Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения
Рассмотрено решение задачи оптимального управления процессом нагрева теплоносителя, циркулирующего в системе теплоснабжения. Объем подаваемого тепла для нагрева теплоносителя в печи определяется линейной зависимостью от температуры, измеряемой в точках замера. Задача заключается в оптимизации параме...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190378 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 47–59. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-190378 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1903782023-06-04T20:00:39Z Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. Системний аналіз Рассмотрено решение задачи оптимального управления процессом нагрева теплоносителя, циркулирующего в системе теплоснабжения. Объем подаваемого тепла для нагрева теплоносителя в печи определяется линейной зависимостью от температуры, измеряемой в точках замера. Задача заключается в оптимизации параметров линейной обратной связи, мест расположения и числа точек замера. Получены формулы для градиента оптимизируемого функционала, которые используются в методах оптимизации первого порядка. Приведены результаты численных экспериментов. Розглянуто розв'язування задачі керування процесом нагрівання теплоносія, що циркулює в системі теплопостачання. Об'єм тепла, що подається для нагрівання теплоносія в печі, визначається лінійною залежністю від замірів температури у точках замірювання. Задача полягає в оптимізації параметрів лінійного зворотного зв'язку, місць розташування та кількості точок замірювання. Отримано формули для градієнта оптимізованого функціонала, які застосовуються у методах оптимізації першого порядку. Наведено результати числових експериментів. We consider the solution to the problem of optimal control of the heating process of a heat carrier circulating in the heating system. The amount of heat supplied to the heat carrier in the furnace is determined by a linear dependence on temperature measurements at some measuring points. The problem is to optimize the linear feedback parameters, the locations and the number of measuring points. We have obtained formulas for the gradient of the optimized functional, which are used to apply first-order optimization methods. The results of numerical experiments are given. 2020 Article Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 47–59. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190378 519.626.6 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрено решение задачи оптимального управления процессом нагрева теплоносителя, циркулирующего в системе теплоснабжения. Объем подаваемого тепла для нагрева теплоносителя в печи определяется линейной зависимостью от температуры, измеряемой в точках замера. Задача заключается в оптимизации параметров линейной обратной связи, мест расположения и числа точек замера. Получены формулы для градиента оптимизируемого функционала, которые используются в методах оптимизации первого порядка. Приведены результаты численных экспериментов. |
| format |
Article |
| author |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| author_facet |
Айда-заде, К.Р. Абдуллаев, В.М. |
| author_sort |
Айда-заде, К.Р. |
| title |
Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения |
| title_short |
Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения |
| title_full |
Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения |
| title_fullStr |
Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения |
| title_full_unstemmed |
Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения |
| title_sort |
синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2020 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190378 |
| citation_txt |
Синтез управления процессом поддержания температуры в одной задаче теплоснабжения / К.Р. Айда-заде, В.М. Абдуллаев // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 47–59. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT ajdazadekr sintezupravleniâprocessompodderžaniâtemperaturyvodnojzadačeteplosnabženiâ AT abdullaevvm sintezupravleniâprocessompodderžaniâtemperaturyvodnojzadačeteplosnabženiâ |
| first_indexed |
2025-07-16T13:12:36Z |
| last_indexed |
2025-07-16T13:12:36Z |
| _version_ |
1837809330374574080 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.626.6
Ê.Ð. ÀÉÄÀ-ÇÀÄÅ, Â.Ì. ÀÁÄÓËËÀÅÂ
ÑÈÍÒÅÇ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÏÐÎÖÅÑÑÎÌ ÏÎÄÄÅÐÆÀÍÈß
ÒÅÌÏÅÐÀÒÓÐÛ Â ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÒÅÏËÎÑÍÀÁÆÅÍÈß
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíî ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåñ-
ñîì íàãðåâà òåïëîíîñèòåëÿ, öèðêóëèðóþùåãî â ñèñòåìå òåïëîñíàáæåíèÿ.
Îáúåì ïîäàâàåìîãî òåïëà äëÿ íàãðåâà òåïëîíîñèòåëÿ â ïå÷è îïðåäåëÿåòñÿ
ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ îò òåìïåðàòóðû, èçìåðÿåìîé â òî÷êàõ çàìåðà. Çàäà-
÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé îáðàòíîé ñâÿçè, ìåñò
ðàñïîëîæåíèÿ è ÷èñëà òî÷åê çàìåðà. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ ãðàäèåíòà
îïòèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â ìåòîäàõ îïòèìèçà-
öèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëåíèå íàãðåâîì òåïëîíîñèòåëÿ, òî÷êà çàìåðà, îá-
ðàòíàÿ ñâÿçü, ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ðàáîòå ïðåäëîæåí ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé
ñâÿçüþ îáúåêòàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè.  êà÷åñòâå îáúåêòà âû-
áðàíà ñèñòåìà òåïëîñíàáæåíèÿ, â êîòîðóþ ïîñòóïàåò æèäêîñòü, íàãðåâàåìàÿ
â òåïëîîáìåííèêå, ïðåäñòàâëÿþùåì ñîáîé ïàðîâóþ ðóáàøêó [1]. Â íåêîòîðûõ
òî÷êàõ òåïëîîáìåííèêà óñòàíîâëåíû äàò÷èêè òåìïåðàòóðû, â çàâèñèìîñòè îò
çíà÷åíèé ïîêàçàíèé êîòîðûõ ïîäàåòñÿ òåïëî â òåïëîîáìåííèê. Ïðîöåññ òåïëî-
îáìåíà â òåïëîîáìåííèêå îïèñûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì (ïåðåíî-
ñà) ïåðâîãî ïîðÿäêà [1]. Â êðàåâûõ óñëîâèÿõ èìååòñÿ çàïàçäûâàþùèé ïî âðå-
ìåíè àðãóìåíò, îáóñëîâëåííûé âðåìåíåì, íåîáõîäèìûì äëÿ ïðîõîæäåíèÿ íà-
ãðåòîé æèäêîñòè ïî ñèñòåìå òåïëîñíàáæåíèÿ.
Îòìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíèå ãîäû óâåëè÷èëñÿ èíòåðåñ ê çàäà÷àì îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, îïèñûâàåìûìè ðàçëè÷-
íûìè òèïàìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è âèäà-
ìè íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèé [2–9]. Îñîáóþ ñëîæíîñòü ïðåäñòàâëÿþò çàäà÷è
óïðàâëåíèÿ (ðåãóëèðîâàíèÿ) ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ. Åñëè äëÿ îáúåêòîâ ñ ñîñðåäîòî-
÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ýòè çàäà÷è äîñòàòî÷íî õîðîøî èçó÷åíû [10, 11], òî çàäà÷è
óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ îáúåêòàìè, îïèñûâàåìûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñ-
òíûìè ïðîèçâîäíûìè, èññëåäîâàíû çíà÷èòåëüíî ìåíüøå [6–9, 11, 12]. Âî-ïåð-
âûõ, ýòî ñâÿçàíî ñî ñëîæíîñòüþ ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè òåëåìåõàíè÷åñêèõ
ñèñòåì óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè, ðàñïðåäåëåííûìè â ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè [13].
Ýòà ñëîæíîñòü îáóñëîâëåíà îòñóòñòâèåì ïðàêòè÷åñêîé âîçìîæíîñòè ïîñòîÿííî-
ãî èëè äàæå äèñêðåòíîãî âî âðåìåíè îïåðàòèâíîãî ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè î ñî-
ñòîÿíèè âñåãî îáúåêòà (âî âñåõ åãî òî÷êàõ). Âî-âòîðûõ, ñóùåñòâóþò ïðîáëåìû
ìàòåìàòè÷åñêîãî è âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà, òàê êàê ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàå-
âûõ çàäà÷ îòíîñèòåëüíî óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè òðåáóåò
â îïðåäåëåííîé ìåðå äëèòåëüíîãî âðåìåíè, ÷òî çà÷àñòóþ íå ïîçâîëÿåò ñòðîèòü
ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè â ðåæèìå ðå-
àëüíîãî ìàñøòàáà âðåìåíè.
Ïðåäëàãàåìûé â ðàáîòå ïîäõîä ê ñèíòåçó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðîöåñ-
ñîì òåïëîñíàáæåíèÿ îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè èíôîðìàöèè î ñîñòîÿíèè ïðîöåñ-
ñà â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê çàìåðîâ. Ê òîìó æå, â çàäà÷å îïòèìèçèðóåìûìè ÿâëÿ-
þòñÿ êàê ñàìè ìåñòà ðàçìåùåíèÿ òî÷åê çàìåðà, òàê è èõ ÷èñëî. Ïîëó÷åíû ôîð-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 47
© Ê.Ð. Àéäà-çàäå, Â.Ì. Àáäóëëàåâ, 2020
ìóëû ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà ïî îïòèìèçèðóåìûì ïàðàìåòðàì óïðàâëåíèÿ
ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, èñïîëüçîâàííûå ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè çàäà÷è ñ ïðèìåíå-
íèåì èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ýòè ôîðìóëû ïîçâî-
ëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â ðàçëè÷íûõ ôîð-
ìàõ — àíàëîãàõ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïðîöåññ íàãðåâà òåïëîíîñèòåëÿ â ïàðîâîé ïå÷è íàãðåâàåìîãî àïïàðàòà (òðóá-
÷àòîãî òåïëîîáìåííèêà) îòîïèòåëüíîé ñèñòåìû ìîæíî îïèñàòü óðàâíåíèåì ïå-
ðåíîñà [1, 14]
�
�
�
�
�
� � � � �
u x t
t
a
u x t
x
t u x t x t l
( , ) ( , )
[ ( ) ( , )], ( , ) ( , )� � � 0 ( , ]0 T , (1)
ãäå u u x t� ( , ) — òåìïåðàòóðà òåïëîíîñèòåëÿ â òî÷êå x íàãðåâàòåëüíîãî àïïà-
ðàòà â ìîìåíò âðåìåíè t ; l — äëèíà òðóáêè íàãðåâàòåëüíîãî àïïàðàòà, â êîòî-
ðîì îñóùåñòâëÿåòñÿ íàãðåâ òåïëîíîñèòåëÿ; a — ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òåïëîíîñè-
òåëÿ â ñèñòåìå òåïëîñíàáæåíèÿ, âåëè÷èíà êîòîðîé ïîñòîÿííà äëÿ âñåõ òî÷åê
ñèñòåìû òåïëîñíàáæåíèÿ, ò.å. ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ óñòàíî-
âèâøèìñÿ (ñòàöèîíàðíûì); � — çàäàííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà òåïëîîáìå-
íà ìåæäó ïå÷üþ è òåïëîíîñèòåëåì â íàãðåâàòåëüíîì àïïàðàòå; T — âðåìÿ
(äîñòàòî÷íî áîëüøîå) óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì; � ( )t — óïðàâëÿåìàÿ òåìïåðàòóðà
ïàðà, ïîäàâàåìîãî âíóòðü ïå÷è, ïîñðåäñòâîì êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ íàãðåâ
òåïëîíîñèòåëÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òåõíîëîãè÷åñêîìó îãðàíè÷åíèþ
� � � ( )t . (2)
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ëèíåéíàÿ äëèíà L ñèñòåìû òåïëîñíàáæåíèÿ íàìíîãî ïðå-
âûøàåò äëèíó òðóá÷àòîãî òåïëîîáìåííèêà l, ò.å. L l
. Íàãðåòîìó â ïå÷è òåï-
ëîíîñèòåëþ íåîáõîäèìî âðåìÿ T L ad � / äëÿ òîãî, ÷òîá âåðíóòüñÿ íà âõîä
ïå÷è, ò.å.
u t u l t T d( , ) ( ) ( , )0 1� � �� , t
0 , (3)
� — ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿþùàÿ ïîòåðè òåïëà â ïðîöåññå äâèæåíèÿ
â òåïëîñåòè, â îñíîâíîì, ñóùåñòâåííî çàâèñÿùàÿ îò òåìïåðàòóðû âíåøíåé
ñðåäû. Ñ ó÷åòîì ïðàêòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå óñëîâèå:
0 1 � . (4)
Îáîçíà÷èì � �[ , ]0 1 ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé �, óäîâëåòâîðÿþùèõ (3), (4).
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà ýòîì ìíîæåñòâå çàäàíà ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè � �� ( ),
óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì
� �� ( ) � 0, � ��, ��
�
�( )y dy 1.
Çàäàíî íà÷àëüíîå óñëîâèå:
u x t u( , ) � �0 const , x l�[ , ]0 , � � �T td 0 . (5)
Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ïðîöåññîì íàãðåâà òåïëîíîñèòåëÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïîääåðæà-
íèè òåìïåðàòóðû â ïå÷è, îáåñïå÷èâàþùåé çàäàííóþ òåìïåðàòóðó V òåïëîíîñèòåëÿ
íà âûõîäå ïå÷è ïðè âñåâîçìîæíûõ äîïóñòèìûõ âåëè÷èíàõ ïîòåðü òåïëà òåïëîíîñè-
òåëåì ïðè åå äâèæåíèè â ñèñòåìå òåïëîñíàáæåíèÿ, îïðåäåëÿåìûõ çíà÷åíèÿìè � ��,
ïðè óñëîâèè, ÷òî íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû u0 áëèçêî ê V .
48 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Ïóñòü â ïðîèçâîëüíûõ M
òî÷êàõ � i l�[ , ]0 , i M�1 2, , ,� , íà-
ãðåâàòåëüíîãî àïïàðàòà óñòàíîâ-
ëåíû äàò÷èêè (ðèñ. 1 [1]), â êîòî-
ðûõ ïðîâîäÿòñÿ çàìåðû òåìïåðà-
òóðû íåïðåðûâíî âî âðåìåíè:
u t u t t Ti i( ) ( , ), [ , ]� �� 0 , (6)
èëè â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè
u u t
t T j m
ij i j
j
�
� �
( , ),
[ , ], , , , .
�
0 1 2 �
(7)
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû óïðàâ-
ëåíèÿ íàãðåâîì ïå÷è ñ íåïðåðûâíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ ïðåäëàãàåòñÿ ñëåäóþ-
ùèé âàðèàíò íàçíà÷åíèÿ òåêóùåãî çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû ïîäàâàåìîãî ïàðà â
çàâèñèìîñòè îò ðåçóëüòàòîâ çàìåðîâ ñîñòîÿíèÿ ïðîöåññà â çàìåðíûõ òî÷êàõ:
� � �( )
~
[ ( , ) ]t
L
k u t zi i i i
i
M
� �
�
�
1
1
. (8)
Çäåñü
~
k i — êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ; zi — ýôôåêòèâíàÿ òåìïåðàòóðà â òî÷êå � i , çà
âåëè÷èíîé îòêëîíåíèÿ îò êîòîðîé äîëæåí îñóùåñòâëÿòüñÿ êîíòðîëü â ýòîé òî÷êå;
� i � const — âåñîâîé êîýôôèöèåíò, îïðåäåëÿþùèé âàæíîñòü çàìåðà â òî÷êå � i ,
i M�1 2, , ,� , � � � �� � � � �
�
�
�
��
�
�
�
���
�� E i MM
i i
i
M
: , , , , ,0 1 1 2 1
1
� . ßñíî, ÷òî âå-
ëè÷èíû zi îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèåì æåëàåìîé âåëè÷èíû òåìïåðàòóðû V íà âû-
õîäå òåïëîîáìåííèêà.
Ââåäåì êîìïëåêñíûå ïàðàìåòðû
k
k
L
i
i i�
�
~
, i M�1 2, , ,� .
 ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (8) äëÿ òåìïåðàòóðû ïàðà, ïîäàâàåìîãî â ïå÷ü, óñòà-
íàâëèâàåìîé ïî ðåçóëüòàòàì çàìåðîâ, ïðèìåò âèä
� �( ) [ ( , ) ]t k u t zi i i
i
M
� �
�
�
1
. (9)
Çäåñü k k k k M� ( , , , )1 2 � ', z z z z M� ( , , , )1 2 � ' è � � � �� ( , , , )1 2 � M ' ÿâëÿþòñÿ
âåêòîðàìè ïàðàìåòðîâ îáðàòíîé ñâÿçè, îïðåäåëÿþùèìè òåêóùåå çíà÷åíèå óïðàâëå-
íèÿ (òåìïåðàòóðû â ïå÷è) â çàâèñèìîñòè îò çàìåðåííûõ çíà÷åíèé òåìïåðàòóðû
â òî÷êàõ çàìåðîâ òåïëîîáìåííèêà, ' — çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Ïóñòü y R M� 3 —
3M -ìåðíûé âåêòîð îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ y k z� ( , , )� '. Ïîäñòàâëÿÿ (9)
â (1), ïîëó÷èì
�
�
�
�
�
� � �
�
� �
�
u x t
t
a
u x t
x
k u t z u x t
i
M
i i i
( , ) ( , )
[ ( , ) ] ( , )� �
1
�
�
�
�
�
�
� � �, ( , ) ( , ) ( , ] .x t l T� 0 0 (10)
Ìèíèìèçèðóåìûé êðèòåðèé êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ çàäàäèì â ñëåäóþùåì âèäå:
J y I y d( ; ) ( ; ) ( )� � � � ��
�
�
, (11)
I y u l t y V dt y y
T
R M
( ; ) [ ( , ; , ) ] | | | |� � �� � � �
0
2 0 2
3
, (12)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 49
Ðèñ. 1. Ñõåìà óïðàâëåíèÿ òðóá÷àòûì òåïëîîáìåí-
íèêîì ñ ïàðîâûì îáîãðåâîì
� ( )t Ïàð
Ïå÷ü
u l t( , )u t( , )0
Èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû
u t( , )�1 u tM( , )�
Áëîê
óïðàâëåíèÿ
ãäå u x t y( , ; , )� — ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1), (3), (5) ïðè êîíêðåòíî
âûáðàííûõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îáðàòíîé ñâÿçè y è ïàðàìåòðå
ïîòåðü òåïëà � �� ; y k z R M0 0 0 0 3� �( , , )� è � � 0 — ïàðàìåòðû ðåãóëÿðèçà-
öèè. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ íàãðåâîì òåïëîíî-
ñèòåëÿ â òåïëîîáìåííèêå, ðàçìåùåííîì â ïå÷è, ïðèâåäåíà ê çàäà÷å ïàðàìåòðè-
÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Ñïåöèôèêà çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
îíà îïèñûâàåòñÿ òî÷å÷íî íàãðóæåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (10)
(èç-çà íàëè÷èÿ â óðàâíåíèè çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè u x t( , ) â çàäàííûõ
òî÷êàõ � i , i M�1 2, , ,� , ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé) ñ êðàåâûìè óñëî-
âèÿìè ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì (3) [15–20].
Íà îïòèìèçèðóåìûå óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû îáðàòíîé ñâÿçè y, ó÷èòûâàÿ
ïåðåîáîçíà÷åíèÿ (8), ìîãóò áûòü íàëîæåíû îãðàíè÷åíèÿ, èñõîäÿ èç òåõíè÷åñêèõ,
òåõíîëîãè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé:
0 � i i i il k k k, , z z z i Mi i i �, , , ,1 2 � . (13)
Çäåñü k i , k i , z i , zi , i M�1 2, , ,� , — çàäàííûå âåëè÷èíû. Çíà÷åíèÿ k i , k i ,
i M�1 2, , ,� , îïðåäåëÿþòñÿ èç ôîðìóëû (9) ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèÿ (2) è àïðè-
îðíîé èíôîðìàöèè î âîçìîæíûõ è äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ òåìïåðàòóðû ïàðà
è òåïëîíîñèòåëÿ. Çíà÷åíèÿ z i , zi , i M�1 2, , ,� , îïðåäåëÿþòñÿ â îñíîâíîì æå-
ëàåìûì çíà÷åíèåì òåìïåðàòóðû òåïëîíîñèòåëÿ V íà âûõîäå íàãðåâàòåëüíîãî
àïïàðàòà.
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È (3)–(5), (10)–(13)
Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîé çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ íàãðóæåííîé ñèñòåìîé ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðåäëîæå-
íî ïðèìåíèòü ìåòîäû ïåðâîãî ïîðÿäêà, íàïðèìåð, ìåòîä ïðîåêöèè ãðàäèåí-
òà [21]. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìèíèìèçèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè y , � 0 1, ,� ,
èñïîëüçóåì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
y P y J y
� � � �1
13 0 1( ) [ ( )], , ,grad � . (14)
Çäåñü P y( ) ( )13 — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ 3M -ìåðíîé òî÷êè y k z� ( , , )� ' íà
ìíîæåñòâî, îïðåäåëåííîå îãðàíè÷åíèÿìè (13);
0 — øàã â íàïðàâëåíèè
ñïðîåêòèðîâàííîãî àíòèãðàäèåíòà. Íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå y0 ìîæåò áûòü ïðî-
èçâîëüíûì, â ÷àñòíîñòè, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì (13). Âñëåäñòâèå ïðîñòî-
òû ñòðóêòóðû äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäå-
ëåííîãî îãðàíè÷åíèÿìè (13), îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ èìååò êîíñòðóêòèâíûé
õàðàêòåð è ëåãêî ðåàëèçóåì. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîöåäóðû (14) èñïîëüçóåì ôîð-
ìóëû äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà (11), (12) ïî îïòèìèçèðóåìûì
ïàðàìåòðàì
grad J y
J k z J k z
k
J k z
z
( )
( , , )
,
( , , )
,
( , , )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
�
�
� � '
,
ïðèâåäåííûå â ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Òåîðåìà 1. Ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà â çàäà÷å (10), (3)–(5), (11), (12) äëÿ äî-
ïóñòèìûõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ y k z� ( , , )� ' îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ôîð-
ìóëàìè:
50 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
grad � � � � �
i
J y k x t y dx ui
lT
x( ) ( , ; , ) (�
�
�
�
��
�
�
�
!
"
#
#
00
i t y dt, ; , )� �
�
� �
�
�
�
��
�2 1 20� � � � � �( ) ( ) , , , ,i i d i M� � , (15)
grad k i i
l
i
J y u t y z x t y dx( ) ( ( , ; , ) ) ( , ; , )�
�
�
�
��
� �
�
� � � � �
0�
!
"
#
#
�
0
T
dt
�
� �
�
�
�
��
�2 1 20� � � �( ) ( ) , , , ,k k d i Mi i � � , (16)
grad z i
l
i ii
J y k x t y dx z z( ) ( , ; , ) ( )� � �
�
�
�
��
�
�
�
��
� � � �
0
02 � � ��
�
( ) , , , , ,d i M�
1 2 � (17)
ãäå u x t y( , ; , )� — ðåøåíèå çàäà÷è (10), (3)–(5), � �( , ; , )x t y — ðåøåíèå ñëåäó-
þùåé ñîïðÿæåííîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è:
� � ��t xx t a x t x t x t( , ) ( , ) ( , ), ( , )� � �� , (18)
�( , )x T � 0, x l�[ , ]0 , (19)
�( , ) ( ( , ) ), ( , ]l t
a
u l t V t T T Td� � � � �
2
, (20)
�
�
� �( , ) ( ) ( , ) ( ( , ) ), ( , ]l t
a
t T
a
u l t V t T Td d� � � � � � � �1 0
2
0 , (21)
â òî÷êàõ � i , i M�1 2, , ,� , ïðè t T�[ , ]0 , óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì
� � � �
�
�( , ) ( , ) ( , ) , , , ,i i i
l
t t
a
k x t dx i M� �� � �
0
1 2 � . (22)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì èçâåñòíóþ òåõíîëîãèþ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóë äëÿ
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà çà ñ÷åò ïðèðàùåíèÿ îïòèìèçèðóåìûõ àðãóìåíòîâ ôóíê-
öèîíàëà. Ïðè ýòîì ëèíåéíàÿ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà ïî êàæäîìó èç àðãó-
ìåíòîâ è áóäåò èñêîìîé êîìïîíåíòîé ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà ïî ñîîòâåòñòâóþùå-
ìó àðãóìåíòó [10, 21].
Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê ïîëó÷åíèþ ôîðìóë äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà
ôóíêöèîíàëà, îòìåòèì ñëåäóþùåå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïàðàìåòð � �� , îïðåäåëÿþ-
ùèé âåëè÷èíó ïîòåðü òåïëà, íå çàâèñèò îò ñàìîãî ïðîöåññà íàãðåâà òåïëîíîñèòå-
ëÿ â òåïëîîáìåííèêå, èç (11), (12) èìååì:
grad grad gradJ y I y d I y d( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( )� �
� � � � � � � ��
�
�
�
. (23)
Ïîýòîìó ïîëó÷èì ôîðìóëó grad I y( ; )� ïðè êàêîì-ëèáî îäíîì äîïóñòèìîì
ïðîèçâîëüíî çàäàííîì ïàðàìåòðå ïîòåðü òåïëà � �� .
Ïóñòü u x t y( , ; , )� — ðåøåíèå íàãðóæåííîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (10),
(3), (5) ïðè ïðîèçâîëüíî âûáðàííîì âåêòîðå îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ
y k z� ( , , )� ' è çàäàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà ïîòåðü òåïëà � ��. Äëÿ êðàòêîñòè,
ãäå ýòî íå ïîðîæäàåò íåîäíîçíà÷íîñòü, â ðåøåíèè u x t y( , ; , )� ïàðàìåòðû y, � áó-
äåì îïóñêàòü.
Ïóñòü ïàðàìåòðû y k z� ( , , )� ' ïîëó÷èëè äîïóñòèìîå ïðèðàùåíèå $ y �
� ( , , )$ $ $� k z ', à ~ ( , ) ~ ( , ; ~ ) ( , ) ( , )u x t u x t y u x t u x t� � � $ — ðåøåíèå çàäà÷è (10),
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 51
(3), (5), êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ïðèðàùåííîìó âåêòîðó àðãóìåíòîâ ~y y y� �$ .
Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ ~( , )u x t â óñëîâèÿ (10), (3), (5), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ íà÷àëü-
íî-êðàåâóþ çàäà÷ó ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè îòíîñè-
òåëüíî ïðèðàùåíèÿ $u x t( , ) ôàçîâîé ïåðåìåííîé:
$ $ $ $u x t a u x t k u t k u tt x i i i x i i
i
M
( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )� � � �
�
� � � �
1
�
� � � � �( ( , ) ) ] ( , ), ( , )u t z k k z u x t x ti i i i i� �$ $ $ � , (24)
$u x x l( , ) , [ , ]0 0 0� � , (25)
$
$
u t
t T
u l t T t T
d
d d
( , )
, ,
( ) ( , ), .
0
0
1
�
�
� � �
�
�
�
åñëè
åñëè�
(26)
 ïîëó÷åíèè ôîðìóëû (24) áûëî èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèå
u t u t u t oi i i x i i i( , ) ( , ) ( , ) (| | )� � � � � �� � � �$ $ $ .
Äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà (12) íåñëîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èòü ïðåä-
ñòàâëåíèå
$ $I y I y I y I y y I y( ; ) (~; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )� � � � �� � � � � �
� � � �
�
�
2 2
0
0
1
3
[ ( , ; , ) ] ( , ) ( )u l t y V u l t dt y y y
T
i i i
i
M
� �$ $ ,
( ) [( ) ( ) (y y y k k k z zi i i
i
M
i i i i i i i i� � � � � � �
�
� 0
1
3
0 0 0$ $ $� � � ) ]$ zi
i
M
�
�
1
3
.
Ïóñòü ôóíêöèÿ � � �( , ) ( , ; , )x t x t y� — ïîêà ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ âñþäó
â � êðîìå òî÷åê x i� � , i M�1 2, , ,� , äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî x ïðè x i i� �( , )� � 1 ,
i M� 0 1, , ,� , �0 0� , � M l� �1 , äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî t ïðè t T�( , )0 . Íàëè÷èå àð-
ãóìåíòîâ y è � ó ôóíêöèè � �( , ; , )x t y óêàçûâàåò íà òî, ÷òî îíà ìîæåò ìåíÿòüñÿ ïðè
èçìåíåíèè âåêòîðà ïàðàìåòðîâ îáðàòíîé ñâÿçè y è ïàðàìåòðà ïîòåðü òåïëà �. Òàì,
ãäå ýòî âîçìîæíî, àðãóìåíòû y è � ôóíêöèè � �( , ; , )x t y óêàçàíû íå áóäóò. Óìíî-
æèì óðàâíåíèå (24) íà �( , )x t è ïðîèíòåãðèðóåì åãî ïî îáëàñòè � . Ñ ó÷åòîì ïðèíÿ-
òûõ ïðåäïîëîæåíèé è óñëîâèé (25), (26) èìååì
� �
�
�
( , ) ( , ) ( , ) ( ,x t u x t dxdt a x t u x
lT
t
i
M
x
i
i
00 0
1
�
�
�
�
$ $ t dtdx
T
)
0
�
� � � �
� � � � � �( , ) [ ( , ) ( , ) ( ( , )x t k u t k u t u t z
lT
i i i x i i i
00
$ $ i i i i
i
M
k k z dxdt) ]$ $� �
�
�
1
� �
� �( , ) ( , )x t u x t dxdt
lT
00
0$ . (27)
Âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì îòäåëüíî äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ÷ëåíîâ (27),
ñ ó÷åòîì (25), (26) ïîëó÷èì
� � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,x t u x t dxdt x T u x T dx x t
lT
t
l
t
00 0
� �$ $ ) ( , )
00
lT
u x t dxdt
$ , (28)
52 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
a x t u x t dtdxx
T
i
M
i
i
�
�
�
( , ) ( , )$
00
1
�
�
�
� a l t u l t t u t dt
T
[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]� �$ $� �
0 0
0
� � �� �
�
�a t t u t dt a x ti i i
T
i
M
x
l
[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )� � � � � �$
01 0
�
0
T
u x t dxdt$ ( , )
� � � � �
a l t u l t dt a t u l t T dt
T
d
T
T
d
� � �( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )$ $
0
1 0
� � �� �
�
�a t t u t dt a x ti i i
T
i
M
x
l
[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )� � � � � �$
01 0
�
0
T
u x t dxdt$ ( , )
� � � �
�
a l t u l t dt a t T u l t d
T T T
d
d
� � �( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )$ $
0 0
1 0 t �
� � �� �
�
�a t t u t dt a x ti i i
T
i
M
x
l
[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )� � � � � �$
01 0
0
T
u x t dxdt$ ( , ) . (29)
Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ � � � �( , ) ( , )i it t� � �0 , � � � �( , ) ( , ).i it t� � �0
Ó÷èòûâàÿ (27)–(29), äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà áóäåì èìåòü:
$ $ $I a l t u l t V u l t dt x T
T T
T l
d
� � � �
�
[ ( , ) ( ( , ) )] ( , ) ( , )� �2
0
u x T dx( , ) �
� � � � � �
�
0
1 0 2
T T
d
d
a l t a t T u l t V u l t[ ( , ) ( ) ( , ) ( ( , ) )] ( ,� � � $ ) dt �
� � � � �
[ ( , ) ( , ) ( , )] ( , )� � ��t x
lT
x t a x t x t u x t dxdt
00
$
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
a t t
a
k x t dx u ti i i
l
i� � � �
�
� �( , ) ( , ) ( , ) ( ,
0
$ )
01
T
i
M
dt
�
�
�
� � � �
� � � � �( , ) [ ( , ) ( ( , ) )x t k u t u t z k k z
lT
i x i i i i i i i
00
$ $ $ ]
i
M
dxdt
�
� �
1
� � � � � �
�
�2 0 0 0
1
� � � �[( ) ( ) ( ) ]i i i i i i i i i
i
M
k k k z z z$ $ $ .
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ôóíêöèè �( , )x t ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíà ïî÷òè âñþäó
ÿâëÿëàñü ðåøåíèåì íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (18)–(22). Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî êîì-
ïîíåíòû ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà îïðåäåëÿþòñÿ ëèíåéíîé ÷àñòüþ ïðèðàùåíèÿ
ôóíêöèîíàëà ïðè ïðèðàùåíèÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ àðãóìåíòîâ, ïîëó÷èì
grad � � � � � �
i
I k x t dx u t dti
lT
x i i� �
�
�
!
"
#
#
�
( , ) ( , ) (
00
2 � � %� i i M0 1 2), , , , , (30)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 53
grad k i i
lT
i
I u t z x t dx dt� � �
�
�
!
"
#
#
�
� � � �( ( , ) ) ( , ) (
00
2 k k i Mi i� �0 1 2), , , , ,� (31)
grad z i
l
i ii
I k x t dx z z i M� � � �
� � �( , ) ( ), , , ,
0
02 1 2 � . (32)
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìó ìîæíî ñ÷èòàòü äîêàçàííîé.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (18) ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (18)–(22) ñ èñïîëüçîâà-
íèåì �-ôóíêöèè Äèðàêà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì ýêâèâàëåíòíîì âèäå:
� � �� � �
� �t x
l
i
i
M
ix t a x t x t t d k x( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (� � � �
�
�0 1
), ( , )x t �� , (33)
ïðè ñîõðàíåíèè íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèé (19)–(21), íî óæå áåç óñëîâèé
ñêà÷êà (22).
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñîïðÿæåííîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è â ýêâèâàëåíòíîì
(18)–(22) âèäå (33) è áåç óñëîâèé ñêà÷êà (22), ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì �-ôóíêöèè,
òðåòüå ñëàãàåìîå èç ðàâåíñòâà (27) ïðèâåäåì ê âèäó
a x t k u t k u t ui
i
MlT
i i x i i i� � � � �( , ) ( ( , ) ( , ) ( ( ,
�
�
� �
100
$ $ t z k k z dxdti i i i) ) )� � �$ $
� � �
�
�
a k t u t d dxdti
i
L
i
llT
1 000
�
�
�
( , ) ( ) ( , )$
� � � �
a x t k u t u t z k k z
lT
i x i i i i i i i� � � �( , ) ( ( , ) ( ( , ) )
00
$ $ $
i
M
dxdt
�
�
1
) . (34)
Èçìåíèâ â ïåðâîì òðîéíîì èíòåãðàëå ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
è x è ñíî-
âà ïåðåèìåíîâàâ ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
è x ìåæäó ñîáîé, ïîëó÷èì
�
�
�
�
( , ) ( ) ( , ) ( , )t u t d dxdt t di
llT l
� �
�
�
$
000 0
!
"
#
#
�
00
lT
ix u x t dxdt� �( ) ( , ) .$ (35)
Ïîäñòàâëÿÿ (34), (35) â ôîðìóëó (27), ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè ñëàãàåìûõ ïîëó-
÷èì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (33) äëÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è.
Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè èñõîäíîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñèíòåçèðóåìûõ ïà-
ðàìåòðîâ íà êàæäîé èòåðàöèè ïðîöåäóðû (14) ðåøàþòñÿ ïðÿìàÿ (8)–(13) è ñîïðÿ-
æåííàÿ (18)–(22) êðàåâûå çàäà÷è ñ óêàçàííûìè âûøå ñïåöèôè÷åñêèìè îñîáåí-
íîñòÿìè. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íàãðóæåííûõ êðàåâûõ çàäà÷ ìîæíî èñïîëüçî-
âàòü ìåòîäû ñåòîê èëè ïðÿìûõ. Èõ ïðèìåíåíèå ê ðåøåíèþ ïîäîáíûõ çàäà÷
èññëåäîâàíî, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [22, 23]. Äëÿ ó÷åòà çàïàçäûâàíèÿ â êðàåâûõ
óñëîâèÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü «ìåòîä øàãîâ» [24].
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ×ÈÑËÀ ÒÎ×ÅÊ ÇÀÌÅÐÎÂ
Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî êîëè÷åñòâî òî÷åê çàìåðà ñîñòîÿíèÿ óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà
íå çàäàíî è òðåáóåòñÿ îïòèìèçèðîâàòü èõ ÷èñëî è ìåñòà èõ ðàçìåùåíèÿ.  ñâÿçè
ñ ýòèì ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïîäõîä ê îïòèìàëüíîìó âûáîðó ÷èñëà òî÷åê çà-
ìåðîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî îïòèìàëüíîå ÷èñëî íàáëþäàåìûõ òî÷åê â êàêîé-òî ñòåïåíè
äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ âîçìîæíîé ìèíèìàëüíîñòè èõ ÷èñëà.
Îáîçíà÷èì J J y MM
M& &� ( ; ) ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà çàäà-
÷è (4), (8)–(13) ïðè çàäàííîì ÷èñëå M òî÷åê íàáëþäåíèÿ, y M — îïòèìàëüíûå
54 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñèíòåçèðîâàííîãî óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ. ßñíî, ÷òî
J J y MM
M& &� ( ; ) êàê ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà M ÿâëÿåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé,
ò.å. â îáùåì ñëó÷àå èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
J y J y M J y M
M M& & & &' ( ; ) ( ; ) ( ; )1 2
1 2 , M M2 1� . (36)
Çäåñü J J y MM
M& &� ( ; ) — îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà èñõîäíîé çàäà-
÷è (1)–(9) ïðè ÷èñëå òî÷åê íàáëþäåíèé, ðàâíîì M ; J J y& & &� '( ; ) — îïòè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà çàäà÷è ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, ðàñïðåäåëåííîé ïî
âñåìó ñòåðæíþ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò çàìåðàì òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ «ïî÷òè» âî
âñåõ òî÷êàõ ñòåðæíÿ, ò.å.
J y J y MM
M
M&
()
&' �( ; ) lim ( ; ) .
Èç (36) ñëåäóåò, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè
÷èñëà íàáëþäàåìûõ òî÷åê îïòèìàëü-
íûå çíà÷åíèÿ öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà
ìîãóò ëèøü óìåíüøàòüñÿ è ïðèáëè-
æàòüñÿ ñêîëü óãîäíî áëèçêî ê J & .
Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò
îïðåäåëåííîå êîíå÷íîå çíà÷åíèå M & ,
äëÿ êîòîðîãî èìååò ìåñòî (ðèñ. 2):
J y M JM& &�( ; ) ïðè M M
& .
 êà÷åñòâå îïòèìàëüíîãî ÷èñëà
íàáëþäàåìûõ òî÷åê ïðåäëàãàåòñÿ ïðè-
íÿòü òàêîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå M & ,
ïðè êîòîðîì âïåðâûå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ:
$ J y M J y M J y MM M M& & & � & & && & &
� � � ( ; ) | ( ; ) ( ; ) |1 1 �,
(37)
$J y M J y MM M& & & && &
( ; ) / ( ; ) �.
Çäåñü � — çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ
ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ÷èñëà íàáëþäàåìûõ òî÷åê.
Ïî ðåçóëüòàòàì ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà ïàðàìåòðîâ óïðàâëåíèÿ íàãðåâîì ñòåð-
æíÿ ñ çàäàííûì ÷èñëîì M íàáëþäàåìûõ òî÷åê ìîæíî óìåíüøèòü èõ ÷èñëî M , åñëè
äëÿ ïîëó÷åííîãî îïòèìàëüíîãî âåêòîðà � M äëÿ ðàñïîëîæåíèÿ êàêèõ-ëèáî äâóõ ñî-
ñåäíèõ òî÷åê íàáëþäåíèÿ âûïîëíèëîñü óñëîâèå
| | , , , ,� � �
j
M
j
M j M
�
� � �
1 1 1 2 1� , (38)
ãäå �1 0
— çàäàííîå äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî. Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (38) ïîçâî-
ëÿåò îñòàâèòü îäíó èç äâóõ ñîñåäíèõ òî÷åê çàìåðà, à ñëåäîâàòåëüíî, óìåíüøèòü
íà åäèíèöó ÷èñëî òî÷åê çàìåðà.
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ
Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé ìîäåëüíîé çàäà÷è. Ïðîöåññ îïèñû-
âàåòñÿ êðàåâîé çàäà÷åé (1)–(5). Òðåáóåòñÿ ñïðîåêòèðîâàòü ñèñòåìó îïòèìàëüíî-
ãî óïðàâëåíèÿ (ðåãóëèðîâàíèÿ) ïðîöåññîì íàãðåâà òåïëîíîñèòåëÿ ñíà÷àëà
ñ äâóìÿ òî÷êàìè îáðàòíîé ñâÿçè, ò.å. M � 2. Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ îïðåäå-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 55
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ öå-
ëåâîãî ôóíêöèîíàëà îò ÷èñëà çàìåðîâ M
J M
&
M
J &
0 M &
ëèòü � � �� ( , )1 2 — ìåñòà ðàçìåùåíèÿ äâóõ äàò÷èêîâ òåìïåðàòóðû è ïàðàìåò-
ðû îáðàòíîé ñâÿçè k z R, � 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ÷èñëî ñèíòåçèðóåìûõ ïà-
ðàìåòðîâ ðàâíî øåñòè.
Çàäà÷à ðåøåíà ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ äàííûõ, ó÷àñòâóþùèõ â åå ïîñòà-
íîâêå: l �1; a �1; � � 0.1; T d � 0.2, T � 5, V � 70, � � [0; 0.2], � � 55, � � 75,
k k1 2 8� � , k k1 2 1� � , z z1 2 75� � , z z1 2 57� � . Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè � �� ( )
â ðàñ÷åòàõ áûëà ïðèíÿòà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà [0; 0.2], à àïïðîêñèìà-
öèÿ èíòåãðàëà ïî � îñóùåñòâëÿëàñü ìåòîäîì ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ øàãîì 0.05.
Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ k k1 2, áûëè ïîäîáðàíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåçóëüòàòîâ
ïðîâåäåííûõ ïðîáíûõ ðàñ÷åòîâ, ïðè êîòîðûõ òðåáîâàëîñü âûïîëíåíèå òåõíîëî-
ãè÷åñêîãî óñëîâèÿ (2) ïðè çàäàííûõ � , � . ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû âûïîëíåíû
ïðè ðàçíûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ( ) ( , , , , , )y k k z zj j0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0� � � ,
j �1 2 5, , ,� , èñïîëüçîâàííûõ äëÿ èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû îïòèìèçàöèè (14).
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû ýòè çíà÷åíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà
â ýòèõ òî÷êàõ.
 òàáë. 2 ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ( ) ( , , , , , )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y k k z zj6
1
6
2
6
1
6
2
6
1
6
2
6� � �
è ôóíêöèîíàëà J y j( )6 , ïîëó÷åííûå íà øåñòîé èòåðàöèè ìåòîäà ïðîåêöèè ãðà-
äèåíòà èç íà÷àëüíûõ òî÷åê ( ) , , , ,y jj0 1 2 5� � , ïðèâåäåííûõ â òàáë.1.
Êàê âèäíî èç òàáë. 3, â êîòîðîé ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ ïî îïòè-
ìèçàöèè M — ÷èñëà òî÷åê çàìåðîâ, ïðè M � 6 è M � 7 ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíê-
öèîíàëîâ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (37), à ïðè M � 7 îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ âòîðîé
è òðåòüåé êîìïîíåíò âåêòîðà � óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (38) ïðè � �� �1 0.01. Çíà÷èò
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îïòèìàëüíûì ÷èñëîì òî÷åê çàìåðà ÿâëÿåòñÿ M * � 6.
56 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 1. Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ ( )y j0 , j �1 2, ,�
� , 5, è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà
j
Çíà÷åíèÿ îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ
Çíà÷åíèå
ôóíêöèîíàëà
( )k j
1
0 ( )k j
2
0 ( )z j
1
0 ( )z j
2
0 ( )�1
0 j ( )�2
0 j J y j( )0
1 4 6 61 63 0.1 0.8 363.210004
2 3 5 65 60 0.2 0.9 357.150011
3 1 8 62 63 0.4 0.8 257.310003
4 5 2 63 66 0.5 0.7 165.150016
5 6 4 66 62 0.2 0.7 205.190007
Ò à á ë è ö à 2. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ è ôóíêöèîíàëà, ïîëó÷åííûå íà øåñòûõ
èòåðàöèÿõ ïðîöåññà (14) äëÿ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ òî÷åê ( )y j0 , j �1 2 5, , ,�
j
Çíà÷åíèÿ îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ
Çíà÷åíèå
ôóíêöèîíàëà
( )
( )
k j
1
6
( )
( )
k j
2
6
( )
( )
z j
1
6
( )
( )
z j
2
6
( )
( )�
1
6 j ( )�2
6 j J y j( )6
1 5.9956 3.9952 66.9945 68.9949 0.2994 0.5994 0.3422
2 5.9977 3.9983 66.9978 68.9954 0.3000 0.6000 0.3259
3 5.9962 3.9988 66.9951 68.9948 0.2971 0.5971 0.3538
4 5.9978 3.9971 66.9991 68.9975 0.3000 0.6000 0.3145
5 5.9991 3.9961 66.9964 68.9973 0.3000 0.6000 0.3062
Ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû, â êîòîðûõ òî÷íûå çíà÷åíèÿ íàáëþäàå-
ìûõ ñîñòîÿíèé ïðîöåññà â òî÷êàõ çàìåðà u t u t( , ), ( , )� �1 2 áûëè çàøóìëåíû ñëó-
÷àéíûìè ïîìåõàìè ïî ôîðìóëå
u t u t ii i i( , ) ( , )( ( )), ,� � � �� � � �1 2 1 1 2,
ãäå � i — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå [ , ]0 1 , � —
óðîâåíü ïîìåõ.
 òàáë. 4 ïðèâåäåíû ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà è îòíîñèòåëüíûå
îòêëîíåíèÿ ìåæäó ïîëó÷àåìîé è æåëàåìîé òåìïåðàòóðàìè íà âûõîäå àãðåãàòà
ïðè óðîâíÿõ ïîìåõ, ðàâíûõ 0 % (áåç ïîìåõ), 1 %, 3 %, 5 %, ñîîòâåòñòâóþùèõ
çíà÷åíèÿì � � 0 (áåç ïîìåõ), 0.01, 0.03, 0.05.
Êàê âèäíî èç òàáë. 4, óïðàâëåíèå ïðîöåññîì íàãðåâà òåïëîíîñèòåëÿ â ïå÷è
íàãðåâàåìîãî àïïàðàòà ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ äîñòàòî÷íî óñòîé÷èâî ê ïîãðåøíîñòÿì
çàìåðîâ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ òåõíè÷åñêèìè îáúåê-
òàìè è òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïîëó÷à-
þò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ñâÿçè ñ ñóùåñòâåííî âîçðîñøèìè âîçìîæíîñòÿìè
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 57
Ò à á ë è ö à 3. Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðè ðàçíîì ÷èñëå òî÷åê íàáëþäåíèÿ
M
Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðîâ ôóíêöèîíàëà ïàðàìåòðîâ ôóíêöèîíàëà
( ); ( ); ( )�0 0 0k z J y( )0 ( ); ( ); ( )�& & &k z J y( )&
3
(0.1, 0.4, 0.7);
(3, 4, 8);
(61, 65, 67)
336.46
(0.300, 0.600, 0.899);
(5.002, 4.201, 4.002);
(66.998, 67.998, 68.998)
0.3456
4
(0.1, 0.5, 0.7, 0.8);
(1, 4, 8, 2);
(60, 63, 66, 67)
323.64
(0.150, 0.300, 0.600, 0.849);
(5.001, 4.102, 4.006, 3.999);
(66.996, 67.999, 68.001, 68.999)
0.3549
5
(0.1, 0.2, 0.5, 0.7, 0.8);
(3, 5, 7, 8, 3);
(61, 63, 64, 66, 67)
368.54
(0.250, 0.300, 0.610, 0.800, 0.896);
(5.101, 4.126, 4.106, 4.012, 3.9982);
(66.987, 67.979, 68.201, 68.571, 68.989)
0.3436
6
(0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8);
(3, 5, 6, 7, 8, 3);
(58, 61, 64, 65, 66, 68)
408.37
(0.208, 0.305, 0.481, 0.605, 0.805 0.900);
(5.003, 4.086, 4.015, 4.013, 3.906, 3.999);
(66.997, 67.999, 68.121, 68.571, 68.989, 68.999)
0.3234
7
(0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8);
(3, 4, 5, 6, 7, 8, 3);
(58, 60, 63, 64, 66, 67, 70)
217.23
(0.198, 0.303, 0.307, 0.491, 0.62, 0.791, 0.901);
(5.003, 4.086, 4.015, 4.013, 3.906, 3.912, 3.998);
(66.998, 68.003, 68.323, 68.772, 68.979, 69.002, 69.012)
0.3023
Ò à á ë è ö à 4. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà è îòíîñèòåëüíûå îòêëîíåíèÿ ìåæäó ïî-
ëó÷àåìîé è æåëàåìîé òåìïåðàòóðàìè íà âûõîäå àãðåãàòà ïðè ðàçíûõ óðîâíÿõ
ïîìåõ â èçìåðåíèÿõ
Óðîâåíü ïîìåõè �
Îòíîñèòåëüíîå îòêëîíåíèå
max | ( , ) | / | |
[ , ]t
u l t V V
�
�
0 1
Çíà÷åíèå
ôóíêöèîíàëà J y
& ( )
0.00 0.021941 0.3023
0.01 0.033052 0.3543
0.03 0.038311 0.3762
0.05 0.064574 0.3916
ñðåäñòâ èçìåðèòåëüíîé è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè.  ðàáîòå èññëåäîâàíà çàäà÷à
óïðàâëåíèÿ íàãðåâàòåëüíûì àïïàðàòîì äëÿ íàãðåâà òåïëîíîñèòåëÿ, êîòîðûé îáåñ-
ïå÷èâàåò ïîäà÷ó òåïëà â çàìêíóòóþ ñèñòåìó òåïëîñíàáæåíèÿ. Ñïåöèôèêà èññëå-
äóåìîé çàäà÷è, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ïåðâîãî ïîðÿä-
êà, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â åå êðàåâûõ óñëîâèÿõ ôèãóðèðóåò çàïàçäûâàþùèé
âî âðåìåíè àðãóìåíò. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà ïðèâîäèò-
ñÿ ê òî÷å÷íî íàãðóæåííîìó ãèïåðáîëè÷åñêîìó óðàâíåíèþ, à ñàìà ðàññìàòðèâàå-
ìàÿ çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ ê çàäà÷å ïàðàìåòðè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
Ñ öåëüþ èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ÷èñëåííîãî
ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ìåñò óñòàíîâëåíèÿ äàò÷èêîâ è ïàðàìåòðîâ óïðàâ-
ëÿþùèõ âîçäåéñòâèé ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà çàäà÷è. Ïðåäëîæåííûå
â ñòàòüå ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ïîäõîä ê ïîëó÷åíèþ ðàñ÷åòíûõ ôîðìóë äëÿ åå
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü ðàñïðîñòðàíåíû íà ñëó÷àè óïðàâëåíèÿ ñ îáðàò-
íîé ñâÿçüþ ìíîãèìè äðóãèìè ïðîöåññàìè, îïèñûâàåìûìè äðóãèìè òèïàìè
óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è íà÷àëüíî-êðàåâûìè óñëîâèÿìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ray W.H. Advanced process control. McGraw-Hill Book Company, 1981. 376 p.
2. Áóòêîâñêèé À.Ã. Ìåòîäû óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ìîñêâà:
Íàóêà, 1975. 568 ñ.
3. Ïîëÿê Á.Ò., Ùåðáàêîâ Ï.Ñ. Ðîáàñòíàÿ óñòîé÷èâîñòü è óïðàâëåíèå. Ìîñêâà: Íàóêà, 2002. 303 ñ.
4. Àéäà-çàäå Ê.Ð., Ãàøèìîâ Â.À. Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûõ èñòî÷íèêîâ è òî-
÷åê êîíòðîëÿ ïðîöåññà íàãðåâà ïëàñòèíû. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 4.
Ñ. 97–108.
5. Êóëèåâ Ñ.Ç. Ñèíòåç çîíàëüíûõ óïðàâëåíèé äëÿ îäíîé çàäà÷è íàãðåâà ñ çàïàçäûâàíèåì â íåðàç-
äåëåííûõ óñëîâèÿõ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2018. Ò. 54, ¹ 1. Ñ. 124–136.
6. Shang H., Forbes J.F., Guay M. Feedback control of hyperbolic PDE systems. IFAC Proceedings
Volumes. 2000. Vol. 33, Iss. 10. P. 533–538.
7. Coron J.M., Wang Zh. Output feedback stabilization for a scalar conservation law with a nonlocal
velocity. SIAM J. Math. Anal. 2013. Vol. 45, N 5. P. 2646–2665.
8. Afifi L., Lasri K., Joundi M., Amimi N. Feedback controls for exact remediability in disturbed
dynamical systems. IMA Journal of Mathematical Control and Information. 2018. Vol. 35, N 2.
P. 411–425.
9. Mitkowski W., Bauer W., Zag�rowska M. Discrete-time feedback stabilization. Archives of Control
Sciences. 2017. Vol. 27, N 2. P. 309–322.
10. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.
New York: Kluwer Acad. Publ., 2005. 383 p.
11. Àéäà-çàäå Ê.Ð., Àáäóëëàåâ Â.Ì. Îá îäíîì ïîäõîäå ê ñèíòåçó óïðàâëåíèÿ ïðîöåññàìè ñ ðàñ-
ïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Àâòîìàò. è òåëåìåõ. 2012. ¹ 9. Ñ. 3–19.
12. Àéäà-çàäå Ê.Ð., Àáäóëëàåâ Â.Ì. Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ òî÷åê êîíòðîëÿ ïðè ñèíòåçå óïðàâ-
ëåíèÿ ïðîöåññîì íàãðåâà. Àâòîìàò. è òåëåìåõ. 2017. ¹ 9. Ñ. 49–66.
13. Ëèîíñ Æ.-Ë. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè
ïðîèçâîäíûìè. Ìîñêâà: Ìèð, 1972. 416 ñ.
14. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1966. 742 ñ.
15. Äæåíàëèåâ Ì.Ò. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ëèíåéíûìè íàãðóæåííûìè ïàðàáîëè÷åñêèìè óðàâ-
íåíèÿìè. Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. 1989. Ò. 25. ¹ 4. Ñ. 641– 651.
16. Íàõóøåâ À.Ì. Íàãðóæåííûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. Ìîñêâà: Íàóêà, 2012. 232 ñ.
58 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
17. Àëèõàíîâ À.À, Áåðåçêîâ À.Ì., Øõàíóêîâ-Ëàôèøåâ Ì.Õ. Êðàåâûå çàäà÷è äëÿ íåêîòîðûõ
êëàññîâ íàãðóæåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ðàçíîñòíûå ìåòîäû èõ ÷èñëåííîé ðåà-
ëèçàöèè. Æ. âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. 2008. Ò. 48, ¹ 9. Ñ. 1619–1628.
18. Aida-zade K.R. An approach for solving nonlinearly loaded problems for linear ordinary differential
equations. Proc. of the Institute of Mathematics and Mechanics. 2018. Vol. 44, N 2. P. 338–350.
19. Abdullayev V.M. Numerical solution to optimal control problems with multipoint and integral
conditions. Proc. of the Institute of Mathematics and Mechanics. 2018. Vol. 44, N 2. P. 171–186.
20. Àáäóëëàåâ Â.Ì. Çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè ôóíêöèé ðåàêöèè íà íàãðóæåíèÿ äëÿ ñòàöèîíàðíûõ
ñèñòåì. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 3. Ñ. 100–110.
21. Âàñèëüåâ Ô.Ï. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. Ìîñêâà: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002. 824 ñ.
22. Abdullayev V.M., Aida-zade K.R. Optimization of loading places and load response functions for
stationary systems. Comput. Math. Math. Phys. 2017. Vol. 57, N 4. P. 634–644.
23. Abdullayev V.M., Aida-zade K.R. Finite-difference methods for solving loaded parabolic equation.
Comput. Math. Math. Phys. 2016. Vol. 56, N 1. P. 93–105.
24. Ýëüñãîëüö Ë.Ý., Íîðêèí Ñ.Á. Ââåäåíèå â òåîðèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿþ-
ùèìñÿ àðãóìåíòîì. Ìîñêâà: Íàóêà, 1971. 296 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 20.05.2019
Ê.Ð. Àéäà-çàäå, Â.Ì. Àáäóëàºâ
ÑÈÍÒÅÇ ÊÅÐÓÂÀÍÍß ÏÐÎÖÅÑÎÌ Ï²ÄÒÐÈÌÀÍÍß ÒÅÌÏÅÐÀÒÓÐÈ Â ÎÄÍ²É ÇÀÄÀײ
ÒÅÏËÎÏÎÑÒÀ×ÀÍÍß
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ êåðóâàííÿ ïðîöåñîì íàãð³âàííÿ
òåïëîíîñ³ÿ, ùî öèðêóëþº â ñèñòåì³ òåïëîïîñòà÷àííÿ. Îá’ºì òåïëà, ùî
ïîäàºòüñÿ äëÿ íàãð³âàííÿ òåïëîíîñ³ÿ â ïå÷³, âèçíà÷àºòüñÿ ë³í³éíîþ çà-
ëåæí³ñòþ â³ä çàì³ð³â òåìïåðàòóðè ó òî÷êàõ çàì³ðþâàííÿ. Çàäà÷à ïîëÿãàº
â îïòèì³çàö³¿ ïàðàìåòð³â ë³í³éíîãî çâîðîòíîãî çâ’ÿçêó, ì³ñöü ðîçòàøóâàííÿ
òà ê³ëüêîñò³ òî÷îê çàì³ðþâàííÿ. Îòðèìàíî ôîðìóëè äëÿ ãðà䳺íòà
îïòèì³çîâíîãî ôóíêö³îíàëà, ÿê³ çàñòîñîâóþòüñÿ ó ìåòîäàõ îïòèì³çàö³¿ ïåð-
øîãî ïîðÿäêó. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñëîâèõ åêñïåðèìåíò³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êåðóâàííÿ íàãð³âàííÿì òåïëîíîñ³ÿ, òî÷êà çàì³ðþâàííÿ, çâî-
ðîòíèé çâ’ÿçîê, ãðà䳺íò ôóíêö³îíàëà.
K.R. Aida-zade, V.M. Abdullayev
CONTROL SYNTHESIS FOR TEMPERATURE MAINTAINING PROCESS
IN A HEAT SUPPLY PROBLEM
Abstract. We consider the solution to the problem of optimal control of the
heating process of a heat carrier circulating in the heating system. The amount
of heat supplied to the heat carrier in the furnace is determined by a linear
dependence on temperature measurements at some measuring points. The
problem is to optimize the linear feedback parameters, the locations and the
number of measuring points. We have obtained formulas for the gradient of the
optimized functional, which are used to apply first-order optimization methods.
The results of numerical experiments are given.
Keywords: heat carrier control, measuring point, feedback, gradient of
functional.
Àéäà-çàäå Êàìèëü Ðàäæàáîâè÷,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, ïðîôåññîð, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, çàâåäóþùèé ëàáîðàòîðèåé Èíñòèòóòà
ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è
ìåõàíèêè ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, e-mail: kamil_aydazade@rambler.ru.
Àáäóëëàåâ Âàãèô Ìààðèô îãëû,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Àçåðáàéäæàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ïðî-
ìûøëåííîñòè, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó,
e-mail: vaqif_ab@rambler.ru.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 59
|