Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных
Рассмотрена проблема прогнозирования временных рядов цен акций ведущих мировых компаний, которым свойственна долговременная память. Делается предположение, что игнорирование наличия подобной корреляционной структуры временных рядов с применением традиционных методов анализа приводит к появлению знач...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190368 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных / А.Д. Шаташвили, И.Ш. Дидманидзе, Г.А. Кахиани // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 149–156. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-190368 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1903682023-06-03T16:47:02Z Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных Шаташвили, А.Д. Дидманидзе, И.Ш. Кахиани, Г.А. Системний аналіз Рассмотрена проблема прогнозирования временных рядов цен акций ведущих мировых компаний, которым свойственна долговременная память. Делается предположение, что игнорирование наличия подобной корреляционной структуры временных рядов с применением традиционных методов анализа приводит к появлению значительно большей погрешности, чем учет долговременной памяти при фактическом отсутствии. Предполагается, что колебания цен на инструменты финансового рынка описываются процессом Херста, которым моделируют процессы с долговременной памятью. Такой временной ряд не может быть эффективно проанализирован с помощью традиционных стационарных моделей, которые полностью игнорируют этот факт. Ставится задача: с использованием рассматриваемого метода установить наличие долговременной памяти у исходного временного ряда и определить его тип. Розглянуто проблему прогнозування часових рядів цін акцій провідних світових компаній, яким властива довготермінова пам'ять. Зроблено припущення, що у разі застосування традиційних методів аналізу ігнорування наявності подібної кореляційної структури часових рядів призводить до появи значно більшої похибки, ніж врахування довготермінової пам'яті за фактичної її відсутності. Передбачається, що коливання цін на інструменти фінансового ринку описуються процесом Герста, який моделює процеси з довготерміновою пам'яттю. Такий часовий ряд не можна ефективно аналізувати за допомогою традиційних стаціонарних моделей, які повністю ігнорують цей факт. Ставиться задача з використанням розглянутого методу встановити наявність довготермінової пам'яті у вихідного часового ряду і визначити його тип. The problem of forecasting the time series of stock prices of leading global companies that are characterized by long-term memory is considered. It is assumed that ignoring the presence of such a correlation structure in time series using traditional methods of analysis leads to a much greater error than taking into account long-term memory in its actual absence. It is assumed that the daily fluctuations in prices for financial market instruments are the Hurst process, that is, they have long-term memory, which means such a time series cannot be effectively analyzed using traditional stationary models that completely ignore this fact. Thus, the task is set, using the R/S analysis method, to determine the presence of long-term memory in the initial time series, to determine its type. 2020 Article Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных / А.Д. Шаташвили, И.Ш. Дидманидзе, Г.А. Кахиани // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 149–156. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190368 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Шаташвили, А.Д. Дидманидзе, И.Ш. Кахиани, Г.А. Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрена проблема прогнозирования временных рядов цен акций ведущих мировых компаний, которым свойственна долговременная память. Делается предположение, что игнорирование наличия подобной корреляционной структуры временных рядов с применением традиционных методов анализа приводит к появлению значительно большей погрешности, чем учет долговременной памяти при фактическом отсутствии. Предполагается, что колебания цен на инструменты финансового рынка описываются процессом Херста, которым моделируют процессы с долговременной памятью. Такой временной ряд не может быть эффективно проанализирован с помощью традиционных стационарных моделей, которые полностью игнорируют этот факт. Ставится задача: с использованием рассматриваемого метода установить наличие долговременной памяти у исходного временного ряда и определить его тип. |
| format |
Article |
| author |
Шаташвили, А.Д. Дидманидзе, И.Ш. Кахиани, Г.А. |
| author_facet |
Шаташвили, А.Д. Дидманидзе, И.Ш. Кахиани, Г.А. |
| author_sort |
Шаташвили, А.Д. |
| title |
Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных |
| title_short |
Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных |
| title_full |
Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных |
| title_fullStr |
Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных |
| title_full_unstemmed |
Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных |
| title_sort |
об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2020 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190368 |
| citation_txt |
Об одном методе предварительного прогноза временных рядов финансовых данных / А.Д. Шаташвили, И.Ш. Дидманидзе, Г.А. Кахиани // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 149–156. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT šatašviliad obodnommetodepredvaritelʹnogoprognozavremennyhrâdovfinansovyhdannyh AT didmanidzeiš obodnommetodepredvaritelʹnogoprognozavremennyhrâdovfinansovyhdannyh AT kahianiga obodnommetodepredvaritelʹnogoprognozavremennyhrâdovfinansovyhdannyh |
| first_indexed |
2025-07-16T13:11:47Z |
| last_indexed |
2025-07-16T13:11:47Z |
| _version_ |
1837809279862571008 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.Ä. ØÀÒÀØÂÈËÈ, È.Ø. ÄÈÄÌÀÍÈÄÇÅ, Ã.À. ÊÀÕÈÀÍÈ, Ò.À. ÔÎÌÈÍÀ
ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÌÅÒÎÄÅ ÏÐÅÄÂÀÐÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÏÐÎÃÍÎÇÀ
ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÐßÄΠÔÈÍÀÍÑÎÂÛÕ ÄÀÍÍÛÕ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà ïðîãíîçèðîâàíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ öåí
àêöèé âåäóùèõ ìèðîâûõ êîìïàíèé, êîòîðûì ñâîéñòâåííà äîëãîâðåìåííàÿ
ïàìÿòü. Äåëàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî èãíîðèðîâàíèå íàëè÷èÿ ïîäîáíîé
êîððåëÿöèîííîé ñòðóêòóðû âðåìåííûõ ðÿäîâ ñ ïðèìåíåíèåì òðàäèöèîííûõ
ìåòîäîâ àíàëèçà ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ çíà÷èòåëüíî áîëüøåé ïîãðåøíîñòè,
÷åì ó÷åò äîëãîâðåìåííîé ïàìÿòè ïðè ôàêòè÷åñêîì åå îòñóòñòâèè. Ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ, ÷òî êîëåáàíèÿ öåí íà èíñòðóìåíòû ôèíàíñîâîãî ðûíêà îïèñûâà-
þòñÿ ïðîöåññîì Õåðñòà, êîòîðûì ìîäåëèðóþò ïðîöåññû ñ äîëãîâðåìåííîé
ïàìÿòüþ. Òàêîé âðåìåííîé ðÿä íå ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíî ïðîàíàëèçèðîâàí
ñ ïîìîùüþ òðàäèöèîííûõ ñòàöèîíàðíûõ ìîäåëåé, êîòîðûå ïîëíîñòüþ èãíî-
ðèðóþò ýòîò ôàêò. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à: ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàññìàòðèâàåìîãî ìå-
òîäà óñòàíîâèòü íàëè÷èå äîëãîâðåìåííîé ïàìÿòè ó èñõîäíîãî âðåìåííîãî
ðÿäà è îïðåäåëèòü åãî òèï.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âðåìåííûå ðÿäû, ôðàêòàë, íåéðîííûå ñåòè.
Ðàçðàáîòàííûé â íàñòîÿùåé ñòàòüå àëãîðèòì ïîçâîëÿåò èäåíòèôèöèðîâàòü
è ÷èñëåííî îöåíèòü òàêèå ôóíäàìåíòàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè âðåìåííûõ ðÿäîâ,
êàê íàëè÷èå è ãëóáèíà äîëãîâðåìåííîé ïàìÿòè, óñòîé÷èâîñòü è ò.ä.
Èñïîëüçóåì ôðàêòàëüíûé àíàëèç — ïðîâåðåííûé ìåòîä îïèñàíèÿ ýâîëþöè-
îííûõ ïðîöåññîâ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ âðåìåííûõ ðÿäîâ. Îñíîâ-
íûì èíñòðóìåíòîì ôðàêòàëüíîãî àíàëèçà âðåìåííûõ ðÿäîâ ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòì
R S/ -àíàëèçà. Åãî ìåòîäîëîãèÿ áûëà ðàçðàáîòàíà â ñåðåäèíå XX âåêà ãèäðîëîãîì
Õåðñòîì â ïðîöåññå èññëåäîâàíèÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ îáúåìîâ ðå÷íîãî ñòîêà. Ïðè
ïðîâåðêå ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ðÿäû äàííûõ ïîä÷èíÿþòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó,
Õåðñò îïðåäåëèë íîâóþ ñòàòèñòèêó — èíäåêñ Õåðñòà (H). Â õîäå èññëåäîâàíèÿ
Õåðñò èçìåðÿë ôëóêòóàöèè âîäû â ïëàñòå, ñðàâíèâàÿ ñî ñðåäíèì ïî âðåìåíè,
è ââîäèë áåçðàçìåðíîå ñîîòíîøåíèå äåëåíèåì àìïëèòóäû R íà ñòàíäàðòíîå îò-
êëîíåíèå S (R S/ -àíàëèç). Ýòîò ìåòîä àíàëèçà áûë âûçâàí èçìåíåíèåì äèàïàçîíà.
Õåðñò îáíàðóæèë, ÷òî áîëüøèíñòâî ïðèðîäíûõ ÿâëåíèé, âêëþ÷àÿ ðå÷íûå ñòîêè,
ìîãóò áûòü îïèñàíû ðåãðåññèîííîé ìîäåëüþ ñ øóìîì (òåíäåíöèÿ + øóì). Ñèëó
òðåíäà è óðîâåíü øóìà ìîæíî èçìåðèòü ïî íîðìàëèçîâàííîé àìïëèòóäå èëè,
äðóãèìè ñëîâàìè, äî çíà÷åíèÿ H íå áîëåå 0.5 (H� 0.5).
Îïèøåì àëãîðèòì R S/ -àíàëèçà â òîì âèäå, â êîòîðîì îí ðåàëèçîâàí â ñî-
âðåìåííûõ ìåòîäàõ ôðàêòàëüíîãî àíàëèçà [1, 2]. C ó÷åòîì âðåìåííûõ ðÿäîâ
X x i ni� � �{ }, , , ,1 2 , (1)
êîòîðûå ïîñëåäîâàòåëüíî âûäåëÿþò íà÷àëüíûå ñåãìåíòû
X x x x n� � �� �1 2 3 4, , , , , , ,� � ,
âû÷èñëÿåì òåêóùåå ñðåäíåå çíà÷åíèå
X xi
i
�
�
�
�
�
�
1
1
.
Òîãäà äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî X � , � � �3 4, , , n, ðàññ÷èòàåì íàêîïëåííîå
îòêëîíåíèå äëÿ åãî ñåãìåíòîâ äëèíû t :
Y x Xt i
i
t
� �, ( )� �
�
�
1
, t �1, �.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 149
© À.Ä. Øàòàøâèëè, È.Ø. Äèäìàíèäçå, Ã.À. Êàõèàíè, Ò.À. Ôîìèíà, 2020
Äàëåå âû÷èñëÿåì ðàçíîñòü ìåæäó ìàêñèìàëüíûì è ìèíèìàëüíûì íàêîïëåííû-
ìè îòêëîíåíèÿìè: R � � �
� � � �
R Y Y
t
t
t
t( ) max ( ) min ( ), ,�
�
�
�
�
1 1
, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ äèàïà-
çîíîì R. Ýòîò ìàñøòàá íîðìèðîâàí è ïðåäñòàâëåí êàê äîëÿ îò R S/ , ãäå
S � � �
�
�S x Xj
j
( ) ( )�
�
�
�
1 2
1
,
S — ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå äëÿ èíòåðâàëüíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ X � ,
� � 3 4, , ,� n.
Ïîêàçàòåëü Õåðñòà H H� ( )� , êîòîðûé õàðàêòåðèçóåò ôðàêòàëüíóþ ðàçìåð-
íîñòü ðàññìàòðèâàåìûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ è ñîîòâåòñòâóþùèé öâåòîâîé øóì, ïî-
ëó÷àåì â âèäå ñîîòíîøåíèÿ [1]
R
S
H� ( )�� .
Ëîãàðèôìèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî � � 0.5 (ñì. [3]),
ïîëó÷àåì â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ( , )x y� � òî÷êè H — îðäèíàòó è àáñöèññó
òðàåêòîðèè ñîîòâåòñòâåííî:
y
R S
x� ��
� �
� � �
�� � �H( )
log ( ( ) / ( ))
log ( )
, .
Äëÿ ôðàêòàëüíîãî àíàëèçà (1) R S/ -òðàåêòîðèè â äåêàðòîâûõ ëîãàðèôìè÷åñ-
êèõ êîîðäèíàòàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê, ãäå àáñöèññà x� � � �� log ( ) è îðäè-
íàòà y R S� � �� log ( ( ) / ( )), ñåãìåíòà, ñîåäèíÿþùåãî ñîñåäíèå òî÷êè ( , )x y� � è
( , )x y� �� �1 1 , � � �3 4 1, , , ,� n , òðåáóåòñÿ ïîëó÷èòü ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
R S/ -ïóòè (H-ïóòè) â ëîãàðèôìè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (â îáû÷íûõ äåêàðòîâûõ êî-
îðäèíàòàõ).
Îäíîé èç îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ôðàêòàëüíûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ ÿâëÿåòñÿ
öâåòîâîé øóì, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ýòîé ñåðèè â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìå-
íè. Çíà÷åíèÿ H 0.6 îïðåäåëÿþò ÷åðíûé øóì. ×åì áîëüøå çíà÷åíèå, òåì âûøå
óñòîé÷èâîñòü òðåíäà ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ñåãìåíòó âðåìåííûõ ðÿäîâ. Çíà÷åíèÿ â
îêðåñòíîñòè ~ 0.5
0.1 îïðåäåëÿåò îáëàñòü áåëîãî øóìà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò «õàî-
òè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ âðåìåííîãî ðÿäà», è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååì ìåíåå íàäåæíûé
ïðîãíîç. Êàê ïîêàçàíî íèæå, ïðèñóùèé ÷åðíûì ðÿäàì ñåðûé øóì ñîîòâåòñòâóåò
îáëàñòè íå÷åòêîãî ðàçëè÷èÿ ìåæäó îáëàñòÿìè ÷åðíîãî è áåëîãî øóìà.
Íåëüçÿ óòâåðæäàòü èëè îòðèöàòü íàëè÷èå äîëãîâðåìåííîé ïàìÿòè âî âðå-
ìåííîì ðÿäó (1), åñëè åãî H-òðàåêòîðèÿ íåäîëãîå âðåìÿ íàõîäèòñÿ â îáëàñòè ÷åð-
íîãî øóìà, à ïîâåäåíèå R S/ -òðàåêòîðèè õàîòè÷íî ñ íà÷àëüíîé òî÷êè [4].
Îñíîâàíèåì äëÿ óòâåðæäåíèÿ òîãî, ÷òî âðåìåííîé ðÿä (1) èìååò äîëãîâðå-
ìåííóþ ïàìÿòü, ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé.
1. H-ïóòü, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç íåêîòîðûå åãî íà÷àëüíûå òî÷êè, íàõîäèòñÿ â ÷åð-
íîì øóìå, à ïóòü, îïðåäåëÿþùèé òî÷êè, âõîäÿùèå â ÷åðíûé øóì, ÿâëÿåòñÿ òðåí-
äîì. H-ïóòü, ïðè êîòîðîì ãëóáèíà ñîñòîÿíèÿ ïàìÿòè ïðè H-òðàåêòîðèè óìåíüøàåò-
ñÿ, à R S/ -òðàåêòîðèÿ â ýòîé òî÷êå ïîêàçûâàåò ðåçêîå èçìåíåíèå òðåíäà.
2. Åñëè â ýòîì âðåìåííîì ðÿäó ñëó÷àéíî ïåðåòàñîâàòü åãî ýëåìåíòû, òî
ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå àëãîðèòìà Õåðñòà è R S/ -òðàåêòîðèè áóäåò íàìíîãî
íèæå, ÷åì çíà÷åíèÿ H äëÿ èñõîäíîãî âðåìåííîãî ðÿäà; â ýòîì ñëó÷àå âðåìåííîé
ðÿä èìååò äîëãîâðåìåííóþ ïàìÿòü.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå R S/ -àíàëèç ïðîâîäèòñÿ íà îñíîâàíèè ñëåäóþùèõ âðå-
ìåííûõ ðÿäîâ. Àíàëèçèðóåìûé âðåìåííîé ðÿä stock quotation — MSFT (X 1) èìå-
åò ðàçìåð îáðàçöà 1050, à âðåìåííîé ðÿä stock quotation — IBM ( )X 2 èìååò ðàç-
ìåð îáðàçöà 1100.
150 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíû äàííûå, ïî-
ëó÷åííûå íà âûõîäå R S/ -àíàëèçà,
H- è R S/ -ïóòü äëÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ âðåìåííûõ ðÿäîâ: äëÿ ãðàôè-
êîâ H-òðàåêòîðèè íà îòðåçêàõ äëè-
íû àáñöèññ �, äëÿ ãðàôèêîâ
R S/ -òðàåêòîðèè ïî çíà÷åíèÿì àá-
ñöèññ ln ( / )� 2 .
Íà îñíîâàíèè R S/ -àíàëèçà áûëè
ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, îáùèå äëÿ
âñåõ ðàññìîòðåííûõ íàáëþäåíèé.
� H-òðàåêòîðèÿ êàæäîãî âðå-
ìåííîãî ðÿäà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ïåð-
âîãî çíà÷åíèÿ ïåðåõîäèò â îáëàñòè
÷åðíîãî øóìà, ÷òî ïîçâîëÿåò ñâèäåòåëüñòâîâàòü î ñîõðàíÿåìîñòè òðåíäîâîãî âðå-
ìåíè è âðåìåííûõ õàðàêòåðèñòèêàõ äîëãîâðåìåííîé ïàìÿòè.
� Äëÿ êàæäîãî âðåìåííîãî ðÿäà ìîæíî îöåíèòü êîëè÷åñòâî ïåðâûõ ýëåìåí-
òîâ (m), ïîñëå ÷åãî ïîêàçàòåëü H ïåðåõîäèò â çîíó ÷åðíîãî øóìà. Ýòà âåëè÷èíà õà-
ðàêòåðèçóåò ìèíèìàëüíî äîïóñòèìûé îáðàçåö âðåìåííîãî ðÿäà, êîòîðûé ïîçâîëÿåò
ïðîãíîçèðîâàòü ïîâåäåíèå âðåìåííûõ ðÿäîâ. ×èñëî ïåðâûõ ýëåìåíòîâ âðåìåííîãî
ðÿäà ñîñòàâëÿåò îò ïÿòè äî äåâÿòè.
� Ðåçóëüòàòû R S/ -àíàëèçà ïîçâîëÿþò òàêæå óòâåðæäàòü, ÷òî íåêîòîðûå ðàñ-
ñìàòðèâàåìûå âðåìåííûå ðÿäû ïî ñâîåé ïðèðîäå ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè (ñêîðåå,
êâàçèöèêëè÷åñêèìè). Áîëåå òîãî, èç àíàëèçà R S/ -ïóòè âûòåêàåò, ÷òî òî÷êè èçìåíå-
íèÿ òðåíäà ÷àñòî ñîîòâåòñòâóþò îêîí÷àíèþ êâàçèöèêëà. Äàëüíåéøåå ðàñøèðåíèå
îáúåìà êâàçèöèêëîâ ïîçâîëÿåò îöåíèòü ãëóáèíó äîëãîâðåìåííîé ïàìÿòè.
� Îïðåäåëåíèå ñâîéñòâ êâàçèöèêëè÷åñêèõ âðåìåííûõ ðÿäîâ è ãëóáèíû äîë-
ãîâðåìåííîé ïàìÿòè âðåìåííîãî ðÿäà ñ ïîìîùüþ òîëüêî R S/ -àíàëèçà ìîæåò
îêàçàòüñÿ íåäîñòàòî÷íûì. Íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå ìåòîäû è àëãîðèòìû.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ ïîãðåøíîñòüþ ñòàíäàðòíîãî
àëãîðèòìà îáðàòíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â íåéðîííûõ ñå-
òÿõ. Â ñòàíäàðòíîì àëãîðèòìå îáðàòíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîáëåìà âûáîðà ñêî-
ðîñòè îáó÷åíèÿ íåéðîííîé ñåòè èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåê-
òèâíîñòè àëãîðèòìà. Ïðè íàõîæäåíèè àäàïòèâíîé ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ âûáèðà-
åòñÿ íàèáîëåå ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ñïóñêà. Ñîãëàñíî ýòîìó àëãîðèòìó
íåéðîííàÿ ñåòü äëÿ êàæäîé ñêîðîñòè îáó÷åíèÿ âûáèðàëàñü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà áûëà ìèíèìàëüíîé:
�( ) min ( ( ))t E y tj� �1 .
Ðåøåíèå çàâèñèò îò íåéðîííûõ ýëåìåíòîâ ôóíêöèè àêòèâàöèè è â îáùåì ñëó-
÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
w t w t t
E
w t
ij ij
ij
( ) ( ) ( )
( )
� � �
�
�
1 � , (2)
T t T t t
E
T t
j j
j
( ) ( ) ( )
( )
� � �
�
�
1 � . (3)
Ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà íåéðîííîé ñåòè îïðåäåëÿåòñÿ êàê
E y tj j
j
� ��
1
2
2( ) .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 151
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè R S/ -ïóòè (1) è H-òðàåêòîðèè (2)
äëÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ (âðåìåííûå ðÿäû X1)
1
2
Íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå
�
�
�
�
� �
� �
�
E
t
E
y t
y t
tj
j
� �( ) ( )
( )
( )1
1
,
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ. Ïîýòîìó â [3] äëÿ ïîèñêà àäàï-
òèâíîé ñêîðîñòè îáó÷åíèÿ �( )t ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ìåòîä íàèñêîðåéøå-
ãî ñïóñêà, ÷òî ñâÿçàíî ñ áîëüøèì îáúåìîì âû÷èñëåíèé. Ïðåäëîæèì ïðèáëè-
æåííûé ìåòîä íàõîæäåíèÿ �( )t , êîòîðûé îñíîâàí íà ðàçëîæåíèè â ðÿä Òåéëî-
ðà ôóíêöèè àêòèâàöèè íåéðîíà. Ðàññìîòðèì ýòîò ìåòîä áîëåå ïîäðîáíî.
Ïóñòü âûõîäíîå çíà÷åíèå j-ãî íåéðîíà ïîñëåäíåãî ñëîÿ íåéðîííîé ñåòè âû-
÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
y t F S tj j( ) ( ( ))� ,
S t y t w t T tj i ij i
i
( ) ( ) ( ) ( )� �� , (4)
ãäå y ti ( ) — âûõîäíîå çíà÷åíèå i-ãî íåéðîíà ñêðûòîãî ñëîÿ.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âûõîäíîãî çíà÷åíèÿ j-ãî íåéðîíà çà âðåìÿ t �1(ñì. (2) è (3))
S t y w
E
w
T
E
T
j i ij
ij
j
ji
( )� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
��1 � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �y w T y
E
w
E
T
i ij j
i
j
ij jj
� (5)
ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
a y
E
w
E
T
j j
ij jj
�
�
�
�
�
�
� . (6)
Òîãäà óðàâíåíèå (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
S t S t aj j j( ) ( )� � �
1 � . (7)
Çíà÷åíèå j-ãî íåéðîíà çà âðåìÿ ( )t �1 :
y t F S tj j( ) ( ( ))� � �1 1 .
Ðàçëîæèì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â ðÿä Òåéëîðà:
y t F F F S tj j( ) ( ) ( ) ( ( ))� � � �
�1 0 0 1 , (8)
ãäå
� �
�
�
F
F
S j
( )0 ,
åñëè S j ( )0 0� .
Èç âûðàæåíèé (8), (7) ïîëó÷èì
y t F F S t F aj j j( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � �
� �1 0 0 0� . (9)
Ïîñêîëüêó
y t F F S tj j( ) ( ) ( ) ( )� � �
0 0 ,
òî âûðàæåíèå (9) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
y t y t F F aj j j( ) ( ) ( ) ( )� � � �1 0 0� . (10)
Äëÿ ïîèñêà àäàïòèâíîé ñêîðîñòè îáó÷åíèÿ ñëåäóåò íàéòè
E y t tj j
j
� � � ��
1
2
1 2( ( ) ) min;
òîãäà
�
�
� � � �
� � ��
E
y t t F a F aj j j j
j�
�( ( ) ( ) ) ( ( ) )0 0 0 .
152 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
Îòñþäà ïîëó÷àåì
�( )
( ( ) )
( )
t
y t t a
F a
j j j
j
j
j
�
�
�
�
�0 2
. (11)
Òàê êàê
�
�
�
2
2
0
E
�
, òî �( )t ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì.
Íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ a j . Èìååì
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
E
w
E
y
y
S
S
w
y t F S y
ij j
j
j
j
ij
j j j j( ) ( ) , (12)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
E
T
E
y
y
S
S
T
y t F S
j j
j
j
j
j
j j j( ) ( ); (13)
åñëè (12) è (13) ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå (6), òî ïîëó÷èì
a y y t F Sj i
i
j j j� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��1 2 ( ) ( ). (14)
Ïóñòü
� j j jy t� � . (15)
Òîãäà ñ ó÷åòîì (11)–(15) ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ïðèáëèçèòåëüíîé ñêî-
ðîñòè îáó÷åíèÿ íåéðîííîé ñåòè:
�
�
�
( )
( )
( ) ( ( ))
t
F S
F y F S
j j
j
i
i
j j
j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2 2 20 1 �
�
�
�
�
�
�
�
�
, (16)
ãäå � j ÿâëÿåòñÿ j-ì ýëåìåíòîì îøèáêè íåéðîííîé ñåòè.
Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ ñèãìîèäíîé ôóíêöèè èìååò âèä
� � � � �y F S y yj j j j( ) ( )1 ,
� � � �y Fj ( ) ( )0 0
1
4
,
òî ñêîðîñòü àäàïòèâíîãî îáó÷åíèÿ íåéðîííîé ñåòè ïðåäñòàâèì ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
�
�
�
( )
( )
( )
t
y y
y y y
j j j
j
i
i
j j j
j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 1
1 1
2
2 2 2 2
,
ãäå � j — îøèáêà ñêðûòîãî ñëîÿ j-ãî íåéðîííîãî ýëåìåíòà,
� �j i i i ij
i
y y w� �� ( )1 ,
çíà÷åíèå i õàðàêòåðèçóåòñÿ íåéðîíàìè ñëåäóþùåãî ñëîÿ j .
Åñëè äëÿ ôóíêöèè àêòèâàöèè èñïîëüçîâàòü ãèïåðáîëè÷åñêèé òàíãåíñ, òî ïî-
ëó÷èì
� � � � � �y F S
S
yj j
j
j( )
( )
( )
1
1
2
2
ch
,
� � � �y Fj ( ) ( )0 0 1.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 153
Ñëåäîâàòåëüíî,
�
�
�
( )
( )
( )
t
y
y y
j j
j
i
i
j j
j
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2 2
2 2 2 2
1
1 1
,
ãäå � j — îøèáêà ñêðûòîãî ñëîÿ j-ãî íåéðîííîãî ýëåìåíòà,
� �j i i ij
i
y w� �� ( )1 2 .
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî ñëîÿ íåéðîííîé ñåòè çíà÷åíèå �( )t ðàññ÷èòûâàåòñÿ
îòäåëüíî. Êàê ïîêàçûâàþò ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû, ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîâûøåí-
íîé ñêîðîñòè àäàïòèâíîãî îáó÷åíèÿ àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ÷å-
ðåç �( )t . Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ ýôôåêòà äåñèíõðîíèçàöèè ó÷åáíîãî ïðî-
öåññà, êîãäà ñèíàïòè÷åñêèå ñâÿçè âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ âî âðåìÿ îáó÷åíèÿ â øè-
ðîêîì äèàïàçîíå ðåçêî èçìåíÿþò ñâîè çíà÷åíèÿ, â ðåçóëüòàòå âîçíèêàåò ôóíêöèÿ
êîëåáàòåëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñòàíäàðòíîé îøèáêè îòêëîíåíèÿ. Ïîýòîìó ðåêîìåí-
äóåòñÿ îãðàíè÷èâàòü àáñîëþòíîå çíà÷åíèå �( )t . Âûðàæåíèÿ, ïîëó÷åííûå âûøå äëÿ
îáó÷åíèÿ àäàïòèâíîé ñêîðîñòè íåéðîííîé ñåòè, ìîãóò óñêîðèòü ïðîöåññ ñåòåâîãî
îáó÷åíèÿ è èñêëþ÷èòü ïðîáëåìó ïðîèçâîëüíîãî âûáîðà ñêîðîñòè îáó÷åíèÿ. Ýòî
îùóòèìîå ïðåèìóùåñòâî ïåðåä ñòàíäàðòíûì îáðàòíûì àëãîðèòìîì.
Êàê è â ñëó÷àå ëèíåéíîé íåéðîííîé ñåòè, àäàïòèâíàÿ ñêîðîñòü îáó÷àþùåé
ñåòè ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
�
�� �
( )
( ) ( )
t
F a
j
k
jk
j
k
jk
�
�
��
��
2
20
,
a F S y yj
k
j
p
j
p
i
p
i
k
ip
� � �
�
�
�
�
�
�
�
��� � ( ) 1 ,
ãäå k L�1, ; L — êîëè÷åñòâî èçîáðàæåíèé, ïîñëå ïîäà÷è êîòîðûõ âõîä íåéðîí-
íîé ñåòè ðåãóëèðóåòñÿ ñèíàïòè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè è ïîðîãàìè íåéðî-
íîâ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðîñëåæèâàåòñÿ èçìåíåíèå ñèíàïòè-
÷åñêèõ ñâÿçåé:
w L w t y F S yij ij j
k
j
k
i
k
k
( ) ( ) ( ) ( )� �
��0 � ,
T L T t y F Sj j j
k
j
k
k
( ) ( ) ( ) ( )� �
��0 � .
Ïîñëåäíèå âûðàæåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü â ïàêåòíîì ðåæèìå ïóòåì èçìåíå-
íèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ íåéðîííîé ñåòè.
Àäàïòèâíàÿ ñêîðîñòü îáó÷åíèÿ ïðèáëèçèòåëüíàÿ. Òî÷íîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñ-
ëîì ÷ëåíîâ ðÿäà Òåéëîðà è íåçàâèñèìîñòüþ ñëîåâ. Ýòîò ïðèíöèï îáîáùàåò ðåçóëü-
òàòû âñåõ óðîâíåé íåéðîííîé ñåòè, ïîëó÷åííûå äëÿ ïîñëåäíåãî ñëîÿ. Åñòåñòâåííî,
äëÿ ñàìîãî îáùåãî ñëó÷àÿ ýòî íå âñåãäà ïðàâèëüíî, è òîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàç-
íûå ñêîðîñòè äëÿ ðàçíûõ óðîâíåé íåéðîííîé ñåòè.
Òåîðåìà 1. Àäàïòèâíàÿ ñêîðîñòü îáó÷åíèÿ ïîñëåäíåãî ñêðûòîãî ñëîÿ íåé-
ðîííîé ñåòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
� 2
2
2
0
( )
( )
( ( ))
t
C y t w
F C w
i
i
j j ij
j
i ij
ij
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
,
154 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
ãäå
C F S yi i i k
k
� � �
�
�
�
�
�
�
�
��� ( ) 1 2 ,
j — âûõîäíîé ñëîé íåéðîííîé ñåòè, ïðåäñòàâëÿþùèé ïîñëåäíèé ñêðûòûé
ñëîé; k — ñêðûòûé ïðåäïîñëåäíèé ñëîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ i-ãî íåéðîíà ïîñëåäíåé âçâåøåííîé ñóììû ñêðûòîãî
ñëîÿ íà îñíîâå (4) çàïèøåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
S t S t Ci i i( ) ( )� � �1 2� ,
ãäå
C y
E
w
E
T
F S yi k
ij i
i i k
kk
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
��� � ( ) 1 2 .
Òîãäà â ðåçóëüòàòå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà S ti ( )�1 âûõîäíîãî çíà÷åíèÿ i-ãî
íåéðîíà èìååì
y t F F S ti i( ) ( ) ( ) ( )� � � � �1 0 0 1 .
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîãî âûðàæåíèÿ ïîëó÷èì
y t y t F Ci i i( ) ( ) ( )� � � �1 02� . (17)
Âçâåøåííàÿ ñóììà j-ãî ýëåìåíòà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì:
S t w y t Tj ij i j
i
( ) ( )� � � ��1 1 . (18)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (17) â (18) ïîëó÷àåì
S t S t F w Cj j ij j
i
( ) ( ) ( )� � � � �1 02� .
Âûõîäíîå çíà÷åíèå j-ãî ýëåìåíòà ïîñëåäíåãî ñëîÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê
y t y t F S t y t F w Cj j j j ij j
j
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))� � � � � � � � �1 0 1 0 2
2� .
Òîãäà
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
E
y t t F w C F wj j ij i
i�
�
2
2
2 20 0( ) ( ( )) ( ( )) ij i
ij
C��
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ïðèðàâíÿâ ýòî âûðàæåíèÿ ê íóëþ è óïðîñòèâ åãî, ïîëó÷èì
� 2
2
2
0
( )
( )
( ( ))
t
C y t w
F C w
i
i
j j ij
j
i ij
ij
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ïðèâåäåííûå âûøå âûðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò âûáðàòü ñêîðîñòü àäàïòèâíîãî
îáó÷åíèÿ äëÿ íåéðîííûõ ñåòåé, èìåþùèõ îäèí èëè äâà ñêðûòûõ ñëîÿ.
Òàêèì îáðàçîì, èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ïðåäâàðèòåëüíîãî ïðîãíîçèðîâàíèÿ ôè-
íàíñîâûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì àëãîðèòìà Õåðñòà (ñ èñïîëüçîâàíèåì
R S/ -àíàëèçà). Èç àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî âî âðåìåííîì ðÿäó ìîæíî âëèÿòü íà äîëãîâðå-
ìåííóþ ïàìÿòü äëÿ îöåíèâàíèÿ åå ãëóáèíû è ïðè ýòîì îáíàðóæèâàòü íàëè÷èå öèêëîâ
(êâàçèöèêëîâ). Òåì íå ìåíåå, R S/ -àíàëèç íå ÿâëÿåòñÿ èñ÷åðïûâàþùèì ïðåäâàðèòåëü-
íûì èññëåäîâàíèåì, ïîñêîëüêó îí íå âñåãäà äàåò ïîëíóþ èíôîðìàöèþ î ïîâåäåíèè
âðåìåííûõ ðÿäîâ áåç ïðèìåíåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 155
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Peters E.E. Chaos and order in the capital markets: A new view of cycles, prices, and market violability.
Wiley Finance, 1996. 288 p.
2. Feder J. Fractals. Premium Press, 1990. 283 p.
3. Mandelbrot Â. The fractal geometry of nature. New York: W.H. Freeman, 1983. 270 p.
4. Äèäìàíèäçå È., Êàõèàíè Ã. Èñêóññòâåííàÿ íåéðîííàÿ ñåòü è óïðàâëåíèå èíâåñòèöèÿìè ôîíäîâîãî
ðûíêà. Òåîðåòè÷íi òà ïðèêëàäíi àñïåêòè ïîáóäîâè ïðîãðàììíèõ ñèñòåì. TAAPSD’2013: Ïðàöi êîí-
ôåðåíöii. ßëòà, 2013. C. 52–53.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 21.02.2019
À.Ä. Øàòàøâ³ë³, ².Ø. ijäìàí³äçå, Ã.Î. Êàõ³àí³, Ò.Î. Ôîì³íà
ÏÐÎ ÎÄÈÍ ÌÅÒÎÄ ÏÎÏÅÐÅÄÍÜÎÃÎ ÏÐÎÃÍÎÇÓÂÀÍÍß ×ÀÑÎÂÈÕ ÐßIJÂ
Ô²ÍÀÍÑÎÂÈÕ ÄÀÍÈÕ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ïðîáëåìó ïðîãíîçóâàííÿ ÷àñîâèõ ðÿä³â ö³í àêö³é
ïðîâ³äíèõ ñâ³òîâèõ êîìïàí³é, ÿêèì âëàñòèâà äîâãîòåðì³íîâà ïàì’ÿòü. Çðîá-
ëåíî ïðèïóùåííÿ, ùî ó ðàç³ çàñòîñóâàííÿ òðàäèö³éíèõ ìåòîä³â àíàë³çó ³ãíî-
ðóâàííÿ íàÿâíîñò³ ïîä³áíî¿ êîðåëÿö³éíî¿ ñòðóêòóðè ÷àñîâèõ ðÿä³â ïðèçâî-
äèòü äî ïîÿâè çíà÷íî á³ëüøî¿ ïîõèáêè, í³æ âðàõóâàííÿ äîâãîòåðì³íîâî¿
ïàì’ÿò³ çà ôàêòè÷íî¿ ¿¿ â³äñóòíîñò³. Ïåðåäáà÷àºòüñÿ, ùî êîëèâàííÿ ö³í íà
³íñòðóìåíòè ô³íàíñîâîãî ðèíêó îïèñóþòüñÿ ïðîöåñîì Ãåðñòà, ÿêèé ìîäåëþº
ïðîöåñè ç äîâãîòåðì³íîâîþ ïàì’ÿòòþ. Òàêèé ÷àñîâèé ðÿä íå ìîæíà åôåê-
òèâíî àíàë³çóâàòè çà äîïîìîãîþ òðàäèö³éíèõ ñòàö³îíàðíèõ ìîäåëåé, ÿê³
ïîâí³ñòþ ³ãíîðóþòü öåé ôàêò. Ñòàâèòüñÿ çàäà÷à — ç âèêîðèñòàííÿì ðîçãëÿ-
íóòîãî ìåòîäó âñòàíîâèòè íàÿâí³ñòü äîâãîòåðì³íîâî¿ ïàì’ÿò³ ó âèõ³äíîãî
÷àñîâîãî ðÿäó ³ âèçíà÷èòè éîãî òèï.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ÷àñîâ³ ðÿäè, ôðàêòàë, íåéðîíí³ ìåðåæ³.
A.D. Shatashvili, I.Sh. Didmanidze, G.A. Kakhiani, T.A. Fomina
A METHOD OF PRELIMINARY FORECASTING OF TIME SERIES OF FINANCIAL DATA
Abstract. The problem of forecasting the time series of stock prices of leading
global companies that are characterized by long-term memory is considered. It is
assumed that ignoring the presence of such a correlation structure in time series
using traditional methods of analysis leads to a much greater error than taking
into account long-term memory in its actual absence. It is assumed that the daily
fluctuations in prices for financial market instruments are the Hurst process, that
is, they have long-term memory, which means such a time series cannot be
effectively analyzed using traditional stationary models that completely ignore
this fact. Thus, the task is set, using the R/S analysis method, to determine the
presence of long-term memory in the initial time series, to determine its type.
Keywords: data series, fractal, artificial neural networks.
Øàòàøâèëè Àëüáåðò Äàíèåëîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Áàòóìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Øîòà Ðóñòàâåëè,
Ãðóçèÿ, e-mail: shatal@bk.ru.
Äèäìàíèäçå Èáðàèì Øîòàåâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîêòîð ôèëîñîôèè, ïðîôåññîð Áàòóìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Øîòà Ðóñòàâåëè, Ãðóçèÿ, e-mail: ibraim.didmanidze@bsu.edu.ge; ibraimd@mail.ru.
Êàõèàíè Ãðèãîðèé Àëåêñàíäðîâè÷,
àêàäåìè÷åñêèé äîêòîð èíôîðìàòèêè, àññîöèèðîâàííûé ïðîôåññîð Áàòóìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåòà èìåíè Øîòà Ðóñòàâåëè, Ãðóçèÿ, e-mail: gregory.kakhiani@bsu.edu.ge.
Ôîìèíà Òàìàðà Àëåêñàíäðîâíà,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Áàòóìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Øîòà Ðóñòàâåëè,
Ãðóçèÿ, e-mail: shatal@bk.ru.
156 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
|