Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння

Розглянуто крайову задачу для абстрактного диференціального рівняння 2-го порядку з операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. За допомогою перетворення Келі операторного коефіцієнта A та поліномів типу Майкснера від аргументу x розв'язок задачі зображено у вигляді ряду. За наближений р...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автор:	Майко, Н.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190389
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 171–183. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190389
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1903892023-06-04T21:29:24Z Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння Майко, Н.В. Системний аналіз Розглянуто крайову задачу для абстрактного диференціального рівняння 2-го порядку з операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. За допомогою перетворення Келі операторного коефіцієнта A та поліномів типу Майкснера від аргументу x розв'язок задачі зображено у вигляді ряду. За наближений розв'язок узято скінченну суму N доданків цього ряду. Доведено вагові оцінки точності цієї апроксимації залежно не тільки від параметра дискретизації N, але й від відстані аргументу x до межових точок проміжку. Запропонований алгоритм має суперекспоненціальну швидкість збіжності. A boundary-value problem (BVP) for an abstract differential equation with an operator coefficient in the Hilbert space is investigated. The exact solution is presented as an infinite series by means of the Cayley transform of the operator coefficient A and the Meixner type polynomials in the independent variable x. The approximate solution is given by the truncated sum of that series with N summands. The error estimates (with the weight function) depending not only on the discretization parameter N but also on the distance of the point x to the boundary of the interval are proven. They demonstrate that our algorithm has the super-exponential rate of convergence. 2020 Article Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 171–183. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190389 519.6 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Майко, Н.В. Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння Кибернетика и системный анализ
description	Розглянуто крайову задачу для абстрактного диференціального рівняння 2-го порядку з операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. За допомогою перетворення Келі операторного коефіцієнта A та поліномів типу Майкснера від аргументу x розв'язок задачі зображено у вигляді ряду. За наближений розв'язок узято скінченну суму N доданків цього ряду. Доведено вагові оцінки точності цієї апроксимації залежно не тільки від параметра дискретизації N, але й від відстані аргументу x до межових точок проміжку. Запропонований алгоритм має суперекспоненціальну швидкість збіжності.
format	Article
author	Майко, Н.В.
author_facet	Майко, Н.В.
author_sort	Майко, Н.В.
title	Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння
title_short	Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння
title_full	Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння
title_fullStr	Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння
title_full_unstemmed	Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння
title_sort	суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення келі для абстрактного диференціального рівняння
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190389
citation_txt	Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 171–183. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT majkonv supereksponencíalʹnašvidkístʹzbížnostímetoduperetvorennâkelídlâabstraktnogodiferencíalʹnogorívnânnâ
first_indexed	2025-07-16T13:13:31Z
last_indexed	2025-07-16T13:13:31Z
_version_	1837809388080857088
fulltext	ÓÄÊ 519.6 Í.Â. ÌÀÉÊÎ ÑÓÏÅÐÅÊÑÏÎÍÅÍÖ²ÀËÜÍÀ ØÂÈÄÊ²ÑÒÜ ÇÁ²ÆÍÎÑÒ² ÌÅÒÎÄÓ ÏÅÐÅÒÂÎÐÅÍÍß ÊÅË² ÄËß ÀÁÑÒÐÀÊÒÍÎÃÎ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÎÃÎ Ð²ÂÍßÍÍß Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî êðàéîâó çàäà÷ó äëÿ àáñòðàêòíîãî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ 2-ãî ïîðÿäêó ç îïåðàòîðíèì êîåô³ö³ºíòîì ó ã³ëüáåðòîâîìó ïðî- ñòîð³. Çà äîïîìîãîþ ïåðåòâîðåííÿ Êåë³ îïåðàòîðíîãî êîåô³ö³ºíòà A òà ïîë³íîì³â òèïó Ìàéêñíåðà â³ä àðãóìåíòó x ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ çîáðàæåíî ó âèãëÿä³ ðÿäó. Çà íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê óçÿòî ñê³í÷åííó ñóìó N äîäàíê³â öüîãî ðÿäó. Äîâåäåíî âàãîâ³ îö³íêè òî÷íîñò³ ö³º¿ àïðîêñèìàö³¿ çàëåæíî íå ò³ëüêè â³ä ïàðàìåòðà äèñêðåòèçàö³¿ N , àëå é â³ä â³äñòàí³ àðãóìåíòó x äî ìåæîâèõ òî÷îê ïðîì³æêó. Çàïðîïîíîâàíèé àëãîðèòì ìàº ñóïåðåêñïî- íåíö³àëüíó øâèäê³ñòü çá³æíîñò³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êðàéîâà çàäà÷à, ã³ëüáåðò³â ïðîñò³ð, îïåðàòîðíèé êîåô³ö³ºíò, ïåðåòâîðåííÿ Êåë³, îö³íêè ç âàãîþ, ñóïåðåêñïîíåíö³àëüíà øâèäê³ñòü çá³æíîñò³. ÂÑÒÓÏ Ó ë³òåðàòóð³ ç òåîð³¿ òà çàñòîñóâàíü íàáëèæåíèõ ìåòîä³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ êðàéîâèõ ³ ïî÷àòêîâî-êðàéîâèõ çàäà÷ º ïîð³âíÿíî íåáàãàòî ïóáë³êàö³é (äèâ., íàïðèêëàä, [1–3]) ùîäî âèâ÷åííÿ êðàéîâîãî åôåêòó — âïëèâó êðàéîâî¿ óìîâè Ä³ð³õëå íà òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó. Âîäíî÷àñ çðîçóì³ëî, ùî ïîõèáêà ìåòîäó çàëåæèòü íå ëèøå â³ä ïàðàìåòðà äèñêðåòèçàö³¿ (íàïðèêëàä, êðîêó ñ³òêè), àëå é â³ä â³äñòàí³ äî ìåæ³ îáëàñò³. Óðàõóâàííÿ öüîãî âïëèâó ìàº íå ò³ëüêè âàæëèâå òåîðåòè÷íå, à é ïðàêòè÷íå çíà÷åííÿ, îñê³ëüêè íàäàº çìîãó áðà- òè ïîáëèçó ìåæ³ îáëàñò³ á³ëüøèé êðîê ñ³òêè. Ê³ëüê³ñíîþ õàðàêòåðèñòèêîþ êðàéîâîãî åôåêòó º îö³íêè ïîõèáêè ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ, ïîâ’ÿçàíîþ ç â³äñòàííþ òî÷êè äî ìåæ³, â ïåâíèõ ñ³òêîâèõ íîðìàõ. ²äåÿ ³ òåõí³êà äîâåäåííÿ òàêèõ îö³íîê, óïåðøå çàïðîïîíîâàí³ â [2], çãîäîì çàñòîñîâàí³ äëÿ âèâ÷åííÿ áàãàòüîõ êëàñ³â çàäà÷: ñòàö³îíàðíèõ, íåñòàö³îíàðíèõ, ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ òîùî [4–10]. Àíàë³ç êðàéîâîãî åôåêòó ñòàíîâèòü çíà÷íèé ³íòåðåñ ³ äëÿ íîâèõ êëàñ³â çàäà÷, ïîÿâà ÿêèõ çóìîâëåíà áóðõëèâèì ðîçâèòêîì äðîáîâîãî ³íòåãðî-äèôåðåíö³þâàííÿ (äèâ. ïóáë³êàö³¿ [11, 12] òà íàâåäåí³ â íèõ äæåðåëà). Öÿ ñòàòòÿ º ïðîäîâæåííÿì ðîçïî÷àòîãî â [13] äîñë³äæåííÿ âïëèâó êðàéîâî¿ óìîâè íà òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó ó âèïàäêó àáñòðàêòíîãî äèôåðåíö³àëü- íîãî ð³âíÿííÿ ç³ ñòàëèì îïåðàòîðíèì êîåô³ö³ºíòîì ó ã³ëüáåðòîâîìó ïðîñòîð³. Çîáðàæåííÿ òî÷íîãî ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî ðÿäó çà äîïîìîãîþ ïåðåòâîðåííÿ Êåë³ òà ïîë³íîì³â òèïó Ìàéêñíåðà íàäàº çìîãó îòðèìà- òè íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê ó âèãëÿä³ ñê³í÷åííî¿ ñóìè N (ïàðàìåòð äèñêðåòèçàö³¿) äîäàíê³â òà âèâ÷èòè éîãî òî÷í³ñòü çàëåæíî â³ä N òà â³äñòàí³ àðãóìåíòó x äî ìå- æîâèõ òî÷îê. Çàïðîïîíîâàíèé ó [13] ìåòîä ìàº ñòåïåíåâèé (â³äíîñíî N ) ïîðÿäîê çá³æíîñò³ âèãëÿäó O N( )�� , � � 0 , à îòæå, º ìåòîäîì áåç íàñè÷åííÿ òî÷íîñò³. Ó ã³ëüáåðòîâîìó ïðîñòîð³ H ç³ ñêàëÿðíèì äîáóòêîì ( , )u � ³ íîðìîþ \|\| \|\| ( , )u u u� ðîçãëÿíåìî êðàéîâó çàäà÷ó d u x dx Au x f x x u u 2 2 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ), ( , ), ( ) , ( ) , � � � � � � (1) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 171 © Í.Â. Ìàéêî, 2020 äå A — ñàìîñïðÿæåíèé äîäàòíî âèçíà÷åíèé îïåðàòîð ç³ ù³ëüíîþ â H îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ D A( ) ³ ñïåêòðîì �( ) [ , )A � � � 0 , � 0 0� . Ïðèêëàäîì çàäà÷³ (1) º ïåðøà êðàéîâà çàäà÷à äëÿ ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà � � � � � � � � 2 2 2 2 20 1 0 u x u y f x y x y u x y x ( , ), ( , ) ( , ) , ( , ) , � � � , (2) äå f x y( , ) — çàäàíà ôóíêö³ÿ. Ñïðàâä³, ïîêëàäàþ÷è H L u y y u y u y dy� � � � � �2 2 0 1 0 1 0 1( , ) ( ), ( , ): ( ) — ³ ( )âèì³ðíà � �� , ( , ) ( ) ( ) , ( , )u u y y dy u L� � �� 0 1 2 0 1 , Au d u dy � � 2 2 , D A H H( ) ( , ) ( , )� � � 1 20 1 0 1 , îòðèìàºìî çàäà÷ó (2) â àáñòðàêòí³é ïîñòàíîâö³ (1). Ìåòà ö³º¿ ñòàòò³ — äîñë³äèòè íàáëèæåííÿ òî÷íîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (1) ñê³í÷åííîþ ñóìîþ N äîäàíê³â òà îòðèìàòè âàãîâ³ àïð³îðí³ îö³íêè, ÿê³ âðàõîâó- þòü âïëèâ êðàéîâî¿ óìîâè ³ ìàþòü ïîðÿäîê O N e N( ) � �1 2 . Òàêó øâèäê³ñòü çá³æíîñò³ çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó ïðèðîäíî íàçâàòè ñóïåðåêñïîíåíö³àëüíîþ. ÄÎÏÎÌ²ÆÍ² ÒÂÅÐÄÆÅÍÍß Ðîçãëÿíåìî äâ³ äîïîì³æí³ êðàéîâ³ çàäà÷³ �� u x au x f x x u u ( ) ( ) ( ), ( , ), ( ) , ( ) , 0 1 0 0 1 0 (3) ³ �� w x aw x x w w w ( ) ( ) , ( , ), ( ) , ( ) , 0 0 1 0 0 1 1 (4) äå a � �const 0 . Ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (3) ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ u x G x f d x( ) ( , ) ( ) , [ , ]� �� 0 1 0 1 , çà äîïîìîãîþ ôóíêö³¿ Ãð³íà G x a a ax a x a a x ( , ) ( ) ( ) ( ( )), , ( ) ( ( � � � � � � � � �sh sh sh sh sh 1 1 1 )), ,� � � � � x äèôåðåíö³àëüíîãî îïåðàòîðà Lu x u x au x( ) ( ) ( )� � �� , x �( , )0 1 , u( )0 0� , u( )1 0� , ( )a � 0 . Äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ (4) ñïî÷àòêó äîñë³äèìî êðàéîâó çàäà÷ó �� ( ) ( ) , ( , ), ( ) , ( ) , x z z x x 2 2 1 1 0 0 1 0 0 1 (5) 172 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 ç ïàðàìåòðîì z �( , )0 1 . ¯¿ ðîçâ’ÿçîê �( )x øóêàºìî ó âèãëÿä³ ðÿäó � � �( ) ( )x x zk k k � � � 2 1 0 . (6) Ï³äñòàâëÿþ÷è öåé ðÿä ó (5) ³ âðàõîâóþ÷è ðîçêëàä z z z k k 2 2 2 2 01� � � � � , äëÿ êîåô³ö³ºíò³â � k x( ) îäåðæèìî ðåêóðåíòíó ïîñë³äîâí³ñòü çàäà÷ �� k p p k k kx x x k( ) ( ), ( , ), ( ) , ( ) , , 0 1 0 1 0 0 1 0 1 2, , ( ) . � � 0 x x� Çâ³äñè çíàéäåìî ( ( ) ( )) ( ), ( , ), ( ) , ( ) ,� � � � �k k k k kx x x x� �� 1 1 0 1 0 0 1 0 k x x � � 1 2 0 , , , ( ) , � � (7) à îòæå, � � � � � �k k kx x G x d x k( ) ( ) ( , ) ( ) , [ , ], , , ,� � � �� 1 0 1 0 1 0 1 2 3 � � �0 1 21 3 1( ) , ( ) ! ( ) ,x x x x x� � � � (8) äå G x x x x x 0 1 1 ( , ) ( ), , ( ), , � � � � � � � � � � � � � — ôóíêö³ÿ Ãð³íà äèôåðåíö³àëüíîãî îïåðàòîðà L x x x� �( ) ( ), ( , )� � �� 0 1 , � �( ) , ( )0 0 1 0� � . Êîðèñòóþ÷èñü ôîðìóëîþ (8), çíàéäåìî, íàïðèêëàä, ïîë³íîìè � 2 2 21 5 1 53 3 ( ) ! ( )x x x x� � � �� , � 3 2 4 21 7 1 78 1963 3 ( ) ! ( )x x x x x� � � � �� . Äàë³ ðîçãëÿíåìî çîáðàæåííÿ ôóíêö³é � k x( ) , k �1 2, ,� , òðèãîíîìåòðè÷íèìè ðÿäàìè Ôóð’º. Âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä ìàòåìàòè÷íî¿ ³íäóêö³¿, ìîæíà äîâåñòè òàêå òâåðäæåííÿ. Ëåìà 1 [13, 14]. Ôóíêö³¿ � k x( ) , k �1 2, ,� , ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ � �k p p kx a p x x( ) sin( ), [ , ]( )� � � � 2 0 1 1 , (9) äå a x p x dx p p p k k p ( ) ( )sin( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � �2 2 1 1 1 0 1 3 2 � � � � � �k 1 , ³ äëÿ íèõ ñïðàâäæóºòüñÿ íåð³âí³ñòü � k x x x x ( ) min ( , ) , [ , ] 1 1 3 0 1 � � � . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 173 Ç³ñòàâëÿþ÷è çàäà÷³ (4) ³ (5) òà áåðó÷è äî óâàãè (6), áà÷èìî, ùî ðîçâ’ÿçîê w x( ) çàäà÷³ (4) ìîæíà çàïèñàòè òàê: w x a x a w x yk k k ( ) ( ) ( ) ( )� �� sh sh1 1 0 � , (10) äå y a ay a a wk k k� � � �� ( ) [( ) ]1 11 1 1 1. Íàâåäåìî ùå îäèí äîïîì³æíèé ðåçóëüòàò, ÿêèé áóäå âèêîðèñòàíî ï³çí³øå. Ëåìà 2 [13]. Âèêîíóþòüñÿ òàê³ òðè íåð³âíîñò³: \|sin( ) \| min ( , ) ( , ), , , 2 1 2 0 1 1 2 k x x x k x k � � � � � � � � , \| ( ( )) ( ) \| min( , ) ( , ) sh sh sh sh � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 2 0 1 x x x x x � � [ , )� 0 , \|cos ( ) ( ( )) ( ) \| min( , )[( ) 2 1 1 2 2 k x x x x x k � � � � � sh sh sh� � � � � � � � �] ( ) sh � C k 0 2 (11) � � � � � �x k( , ) [ , ), , ,0 1 1 20� � � , äå C ( ) ( / ) � � � 0 0 0 1 2 1 4 2 � � � cth sh . ÊÐÀÉÎÂÀ ÇÀÄÀ×À ÒÀ ÂÀÃÎÂÀ ÎÖ²ÍÊÀ ÒÎ×ÍÎÃÎ ÐÎÇÂ’ßÇÊÓ Ìåòîþ öüîãî ðîçä³ëó º çîáðàæåííÿ u x( ) çàäà÷³ (1) ó âèãëÿä³ ðÿäó ç³ ñòåïåíÿìè äðîáîâîãî ïåðåòâîðåííÿ îïåðàòîðà A òà êîåô³ö³ºíòàìè, çàëåæíèìè ò³ëüêè â³ä x . Ðàçîì ³ç çàäà÷åþ (1) ðîçãëÿíåìî òàêîæ êðàéîâó çàäà÷ó d w x dx Aw x w w w 2 2 10 0 0 1 ( ) ( ) , ( ) , ( )� � � � . (12) ¯¿ ðîçâ’ÿçîê w x( ) çàïèøåìî àíàëîã³÷íî (10) ó âèãëÿä³ ðÿäó w x A x A w x yk k k ( ) ( ) ( ) ( )� �� sh sh1 1 0 � , (13) äå y I A Ay I A A wk k k� � � �� ( ) [( ) ]1 1 1 1, à ôóíêö³¿ � k x( ) âèçíà÷àþòüñÿ ç ðå- êóðåíòíî¿ ïîñë³äîâíîñò³ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü (8). Ôóíêö³þ f x( ) ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ (1) ïîäàìî çà äîïîìîãîþ ðÿäó Ôóð’º: f x k x f f k x fs k k c k k ( ) sin ( ) cos ( ), ,� � � � � � �2 2 2 2 1 0 1 � � , (14) äå f f x k x dx f f x k x dxs k c k, ,( ) sin ( ) , ( ) cos ( )� �� 2 2 2 2 0 1 0 1 � � , k f f x dx� � �1 2 0 0 1 , , ..., ( ) . Âèêîðèñòîâóþ÷è îïåðàòîðíó ôóíêö³þ Ãð³íà G x A A A Ax A x A a ( , ; ) ( ) ( ) ( ( )), , ( ) ( ( � � � � � � ��sh sh sh sh sh 1 1 1� � � � � x x)), ,� 174 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 òà âèêîíóþ÷è íåñêëàäí³ ïåðåòâîðåííÿ, ðîçâ’ÿçîê u x( ) çàïèøåìî òàê: u x G x A f d( ) ( , ; ) ( )� �� 0 1 � � �� ( ) ( ( )) ( ) ( )A A A x A f d x sh sh sh1 0 1 � � � � � �� ( ) ( ) ( ( )) ( )A A Ax A f d x sh sh sh1 1 1 � � � � � �� 2 2 2 2 1 1 sin ( )[( ) ] ,k x k I A f s k k � � (15) � � � � ��( ) ( ( )) ( )A A A A x Ax fsh {sh sh sh }1 01 � � � � �� 2 2 2 12 1 1[( ) ] {cos( ) ( ( )) (k I A A k x A A x Ax� �sh sh sh sh )} ,f c k k� � 1 . Òåîðåìà 1. Íåõàé ïðàâà ÷àñòèíà f x( ) ð³âíÿííÿ (1) çîáðàæåíà ðÿäîì Ôóð’º (14), ÿêèé çàäîâîëüíÿº óìîâè \|\| \|\| \|\| \|\|,f e fs k s k k ! � � � � � � � � 2 1 1 2 , \|\| \|\| \|\| \|\|,f e fc k c k k ! � � � � � � � � 2 1 1 2 , \|\| \|\|e fA 0 . Òîä³ äëÿ ðîçâ’ÿçêó u x( ) çàäà÷³ (1) ñïðàâäæóºòüñÿ âàãîâà îö³íêà u x x x C f e f f xs A c ( ) min ( , ) ( \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| ) ( , ) 1 0 10 � � � � � � , äå C C e e � � � � � � � max ( ) , � � 0 2 3 1 2 0 , à ñòàëó C ( )� 0 âèçíà÷åíî â (11). Äîâåäåííÿ. Ïîçíà÷èìî E ( )� ñïåêòðàëüíó ñ³ì’þ, ÿêà â³äïîâ³äàº îïåðàòîðó A. Âèêîðèñòîâóþ÷è ñïåêòðàëüíå çîáðàæåííÿ ôóíêö³¿ â³ä îïåðàòîðà A òà çàñòîñîâó- þ÷è ëåìó 2, ìàºìî u x x x k x x x k I A f s ( ) min ( , ) sin ( ) min ( , ) [( ) ] 1 2 2 1 2 2 1 � � � � �� , k k� � � 1 � � � � � ��( ) ( ( )) ( ) min ( , ) A A A A x Ax x x fsh sh sh sh1 0 1 1 � � � � �� 2 2 2 12 1 1[( ) ] cos ( ) ( ( )) ( ) k I A A k x A A x Ax � � sh sh sh sh min ( , ) , x x f c k k 11 � � � � � � � � � �� 2 2 1 2 2 1 0 sin( ) min ( , )[( ) ] ( ) , k x x x k dE f s k k � � � � � � � � � � � � � � sh sh sh sh � � � � � � � � ( ( )) ( ) min ( , ) ( ) 1 1 1 0 x x x x dE A � f 0 � ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 175 � � � � �� k k x x x x x1 2 2 1 1 2 cos ( ) ( ( )) ( ) min ( , )[( � � � �sh sh sh k dE f c k � � � � � ) ] ( ) ,2 0 � � � � sh � � � " sup 0 1 2 0 2 2 1 2x s k x x x k f � � � � � \| sin ( )\| min ( , )[( ) ] \|\| , k k \|\| � � � 1 � � � � � " �sup sh sh sh 0 1 0 1 1x e x x x x � � � � � � � \| ( ( )) ( )\| min ( , ) sh � \|\| \|\|e fA 0 � � � � � " sup sh sh sh 0 1 0 2 2 1 x k x x x � � � � � �\|cos( ) ( ( )) ( )\| min (x x k f c k k , )[( ) ] \|\| \|\|, 1 2 2 1 � � � � � � � �sh � � � � � 2 2 1 2 2 21 0 0 0k f e e f C k fs k k A c k � � �� \|\| \|\| \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, , k� � � 1 � � � � � � � 2 2 1 2 2 21 0 0 0� � �� e k e f e e f C e k k k s k k A k \|\| \|\| \|\| \|\| ( ) , \|\| \|\|,e fk c k k� � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 �e k e f k k s k k \|\| \|\|, 1 2 0 0 e e fA � \|\| \|\| � � � � � � � � � � � � � �� 2 2 10 2 1 2 1 1 2 C e k e f k k c k k ( ) \|\| \|\|, � � � 1 2 � � � 1 2 3 1 2 2 30 0 0 e f e e f C e fs A c\|\| \|\| \|\| \|\| ( ) \|\| \|\| � � . Òåîðåìó äîâåäåíî. � ÍÀÁËÈÆÅÍÈÉ ÐÎÇÂ’ßÇÎÊ ÒÀ ÂÀÃÎÂ² ÎÖ²ÍÊÈ ÏÎÕÈÁÊÈ Çà íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1) â³çüìåìî ÷àñòèííó ñóìó ðÿäó (15) u x k x k I A fN s k k N ( ) sin( )[( ) ] ,� � �� 2 2 2 2 1 1 � � � � � � ��( ) ( ( )) ( )A A A A x Ax fsh {sh sh sh }1 01 � � �� 2 2 22 1 1 1 [( ) ] {cos ( )k I A A k x A k N � �sh sh � � �sh sh( ( )) ( )} ,A x Ax f c k1 . (16) Òåîðåìà 2. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè òåîðåìè 1. Òîä³ òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó (16) õàðàêòåðèçóºòüñÿ âàãîâîþ îö³íêîþ u x u x x x C e N f f xN N s c ( ) ( ) min ( , ) ( ) ( \|\| \|\| \|\| \|\| ) � � � � � � � 1 2 0� � ( , )0 1 , (17) äå ñòàëó C ( )� 0 âèçíà÷åíî â (11). 176 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 Äîâåäåííÿ. ßê ³ â äîâåäåíí³ òåîðåìè 1, ìàºìî u x u x x x N( ) ( ) min ( , ) � � � 1 � � � � � � � � � 2 2 2 21 0 1k f C k fs k k N c k k N� � � \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, , � � � � � � � � 2 2 2 21 0 � � � e k e f C e k e f k k s k k N k k c k k \|\| \|\| ( ) \|\| \|\|, , N � � � 1 � � � � � � � � � � � �� 2 2 1 2 1 2 1 1 2 � e k e fN k N k s k k N \|\| \|\|, � � 1 2 � � � � � � � � � � � � � � 2 2 10 2 1 2 1 1 2 C e k e fN k N k c k k N ( ) \|\| \|\|, � � � � � � � � � 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 1 1 2 1 � e dx x e fN N k s k k \|\| \|\|, 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 0 2 2 1 1 2 C e dx x e fN N k c k k ( ) \|\| \|\|, � � � � � 1 2 � � � �1 2 2 0 � � � e N f C e N f N s N c\|\| \|\| ( ) \|\| \|\| , çâ³äêè âèïëèâàº îö³íêà (17). Òåîðåìó äîâåäåíî. � Ðîçãëÿíåìî ùå îäèí ñïîñ³á íàáëèæåííÿ òî÷íîãî ðîçâ’ÿçêó òà äîñë³äèìî éîãî ïîõèáêó. Âèêîðèñòîâóþ÷è çîáðàæåííÿ (13), çàïèøåìî (16) ó âèãëÿä³ u x k x k I A fN s k k N ( ) sin( )[( ) ] ,� � �� 2 2 2 2 1 1 � � � � � � � � � � �� A I x x I A A fj j j j 1 1 0 01[ ( ) ( )][( ) ]� � � � � � � �� 2 2 2 12 1 1[( ) ] cos( ) [ ( ) ( )][( )k I A k x I x x I A Aj j� � � � ] , j j c k k N f � � �� 01 . Òîä³ ðîçâ’ÿçîê u x( ) çàäà÷³ (1) àïðîêñèìóºìî ñê³í÷åííîþ ñóìîþ u x k x k I A fN M s k k N , ,( ) sin( )[( ) ]� � �� 2 2 2 2 1 1 � � � � � � � � � � �� A I x x I A A fj j j j M 1 1 0 01[ ( ) ( )][( ) ]� � (18) � � � � � � ��2 2 2 1 12 1[( ) ] (cos ( ) ) [ ( ) ( )][(k I A k x I x x I Aj j� � � � ) ] , . � �� 1 11 A fj j M c k k N ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 177 Äàë³ íàì çíàäîáèòüñÿ òàêå äîïîì³æíå òâåðäæåííÿ. Ëåìà 3. Ñïðàâäæóþòüñÿ íåð³âíîñò³ max � � �� " � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 1 1 1 1 e e j j j j j , j " �( )� 0 21 , (19) sup � � � � �" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 2 1 4 1 1 4 1 2e e j j j j , j " �( )� �0 01 . (20) Äîâåäåííÿ. Äîâåäåìî âëàñòèâ³ñòü (19). Îñê³ëüêè d d e e j j j j� � � � � � �� # $ % % & ' ( ( � � � �1 2 11 1( ) ( ( 1 2) ) , òî ïðè j � "1 0� îòðèìàºìî max � � � � � � � � � � �" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 1 1 1 1 e e e j j j � � � � � � � � � j j j j1 1 1 . Ùîá äîâåñòè âëàñòèâ³ñòü (20), çíàéäåìî ïîõ³äíó d d e e j j j j� � � � � � �� # $ % % & ' ( ( � � � � � 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ; òîä³ ïðè 4 1 1 2 0 j� � " � ìàºìî sup � � � � � � � � �" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 4 1 1 2 1 4 e e e j j j j j j � � � � � � � � � � 1 2 1 2 1 4 1 . Ëåìó äîâåäåíî. � Îäåðæèìî òåïåð òàêèé îñíîâíèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà 3. Íåõàé íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê (18) çàäîâîëüíÿº óìîâè M N� , M � " �1 10 2( )� , \|\| \|\| \|\| \|\|,f e fs k s k k ! � � � � � � � � 2 1 1 2 , \|\| \|\|e fA 0 , \|\| \|\| \|\| \|\|,f e fc k c k k ! � � � � � � � � 2 1 1 2 , \|\| \|\| \|\| \|\|,f e fc A A c k k ! � � � � � � � � 2 1 1 2 . Òîä³ éîãî òî÷í³ñòü õàðàêòåðèçóºòüñÿ âàãîâîþ îö³íêîþ u x u x x x C e N f e f f N M N s A c ( ) ( ) min ( , ) ( \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \| ,� � � � � � 1 0 \| \|\| \|\| ) ( , )� � �f xc A 0 1 , (21) 178 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 äå ñòàëà C e e e � � )� � � � � � �max , ( ) , , , , ,1 2 2 1 2 0 62 3 3 94 18 5 1 3 6 3 94 12� � 8 5 2 712505313� , � íå çàëåæèòü â³ä N òà f x( ) . Äîâåäåííÿ. Ïîõèáêó íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó (18) ïîäàìî ó âèãëÿä³ ñóìè ï’ÿ- òè äîäàíê³â: u x u x D D D D DN M( ) ( ),� � � � � �1 2 3 4 5 , äå D k x k I A f s k k N 1 2 1 1 2 2 2� � � � � � sin( )[( ) ] ,� � , D x x A I A A fj j j j M 2 1 1 1 01� � � � �� [ ( ) ( )] [( ) ]� � , D k I A k x f c k k N 3 2 1 1 2 2 2 1� � �� [( ) ] (cos( ) ) ,� � , D k I A x x I A Aj j j j M 4 2 1 1 1 2 2 1� � � � � �� [( ) ] [ ( ) ( )][( ) ]� � �� f c k k , 1 , D k I A x x I A A fj j j j M 5 2 1 1 1 2 2 1� � � � � �� [( ) ] [ ( ) ( )][( ) ]� � � c k k N , � � � 1 . Îö³íèìî êîæåí ³ç íèõ. Ìàºìî D x x k x x x k I A f s k 1 2 1 1 2 2 1 2 min( , ) sin ( ) min ( , ) [( ) ] , � � � � �� k N� � � � 1 � � � � � � 2 2 1 2 2 1 0 \|sin ( )\| min ( , ) [( ) ] ( ) , k x x x k dE f s k k � � � � �� N 1 � � � � � � � � 2 2 2 2 22 01 k k f k e e fs k k N k k s k k N � � � �( ) \|\| \|\| \|\| \|\|, , � � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � e k e f e k N k s k k N N k N2 1 2 1 1 2 1 1 � � \|\| \|\|, 2 1 2 2 1 \| \| \| \|,e fk s k k N� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � e dx x e f N N k s k k2 2 2 1 1 2 1 2 � \| \| \| \|, � �1 2� e N f N s\| \| \| \| . (22) Çàñòîñîâóþ÷è ëåìè 1 ³ 3, îäåðæèìî îö³íêó D x x x x x x A I A A j j j2 1 1 1 1 1min ( , ) ( ) ( ) min ( , ) [( ) ] � � � � � �� j M f � � � � 1 0 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 179 � � � � �� \| ( )\| \| ( )\| min ( , ) [( ) ] ( ) � � � � � ��j j jx x x x e dE 1 1 11 1 e fA j M 0 1 0� � � � �� " � � � � � � 2 3 1 0 1 1 0 1 max [( ) ] \|\| \|\| � � �� e e fj A j M � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 3 1 1 1 2 3 1 1 0 1 1 1e j j e f e M j j A j M M \|\| \|\| � � � � � � � � � � � 1 1 1 0 1 j e f j A j \|\| \|\| � � ) � " � �2 1 2 0 62 3 1 10 0 2e e M e f M M A( ) , \|\| \|\| ( ( ) )� . (23) Òóò âèêîðèñòàíî íåð³âí³ñòü 1 1 1 1 1 2 2 1 M M M M M M M� � � � � � � � � (M " 1) òà âðàõîâàíî çá³æí³ñòü ÷èñëîâîãî ðÿäó 1 1 0 6159302120 0 62 1 � � � � � � � � � � j j j , ,� çà ëîãàðèôì³÷íîþ îçíàêîþ: � � � � � � � � � � � � � � � � � " � � " ln ln ln ln 1 1 1 1 1 0 j j j j j l j j j . Äàë³ çíàéäåìî D x x k x x x k I A f c 3 2 1 1 2 2 1 1 2 min( , ) cos ( ) min ( , ) [( ) ] � � � � � �� , k k N� � � � 1 � � � � � � � 2 2 1 2 2 2 1 0 sin ( ) min ( , ) [( ) ] ( ) , k x x x k dE f c k k � � � � �N � � � 1 � � � � � � � � 2 2 2 2 22 01 k k f k e e fc k k N k k c k k N � � � �( ) \|\| \|\| \|\| \|\|, , � � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � e k e f e k N k c k k N N k N2 1 2 1 1 2 1 1 � � \|\| \|\|, 2 1 2 2 1 \|\| \|\|,e fk c k k N� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � e dx x e f N N k c k k2 2 2 1 1 2 1 2 � \|\| \|\|, � �1 2� e N f N c\|\| \|\| . (24) Ìàºìî D x x 4 1min ( , )� � 180 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 � � � � � � �� 2 2 1 1 2 1 1[( ) ] ( ) ( ) min ( , ) [( ) ]k I A x x x x I A A j j j� � � j M c k k f � � � �� 11 , � � � � � � � � 2 1 1 1 2 1 2 \| ( )\| \| ( )\| min ( , ) [( ) ] ( ) � � � � � � j j jx x x x e k � � � dE e fA c k j Mk ( ) , 0 11 � � � � �� " � � � � � 2 2 3 1 2 1 2 1 1 0( ) \|\| \|\| [( ) ], k e f eA c k j j Mk � � � � � �sup � � � 1 � � � � � � � � � � � � � � 2 6 1 1 2 1 4 12 2 1 4 1 2 � k e f e j j j A c k j j j M \|\| \|\|, 11 � �� k � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 6 1 2 4 1 2 1 1 2 1 2 � k e f e k A c k k \|\| \|\|, 1 4 1 1 2 11 1 2 1 4 1 � � � � � � � � � � � � � � �� ( )M j jM j j � � � � � � � � � � � 2 6 90 3 94 2 2 2 1 1 2 1 2 � � \|\| \|\| ,,e f e M A c k k M � � " � �3 94 18 5 1 10 0 , \| \| \| \| ( ( ) ) e e M f M M c A � � . (25) Òóò âèêîðèñòàíî ëåìè 1 ³ 3 òà âðàõîâàíî çá³æí³ñòü ÷èñëîâîãî ðÿäó j j j j 1 2 1 4 1 3 930506503 3 94 1 � � � � � � � � � � � � , ,� , ÿêà âèïëèâàº ç ëîãàðèôì³÷íî¿ îçíàêè: � � � � � � � � � � # $ % % & ' ( ( � � � � � � � ln ln lnj j j j j j 1 2 1 4 1 1 2 1 2 1 4 1 1 0 � � � � � � " � � " ln j l j j . Ï’ÿòèé äîäàíîê îö³íèìî òàê: D x x k I A x x x x j j5 2 1 1 2 2 1 1min( , ) [( ) ] ( ) ( ) min ( ,� � � � � � � �� ) [( ) ] ,I A A fj j M c k k N � � �� 1 11 � � � � � � � 2 1 1 2 1 2 \| ( )\| \| ( )\| min ( , ) [( ) ] ( ) � � � � � � j j jx x x x I k dE ( ) ,� �0 11 � �� f c k j M k N � � � � � � � � 2 2 3 1 2 2 2 3 41 2 1 2 2 k N c k j M k k c k f M e k e f ( ) \|\| \|\| \|\|, � � , \|\|k k N� � � � 1 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 181 � � � � � � � � � �� 2 6 1 2 4 1 2 1 1 2 � Me k e fN k N k c k k N \|\| \|\|,� � � � 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 6 2 4 2 1 1 2 � Me dx x e fN N k c k k \|\| \|\|, � � 1 2 3 2 1 3 6 2� Me N f N c\|\| \|\| . (26) Ç íåð³âíîñòåé (22)–(26) âèïëèâàº òâåðäæåííÿ òåîðåìè. � ÂÈÑÍÎÂÊÈ Îö³íêà (21) ñâ³ä÷èòü ïðî òå, ùî çà óìîâè «åêñïîíåíö³àëüíîãî» òèïó ãëàäêîñò³ âåêòîð³â f f f kc k s k0 1 2, , , , ,, , � � , ó ðîçêëàä³ â ðÿä Ôóð’º ïðàâî¿ ÷àñòèíè äèôå- ðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (1) ìåòîä (18) ìàº ñóïåðåêñïîíåíö³àëüíó øâèäê³ñòü çá³æíîñò³. Âïëèâ êðàéîâîãî åôåêòó (â³äñòàí³ àðãóìåíòó x â³ä ìåæîâèõ òî÷îê ïðîì³æêó) îõàðàêòåðèçîâàíî çà äîïîìîãîþ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ min ( , )x x1� . ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ãàëáà Å.Ô. Î ïîðÿäêå òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñî ñìåøàííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì. Ñá. «Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìîâ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ÝÂÌ». Êèåâ: Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÀÍ ÓÑÑÐ, 1985. Ñ. 30–34. 2. Makarov V. On a priori estimate of difference schemes giving an account of the boundary effect. Comptes rendus de l’Acad'emie Bulgare des Sciences (Proc. the Bulgarian Academy of Sciences). 1989. V. 42. ¹ 5. P. 41–44. 3. Ìîë÷àíîâ È.Í., Ãàëáà Å.Ô. Î ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû, àïïðîêñèìèðóþùåé çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñá. «×èñ- ëåííûå ìåòîäû è òåõíîëîãèÿ ðàçðàáîòêè ïàêåòîâ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì». Êèåâ: Èí-ò êèáåð- íåòèêè èì. Â. Ì. Ãëóøêîâà ÀÍ ÓÑÑÐ, 1990. Ñ. 161–165. 4. Ìàêàðîâ Â.Ë., Äåìê³â Ë.². Îö³íêè òî÷íîñò³ ð³çíèöåâèõ ñõåì äëÿ ïàðàáîë³÷íèõ ð³âíÿíü, ùî âðà- õîâóþòü ïî÷àòêîâî-êðàéîâèé åôåêò. Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2003. ¹ 2. Ñ. 26–32. 5. Makarov V., Demkiv L. Accuracy estimates of differences schemes for quasi-linear parabolic equations taking into account the initial-boundary effect. Computational Methods in Applied Mathematics. 2003. Vol. 3, Iss. 4. P. 579–595. 6. Mayko N.V. The boundary effect in the error estimate of the finite-difference scheme for the two-dimensional heat equation. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2013. N 3(113). P. 91–106. 7. Ìàéêî Í.Â., Ðÿáè÷åâ Â.Ë. Îöåíêà òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò êðàåâûõ óñëîâèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016. Ò. 52, ¹ 5. Ñ. 113–124. 8. Ìàéêî Í.Â. Óëó÷øåííûå îöåíêè òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ äâóìåðíîãî ïàðàáîëè÷åñêî- ãî óðàâíåíèÿ ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 1. Ñ. 99–107. 9. Ìàéêî Í.Â. Îöåíêà ñ âåñîì òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìà- öèè äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå. Êè- áåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2018. Ò. 54, ¹ 1. Ñ. 145–153. 10. Ìàéêî Í.Â. Ñõåìà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîóãîëüíèêå ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíà- ëèç. 2018. Ò. 54, ¹ 4. Ñ. 122–134. 11. Makarov V.L., Mayko N.V. The boundary effect in the accuracy estimate for the grid solution of the fractional differential equation. Computational Methods in Applied Mathematics. Vol. 19, Iss. 2. P. 379–394. 12. Ìàêàðîâ Â.Ë., Ìàéêî Í.Â. Êðàéîâèé åôåêò â îö³íö³ òî÷íîñò³ ñ³òêîâîãî ìåòîäó äëÿ ðîçâ'ÿçó- âàííÿ äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ç äðîáîâîþ ïîõ³äíîþ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 1. C. 80–95. 182 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 13. Gavrilyuk I.P., Makarov V.L, Mayko N.V. Weighted estimates of the Cayley transform method for abstract differential equations. Computational Methods in Applied Mathematics. https://doi.org/ 10.1515/cmam-2019-0120 14. Ìàêàðîâ Â.Ë. Ïîë³íîìè Ìåéêñíåðà òà ¿õ âëàñòèâîñò³. Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2019. ¹ 7. C. 3–8. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 11.07.2019 Í.Â. Ìàéêî ÑÓÏÅÐÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÑÊÎÐÎÑÒÜ ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ ÌÅÒÎÄÀ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÊÝËÈ ÄËß ÀÁÑÒÐÀÊÒÍÎÃÎ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ àáñòðàêòíîãî äèôôåðåíöèàëü- íîãî óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà ñ îïåðàòîðíûì êîýôôèöèåíòîì â ãèëüáåðòî- âîì ïðîñòðàíñòâå. Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Êýëè îïåðàòîðíîãî êîýôôè- öèåíòà À è ïîëèíîìîâ òèïà Ìàéêñíåðà îò àðãóìåíòà õ ðåøåíèå çàäà÷è ïðåäñòàâëåíî â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà. Â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî ðåøå- íèÿ âçÿòà êîíå÷íàÿ ñóììà N ñëàãàåìûõ ýòîãî ðÿäà. Äîêàçàíû îöåíêè (ñ âå- ñîì) òî÷íîñòè òàêîé àïïðîêñèìàöèè â çàâèñèìîñòè íå òîëüêî îò ïàðàìåòðà äèñêðåòèçàöèè N, íî è îò ðàññòîÿíèÿ îò àðãóìåíòà õ äî ãðàíè÷íûõ òî÷åê îòðåçêà. Ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì èìååò ñóïåðýêñïîíåíöèàëüíóþ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êðàåâàÿ çàäà÷à, ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, îïåðàòîðíûé êîýôôèöèåíò, ïðåîáðàçîâàíèå Êýëè, îöåíêè ñ âåñîì, ñóïåðýêñïîíåíöèàëüíàÿ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè. N.V. Mayko SUPER-EXPONENTIAL RATE OF CONVERGENCE OF THE CAYLEY TRANSFORM METHOD FOR AN ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATION Abstract. A boundary-value problem (BVP) for an abstract differential equation with an operator coefficient in the Hilbert space is investigated. The exact solution is presented as an infinite series by means of the Cayley transform of the operator coefficient A and the Meixner type polynomials in the independent variable x. The approximate solution is given by the truncated sum of that series with N summands. The error estimates (with the weight function) depending not only on the discretization parameter N but also on the distance of the point x to the boundary of the interval are proven. They demonstrate that our algorithm has the super-exponential rate of convergence. Keywords: boundary-value problem (BVP), Hilbert space, operator coefficient, Cayley transform, weighted estimates, super-exponentially convergent algorithm. Ìàéêî Íàòàë³ÿ Âàëåíòèí³âíà, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: mayko@knu.ua. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 183

Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння

Репозитарії

Схожі ресурси