйкостi в середньому ква-
дратичному розв’язку (1), (2) є виконання iнтегральної нерiвностi
B ≡ 1
π
∞
∫
0
|G(is)|2|V (is)|−2ds < 1, (13)
де G(z) ≡
ǫ
∫
−h
dr3(s)e
zs, i =
√
−1 — уявна одиниця.
Вiдомий факт [6], що другий момент розв’язку задачi (1), (2) поводить себе як K1t
lekt
при t → ∞, де K1 > 0, l > 0, k ∈ R
1 — деякi сталi.
Задача полягає у знаходженнi числа
k = lim
t→∞
lnE|x(t)|2
t
, (14)
яке називають показником Ляпунова для НСДФР [6].
Теорема 2. Показник Ляпунова k задачi (1), (2) визначається з умови
Bk = 1,
де
Bk =
1
π
∞
∫
0
|Gk(is)|2|Vk(is)|−2ds; Gk(z) ≡
ǫ
∫
−h
dr3(s)e
−s(z+k);
Vk(z) ≡ z
ǫ
∫
−h
dr1(s)e
−s(z+k) −
ǫ
∫
−h
d(r1(s)− kr1(s))e
−s(z+k).
(15)
Доведення. Розглянемо допомiжну задачу для випадкового процесу z(t), який визна-
чається з рiвностi
x(t) = eptz(t), p ∈ R
1.
Тодi
dx(t) = d(eptz(t)) = px(t)dt+ eptdz(t) = ept(pz(t)dt+ dz(t)),
dx(t− τ) = d(ep(t−τ)z(t− τ)) = px(t− τ)dt+ ep(t−τ)dz(t− τ) =
= ep(t−τ)(pz(t− τ)dt+ dz(t− τ)).
Пiдставимо x(t) в рiвняння (1) i отримаємо НСДФР вiдносно z(t), так зване, збурене
стохастичне диференцiально-функцiональне рiвняння
d{Dpzt} = {Lpzt}dt+ {Gpzt}dw(t), (16)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
де
Dpψ ≡
ǫ
∫
−h
ψ(s)epsdr1(s); Lpψ ≡
ǫ
∫
−h
ψ(s)epsd(r2(s)− pr1(s)); Gpψ ≡
ǫ
∫
−h
ψ(s)epsdr3(s).
Для стiйкостi розв’язку рiвняння (16), (2) необхiдно та достатньо виконання умов теоре-
ми 1. Визначимо через Vp(z) характеристичний квазiполiном вiдповiдного детермiнованого
рiвняння до рiвняння (16):
Vp(z) ≡
ǫ
∫
−h
dr1(s)e
−s(z+p) −
ǫ
∫
−h
d(r1(s)− pr1(s))e
−s(z+p). (17)
Лема 4. Мають мiсце наступнi рiвностi:
lim
p→0
Dpψ = D0ψ ≡ Dψ,
lim
p→0
Lpψ = L0ψ ≡ Lψ,
lim
p→0
Gpψ = G0ψ ≡ Gψ,
lim
p→0
Vp(z) = V0(z) ≡ V (z)
для ∀ψ ∈ C([−h, 0]), z ∈ C.
Доведення очевидне за рахунок неперервностi функцiї ψ.
Лема 5. При ρ < p:
1) Bp — неперервна незростаюча функцiя;
2) Bp → 0 при p → ∞.
Доведення 1. Неперервнiсть випливає безпосередньо з леми 4 та обмеженостi Bp рiв-
номiрно по p для ρ < p.
Доведемо, що Bp — незростаюча. Це випливає з того, що функцiя |Gp(is)|2 є незроста-
ючою по p, а функцiя |Vp(is)|2 — неспадна по p.
Доведення 2. Для доведення пункту 2 леми слiд зауважити, що |Gp(is)|2 = O(f2)
i |Vp(is)|2 = O((α− p)2) при p → ∞, де O(p) –функцiя, яка задовольняє спiввiдношення
lim
p→∞
O(p)
p
= C ≡ const.
Лема 5 доведена.
Для остаточного доведення теореми 2 зауважимо, що при Bp > 1 розв’язок НСДФР (16)
є нестiйким в l.i.m., при Bp < 1 — експоненцiйно стiйким в l.i.m. [5]. При Bp = 1 виконується
умова теореми 2. Справдi, в цьому випадку розв’язок z(t) поводить себе на ∞ як Ktn,
n ∈ N, тобто
k = lim
t→∞
lnE|z(t)|2
t
= lim
t→∞
2nln(t)
t
= 0,
що i доводить теорему 2.
Автор висловлює щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради проф. В.К. Ясин-
ському.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 31
1. Жакод Ж., Ширяєв А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: В 2-х т. – Москва: Физма-
тизд, 1994. – Т. 2. – 473 с.
2. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения – Москва: Мир, 1967. – 545 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 420 с.
4. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1982. – 612 с.
5. Малик I.В., Ясинський В.К. Експоненцiальна поведiнка в середньому квадратичному розв’язку сто-
хастичних диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу // Доп. НАН України. – 2008. –
№ 8. – С. 22–27.
6. Xuerong Mao, Yi Shen, Chenggui Yuan. Almost surely asymptotics of neutral stochastic differential delay
equations with Markovian switching // Stoch. Proc. and their Appl. – 2008. – 118. – P. 1385–1406.
Надiйшло до редакцiї 20.03.2009Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
I. V. Malyk
Exponential rising of the solution of the stochastic functional
differential equation of the neutral type in the scalar case
The criterion is obtained in the integral form to define Lyapunov’s exponent power of the solution
of the stochastic functional differential equation.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
|