Исследование СМО вида M|M|N с обратной связью методом асимптотического анализа

Рассмотрена математическая модель повторного обслуживания заявок в виде системы массового обслуживания с N обслуживающими приборами, мгновенной и отсроченной обратными связями и орбитом. Считается, что объем орбита для заявок, требующих повторного обслуживания, является бесконечным. Входящий поток п...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2021
Автори:	Назаров, А.А., Меликов, А.З., Павлова, Е.А., Алиева, С.Г., Пономаренко, Л.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Назва видання:	Кібернетика та системний аналіз
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190585
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа / А.А. Назаров, А.З. Меликов, Е.А. Павлова, С.Г. Алиева, Л.А. Пономаренко // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 67–76. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190585
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1905852023-06-14T14:05:53Z Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа Назаров, А.А. Меликов, А.З. Павлова, Е.А. Алиева, С.Г. Пономаренко, Л.А. Системний аналіз Рассмотрена математическая модель повторного обслуживания заявок в виде системы массового обслуживания с N обслуживающими приборами, мгновенной и отсроченной обратными связями и орбитом. Считается, что объем орбита для заявок, требующих повторного обслуживания, является бесконечным. Входящий поток пуассоновский. Для нахождения совместного распределения вероятностей числа занятых приборов в системе и числа заявок в орбите использован метод асимптотического анализа. Приведены результаты численного эксперимента. Розглянуто математичну модель повторного обслуговування заявок у вигляді системи масового обслуговування з N обслужними приладами, миттєвим і відстроченим зворотними зв'язками та орбітом. Вважається, що розмір орбіту для заявок, що потребують повторного обслуговування, є нескінченним. Вхідний потік є пуассонівським. Для знаходження спільного розподілу ймовірностей кількості зайнятих приладів у системі і кількості заявок в орбіті використано метод асимптотичного аналізу. Наведено результати чисельного експерименту. In this paper, we consider a mathematical model for re-servicing customers in the form of a queuing system with N servers, instant and delayed feedback, and an orbit. It is believed that the orbit size for customers requiring re-service is infinite. The input flow is Poisson. To find the joint probability distribution of the number of occupied servers in the system and the number of customers in orbit, the asymptotic analysis method is used. The results of a numerical experiment are presented. 2021 Article Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа / А.А. Назаров, А.З. Меликов, Е.А. Павлова, С.Г. Алиева, Л.А. Пономаренко // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 67–76. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190585 519.872 ru Кібернетика та системний аналіз Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Назаров, А.А. Меликов, А.З. Павлова, Е.А. Алиева, С.Г. Пономаренко, Л.А. Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа Кібернетика та системний аналіз
description	Рассмотрена математическая модель повторного обслуживания заявок в виде системы массового обслуживания с N обслуживающими приборами, мгновенной и отсроченной обратными связями и орбитом. Считается, что объем орбита для заявок, требующих повторного обслуживания, является бесконечным. Входящий поток пуассоновский. Для нахождения совместного распределения вероятностей числа занятых приборов в системе и числа заявок в орбите использован метод асимптотического анализа. Приведены результаты численного эксперимента.
format	Article
author	Назаров, А.А. Меликов, А.З. Павлова, Е.А. Алиева, С.Г. Пономаренко, Л.А.
author_facet	Назаров, А.А. Меликов, А.З. Павлова, Е.А. Алиева, С.Г. Пономаренко, Л.А.
author_sort	Назаров, А.А.
title	Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа
title_short	Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа
title_full	Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа
title_fullStr	Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа
title_full_unstemmed	Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа
title_sort	исследование смо вида m\|m\|n с обратной связью методом асимптотического анализа
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190585
citation_txt	Исследование СМО вида M\|M\|N с обратной связью методом асимптотического анализа / А.А. Назаров, А.З. Меликов, Е.А. Павлова, С.Г. Алиева, Л.А. Пономаренко // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 67–76. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
series	Кібернетика та системний аналіз
work_keys_str_mv	AT nazarovaa issledovaniesmovidammnsobratnojsvâzʹûmetodomasimptotičeskogoanaliza AT melikovaz issledovaniesmovidammnsobratnojsvâzʹûmetodomasimptotičeskogoanaliza AT pavlovaea issledovaniesmovidammnsobratnojsvâzʹûmetodomasimptotičeskogoanaliza AT alievasg issledovaniesmovidammnsobratnojsvâzʹûmetodomasimptotičeskogoanaliza AT ponomarenkola issledovaniesmovidammnsobratnojsvâzʹûmetodomasimptotičeskogoanaliza
first_indexed	2025-07-16T13:32:01Z
last_indexed	2025-07-16T13:32:01Z
_version_	1837810552396578816
fulltext	ÓÄÊ 519.872 À.À. ÍÀÇÀÐÎÂ, À.Ç. ÌÅËÈÊÎÂ, Å.À. ÏÀÂËÎÂÀ, Ñ.Ã. ÀËÈÅÂÀ, Ë.À. ÏÎÍÎÌÀÐÅÍÊÎ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÑÌÎ ÂÈÄÀ M M N\| \| Ñ ÎÁÐÀÒÍÎÉ ÑÂßÇÜÞ ÌÅÒÎÄÎÌ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîâòîðíîãî îáñëóæèâàíèÿ çà- ÿâîê â âèäå ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ N îáñëóæèâàþùèìè ïðèáîðà- ìè, ìãíîâåííîé è îòñðî÷åííîé îáðàòíûìè ñâÿçÿìè è îðáèòîì. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îáúåì îðáèòà äëÿ çàÿâîê, òðåáóþùèõ ïîâòîðíîãî îáñëóæèâàíèÿ, ÿâëÿåòñÿ áåñ- êîíå÷íûì. Âõîäÿùèé ïîòîê ïóàññîíîâñêèé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîâìåñòíîãî ðàñ- ïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàíÿòûõ ïðèáîðîâ â ñèñòåìå è ÷èñëà çàÿâîê â îðáèòå èñïîëüçîâàí ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîêàíàëüíàÿ ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, ìãíî- âåííàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü, îòñðî÷åííàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü, îðáèò, ìåòîä àñèìïòîòè- ÷åñêîãî àíàëèçà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ñèñòåìàõ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ (ÑÌÎ) îáðàòíàÿ ñâÿçü îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîâòîðíîãî îáñëóæèâàíèÿ. Êà÷åñòâî ðàáîòû òàêèõ ÑÌÎ îöåíèâà- åòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ çàÿâîê, êîòîðûå ïîâòîðíî îáðàùàþòñÿ äëÿ îáñëóæèâà- íèÿ, ïðè ýòîì ïîâòîðíîå îáñëóæèâàíèå ìîæåò ïðîèçîéòè ïî ðàçëè÷íûì ïðè- ÷èíàì. Òàê, íàïðèìåð, åñëè ïåðâè÷íîå îáñëóæèâàíèå çàÿâêè íå áûëî ïîëíûì èëè îíî íå óäîâëåòâîðÿëî òðåáîâàíèÿì êëèåíòà, òî îíà èíîãäà âîçâðàùàåòñÿ äëÿ ïîâòîðíîãî îáñëóæèâàíèÿ. Êëàññè÷åñêèìè ïðèìåðàìè ïîäîáíûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ êîììóíèêàöèîííûå ñåòè, â êîòîðûõ èñêàæåííûå äàííûå ïîâòîðíî ïåðåäàþòñÿ àäðåñàòó. Ïîâòîðíîå îáðàùåíèå ìîæåò áûòü è ïîñëå êà÷åñòâåííî- ãî îáñëóæèâàíèÿ, êîãäà êëèåíò çàíîâî îáðàùàåòñÿ ê äàííîé ñèñòåìå. Ïîâòîðíîå îáñëóæèâàíèå áûâàåò äâóõ òèïîâ: ìãíîâåííîå è îòñðî÷åííîå. Â ñëó- ÷àå ìãíîâåííîé îáðàòíîé ñâÿçè ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêà ñîãëàñíî ñõåìå Áåðíóëëè ëèáî ñðàçó ïîñòóïàåò íà ïîâòîðíîå îáñëóæèâàíèå, ëèáî óõîäèò èç ñèñòåìû. Â ñëó÷àå îòñðî÷åííîé îáðàòíîé ñâÿçè ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çà- ÿâêà òàêæå ñîãëàñíî ñõåìå Áåðíóëëè ëèáî óõîäèò â îðáèò äëÿ ïîâòîðåíèÿ îáñëóæè- âàíèÿ ÷åðåç îïðåäåëåííîå ïîëîæèòåëüíîå (ñëó÷àéíîå) âðåìÿ, ëèáî ïîêèäàåò ñèñòå- ìó. Òàêèå ñõåìû íàçûâàþòñÿ îáðàòíûìè ñâÿçÿìè òèïà Áåðíóëëè. Ïåðâûìè ïóáëèêàöèÿìè, ïîñâÿùåííûìè èçó÷åíèþ ñèñòåì ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ îáîèõ òèïîâ, ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèå ðàáîòû Òàêà÷à [1, 2]. Â íèõ ìåòîäîì ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé èçó÷åíû äâóìåðíûå ìàðêîâñêèå ìîäåëè îäíîêàíàëüíûõ ÑÌÎ ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ è áåñêîíå÷íûì îáúåìîì îðáèòà (äëÿ ìîäåëè ñ îòñðî÷åííîé îáðàòíîé ñâÿçüþ). Ïîñëå ïóáëèêàöèè ýòèõ ðàáîò Òàêà÷à ìîäåëè ÑÌÎ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ íåêîòî- ðîå âðåìÿ íå ïðèâëåêàëè âíèìàíèÿ èññëåäîâàòåëåé. Â ïîñëåäíèå òðè äåñÿòèëåòèÿ îíè èíòåíñèâíî èññëåäóþòñÿ ðàçëè÷íûìè àâòîðàìè, ïðè ýòîì çà÷àñòóþ ìîäåëè ÑÌÎ áåç îðáèòà è ñ îðáèòîì èçó÷àþòñÿ ðàçäåëüíî. Òàê, â [1, 3–10] èçó÷åíû ìîäåëè ñèñòåì ñ ìãíîâåííîé îáðàòíîé ñâÿçüþ, à â [2, 11–21] èññëåäîâàíû ìîäåëè ñ îòñðî- ÷åííîé îáðàòíîé ñâÿçüþ. Âìåñòå ñ òåì â [22–25] èçó÷åíû ìîäåëè ÑÌÎ ñ îáðàòíûìè ñâÿçÿìè îáîèõ òèïîâ, â êîòîðûõ äëÿ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâå- òñòâóþùèõ ìíîãîìåðíûõ öåïåé Ìàðêîâà (ÖÌ) ðàçðàáîòàíû èåðàðõè÷åñêèå àëãî- ðèòìû ôàçîâîãî óêðóïíåíèÿ (â [22] äàí îáçîð ïóáëèêàöèé äî 2015 ã.). ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 67 © À.À. Íàçàðîâ, À.Ç. Ìåëèêîâ, Å.À. Ïàâëîâà, Ñ.Ã. Àëèåâà, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, 2021 Ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè ÑÌÎ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ ìíîãîìåðíûå ÖÌ, è ïîýòîìó îñíîâíàÿ çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ òàêèõ ñèñòåì — íà- õîæäåíèå èõ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé. Äëÿ ìîäåëåé óìåðåííîé ðàç- ìåðíîñòè äëÿ ýòîãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà, îñíî- âàííûå íà ðåøåíèè áàëàíñîâûõ óðàâíåíèé [26, 27]. Äðóãèìè ïîäõîäàìè ÿâëÿþòñÿ èñïîëüçîâàíèÿ ìàòðè÷íî-ãåîìåòðè÷åñêîãî [28] è ñïåêòðàëüíîãî [29] ìåòîäîâ, à òàêæå èõ ðàçëè÷íûõ ìîäèôèêàöèé. Îòìåòèì, ÷òî ïðèìåíåíèå ìàòðè÷íî-ãåîìåò- ðè÷åñêîãî ìåòîäà ÷ðåâàòî âû÷èñëèòåëüíûìè ïðîáëåìàìè, ñâÿçàííûìè ñ ïëîõîé îáóñëîâëåííîñòüþ ìàòðèö áîëüøîé ðàçìåðíîñòè, èñïîëüçóåìûõ â ðàçëè÷íûõ ýòà- ïàõ àëãîðèòìà, à ïðè ïðèìåíåíèè ñïåêòðàëüíîãî ìåòîäà òðåáóþòñÿ âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ (ëåâûõ è ïðàâûõ) ìàòðèö áîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò íåòðèâèàëüíóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ïðîáëåìó. Èñõîäÿ èç èçëîæåííîãî, â íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ èçó÷åíèÿ ÑÌÎ ñ îáðàòíû- ìè ñâÿçÿìè îáîèõ òèïîâ èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ N îáñëóæèâàþùèìè óñòðîéñòâà- ìè è îáðàòíîé ñâÿçüþ (ðèñ. 1). Âõîäÿùèé ïîòîê ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêèì ñ ïà- ðàìåòðîì � . Â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè â ñèñòåìó îíà çàíèìàåò ñâîáîäíûé ïðèáîð, ãäå îáñëóæèâàåòñÿ â òå÷åíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè, ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäå- ëåííîãî ñ ïàðàìåòðîì �. Åñëè â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè ñâîáîäíûõ ïðèáî- ðîâ íåò, îíà íåìåäëåííî óõîäèò â îðáèò, ãäå îñóùåñòâëÿåò çàäåðæêó â òå÷åíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè, ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ñ ïàðàìåòðîì �. Â ìîìåíò çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêà ïîêèäàåò ñèñòåìó ñ âåðîÿòíîñ- òüþ r0 ; îòïðàâëÿåòñÿ íà ïîâòîðíîå îáñëóæèâàíèå, îñóùåñòâëÿÿ ìãíîâåííóþ îá- ðàòíóþ ñâÿçü, ñ âåðîÿòíîñòüþ r1; óõîäèò â îðáèò, îñóùåñòâëÿÿ îòëîæåííóþ îá- ðàòíóþ ñâÿçü, ñ âåðîÿòíîñòüþ r2 , ãäå îíà îñòàåòñÿ â òå÷åíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè, ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ñ ïàðàìåòðîì �, ïîñëå ÷åãî òðåáóåò ïîâòîðíî- ãî îáñëóæèâàíèÿ. Åñëè â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ ïîâòîðíîé çàÿâêè èç îðáèòà èìååò- ñÿ ñâîáîäíûé ïðèáîð, òî îíà çàíèìàåò åãî â òå÷åíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè, ýêñïî- íåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ñ òåì æå ïà- ðàìåòðîì �. Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâè÷íûå (ïîñòóïàþùèå èçâíå) è ïîâòîðíûå çàÿâêè (ïîñòóïàþùèå èç îðáèòà) ÿâëÿþòñÿ èäåí- òè÷íûìè ïî âðåìåíè èõ îáñëóæèâàíèÿ, ò.å. ïåðâè÷íûå è ïîâòîðíûå çàÿâêè â ïðè- áîðàõ íå ðàçëè÷àþòñÿ. Åñëè â ìîìåíò ïî- ñòóïëåíèÿ ïîâòîðíîé çàÿâêè èç îðáèòà âñå ïðèáîðû çàíÿòû, òî îíà îñòàåòñÿ â îð- áèòå äëÿ ïîâòîðåíèÿ ñâîåãî çàïðîñà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äîïóñêàåòñÿ ìíîãî- êðàòíîå ïîâòîðåíèå çàïðîñîâ äëÿ îáñëó- æèâàíèÿ, ò.å. íå èìååòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà ÷èñëî ïîâòîðåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ. Îáîçíà÷èì n t( ) ÷èñëî çàíÿòûõ ïðèáî- ðîâ â ñèñòåìå â ìîìåíò âðåìåíè t , n N� 0, ,� , i t( ) — ÷èñëî çàÿâîê â îðáè- òå â ìîìåíò âðåìåíè t. 68 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 … … � � � r2 r0 r1 � r2 r0 r1 � r2 r0 r1 � Ðèñ. 1. Ñèñòåìà âèäà M M N\| \| ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ Ñòàâèòñÿ çàäà÷à ïîëó÷åíèÿ äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàíÿòûõ ïðèáîðîâ â ñèñòåìå è ÷èñëà çàÿâîê â îðáèòå. ÑÈÑÒÅÌÀ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÊÎËÌÎÃÎÐÎÂÀ Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ { }n t i t( ), ( ) . Ïðè âûïîëíåíèè íåðà- âåíñòâà � �� r N0 â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíûé ðåæèì è äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëå- íèÿ âåðîÿòíîñòåé P n t n i t i P n i{ }( ) , ( ) ( , )� � � ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà { }n t i t( ), ( ) çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà � � � � � � � � � � �( ( ) ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )� � � � �1 1 1 1 11r n i P n i P n i i P n i � � � � � � � � � � �( ) ( , ) ( ) ( , ) ,n r P n i n r P n i n N1 1 1 1 1 0 0 10 2� � , (1) � � � � � �( ( ) ) ( , ) ( , )� � �1 11r N P N i P N i � � � � � � �� P N i i P N i( , ) ( ) ( , )1 1 1 1 0. Ââåäåì ÷àñòè÷íûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè âèäà H n u e P n ijui i ( , ) ( , )� � � � 0 , ãäå j � �1 — ìíèìàÿ åäèíèöà. Òîãäà ìîæåì çàïèñàòü ñèñòåìó (1) � � � � � � � � �( ( ) ) ( , ) ( , ) ( , ) � � � �1 11r n H n u H n u j H n u u � � � � � � � � � � ��( ) ( ) ( , ) ( , ) ,n r r e H n u j e H n u u nju ju1 1 1 0 00 2� � N �1, (2) � � � � � � � � ��( ( ) ( ) ) ( , ) ( , ) ( , � � � �e r N H N u H N u j e H Nju ju1 1 1 1 1 u u ) � � 0. Îáîçíà÷èì âåêòîð-ñòðîêè H( ) ( , ), ( , ), , ( , )u H u H u H N u� { 0 1 � , � � � � � � � � � � � � H( ) ( , ) , ( , ) , , ( , )u u H u u H u u H N u u 0 1 � è çàïèøåì (2) ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé H A B H I I( )[ ] ( ) [ ]u e j u u eju ju� � � � � �� 0 1 0, ãäå A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 0 0 0 0 0 2 0 2 r r r N r r ( ( )) ( ( )) � � � � � � � � , B � � � � � � � � � � � � � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 � � � � � � � � � � � r N r , I 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , I1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 69 Óìíîæèì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå íà åäèíè÷íûé âåêòîð-ñòîëáåö e è ñ ó÷åòîì ( )A B e� � 0 è ( )I I e0 1 0� � ïîëó÷èì H Be H I e( ) ( ) u j e u u ju� � � �� 0 0. Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íàÿ ñèñòåìà (2) è ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå ïðèìóò âèä H A B H I I( )[ ] ( ) [ ]u e j u u eju ju� � � � � �� 0 1 0, (3) H Be H I e( ) ( ) u j e u u ju� � � �� 0 0. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è (3) ìåòîäîì àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèçà â óñëî- âèè áîëüøîé çàäåðæêè çàÿâêè â îðáèòå, ò.å. � � 0. ÌÅÒÎÄ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ Îáîçíà÷èì � �� è âûïîëíèì çàìåíû u w� � , H F( ) ( , )u w� � . (4) Ñ ó÷åòîì çàìåí (4) çàïèøåì (3) F A B F I I( , )[ ] ( , ) [ ]w e j w w ej w j w� �� 0 1 0, (5) F Be F I e( , ) ( , ) w je w w j w� �� 0 0. Ðåøèâ ñèñòåìó (5) ïðè óñëîâèè � � 0, äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 1. Â ïðåäåëüíîì óñëîâèè � � 0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî lim ( ) � � � � � 0 M e ejw i t jw{ } , (6) ãäå çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà � ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü x � � ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ R B I e( )( )x x� �0 0, (7) à êîìïîíåíòû R n( ) âåêòîðà R îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè R n x n r r R n x r r n R n ( ) ( ) ( ) ( ) ! (� � � � � � � � � �� 0 2 0 2 1 1 0), (8) R x r r n n n N ( ) ( ) ! /0 1 1 0 20 � � � � � �� . Çäåñü âåêòîð-ñòðîêà R � { }R R R N( ), ( ), , ( )0 1 � — ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñ- òåé ÷èñëà çàíÿòûõ ïðèáîðîâ â ñèñòåìå, à çíà÷åíèå âåëè÷èíû x îïðåäåëåíî ðà- âåíñòâîì (7). Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïåðâîå ðàâåíñòâî â ñèñòåìå (5) â ïðåäåëüíîì óñëîâèè � � 0, îáîçíà÷èì lim ( , ) ( ) � � � � 0 F Fw w è ïîëó÷èì F A B F I I( )[ ] ( ) [ ]w j w w � � � � � �0 1 0. (9) 70 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå F( )w ñèñòåìû (9) â âèäå F R( )w e jwx� , (10) òîãäà ïîëó÷èì ñèñòåìó R A B I I[ ] [ ]� � � �x 0 1 0, (11) Re �1. Çàïèøåì ïåðâîå ðàâåíñòâî ñèñòåìû (11) â ñêàëÿðíîé ôîðìå ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) (� � � �� x R n x n r r R n n r r R n1 1 10 2 0 2 ) � 0. Îáîçíà÷èì ( ) ( ) ( ) ( )� �� x R n n r r R n zn1 0 2 1, òîãäà z zn n� � �1 0. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðàâåíñòâà R n x n r r R n x r r n R n ( ) ( ) ( ) ( ) ! (� � � � � � � � � �� 0 2 0 2 1 1 0), R x r r n n n N ( ) ( ) ! /0 1 1 0 20 � � � � � �� , ñîâïàäàþùèå ñ (8). Èç ýòèõ âûðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé x , ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé R n( ) äèñêðåòíîå ýðëàíãîâñêîå ñ ïàðàìåò- ðîì � � � � � � x r r( )0 2 . Ïîñêîëüêó F e( )w e jwx� , íàéäåì çíà÷åíèå x � � èç (7). Ðàññìîòðèì âòîðîå ðàâåíñòâî (5) â ïðåäåëüíîì óñëîâèè � � 0 F Be F I e( ) ( ) w j w w � � � �0 0 è ïîäñòàâèì ðåøåíèå F R( )w e jwx� , òîãäà R B I e[ ]� �x 0 0. Òàêèì îáðàçîì, çíà- ÷åíèåì ïàðàìåòðà � ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ, ñîâïàäàþùåãî ñ (7). Â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ñèñòåìû âèäà M M N\| \| ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ x ïðèíè- ìàåò çíà÷åíèå x � � , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì ñêàëÿðíîãî óðàâ- íåíèÿ (7). Èç ðàâåíñòâà (10) ïðè x � � ïîëó÷èì ðàâåíñòâî F e( )w e jw� �, ñîâïàäàþùåå ñ (6). � Äëÿ áîëåå äåòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ñèñòåìû ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ â (3) âûïîë- íèì çàìåíó H H( ) exp ( )( )u j u u� � � � � � � � � 2 , ïîëó÷èì ñèñòåìó H A B I I H I I( ) ( ) ( )[ ( )] ( ) [2 0 1 2 0u e e j u u eju ju ju� � � � � � �� 1 0] � , (12) H Be I e H I e( ) ( ) ( )( ) ( )2 0 2 0 0u e j e u u ju ju� � � � �� . Îáîçíà÷àèâ � �� 2 è âûïîëíèâ â (12) çàìåíû u w� � , H F( ) ( )( ) ( , )2 2u w� � , (13) ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 71 ìîæåì çàïèñàòü F A B I I F I( ) ( ) ( , )[ ( )] ( , ) [2 0 1 2 0w e e j w w j w j w� � � �� e j w� I1 0] , (14) F Be I e F I e( ) ( ) ( , )( ) ( , )2 0 2 0 0w e j e w w j w j w� � � �� . Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 2. Ïðåäåëüíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ öåíòðèðîâàííîãî è íîðìèðîâàííîãî ÷èñëà çàÿâîê â îðáèòå â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ èìååò âèä lim ( ) ( ) exp ( � � � �� 0 M jw i t wexp � jw)2 2 2 � � � � � � � � � , ãäå � � � � 2 0 0 0 0 � � � � � RI e g B I e RI e B I e ( ) ( )� . (15) Çäåñü âåêòîð-ñòðîêè � è g îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ñèñòåìàìè óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî: � [ ( )] [ ]A B I I R I I� � � � �� 0 1 0 1 , (16) �e � 0; g A B I I R I B[ ( )] [ ]� � � � �� 0 1 1 , (17) ge � 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (14), èñïîëüçîâàâ ðàç- ëîæåíèå e j w Oj w� � �� 1 2( ) F A B B I I I( ) ( , )[ ( )]2 0 1 1w j w j w� � � �� j w w O� � � F I I ( ) ( , ) [ ] ( ) 2 0 1 2 . Ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå F R f( ) ( , ) ( )( ) ( )2 2w w j w O� � �� , (18) çäåñü �( )w — íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðóþ îïðåäåëèì äàëåå. Ïîëó÷àåì �( )( )[ ( )]w j w j w j wR f A B B I I I� � � � � � �� 0 1 1 � � � � �j w w O� � �( ) [ ] ( )R I I0 1 2 , òîãäà ñ ó÷åòîì (10) ðàçäåëèì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íà j w� è, óñòðåìèâ � � 0, ïîëó÷èì R B I f A B I I R I I( ) [ ( )] ( ) / ( ) [ ]� � � � � � � � � �� 1 0 1 0 1 0 � � w w w w . Èç ïîñëåäíåé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå � �� ( ) / ( ) w w w w íå çàâèñèò îò w, ïîýòîìó îáîçíà÷èì � � � � � � ( ) / ( ) w w w w � 2 , ò.å. ìîæåì çàïèñàòü f A B I I R I I R I B[ ( )] [ ] ( )� � � � � � �� 0 1 2 0 1 1 . (19) 72 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Ðåøåíèå f ýòîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f R g� � � � 2�. (20) Ïîäñòàâèì ýòî ðàçëîæåíèå â (19), äëÿ âåêòîðîâ � è g ïîëó÷èì ñèñòåìû: � [ ( )] [ ]A B I I R I I� � � � �� 0 1 0 1 , g A B I I R I B[ ( )] [ ]� � � � �� 0 1 1 , ñîâïàäàþùèå ñ (16) è (17). Â ñèëó (20) âåêòîðû � è g ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì (16) è (17), ïîýòîìó îíè óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì, êîòîðûå áóäåì âûáèðàòü â âèäå �e � 0 è ge � 0, òîãäà ðåøåíèÿ � è g ñèñòåì (16) è (17), óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì óñëîâèÿì, îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîå óðàâíåíèå (14) è ïîäñòàâèì â íåãî ðàçëîæå- íèå (18), òîãäà ñ ó÷åòîì (7) çàïèøåì � �RI e f B I e RI e0 0 0 0� � � � � �( ) ( ) / ( ) � � w w w w . Ïîñêîëüêó � � � � � � ( ) / ( ) w w w w � 2 , òî f B I e RI e RI e( )� � � �� 0 0 2 0 0, (21) âåêòîð f â ïîëó÷åííîì ðàâåíñòâå çàïèøåì â âèäå (20). Ñ ó÷åòîì (8) è, ïðåîá- ðàçîâûâàÿ (21), èìååì ðàâåíñòâî � � � �2 0 0 0 0f RI e B I e RI e g B I e� � � � �� ( ) ( ) , îòêóäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ � 2 : � � � � 2 0 0 0 0 � � � � � RI e g B I e RI e B I e ( ) ( )� , êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ (15) â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû. � ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈ ÃÀÓÑÑÎÂÑÊÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß Îáîçíà÷èì G x( ) ôóíêöèþ ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè � � è � � 2 . Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé P i G i G i G1 10 5 0 5 1 0 5( ) ( ( . ) ( . ))( ( . ))� � � � � � � (22) áóäåì íàçûâàòü àñèìïòîòè÷åñêè ãàóññîâñêîé àïïðîêñèìàöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P i P i t i( ) ( )� �{ } ÷èñëà i t( ) çàÿâîê â îðáèòå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû M M N\| \| ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ. Çäåñü íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæè- ìà (óñëîâèåì ýðãîäè÷íîñòè) ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî � �� r N0 , êîòîðîå çàïèøåì â âèäå � �� r N0 , 0 1� � . Ïðè ëþáîé àïïðîêñèìàöèè, â òîì ÷èñëå è äëÿ (22), ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå åå òî÷íîñòè è îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ, ò.å. îáëàñòè òåõ çíà÷å- íèé ñåòåâûõ ïàðàìåòðîâ çàãðóçêè è ïàðàìåòðà �, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî â òåîðåòè- ÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè ( )� � 0 . Òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè áóäåì îïðåäåëÿòü ðàññòîÿíèåì Êîëìîãîðîâà � � � � �� max ( ( ) ( )) 0 1 0i n i P n P n , (23) ãäå P i( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà i t( ) çàÿâîê â îðáèòå, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 73 Àíàëîãè÷íî áóäåì îïðåäåëÿòü ðàññòîÿíèÿ Êîëìîãîðîâà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàíÿòûõ îáñëóæèâàþùèõ óñòðîéñòâ â ñèñòåìå. Ïðè � �1, r0 � 0.5, r1 � 0.3, r2 � 0.2 â òàáë. 1 è 2 óêàçàíû çíà÷åíèÿ � èç (23) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàÿâîê â îðáèòå è ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿò- íîñòåé ÷èñëà çàíÿòûõ ïðèáîðîâ â ñèñòåìå ñîîòâåòñòâåííî ïðè óêàçàííûõ çíà÷å- íèÿõ ïàðàìåòðîâ è �. Ïîëàãàÿ, ÷òî àïïðîêñèìàöèÿ P i1 ( ) ïðèåìëåìà, åñëè åå òî÷íîñòü � � 0.05, â òàáë. 1 è 2 æèðíûì øðèôòîì âûäåëÿåì òàêèå åå çíà÷åíèÿ, ÷òî îïðåäåëÿþò îáëàñòü çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ è �, ïðè êîòîðûõ ïðèåìëåìà àïïðîêñèìàöèÿ P i1 ( ) èç (22). Èç çíà÷åíèé � , ïðèâåäåííûõ â òàáë. 1 è 2, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ (� óìåíüøàåòñÿ) ñ óìåíüøå- íèåì çíà÷åíèé ïàðàìåòðà �. Ýòî åñòåñòâåííî â ñèëó ïðåäåëüíîãî óñëîâèÿ � � 0. Íåî÷åâèäíûé âûâîä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè óìåíü- øàåòñÿ (� âîçðàñòàåò) ñ óâåëè÷åíèåì çàãðóçêè â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ñ îá- ðàòíîé ñâÿçüþ. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå ðàññìîòðåíà ñèñòåìà âèäà M M N\| \| ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ. Â ïðåäåëüíîì óñëîâèè áîëüøîé çàäåðæêè ( )� � 0 çàÿâîê â îðáèòå, ðåàëèçóþùèõ îòëîæåííóþ îáðàòíóþ ñâÿçü, íàéäåíû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàíÿòûõ ïðèáîðîâ â ñèñòåìå è ïðåäåëüíîå ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íîðìèðîâàííîãî ÷èñëà çàÿâîê â îðáèòå. Ïðåäëîæåíà àñèìïòîòè÷åñêè ãàóññîâñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàÿâîê â îðáèòå. Ïîêàçàíî, ÷òî â ïðåäåëüíîì óñëîâèè � � 0 ÷èñëî çàíÿòûõ ïðèáîðîâ è ÷èñëî çàÿâîê â îðáèòå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ñòîõàñòè÷åñêè íåçàâèñèìû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Tak�cs L. A single-server queue with feedback. Bell System Technical Journal. 1963. Vol. 42. P. 505–519. 2. Tak�cs L. A queuing model with feedback. RAIRO — Operations Research — Recherche Op�rationnelle. 1977. Vol. 11, N 4. P. 345–354. 3. Íàçàðîâ À.À., Ìîèñååâà Ñ.Ï., Ìîðîçîâà À.Ñ. Èññëåäîâàíèÿ ÑÌÎ ñ ïîâòîðíûì îáñëóæèâàíè- åì è íåîãðàíè÷åííûì ÷èñëîì îáñëóæèâàþùèõ ïðèáîðîâ ìåòîäîì ïðåäåëüíîé äåêîìïîçèöèè. Âû÷èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè. 2008. Ò. 13, âûï. 5. Ñ. 88–92. 74 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Ò à á ë è ö à 1. Ðàññòîÿíèå Êîëìîãîðîâà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàíÿòûõ ïðèáîðîâ â ñèñòåìå � � 1 � � 0.5 � � 0.2 � � 0.1 � � 0.05 � � 0.01 � 0.6 0.017 0.011 0.006 0.003 0.002 3.3 � �10 4 � 0.7 0.031 0.020 0.010 0.006 0.003 6.1 � �10 4 � 0.8 0.055 0.034 0.016 0.009 0.005 9.4 � �10 4 � 0.9 0.071 0.044 0.021 0.011 0.006 0.001 Ò à á ë è ö à 2 . Ðàññòîÿíèå Êîëìîãîðîâà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÷èñëà çàÿâîê â îðáèòå � � 1 � � 0.5 � � 0.2 � � 0.1 � � 0.05 � � 0.01 � 0.6 0.106 0.067 0.035 0.024 0.017 0.008 � 0.7 0.087 0.052 0.041 0.035 0.024 0.010 � 0.8 0.111 0.087 0.060 0.045 0.032 0.014 � 0.9 0.177 0.136 0.094 0.069 0.049 0.022 4. Ìîèñååâà Ñ.Ï., Çàõîðîëüíàÿ È.À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïàðàëëåëüíîãî îáñëóæèâàíèÿ êðàò- íûõ çàÿâîê ñ ïîâòîðíûìè îáðàùåíèÿìè. Àâòîìåòðèÿ. Ò. 47, âûï. 6. Ñ. 51-58. 5. Dudin A.N., Kazimirsky A.V., Klimenok V.I., Breuer L., Krieger U. The queueing model MAP PH N\| \| \|1 with feedback operating in a Markovian random environment. Austrian Journal of Statistics. 2005. Vol. 34, Iss. 2. P. 101–110. 6. Wortman M.A., Disney R.L., Kiessler P.C. The M GI/ / 1 Bernoulli feedback queue with vacations. Queueing Systems. 1991. Vol. 9, Iss. 4. P. 353–363. 7. D’Avignon G.R., Disney R.L. Queues with instantaneous feedback. Management Sciences. 1997. Vol. 24, Iss. 2. P. 168–180. 8. Berg J.L., Boxma O.J. The M G/ / 1queue with processor sharing and its relation to feedback queue. Queueing Systems. 1991. Vol. 9, Iss. 4. P. 365–402. 9. Hunter J.J. Sojourn time problems in feedback queue. Queueing Systems. 1989. Vol. 5, Iss. 1–3. P. 55–76. 10. Melikov A. Z., Zadiranova A., Moiseev A. Two asymptotic conditions in queue with MMPP arrivals and feedback. Communications in Computer and Information Science. 2016. Vol. 678. P. 231–240. 11. Pekoz E.A., Joglekar N. Poisson traffic flow in a general feedback. Journal of Applied Probability. 2002. Vol. 39, Iss. 3. P. 630–636. 12. Lee H.W., Seo D.W. Design of a production system with feedback buffer. Queueing Systems. 1997. Vol. 26, Iss. 1. P. 187–198. 13. Lee H.W., Ahn B.Y. Analysis of a production system with feedback buffer and general dispatching time. Mathematical Problems in Engineering. 2000. Vol. 5. P. 421–439. 14. Foley R.D., Disney R.L. Queues with delayed feedback. Advances in Applied Probability. 1983. Vol. 15, Iss. 1. P. 162–182. 15. Ayyapan G., Subramanian A.M.G., Sekar G. M M/ / 1 retrial queuing system with loss and feedback under non-pre-emptive priority service by matrix geometric method. Applied Mathematical Sciences. 2010. Vol. 4. P. 2379–2389. 16. Ayyapan G., Subramanian A.M.G., Sekar G. M M/ / 1 retrial queuing system with loss and feedback under pre-emptive priority service. International Journal of Computer Applications. 2010. Vol. 2. P. 27–34. 17. Bouchentouf A.A., Belarbi F. Performance evaluation of two Markovian retrial queuing model with balking and feedback. Acta Univ. Sapientiae. Mathematica. 2013. Vol. 5. P. 132–146. 18. Choi B.D., Kim Y.C., Lee Y.W. The M M c/ / retrial queue with geometric loss and feedback. Computers and Mathematics with Applications. 1998. Vol. 36. P. 41–52. 19. Krishna Kumar B., Rukmani R., Thangaraj V. On multiserver feedback retrial queue with finite buffer. Applied Mathematical Modelling. 2009. Vol. 33. P. 2062–2083. 20. Do T.V. An efficient computation algorithm for a multiserver feedback retrial queue with a large queueing capacity. Applied Mathematical Modelling. 2010. Vol. 34, Iss. 8. P. 2272–2278. 21. Mokaddis G.S., Metwally S.A., Zaki B.M. A feedback retrial queuing system with starting failures and single vacation. Tamkang Journal of Science and Engineering. 2007. Vol. 10, N 3. P. 183–192. 22. Melikov A., Ponomarenko L., Rustamov A. Methods for analysis of queueing models with instantaneous and delayed feedbacks. Information Technologies and Mathematical Modelling — Queueing Theory and Applications. ITMM 2015. Communications in Computer and Information Science. Dudin A., Nazarov A., Yakupov R. (Eds). 2015. Vol 564. P. 185–199. https://doi.org/ 10.1007/978-3-319-25861-4_16. 23. Koroliuk V.S., Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Rustamov A.M. Methods for analysis of multi-channel queueing system with instantaneous and delayed feedbacks. Cybernetics and System Analysis. 2016. Vol. 52, N 1. P. 58–70. https://doi.org/10.1007/s10559-016-9800-y. 24. Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Rustamov A.M. Hierarchical space merging algorithm for the analysis of open tandem queueing networks. Cybernetics and System Analysis. 2016. Vol. 52, N 6. P. 867–877. https://doi.org/10.1007/s10559-016-9888-0. 25. Melikov A., Aliyeva S. Refined approximate algorithm for steady-state probabilities of the large scale queuing systems with instantaneous and delayed feedback. Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications. ITMM 2019. Communications in Computer and Information Science. Dudin A., Nazarov A., Moiseev A. (Eds.). 2019. Vol. 1109. P. 188–201. https://doi.org/10.1007/978-3-030-33388-1_16. 26. Sztrik J., Efrosinin D. Tool supported reliability analysis of finite-source retrial queues. Automation and Remote Control. 2010. Vol. 71. P. 1388–1393. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 75 27. B�rczes T., Sztrik J., T�th �., Nazarov A. Performance modeling of finite-source retrial queueing systems with collisions and non-reliable server using MOSEL. Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2017. Communications in Computer and Information Science. Vishnevskiy V., Samouylov K., Kozyrev D. (Eds). 2017. Vol 700. P. 248–258. https://doi.org/ 10.1007/978-3-319-66836-9_21. 28. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: An algorithmic approach. Baltimore: John Hopkins University Press, 1981. 332 ð. 29. Mitrani I., Chakka R. Spectral expansion solution for a class of Markov models: Application and comparison with the matrix-geometric method. Performance Evaluation. 1995. Vol. 23. P. 241–260. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.02.2020 À.À. Íàçàðîâ, À.Ç. Ìåë³êîâ, Ê.Î. Ïàâëîâà, Ñ.Ã. Àë³ºâà, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî ÄÎÑË²ÄÆÅÍÍß ÑÌÎ ÂÈÄÓ M M N\| \| ²Ç ÇÂÎÐÎÒÍÈÌ ÇÂ’ßÇÊÎÌ ÌÅÒÎÄÎÌ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÍÎÃÎ ÀÍÀË²ÇÓ Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü ïîâòîðíîãî îáñëóãîâóâàííÿ çàÿ- âîê ó âèãëÿä³ ñèñòåìè ìàñîâîãî îáñëóãîâóâàííÿ ç N îáñëóæíèìè ïðèëàäà- ìè, ìèòòºâèì ³ â³äñòðî÷åíèì çâîðîòíèìè çâ’ÿçêàìè òà îðá³òîì. Ââàæàºòüñÿ, ùî ðîçì³ð îðá³òó äëÿ çàÿâîê, ùî ïîòðåáóþòü ïîâòîðíîãî îáñëóãîâóâàííÿ, º íåñê³í÷åííèì. Âõ³äíèé ïîò³ê º ïóàññîí³âñüêèì. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ñï³ëüíî- ãî ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé ê³ëüêîñò³ çàéíÿòèõ ïðèëàä³â ó ñèñòåì³ ³ ê³ëüêîñò³ çàÿâîê â îðá³ò³ âèêîðèñòàíî ìåòîä àñèìïòîòè÷íîãî àíàë³çó. Íàâåäåíî ðå- çóëüòàòè ÷èñåëüíîãî åêñïåðèìåíòó. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: áàãàòîêàíàëüíà ñèñòåìà ìàñîâîãî îáñëóãîâóâàííÿ, ìèòòºâèé çâîðîòíèé çâ’ÿçîê, â³äñòðî÷åíèé çâîðîòíèé çâ’ÿçîê, îðá³ò, ìåòîä àñèìïòîòè÷íîãî àíàë³çó. A. Nazarov, A. Melikov, E. Pavlova, S. Aliyeva, L. Ponomarenko METHOD OF ASYMPTOTIC ANALYSIS OF AN M M N\| \| QUEUEING SYSTEM WITH FEEDBACK Abstract. In this paper, we consider a mathematical model for re-servicing customers in the form of a queuing system with N servers, instant and delayed feedback, and an orbit. It is believed that the orbit size for customers requiring re-service is infinite. The input flow is Poisson. To find the joint probability distribution of the number of occupied servers in the system and the number of customers in orbit, the asymptotic analysis method is used. The results of a numerical experiment are presented. Keywords: multichannel queueing system, instant feedback, delayed feedback, orbit, asymptotic analysis method. Íàçàðîâ Àíàòîëèé Àíäðååâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé Íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî Òîìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, Ðîññèÿ, e-mail: nazarov.tsu@gmail.com. Ìåëèêîâ Àãàñè Çàðáàëè îãëû, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé ëàáîðàòîðèåé Èíñòèòóòà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, e-mail: agassi.melikov@gmail.com. Ïàâëîâà Åêàòåðèíà Àëåêñååâíà, àñïèðàíòêà, àññèñòåíòêà êàôåäðû Íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî Òîìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, Ðîññèÿ, e-mail: pavlovakatya_2010@mail.ru. Àëèåâà Ñåâèíäæ Ãàìçàãà êûçû, êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Áàêèíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, Àçåðáàéäæàí. Ïîíîìàðåíêî Ëåîíèä Àíàòîëüåâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Ìåæäóíàðîäíîãî íàó÷íî-ó÷åáíîãî öåíòðà èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ñèñòåì ÍÀÍ è ÌÎÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: laponomarenko@ukr.net. 76 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1

Исследование СМО вида M|M|N с обратной связью методом асимптотического анализа

Репозитарії

Схожі ресурси