Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів

Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів

У цилiндричнiй областi дослiджено коректнiсть задачi з багатоточковими умовами за часовою змiнною та умовами типу Дiрiхле за просторовими координатами для диференцiального оператора, що є добутком гiперболiчних та параболiчних операторiв зi змiнними коефiцiєнтами. Встановлено умови iснування та єдин...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
Hauptverfasser: Пташник, Б.Й., Галун, К.С.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2009
Schlagworte:
Математика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18991
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів / Б.Й. Пташник, К.С. Галун // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 33-38. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-18991
record_format dspace
spelling irk-123456789-189912011-04-16T12:05:04Z Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів Пташник, Б.Й. Галун, К.С. Математика У цилiндричнiй областi дослiджено коректнiсть задачi з багатоточковими умовами за часовою змiнною та умовами типу Дiрiхле за просторовими координатами для диференцiального оператора, що є добутком гiперболiчних та параболiчних операторiв зi змiнними коефiцiєнтами. Встановлено умови iснування та єдиностi розв’язку задачi. Для оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд. The correctness of a problem with multipoints conditions on the time variable and conditions of the Dirichlet type on spatial coordinates for a differential operator which is a product of hyperbolic and parabolic operators with variable coefficients in a cylindrical domain is investigated. The conditions of existence and uniqueness of the solution of the problem are established. For the lower estimates of small denominators, which arose during the construction of a solution of the problem, the metric approach is used. 2009 Article Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів / Б.Й. Пташник, К.С. Галун // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 33-38. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18991 517.95+511.2 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Пташник, Б.Й.
Галун, К.С.
Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів
description У цилiндричнiй областi дослiджено коректнiсть задачi з багатоточковими умовами за часовою змiнною та умовами типу Дiрiхле за просторовими координатами для диференцiального оператора, що є добутком гiперболiчних та параболiчних операторiв зi змiнними коефiцiєнтами. Встановлено умови iснування та єдиностi розв’язку задачi. Для оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метричний пiдхiд.
format Article
author Пташник, Б.Й.
Галун, К.С.
author_facet Пташник, Б.Й.
Галун, К.С.
author_sort Пташник, Б.Й.
title Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів
title_short Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів
title_full Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів
title_fullStr Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів
title_full_unstemmed Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів
title_sort багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2009
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18991
citation_txt Багатоточкова задача для факторизованих гіперболічно-параболічних операторів / Б.Й. Пташник, К.С. Галун // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 33-38. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT ptašnikbj bagatotočkovazadačadlâfaktorizovanihgíperbolíčnoparabolíčnihoperatorív
AT galunks bagatotočkovazadačadlâfaktorizovanihgíperbolíčnoparabolíčnihoperatorív
first_indexed 2025-07-02T19:53:24Z
last_indexed 2025-07-02T19:53:24Z
_version_ 1836566188851724288
fulltext УДК 517.95+511.2 © 2009 Член-кореспондент НАН України Б. Й. Пташник, К.С. Галун Багатоточкова задача для факторизованих гiперболiчно-параболiчних операторiв У цилiндричнiй областi дослiджено коректнiсть задачi з багатоточковими умовами за часовою змiнною та умовами типу Дiрiхле за просторовими координатами для ди- ференцiального оператора, що є добутком гiперболiчних та параболiчних операторiв зi змiнними коефiцiєнтами. Встановлено умови iснування та єдиностi розв’язку задачi. Для оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, вико- ристано метричний пiдхiд. Задачi з багатоточковими умовами за видiленою змiнною для рiвнянь iз частинними похi- дними дослiджувались у багатьох роботах (див., наприклад, [1–5] та бiблiографiю в них). Такi задачi, взагалi, є умовно коректними, а їх розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих знаменникiв. Дана робота розвиває результати, сформульованi в [6], де вперше розглянуто задачу з багатоточковими умовами для гiперболiчно-параболiчних рiвнянь. У нiй дослiджено одно- значну розв’язнiсть у цилiндричнiй областi задачi з багатоточковими умовами за часовою змiнною та умовами типу Дiрiхле за просторовими координатами для диференцiального оператора, що є добутком гiперболiчних та параболiчних операторiв зi змiнними за x ко- ефiцiєнтами. 1. В областi D = {(t, x) ∈ R N+1 : t ∈ (0, T )⊂R 1, x ∈ Q⊂R N}, де Q — однозв’язна обмежена вiдкрита область з гладкою межею Γ, розглянемо задачу Lu ≡ m ∏ s=1 ( ∂ ∂t − a2sL ) n ∏ s=1 ( ∂2 ∂t2 − b2sL ) u(t, x) = Φ(t, x), (t, x) ∈ D, (1) u(tj , x) = ϕj(x), tj = (j − 1)t0, j = 1, . . . ,m+ 2n, x ∈ Q, (2) Lpu ∣ ∣ Σ = 0, p = 0, 1, . . . ,m+ n− 1, Σ = Γ× [0, T ], (3) де t0 = T/(m+2n− 1), 0 < as < aq, 16s < q6m, 0 < bs < bq, 16s < q6n, а диференцiальний вираз L := N ∑ i,j=1 ∂[hij(x)∂/∂xj ]/∂xi − c(x) — елiптичний в областi Q [7], Lqu = Lq−1(Lu), L0u = u. 2. Позначимо через Cs+µ, 0 < µ < 1, клас функцiй, визначених i неперервних в облас- тi Q, s-тi похiднi яких задовольняють в Q умову Гельдера з показником µ. Припустимо, що Q — вiдкрита нормальна область (в якiй задача Дiрiхле для рiвняння Лапласа є розв’я- зною при довiльнiй неперервнiй крайовiй функцiї) така, що Q ∈ A2(m+n)+µ, де As+µ — клас замкнених областей, для яких функцiї, що задають у локальних координатах рiв- няння межових поверхонь цих областей, належать класу Cs+µ; hij(x) ∈ C2(m+n)−1+µ(Q), c(x) ∈ C2(m+n−1)+µ(Q), c(x) > 0. За вказаних припущень задача про власнi значення LX + λX = 0, x ∈ Q; X ∣ ∣ Γ = 0 (4) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 33 має повну ортонормовану систему власних функцiй X = {Xk(x), k ∈ N} i нескiнченну множину власних значень Λ = {λk, k ∈ N} (будемо вважати, що множина Λ є впорядко- ваною так, що кожнiй власнiй функцiї Xk(x) вiдповiдає одне i лише одне власне значення λk ∈ Λ [8]); при цьому справджуються такi оцiнки [7, 9]: C0k 2/N 6 λk 6 C1k 2/N , C0 6 C1, λk ∈ Λ; (5) max x∈Q ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∂|s|Xk(x) ∂xs11 . . . ∂xsNN ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 C2λ N 4 + |s| 2 k , C2 = C2(|s|) > 0, |s| = 0, 1, . . . , 2(m+n). (6) В (5), (6) i всюди далi через Cj , j = 0, 1, . . . , 10, позначено додатнi сталi, що не залежать вiд k. Вiдтак, диференцiальний вираз L породжує шкалу гiльбертових просторiв {Hq(Q), q ∈ ∈ Z+} функцiй ϕ(x) = ∞ ∑ k=1 ϕkXk(x), x ∈ Q, ϕk = ∫ Q ϕ(x)Xk(x) dx, k ∈ N, (7) зi скiнченними нормами ‖ϕ‖2Hq(Q) : = ∞ ∑ k=1 (1 + λk) qϕ2 k. Зауважимо, що простiр Hq(Q) збi- гається (має однi й тi ж самi класи еквiвалентностi) iз замиканням за нормою простору Соболєва W q 2 (Q) [10] сукупностi всiх q раз неперервно диференцiйовних в областi Q фун- кцiй ϕ(x), для яких поблизу границi Γ областi Q Lpϕ = 0, 0 6 p 6 [(q − 1)/2]. Диференцiальний вираз L породжує також шкалу банахових просторiв {Cq 0(Q), q ∈ Z+} функцiй (7), якi визначенi i неперервнi в областi Q разом з усiма похiдними до порядку q включно i для яких виконуються спiввiдношення Lpϕ ∣ ∣ Γ = 0, 0 6 p 6 [(q−1)/2], з нормами [5] ‖ϕ‖Cq 0 (Q) = ∑ 06|s|6q max x∈Q ∣ ∣ ∣ ∣ ∂|s|ϕ ∂xs11 · · · ∂xsNN ∣ ∣ ∣ ∣ . (8) Причому Cq 0(Q) ⊂ Cq(Q), Cq 0(Q)⊂Hq(Q), q ∈ Z+. Аналогiчно вводиться шкала банахових просторiв {C l,q 0 (D), l, q ∈ Z+, l6q} функцiй ψ(t, x) = ∞ ∑ k=1 ψk(t)Xk(x), (t, x) ∈ D, ψk(t) = ∫ Q ψ(t, x)Xk(x) dx, k ∈ N, (9) таких, що похiднi ∂rψ(t, x)/∂tr , r = 0, 1, . . . , l, визначенi та неперервно диференцiйовнi за x в областi D до порядку q − r включно та виконуються спiввiдношення Lpψ ∣ ∣ Σ = 0, 0 6 p 6 6 [(q − 1)/2], з нормами ‖ψ‖ Cl,q 0 (D) = ∑ 06r+|s|6q 06r6l max (t,x)∈D ∣ ∣ ∣ ∣ ∂r+|s|ψ ∂tr∂xs11 · · · ∂xsNN ∣ ∣ ∣ ∣ , (10) причому C l,q 0 (D) ⊂ C l,q(D), l, q ∈ Z+. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11 Для функцiй (7) i (9) розглянемо, вiдповiдно, класи многовидiв Eγ,l(Q) = { ϕ(x) : ∞ ∑ k=1 λlke γλk |ϕk| <∞, x ∈ Q } , l ∈ R+, γ > 0, Fγ,l(D) = { ψ(t, x) : ∞ ∑ k=1 λlke γλk max t∈[0,T ] |ψk(t)| <∞, (t, x) ∈ D } , l ∈ R+, γ > 0. 3. Розв’язок задачi (1)–(3) шукаємо у виглядi ряду u(t, x) = ∞ ∑ k=1 uk(t)Xk(x), (11) де коефiцiєнти uk(t), k ∈ N, є розв’язками злiченного класу таких багатоточкових задач для звичайних диференцiальних рiвнянь: m ∏ s=1 ( d dt + a2sλk ) n ∏ s=1 ( d2 dt2 + b2sλk ) uk(t) = Φk(t), t ∈ (0, T ), λk ∈ Λ, (12) uk(tj) = ϕjk, tj = (j − 1)t0, j = 1, . . . ,m+ 2n. (13) Тут ϕjk i Φk(t) є коефiцiєнтами розвинення функцiй ϕj(x), j = 1, . . . ,m+2n, та Φ(t, x), вiд- повiдно, в ряди Фур’є за системою власних функцiй X . Фундаментальна система розв’яз- кiв рiвняння (12) складається з таких функцiй: Vks(t) = e−a2sλkt, s = 1, . . . ,m; Vks(t) = = eibs−m √ λkt, s = m+1, . . . ,m+n; Vks(t) = e−ibs−m−n √ λkt, s = m+ n + 1, . . . ,m + 2n, а хара- ктеристичний визначник ∆k(λk) [11] задачi (12), (13) обчислюється за формулою ∆(λk) = m−1 ∏ h=1 ηh(λk) E(λk) n ∏ l=1 sin bl √ λkt0 ∏ 16q<p6n sin2 bp + bq 2 √ λkt0 sin 2 bp − bq 2 √ λkt0, (14) де ηh(λk) = exp{−(m − h)a2hλkt0}, C36|E(λk)|6C4 для всiх λk ∈ Λ. Задача (1)–(3) не може мати двох рiзних розв’язкiв тодi i тiльки тодi, коли ∆(λk)6=0 [11]. Позначимо βr = brt0, r = 1, . . . , n. Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1)–(3) в просторi Cm+2n,2(m+n)(D) необхiдно i досить, щоб для всiх λk ∈ Λ i для всiх p, q ∈ N виконувались умови βr √ λk 6= pπ, r = 1, . . . , n; (βl ± βj) √ λk 6= 2qπ, 1 6 j < l 6 n. (15) Доведення випливає з (14) i проводиться за схемою доведення теореми 7.5 в [5]. Зауваження. Умови (15) виконуються для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R n) ве- кторiв ~β = (β1, . . . , βn). За умов теореми 1 розв’язок задачi (1)–(3) формально зображується рядом (11), в якому uk(t) = T ∫ 0 Gk(t, τ)Φk(τ)dτ + m ∑ s=1 m+2n ∑ j=1 αsj(λk)Akjsϕjke −a2sλkt + ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 35 + n ∑ l=1 Bkl sin bl √ λkt+Dkl cos bl √ λkt sin bl √ λkt0 n ∏ q=1 q 6=l sin bl − bq 2 √ λkt0 sin bl + bq 2 √ λkt0, (16) Akjs =                        exp { λkt0 [ a2s(m− s)− m−j+1 ∑ h=s+1 a2h ]} , 16j6m− s+ 1, exp { λkt0 [ a2s(m− s) + s−1 ∑ h=m−j+1 a2h ]} , m− s+26j6m− 1, exp { λkt0 [ a2s(m− s) + s−1 ∑ h=1 a2h ]} , m6j6m+2n, (17) де функцiї αsj(λk) рiвномiрно обмеженi для всiх λk ∈ Λ; Bkl, Dkl — лiнiйнi комбiнацiї чисел ϕjk(x), j = 1, . . . ,m+ 2n, з рiвномiрно обмеженими для всiх λk ∈ Λ коефiцiєнтами; функцiї Грiна Gk(t, τ), k ∈ N, задачi (12), (13) у квадратi K = {(t, τ) : 0 6 t 6 T, 0 6 τ 6 T} (крiм вiдрiзкiв прямих τ = (j − 1)t0, j = 1, . . . ,m+ 2n) визначаються формулами [2, 5, 11] Gk(t, τ) = gk(t, τ) + m+2n ∑ j=1 gk((j − 1)t0, τ)     m ∑ s=1 Isj(λk)Akjse −a2sλkt + + n ∑ s=1 J∗ sj(λk) cos bs √ λkt+ J∗∗ sj (λk) sin bs √ λkt sin bs √ λkt0 n ∏ l=1 l 6=s sin bs − bl 2 √ λkt0 sin bs + bl 2 √ λkt0     , k ∈ N, (18) gk(t, τ) = sgn(t− τ) 2 { 1 λm+2n−1 k m ∑ s=1 Ms(λk)e −a2sλk(t−τ) + + 1 λ m+n−1/2 k n ∑ s=1 [B∗ s (λk) cos bs √ λk(t− τ)+B∗∗ s (λk) sin bs √ λk(t− τ)] } , (19) де Isj(λk), J ∗ sj(λk), J ∗∗ sj (λk), Ms(λk), B ∗ s (λk), B ∗∗ s (λk) — рiвномiрно обмеженi для всiх λk ∈ Λ. На прямих τ = (j−1)t0, j = 1, . . . ,m+2n−1, функцiї Gk(t, τ) доозначуємо за неперервнiстю справа, а на прямiй τ = T — за неперервнiстю злiва. 4. Для дослiдження умов iснування класичного розв’язку задачi (1)–(3) потрiбнi такi леми. Лема 1. Якщо ϕ(x) ∈ Cq 0(Q), q ∈ Z+, то |ϕk|6C5‖ϕ‖Cq 0 (Q)λ −q/2 k , k ∈ N. Доведення. Враховуючи, що Cq 0(Q)⊂Hq(Q), q ∈ Z+, та застосовуючи першу та другу формули Грiна [7], можна показати справедливiсть таких iнтегральних тотожностей: ∫ Q ϕLpXkdx = ∫ Q XkL pϕdx, ϕ ∈ C2p 0 (Q); (20) 36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11 λk ∫ Q ϕLpXkdx = ∫ Q ( N ∑ i,j=1 hij ∂Xk ∂xi ∂(Lpϕ) ∂xj +cXkL pϕ ) dx, ϕ ∈ C2p+1 0 (Q), (21) де p ∈ Z+. Iз (7), (20), (21) та нерiвностi Кошi–Буняковського [8] випливають оцiнки ϕ2 k 6 C5‖ϕ‖2C2p 0 (Q) λ−2p k , ϕ ∈ C2p 0 (Q), (22) ϕ2 k6 ‖ϕ‖2 C2p+1 0 (Q) λ2p+2 k [ C6+C7 N ∑ i=1 ∫ Q ( ∂Xk ∂xi )2 dx ] , ϕ ∈ C2p+1 0 (Q). (23) Внаслiдок елiптичностi диференцiального виразу L, iз (21) при ϕ(x) = Xk(x) випливає нерiвнiсть N ∑ i=1 ∫ Q ( ∂Xk ∂xi )2 dx6C8λk. Враховуючи останню нерiвнiсть, iз (23) отримуємо, що ϕ2 k6λ −(2p+2) k ‖ϕ‖2 C2p+1 0 (Q) [C6 + C9λk] 6 C5λ −(2p+1) k ‖ϕ‖2 C2p+1 0 (Q) , ϕ ∈ C2p+1 0 (Q). (24) Iз оцiнок (22), (24) випливає доведення леми. Лема 2. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R 1) чисел β > 0 нерiвнiсть | sin β √ λk| > C10λ −(N+ε)/2 k , 0 < ε < 1, C10 = C10(β), (25) справджується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) λk ∈ Λ. Доведення грунтується на очевиднiй нерiвностi | sinx| > (2/π)|x| при |x| < π/2, оцiн- ках (5) та лемi 2.4 з [2, гл. 1]. Зi спiввiдношень (5), (6), (8), (10), (11), (16)–(19) та лем 1, 2 випливають такi твердження. Теорема 2. Нехай справджуються умови (15) i m = 1. Якщо Φ(t, x) ∈ C0,s 0 (D), s = = max{1, 2n(N − 1) −N} + 2 + 2n + [3N/2], ϕj(x) ∈ Cq 0(Q), q = (2n− 1)N+[3N/2]+4n+ 3, j = 1, . . . , 2n + 1, то для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R n) векторiв ~β = (β1, . . . , βn) iснує розв’язок задачi (1)–(3), який належить до простору C1+2n,2(n+1)(D) i неперервно залежить вiд функцiй Φ(t, x), ϕj(x), j = 1, . . . , 2n + 1. Теорема 3. Нехай справджуються умови (15) i m > 2. Якщо Φ(t, x) ∈ Fγm,r(D), γm = = m−1 ∑ h=1 a2ht0, r = N/4+m/2+n+1/2, ϕ1(x) ∈ Cq 0(Q), q = max{m, (2n− 1)N}+[3N/2] + 2m+ + 4n+1, ϕj(x) ∈ Eγj ,l(Q), γj = m−1 ∑ h=m−j+1 a2ht0, l = N/4 + 3m/2 + 2n, j = 2, . . . ,m− 1, ϕj(x) ∈ ∈ Eγm,l(Q), j = m, . . . ,m+2n, то для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R n) векторiв ~β = = (β1, . . . , βn) iснує розв’язок задачi (1)–(3), який належить до простору Cm+2n,2(m+n)(D). Аналогiчнi результати отримано для випадку, коли в рiвняннi (1) a1 = a2 = . . . = am = a, b1 = b2 = . . . = bn = b. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 37 Результати роботи можна поширити на випадок оператора Lu≡ l ∏ s=1 ( ∂ ∂t − a2sL )qs p ∏ s=1 ( ∂2 ∂t2 − b2sL )rs , q1 + · · ·+ ql = m, r1 + · · · + rp = n. 1. Антыпко И.И., Перельман М.А. О классах единственности решения нелокальной многоточечной краевой задачи в бесконечном слое // Теория функций, функцион. анализ и их прилож. – 1972. – Вып. 16. – С. 98–109. 2. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с. 3. Василишин П.Б. Багатоточковi задачi для диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними: Ав- тореф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Чернiвцi, 2001. – 20 с. 4. Симотюк М.М. Багатоточковi задачi для лiнiйних диференцiальних та псевдодиференцiальних рiв- нянь iз частинними похiдними: Автореф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Львiв, 2005. – 17 с. 5. Пташник Б.Й., Iлькiв В.С., Кмiть I.Я., Полiщук В.М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 415 с. 6. Галун К.С., Пташник Б.Й. Багатоточкова задача для гiперболiчно-параболiчних рiвнянь у цилiн- дричнiй областi // Матерiали Дванадцятої мiжнар. наук. конф. iм. акад. М. Кравчука. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2008. – С. 82. 7. Ильин В.А., Шишмарев И.А. Равномерные в замкнутой области оценки для собственных функций эллиптического оператора и их производных // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1960. – 24. – С. 883–896. 8. Ильин В.А., Позняк Е. Г. Основы математического анализа. Ч. II. – Москва: Наука, 1973. – 448 с. 9. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – Москва: Наука, 1976. – 391 с. 10. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – Москва: Наука, 1988. – 333 с. 11. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Москва: Наука, 1969. – 526 с. Надiйшло до редакцiї 16.02.2009Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв Corresponding Member of the NAS of Ukraine B.Yo. Ptashnyk, K. S. Galun Multipoint problem for factorized hyperbolic-parabolic operators The correctness of a problem with multipoints conditions on the time variable and conditions of the Dirichlet type on spatial coordinates for a differential operator which is a product of hyperbolic and parabolic operators with variable coefficients in a cylindrical domain is investigated. The conditions of existence and uniqueness of the solution of the problem are established. For the lower estimates of small denominators, which arose during the construction of a solution of the problem, the metric approach is used. 38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11

Ähnliche Einträge