О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров
Розглянуті питання подовжніх коливань в елементах конструкцій металевих копрів під дією зовнішніх навантажень. Приведена математична модель спектра власних частот і форм коливань дозволяє застосувати метод кінцевих різниць для оцінювання парціальної кінетичної енергії дискретних мас,...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Физико-технические проблемы горного производства |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/189905 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров / Б.А. Грядущий, В.И. Дворников, Н.А. Кудрейко, Е.В. Карпунова // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 7. — С. 243-255. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-189905 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1899052023-04-30T11:30:50Z О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров Грядущий, Б.А. Дворников, В.И. Кудрейко, Н.А. Карпунова, Е.В. Розглянуті питання подовжніх коливань в елементах конструкцій металевих копрів під дією зовнішніх навантажень. Приведена математична модель спектра власних частот і форм коливань дозволяє застосувати метод кінцевих різниць для оцінювання парціальної кінетичної енергії дискретних мас, Appointed the questions of longitudinal vibration at componentry of constructions of metal shaft headgear under the action external loading. Offered the mathematical model of determination of spectrum own frequency and forms of vibration ts allow to apply the method of finite differences for estimation parceling kinetic energy of intermittent masses. 2004 Article О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров / Б.А. Грядущий, В.И. Дворников, Н.А. Кудрейко, Е.В. Карпунова // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 7. — С. 243-255. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 2664-1771 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/189905 622.673.2:534.012 ru Физико-технические проблемы горного производства Інститут фізики гірничих процесів НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглянуті питання подовжніх коливань в елементах конструкцій металевих копрів під дією зовнішніх навантажень. Приведена математична модель спектра власних частот і форм коливань дозволяє застосувати метод кінцевих різниць для оцінювання парціальної кінетичної енергії дискретних мас, |
| format |
Article |
| author |
Грядущий, Б.А. Дворников, В.И. Кудрейко, Н.А. Карпунова, Е.В. |
| spellingShingle |
Грядущий, Б.А. Дворников, В.И. Кудрейко, Н.А. Карпунова, Е.В. О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров Физико-технические проблемы горного производства |
| author_facet |
Грядущий, Б.А. Дворников, В.И. Кудрейко, Н.А. Карпунова, Е.В. |
| author_sort |
Грядущий, Б.А. |
| title |
О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров |
| title_short |
О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров |
| title_full |
О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров |
| title_fullStr |
О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров |
| title_full_unstemmed |
О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров |
| title_sort |
о продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров |
| publisher |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/189905 |
| citation_txt |
О продольных колебаниях высоконагруженных шахтных копров / Б.А. Грядущий, В.И. Дворников, Н.А. Кудрейко, Е.В. Карпунова // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 7. — С. 243-255. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Физико-технические проблемы горного производства |
| work_keys_str_mv |
AT grâduŝijba oprodolʹnyhkolebaniâhvysokonagružennyhšahtnyhkoprov AT dvornikovvi oprodolʹnyhkolebaniâhvysokonagružennyhšahtnyhkoprov AT kudrejkona oprodolʹnyhkolebaniâhvysokonagružennyhšahtnyhkoprov AT karpunovaev oprodolʹnyhkolebaniâhvysokonagružennyhšahtnyhkoprov |
| first_indexed |
2025-07-16T12:34:19Z |
| last_indexed |
2025-07-16T12:34:19Z |
| _version_ |
1837806922116366336 |
| fulltext |
УДК 622.673.2:534.012
О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЫСОКОНАГРУЖЕННЫХ
ШАХТНЫХ КОПРОВ
д.т.н. Грядущий Б.А., д.т.н. Дворников В.И., к.т.н. Кудрейко Н.А. (НИИ
горной механики им. М.М. Федорова), инж. Карпунова Е.В. (Э'ГЦ Мин
топэнерго, г. Донецк)
РозглянутХ питания подовжнХх коливань в елементах конструкцш мета-
левих копрХв тд дЧею зовншшх навантажень.
Приведена математичка модель спектра власних частот г форм коли
вань дозволяв застосувати метод ктцевих рХзницъ для оцшювання парщальноЧ
ктетично'Х енерги дискретних мае.
ОN ТНЕ БСЖ С1ТШ Ш АЕ 0 8С Н Х А Т К Ж 8 ОГ НЮ Н-Ш АЛЕО МШЕ
НЕАЛЕКАМЕ8
СгуайизЬИ У.В., Пуогшкоу У.1., Кийгеуко 1Ч.А., Кагрипоуа Е.У.
АрротХед Хке циезИопз о / 1оп§ИисНпа1 ухЪгаНоп а1 сотропепХгу о / сопзХгис-
Иот о/те(а1 зка/Х Неас1§еаг ипа/ег Хке асХюп ехХегпа11оасИп§.
ОДёгесХ Хке таХкетаИса1 тоде1 о / с/еХегттаНоп о / зреехтт омп /,гециепсу
апй/огт з о/тЪгаХ'юп м а11о\\> Хо арр1у Хке теХкод о//тХХе сИДегепсез/ог езИтаХюп
рагсеНп§ ктеИс епегру о/ХпХегтШепХ таззез.
Современные шахтные металлические копры представляют собой
решетчатую сварную конструкцию, основными грузонесущими элемента
ми которой являются вертикальные стойки (шпангоуты) и наклонные упо
ры (откосы). Динамическое состояние такой системы жестких взаимосвя
занных стержней (балок) обусловлено возможностью совместных про
дольных, крутильных и поперечных колебаний шпангоутов и откосов под
действием внешних нагрузок, главными источниками которых являются
навешенные в стволе движущиеся подъемные сосуды (скипы, клети) и
подъемная машина, соединенные между собой упругими канатами. Строго
говоря, термин «внешние нагрузки» в указанном смысле следует понимать
условно, так как в действительности рассматриваемая система «копер-
сосуды-машина» представляет собой фактически автономный ансамбль
взаимодействующих механизмов, твердых тел и конструкций, для которых
«внешними» является лишь гравитационное поле Земли и электромагнит
ное поле питающей сети.
Разумеется, в такой концепции трудно сразу выявить основные ди
намические свойства каждой составляющей такой системы, и поэтому вна
чале еде дует рассмотреть более простые схематизации, основанные на
практических представлениях в рамках изолирующей абстракции, что яв
ляется естественным приемом на начальной стадии развития исследований
большинства инженерных проблем.
243
Так, на первом элементарном этапе, рассмотрим продольные колеба
ния шпангоутов, каждый из которых будем считать в известном смысле
«самостоятельным» стержнем, а учет влияния смежных такого же рода эле
ментов осуществим при помощи условных упругих связей и «присоединен
ных» масс. Подобного типа расчетная схематизация представлена на рис. 1.
Здесь ш пангоут АВ представляет
собой в общем случае неоднородный
сплошной стержень с «насаженными» на
него в точках 1,2,..., и на расстояниях
/2,..., /„ сосредоточенными массами
т 1, т 2,..., т „ , которые имитируют соот
ветствующие массы поперечных связей с
соседними шпангоутами, при этом
с , ,с 2 ..., с„ — коэффициенты жесткости
указанных связей. Начало лонгалъной
системы координат х поместим в точке
А . Будем считать, что на участках
/,, /2 /л шпангоут имеет соответст
вующие продольные жесткости
ЕР\ , ЕЕг>,.., ЕЕ„ и линейные плотности
/?,, /02,..., р п, остающиеся посто
янными внутри каждого из означенных
участков. Предполагается также, что на
массу с номером п действует внешняя
сила Р{1) (/> 0 ) , в общем случае зави
сящая от времени.
Считается, что до момента прило
жения нагрузки при I = 0 рассматривае
мая система находилась в состоянии ста
тического равновесия под действием
массовых сил, то есть сил тяжести.
Наряду с абсолютными лонгаль-
ными координатами х введем для каждого из означенных на рис. 1 проле
тов собственную относительную или локальную координату 5 , отсчиты
ваемую от положения статического равновесия соответствующей массы
вверх до ближайшей соседней массы, иначе говоря, в любом случае ло
кальная координата определена на интервале [0, /, ]. Все локальные сис
темы координат в силу их определения являются инерциальными.
В рамках принятых допущений и оговорок уравнения динамического
состояния стержня в отношении его продольных перемещений на лю бом г
-ом пролете, то есть на участке шпангоута между массами с номерами г - 1
и / , можно записать в форме [1,2].
Рис.1. Расчетная схематизация
шпангоута в продольных коле
баниях.
244
Е Г , ф ± - р А = 0 (0 < х < /,, /= 1 ,2 ,. . . , в ) ,
от Э/
(1)
где м,-(я,/) - функция продольных перемещений точек шпангоута на рас
сматриваемом интервале. Заметим, что приведенные уравнения являются
однородными, то есть без учета массовых сил, так как динамические пере
мещения рассматриваются «на фоне» уже сложившегося статического рав
новесного состояния до момента приложения внешней нагрузки Р{1) .
Граничными условиями для уравнений (1), очевидно, являются,
прежде всего, условия непрерывности перемещений в точках 1, 2,..., и - 1 .
Иными словами, должно иметь место:
Кроме того, для каждой из означенных на рис. 1 сосредоточенных
масс должны обеспечиваться условия их динамического равновесия, кото
рые запишем в форме уравнений Даламбера [2]:
что отражает отсутствие перемещений на опоре А и условие динамическо
го равновесия массы т„ в точке В .
В качестве начальных условий, как говорилось выше, принимается
статическое равновесное состояние шпангоута, то есть
Таким образом, для п уравнений (1) имеем 2и граничных условий
(2), (3), (4) и 2п начальных условий (5), что обуславливает корректность
поставленной граничной задачи. Для ее решения рассмотрим однородную
граничную задачу (1-4) и применим по отношению к ней формальные сим
волические преобразования
« ,( ( , ,0 = им (0,1) (/ = 1, 2,..., п - 1 ) . (2)
дим ( 0 .0 _ 0
дз . (3)
( 1 -1 , 2,..., п - 1 )
Для граничных точек А я В имеем соответственно:
(5)
245
д 3 с1— и = 1» 2 00), — (/ = 1, 2,...,«),
о? дх ах 1
в результате чего получим следующую граничную задачу о так называе
мых собственных функциях [3,4]:
п ,
От, — г 1 + = 0 0 ' = 1. 2,..., Я),
аз
З Д ) = ^ ; ,+>(0) (/ = 1, 2,..., л -1 ), С/д(0) = 0,
, ои м л <лу , ,(0) !> (6)
л 2 * * \ Г Т П \ ■ Г С Я 4 ^ т р л * 14 7
'+ ^
(с, - )С/,7(/,) + ДГ, — ^ - ЯР/+1 - - ^ 1Ч = О (/ = 1, 2,..., и -1),
(с, - )Н,Я (/„) + ЕР„ = О,
где - собственные частоты рассматриваемой системы. Решения гра
ничной задачи (6), удовлетворяющие условиям непрерывности [вторая
строка в (6)], построим в следующем специальном виде [5]
8Н1 А, СО , X 8Н1 Я,СО, (х - /.■)
г/,., (8-) = Фу,- - Ф ;, ч -----г ~ — ~ ~ (* € [0,/,- ] , г = 1, 2,..., и) , (7)
з т Я (Щу/( ' 8 т Д (.а)./(
причем Ф ;0 = 0 . Константы Ф ;( , по сути дела являющиеся постоянными
интегрирования уравнения в первой строке задачи (6), назовем формами
колебаний шпангоута. Здесь также обозначено Я, = р , / ЕР{, что представ
ляет собой обратную величину скорости распространения продольной
волны колебаний на участке стержня ( 8 е [ 0 ,/ (] (/ = 1, 2,..., п ) .
Для удовлетворения остальных граничных условий в задаче (6) вве
дем вначале следующие параметры
с о з Я . ш 1
С „ = Е Р № у-:- -' - ;; . С ' ^ Е Р ^ с о у - / - , (8)5тЯ,Щу/, ' 81П Я,Щу/,
которые назовем динамическими жесткостями [6] шпангоута на / - ом его
участке соответственно в точках х = 1: п х = 0 . При этом в силу (7)
Л / , ДО) Л / ,,(/,)
о т ,— ^ = Ф7,.с ;,-Ф уМСу(, ер > = фдСу,- фуН с ;, , (9)
и тогда третья строка задачи (6) представится в виде
246
(с, + с,,. + С ,,+1 - со)т{ )Ф л - Фу/_,С'7 - Фу,+1С ',+1 = 0 0 = 1, 2,..., « - О Л Ю )
а четвертая строка в соответствии с (9) запишется как
(с , + С,„ - )Ф - Ф ,„_,с;„ = 0. (11)
Структура соотношений (10) и (11) свидетельствует о том, что сово
купность собственных форм Ф ,, для каждого номера у удовлетворяет од
нородной системе линейных алгебраических уравнений вида
{-аз^М + С ;)Ф ] = 0 , (12)
где М - диагональная квадратная матрица размерности я х п , составлен
ная из чисел «?,, т 2 т „ ; Су - симметрическая квадратная матрица «лен
точного» трехкомпонентного типа размерности п х п , составленная из чи
сел Су, , С', по определенному правилу (см. ниже); Ф^ - матрица-столбец
размерности п , составленная из чисел Фу,, Фу2,..., Фу„. Так, для случая
п - 4 имеем в качестве примера:
г
щ 0 0 0 4 С1 + Су, + Су 2 - с ; 2 0 0 '
0 т2 0 0 - С ) г с2 + Су2 + Суз - С у з 0
м = , Су =
0 0 тг 0 0 ~ Суз с 3 + Суз + Су4 - С я
, 0 0 0 т*. 0V 0 “ С /4 С4
Алгоритм построения таких матриц очевиден, и не составляет особо
го труда их записать для сколь угодно большого числа п .
Система однородных уравнений (12), как известно, имеет нетриви
альные решения в том единственном случае, когда
бе1(-Шу М + Су ) = 0 , (13)
что представляет собой характеристическое уравнение, корни которого
образуют дискретный спектр собственных частот со -.
Компоненты матрицы форм колебаний Фу для любого со] вычисля
ются как алгебраические дополнения к элементам любой строки в опреде
лителе (13) [7], а так как Ф определены с точностью до произвольного
постоянного множителя, то представляется целесообразным приведение их
к безразмерной форме, что проще всего достигается путем умножения
247
упомянутых алгебраических дополнений на масштабный множитель
/? = 2 > , / П < ч -
1=1 1=1
Собственные функции I I V 1/ ^ взаимно ортогональны осо
бым образом, как это будет видно из последующих выкладок, и чтобы это
показать, обратимся к уравнениям в первой строке граничной задачи(6) и
рассмотрим их с номерами к и у (“штрихи” означают обыкновенные про
изводные по 5 от соответствующих функций):
ЕРУЪ + р ,с о р ш = О, Е Р Р Щ„ + р ,с о р }, = 0 (к, ] = 1, 2,...; I = 1,2,..., п).
Умножим первое из этих уравнений на I I ,,, а второе - на II к1, вы
числим их разность, результат проинтегрируем по з от 0 до /, и затем
просуммируем по всем /', что в итоге даст
Щ V „ < Ь - ЕР, р ) , и к,с1$ + (со) - со))р, р ^ ^ з
0 0 о
= 0 .
Интегрирование “по частям” в этом выражении приводит к результату:
- 1/’̂ ) + (со) - со))р, р ^ ^ з = 0 .
Учитывая здесь определения (9) и уравнения (10), (11), получим
(со )-с о ))
( 1! ^
X т ,ф и ф Р + р , Р к Р р Ж
м I о
= 0 .
Следовательно, собственные функции V И (я) в интервале [0, /,]
ортогональны с весом [8]
Л С5) = Л + т1<5] (з - / , ) , (14)
а сами соотношения ортогональности собственных функций выглядят сле
дующим образом -
Ъ р и Ь ' Р Ж т * ) * = тг К ) 8 ]к,
1=1 0
( 15)
248
причем нормировочные коэффициенты Л'2 вычисляются как
(1 6 )
В соотношениях (14) и (15) приняты обозначения: < ?,($-/,) — им
пульсная функция Дирака; 8 ]к - символ Кронекера;
что представляет собой суммарную массу системы.
В правой части (15) введена суммарная масса т г , определяемая вы
ражением (17), только лишь для того, чтобы нормировочные коэффициен
ты У 2 в соответствии с (16) были безразмерными. Полезно также соотно
шения ортогональности записать в форме
что непосредственно следует из определения (15).
Теперь обратимся к исходной граничной задаче (1-4) и ее решение на
каждом из участков / , , / 2, п о с т р о и м с помощью полученных собст
венных функций (по изложенному выше правилу) в форме разложения
где (//; (/) - так называемые координатные функции, которые требуется
еще определить. Подстановка (19) в (1) с учетом уравнения в первой стро
ке граничной задачи (6) приводит к выражению
Умножим это соотношение на функцию С/*, (я), проинтегрируем по
̂ от 0 до /,, просуммируем по всем г и в итоге получим
п
тг = Ё < 4 + А Л ) > (17)
\ П
Ё А Р ш 0 ) ^ л (•*)<* = тъ^ 8 ]к - Ё т ,Ф к,Ф у(. (18)
1=1 V О /
(19)
А Е ^ ( * В Д 0 + « > , ( ' ) ] = 0.
Интеграл в левой части этого соотношения преобразуем в соответст
вии с выражением (18), и тогда
Н Р Д О + ю? - Х > , ф «ф л ) = 0 .
1=о V >'=1 У
или с учетом свойств символа Кронекера
'П1^ [ ^ к (1) + С02к ( /* ( / ) ] = Ё [ ^ у ( 0 + ®у V , ( 0 ] 2 > 1 ф *,ф у< ■ (20)
/=0 /=1
Подстановка ряда (19) в граничное условие (2) приводит к тождест
венному равенству, благодаря условиям во второй строке граничной зада
чи (6) [отметим также, что в силу принятого равенства Ф ;0 = 0 обеспечи
вается первое из граничных условий (4)]. Такая же операция в отношении
условий (3) с использованием уравнений в третьей строке задачи (6) и оп
ределений функций (7) сводится к соотношению
'« ,Ё фл [^ ( О + ® ^ Д О ] = 0 (/ = 1,2 и -1 ). (21)
м
Наконец, подстановка ряда (19) во второе из граничных условий (4)
приводит к функциональному равенству
" г „ Ё ф /п (0 + ©у V] (/)] = ~Р(1) • (22)
>1
Теперь осталось заменить в (20) соответствующие функционалы на
(21) и (22) и в результате получить систему несвязанных уравнений отно
сительно координатных функций у/к (I) :
[ у/к (I) + Сй\ ц/к (/)] = -Ф кпР(1). (23)
Решение уравнений (23) в силу начальных условий (5) запишем в
форме интеграла Дюамеля [8]:
У'к (0 = ------% — } Я г ) 81П сок (/ -т)(1т. (24)
тхМксок о
Таким образом, ряд (19) с определениями (7) и (24) полностью обу
славливают корректное решение поставленной задачи, разумеется, если
определен спектр собственных частот сок из уравнения (13), определены
250
все числа Ф и из линейных уравнений (12) и вычислены нормировочные
коэффициенты И к по формуле (16). В ряде случаев удобно иметь дело с
нормированными формами и нормированными функциями
Фи =<Ъи Ш к , й к1=[1к1/М к . (25)
Именно при такой последней операции, называемой нормировкой,
обнаруживается особенность входящих в выражение (16) составляющих с
учетом преобразований (25)
= I Щ Ф I . Тк2= ± р , ) й * е к , (26)
/=1 1=1 о
которые по своей физической сути можно интерпретировать с точностью
до постоянного множителя как суммы парциальных кинетических энергий
дискретных тел с массами т1,т 2,...,т„ и кинетических энергий распреде
ленных по длине масс стержня для конкретной собственной частоты сок .
Упомянутая особенность состоит в том, что ^41 И Тк2 в (26), сумма кото
рых в силу (16) равна независящей от к константе тг , существенно отли
чаются" друг от друга при изменении номера к , а именно, при некотором
к = к обнаруживается, что » ТК2, и это дает основание считать, что
именно на частоте сок превалируют амплитуды парциальных колебаний
дискретных масс [5, 9, 10]. Для доказательства этого утверждения поло
жим для простоты выкладок, без ущерба физического смысла задачи, что
рассматриваемый шпангоут является однородным стержнем, в котором
при всех I имеют место равенства р , - р и ЕЕ1 = Е Е , и, кроме того /,. = / ,
т,- = т , с, = с . Тогда Л- = Я2 = р /Е Е и в силу (8) Су7 = С} , С), = С". В
результате таких упрощений уравнения (10) и (11) запишутся в виде
(с + 2Су - (о )т )Ф п - Ф ;,_,С}- Ф 1МС) = 0 (/ = 1, 2,..., л - 1 ) , (27)
(с + С] - со)т)Ф}„ - Ф у„_,С; = 0, Ф у0 = 0 . (28)
Уравнения (27) можно рассматривать как линейные конечноразно
стные уравнения с граничными условиями (28) [11]. Поэтому их решения
представим в традиционной форме как
ф д = А)Г) , (29)
где А] - некоторая независящая от I константа. Тогда относительно у }
при подстановке (29) в (27) получим алгебраическое уравнение второго
порядка возвратного типа
251
у ) ~ 2Ф)У) +1 = ° , (30)
где обозначено
с + 2С: -со )т
* ' — щ ’ (31)
откуда определяются два значения у и у ]2, которые в силу свойств урав
нения (30) связаны между собой очевидным соотношением у ̂ = \ / у . 2.
Обозначая в дальнейшем у ]Х = у ] и представив в силу (30)
У] =<Р] +4<Р) "1* (32)
запишем согласно (29) общее решение уравнения (27) в форме
Ф ]1= А ]у ) + В 2у- / , (33)
причем постоянные Ау и В] определим с помощью граничных условий
(28) при 1 = 0 и г = п :
^ = 0, (с + С; - со)т)(А]Г” + ) - (Лу^"4 + 5уГ Т"+|)С ' = 0, (34)
откуда следует частотное уравнение
(с + Су - со]т)(у] - у ;* ) - ( г ; - 1 - г ; л+1 )С ' = 0 , (35)
если сюда вместо у подставить его выражение согласно (32). Заметим, что
при всех с о являющихся корнями уравнения (35), выражение (32) приво
дит к комплексным значениям у 1, и тогда обе разности (у" - у ~п) и
( у р - у ] п+') в (35) оказываются мнимыми, но в целом частотное уравне
ние, таким образом, будет содержать лишь действительные компоненты.
Иными словами, частотное уравнение (35) можно представить в форме
(с + Су -а> *т )зт пву - Су зт (н -1 )<9; = 0 , (36)
где в ] - аргумент комплексного числа у }, то есть
в , = а г с щ ^ у2 - 1 . (37)
252
Важным является также то обстоятельство, что формы Ф ,, в силу
(33) и первого уравнения из (34) определены с точностью до постоянного
множителя А] , однако нормировка (25) устраняет эту неоднозначность. В
частности, при комплексных у } при помощи (37) запишем
Ф (38)
Как видно, применение методов конечных разностей значительно
упрощает процедуру определения спектра собственных частот и собствен
ных форм, минуя громоздкие операции раскрытия определителя (12) и вы
числения алгебраических дополнений к его элементам.
Для численного моделирования динамических состояний удобно
ввести следующие безразмерные параметры
а = с/ /(ЕР), С = т ! ( р 1 ) , Д, = Лсо; 1, (39)
и тогда характеристическое уравнение (36) с учетом определений динами
ческих жесткостей (8) представится в виде
[(сг / р . - ) 8Ш /Л ] + С08 Р ] ] 8Ш П в ] - з т (л - \ ) в ] = 0 ,
и при этом выражение (31) запишется в форме
(р , — ~ (С 7 / Р ] - ( Р ^ Ы П Р ] + С О & Р ] .
Отношение парциальных кинетических энергий ъ = Т* / Т]2, опре
деляемых соотношениями (26), можно записать в следующем виде:
4 ^ ; 8 т 2 / Г у Ё Ф д
т]. = —------ е!-----------------------------------------
^ [ ( 2 / г . - 8 т 2 / г Д Ф 2,. - 2 Ф у, Ф „ _ , с о з ^ . + Ф 2м ) + 4 Ф 7, Ф ; м ы п 3 р ; ]
м
На рис. 2 в форме гистограмм представлены значения г]] , вычислен
ные при п = 10 для первых 100 собственных частот со ] ( д •)> причем здесь
принято а = 1/2, $ = 1. Отсюда явно видно, что, во-первых, собственные
частоты группируются по п значений в обособленных (локальных) облас
тях (5 четных областей на рисунке представлены постепенно убывающими
числами г]] ), и, во-вторых, при определенных частотах действительно
имеет место превалирование парциальной кинетической энергии дискрет
ных масс.
253
О 3 6 Э 12 15 18 21 24 27 }Х
Рис.2. Гистограммы отношений парциальных кинетических энергий.
Это обстоятельство играет важную роль для построения приближен
ных методов изучения динамических состояний копров, что составит
предмет наших дальнейших исследований.
С П И С О К Л И Т Е РА Т У РЫ
1. Рабинович И. М. Основы строительной механики. - М.: Государствен
ное изд-во литературы по. строительству и строительным материалам,
1960 .-519 с.
2. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: ГСИ, 1963. - 376 с.
3. Вибрации в технике. - М.: «Машиностроение», 1978, Т. 1 - 208 с.
4. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. - 550 с.
5. Дворников В. И. Теория и моделирование динамического состояния
шахтного подъемного комплекса. Д ис... докт. техн. наук. - Донецк,
1989 .-385 с.
6. Дворников В. И., Карцелин Е.Р., Трибухин В.А., Савенко Э.С. Динами
ческие жесткости канатов шахтных подъемных установок. В сб. Сталь
ные канаты, Вып. 3, Одесса, 2003, с. 22-31.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. - М: Наука. 1973. - 208 с.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М. - Наука, 1968. -
720 с.
9. Дворников В. И. Об уравнениях движения шахтного подъемного сосуда
с учетом масс проводниковой системы. Известия ВУЗов, Горный жур
нал, № 1, 1975.
254
10.Дворников В. И. Некоторые вопросы теории функций Грина одномер
ных краевых задач. «Прикладная механика», т.Х1, вып. 3, Киев, 1974.
11.Дворников В. И. Собственные формы и частоты колебаний многопро
летных балок на упругих опорах. «Прикладная механика», т.Х. вып.9,
Киев, 1974.
255
|