Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві

Для укрупненої системи стохастичних диференціальних рівнянь з марковськими перемиканнями та імпульсним збуренням у схемі апроксимації Леві встановлено умови асимптотичної дисипативності. Зокрема, досліджено питання, як поведінка граничного процесу залежить від дограничного нормування стохастичної ев...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
Hauptverfasser:	Самойленко, І.В., Нікітін, А.В., Довгай, Б.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системний аналіз
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190379
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві / І.В. Самойленко, А.В. Нікітін, Б.В. Довгай // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 60–69. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190379
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1903792023-06-04T20:04:56Z Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві Самойленко, І.В. Нікітін, А.В. Довгай, Б.В. Системний аналіз Для укрупненої системи стохастичних диференціальних рівнянь з марковськими перемиканнями та імпульсним збуренням у схемі апроксимації Леві встановлено умови асимптотичної дисипативності. Зокрема, досліджено питання, як поведінка граничного процесу залежить від дограничного нормування стохастичної еволюційної системи в ергодичному марковському середовищі в умовах апроксимації Леві. Для укрупненной системы стохастических дифференциальных уравнений с марковскими переключениями и импульсным возмущением в схеме аппроксимации Леви получены условия асимптотической диссипативности. В частности, изучен вопрос о том, как поведение предельного процесса зависит от допредельной нормировки стохастической эволюционной системы в эргодической марковской среде в условиях аппроксимации Леви. Conditions for asymptotic dissipativity are established for the merged system of stochastic differential equations with Markov switchings and impulse perturbations under conditions of Levi approximation. In particular, it is analyzed how the behavior of the boundary process depends on the pre-limiting normalization of a stochastic evolution system in the ergodic Markovian environment under the conditions of Levi approximation. 2020 Article Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві / І.В. Самойленко, А.В. Нікітін, Б.В. Довгай // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 60–69. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190379 519.21+62 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Самойленко, І.В. Нікітін, А.В. Довгай, Б.В. Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві Кибернетика и системный анализ
description	Для укрупненої системи стохастичних диференціальних рівнянь з марковськими перемиканнями та імпульсним збуренням у схемі апроксимації Леві встановлено умови асимптотичної дисипативності. Зокрема, досліджено питання, як поведінка граничного процесу залежить від дограничного нормування стохастичної еволюційної системи в ергодичному марковському середовищі в умовах апроксимації Леві.
format	Article
author	Самойленко, І.В. Нікітін, А.В. Довгай, Б.В.
author_facet	Самойленко, І.В. Нікітін, А.В. Довгай, Б.В.
author_sort	Самойленко, І.В.
title	Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві
title_short	Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві
title_full	Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві
title_fullStr	Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві
title_full_unstemmed	Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві
title_sort	асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації леві
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190379
citation_txt	Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві / І.В. Самойленко, А.В. Нікітін, Б.В. Довгай // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 60–69. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT samojlenkoív asimptotičnadisipativnístʹdlâukrupnenihstohastičnihevolûcíjnihsistemzmarkovsʹkimiperemikannâmitaímpulʹsnimizburennâmivumovahaproksimacííleví AT níkítínav asimptotičnadisipativnístʹdlâukrupnenihstohastičnihevolûcíjnihsistemzmarkovsʹkimiperemikannâmitaímpulʹsnimizburennâmivumovahaproksimacííleví AT dovgajbv asimptotičnadisipativnístʹdlâukrupnenihstohastičnihevolûcíjnihsistemzmarkovsʹkimiperemikannâmitaímpulʹsnimizburennâmivumovahaproksimacííleví
first_indexed	2025-07-16T13:12:41Z
last_indexed	2025-07-16T13:12:41Z
_version_	1837809335978164224
fulltext	ÓÄÊ 519.21+62 ².Â. ÑÀÌÎÉËÅÍÊÎ, À.Â. Í²Ê²Ò²Í, Á.Â. ÄÎÂÃÀÉ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÍÀ ÄÈÑÈÏÀÒÈÂÍ²ÑÒÜ ÄËß ÓÊÐÓÏÍÅÍÈÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÍÈÕ ÅÂÎËÞÖ²ÉÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ Ç ÌÀÐÊÎÂÑÜÊÈÌÈ ÏÅÐÅÌÈÊÀÍÍßÌÈ ÒÀ ²ÌÏÓËÜÑÍÈÌÈ ÇÁÓÐÅÍÍßÌÈ Â ÓÌÎÂÀÕ ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÖ²¯ ËÅÂ² Àíîòàö³ÿ. Äëÿ óêðóïíåíî¿ ñèñòåìè ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç ìàðêîâñüêèìè ïåðåìèêàííÿìè òà ³ìïóëüñíèì çáóðåííÿì ó ñõåì³ àïðîêñè- ìàö³¿ Ëåâ³ âñòàíîâëåíî óìîâè àñèìïòîòè÷íî¿ äèñèïàòèâíîñò³. Çîêðåìà, äîñë³äæåíî ïèòàííÿ, ÿê ïîâåä³íêà ãðàíè÷íîãî ïðîöåñó çàëåæèòü â³ä äîãðà- íè÷íîãî íîðìóâàííÿ ñòîõàñòè÷íî¿ åâîëþö³éíî¿ ñèñòåìè â åðãîäè÷íîìó ìàð- êîâñüêîìó ñåðåäîâèù³ â óìîâàõ àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: âèïàäêîâà åâîëþö³ÿ, àïðîêñèìàö³ÿ Ëåâ³, àñèìïòîòè÷íà äè- ñèïàòèâí³ñòü. ÂÑÒÓÏ Äèñèïàòèâí³ñòü ÿê âëàñòèâ³ñòü äåòåðì³íîâàíèõ ñèñòåì òà ñèñòåì ç âèïàäêîâèìè çáóðåííÿìè øèðîêî âèñâ³òëþºòüñÿ â ë³òåðàòóð³, çîêðåìà ó ðîáîòàõ [1–4]. Äèñèïà- òèâí³ñòü — ïîíÿòòÿ, çàïîçè÷åíå ç ô³çèêè; ó ô³çè÷íîìó ñåíñ³ äèñèïàòèâíèé ñòàí — öå ñò³éêèé ñòàí, ÿêèé âèíèêàº ó ñåðåäîâèù³ çà óìîâè ðîçñ³þâàííÿ åíåðã³¿, ÿêà íàäõîäèòü ³ççîâí³. Äèñèïàòèâí³ñòü ò³ñíî ïîâ'ÿçàíà ç³ ñò³éê³ñòþ çà Ëÿ- ïóíîâèì. Öå äàº çìîãó çàñòîñîâóâàòè äî äîñë³äæåííÿ äèñèïàòèâíîñò³ ò³ æ ìåòî- äè, ùî ³ äëÿ äîñë³äæåííÿ ñò³éêîñò³, çîêðåìà çà äîïîìîãîþ ôóíêö³é Ëÿïóíîâà. Öÿ ñòàòòÿ ïðîäîâæóº íàïðÿìîê äîñë³äæåíü, ïðîâåäåíèõ ó ðîáîòàõ [2, 4–6], äå âèâ÷àëèñü àñèìïòîòè÷í³ âëàñòèâîñò³ åâîëþö³éíèõ ìîäåëåé çà óìîâ íåêëàñè÷- íèõ ñõåì àïðîêñèìàö³¿. Çîêðåìà, ó ðîáîò³ [6] îïèñàíî ñõåìó ïîäâ³éíîãî óêðóï- íåííÿ äëÿ ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç ³ìïóëüñíèì çáóðåííÿì. Óêðóïíåííÿ ôàçîâîãî ïðîñòîðó ñòàí³â åâîëþö³éíî¿ ñèñòåìè â³äáóëîñÿ ó äâà åòà- ïè. Íà ïåðøîìó åòàï³ óêðóïíåíî êîæíó ï³äìíîæèíó ñòàí³â, äå ìàðêîâñüêèé ïðî- öåñ ïåðåáóâàº ïðîòÿãîì âåëèêîãî ³íòåðâàëó ÷àñó, çà â³äïîâ³äíîþ ñòàö³îíàðíîþ ì³ðîþ, ³, òàêèì ÷èíîì, ¿õ çâåäåíî äî ð³âíÿ îäíîãî ñòàíó. Äðóãèé åòàï — öå óñå- ðåäíåííÿ çà ñòàö³îíàðíîþ ì³ðîþ ð³äê³ñíèõ ñòðèáê³â ì³æ îòðèìàíèìè óêðóïíåíè- ìè ï³äìíîæèíàìè ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó. Àíàë³ç óêðóïíåíî¿ ñèñòåìè çíà÷íî ñïðîùóºòüñÿ, àëå âîäíî÷àñ ó ðàç³ âäàëîãî ðîçùåïëåííÿ ôàçîâîãî ïðîñòîðó îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ñïðîùåíî¿ ñèñòåìè ìîæóòü äîñèòü òî÷íî â³äîáðàæàòè â³äïîâ³äí³ õàðàêòåðèñòèêè ïî÷àòêîâî¿ ñèñòåìè. Ó ñâîþ ÷åðãó, áëèçüê³ñòü ðåàëüíî¿ ³ óêðóïíåíî¿ ñèñòåì îçíà÷àº òàêîæ áëèçüê³ñòü ãëîáàëüíèõ õàðàêòåðèñòèê, ÿê³ âèçíà÷àþòü íà çðîñòàþ÷èõ ³íòåðâàëàõ ÷àñó. Ìè äîñë³äèìî óìîâè àñèìïòîòè÷íî¿ äèñèïàòèâíîñò³ äëÿ óêðóïíåíî¿ ñèñòå- ìè â ñåíñ³, îïèñàíîìó âèùå, êîëè çáóðåííÿ ñèñòåìè âèçíà÷àþòü ³ìïóëüñíèì ïðî- öåñîì ó ñõåì³ àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Ñòîõàñòè÷íó åâîëþö³éíó ñèñòåìó â åðãîäè÷íîìó ìàðêîâñüêîìó ñåðåäîâèù³ çà- äàíî ñòîõàñòè÷íèì äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì [5] du t C u t x t dt d t� � �� ( ) ( ( ), ( / )) ( )� �3 , u t� ( ) �R, (1) 60 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 © ².Â. Ñàìîéëåíêî, À.Â. Í³ê³ò³í, Á.Â. Äîâãàé, 2020 äå ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ x t( / )�3 , t � 0 , âèçíà÷àþòü íà ñòàíäàðòíîìó ôàçîâîìó ïðîñòîð³ ( , )Å � ç ðîçùåïëåííÿì E � � Ek k N 1 � , E Ek k� � �� , k k �, ó ñõåì³ ñåð³é ç ìàëèì ïàðàìåòðîì ñåð³¿ � 0 , � � 0 . Ìàðêîâñüêå ÿäðî ìàº âèãëÿä Q x B t P x B q x t� �( , , ) ( , )[ exp{ ( ) }]� � �1 , x E� , B ��, t � 0 . Íåõàé ïðè öüîìó âèêîíóþòüñÿ òàê³ óìîâè. ÌÅ1. ßäðî, ùî îïèñóº ïåðåõ³äí³ éìîâ³ðíîñò³ âêëàäåíîãî ëàíöþãà Ìàðêî- âà x nn � , � 0 , ìàº òàêå ïðåäñòàâëåííÿ: P x B P x B P x B� �( , ) ( , ) ( , )� � 1 . Ñòîõàñòè÷íå ÿäðî P x B( , ) íà ðîçùåïëåíîìó ôàçîâîìó ïðîñòîð³ âèçíà÷àþòü òàê: P x E x x E x Ek k k k ( , ) ( ) , , , . � � � � � � 1 1 0 Ñòîõàñòè÷íå ÿäðî P x B( , ) âèçíà÷àº ñóïðîâîäæóâàëüíèé ëàíöþã Ìàðêîâà x nn , � 0, íà êëàñàõ E k Nk , 1 � � . Äî òîãî æ çáóðþâàëüíå ÿäðî P x B1 ( , ) çàäîâîëüíÿº óìîâó P x E1 0( , ) � , ùî º ïðÿìèì íàñë³äêîì ð³âíîñò³ P x E P x E� ( , ) ( , )� �1 . ÌÅ2. Àñîö³éîâàíèé ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ x t t0 0( ), � , çàäàíèé ãåíåðàòîðîì Q� � �( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )]x q x P x dy y x E � �� , º ð³âíîì³ðíî åðãîäè÷íèì íà êîæíîìó ç êëàñ³â E k Nk , 1 � � , ç³ ñòàö³îíàðíèìè ðîçïîä³ëàìè � k dx k N( ),1 � � , ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü ñï³ââ³äíîøåííÿ � �k k kdx q x q dx( ) ( ) ( )� , q dx q xk k Ek : ( ) ( )� � � , äå �( )dx — ñòàö³îíàðíèé ðîçïîä³ë âêëàäåíîãî ëàíöþãà Ìàðêîâà. ÌÅ3. Óñåðåäíåí³ éìîâ³ðíîñò³ âèõîäó ìàþòü âèãëÿä � : ( ) ( ) ( , \ )p q x dx P x E Ek k k Ek � �� 1 0 , 1 � �k N . Òàêèì ÷èíîì, çáóðþâàëüíå ÿäðî P x B1 ( , ) âèçíà÷àº ïåðåõ³äí³ éìîâ³ðíîñò³ ì³æ êëà- ñàìè E k Nk , 1 � � . Îòæå, ð³âí³ñòü P x B P x B P x B� �( , ) ( , ) ( , )� � 1 îçíà÷àº, ùî âêëàäå- íèé ëàíöþã Ìàðêîâà x nn � , � 0 , ïåðåáóâàº ïðîòÿãîì òðèâàëîãî ïðîì³æêó ÷àñó ó êîæíî- ìó êëàñ³ Ek òà ïåðåñòðèáóº ì³æ êëàñàìè ç ìàëèìè éìîâ³ðíîñòÿìè �P x E Ek1 ( , \ ) . Çà óìîâ ÌÅ1–ÌÅ3 ìàº ì³ñöå ñëàáêà çá³æí³ñòü [7]: � �( ( )) � ( )x t x t� , � 0 , �( ) � { , ..., }x k E N� � � 1 , x E k Nk� � �, 1 . Ãðàíè÷íèé ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ � ( ),x t t � 0 , íà óêðóïíåíîìó ôàçîâîìó ïðî- ñòîð³ � { , ..., }E N� 1 âèçíà÷åíî ãåíåðóâàëüíîþ ìàòðèöåþ � ( � , , )Q q k r Nkr1 1� � � , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 61 äå � � � , , � � ,q q p k r q q p k Nkr k kr k k k� � � �1 , � / �p p pkr kr k� , p dx P x E k r N k rkr k E r k � � � � � ( ) ( , ), , ,1 1 , � ( ) ( , )p dx P x Ek k k Ek � � � � 1 . ÌÅ4. Óêðóïíåíèé ìàðêîâñüêèé ïðîöåñ � ( ),x t t � 0 , º åðãîäè÷íèì ç³ ñòàö³îíàðíèì ðîçïîä³ëîì � ( , � )� �� k k E . Îòæå, îïåðàòîð Q � ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ Q Q� �� Q 1, Q x q x P x dy y E 1 1( ) ( ) ( , ) ( )� � � , Q( ) ( ) ( , )[ ( ) ( )]x q x P x dy y x E � �� . Íåõàé � — ïðîåêòîð íà íóëü-ï³äïðîñò³ð çâåäåíî-îáîðîòíîãî îïåðàòîðà Q. Éîãî ä³ÿ íà òåñò-ôóíêö³¿ âèçíà÷åíà òàê: �� ( ) � ( )x xk k k N � � � 1 1 , � : ( ) ( )� � �k k E dx dx k � � . Çâåäåíèé îïåðàòîð �Q1 âèçíà÷èìî çà äîïîìîãîþ ñï³ââ³äíîøåííÿ �Q Q1 1� � �� . Íåõàé �� — ïðîåêòîð íà íóëü-ï³äïðîñò³ð çâåäåíî-îáîðîòíîãî îïåðàòîðà �Q1: � � : ( ) � � � �� q x k k k E . Ïîòåíö³àëüíà ìàòðèöÿ � [ � , , ]R R k l N kl0 0 1� � � âèçíà÷åíà ñï³ââ³äíîøåííÿìè � � � � �Q R R Q I1 0 0 1� � �� . ²ÌÏÓËÜÑÍÈÉ ÏÐÎÖÅÑ ÇÁÓÐÅÍÜ Ó ÑÕÅÌ² ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÖ²¯ ËÅÂ² ²ìïóëüñíèé ïðîöåñ çáóðåíü � � ( ),t t � 0 , ó ñõåì³ àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³ çàäàþòü ñï³ââ³äíîøåííÿ � � �� ( ) ( , ( / ))t ds x s t � � 3 0 , (2) äå ñóêóïí³ñòü ïðîöåñ³â ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè � � ( , ), ,t x t x X� �0 , âèçíà- ÷àþòü ãåíåðàòîðè Ã� �� ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( , ),x w w w d x x X R � � � �� 2 � , (3) òà çàäîâîëüíÿº òàê³ óìîâè àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³ (äåòàëüí³øå äèâ. [7, 8]). L1. Àïðîêcèìàö³ÿ ñåðåäí³õ: � � � � �� ( , ) ( ) ( ( ) ( ))d x a x a x x R a� � � �1 2 2 , � �a x( ) , 0 0 , òà � � � ��2 2� ( , ) ( ( ) ( ))d x b x x R b� � � , � �b x( ) , 0 0 . 62 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 L2. Óìîâà íà ôóíêö³þ ðîçïîä³ëó: g d x x x R g g( ) ( , ) ( ( ) ( ))� � � �� 2 , � �g x( ) , 0 0 , äëÿ âñ³õ g C R( ) ( )� � 3 . Òóò ì³ðà �g x( ) îáìåæåíà äëÿ âñ³õ g C R( ) ( )� � 3 òà âè- çíà÷åíà ñï³ââ³äíîøåííÿì � �g R x g d x( ) ( ) ( , )� � � �0 , g C R( ) ( )� � 3 . L3. Ð³âíîì³ðíà êâàäðàòè÷íà ³íòåãðîâí³ñòü: lim ( , ) \| \| c c d x � � � �� 2 0 0� . Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ: �1 ( ) ( ) ( ) ( )x w a x w� �� . Íåõàé âèêîíàíà óìîâà áàëàíñó ��1 0� , (4) äå � ��1 1� �( ) ( ) ( )w x w� . ÀÍÀË²Ç ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÍÎ ÄÈÑÈÏÀÒÈÂÍÎ¯ ÓÊÐÓÏÍÅÍÎ¯ ÑÈÑÒÅÌÈ Ïåðåä òèì ÿê ñôîðìóëþâàòè òà äîâåñòè òåîðåìó — îñíîâíèé ðåçóëüòàò ö³º¿ ðî- áîòè, íàâåäåìî îçíà÷åííÿ äèñèïàòèâíî¿ òà àñèìïòîòè÷íî äèñèïàòèâíî¿ ñèñòåì. Îçíà÷åííÿ 1 [1]. Ñèñòåìà (1) ó ðàç³ âèêîíàííÿ ïî÷àòêîâî¿ óìîâè u t u( ) ( )0 0� íàçâàíà äèñèïàòèâíîþ, ÿêùî âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè \| ( , )\|u t îáìåæåí³ çà éìîâ³ðí³ñòþ ð³âíîì³ðíî â³äíîñíî t t� 0 òà ð³âíîì³ðíî â³äíîñíî u0 ( ) çà óìîâè P{\| ( )\| }u k0 1 � � äëÿ äåÿêîãî k � �. Îçíà÷åííÿ 2. Ñèñòåìà (1) íàçâàíà àñèìïòîòè÷íî äèñèïàòèâíîþ, ÿêùî u t� ( ) ñëàáêî çá³ãàºòüñÿ äî u t( ) , ³ ãðàíè÷íà åâîëþö³ÿ, ÿêà âèçíà÷åíà ð³âíÿííÿì (4), áóäå äèñèïàòèâíîþ ó ñåíñ³ îçíà÷åííÿ 1. Òåîðåìà 1. Íåõàé ³ñíóº ôóíêö³ÿ Ëÿïóíîâà V u C R d( ) ( )� 3 ñèñòåìè du dt u� ( ) , (5) äå ( ) �� ( ) ��u C u a� � , ùî çàäîâîëüíÿº òàê³ óìîâè: C1: \| �� ( ) ( )\| ( ),�u x R V u M V u M1 0 1 1 0L � � ; C2: \| �� ( ) �� ( ) ( )\| ( ),� �u ux R x V u M V u M1 0 1 2 2 0� � ; C3: \| �� ( ) �� ( ) ( )\| ( ),�u x R x V u M V u M1 0 3 3 0C � � ; C4: \| �� ( ) ( )\| ( ),C Lx R V u M V u M0 4 4 0� � ; C5: \| �� ( ) �� ( ) ( )\| ( ),C x R x V u M V u Mu0 1 5 5 0� � � ; C6: \| �� ( ) �� ( ) ( )\| ( ),C Cx R x V u M V u M0 6 6 0� � . Êð³ì òîãî íåõàé âèêîíàíî íåð³âíîñò³ ( ) ( ) ( )u V u c V u� � � 1 , (6) sup u R d u c x � �\|\| �� ( ) \|\| ( )� 2 , (7) \| �� ( , )\| ( )� �2 0 3� d x c x R � � , (8) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 63 äå c c1 20 0� �, , ~ ( ) ( )c dx c x X 3 3 0� �� . Òîä³ ñèñòåìà (1) áóäå àñèìïòîòè÷íî äèñ- èïàòèâíîþ. Â ïîïåðåäí³õ ñï³ââ³äíîøåííÿõ áåðóòü ó÷àñòü âåëè÷èíè L� � � �( , ) �� ( ) ( , ) �� ( , ) �� (u w C u u u Ru u w w� � � �� 1 1 0 1 � ��, ) �� ( , )w ww�2 � , �� ( ) ( ) ( ) ( , )C u x dx C u x X � � ��C � , �� ( ) � ( ) ( , ) � � � �0 0� � � �� k k E Ek dx x , �� ( ) ( , ) �� ( ) ( , )�1 1 u ux u w a x u w� �� , �� ( ) ( , ) �� ( ) ( , )�1 1 w wx u w a x u w� �� , �� ( ) ( , ) ( �� ( ) �� ( )) ( , ) ( �� ( )�2 2 0 1 2 u ux u w a x a x u w b x� �� ( )) ( , )b x u wuu0 � � � �� [ ( , ) ( , )] �� ( , )� � � � �u w u d x R �0 , �� ( )( ( ) ( )) � a dx a x a xk k Ek E k 2 2 0� �� , �� ( ) � ( ) ( ) � b x dx b xk k Ek E k � �� , �� ( ) � ( ) ( ) � a x dx a xk k Ek E k 1 1� �� , �� ( ) � ( , ) � � a x d xk k E Ek 0 0� � � �� , �� ( ) � ( , ) � � b x d xk k E Ek 0 2 0� � � �� , �� ( )( ( ) ( )) � ( � � � � � � � � �2 0 2� � � � � � � � �k k E E k k E Ek k dx b x b x dx a x R a x) ( ) ( )1 0 1 . ÄÎÂÅÄÅÍÍß ÒÅÎÐÅÌÈ 1 Ðîçãëÿíåìî íèçêó äîïîì³æíèõ ñòâåðäæåíü. Ëåìà 1. Ãåíåðàòîð òðèêîìïîíåíòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó u t� ( ) , x t( / )�2 , � � ( , )t x , t � 0 , ìàº âèãëÿä L Q� �� ( ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )x u w x u w x x u w xw� � ��1 � � �C( ) ( , , ) ( ) ( , , )x u w x x u w xu� �� , (9) äå �w x� ( ) — ãåíåðàòîð ñóêóïíîñò³ ïðîöåñ³â ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè (3), ÿêèé ä³º çà çì³ííîþ w , à �u x� ( ) — åêâ³âàëåíòíèé ïîïåðåäíüîìó ãåíåðàòîð ñó- êóïíîñò³ ïðîöåñ³â ç íåçàëåæíèìè ïðèðîñòàìè (3), ÿêèé ä³º çà çì³ííîþ u . Äîâåäåííÿ. Ãåíåðàòîð ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó íà çáóðåí³é òåñò-ôóíêö³¿ âè- çíà÷åíî ç ñï³ââ³äíîøåííÿ L� � � �� ( ) ( , , ) lim [ ( , , )x u w x E u w x t t t � � � � �� 0 1 � � � �� ( , , )\| ( ) , ( ) , ( / ) ]u w x u t u t w x t x2 . 64 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 Äîäàìî òà â³äí³ìåìî â óìîâíîìó ìàòåìàòè÷íîìó ñïîä³âàíí³ � � �( , , )u w x t t� �� . Îòðèìàºìî E u w x u w x u t u t w x t t t [ ( , , ) ( , , )\| ( ) , ( ) , (� � �� t x/ ) ]�2 � � � � � � � � � � E u w x u w x t t t t t [ ( , , ) ( , , )]� �� E u w x u w x t t [ ( , , ) ( , , )]� �� . Ðîçêëàä u t� � � ìàº âèãëÿä u u C u x w t� � � � � � � � �� ( , ) ( ) . Çäîáóòèé âèðàç ï³äñòàâèìî ó ïåðøèé äîäàíîê óìîâíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ E u w x u w x t t t t t [ ( , , ) ( , , )]� �� E u Ñ u x w o w x u w x t t t t [ ( ( , ) ( ), , ) ( , ,� �� )] � � � � � � � � E z w w x u w x t t t t [ ( , , ) ( , , )]� �� , äå z u Ñ u x� � �( , ) ( )� �� . Äîäàìî òà â³äí³ìåìî � � �( , , )z w x t t� �� ó çäîáóòîìó âèðàç³ E u w x u w x t t t t t [ ( , , ) ( , , )]� �� E z w w x z w x t t t t [ ( , , ) ( , , )]� �� E z w x u w x t t t t [ ( , , ) ( , , )]� �� . Îñê³ëüêè ãåíåðàòîð �u x� ( ) ìàº ïðåäñòàâëåííÿ � � � � u x u w x E u u w x u w x� � � �( ) ( , , ) lim ( [ ( , , ) ( , , )])� � � 0 1 , òî äëÿ ãðàíèö³ ïåðøîãî äîäàíêó îòðèìóºìî lim [ ( , , ) ( , , )] � � � � �� 0 1 E z w w x z w x t t t t u� �� ( ) ( , , )x u w x . Ðîçêëàäåìî � � �( , , )z w x t t� �� çà ôîðìóëîþ Òåéëîðà � � � �( ( , ) ( ), , )u C u x w x t t � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( , , ) ( , , )( ( , ) ( ))u w x u w x Ñ u x t t t t� � � � � � �( )� . Ï³äñòàâèìî ó âèðàç E z w x u w x t t t t [ ( , , ) ( , , )]� �� çäîáóòèé ðîçêëàä ³ îòðèìóºìî lim [ ( , , ) ( , , )] � � � � �� 0 1 E z w x u w x t t t t � �� ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 65 � � � � � � � lim [ ( ( , ) ( ), , ) ( , � � � �� 0 1 E u Ñ u x w x u w t t t � � �� , )]x t� � � � � � � � � � � lim [ ( , , ) ( , , )( ( , � � � � ��0 1 E u w x u w x C u t t t t � �� x) ( ))� �� ( ) ( , , )]� � � u w x t t � � � � � � � lim [ ( , , )( ( , ) ( )) ( )] � � �� 0 1 E u w x C u x t t � � �� C u x u w x( , ) ( , , )� . Òàê ñàìî ç³ ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ ãåíåðàòîðà �w x� ( ) òà î÷åâèäíî¿ ð³âíîñò³ äëÿ ãåíåðàòîðà ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó lim [ ( , ) ( , )] ( , ) � �� 0 11 E w x w x w x t � � � �� Q îòðèìóºìî lim [ ( , , ) ( , , )] � � �� 0 1 E u w x u w x t t � �� lim [ ( , , ) ( , , ) ( , , � � � ��0 1 E u w x u w x u w x t t t t � � �� ) ( , , )]� �u w x � � � � � � lim [ ( , , ) ( , , )] � � � ��0 1 E u w x u w x t t t � �� lim [ ( , , ) ( , , )] � ��0 1 E u w x u w x t � �� w x u w x u w x� � � �( ) ( , , ) ( , , )1Q . Çâ³äñè L� ( )x ìàº âèãëÿä (9). Ëåìà 2. Ãåíåðàòîð (9) äîïóñêàº àñèìïòîòè÷íèé ðîçêëàä L Q� � � �( ) ( , , ) ( , , )x u w x u w x� ��1 � � � �� ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) �� ( ) ( , , )� �u wx u w x u u w x x u w x1 1� � � �C ( ) ( , )x w x� , äå C( ) ( ) ( , ) ( )u u C u x u� �� , a çàëèøêîâèé ÷ëåí \|\| ( ) ( , , ) \|\| �� x u w x ïðÿìóº äî íóëÿ äëÿ � 0, �( , , ) ( )u w R� �C3 . Çð³çàíèì ãåíåðàòîðîì áóäåìî íàçèâàòè êîíñòðóêö³þ L0 � �( ) ( , , )x u w x � (10) � � � � �� 1 1Q C( , , ) �� ( ) ( , , ) �� ( ) ( , , ) ��u w x x u w x u u w xu w� �1 ( ) ( , , )x u w x� . Ëåìà 3. Ðîçâ'ÿçóâàííÿ ïðîáëåìè ñèíãóëÿðíîãî çáóðåííÿ äëÿ îïåðàòîðà L0 � ( )x íà çáóðåí³é òåñò-ôóíêö³¿ � � �� ( , , ) ( , ) ( , , )u w x u w u w x� � 1 (11) âèçíà÷åíî ð³âí³ñòþ L L0 � � �� ( ) ( , , ) ( , ) ( ) ( , )x u w x u w x u w� � , äå �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� ( ) ��x x R x R x x Ru u u u� � �� 1 0 1 0 1 1 0L C( ) �� ( ) �� ( )x x R xu w� �� 1 0 1 66 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 � � � �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� ( )C L C C C Cx R x R x x R x xu0 0 1 0 � � R xw0 1�� ( )� � (12) � � � �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� ( ) �� w w u wx R x R x x R x1 0 1 0 1 1 0L C � ( ) �� ( )� �w wx R x1 0 1 . Äîâåäåííÿ. Ï³äñòàâèìî (11) â (10) ³ îòðèìóºìî L Q0 1 1 1� �� ( ) ( , , ) [ ( , ) ( , , )] �� ( )[x u w x u w u w x xu� � �� ( , ) ( , , )]u w u w x� ��1 � � � �� ( )[ ( , ) ( , , )] �� ( )[ ( , ) ( ,C x u w u w x x u w u ww� �� 1 1 1� , )]x � � � � �� 1 1 1Q Q C( , ) [ ( , , ) �� ( ) ( , ) �� ( ) ( ,u w u w x x u w x u wu� ) �� ( ) ( , )]� ��w x u w1 � � � �� [ �� ( ) ( , , ) �� ( ) ( , , ) �� ( ) ( ,� �u wx u w x x u w x x u1 1 1 1 1C w x, )] . Äëÿ ³ñíóâàííÿ ãðàíè÷íîãî îïåðàòîðà L�( , )u w äëÿ � 0 ïîòð³áíî, ùîá çàäî- âîëüíÿëàñÿ óìîâà Q�( , )u w � 0 , òîáòî ôóíêö³ÿ ïîâèííà íàëåæàòè íóëü-ï³äïðîñòîðó îïåðàòîðà Q . Òîä³ L�( , )u w = Q C� � � �1 1 1( , , ) �� ( ) ( , ) �� ( ) ( , ) �� ( ) (u w x x u w x u w x uu w� � �� , )w , çâ³äêè Q L C� �1 1 1( , , ) [ �� ( ) �� ( ) �� ( )] ( , )u w x x x x u wu w� � � �� . Ç óìîâè ðîçâ’ÿçóâàííÿ äëÿ îñòàííüîãî ð³âíÿííÿ îòðèìóºìî � � � � � �Q L C� �1 1 10( , , ) [ �� ( ) �� ( ) �� ( )] ( ,u w x x x x u wu w� � � � � ) . Îòæå, L C� � � �( , ) �� ( ) ( , ) �� ( ) ( , ) �� ( ) (u w x u w x u w x uu w� � �� 1 1 , )w , à � �1 0 1 1( , , ) [ �� ( ) �� ( ) �� ( )] ( , )u w x R x x x u wu w� � � �L C� � . Çâ³äñè îòðèìóºìî ðîçêëàä äëÿ îñòàííüîãî äîäàíêó � � � �[ �� ( ) ( , , ) �� ( ) ( , , ) �� ( ) ( ,� �u wx u w x x u w x x u w1 1 1 1 1� �C , )]x � � � � � ��[ �� ( ) [ �� ( ) �� ( ) �� ( )] �� ( )� � �u u wx R x x x x R1 0 1 1 0L C C [ �� ( ) �� ( ) �� ( )]L C� � � �� u wx x x1 1 � � � �� ( ) [ �� ( ) �� ( ) �� ( )]] ( , )� � �w u wx R x x x u w1 0 1 1L C � . Çàâåðøèìî äîâåäåííÿ òåîðåìè 1. Îñê³ëüêè âèêîíàíî óìîâè Ñ1–Ñ6 ç òåîðå- ìè 1, ñïðàâåäëèâîþ áóäå îáìåæåí³ñòü çàëèøêîâîãî ÷ëåíà (12) \|\| ( ) ( ) \|\|�� x V u � � � �\| �� ( ) ( ) �� ( ) �� ( ) ( ) �� ( )� � � �u u u ux R V u x R x V u x R1 0 1 0 1 1L 0 1 0 1�� ( ) ( ) �� ( ) �� ( ) ( )C x V u x R x V uu w� �� ( ) ( ) �� ( ) �� ( ) ( ) �� ( ) �� ( )C L C C Cx R V u x R x V u x R xu0 0 1 0� V u x R x V uw( ) �� ( ) �� ( ) ( )� �C 0 1� � � �� ( ) ( ) �� ( ) �� ( ) ( ) �� ( )� � � �w w u wx R V u x R x V u x R1 0 1 0 1 1 0L �� ( ) ( ) �� ( ) �� ( ) ( )\|C x V u x R x V uw w� �� 1 0 1 � � � � � �M V u M x V u M V u M V u M x V u M V u1 2 3 4 5 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 67 çâ³äêè \|\| ( ) ( ) \|\| ( )�� x V u MV u� , (13) äå M M k k � � � 1 6 . Ç òâåðäæåííÿ ëåìè 2, âèðàçó (13) òà âèêîíàííÿ óìîâ ìîäåëüíî¿ òåîðåìè ç ðîáîòè [7] ìàºìî ñëàáêó çá³æí³ñòü ( ( ), ( )) ( ( ), ( )),u t t u t t� �� 0 . Íåõàé äàë³ d V u du ( ) ( )1 — ïîõ³äíà ôóíêö³¿ Ëÿïóíîâà, îá÷èñëåíà âçäîâæ òðàºêòîð³¿ ñèñòåìè (5). Îñê³ëüêè ôóíêö³ÿ Ëÿïóíîâà ïîâèííà çàäîâîëüíÿòè óìîâ³ Ë³ïøèöÿ \| ( ) ( )\| \| \|V u V u K u u2 1 2 1� � � , äå K º ñòàëîþ âåëè÷èíîþ, òî d V u du dV u du K u dw t d R ( ) ( ) ( ) [\|\| �� ( )\|\| \| ( )\| �� ( ) 1 2 0� � �� \| \| ]dt . Òóò dV u du ( ) — ïîõ³äíà ôóíêö³¿ Ëÿïóíîâà, îá÷èñëåíà âçäîâæ òðàºêòîð³¿ äå- òåðì³íîâàíî¿ ñèñòåìè (5), �� ( ) � ( ) ( , ) � � � �0 0� � � �� k k E Ek dx x . Çã³äíî óìîâ (6)–(8) òåîðåìè 1 îòðèìóºìî d V u du c V u K c dw t C dt ( ) ( ) ( ) [ \| ( )\| \| \| ] 1 1 2� � � � . Îòæå, íà ï³äñòàâ³ ëåìè 1.7 ç [9] ìàºìî V u V u c t Kc c t s d w s ds K t ( ) ( )exp{ } exp{ ( )} \| ( )\|� � � � � ��0 1 2 1 0 � c dt3 \| \| . Çâ³äñè òà íà ï³äñòàâ³ ëåìè 1.9 ç [9] âèïëèâàº P u t R V u V u R u R d {\| ( )\| } ( ) ( ) ,� � � � inf . Îòæå, ñèñòåìà (1) º äèñèïàòèâíîþ; á³ëüø òîãî, ç âèêîíàííÿ óìîâ ìîäåëüíî¿ ãðàíè÷íî¿ òåîðåìè ç ðîáîòè [7] òà äèñèïàòèâíîñò³ ãðàíè÷íî¿ åâîëþö³¿ âèïëè- âàº, ùî ñèñòåìà (1) º àñèìïòîòè÷íî äèñèïàòèâíîþ. ÂÈÑÍÎÂÊÈ Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè äàþòü çìîãó âèçíà÷àòè àñèìïòîòè÷í³ õàðàêòåðèñòèêè óêðóïíåíèõ åâîëþö³éíèõ ñèñòåì, ÿê³ àíàë³çóâàòè ³ñòîòíî ïðîñò³øå, í³æ ïî÷àò- êîâ³ ñèñòåìè ó âèãëÿä³ ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç ³ìïóëüñíèì çáóðåííÿì ç óìîâ àïðîêñèìàö³¿ Ëåâ³ òà ìàðêîâñüêèìè ïåðåìèêàííÿìè. 68 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Õàñüìèíñêèé Ð.Ç. Î äèññèïàòèâíîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, îïðåäåëÿåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. 1965. T. 1. Âûï 1. Ñ. 88–104. 2. Nikitin A.V. Asymptotic dissipativity of stochastic processes with impulsive perturbation in the Le�vy approximation scheme. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. Vol. 50, N 4. P. 54–63. 3. Ñåìåíþê Ñ.À., ×àáàíþê ß.Ì. Còîõàñòè÷íi åâîëþöiéíi ñèñòåìè ç iìïóëüñíèìè çáóðåííÿìè. Âiñíèê Íàöiîíàëüíîãî óíiâåðñèòåòó «Ëüâiâñüêà ïîëiòåõíiêà. Ôiçèêî-ìàòåìàòè÷íi íàóêè». 2009. Âèï. 660. C. 56–60. 4. Samoilenko I.V., Chabanyuk Y.M., Nikitin A.V., Chimka U.T. Differential equations with small stochastic additions under Poisson approximation conditions. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 93–99. 5. Samoilenko I.V., Nikitin A.V. Differential equations with small stochastic terms under the Le�vy approximating conditions. Ukrainian Mathematical Journal. 2018. Vol. 69, N 9. P. 1445–1454. 6. Samoilenko I.V., Nikitin A.V. Double merging of the phase space for stochastic differential equations with small additions in Poisson approximation conditions. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 2. P. 265–273. 7. Koroliuk V.S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. World Scientific. Singapore, 2005. 330 p. 8. Koroliuk V.S., Limnios N., Samoilenko I.V. Le�vy and Poisson approximations of switched stochastic systems by a semimartingale approach. Comptes Rendus Mathe�matique. 2016. Vol. 354. P. 723–728. 9. Õàñüìèíñêèé Ð.Ç. Óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1969. 368 ñ. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.03.2019 È.Â. Ñàìîéëåíêî, À.Â. Íèêèòèí, Á.Â. Äîâãàé ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÄÈÑÑÈÏÀÒÈÂÍÎÑÒÜ ÄËß ÓÊÐÓÏÍÅÍÍÛÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÏÅÐÅÊËÞ×ÅÍÈßÌÈ È ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌÈ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌÈ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ËÅÂÈ Àííîòàöèÿ. Äëÿ óêðóïíåííîé ñèñòåìû ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè è èìïóëüñíûì âîçìóùåíèåì â ñõåìå àïïðîêñèìàöèè Ëåâè ïîëó÷åíû óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé äèññèïà- òèâíîñòè. Â ÷àñòíîñòè, èçó÷åí âîïðîñ î òîì, êàê ïîâåäåíèå ïðåäåëüíîãî ïðî- öåññà çàâèñèò îò äîïðåäåëüíîé íîðìèðîâêè ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèîííîé ñèñòåìû â ýðãîäè÷åñêîé ìàðêîâñêîé ñðåäå â óñëîâèÿõ àïïðîêñèìàöèè Ëåâè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñëó÷àéíàÿ ýâîëþöèÿ, àïïðîêñèìàöèÿ Ëåâè, àñèìïòîòè- ÷åñêàÿ äèññèïàòèâíîñòü. ².V. Sàmîilånkî, À.V. N³k³t³n, B.V. Dîvhài ASYMPTOTIC DISSIPATIVITY FOR MERGED STOCHASTIC EVOLUTIONARY SYSTEMS WITH MARKOV SWITCHINGS AND IMPULSE PERTURBATIONS UNDER CONDITIONS OF LEVY APROXIMATIONS Abstract. Conditions for asymptotic dissipativity are established for the merged system of stochastic differential equations with Markov switchings and impulse perturbations under conditions of Levi approximation. In particular, it is analyzed how the behavior of the boundary process depends on the pre-limiting normalization of a stochastic evolution system in the ergodic Markovian environment under the conditions of Levi approximation. Keywords: random evolution, Levi approximation, asymptotic dissipativity. Ñàìîéëåíêî ²ãîð Âàëåð³éîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: isamoil@i.ua. Í³ê³ò³í Àíàòîë³é Âîëîäèìèðîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, ñòàðøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: nikitin2505@gmail.com. Äîâãàé Áîãäàí Âàëåð³éîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: bogdov@gmail.com. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 69

Асимптотична дисипативність для укрупнених стохастичних еволюційних систем з марковськими перемиканнями та імпульсними збуреннями в умовах апроксимації Леві

Institution

Ähnliche Einträge