Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин

Одержано необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному сильних розв'язків стохастичних диференціально-різницевих рівнянь з частинними похідними з попарно незалежними зовнішніми випадковими збуреннями типу випадкових величин....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Лукашів, Т.О., Юрченко, І.В., Ясинський, В.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190369
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин / Т.О. Лукашів, І.В. Юрченко, В.К. Ясинський // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 157–165. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190369
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1903692023-06-03T16:51:54Z Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин Лукашів, Т.О. Юрченко, І.В. Ясинський, В.К. Системний аналіз Одержано необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному сильних розв'язків стохастичних диференціально-різницевих рівнянь з частинними похідними з попарно незалежними зовнішніми випадковими збуреннями типу випадкових величин. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости в среднем квадратичном сильных решений стохастических дифференциально-разностных уравнений в частных производных с попарно независимыми внешними случайными возмущениями типа случайных величин. We obtain the necessary and sufficient conditions for the stability in the mean square of the strong solutions of stochastic differential-difference partial derivative equations with pairwise independent external random distributions of the type of random variables. 2020 Article Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин / Т.О. Лукашів, І.В. Юрченко, В.К. Ясинський // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 157–165. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190369 519.217 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Лукашів, Т.О. Юрченко, І.В. Ясинський, В.К. Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин Кибернетика и системный анализ
description	Одержано необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному сильних розв'язків стохастичних диференціально-різницевих рівнянь з частинними похідними з попарно незалежними зовнішніми випадковими збуреннями типу випадкових величин.
format	Article
author	Лукашів, Т.О. Юрченко, І.В. Ясинський, В.К.
author_facet	Лукашів, Т.О. Юрченко, І.В. Ясинський, В.К.
author_sort	Лукашів, Т.О.
title	Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин
title_short	Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин
title_full	Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин
title_fullStr	Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин
title_full_unstemmed	Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин
title_sort	про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190369
citation_txt	Про необхідні та достатні умови стійкості в середньому квадратичному лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь у частинних похідних під дією зовнішних збурень типу випадкових величин / Т.О. Лукашів, І.В. Юрченко, В.К. Ясинський // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 157–165. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT lukašívto proneobhídnítadostatníumovistíjkostívserednʹomukvadratičnomulíníjnihstohastičnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹučastinnihpohídnihpíddíêûzovníšnihzburenʹtipuvipadkovihveličin AT ûrčenkoív proneobhídnítadostatníumovistíjkostívserednʹomukvadratičnomulíníjnihstohastičnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹučastinnihpohídnihpíddíêûzovníšnihzburenʹtipuvipadkovihveličin AT âsinsʹkijvk proneobhídnítadostatníumovistíjkostívserednʹomukvadratičnomulíníjnihstohastičnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹučastinnihpohídnihpíddíêûzovníšnihzburenʹtipuvipadkovihveličin
first_indexed	2025-07-16T13:11:52Z
last_indexed	2025-07-16T13:11:52Z
_version_	1837809284910415872
fulltext	ÓÄÊ 519.217 Ò.Î. ËÓÊÀØ²Â, ².Â. ÞÐ×ÅÍÊÎ, Â.Ê. ßÑÈÍÑÜÊÈÉ ÏÐÎ ÍÅÎÁÕ²ÄÍ² ÒÀ ÄÎÑÒÀÒÍ² ÓÌÎÂÈ ÑÒ²ÉÊÎÑÒ² Â ÑÅÐÅÄÍÜÎÌÓ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÌÓ Ë²Í²ÉÍÈÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÈÕ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÎ-Ð²ÇÍÈÖÅÂÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ Ó ×ÀÑÒÈÍÍÈÕ ÏÎÕ²ÄÍÈÕ Ï²Ä Ä²ªÞ ÇÎÂÍ²ØÍÈÕ ÇÁÓÐÅÍÜ ÒÈÏÓ ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÕ ÂÅËÈ×ÈÍ Àíîòàö³ÿ. Îäåðæàíî íåîáõ³äí³ òà äîñòàòí³ óìîâè ñò³éêîñò³ â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó ñèëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíî-ð³çíèöåâèõ ð³âíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè ç ïîïàðíî íåçàëåæíèìè çîâí³øíèìè âè- ïàäêîâèìè çáóðåííÿìè òèïó âèïàäêîâèõ âåëè÷èí. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñòîõàñòè÷íå ð³âíÿííÿ â ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ, ñò³éê³ñòü â ñå- ðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó, âèïàäêîâ³ çáóðåííÿ. Còàòòþ ïðèñâÿ÷åíî ñâ³òë³é ïàì’ÿò³ íàøîãî â÷èòåëÿ Öàðêîâà ªâãåíà Ôåäîðîâè÷à (8.12.1935 – 30.10.2018) ÂÑÒÓÏ Ï³ñëÿ ââåäåííÿ ïîíÿòòÿ ñòîõàñòè÷íîãî äèôåðåíö³àëà òà ³íòåãðàëà, çàì³íè çì³ííèõ äëÿ ñòîõàñòè÷íîãî äèôåðåíö³àëà, âèçíà÷åííÿ ñèëüíîãî ðîçâ’ÿçêó ñòî- õàñòè÷íîãî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ òà ¿õíüîãî ïîäàëüøîãî ïîøèðåííÿ íà êëàñè ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíî-ôóíêö³îíàëüíèõ ð³âíÿíü (äèâ., íàïðèêëàä, [1–5]) ñòàëî ìîæëèâèì äîñë³äæåííÿ àñèìïòîòè÷íî ñèëüíîãî ðîçâ’ÿçêó äëÿ ñòî- õàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè. Ó ïðàö³ [6] îäåðæàíî óìîâè ³ñíóâàííÿ ñèëüíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ñòî- õàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíî-ð³çíèöåâèõ ð³âíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè (ÑÄÐÐ×Ï) ³ç çàäàíèìè çîâí³øí³ìè âèïàäêîâèìè çáóðåííÿìè òèïó ïîïàðíî íåçàëåæíèõ âèïàä- êîâèõ âåëè÷èí, ÿê³ º íåçàëåæíèìè â³ä â³íåðîâèõ ïðîöåñ³â, ùî âõîäÿòü ó âèçíà÷åííÿ ñòîõàñòè÷íèõ äèôóç³éíèõ ð³âíÿíü ²òî. Ïîä³áí³ çàäà÷³ ðîçãëÿíóòî ó [7]. Ó ö³é ñòàòò³ îäåðæàíî íåîáõ³äí³ òà äîñòàòí³ óìîâè ñò³éêîñò³ â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó ñèëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â ÑÄÐÐ×Ï ç ïîïàðíî íåçàëåæíèìè çîâí³øí³ìè âèïàäêîâèìè çáóðåííÿìè òèïó âèïàäêîâèõ âåëè÷èí. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Íåõàé íà éìîâ³ðí³ñíîìó áàçèñ³ ( , , { , }, )� � F F� �t t P0 âèçíà÷åíà âèïàäêîâà ôóíêö³ÿ u t x( , , ): [ , )� 0 1 1� � � �R R� , ÿêà º âèì³ðíîþ ç ³ìîâ³ðí³ñòþ îäèíèöÿ çà t ³ x â³äíîñíî ì³í³ìàëüíî¿ �-àëãåáðè �([ , ], )0 1T R áîðåëüîâèõ ìíîæèí íà ïëîùèí³. Ðîçãëÿíåìî íà ( , , , )� � F P çàäà÷ó Êîø³ äëÿ ÑÄÐÐ×Ï âèãëÿäó � � � � � � � � � � � � � � � � � �� t Q A t x u t x Q Bk k n , , ( , , ) ( ) ,� � �1 0 t x u t xk, ( , , ) � � � � � � �� k k n k kQ C t x u t x dw t dt 2 0 ( ) , , ( , , ) ( , ) (1) ç ïî÷àòêîâîþ óìîâîþ Q A t x u t x Q uk t , , ( , , ) [ ( )] [ , ] � � � � � � � � � � � � � � � �0 0 , (2) äå � �� sup k k , 0� �� k , Q A q p a q pij i j j m i n ( , , ) � �� 11 ; (3) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 157 © Ò.Î. Ëóêàø³â, ².Â. Þð÷åíêî, Â.Ê. ßñèíñüêèé, 2020 A aij� { } — ä³éñíà ìàòðèöÿ ðîçì³ðó n m� ç aij � �� R1 . Oïåðàòîðè Q B q p( , , ), Q C q p( , , ) ìàþòü ñòðóêòóðó (3) ç â³äïîâ³äíèìè ä³éñíèìè ìàòðèöÿìè B bij� { } ç bij �R1 òà Ñ ñij� { } ç ñij �R1. Òàêîæ âèçíà÷åí³ çîâí³øí³ âèïàäêîâ³ çáóðåííÿ � �kl ( ) : � � R1, l �1 2, , ÿê³ º ïîïàðíî íåçàëåæíèìè òà íåçàëåæíèìè â³ä â³íå- ðîâèõ ïðîöåñ³â w tk ( , ): [ , )� 0 1� � �� R [1] ³ç çàäàíèìè çàêîíàìè ðîçïîä³ëó F x P x xkl kl( ) { : ( ) },� � �� R1 , l �1 2, , k n� 0 1, , ..., . (4) Ï³ä ôîðìàëüíèì çàïèñîì (1), (2) áóäåìî ðîçóì³òè äèôóç³éíå ð³âíÿííÿ ²òî [4, 7] Q A t x u t x Q B s x k k n , , ( , , ) ( ) , , � � � � � � � � � � � � � � � �� 1 0 � � �� u s x dsk t ( , , )� � 0 � � � � � � � � � � � �� k k n t k kQ C t x u s x dw s2 0 0 ( ) , , ( , , ) ( , ) (5) ç ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè (2). ÄÎÏÎÌ²ÆÍ² ÒÂÅÐÄÆÅÍÍß Óâåäåìî äî ðîçãëÿäó ïðîñò³ð MT [4, 5] äëÿ âñ³õ t T�[ , ]0 , T � �( , )0 , ìàòåìà- òè÷íîãî ñïîä³âàííÿ êâàäðàòó ìîäóëÿ âèïàäêîâèõ ôóíêö³é u t x( , , )� òàêèõ, ùî ³ñíóº íåâëàñíèé ³íòåãðàë E \| ( , , )\|u t x dx� 2 ! " # $ % � � �� , (6) äå E{ }& — îïåðàö³ÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ [1–3]. Òàêîæ áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè òàê³ íîðìè: \|\| ( , , ) \|\| \| ( , , )\|u t x u t x dx L � � 2 1 2 2 R � � � �� ; (7) \|\| ( , , ) \|\| \| ( , , )\|u t x u t x dt L T T � � 2 2 2 0 � � �� ; (8) E E R u L t u t x( ) \|\| ( , , ) \|\|� ! " # $ % � 2 1 2 , (9) äå L 2 1R ³ L T2 ïîçíà÷åí³ ïðîñòîðè âèïàäêîâèõ ôóíêö³é { ( , , )}u t x � �R1, äëÿ ÿêèõ ³ñíóþòü â³äïîâ³äí³ ³íòåãðàëè (7), (8). Íàäàë³ â ïðîñòîð³ MT óâåäåìî íîðìó âèãëÿäó \|\| ( , , ) \|\| ( ) \| ( , , )\|u t x t dt u t x dxu T � �2 0 2� � � � � � � � � � �� E E � � � 2 0 dt T . (10) Ç óðàõóâàííÿì êîíñòðóêö³¿ îïåðàòîð³â Q A( , , )& & , Q B( , , )& & , Q C( , , )& & ñïðàâäæó- þòüñÿ âêëþ÷åííÿ Q A t x u t x T, , ( , , ) � � � � � � � �� M ; Q B t x u t x T, , ( , , ) � � � � � � � �� M ; Q C t x u t x T, , ( , , ) � � � � � � � �� M . 158 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 Äîâåäåìî äîïîì³æíå òâåðäæåííÿ ó âèãëÿä³ ëåìè 1. Ëåìà 1. Íåõàé íà éìîâ³ðí³ñíîìó áàçèñ³ ( , , { , }, )� � �F � �t t P0 âèçíà÷åíà âèïàäêîâà ôóíêö³ÿ u t x( , , ): [ , )� 0 1 1� � � �R R� . Òîä³ ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º çà çì³ííîþ x â³ä ö³º¿ âèïàäêîâî¿ ôóíêö³¿ z t e u t x dxi x( , , ) ( , , )� � � �� 1 2 (11) íàëåæèòü ïðîñòîðó M M1T T� , T � �( , )0 (òîáòî z t T( , , )� � �M1 ). Äîâåäåííÿ. Çàñòîñóºìî äî \| ( , , )\|u t x � 2 íåð³âí³ñòü ×åáèøîâà [1] P u t x dx N t N u� �: \| ( , , )\| ( )2 ' ! ( "( # $ ( %( � �� E . Äëÿ N � �� îòðèìóºìî, ùî u t x L( , , )� � 2 1R . Çã³äíî ç òåîðåìîþ Ïëàíøåðåëÿ [3] ìàòèìåìî ð³âí³ñòü \| ( , , )\| \| ( , , )\|z t d u t x dt� � � � �2 21 2 � �� . Öå â ïîçíà÷åííÿõ (9), (10) äàº ð³âí³ñòü \|\| ( , , ) \|\| \|\| ( , , ) \|\|z t u t xL L� � � � 2 1 2 1 1 2R R � , àáî E Ez ut t( ) ( )� 1 2� . Òîä³, çã³äíî ç îçíà÷åííÿì íîðìè â ïðîñòîð³ MT , áóäåìî ìàòè \|\| ( , , ) \|\| \|\| ( , , ) \|\|z t u t x T T � � � �M M� 1 2 , ùî é äîâîäèòü ëåìó 1. Ñôîðìóëþºìî òåîðåìó ïðî ³ñíóâàííÿ ñèëüíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ÑÄÐÐ×Ï (1), (2) [6]. Òåîðåìà 1. Íåõàé äëÿ çàäà÷³ Êîø³ ÑÄÐÐ×Ï (1), (2) âèêîíóþòüñÿ óìîâè: I) äëÿ êîðåí³â � � �� ( ) õàðàêòåðèñòè÷íîãî ïîë³íîìà V( , , ) [ ( , , )] ( , , ) exp(� � � � � � � � �i t Q A i Q B ik k n k� � � � & � � � 1 0 �) � 0 (12) ç ³ìîâ³ðí³ñòþ îäèíèöÿ âèêîíàíà óìîâà P R{ : ( ) ( ) }� � � � �e � � �0 1, ïðè öüîìó P{ : ( ) }� � 0 0 1� � ; II) äëÿ êîæíîãî t T� � �[ , ] [ , )0 0 òà C � 0 îäíîð³äíå âèïàäêîâå ð³âíÿííÿ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t Q A t x u t x Q Bk k n , , ~ ( , , ) ( ) ,� � �1 0 � � � � � � � � t x u t xk, ~ ( , , )� � 0 (13) ìàº ðîçâ’ÿçîê ~( , , )u t x � çàäà÷³ Êîø³ â L 2 1R ç ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè Q A t x u t x Qu t , , ~ ( , , ) [ ~ ] [ , ] � � � � � � � � � � � � � �0 0 , (14) äå � �� 'sup k k 0 , �k ' 0 ; III) çîâí³øí³ âèïàäêîâ³ çáóðåííÿ � �kl k n( ), , , ...,� 0 1 , l �1 2, , ïîïàðíî íåçà- ëåæí³ òà íåçàëåæí³ â³ä â³íåðîâèõ ïðîöåñ³â w tk ( , )� , k n� 0 1, , ..., , ïðè öüîìó ³ñíó- þòü äèñïåðñ³¿ D{ ( )}� �kl lL� � �, k n� 0 1, , ..., , l �1 2, . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 159 Òîä³ ñòîõàñòè÷íà çàäà÷à Êîø³ (1), (2) äëÿ C ) 0 ìàº ºäèíèé ñèëüíèé ðîçâ’ÿ- çîê ó ïðîñòîð³ M M1T T� , T � �( , )0 . Äîâåäåííÿ òåîðåìè 1 çä³éñíþºòüñÿ çà àíàëîã³ºþ äî ìåòîäèêè, íàâåäåíî¿ â [6]. Çàóâàæåííÿ 1. ßêùî { ( )}, , , ...,� �k k n1 0 1� , — ñòàë³, íàïðèêëàä P{ :� � �k1 1 1( ) }� � , òîä³ ð³âíÿííÿ (13) íàáóäå âèãëÿäó � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t Q A t x u t x n Q B t x , , ~ ( , ) ( ) , ,1 � � � �~( , )u t x 0 . ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÍÀ ÑÒ²ÉÊ²ÑÒÜ Ó ÑÅÐÅÄÍÜÎÌÓ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÌÓ ÑÈËÜÍÎÃÎ ÐÎÇÂ’ßÇÊÓ (1), (2) Áóäåìî ââàæàòè, ùî íàäàë³ âèêîíóºòüñÿ òàêå ïðèïóùåííÿ: ñèëüí³ ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿííÿ (13) º åêñïîíåíö³àëüíî ñò³éêèìè, òîáòî \| ~ ( , , )\|u t x Ke t� � � , K ' '0 0, . (15) Ïåðåéäåìî äî ³íòåãðàëüíîãî çàïèñó ñèëüíîãî ðîçâ’ÿçêó (1), (2) çà äîïîìîãîþ ôóíäàìåíòàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó H t( , )� ð³âíÿííÿ (13). Îçíà÷åííÿ 1. Ôóíäàìåíòàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì H t( , )� çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ (13) íàçâåìî ðîçâ’ÿçîê, ÿêèé ïîáóäîâàíî çà îäèíè÷íîþ ïî÷àòêîâîþ óìîâîþ � � � � � ( , ) , , , [ , ), � � � � ! " 1 0 0 0 ÿêùî ÿêùî (16) ³ ÿêèé çàäîâîëüíÿº óìîâè: 1) äëÿ t � �[ , )� 0 âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü H t( , )� � 0 ç ³ìîâ³ðí³ñòþ îäèíèöÿ; 2) P{ : ( , ) }� �H 0 1 1� � äëÿ t � 0 ; 3) äëÿ t ' 0 H t e V i dt( , ) ( , , )� � � � � �� 1 2 1 * , (17) äå V( , , )� � �i çàäàíî âèðàçîì (12). Îçíà÷åííÿ 2. Ñèëüíèì ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ (1), (2) íàçâåìî âèïàäêîâó ôóíêö³þ u t x( , , ):[ , )� 0 1 1� � � �R R� , ÿêà º �t -âèì³ðíîþ äëÿ ô³êñîâàíîãî x �R1 ³ çàäîâîëüíÿº äëÿ êîæíîãî � �� ³íòåãðàëüíå ð³âíÿííÿ ²òî (5). Ñèëüíèé ðîçâ’ÿçîê ë³í³éíîãî ÑÄÐÐ×Ï (1), (2) çà äîïîìîãîþ ôóíäàìåíòàëü- íîãî ðîçâ’ÿçêó H t( , )� ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ [4] u t x u t x Q C t x k k n t ( , , ) ~ ( , , ) ( ) , ,� � � �� 2 0 0 � � �H t s u s x dw sk k( , ) ( , , ) ( , )� � � � , (18) äå ~( , , )u t x � — äåÿêèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (13), (14). Îäåðæèìî ñïî÷àòêó íåîáõ³äí³ òà äîñòàòí³ óìîâè íàëåæíîñò³ ïðîñòîðó M MT � � ë³í³éíîãî îïåðàòîðà f G Q G t x k k k n ( , ) ( ) , ,� � �2 2 0 � � � � � � � � � � , ùî ä³º íà ñèëüíèé ðîçâ’ÿçîê ÑÄÐÐ×Ï (1), (2), äå C G� ç ð³âíÿííÿ (1). Òåîðåìà 2. Íåõàé íà éìîâ³ðí³ñíîìó áàçèñ³ ( , , { , }, )� � �F � �t t P0 ³ñíóº ñèëüíèé ðîçâ’ÿçîê ÑÄÐÐ×Ï (1), (2). 160 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 Òîä³ íåîáõ³äíîþ òà äîñòàòíüîþ óìîâîþ íàëåæíîñò³ ïðîñòîðó M� äîâ³ëüíî- ãî ë³í³éíîãî îïåðàòîðà f G Q G t x k k k n ( , ) ( ) , ,� � �2 2 0 � � � � � � � � � � , (19) ùî ä³º íà u t x T( , , ):( , ] ([ , ], )� �0 0 1 1� � � �D R R� , º âèêîíàííÿ äëÿ âñ³õ x �R1 íåð³âíîñò³ S E Q G d dt H t dt k k n t k� & � � � � � � � �{ ( )} , , ( )� � �2 2 0 2 0 1, (20) äå G gij 2 2� { } , gij � �� R1 , D R([ , ], )�� 0 1 — ïðîñò³ð Ñêîðîõîäà [2] íåïåðåðâ- íèõ ñïðàâà ôóíêö³é u t x( , , ): [ , )� 0 1 1� � � �R R� , ùî ìàþòü ë³âîñòîðîíí³ ãðàíèö³. Äîâåäåííÿ. Íåîáõ³äí³ñòü. Íåõàé äîâ³ëüíèé ë³í³éíèé îïåðàòîð f Gk( , )� 2 � � � �M MT ; îòæå, çà ëåìîþ 1 ë³í³éíèé îïåðàòîð � �k k n Q G d dt 2 0 ( ) , , � � & � � �� z t k( , , )� � � íàëåæèòü ïðîñòîðó M� . ßêùî çàñòîñóâàòè ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º çà çì³ííîþ x �R1 äî ë³âî¿ òà ïðàâî¿ ÷àñòèíè (5) çà ïðàâèëîì (10), òî îäåðæèìî ÑÄÐÐ áåç ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ (ÑÄÐÐ ²òî [4]) äëÿ G C� âèãëÿäó z t z t H t sk k n k t ( , , ) ~ ( , , ) ( ) ( )� � � � � � �� 2 0 0 � & � � � �Q C d ds u s dw sk k, , ( , , ) ( , )� � � � . (21) Ó ð³âíÿíí³ (21) ~( , , ) ~ ( , , )z t e u t x dxi x� � � �� 1 2 (22) — ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º, ùî ä³º íà ~( , , )u t x � ÿê ðîçâ’ÿçîê îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ. Çàñòîñîâóþ÷è ë³í³éíèé îïåðàòîð � �l Q C d dt 2 ( ) , , & � � � äî ë³âî¿ òà ïðàâî¿ ÷àñ- òèí ñòîõàñòè÷íîãî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ²òî (21), îäåðæèìî � � � � � � �l l lQ C d dt z t Q C d dt 2 2( ) , , ( , , ) ( ) , ,& � � � � � & � � � �~( , , )y t � � � & � � � & � � � � �� l t k n kQ C d dt Q C d dt H t2 00 ( ) , , , , ( s)� � & � � � �Q C d dt z s dw sk k, , ( , , ) ( , )� � � � , (23) äå l n� 0 1, , ..., . Ï³äíåñåìî îáèäâ³ ÷àñòèíè êîæíîãî ç ð³âíÿíü ñèñòåìè (23) äî êâàäðàòó, çà- ñòîñóºìî îïåðàö³þ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ, äîäàþ÷è ¿õ òà ïîçíà÷àþ÷è � � � � �l k k k C t Q C d dt z t2 2 2 2( , ) ( ) , , ( , , )� & � � � � ! " # $ % E � � 0 n , îäåðæèìî, ùî ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 161 � � � �l l C t Q C d dt y t2 2 2 2( , ) ( ) , , ( , , )� & � � � ! " # $ % �E � & � � � � � ! ( " �E � � � l l t lQ C d dt H t s C s ds2 2 2 0 2( ) , , ( ) ( , ) ( # $ ( %( , l n� 0 1, , ..., . (24) ²íòåãðóþ÷è îäåðæàíå ð³âíÿííÿ (24) ïî t â³ä 0 äî �, çì³íþþ÷è ïîðÿäîê ³íòåã- ðóâàííÿ òà äîäàþ÷è îäåðæàí³ ð³âíÿííÿ, ìàòèìåìî, ùî l l n l l n C t dt S C t dt2 00 2 00 ( , ) ( , ) � � � � �� ' . (25) Íåð³âí³ñòü (25) ìîæëèâà ò³ëüêè äëÿ S � 1. Öå îçíà÷àº, ùî l C t2 ( , )� � � �M MT . Ç óðàõóâàííÿì ëåìè 1 îäåðæèìî âêëþ÷åííÿ f Ck( , )� 2 � � � � �M M M1T T . Öå äîâîäèòü íåîáõ³äí³ñòü. Äîñòàòí³ñòü. Ï³ñëÿ ³íòåãðóâàííÿ ñèñòåìè ð³âíÿíü (24) çà çì³ííîþ t â³ä 0 äî � òà äîäàâàííÿ îäåðæàíèõ ð³âíÿíü îòðèìóºìî, ùî � �l l n k C t dt S Q C d dt y t2 00 2 2 21 1 ( , ) ( ) , , ( , � � �� & � � �E �) ! " # $ % � � � � � � � �� dt k n 00 � & � � � � � ! " # $ % � � � �� E � � � � l l l n Q C d dt H t dt2 2 2 00 ( ) , , ( ) � � � , (26) äå S âèçíà÷åíî â (20). Íåõàé âèêîíóºòüñÿ óìîâà S � 1 , òîä³ ç (26) âèïëèâàº, ùî f C z t Q C d dt z tk k l k( , ) ( , , ) ( ) , , ( , , )� � � � � � � � �� & � � � �2 l n � �� 0 M , îòæå, çà ëåìîþ 1 f C u tk k( , ) ( , , )� � � �� M . (27) Çà óìîâîþ òåîðåìè 2 âêëþ÷åííÿ (27) âèêîíàíî äëÿ äîâ³ëüíîãî f Gk( , )� , òîìó äëÿ G C� ìàºìî f C Q C d dt u tk l l l n ( , ) ( ) , , ( , , )� � � � � �� & � � � � � � �� 2 0 M . Àíàëîã³÷íî äî ñï³ââ³äíîøåííÿ (24) ìàòèìåìî, ùî � � � �l l n l C t dt E Q C d dt y t2 00 2 2 2( , ) ( ) , , ( , , ) � � �� & � � � ! " # $ % � � � �� dt l n 00 � & � � � � � � � �� Q C d dt H t dtl l n 2 2 00 , , ( ) .� � (28) Çà óìîâ äîñòàòíîñò³ âñ³ ³íòåãðàëè â (28) ³ñíóþòü, à öå îçíà÷àº, ùî l l n C t L2 0 1 0( , ) ( , ) � � � � , òîáòî f C Q C d dt z tk l l l n ( , ) ( ) , , ( , , )� � � � � �� & � � � � � � � 2 0 � �M . Òîä³ çà ëåìîþ 1 ìàòèìåìî (28). Äîâåäåííÿ òåîðåìè 2 çàâåðøåíî. 162 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 Òåîðåìà 3. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè òåîðåìè 2. Òîä³ íóëüîâèé ðîçâ’ÿçîê u t x( , , )� � 0 ð³âíÿííÿ (1), (2) º àñèìïòîòè÷íî ñò³éêèì ó ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó. Äîâåäåííÿ. Çà óìîâ òåîðåìè 2 äëÿ êîæíîãî ðîçâ’ÿçêó ~( , , )u t x � ð³âíÿííÿ ìàº ì³ñöå îö³íêà \| ~ ( , , )\| \|\| [ ~ ] \|\|u t x Ne Qut� �� 0 . (29) Òîä³ ëåãêî áà÷èòè âèêîíàííÿ íåð³âíîñò³ � l l n C t dt N C Qu S 2 00 0 2 1 ( , ) \|\| \|\| \|\| [ ~ ] \|\| ( )� � �� & � � � � & � � � � � � � � � � � ��1 2 2 0 2 2 0 E Q C d dt H t dt l l n l� � � �( ) , , ( ) . (30) Îòæå, ³íòåãðàëüíà ð³âí³ñòü (18) äàñòü îö³íêó E{ ( , , )} \|\| [ ~ ] \|\| \|\| ( ) \|\| ( , )u t x N e Qu H t C t dtt l 2 2 2 0 2 2� �� &� l n � � �� 00 . Ëåãêî áà÷èòè, ùî ç íåð³âíîñò³ (30) âèïëèâàº àñèìïòîòè÷íà ñò³éê³ñòü ó ñåðåä- íüîìó êâàäðàòè÷íîìó ðîçâ’ÿçêó ñòîõàñòè÷íîãî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (21), îòæå, çà ëåìîþ 1, ³ ÑÄÐÐ×Ï (1), (2). Çàóâàæåííÿ 1. Ñë³ä ï³äêðåñëèòè, ùî óìîâà (20) âèïèñàíà äëÿ ÑÄÐÐ×Ï ó âè- ïàäêó x �R1. Çàóâàæåííÿ 2. ßêùî â ð³âíÿíí³ (1) â³äñóòí³ çîâí³øí³ âèïàäêîâ³ çáóðåííÿ, òîáòî âîíè º ñòàö³îíàðíèìè, à ñàìå � �k ( ) �1 , k n� 0 1, , ..., , òîä³ ìàºìî ÑÄÐÐ×Ï âèãëÿäó [6] � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t Q A t x u t x Q B t x , , ( , , ) , ,� k n ku t x � � � � 0 ( , , )� � � � � � � � � � � � �Q C t x u t x dw t dtk n k k, , ( , , ) ( , ) 0 � � � , (31) òîáòî ÑÄÐÐ×Ï áåç âïëèâó çîâí³øíèõ âèïàäêîâèõ çáóðåíü. Çàóâàæåííÿ 3. Íåîáõ³äíîþ òà äîñòàòíüîþ óìîâîþ àñèìïòîòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó ð³âíÿííÿ (31) çà óìîâè (2) º óìîâà (20) äëÿ E{ ( )}� � k2 2 1� , à ñàìå S Q Ñ d dt H t dt k n k� & � � � � � � � � �� 2 00 1 2 1, , ( )� . (32) Öÿ óìîâà ðàí³øå áóëà îäåðæàíà â ìîíîãðàô³ÿõ [4, 5] äëÿ ñòîõàñòè÷íèõ äèôå- ðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü áåç ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ. ÌÎÄÅËÜÍÀ ÇÀÄÀ×À ÏÐÎ ÑÒ²ÉÊ²ÑÒÜ ÑÒÐÈÆÍß Ï²Ä Ä²ªÞ Á²ËÎÃÎ ØÓÌÓ Ó ïðàö³ [8] äîñë³äæóºòüñÿ ïîâåä³íêà ñòðèæíÿ, íà ÿêèé ä³º á³ëèé øóì. Ìàòåìà- òè÷íîþ ìîäåëëþ öüîãî ïðîöåñó áóäåìî ââàæàòè ñòîõàñòè÷íå äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ â ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ç ïîõ³äíîþ â³ä â³íåðîâîãî ïðîöåñó, à ñàìå � � � � � � � � � � � � 4 4 1 2 2 2 2 2 3 u x a u x b u t c u t ( ( )) ( ( )) ( ( ))� � � � � � � � 2 2 u x dw t dt ( , )� (33) ç ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 163 u x f x( , ) ( )0 1� , � � � u x t f x ( , ) ( ) 0 2 (34) òà êðàéîâèìè óìîâàìè u t u t l u t x u t l x u t x u ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 0 0 02 2 2 � � � � � � � � � � � � t l x , ) � � 2 0. (35) Òóò a b c( ( )) , ( ( )) , ( ( ))� � � � � �1 2 30 0 0' ' ' ç ³ìîâ³ðí³ñòþ îäèíèöÿ. Àíàëîã³÷íî äî äèñêðåòíîãî âèïàäêó [8] âèçíà÷àþòü ñòàòèñòè÷íèé çàïàñ ñò³éêîñò³ S a 2 çà ïàðàìåòðîì a x x( ), + �R1, ÿê íàéá³ëüø äîïóñòèìó ³íòåíñèâí³ñòü ïðîöåñ³â ç³ âçàºìíî íåçàëåæíèìè çíà÷åííÿìè, äëÿ ÿêî¿ ñèñòåìà º ñò³éêîþ â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó, òîáòî ðîçâ’ÿçîê ñòàá³ë³çóºòüñÿ äî íóëÿ. Òîä³ ìîæíà îá÷èñëèòè ñòàòèñòè÷íèé çàïàñ ñò³éêîñò³ [12] S k k1 2 ñèñòåìè (33)–(35) S a u t x t x k k k k k k k k m 1 2 1 2 1 20 � � � �� ( ( )) ( , ) � � çà ïàðàìåòðàìè ak k1 2 1( ( ))� � , k k k� �1 2 . ßêùî ïîçíà÷èòè P a ik k k k k m ( , , ) ( ( )) ( )� � � � � � �� 1 2 1 2 1 0 , òîä³ ñòàòèñòè÷íèé çàïàñ ñò³éêîñò³ S xk k1 2 ( ) ñèñòåìè îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ S x P i x dk k k k 1 2 1 21 2 ( ) \| \| \| \| \| ( , , )\| � � � � � � �� sup � � � � � � �� 1 . (36) Âèêîðèñòîâóþ÷è òâåðäæåííÿ (36), çíàéäåìî ñòàòèñòè÷íèé çàïàñ ñò³éêîñò³ S x( ) çà ïàðàìåòðàìè a x b x c x( ), ( ), ( ) ñèñòåìè (33)–(35) S x d a x b x c x ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) � � � � � � �� sup � � � � � � � � 1 2 2 4 2 2 2 2 2 � � � � � � � + � �1 12a x c x x( ) ( ) .R (37) Òàêèì ÷èíîì, ñèñòåìà (33)–(35) º ñò³éêîþ â l.i.m., äëÿ ÿêîãî S x x( ) ' + � 2 1R . Íåõàé ó ñèñòåì³ (33)–(35) ä³þòü çîâí³øí³ âèïàäêîâ³ «çáóðåííÿ» òèïó � �( ) íà ïðàâó ÷àñòèíó ÑÄÐÐ×Ï (33). Öÿ ñèòóàö³ÿ ìîæå âèíèêíóòè, ÿêùî ñèñòåìà ðîçòà- øîâàíà íà ïëàòôîðì³, ðóõ ÿêî¿ äèêòóºòüñÿ çîâí³øí³ìè çáóðåííÿìè � �( ( )) . Òîä³ (33) áóäå ìàòè âèãëÿä � � � � � � � � � � � � � � 4 4 2 2 2 2 2 2 u x a u x b u t c u t u x dw t d � � � ( ( )) ( , ) t . Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ ñòàòèñòè÷íîãî çàïàñó ñò³éêîñò³ äëÿ ñèñòå- ìè (37), (34), (35), ìàºìî S E d a b c ( ) {\| ( )\| } ( ) � � � � � � � �� 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 sup � � � � � � � � �1 2 2E ac{\| ( )\| } � . Çàñòîñîâóþ÷è äîñòàòí³ óìîâè àñèìïòîòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ â ñåðåäíüîìó êâàäðà- òè÷íîìó òåîðåìè 2, äîõîäèìî âèñíîâêó, ùî ñèñòåìà (37), (34), (35) º ñò³éêîþ â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó, ÿêùî E ac{ ( )} �2 2 1� , (38) òà íåñò³éêîþ â ñåðåäíüîìó êâàäðàòè÷íîìó, ÿêùî â (38) ïîì³íÿòè çíàê íà ïðî- òèëåæíèé. 164 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 ÂÈÑÍÎÂÊÈ Çàïðîïîíîâàíà â ö³é ïðàö³ ñòîõàñòè÷íà ìîäåëü ñêëàäíèõ ñèñòåì º ñïðîáîþ âðàõóâàííÿ â ïîâíîìó îáñÿç³ âèïàäêîâîñòåé ï³ä ÷àñ äîñë³äæåííÿ ðåàëüíèõ ïðîöåñ³â, ùî îïèñóþòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèìè ð³âíÿííÿìè â ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ, ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ÿêèõ âðàõîâóþòüñÿ íå ò³ëüêè äèôóç³éí³ çáóðåííÿ òèïó áðîóí³âñüêîãî ïðîöåñó, àëå é âèïàäêîâ³ çáóðåííÿ ³íøèõ òèï³â. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ãóëèíñêèé À.Â., Øèðÿåâ À.Í. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, 2005. 408 ñ. 2. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1980. 612 ñ. 3. Êîðîëþê Â.Ñ., Öàðêîâ ª.Ô., ßñèíñüêèé Â.Ê. Éìîâ³ðí³ñòü, ñòàòèñòèêà òà âèïàäêîâ³ ïðîöåñè. Òåîð³ÿ òà êîìï’þòåðíà ïðàêòèêà. Â 3-õ òîìàõ. Ò.3: Âèïàäêîâ³ ïðîöåñè. Òåîð³ÿ òà êîìï’þòåðíà ïðàêòèêà. ×åðí³âö³: Âèä-âî «Çîëîò³ ëèòàâðè», 2009. 798 c. 4. Öàðüêîâ Å.Ô., ßñèíñêèé Â.Ê. Êâàçèëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ðèãà: Îðèåíòèð, 1992. 301 ñ. 5. Öàðüêîâ Å.Ô. Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ. Ðèãà: Çèíàòíå, 1989. 421 ñ. 6. Koroliuk V.S., Yurchenko I.V., Yasynskyy V.K. Behavior of the second moment of the solution to the autonomous stochastic linear partial differential equation with random parameters in the right-hand side. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 1. P. 56–63. 7. Ñâåðäàí Ì.Ë., Öàðêîâ ª.Ô., ßñèíñüêèé Â.Ê. Ñò³éê³ñòü ó ñòîõàñòè÷íîìó ìîäåëþâàíí³ ñêëàäíèõ äè- íàì³÷íèõ ñèñòåì. Ñíÿòèí: Íàä Ïðóòîì, 1996. 448ñ. 8. Lindsey W.C. Synchronization systems in communication and control. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1972. 704 p. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 07.02.2019 Ò.Î. Ëóêàøèâ, È.Â. Þð÷åíêî, Â.Ê. ßñèíñêèé Î ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÕ È ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÕ ÓÑËÎÂÈßÕ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ Â ÑÐÅÄÍÅÌ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÌ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ ÏÎÄ ÄÅÉÑÒÂÈÅÌ ÂÍÅØÍÈÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ ÒÈÏÀ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ Àííîòàöèÿ. Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ñèëüíûõ ðåøåíèé ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëü- íî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîïàðíî íåçàâèñèìûìè âíåøíèìè ñëó÷àéíûìè âîçìóùåíèÿìè òèïà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì, ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ. T.O. Lukashiv, I.V. Yurchenko, V.K. Yasynskyy ON THE NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS OF THE STABILITY IN THE MEAN SQUARE OF THE STRONG SOLUTIONS OF LINEAR STOCHASTIC DIFFERENTIAL-DIFFERENCE PARTIAL DERIVATIVE EQUATIONS SUBJECT TO EXTERNAL PERTURBATIONS OF THE TYPE OF RANDOM VARIABLE Abstract. We obtain the necessary and sufficient conditions for the stability in the mean square of the strong solutions of stochastic differential-difference partial derivative equations with pairwise independent external random distributions of the type of random variables. Keywords: stochastic partial differential equation, stability in the mean square, random perturbation. Ëóêàø³â Òàðàñ Îëåãîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, àñèñòåíò êàôåäðè ×åðí³âåöüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Þð³ÿ Ôåäüêîâè÷à, å-mail: t.lukashiv@gmail.com. Þð÷åíêî ²ãîð Âàëåð³éîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðè ×åðí³âåöüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Þð³ÿ Ôåäüêîâè÷à, å-mail: i.yurchenko@chnu.edu.ua. ßñèíñüêèé Âîëîäèìèð Êèðèëîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, ïðîôåñîð êàôåäðè ×åðí³âåöüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Þð³ÿ Ôåäüêîâè÷à, å-mail: v.yasynskyy@chnu.edu.ua. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 165

Репозитарії

Схожі ресурси