Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів

З метою аналізу індивідуальної та колективної поведінки агентів запропоновано модель під назвою "стан-імовірність вибору". Вона базується на явному розгляді ймовірностей вибору альтернатив та на марковському ланцюзі зміни цих імовірностей. Центральне місце в моделі займає матриця "ста...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2021
Main Authors:	Олецький, О.В., Івохін, Є.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Series:	Кібернетика та системний аналіз
Subjects:	Системний аналіз
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190584
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів / О.В. Олецький, Є.В. Івохін // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 55–66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190584
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1905842023-06-14T13:59:27Z Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів Олецький, О.В. Івохін, Є.В. Системний аналіз З метою аналізу індивідуальної та колективної поведінки агентів запропоновано модель під назвою "стан-імовірність вибору". Вона базується на явному розгляді ймовірностей вибору альтернатив та на марковському ланцюзі зміни цих імовірностей. Центральне місце в моделі займає матриця "стан-імовірність вибору", рядки якої відповідають станам, а стовпці - альтернативам. У межах цієї моделі встановлено деякі достатні умови динамічної рівноваги двох альтернатив, якщо рішення приймаються простою більшістю голосів. Динамічна рівновага означає, що по черзі вибираються різні альтернативи, і у випадку багаторазового вибору жодна з них не має переваг над іншими. Отримано також конструктивний спосіб формування матриць "стан-імовірність вибору", для яких забезпечується динамічна рівновага альтернатив. С целью анализа индивидуального и коллективного поведения агентов предложена модель «состояние-вероятность выбора». Она основана на явном рассмотрении вероятностей выбора альтернатив и на марковской цепи изменения этих вероятностей. Центральное место в модели занимает матрица «состояние-вероятность выбора», строки которой соответствуют состояниям, а столбцы альтернативам. В рамках этой модели установлены некоторые достаточные условия динамического равновесия двух альтернатив, если решения принимаются простым большинством голосов. Динамическое равновесие означает, что по очереди выбираются разные альтернативы, и при многократном выборе каждая из них не имеет преимущества над другими. Получен также конструктивный способ формирования матриц «состояние-вероятность выбора», для которых обеспечивается динамическое равновесие альтернатив. In order to investigate individual and collective behavior of agents, the model called the “state–probability of choice” has been suggested. The model is based on implicit regarding of choice probabilities and on the Markov chain of changing these probabilities. The main point of the model is a “state–probability of choice” matrix whose rows correspond to states and the columns correspond to alternatives. Within this model, some sufficient conditions of the dynamic equilibrium between two alternatives have been established. The dynamic equilibrium means that different alternatives are being chosen by rotation, and any of them has no advantage over others. The way of forming “state–probability of choice” matrices providing the dynamic equilibrium has been suggested. 2021 Article Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів / О.В. Олецький, Є.В. Івохін // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 55–66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190584 004.82.855'24 uk Кібернетика та системний аналіз Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Олецький, О.В. Івохін, Є.В. Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів Кібернетика та системний аналіз
description	З метою аналізу індивідуальної та колективної поведінки агентів запропоновано модель під назвою "стан-імовірність вибору". Вона базується на явному розгляді ймовірностей вибору альтернатив та на марковському ланцюзі зміни цих імовірностей. Центральне місце в моделі займає матриця "стан-імовірність вибору", рядки якої відповідають станам, а стовпці - альтернативам. У межах цієї моделі встановлено деякі достатні умови динамічної рівноваги двох альтернатив, якщо рішення приймаються простою більшістю голосів. Динамічна рівновага означає, що по черзі вибираються різні альтернативи, і у випадку багаторазового вибору жодна з них не має переваг над іншими. Отримано також конструктивний спосіб формування матриць "стан-імовірність вибору", для яких забезпечується динамічна рівновага альтернатив.
format	Article
author	Олецький, О.В. Івохін, Є.В.
author_facet	Олецький, О.В. Івохін, Є.В.
author_sort	Олецький, О.В.
title	Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів
title_short	Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів
title_full	Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів
title_fullStr	Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів
title_full_unstemmed	Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів
title_sort	формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190584
citation_txt	Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів / О.В. Олецький, Є.В. Івохін // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 55–66. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
series	Кібернетика та системний аналіз
work_keys_str_mv	AT olecʹkijov formalízacíâproceduriformuvannâdinamíčnoírívnovagialʹternativubagatoagentnomuseredoviŝíuprocesahprijnâttâríšenʹbílʹšístûgolosív AT ívohínêv formalízacíâproceduriformuvannâdinamíčnoírívnovagialʹternativubagatoagentnomuseredoviŝíuprocesahprijnâttâríšenʹbílʹšístûgolosív
first_indexed	2025-07-16T13:31:56Z
last_indexed	2025-07-16T13:31:56Z
_version_	1837810547148455936
fulltext	ÓÄÊ 004.82.855'24 Î.Â. ÎËÅÖÜÊÈÉ, ª.Â. ²ÂÎÕ²Í ÔÎÐÌÀË²ÇÀÖ²ß ÏÐÎÖÅÄÓÐÈ ÔÎÐÌÓÂÀÍÍß ÄÈÍÀÌ²×ÍÎ¯ Ð²ÂÍÎÂÀÃÈ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ Ó ÁÀÃÀÒÎÀÃÅÍÒÍÎÌÓ ÑÅÐÅÄÎÂÈÙ² Ó ÏÐÎÖÅÑÀÕ ÏÐÈÉÍßÒÒß Ð²ØÅÍÜ Á²ËÜØ²ÑÒÞ ÃÎËÎÑ²Â Àíîòàö³ÿ. Ç ìåòîþ àíàë³çó ³íäèâ³äóàëüíî¿ òà êîëåêòèâíî¿ ïîâåä³íêè àãåíò³â çàïðîïîíîâàíî ìîäåëü ï³ä íàçâîþ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü âèáîðó». Âîíà ´ðóí- òóºòüñÿ íà ÿâíîìó ðîçãëÿä³ éìîâ³ðíîñòåé âèáîðó àëüòåðíàòèâ òà íà ìàðêîâ- ñüêîìó ëàíöþç³ çì³íè öèõ ³ìîâ³ðíîñòåé. Öåíòðàëüíå ì³ñöå â ìîäåë³ çàéìàº ìàòðèöÿ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü âèáîðó», ðÿäêè ÿêî¿ â³äïîâ³äàþòü ñòàíàì, à ñòîâïö³ — àëüòåðíàòèâàì. Ó ìåæàõ ö³º¿ ìîäåë³ âñòàíîâëåíî äåÿê³ äîñòàòí³ óìîâè äèíàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè äâîõ àëüòåðíàòèâ, ÿêùî ð³øåííÿ ïðèéìàþòüñÿ ïðîñòîþ á³ëüø³ñòþ ãîëîñ³â. Äèíàì³÷íà ð³âíîâàãà îçíà÷àº, ùî ïî ÷åðç³ âèáè- ðàþòüñÿ ð³çí³ àëüòåðíàòèâè, ³ ó âèïàäêó áàãàòîðàçîâîãî âèáîðó æîäíà ç íèõ íå ìàº ïåðåâàã íàä ³íøèìè. Îòðèìàíî òàêîæ êîíñòðóêòèâíèé ñïîñ³á ôîðìó- âàííÿ ìàòðèöü «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü âèáîðó», äëÿ ÿêèõ çàáåçïå÷óºòüñÿ äè- íàì³÷íà ð³âíîâàãà àëüòåðíàòèâ. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñèòóàö³ÿ ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü, äèíàì³÷íà ð³âíîâàãà, àãåíòè. ÂÑÒÓÏ. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Äîñë³äæåííÿ ³íäèâ³äóàëüíî¿ òà êîëåêòèâíî¿ ïîâåä³íêè àãåíò³â ìàº äîñèòü äàâ- íþ ³ñòîð³þ. Îñîáëèâó óâàãó ïðèä³ëÿþòü ïðîöåñàì ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü ó ñèòó- àö³ÿõ, ùî õàðàêòåðèçóþòüñÿ íàáîðîì ð³çíèõ ìîæëèâèõ ñòàí³â òà àëüòåðíàòèâ, âèá³ð ÿêèõ çä³éñíþºòüñÿ øëÿõîì âðàõóâàííÿ äóìêè êîëåêòèâó àãåíò³â. Ñåðåä â³äîìèõ ï³äõîä³â òà ìîäåëåé ïîâåä³íêè àãåíò³â, çîêðåìà íà îñíîâ³ àíàë³çó ìîæëèâèõ ïåðåõîä³â ì³æ ñòàíàìè, ìîæíà çãàäàòè ìàðêîâñüê³ ïðîöåñè ïðèéíÿò- òÿ ð³øåíü [1, 2], àëãåáðà¿÷í³ ìîäåë³ âçàºìîä³¿ àãåíòà ³ç ñåðåäîâèùåì [3], ï³äõîäè íà îñíîâ³ òåîð³¿ àâòîìàò³â [3, 4], òåîð³þ êîëåêòèâíîãî ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü [5] òà ³í. Âò³ì, öåé íàïðÿìîê íå âòðà÷àº àêòóàëüíîñò³, ³ ç íèì ïîâ’ÿçà- íà íèçêà âàæëèâèõ íàóêîâèõ ïðîáëåì. Çíà÷íèé ³íòåðåñ ñòàíîâëÿòü äîñë³äæåííÿ ìåõàí³çì³â, ùî çóìîâëþþòü ÿê çì³íó ïîâåä³íêè àãåíò³â, òàê ³ ïðèéíÿòòÿ ³íäèâ³äóàëüíèõ òà êîëåêòèâíèõ ð³øåíü ó ò³é ÷è ³íø³é ñèòóàö³¿. Çàëó÷åííÿ öèõ ìåõàí³çì³â äî ðîçãëÿäó íàäàº çìîãó çä³éñíþâàòè ìîí³òîðèíã ïðîöåñó ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü, ôîðìóëþâàòè òà ðîçâ’ÿçóâà- òè ð³çíîãî ðîäó îïòèì³çàö³éí³ çàäà÷³ òà íà îñíîâ³ öüîãî çä³éñíþâàòè êåðóâàííÿ ïðîöåñîì. Ó öüîìó êîíòåêñò³, çîêðåìà, âèäàºòüñÿ ïåðñïåêòèâíèì ðîçãëÿä íå÷³òêèõ îïòèì³çàö³éíèõ çàäà÷, â ÿêèõ áåðóòü äî óâàãè íåâèçíà÷åí³ñòü îö³íêè âè- áîðó àëüòåðíàòèâ ï³ä ÷àñ ôîðìàë³çàö³¿ îáìåæåíü [6]. Çðîçóì³ëî, ùî äîñë³äæåííÿ ìåõàí³çì³â ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü ïîòðåáóº ðîçâèòêó â³äïîâ³äíèõ ìîäåëåé òà ôîðìàë³çàö³é, ùî ´ðóíòóþòüñÿ íà öèõ ìîäåëÿõ. Ó [7] çà- ïðîïîíîâàíî ôîðìàë³çàö³þ ïðîöåäóðè âèáîðó â ñèòóàö³¿ ïðèéíÿòòÿ ð³øåííÿ, ÿêó êîðîòêî ìîæíà îõàðàêòåðèçóâàòè ÿê ìîäåëü «ñòàí ñèòóàö³¿–éìîâ³ðí³ñòü ä³¿». Öÿ ìîäåëü ´ðóíòóºòüñÿ íà ÿâíîìó ðîçãëÿä³ éìîâ³ðíîñòåé ïðèéíÿòòÿ êîíêðåòíèõ ð³øåíü òà íà ìàðêîâñüêîìó ëàíöþç³ çì³íè öèõ ³ìîâ³ðíîñòåé; âîíà áóëà çàñòîñîâà- íà äëÿ äîñë³äæåííÿ ìåõàí³çìó âèáîðó ì³æ àëüòåðíàòèâàìè-êàíäèäàòàìè. Çîêðå- ìà, â [7] îòðèìàíî äîñòàòí³ óìîâè âñòàíîâëåííÿ ïàðèòåòó ì³æ äâîìà êàíäèäàòàìè, àëå ö³ óìîâè º äóæå îáìåæóþ÷èìè. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 55 © Î.Â. Îëåöüêèé, ª.Â. ²âîõ³í, 2021 Ìåòîþ ö³º¿ ðîáîòè º ïîäàëüøå óçàãàëüíåííÿ ìîäåë³ «ñòàí ñèòó- àö³¿-éìîâ³ðí³ñòü ä³¿» ó ôîðì³ âñòàíîâëåííÿ â ìåæàõ ö³º¿ ìîäåë³ óìîâ äèíàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè àëüòåðíàòèâ, ÿêùî âñ³ âàð³àíòè º ð³âíîïðàâíèìè òà âèá³ð çä³éñíþºòüñÿ ïðîñòîþ á³ëüø³ñòþ ãîëîñ³â. Òóò äèíàì³÷íîþ ð³âíîâàãîþ áóäåìî íàçèâàòè ñèòó- àö³þ ïðèéíÿòòÿ ð³øåííÿ çà óìîâè, ùî ïî ÷åðç³ âèáèðàþòüñÿ ð³çí³ àëüòåðíàòèâè, òà ó âèïàäêó áàãàòîðàçîâîãî âèáîðó æîäíà ç íèõ íå ìàº ïåðåâàã íàä ³íøèìè. Äëÿ îïèñó ìåõàí³çìó ôîðìóâàííÿ äèíàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè ó âñÿêîìó ðàç³ ïîòð³áíî ðîç- ãëÿäàòè ïåâíó ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü. Ó ö³é ñòàòò³ çàïðîïîíîâàíî îäíó ç òàêèõ ìîäåëåé. 1. ÌÎÄÅËÜ «ÑÒÀÍ–²ÌÎÂ²ÐÍ²ÑÒÜ Ä²¯» Ðîçãëÿíåìî ñèòóàö³þ ïðèéíÿòòÿ ð³øåííÿ, ÿêà õàðàêòåðèçóºòüñÿ íàáîðîì ìîæ- ëèâèõ ñòàí³â S s sm� � �{ }1 � . Ïðèïóñòèìî, ùî º äîñòàòíüî âåëèêà ê³ëüê³ñòü àãåíò³â, ÿê³ â êîæíîìó ñòàí³ ñèòóàö³¿ çä³éñíþþòü âèá³ð ç n äîïóñòèìèõ àëü- òåðíàòèâ A a an� � �{ }1 � , äëÿ ÿêèõ ó êîæåí ìîìåíò ÷àñó çàäàíî ïåâíèé ðîç- ïîä³ë ³ìîâ³ðíîñòåé âèáîðó. Ó ìåæàõ äîñë³äæåííÿ ââàæàºòüñÿ ìîæëèâîþ äèíàì³êà ñòàí³â ó ñèòóàö³¿ ïðèéíÿòòÿ ð³øåííÿ, ïåðåõîäè ì³æ ÿêèìè ³íòåðïðåòóþòüñÿ ó âèãëÿä³ çì³í öèõ ðîç- ïîä³ë³â. Âèõîäÿ÷è ç öüîãî, ó ïîäàëüøîìó êîíòåêñò³ áóäåìî ç³ñòàâëÿòè ñòàí ñèòó- àö³¿ ç îäíèì ³ç ìîæëèâèõ ðîçïîä³ë³â ³ìîâ³ðíîñòåé âèáîðó àëüòåðíàòèâ. Ïðèïóñòèìî, ùî º â³äîìèìè òàê³ êîìïîíåíòè: • Z z i m j nij� � �( ), , , ,1 1 , — ìàòðèöÿ «ñòàí-³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» ðîçì³ðîì m n� , ðÿäêè ÿêî¿ â³äïîâ³äàþòü ñòàíàì (ðîçïîä³ëàì ³ìîâ³ðíîñòåé âèáîðó), à ñòîâï÷èêè — àëüòåðíàòèâàì, ïðè öüîìó z P a sij j i� ( \| ) , i m j n� �1 1, , , , — éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî àãåíò ó ñèòóàö³¿, ÿêà ïåðåáóâàº â ñòàí³ si , âèáåðå àëüòåðíàòèâó a j (ìàòðèöÿ ââî- äèòüñÿ äëÿ ôîðìàë³çîâàíîãî çàäàííÿ éìîâ³ðíîñòåé âèáîðó àëüòåðíàòèâ àãåíòîì); • Ï r s mrs� �( ), , ,� 1 , — ìàòðèöÿ ïåðåõ³äíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé ðîçì³ðîì m m� äëÿ ìàðêîâñüêîãî ëàíöþãà ïåðåõîä³â ì³æ ñòàíàìè (ïî ñóò³ òàê³ ïåðåõîäè îçíà÷à- þòü çì³íó ì³ðè âïåâíåíîñò³ àãåíòà òà â³äïîâ³äíî — éìîâ³ðíîñòåé éîãî ³íäèâ³äó- àëüíîãî âèáîðó). Ç òåîð³¿ ìàðêîâñüêèõ ïðîöåñ³â äîáðå â³äîìî, ùî çà ïåâíèõ óìîâ ³ñíóº ñòàö³îíàðíèé âåêòîð p p pm� �( , , )1 , äå p P sk k� ( ) — ñòàö³îíàðíà éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî ñèòóàö³ÿ â äàíèé ìîìåíò ÷àñó áóäå ïåðåáóâàòè ó ñòàí³ sk . Ïðè öüîìó âåêòîð p º ãîëîâíèì ë³âèì âëàñíèì âåêòîðîì ìàòðèö³ Ï . Òîä³ ôîð- ìàë³çàö³þ ïðîöåäóðè âèáîðó àëüòåðíàòèâ ó ñèòóàö³¿ ïðèéíÿòòÿ ð³øåííÿ ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ ìîäåë³ � �Z Ï, àáî ó âèãëÿä³ ìîäåë³ � �Z p, , ïðè÷îìó äðóãèé âàð³àíò â³äð³çíÿºòüñÿ ëèøå òèì, ùî äëÿ íüîãî âåêòîð p çàäàºòüñÿ îäðàçó. Çàóâà- æèìî, ùî âåêòîð ñòàö³îíàðíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé ³ñíóº íå äëÿ áóäü-ÿêîãî ìàðêîâñüêî- ãî ëàíöþãà. Äëÿ äåÿêèõ çàäà÷ çðó÷í³øå ïðàöþâàòè ç ïåðåõ³äíèìè éìîâ³ðíîñòÿ- ìè, à äëÿ ³íøèõ — ç³ ñòàö³îíàðíèìè (íàïðèêëàä, êîëè éäåòüñÿ ïðî ïðîöåñè, ïî- â’ÿçàí³ ç íàâ÷àííÿì). Òîìó â ìåæàõ ìîäåë³ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» ñë³ä ðîçãëÿäàòè îáèäâà âàð³àíòè. Äëÿ ñôîðìóëüîâàíî¿ ìîäåë³ í³ ê³ëüê³ñòü ñòàí³â, í³ ¿õíÿ ìíîæèíà íå º íàïåðåä ïîñòóëüîâàíèìè; ìîäåëü ïðèïóñêàº çíà÷íó ñâîáîäó ó ôîðìóâàíí³ ìíîæèíè ñòàí³â, ³ öþ ìíîæèíó çà ïîòðåáè ìîæíà çì³íþâàòè. Çâåðíåìî òàêîæ óâàãó íà òå, ùî äëÿ áàãàòîàãåíòíîãî ñåðåäîâèùà ïðèíöèïîâèìè º íå ñò³ëüêè éìîâ³ðíîñò³ ïå- ðåáóâàííÿ ñèñòåìè â ïåâíîìó ñòàí³ (òîáòî ðîçïîä³ë ³ìîâ³ðíîñò³ ïðèéíÿòòÿ ³íäèâ³äóàëüíîãî ð³øåííÿ îêðåìèì àãåíòîì), ñê³ëüêè â³äíîñíà ÷àñòêà àãåíò³â, ÿê³ ïðèéìàþòü ð³øåííÿ ç òèìè ÷è ³íøèìè éìîâ³ðíîñòÿìè. Âàæëèâèì ó öüîìó êîí- òåêñò³ º òå, ùî çà äîñòàòíüî¿ ê³ëüêîñò³ àãåíò³â ö³ âåëè÷èíè ìàéæå íå â³äð³çíÿþòü- ñÿ, ³ â ðàç³ çá³ëüøåííÿ ê³ëüêîñò³ àãåíò³â ð³çíèöÿ ì³æ íèìè ìàº ïðÿìóâàòè äî íóëÿ. 56 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Ó ìåæàõ óâåäåíî¿ ôîðìàë³çàö³¿ ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òà âîäíî÷àñ äîñèòü âàæëèâå ñï³ââ³äíîøåííÿ. Ïîçíà÷èìî � j , j n�1, , éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî ó ñèòóàö³¿, ÿêà ïåðåáóâàº â êîíêðåòíîìó ñòàí³, àãåíòîì áóäå îáðàíî j-òó àëüòåðíàòèâó. Òîä³ çà ïðàâèëîì ïîâíî¿ éìîâ³ðíîñò³ îòðèìóºìî � j j i i m j i ij i m iP a P s P a s z p� � � � � � ( ) ( ) ( \| ) 1 1 , j n�1, , ( )1 àáî, á³ëüø êîðîòêî, â ìàòðè÷íîìó âèãëÿä³ � � pZ. Â³äì³òèìî, ùî çà ïîáóäîâîþ ñóìà åëåìåíò³â êîæíîãî ðÿäêà ìàòðèö³ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» äîð³âíþº îäèíèö³, ùî ðîáèòü ¿¿ ïîä³áíîþ äî ñòîõàñòè÷íèõ ìàòðèöü. Ç îãëÿäó íà öþ àíàëîã³þ áóäåìî íàçèâàòè òàê³ ìàòðèö³ ïðÿìîêóòíèìè ñòîõàñòè÷íèìè. Äëÿ äîñë³äæåííÿ óìîâ ôîðìóâàííÿ äèíàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè àëüòåðíàòèâ îñîá- ëèâî âåëèêå çíà÷åííÿ ìàº ÷àñòêîâèé âèïàäîê ìàòðèö³ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿», êîëè ñóìè åëåìåíò³â êîæíîãî ñòîâï÷èêà òàêîæ ð³âí³ ì³æ ñîáîþ (î÷åâèäíî, ùî ö³ ñóìè ïîâèíí³ äîð³âíþâàòè m n/ ). Áóäåìî íàçèâàòè òàê³ ìàòðèö³ çáàëàíñîâàíèìè (ïðÿìîêóòíèìè ñòîõàñòè÷íèìè) ìàòðèöÿìè. Äàë³ ó ñòàòò³ ðîçãëÿäàòèìåìî ò³ëüêè çáàëàíñîâàí³ ìàòðèö³, ÿêùî íå áóäå ÿâíî ñêàçàíî ùîñü ³íøå. Âàæëèâèì ï³äêëàñîì çáàëàíñîâàíèõ ñòîõàñòè÷íèõ ïðÿìîêóòíèõ ìàòðèöü, ÿêèé âèíèêàº äëÿ m n� , º ïîäâ³éíî-ñòîõàñòè÷í³ ìàòðèö³ [8], òîáòî êâàäðàòí³ ñòîõàñòè÷í³ ìàòðèö³ ðîçì³ðîì n n� , ñóìà åëåìåíò³â êîæíîãî ñòîâïöÿ ÿêèõ äîð³âíþº1 � n n/ . 2. ÇÁÀËÀÍÑÎÂÀÍ² ÌÀÒÐÈÖ² ÒÀ ÄÈÍÀÌ²×ÍÀ Ð²ÂÍÎÂÀÃÀ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ Ó ðîáîò³ [7] äîâåäåíî äîñòàòí³ (àëå íå íåîáõ³äí³) óìîâè ð³âíîéìîâ³ðíîãî âè- áîðó ì³æ äâîìà àëüòåðíàòèâàìè (n � 2), äëÿ ôîðìóëþâàííÿ ³ äîâåäåííÿ ÿêèõ ñóòòºâî âèêîðèñòîâóâàëè âêàçàíó ñïåöèô³êó. Êîíöåïö³ÿ çáàëàíñîâàíèõ ìàò- ðèöü íàäàº çìîãó óçàãàëüíèòè öå òâåðäæåííÿ íà âèïàäîê äîâ³ëüíî¿ ê³ëüêîñò³ àëüòåðíàòèâ. ²íøèìè ñëîâàìè, ìîæíà äîâåñòè, ùî ÿêùî ìàòðèöÿ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» º çáàëàíñîâàíîþ, à ñòàíè º ð³âíîéìîâ³ðíèìè, òî àãåíò âèáèðàº áóäü-ÿêó àëüòåðíàòèâó ç ³ìîâ³ðí³ñòþ 1/ n. Çíîâó æ òàêè, öÿ óìîâà íå º íåîáõ³äíîþ, ³ âîíà º ñóòòºâî îáìåæóþ÷îþ: ð³âíîéìîâ³ðíèé âèá³ð ìîæå çä³éñíþâàòèñÿ ³ â òèõ âèïàäêàõ, êîëè éìîâ³ðíîñò³ ïå- ðåáóâàííÿ ñèòóàö³¿ â ð³çíèõ ñòàíàõ º ð³çíèìè, íàâ³òü ÿêùî ìàòðèöÿ «ñòàí–âèá³ð ä³¿» º çáàëàíñîâàíîþ. Îòæå, âàðòî øóêàòè ³íø³, ìåíø îáìåæóþ÷³ óìîâè. Ñïî÷àòêó á³ëüø äåòàëüíî ðîçãëÿíåìî âèïàäîê n � 2 , êîëè âèá³ð ð³øåííÿ çä³éñíþºòüñÿ ïðîñòîþ á³ëüø³ñòþ ãîëîñ³â. Î÷åâèäíî, ùî äëÿ öüîãî âèïàäêó çà äîñ- òàòíüî¿ ê³ëüêîñò³ àãåíò³â ç îãëÿäó íà çàêîí âåëèêèõ ÷èñåë äèíàì³÷íà ð³âíîâàãà ôàê- òè÷íî º ìîæëèâîþ ëèøå ó âèïàäêó � �1 2 0 5� � . . Ó òàáë. 1 íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷è- ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 57 Ò à á ë è ö ÿ 1 . Çàëåæí³ñòü ³ìîâ³ðíîñò³ Q ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü êîëåêòèâîì àãåíò³â â³ä ³ìîâ³ðíîñò³ ³íäèâ³äóàëüíîãî âèáîðó P òà ê³ëüêîñò³ àãåíò³â N N P 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 1 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 5 0.445 0.47 0.485 0.5 0.515 0.53 0.555 11 0.42 0.445 0.475 0.5 0.525 0.555 0.58 101 0.27 0.345 0.42 0.5 0.58 0.655 0.73 1001 0.03 0.10 0.26 0.5 0.73 0.90 0.97 10001 0 0.0005 0.02 0.5 0.98 0.9995 1 ñåëüíîãî åêñïåðèìåíòó, ÿêèé ïîêàçóº çàëåæí³ñòü ³ìîâ³ðíîñò³ êîëåêòèâíîãî âèáîðó Q â³ä ³ìîâ³ðíîñò³ ³íäèâ³äóàëüíîãî âèáîðó, ÿêùî îñòàííÿ º áëèçüêîþ äî 0.5. Òóò P — éìîâ³ðí³ñòü ³íäèâ³äóàëüíîãî âèáîðó àëüòåðíàòèâè, à N — ê³ëüê³ñòü àãåíò³â. Ç îãëÿäó íà öå, ïîäàëüøå âèêëàäåííÿ ðåçóëüòàò³â ïåðåäáà÷àº óìîâè, çà ÿêèõ ³íäèâ³äóàëüíèé âèá³ð àëüòåðíàòèâ çä³éñíþºòüñÿ ç ð³âíèìè éìîâ³ðíîñòÿìè ( . )� �1 2 0 5� � äëÿ âèïàäêó äâîõ àëüòåðíàòèâ ó ìåæàõ ìîäåë³ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿». 3. Ð²ÂÍÎÂÀÆÍ² ÂÅÊÒÎÐÈ Óâåäåìî ñïåö³àëüí³ ïîíÿòòÿ äîïóñòèìèõ òà ð³âíîâàæíèõ âåêòîð³â. Îçíà÷åííÿ 1. Âåêòîð p p pm� � �( )1 � áóäåìî íàçèâàòè äîïóñòèìèì, ÿêùî äëÿ éîãî åëåìåíò³â âèêîíóþòüñÿ óìîâè 0 1� �pi , i m�1, , òà pi i m � � 1 1. Îçíà÷åííÿ 2. Ð³âíîâàæíèì âåêòîðîì äëÿ ìàòðèö³ Z áóäåìî íàçèâàòè äîïóñòèìèé âåêòîð p , åëåìåíòè ÿêîãî äîð³âíþþòü éìîâ³ðíîñòÿì ïåðåáóâàííÿ ñèòóàö³¿ ó â³äïîâ³äíîìó ñòàí³ òà äëÿ ÿêîãî âèêîíóºòüñÿ óìîâà z p nij i m i � � 1 1/ , , .j n�1 ( )2 Ïåðø çà âñå ðîçãëÿíåìî âèïàäîê n � 2 ; äëÿ íüîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ (2) íàáó- âàº âèãëÿäó z pij i m i � � 1 0 5. , , .j n�1 ( )3 Äàë³ áóäåìî ðîçãëÿäàòè ð³âíîâàæí³ âåêòîðè ëèøå äëÿ çáàëàíñîâàíèõ ìàò- ðèöü, ÿêùî íå áóäå ÿâíî âêàçàíî ùîñü ³íøå. Íàñïðàâä³, ÿêùî âåêòîð º ð³âíîâàæíèì äëÿ äåÿêî¿ êîíêðåòíî¿ çáàëàíñîâàíî¿ ìàòðèö³, â³í ìàº áóòè ð³âíîâàæíèì ³ äëÿ çíà÷íî á³ëüø øèðîêîãî ñïåêòðà çáàëàí- ñîâàíèõ ìàòðèöü â³äïîâ³äíîãî ðîçì³ðó. Òâåðäæåííÿ 1 (ïðî îïóêëó êîìá³íàö³þ ð³âíîâàæíèõ âåêòîð³â). Íåõàé p pq1� �� — íàá³ð m-âåêòîð³â, ð³âíîâàæíèõ äëÿ äåÿêî¿ ìàòðèö³ Z. Òîä³ áóäü-ÿêà ¿õíÿ îïóêëà êîìá³íàö³ÿ º ð³âíîâàæíèì âåêòîðîì ò³º¿ ñàìî¿ ðîçì³ðíîñò³ m äëÿ Z. Äîâåäåííÿ. Î÷åâèäíî, äîñòàòíüî äîâåñòè öå òâåðäæåííÿ äëÿ äâîõ âåêòîð³â. Íåõàé º äâà ð³âíîâàæí³ âåêòîðè p1 òà p2 . Óòâîðèìî ¿õíþ îïóêëó êîìá³íàö³þ ó âèãëÿä³ p p p� � � �� 1 21 0 1( ) ; , òà ï³äñòàâèìî â (1): z p z p z p n n ij i m i ij i m i ij i m i � � � � � � � � 1 1 1 1 21 1 1 1� � �( ) ( � � ��) , 1 1 n j n. Äîïóñòèì³ñòü óòâîðåíî¿ îïóêëî¿ êîìá³íàö³¿ º î÷åâèäíîþ. Îòæå, p ä³éñíî º ð³âíîâàæíèì âåêòîðîì. Òâåðäæåííÿ äîâåäåíî. Öå òâåðäæåííÿ º â³ðíèì íå ëèøå äëÿ n � 2 , à ìàº á³ëüø çàãàëüíèé õàðàêòåð ³ çàëèøàºòüñÿ ñïðàâåäëèâèì äëÿ áóäü-ÿêîãî n . ßê çàçíà÷åíî ðàí³øå, ðîáîòó ïðèñâÿ÷åíî âñòàíîâëåííþ äîñòàòí³õ óìîâ äè- íàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè àëüòåðíàòèâ äëÿ n � 2 , ÿê³ º ìåíø æîðñòêèìè, í³æ ó [7]. Öåí- òðàëüíå ì³ñöå ïðè öüîìó çàéìàþòü: — äîïóñòèì³ m-âåêòîðè, äëÿ ÿêèõ âèêîíóºòüñÿ óìîâà ñèìåòðè÷íîñò³, òîáòî � � � � � � � �j i m i m i p pi i{ , } , :1 2 1 11 2 1 1 2 , (4) 58 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 — çáàëàíñîâàí³ ïðÿìîêóòí³ ñòîõàñòè÷í³ ìàòðèö³ ðîçì³ðîì ( )m�2 (( )m�2 –ìàòðèö³) òàê³, ùî � � � � � � � � j i m i m i z zi j i j{ , } , , :1 2 1 1 11 2 1 1 2 . (5) Ëåãêî áà÷èòè, ùî îïóêëà êîìá³íàö³ÿ ñèìåòðè÷íèõ äîïóñòèìèõ âåêòîð³â òåæ º ñèìåòðè÷íèì äîïóñòèìèì âåêòîðîì. Ä³éñíî, äëÿ äîâ³ëüíî âèáðàíîãî ³íäåêñó k òà â³äïîâ³äíîãî ³íäåêñó l m k� �1 ñïðàâäæóþòüñÿ óìîâè p p k l 1 1� , p p k l 2 2� ³ äëÿ îïóêëî¿ êîìá³íàö³¿ � � � �p p p p k k l l 1 2 1 21 1� � � ( ) ( ) . Äîïóñòèì³ñòü ö³º¿ îïóêëî¿ êîìá³íàö³¿ º î÷åâèäíîþ. Äàë³ ñóòòºâå çíà÷åííÿ ìàòèìå ïîíÿòòÿ öåíòðàëüíîãî ³íäåêñó k mc � �[ / ]2 1. Ñòàí ñèòóàö³¿ ç ³íäåêñîì kc áóäåìî íàçèâàòè öåíòðàëüíèì ñòàíîì ñèòóàö³¿, à â³äïîâ³äíèé åëåìåíò pkc — öåíòðàëüíèì åëåìåíòîì. Öåíòðàëüíèé ñòàí ìîæå áóòè ïðèñóòí³ì àáî â³äñóòí³ì. ßêùî â³í ïðèñóòí³é, òî m — íåïàðíå, ÿêùî â³äñóòí³é — ïàðíå. Ç óìîâè (5) âèïëèâàº, ùî z j nk jc � �0 5 1. , , . Òâåðäæåííÿ 2. Äëÿ äîïóñòèìîãî ñèìåòðè÷íîãî m-âåêòîðà p ñïðàâäæóþòüñÿ òàê³ ñï³ââ³äíîøåííÿ: p p i i m kc � � / 2 1 2 2 , ÿêùî öåíòðàëüíèé åëåìåíò ïðèñóòí³é, ³ pi i m�� / 2 1 2 , ÿêùî â³äñóòí³é. Äîâåäåííÿ º î÷åâèäíèì. 4. ÄÎÑÒÀÒÍß ÓÌÎÂÀ Ð²ÂÍÎÂÀÆÍÎÑÒ² ÄËß n� 2 Òåîðåìà 1 (ïðî ñèìåòðè÷íå âð³âíîâàæåííÿ). ßêùî m-âåêòîð p º äîïóñòèìèì òà ñèìåòðè÷íèì, à äëÿ ( )m�2 -ìàòðèö³ Z âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ (5), òî p º ð³âíîâàæíèì âåêòîðîì äëÿ Z. Äîâåäåííÿ. Íåõàé öåíòðàëüíèé åëåìåíò pkc ïðèñóòí³é. Ï³äñòàâèìî åëåìåí- òè âåêòîðà p â (1) ç óðàõóâàííÿì òâåðäæåííÿ 2: z p z p p z p zij i m i ij i m i k ij i m i ij i m c � � � � � � � � 1 2 2 2 0 5 / / / . � � � � p p z pi k ij i m ic 0 5 1 2 . ( ) / � � � � � � � 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 1 2 . . . . . , , / p p p p j nk i i m k kc c c . Äëÿ âèïàäêó, ÿêùî öåíòðàëüíèé åëåìåíò â³äñóòí³é, äîâåäåííÿ º àáñîëþòíî àíàëîã³÷íèì. Òåîðåìó äîâåäåíî. Óìîâè ö³º¿ òåîðåìè íå ïîñòóëþþòü êîíêðåòí³ ìîæëèâ³ çíà÷åííÿ êîìïî- íåíò³â ð³âíîâàæíîãî âåêòîðà, àëå âñå-òàêè îáìåæóþòü ä³àïàçîí ìîæëèâèõ çíà- ÷åíü âåëè÷èíîþ 0.5 äëÿ âñ³õ åëåìåíò³â êð³ì öåíòðàëüíîãî. Âîíà çàäàº äîñòàòí³, àëå íå íåîáõ³äí³ óìîâè ð³âíîâàæíîñò³ (äàë³ áóäå íàâåäåíî ìîæëèâ³ñòü áåçïîñåðåäíüî ïåðåêîíàòèñÿ â öüîìó). Îòæå, âèäíî, ùî ³ñíóº äåÿêà ìíîæèíà ñèìåòðè÷íèõ äîïóñòèìèõ âåêòîð³â, ð³âíîâàæíèõ äëÿ áóäü-ÿêî¿ çáàëàíñîâàíî¿ ìàòðèö³, äëÿ ÿêî¿ âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ (5). Â³äïîâ³äíî äî òâåðäæåííÿ ïðî îïóêëó êîìá³íàö³þ ð³âíîâàæ- ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 59 íèõ âåêòîð³â öÿ ìíîæèíà º îïóêëîþ. Ó íàñòóïíîìó ðîçä³ë³ áóäå íàâåäåíî êîí- ñòðóêòèâíèé ñïîñ³á îòðèìàííÿ ñèìåòðè÷íèõ ð³âíîâàæíèõ âåêòîð³â. 5. ÊÎÍÑÒÐÓÊÒÈÂÍÈÉ ÑÏÎÑ²Á ÎÒÐÈÌÀÍÍß ÑÈÌÅÒÐÈ×ÍÈÕ Ð²ÂÍÎÂÀÆÍÈÕ ÂÅÊÒÎÐ²Â Êîíñòðóêòèâíèé ñïîñ³á îòðèìàííÿ ñèìåòðè÷íèõ ð³âíîâàæíèõ âåêòîð³â áåçïîñå- ðåäíüî âèïëèâàº ç íàñòóïíî¿ òåîðåìè. Òåîðåìà 2 (ïðî ñèìåòðè÷í³ ð³âíîâàæí³ âåêòîðè ÿê îïóêë³ êîìá³íàö³¿). Âåê- òîð p p pm� � �( )1 � çàäîâîëüíÿº óìîâè òåîðåìè 1 ïðî ñèìåòðè÷íå âð³âíîâàæåí- íÿ, òîáòî º äîïóñòèìèì ³ ñèìåòðè÷íèì òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè â³í º îïóêëîþ êîìá³íàö³ºþ îïîðíî¿ ñèñòåìè âåêòîð³â, ÿêà ôîðìóºòüñÿ çàëåæíî â³ä m ó òàêèé ñïîñ³á: 1) äëÿ íåïàðíîãî çíà÷åííÿ m îïîðíà ñèñòåìà âåêòîð³â íàë³÷óº [ / ]m 2 1� m-âåê- òîð³â p p pm c( ) ([ / ]) ( ),1 2� �� , c m� �[ / ]2 1, åëåìåíòè ÿêèõ âèçíà÷àþòüñÿ çà ïðàâè- ëàìè: — äëÿ âåêòîðà p ñ( ) pc c( ) �1, âñ³ ³íø³ åëåìåíòè äîð³âíþþòü 0; — äëÿ âñ³õ k â³ä 1 äî [ / ]m 2 p k k( ) .� 0 5, âñ³ ³íø³ êîìïîíåíòè äîð³âíþþòü 0; 2) äëÿ ïàðíîãî çíà÷åííÿ m îïîðíà ñèñòåìà âåêòîð³â íàë³÷óº m m/ 2 -âåêòîð³â p p m( ) ( / )1 2� �� , äëÿ ÿêèõ: — äëÿ âñ³õ k â³ä 1 äî m / 2 p k k( ) .� 0 5, âñ³ ³íø³ êîìïîíåíòè äîð³âíþþòü 0. Äîâåäåííÿ. Äîñòàòí³ñòü. Óñ³ îïîðí³ âåêòîðè º äîïóñòèìèìè ³ ñèìåòðè÷íè- ìè. Çã³äíî ç òâåðäæåííÿì ïðî îïóêëó êîìá³íàö³þ ð³âíîâàæíèõ âåêòîð³â òà òåîðå- ìîþ ïðî ñèìåòðè÷íå âð³âíîâàæåííÿ áóäü-ÿêà ¿õíÿ îïóêëà êîìá³íàö³ÿ º ñèìåòðè÷- íèì, äîïóñòèìèì òà ð³âíîâàæíèì âåêòîðîì. Íåîáõ³äí³ñòü. Íåõàé âåêòîð p p pm� � �( )1 � çàäîâîëüíÿº óìîâè òåîðåìè. Ïîòð³áíî çíàéòè âåêòîð � � � �� ( , )[ / ]1 2� m c , � i i c � � 1 1, êîåô³ö³ºíò³â îïóêëî¿ êîìá³íàö³¿ òàêèé, ùî � �i m{ , ..., }:1 � �k k m i k c i c ip p p � � � 1 2[ / ] ( ) ( ) , ÿêùî m — íåïàð- íå, àáî âåêòîð � � �� ( )/1 2� m , � i i m � � 1 2 1 / : � �i m{ , ..., }:1 � k k m i k ip p � � 1 2/ ( ) , ÿêùî m — ïàðíå. Ëåãêî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî äëÿ íåïàðíîãî m òàêèì âåêòîðîì º âåêòîð � � � �( , )[ / ]2 21 2p p pm c� , à äëÿ ïàðíîãî — � � � �( )[ / ]2 21 2p p m� . Ïðè öüîìó íåçàëåæíî â³ä ïàðíîñò³ âåëè÷èíè m ìàºìî � i i i i p � �1. Òåî- ðåìó äîâåäåíî. Ïðèêëàä 1. Íàâåäåìî ïðèêëàä îïîðíî¿ ñèñòåìè äëÿ âèïàäêó m � 9, à òàêîæ ï³äáîðó êîåô³ö³ºíò³â îïóêëî¿ êîìá³íàö³¿ äëÿ êîíêðåòíîãî âåêòîðà p. Îïîðí³ âåêòîðè ìàþòü âèãëÿä p ( ) ( . , , , , , , , , . )1 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5� ; p ( ) ( , . , , , , , , . , )2 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0� ; p ( ) ( , , . , , , , . , , )3 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0� ; p ( ) ( , , , . , , . , , , )4 0 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0� ; p c( ) ( , , , , , , , , )� 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . 60 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Ï³äáåðåìî íàëåæí³ êîåô³ö³ºíòè îïóêëî¿ êîìá³íàö³¿ äëÿ îòðèìàííÿ âåêòîðà p � ( . , . , . , . , . , . , . , . , . )0 03 0 12 0 25 005 0 1 0 05 0 25 0 12 003 . Âåêòîð êîåô³ö³ºíò³â äîð³âíþâàòèìå � � ( . , . , . , . , . )0 1 006 0 24 0 5 0 1 . 6. ÔÎÐÌÓÂÀÍÍß ÇÁÀËÀÍÑÎÂÀÍÎ¯ ÌÀÒÐÈÖ² «ÑÒÀÍ–²ÌÎÂ²ÐÍ²ÑÒÜ Ä²¯» ÍÀ ÎÑÍÎÂ² ÊÎÑÈÌÅÒÐÈ×ÍÈÕ ÍÀÁÎÐ²Â Äëÿ âèïàäêó n � 2 ìîæíà îòðèìàòè çáàëàíñîâàí³ ìàòðèö³ iç çàäàíèìè âëàñòè- âîñòÿìè çà äîñèòü ïðîñòèìè àëãîðèòìàìè. Îäíèì ç íèõ º ïðîïîíîâàíèé àëãî- ðèòì íà îñíîâ³ êîñèìåòðè÷íèõ íàáîð³â çíà÷åíü. Îçíà÷åííÿ 3. Äîïîâíåíî-ñèìåòðè÷íèì íàáîðîì áóäåìî íàçèâàòè ÷èñëîâèé íàá³ð a a am� � �( )1 � , âñ³ êîìïîíåíòè ÿêîãî ìàþòü ð³çí³ çíà÷åííÿ ³ äëÿ ÿêîãî a ai m i� �1 1, i m�1, . Äîìîâèìîñÿ, ùî íàá³ð a ìàº áóòè óïîðÿäêîâàíèì çà ñïàäàííÿì çíà÷åíü. Îçíà÷åííÿ 4. Êîñèìåòðè÷íèì äî çàäàíîãî óïîðÿäêîâàíîãî ÷èñëîâîãî íàáî- ðó a a am� � �( )1 � , 0 1� �ai , i m�1, , áóäåìî íàçèâàòè ÷èñëîâèé íàá³ð a a am� � �( )1 � , äëÿ ÿêîãî a ai m i� �1, i m�1, . Çðîçóì³ëî, ùî ÷èñëîâèé íàá³ð a a am� � �( )1 � áóäå âèçíà÷àòè êîñèìåòðè÷- íèé íàá³ð äëÿ íàáîðó a a am� � �( )1 � , òîáòî âîíè óòâîðþþòü ïàðó âçàºìíî êîñè- ìåòðè÷íèõ ÷èñëîâèõ íàáîð³â. ßê ïðèêëàä ìîæíà ðîçãëÿíóòè íàá³ð a � ( , . , . , . , . , . , . , . , )1 0 9 0 75 06 0 5 0 4 0 25 01 0 . (6) Áóäåìî ââàæàòè, ùî ÷èñåëüí³ çíà÷åííÿ åëåìåíò³â öüîãî íàáîðó ³íòåðïðåòó- þòü ðåçóëüòàòè ïîð³âíÿííÿ äâîõ àëüòåðíàòèâ çà òàêèìè ïðàâèëàìè: 1 — àëüòåðíàòèâà ìàº àáñîëþòíó ïåðåâàãó íàä ³íøîþ; 0.9 — âèð³øàëüíà ïåðåâàãà àëüòåðíàòèâè íàä ³íøîþ; 0.75 — çíà÷íà ïåðåâàãà àëüòåðíàòèâè íàä ³íøîþ; 0.6 — íåçíà÷íà ïåðåâàãà àëüòåðíàòèâè íàä ³íøîþ; 0.5 — àëüòåðíàòèâè º ð³âíîö³ííèìè; 0.4 — íåçíà÷íå â³äñòàâàííÿ àëüòåðíàòèâè â³ä ³íøî¿; 0.25 — çíà÷íå â³äñòàâàííÿ àëüòåðíàòèâè â³ä ³íøî¿; 0.1 — âèð³øàëüíå â³äñòàâàííÿ àëüòåðíàòèâè â³ä ³íøî¿; 0 — àáñîëþòíå â³äñòàâàííÿ àëüòåðíàòèâè â³ä ³íøî¿. Òîä³ àëãîðèòì ôîðìóâàííÿ çáàëàíñîâàíî¿ ìàòðèö³ íà îñíîâ³ êîñèìåòðè÷íîãî íàáîðó, ê³ëüê³ñòü ñòîâï÷èê³â ÿêî¿ äîð³âíþº 2, à ê³ëüê³ñòü ðÿäê³â äîð³âíþº ê³ëüêîñò³ åëåìåíò³â íàáîðó, ïîëÿãàº â ïîñë³äîâíîìó óòâîðåíí³ êîñèìåòðè÷íîãî íàáîðó a ³ çàïîâíåíí³ ïåðøîãî ñòîâï÷èêà åëåìåíòàìè ç íàáîðó a òà äðóãîãî ñòîâï÷èêà — åëåìåíòàìè ç íàáîðó a . Ìàòðèöÿ, îòðèìàíà íà îñíîâ³ êîñèìåòðè÷íèõ íàáîð³â, º ïðÿìîêóòíîþ ñòîõàñòè÷- íîþ çà ïîáóäîâîþ, à ¿¿ çáàëàíñîâàí³ñòü çóìîâëåíà òèì, ùî îáèäâà ñòîâï÷èêè ì³ñòÿòü îäí³ é ò³ ñàì³ åëåìåíòè. Î÷åâèäíî, äëÿ íå¿ âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ (5), ³ òîìó áóäü-ÿêèé ñèìåòðè÷íèé äîïóñòèìèé âåêòîð áóäå äëÿ íå¿ ð³âíîâàæíèì. Íàïðèêëàä, ìàòðèöÿ, ñôîðìîâàíà ç âèêîðèñòàííÿì öüîãî àëãîðèòìó íà îñíîâ³ íàáîðó (6), ìàº âèãëÿä Z � 1 0 0 9 0 1 0 75 0 25 06 0 4 0 5 0 5 0 4 06 0 25 0 75 0 1 0 9 . . . . . . . . . . . . . . 0 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . (7) ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 61 7. ÏÐÎ ÌÎÆËÈÂ²ÑÒÜ ÊÎÌÁ²ÍÎÂÀÍÎ¯ ÎÖ²ÍÊÈ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ Âèá³ð íàáîðó (6) ìîæíà ââàæàòè äîñèòü ðîçóìíèì òà îá´ðóíòîâàíèì, àëå ÿâíå çàäàííÿ áóäü-ÿêèõ åëåìåíò³â ìàº îðãàí³÷íèé íåäîë³ê: çíà÷íîþ ì³ðîþ âòðà- ÷àºòüñÿ ãíó÷ê³ñòü òà àäàïòèâí³ñòü ³ ÷àñòî íå çàáåçïå÷óºòüñÿ âèêîíàííÿ òèõ ÷è ³íøèõ âëàñòèâîñòåé. Òîìó âàðòî ðîçãëÿíóòè ìîæëèâ³ñòü àâòîìàòè÷íîãî ôîðìó- âàííÿ êîñèìåòðè÷íèõ íàáîð³â íà îñíîâ³ ïåâíèõ àëãîðèòì³â. Îñòàíí³ìè ðîêàìè äîáðå çàðåêîìåíäóâàâ ñåáå ìåòîä ïîïàðíèõ ïîð³âíÿíü Ñààò³ [9]. Ïðîòå ñòàí- äàðòíà øêàëà ì³ð ïåðåâàã, çàïðîïîíîâàíà Ñààò³ (1 — àëüòåðíàòèâè ð³âíîö³íí³, 3 — ñëàáêà ïåðåâàãà, 5 — ïîì³òíà ïåðåâàãà, 7 — ñèëüíà ïåðåâàãà, 9 — âèð³øàëüíà ïåðåâàãà), íå çàâæäè äàº ãàðí³ ðåçóëüòàòè. Òîìó íà ïðàêòèö³ ÷àñòî çàñòîñîâóþòü ïàðàìåòðèçîâàíèé ìåòîä Ñààò³ [10], ÿêèé çà ðàõóíîê íàëåæíîãî âèáîðó ïàðàìåòðó �, � �1, íàäàº çìîãó îòðèìàòè øêàëó ì³ð ïåðåâàã, ÿêà º íàéá³ëüø ï³äõîæîþ äëÿ ðîçãëÿäóâàíî¿ çàäà÷³. Ïðîïîíóºòüñÿ âèêîðèñòîâóâàòè òàêó øêàëó: ÿêùî ñëàáêà ïåðåâàãà îö³íþºòüñÿ ÿê �, òî íàñòóïíà ãðàäàö³ÿ (ïîì³òíà ïåðåâàãà) — ÿê � 2 , ³ ò.ä. Ñàì ïðèíöèï ôîðìóâàííÿ êîñèìåòðè÷íèõ íàáîð³â íà îñíîâ³ ïàðíèõ ïîð³âíÿíü º çðîçóì³ëèì: êîæíèé åëåìåíò íàáîðó îòðèìóþòü íà îñíîâ³ íîðìàë³çî- âàíîãî ãîëîâíîãî ïðàâîãî âëàñíîãî âåêòîðà êîíêðåòíî¿ ìàòðèö³ ïàðíèõ ïîð³âíÿíü. Ïðèêëàä 2. Íåõàé äëÿ äåÿêîãî ³íäåêñó k ïåðåâàãà àëüòåðíàòèâè 1 íàä àëü- òåðíàòèâîþ 2 îö³íþºòüñÿ ÿê ñëàáêà. Â³çüìåìî � �1 5. (ó ïðîâåäåíèõ åêñïåðèìåí- òàõ öå çíà÷åííÿ äàº çíà÷åííÿ åëåìåíò³â íàáîðó, ùî º áëèçüêèìè äî ³íòó¿òèâíî áàæàíèõ, õî÷à ó öüîìó âàð³àíò³ áàæàíî çá³ëüøèòè ê³ëüê³ñòü ñòàí³â m). Íåõàé ìàòðèöÿ ïàðíèõ ïîð³âíÿíü ìàº âèãëÿä 1 1 5 1 1 5 1 . / . � � � � � � . ¯¿ íîðìàë³çîâàíèé ãîëîâíèé âëàñíèé âåêòîð äîð³âíþº (0.6000; 0.4000). Â³äïîâ³äíî äî öüîãî ôîð- ìóºìî ïàðó âçàºìíî êîñèìåòðè÷íèõ ÷èñëîâèõ íàáîð³â ó âèãëÿä³ a ak m k� � �06000 0 40001. ; . ; a ak m k� � �0 4000 060001. ; . . Âèîêðåìëåííÿ ê³ëüêîõ ï³äõîä³â äî îö³íþâàííÿ çìóøóº çâåðòàòè á³ëüøó óâà- ãó íà òàêèé àñïåêò — ñë³ä îö³íþâàòè íå ò³ëüêè â³äíîñíó ïåðåâàãó îäí³º¿ àëüòåð- íàòèâè íàä ³íøèìè, àëå é ÿê³ñòü àëüòåðíàòèâ ÿê òàêèõ. Ä³éñíî, ÿêùî äåÿêà àëü- òåðíàòèâà äëÿ àãåíòà º êðàùîþ çà âñ³ êîíêóðóþ÷³, àëå âñå îäíî º ïîãàíîþ, öå ñïîíóêàº íåçàäîâîëåíîãî àãåíòà äî ïîøóêó ³íøèõ àëüòåðíàòèâ. Òàêèé åôåêò ñïîñòåð³ãàâñÿ, íàïðèêëàä, ó íèçö³ êðà¿í ï³ä ÷àñ ïðîâåäåííÿ ïîë³òè÷íî¿ âèáîð÷î¿ êàìïàí³¿. Òîä³ äëÿ ïîð³âíÿííÿ àëüòåðíàòèâ äîö³ëüíî çàñòîñîâóâàòè ïàðàìåòðèçî- âàíèé ìåòîä ïîïàðíèõ ïîð³âíÿíü, à äëÿ îö³íþâàííÿ íàéêðàùîãî ç íèõ — îäèí ç ìåòîä³â íå÷³òêîãî ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü (ìåòîä öåíòðó òÿæ³ííÿ êîìïîçèö³¿ «ìàêñè- ìóì–ì³í³ìóì», äèâ. [11]). 8. ÏÐÈÊËÀÄ ÂÒÐÀÒÈ Ð²ÂÍÎÂÀÃÈ ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ ÍÀ ÎÑÍÎÂ² ÇÌ²ÍÈ ÊÎÌÏÎÍÅÍÒ²Â ÌÎÄÅË² ßêùî äèíàì³÷íó ð³âíîâàãó àëüòåðíàòèâ ó ìåæàõ ìîäåë³ «ñòàí-³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» âæå âñòàíîâëåíî, äëÿ ¿¿ ïîðóøåííÿ, î÷åâèäíî, ïîòð³áíî çì³íþâàòè êîìïîíåíòè ìîäåë³. Çðîçóì³ëî, ùî ìàí³ïóëþâàòè ìàòðèöåþ «ñòàí-³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» Z íåìàº ñåíñó. Íàâïàêè, âèäàºòüñÿ äîö³ëüíèì çàô³êñóâàòè ¿¿ íà âåñü ÷àñ ìîäåëþâàííÿ. Êð³ì òîãî, ðàö³îíàëüíî çðîáèòè ¿¿ çáàëàíñîâàíîþ — òîä³ âîíà íå áóäå íàäàâà- òè ïåðåâàãè æîäí³é àëüòåðíàòèâ³; ö³ ïåðåâàãè áóäóòü çàëåæàòè âèêëþ÷íî â³ä ïåðåõ³äíèõ òà/àáî ñòàö³îíàðíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé. Îòæå, ÿêùî äåÿêèé àãåíò áàæàº çì³íèòè ðåçóëüòàòè êîëåêòèâíîãî âèáîðó ó âèã³äíèé äëÿ ñåáå á³ê, â³í ìàº ñïðîâîêóâàòè ïåðåõ³ä çíà÷íî¿ ÷àñòèíè àãåíò³â äî ³íøèõ ñòàí³â, ³ â áóäü-ÿêîìó âèïàäêó çì³íèòè àáî ìàòðèöþ ïåðåõ³äíèõ 62 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 ³ìîâ³ðíîñòåé Ï, àáî âåêòîð ñòàö³îíàðíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé. Ðîçãëÿíåìî ðîçãîðíóòèé ïðèêëàä, ÿêèé ³ëþñòðóº öå ïîëîæåííÿ. Ïðèêëàä 3. Â³çüìåìî ìàòðèöþ «ñòàí-ä³ÿ» Z âèãëÿäó (7) ³ ñèìåòðè÷íèé âåê- òîð ñòàö³îíàðíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé p � ( , . , , . , , . , , . , )0 0 25 0 0 25 0 0 25 0 0 25 0 . Áåçïîñåðåäíüîþ ï³äñòàíîâêîþ â (1) îòðèìóºìî âåêòîð ³ìîâ³ðíîñòåé ³íäèâ³äóàëüíîãî âèáîðó àëüòåðíàòèâ � � ( . ; . )0 5000 0 5000 . Îòæå, âåêòîð p ä³éñíî º ð³âíîâàæíèì. Íåõàé äåÿêîìó àãåíòó âäàëîñÿ çì³íèòè ñòàö³îíàðí³ éìîâ³ðíîñò³, ÿê³ âèçíà÷à- þòüñÿ âåêòîðîì p1 0 0 35 0 0 15 0 0 25 0 0 25 0� ( , . , , . , , . , , . , ) . Òåïåð ï³äñòàíîâêà â (1) äàº �1 0 5300 0 4700� ( . ; . ) . Äèíàì³÷íó ð³âíîâàãó ïîðóøåíî. ßê âèäíî ç òàáë. 1, çà äî- ñèòü âåëèêî¿ ê³ëüêîñò³ àãåíò³â öüîãî ö³ëêîì äîñòàòíüî, ùîá çàáåçïå÷èòè ñò³éêó ïåðåâàãó ïåðø³é àëüòåðíàòèâ³. 9. ÇÀÃÀËÜÍÀ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÌÍÎÆÈÍÈ Ð²ÂÍÎÂÀÆÍÈÕ ÂÅÊÒÎÐ²Â ÍÀ ÎÑÍÎÂ² ÇÂÎÐÎÒÍÎ¯ ÇÀÄÀ×² Î÷åâèäíî, ùî ìíîæèíó ð³âíîâàæíèõ m-âåêòîð³â (ïðèíàéìí³ äëÿ çàäàíîãî Z) ìîæíà îêðåñëèòè íà îñíîâ³ äåÿêî¿ çâîðîòíî¿ çàäà÷³ â³äíîâëåííÿ éìîâ³ðíîñòåé ñòàí³â çà ðåçóëüòàòàìè ãîëîñóâàííÿ, à ñàìå íà îñíîâ³ ñèñòåìè ë³í³éíèõ àëãåá- ðà¿÷íèõ ð³âíÿíü â³äíîñíî pi , i m�1, , z p j n pij i i m i i m � � � � � � 1 1 0 5 1 1. , , , (8) ç îáìåæåííÿìè 0 1 1� � �p i mi , , . (9) Ñèñòåìà (8) ç îáìåæåííÿìè (9) íå çàâæäè ìàº ðîçâ’ÿçêè; ïðî³ëþñòðóºìî öå íà ïðèêëàä³. Ñïðîáóºìî ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó (8)–(9) äëÿ ìàòðèö³ Z � � � � �� 0 25 0 75 0 1 0 9 0 1 . . . . . Îòðèìàíî âåêòîð (1.9474; 0.1316; –1.0789). Â³í çàäîâîëüíÿº âëàñíå ñèñòåìó ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü (8), àëå ïîðó- øóº îáìåæåííÿ (9). Òîìó â³í íå º äîïóñòèìèì ³ íå ìîæå áóòè ð³âíîâàæíèì. Ä³éñíî, íàâåäåíà ìàòðèöÿ ïîðóøóº íåîáõ³äí³ óìîâè òîãî, ùîá ñèñòåìà (8) ç îáìåæåííÿìè (9) ìàëà ðîçâ’ÿçêè, à ñàìå: max i ij jz � � � �j n1, , (10) min i ij jz � � , � �j n1, . (11) Ñïðàâä³, íåõàé óìîâà (10) íå âèêîíóºòüñÿ õî÷à á äëÿ îäíîãî ñòîâï÷èêà l . Òîä³, íàâ³òü ÿêùî ó â³äïîâ³äíîìó ð³âíÿíí³ âçÿòè êðàéí³é âèïàäîê òà äëÿ k z i il� arg max ïîêëàñòè pk �1, òî îòðèìóºìî z p zil i m i kj l � � � 1 � , à äëÿ áóäü-ÿêî- ãî ³íøîãî äîïóñòèìîãî âåêòîðà p öÿ ñóìà ìîæå ò³ëüêè çìåíøèòèñÿ. Àíàëîã³÷íî, ÿêùî äëÿ l-ãî ñòîâï÷èêà íå âèêîíóºòüñÿ óìîâà (11), òî íàâ³òü ó êðàéíüîìó âèïàäêó ( pk �1 äëÿ k z i il� arg min ) z p zil i m i kj l � � � 1 � ³ äëÿ áóäü-ÿêîãî ³íøîãî äîïóñòèìîãî âåêòîðà p öÿ ñóìà ìîæå ò³ëüêè çá³ëüøèòèñÿ. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 63 Âò³ì, ìîæíà çàâæäè ñôîðìóâàòè ìàòðèöþ Z òàê, ùîá ñèñòåìà (8)–(9) çàâ³äîìî ìàëà ðîçâ’ÿçêè. Ç ³íøîãî áîêó, ñèñòåìà ó á³ëüøîñò³ âèïàäê³â º íåäîâè- çíà÷åíîþ, ³ òîìó ðîçâ’ÿçîê íå º ºäèíèì. Òîä³ ìíîæèíà ð³âíîâàæíèõ m-âåêòîð³â ìàº óòâîðþâàòè îïóêëèé ñèìïëåêñ. 10. ÏÅÐÅÕ²ÄÍ² ÉÌÎÂ²ÐÍÎÑÒ² ÒÀ Ð²ÂÍÎÂÀÆÍÈÉ ÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÈÉ ÐÎÇÏÎÄ²Ë Ó ö³é ðîáîò³ îñíîâíó óâàãó ïðèä³ëåíî ìîäåë³ � �Z p, , äëÿ ÿêî¿ âåêòîð ñòàö³îíàðíîãî ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé p ââàæàâñÿ çàäàíèì. Ïðîòå àíàë³ç ìàò- ðèö³ ïåðåõ³äíèõ éìîâ³ðíîñòåé ìàðêîâñüêîãî ëàíöþãà Ï òàêîæ ìàº ñóòòºâå çíà÷åííÿ — çîêðåìà, ñàìå ö³ éìîâ³ðíîñò³ ìîæóòü çì³íþâàòèñÿ â ïðîöåñ³ çà- îõî÷åíü òà ïîêàðàíü, ÿê³ îòðèìóº àãåíò. Ó ìåæàõ ö³º¿ ðîáîòè âèçíà÷èìî, çà ÿêèõ ïåðåõ³äíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé ñòàö³îíàð- íèé ðîçïîä³ë p çàëèøàºòüñÿ ð³âíîâàæíèì. ßê ïîêàçàíî, çà óìîâè çáàëàíñîâàíîñò³ ìàòðèö³ Z äîñòàòíüîþ óìîâîþ ð³âíîâàæíîñò³ äîïóñòèìîãî âåêòîðà p º ñèìåò- ðè÷í³ñòü öüîãî âåêòîðà. Òåîðåìà 3. Íåõàé äëÿ êâàäðàòíî¿ m m� -ìàòðèö³ A âèêîíóºòüñÿ îäíà ç äâîõ óìîâ: à) ìàòðèöÿ A ìàº ñèìåòðè÷í³ ñòîâïö³, òîáòî � � �i j a aij i m j, : , 1; á) ìàòðèöÿ A º öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íîþ, òîáòî � � � �i j a aij m i m j, : ,1 1. Òîä³ ãîëîâíèé ë³âèé âëàñíèé âåêòîð x ìàòðèö³ A º ñèìåòðè÷íèì, òîáòî � � �j x xj m j: 1. Äîâåäåííÿ. Äîñòàòí³ñòü óìîâè à) º î÷åâèäíîþ. Âîíà ïî ñóò³ îçíà÷àº, ùî j-é òà m j i � -é ñòîâïö³ ìàòðèö³ äîð³âíþþòü îäèí îäíîìó, çâ³äêè âèïëèâàº, ùî ïîâèíí³ äîð³âíþâàòè îäíà îäí³é ³ â³äïîâ³äí³ êîìïîíåíòè ãîëîâíîãî âëàñíîãî âåêòîðà. Äîñòàòí³ñòü óìîâè á) âèïëèâàº ç òîãî, ùî â ðåçóëüòàò³ ìíîæåííÿ áóäü-ÿêîãî ñèìåòðè÷íîãî âåêòîðà � íà öåíòðàëüíî-ñèìåòðè÷íó ìàòðèöþ A îòðèìóºòüñÿ ñè- ìåòðè÷íèé âåêòîð. Ä³éñíî, ÿêùî öÿ óìîâà âèêîíóºòüñÿ, òî ( ) ( ),� � � �A A A Aj i i m ij i i m i m i m j� � � � � � � 1 1 1 1. Òåîðåìó äîâåäåíî. ÂÈÑÍÎÂÊÈ Ó ñòàòò³ çàïðîïîíîâàíî ôîðìàë³çîâàíó ïðîöåäóðó ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü ó âèãëÿä³ òàê çâàíî¿ ìîäåë³ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» òà îá´ðóíòîâàíî äîö³ëüí³ñòü ¿¿ çàñòî- ñóâàííÿ. Ó ìåæàõ ö³º¿ ìîäåë³ ââåäåíî ìàòðèöþ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» Z , ðÿä- êè ÿêî¿ â³äïîâ³äàþòü ñòàíàì, ³ äëÿ êîæíîãî ñòàíó çàäàíî éìîâ³ðíîñò³ òîãî, ùî àãåíò âèáåðå òó ÷è ³íøó àëüòåðíàòèâó. Ç òåîðåòè÷íîãî ïîãëÿäó äîö³ëüí³ñòü ðîçãëÿäó ìîäåë³ «ñòàí-³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» çóìîâëåíà òàêèìè ¿¿ ðèñàìè: — ìîäåëü çàäàº çðó÷íó ôîðìàë³çàö³þ äëÿ îïèñó éìîâ³ðíîñòåé âèáîðó ä³é (íàá³ð ñòàí³â) òà ìîæëèâèõ ïåðåõîä³â ì³æ ñòàíàìè; çîêðåìà ÿâíî âèîêðåìëåíî ìàðêîâñüêèé ëàíöþã ïåðåõîä³â; — ó ¿¿ ìåæàõ çðó÷íî äîâîäèòè íèçêó âëàñòèâîñòåé, çîêðåìà óìîâè ôîðìó- âàííÿ äèíàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè; — óâåäåíèé ó ìåæàõ ìîäåë³ íàá³ð ñòàí³â ìîæíà (³ ÷àñòî ïîòð³áíî) ðîçãëÿäà- òè ÿê ïîêàçíèêè ôóíêö³îíóâàííÿ äåÿêî¿ á³ëüø ñêëàäíî¿ ñèñòåìè ³ºðàðõ³÷íîãî àáî ã³áðèäíîãî âèãëÿäó, ùî ïðèçâîäèòü äî çì³íè ñòàí³â; íàïðèêëàä, öå ìîæå ìàòè çíà÷åííÿ, ÿêùî àãåíòè ðîçä³ëåí³ íà ãðóïè ç ð³çíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè òà ìîæóòü ïåðåõîäèòè ç îäí³º¿ ãðóïè äî ³íøî¿; — ¿¿ ìîæíà óçàãàëüíèòè íà âèïàäîê çì³ííî¿ ê³ëüêîñò³ ñòàí³â, à òàêîæ äëÿ âè- êîðèñòàííÿ â óìîâàõ íå÷³òêîãî çàäàííÿ ñòàí³â. 64 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Á³ëüø êîíêðåòíî, ó ñòàòò³ ðîçãëÿíóòî ïèòàííÿ ïðî òå, â ÿêèé ñïîñ³á ó ìåæàõ ìîäåë³ «ñòàí–³ìîâ³ðí³ñòü ä³¿» ìîæíà îòðèìàòè óìîâè äèíàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè äâîõ àëüòåðíàòèâ ó áàãàòîàãåíòíîìó ñåðåäîâèù³ ó âèïàäêó ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü ïðîñòîþ á³ëüø³ñòþ ãîëîñ³â. Äèíàì³÷íà ð³âíîâàãà îçíà÷àº, ùî ïî ÷åðç³ ïåðåìàãàº òî îäíà, òî ³íøà àëüòåðíàòèâà ³ æîäíà ç íèõ íå ìàº ïîñò³éíî¿ ïåðåâàãè íàä ³íøîþ. Ââåäå- íî ïîíÿòòÿ ð³âíîâàæíîãî âåêòîðà. Çàïðîïîíîâàíî àëãîðèòì îòðèìàííÿ ( )ò�2 -ìàòðèöü íà îñíîâ³ êîñèìåòðè÷íèõ íàáîð³â. Ñôîðìóëüîâàíî ³ äîâåäåíî òå- îðåìó, ÿêà âñòàíîâëþº óìîâè ð³âíîâàæíîñò³ âåêòîð³â. Íàéá³ëüø î÷åâèäíèìè (³ íàéá³ëüø ïåðñïåêòèâíèìè) íàïðÿìêàìè ïîäàëüøèõ äîñë³äæåíü º òàê³: 1. Íåîäíîð³äí³ñòü áàãàòîàãåíòíîãî ñåðåäîâèùà. 2. Çàñòîñóâàííÿ íàâ÷àííÿ. Ìîæëèâèé ïîãëÿä íà íàâ÷àííÿ àãåíòà ìîæå ïîëÿ- ãàòè ó çì³í³ éìîâ³ðíîñòåé ïðèéíÿòòÿ òèõ ÷è ³íøèõ ð³øåíü íà îñíîâ³ íàÿâíîãî äîñâ³äó; öå º îñîáëèâî õàðàêòåðíèì äëÿ íàâ÷àííÿ ç ï³äêð³ïëåííÿì. 3. Âðàõóâàííÿ âçàºìíîãî âïëèâó àãåíò³â. 4. Çàñòîñóâàííÿ íå÷³òêîãî ï³äõîäó äëÿ îö³íþâàííÿ â³äíîñíèõ ïåðåâàã àëü- òåðíàòèâ íà îñíîâ³ íå÷³òêèõ òà ñêëàäåíèõ íå÷³òêèõ ÷èñåë [12] ç âèêîðèñòàííÿì ñêàëÿðíèõ àáî âåêòîðíèõ ìíîæèí ð³âíÿ òà íà îñíîâ³ çàëó÷åííÿ çàçíà÷åíèõ âèùå íå÷³òêèõ îïòèì³çàö³éíèõ çàäà÷ [6]. 5. ²íøå ïåðñïåêòèâíå çàñòîñóâàííÿ íå÷³òêîñòåé ìîæå ïîëÿãàòè â ïîáóäîâ³ íå÷³òêèõ àíàëîã³â ñï³ââ³äíîøåííÿ (1) ç íå÷³òêèìè åëåìåíòàìè ìàòðèö³ Z òà âåê- òîðà p , çîêðåìà íà îñíîâ³ éìîâ³ðí³ñíî-íå÷³òêèõ ôîðìàë³çì³â, íàâåäåíèõ ó [13]. Á³ëüø ñåðéîçíèé òåîðåòè÷íèé ðîçâèòîê ìîäåë³ ìîæå ïîëÿãàòè â çàëó÷åíí³ äåÿ- êîãî ³ãðîâîãî ï³äõîäó. Ìîæíà ðîçãëÿíóòè ñèòóàö³þ, â ÿê³é ïî÷àòêîâèì ñòàíîì º ñè- òóàö³ÿ äèíàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè, à àãåíòè âïëèâó ìîæóòü äîêëàäàòè ïåâíèõ çóñèëü äî çì³íè ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ç ìåòîþ ïîðóøåííÿ ð³âíîâàãè ó âèã³äíîìó äëÿ ñåáå íà- ïðÿìêó. Â ðîçä³ë³ 8 ö³º¿ ñòàòò³ íàâåäåíî äåÿê³ ³íòó¿òèâí³ ì³ðêóâàííÿ íà öþ òåìó òà â³äïîâ³äí³ ïðèêëàäè, àëå öåé íàïðÿìîê ïîòðåáóº óòî÷íåíü ³ ïîäàëüøèõ ôîð- ìàë³çàö³é. Íà ö³é îñíîâ³ ïðèðîäíî ðîçãëÿäàòè êåðóâàííÿ ïðîöåñàìè äîñÿãíåííÿ äè- íàì³÷íî¿ ð³âíîâàãè, êîëèâàííÿ íàâêîëî íå¿ òà/àáî ñò³éêîãî â³äõèëåííÿ â³ä òî÷êè ð³âíîâàãó. Ïðè öüîìó ìîæíà ðîçãëÿäàòè çàäà÷ó ì³í³ì³çàö³¿ çóñèëü àãåíò³â âïëèâó. Öÿ çàäà÷à ìîæå ìàòè ³ ïðàêòè÷íå çíà÷åííÿ, íàïðèêëàä, äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷, ïî- â’ÿçàíèõ ³ç ïîøèðåííÿì ³íôîðìàö³éíèõ âïëèâ³â ó ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íèõ ñèñòåìàõ. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ðàññåë Ñ., Íîðâèã Ï. Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò: ñîâðåìåííûé ïîäõîä. Ìîñêâà: Èçä. äîì «Âèëüÿìñ», 2006. 408 ñ. 2. Íèêîëåíêî Ñ.È., Òóëóïüåâ À.Ë. Ñàìîîáó÷àþùèåñÿ ñèñòåìû. Ìîñêâà: ÌÖÍÌÎ, 2009. 288 ñ. 3. Ëåòè÷åâñêèé À.À. Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ è êèáåð-ôèçè÷åñêèå ñèñòåìû. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2017. ¹ 5. Ñ. 37–55. 4. Òàðàñîâ Â.Á. Îò ìíîãîàãåíòíûõ ñèñòåì ê èíòåëëåêòóàëüíûì îðãàíèçàöèÿì. Ìîñêâà: Ýäèòîðè- àë ÓÐÑÑ, 2002. 352 ñ. 5. Ìóëåí Ý. Êîîïåðàòèâíîå ïðèíÿòèå ðåøåíèé. Àêñèîìû è ìîäåëè. Ìîñêâà: Ìèð, 1991. 464 ñ. 6. Mashchenko S.O. A mathematical programming problem with the fuzzy set of indices of constraints. Cybernetics and systems analysis. 2013. Vol. 49, N 1. P. 62–68. https://doi.org/10.1007/ s10559-013-9485-4. 7. Îëåöüêèé Î.Â. Ïðî ï³äõ³ä äî ìîäåëþâàííÿ ïðîöåñó ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü ó áàãàòîàãåíòíîìó ñå- ðåäîâèù³ íà îñíîâ³ ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó çì³íè éìîâ³ðíîñòåé âèáîðó. Íàóêîâ³ çàïèñêè ÍàÓÊÌÀ. Êîìï’þòåðí³ íàóêè. 2018. Ò. 1. C. 40–43. 8. Õîðí Ð., Äæîíñîí ×. Ìàòðè÷íûé àíàëèç. Ìîñêâà: Ìèð, 1989. 655 ñ. 9. Ñààòè Ò. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé. Ìîñêâà: Ðàäèî è ñâÿçü, 1993. 278 ñ. 10. ×åðíîðóöêèé È.Ã. Ìåòîäû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã: ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2005. 416 ñ. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 65 11. Ãëèáîâåöü Ì.Ì., Îëåöüêèé Î.Â. Øòó÷íèé ³íòåëåêò. Êè¿â: Âèäàâíè÷èé ä³ì «Àêàäåì³ÿ», 2002. 366 ñ. 12. Ivokhin E.V., Apanasenko D.V. Clustering of composite fuzzy numbers aggregate based on sets of scalar and vector levels. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. Vol. 50, N 10. P. 47–59. https://doi.org/10.1615/jautomatinfscien.v50.i10.40. 13. Ïðîâîòàð Î.²., Ïðîâîòàð Î.Î. Íå÷³òê³ éìîâ³ðíîñò³ íå÷³òêèõ ïîä³é. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2020. Ò. 56, ¹ 2. Ñ. 3–13. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 18.10.2019 À.Â. Îëåöêèé, Å.Â. Èâîõèí ÔÎÐÌÀËÈÇÀÖÈß ÏÐÎÖÅÄÓÐÛ ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈß ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÀËÜÒÅÐÍÀÒÈÂ Â ÌÍÎÃÎÀÃÅÍÒÍÎÉ ÑÐÅÄÅ Â ÏÐÎÖÅÑÑÀÕ ÏÐÈÍßÒÈß ÐÅØÅÍÈÉ ÁÎËÜØÈÍÑÒÂÎÌ ÃÎËÎÑÎÂ Àííîòàöèÿ. Ñ öåëüþ àíàëèçà èíäèâèäóàëüíîãî è êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ àãåíòîâ ïðåäëîæåíà ìîäåëü «ñîñòîÿíèå-âåðîÿòíîñòü âûáîðà». Îíà îñíîâàíà íà ÿâíîì ðàññìîòðåíèè âåðîÿòíîñòåé âûáîðà àëüòåðíàòèâ è íà ìàðêîâñêîé öåïè èçìåíåíèÿ ýòèõ âåðîÿòíîñòåé. Öåíòðàëüíîå ìåñòî â ìîäåëè çàíèìàåò ìàòðèöà «ñîñòîÿíèå-âåðîÿòíîñòü âûáîðà», ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò ñî- ñòîÿíèÿì, à ñòîëáöû–àëüòåðíàòèâàì. Â ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè óñòàíîâëåíû íå- êîòîðûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ äâóõ àëüòåðíàòèâ, åñëè ðåøåíèÿ ïðèíèìàþòñÿ ïðîñòûì áîëüøèíñòâîì ãîëîñîâ. Äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå îçíà÷àåò, ÷òî ïî î÷åðåäè âûáèðàþòñÿ ðàçíûå àëüòåðíàòèâû, è ïðè ìíîãîêðàòíîì âûáîðå êàæäàÿ èç íèõ íå èìååò ïðåèìóùåñòâà íàä äðó- ãèìè. Ïîëó÷åí òàêæå êîíñòðóêòèâíûé ñïîñîá ôîðìèðîâàíèÿ ìàòðèö «ñîñòî- ÿíèå-âåðîÿòíîñòü âûáîðà», äëÿ êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîå ðàâ- íîâåñèå àëüòåðíàòèâ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèòóàöèÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, äèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå, àãåíòû. O.V. Oletsky, E.V. Ivohin FORMALIZING THE PROCEDURE FOR THE FORMATION OF A DYNAMIC EQUILIBRIUM OF ALTERNATIVES IN A MULTI-AGENT ENVIRONMENT IN DECISION-MAKING BY MAJORITY OF VOTES Abstract. In order to investigate individual and collective behavior of agents, the model called the “state–probability of choice” has been suggested. The model is based on implicit regarding of choice probabilities and on the Markov chain of changing these probabilities. The main point of the model is a “state–probability of choice” matrix whose rows correspond to states and the columns correspond to alternatives. Within this model, some sufficient conditions of the dynamic equilibrium between two alternatives have been established. The dynamic equilibrium means that different alternatives are being chosen by rotation, and any of them has no advantage over others. The way of forming “state–probability of choice” matrices providing the dynamic equiibrium has been suggested. Keywords: decision-making situation, dynamic equilibrium, agents. Îëåöüêèé Îëåêñ³é Â³òàë³éîâè÷, êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðè ìóëüòèìåä³éíèõ ñèñòåì ôàêóëüòåòó ³íôîðìàòèêè Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Êèºâî-Ìîãèëÿíñüêà àêàäåì³ÿ», e-mail: oletsky@ukr.net. ²âîõ³í ªâãåí Â³êòîðîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, ïðîôåñîð êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: ivohin@univ.kiev.ua. 66 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1

Формалізація процедури формування динамічної рівноваги альтернатив у багатоагентному середовищі у процесах прийняття рішень більшістю голосів

Institution

Similar Items