Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации
Найдены точные нижние оценки вероятностей попадания неотрицательных унимодальных случайных величин μ в интервалы m - ασμ, m + ασμ, где мода m, которая совпадает с первым моментом случайной величины μ, меньше, чем среднее квадратическое отклонением m < σμ. Параметр α удовлетворяет неравенствам 0...
Збережено в:
| Дата: | 2021 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Назва видання: | Кібернетика та системний аналіз |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190652 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации / Л.С. Стойкова // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 110–114. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-190652 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1906522023-06-17T22:10:16Z Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации Стойкова, Л.С. Системний аналіз Найдены точные нижние оценки вероятностей попадания неотрицательных унимодальных случайных величин μ в интервалы m - ασμ, m + ασμ, где мода m, которая совпадает с первым моментом случайной величины μ, меньше, чем среднее квадратическое отклонением m < σμ. Параметр α удовлетворяет неравенствам 0 < α < m/σμ < 1. Этот результат может быть применен при расчете вероятности попадания снаряда в полосу при прицельной стрельбе. Знайдено точні нижні оцінки ймовірності попадання невід’ємної унімодальної випадкової величини μ в інтервали (m - ασμ, m + ασμ), де мода m збігається з першим моментом випадкової величини μ і менше, ніж середнє квадратичне відхилення: m < σμ. Параметр α задовольняє нерівностям 0 < α < m/σμ < 1. Цей результат можна застосувати для розрахунку ймовірності попадання снаряда в смугу під час прицільної стрільби. Exact lower estimations are found for the probability that non-negative unimodal random variable μ gets in the intervals (m - ασμ, m + ασμ) where the mode m coincides with fixed first moment of random variable μ, σμ is standard deviation and m < σμ. The parameter α satisfies the inequalities 0 < α < m/σμ < 1. The results of this study may be useful in evaluating the probability of hitting the projectile zone when aimed shooting. 2021 Article Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации / Л.С. Стойкова // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 110–114. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190652 519.2 ru Кібернетика та системний аналіз Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Стойкова, Л.С. Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации Кібернетика та системний аналіз |
| description |
Найдены точные нижние оценки вероятностей попадания неотрицательных унимодальных случайных величин μ в интервалы m - ασμ, m + ασμ, где мода m, которая совпадает с первым моментом случайной величины μ, меньше, чем среднее квадратическое отклонением m < σμ. Параметр α удовлетворяет неравенствам 0 < α < m/σμ < 1. Этот результат может быть применен при расчете вероятности попадания снаряда в полосу при прицельной стрельбе. |
| format |
Article |
| author |
Стойкова, Л.С. |
| author_facet |
Стойкова, Л.С. |
| author_sort |
Стойкова, Л.С. |
| title |
Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации |
| title_short |
Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации |
| title_full |
Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации |
| title_fullStr |
Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации |
| title_full_unstemmed |
Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации |
| title_sort |
точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2021 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190652 |
| citation_txt |
Точные оценки вероятности попадания неотрицательной унимодальной случайной величины в специальные интервалы при неполной информации / Л.С. Стойкова // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 110–114. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Кібернетика та системний аналіз |
| work_keys_str_mv |
AT stojkovals točnyeocenkiveroâtnostipopadaniâneotricatelʹnojunimodalʹnojslučajnojveličinyvspecialʹnyeintervalyprinepolnojinformacii |
| first_indexed |
2025-07-16T13:40:13Z |
| last_indexed |
2025-07-16T13:40:13Z |
| _version_ |
1837811068328476672 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.2
Ë.Ñ. ÑÒÎÉÊÎÂÀ
ÒÎ×ÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÏÎÏÀÄÀÍÈß
ÍÅÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÎÉ ÓÍÈÌÎÄÀËÜÍÎÉ ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ ÂÅËÈ×ÈÍÛ
 ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÈÍÒÅÐÂÀËÛ ÏÐÈ ÍÅÏÎËÍÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ
Àííîòàöèÿ. Íàéäåíû òî÷íûå íèæíèå îöåíêè âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ íåîò-
ðèöàòåëüíûõ óíèìîäàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � â èíòåðâàëû
( , )m m� ��� ��� � , ãäå ìîäà m , êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ìîìåíòîì
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �, ìåíüøå, ÷åì ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
m � � �. Ïàðàìåòð � óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì 0 1� � �� � �m / . Ýòîò ðå-
çóëüòàò ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ïðè ðàñ÷åòå âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñíàðÿäà
â ïîëîñó ïðè ïðèöåëüíîé ñòðåëüáå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû îò óíèìîäàëüíûõ ôóíêöèé ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ, ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ, ïðåîáðàçîâà-
íèå Äæîíñîíà–Ðîäæåðñà, òî÷íûå îáîáùåííûå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà äëÿ
ôóíêöèîíàëîâ îò óíèìîäàëüíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ.
\Äëÿ ñëîæíîãî ñîâðåìåííîãî âûñîêîíàäåæíîãî îðóæèÿ (îñîáåííî íà ñòàäèè åãî
ïðîåêòèðîâàíèÿ), êàê ïðàâèëî, íåèçâåñòíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû � — ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè ïîïàäàíèÿ ñíàðÿäà äî öåíòðà ìèøåíè.
Âîçìîæíîñòü èìåòü ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ òîé èëè
èíîé ãèïîòåçû î çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ � îãðàíè÷åíà, îäíàêî èìåþùåéñÿ ñòàòèñ-
òèêè áûâàåò äîñòàòî÷íî äëÿ îöåíêè îäíîãî–äâóõ ìîìåíòîâ ýòîãî çàêîíà. Åñëè,
êðîìå ýòîãî, èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò óíèìîäàëüíîñòü ðàñïðåäåëå-
íèÿ è ìèøåíü ïðèíÿòü çà ìîäó, òî ìîæíî ïîëó÷àòü âûñîêèå íàèìåíüøèå îöåíêè
âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñíàðÿäà â ïîëîñó, ñîäåðæàùóþ ìèøåíü, äàæå ïðè
íàëè÷èè îòêëîíåíèé, ïðåâûøàþùèõ ìîäó.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ñòàòüè [1, òåîðåìà 3], â êî-
òîðîé íàéäåíû òî÷íûå íèæíèå îöåíêè âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû � â èíòåðâàë ( , )m m� �� �� � â ñëó÷àå, êîãäà ìîäà m ïðåâîñõîäèò � �.
 äàííîé ñòàòüå èññëåäîâàí ñëó÷àé, êîãäà m� � �. Êëþ÷åâàÿ èäåÿ, êîòîðàÿ ïî-
ìîãëà ðåøèòü ýòó çàäà÷ó, áûëà ïðåäëîæåíà àâòîðó ÷ëåí-êîððåñïîíäåíòîì ÍÀÍ
Óêðàèíû Í.Þ. Êóçíåöîâûì, êîòîðûé ðåêîìåíäîâàë ââåñòè â ðàññìîòðåíèå íî-
âûé ïàðàìåòð � � 0 , óäîâëåòâîðÿþùèé íåðàâåíñòâàì
0 1� � ��
� �
m
.
(1)
Ýòî ïîçâîëèëî îáðàçîâàòü ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî ìîäû èíòåðâàëû
( , )m m� ��� ��� � , êîòîðûå âëîæåíû îäèí â äðóãîé è èõ îáúåäèíåíèå ïðè-
áëèæàåòñÿ ê èíòåðâàëó ( , )m m� �� �� � ïðè � �1; â ýòèõ èíòåðâàëàõ (ïðè
ìàëûõ �) äîïóñêàëèñü áîëüøèå äèñïåðñèè (áîëüøå ìîäû), ÷òî ïîñëóæèëî
îñíîâàíèåì ê ðåøåíèþ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è.
Çàäà÷à 1. Ïóñòü � � 0 — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ óíèìîäàëüíîé ôóíêöèåé ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ (ô.ð.) F x� ( ) ñ çàäàííûìè ìîäîé m � 0 è ìîìåíòàìè xdF x m� ( ) �
1
0
,
110 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
© Ë.Ñ. Ñòîéêîâà, 2021
x dF x m2
2
0
� ( ) �
.  òàêîì ñëó÷àå èçâåñòíà äèñïåðñèÿ � �
2
2 1
2� �m m . Ïóñòü âû-
ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû:
m m m m� � � � � �1 0 0 0, ,� ��� � . (2)
Íåîáõîäèìî íàéòè òî÷íûå íèæíèå îöåíêè (èíôèìóìû) âåðîÿòíîñòè
P m m dF x I F
m
m
{ } ( ) ( )� � � � � �
�
�
�� � ��� � � �
��
��
�
�
(3)
è ô.ð. F x� ( ) , íà êîòîðûõ îíè äîñòèãàþòñÿ.
Ïåðåéäåì îò çàäà÷è 1 ê ýêâèâàëåíòíîé çàäà÷å 2. Ïåðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ
ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ [2]
F x F x m x f x� � �( ) ( ) ( ) ( )� � � , (4)
ãäå F x� ( ) — ô.ð. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � (íå îáÿçàòåëüíî óíèìîäàëüíîé),
f x� ( ) — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �. Ïóñòü f x� ( ) ïî÷òè
âñþäó äèôôåðåíöèðóåìà, çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ èëè òðåõ òî÷åê è, âîçìîæíî,
ìîäû. Ïóñòü òàêæå
f x f x
x
� �( ) , ( )0 0 03� �
�
. (5)
Èç (4) ñëåäóåò
dF x m x df x� �( ) ( ) ( )� � . (6)
Ñ ó÷åòîì (6), èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ (5), íàõîäèì ìîìåí-
òû ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �:
s x dF x i m imm i k si
i
i i� � � � � �
�
0
1 01 1 1� ( ) ( ) , , , . (7)
Èç (7) ïðè óñëîâèè m m� 1 íàõîäèì
s xdF x m m m1 1
0
2� � � �
� ( ) , s x dF x m m2
2
2
0
1
23 2� � �
� ( ) . (8)
Èç (8) ñëåäóåò
s m m1 1 3� � �, � �� � . (9)
Äàëåå íàéäåì ôóíêöèîíàë I F( )� , ðàâíûé èñõîäíîìó ôóíêöèîíàëó I F( )� .
Ñ ó÷åòîì (4), (6) è (9) ïîëó÷èì
I F
dF x
s x
dF x
s
s
s
( )
( )
(�
� �
��
��
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 10
3
3
3
1
1
1
)
( )
( )�
�
�
�
�� � �
��
�
�
3 1
3
1
dF x
x s
I F
s
. (10)
Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü áîëåå ïðîñòóþ çàäà÷ó 2, ýêâèâàëåíòíóþ çàäà÷å 1.
Çàäà÷à 2. Íàéòè òî÷íûå íèæíèå îöåíêè ôóíêöèîíàëà (10) â êëàññå
K F F xdF x s x dF x s s s2 1
2
2
00
1
2
20 0 0� � � � � � �
� �: ( ) , ( ) , ( ) , �
�
�
�
�
�
�
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (2) è ô.ð. F x� ( ) , íà êîòîðûõ îíè äîñòèãàþòñÿ.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 111
Ïàðàìåòðàìè çàäà÷è 2 ÿâëÿþòñÿ ìîìåíòû s1 , s2 (èëè � �) è ïàðàìåòð �
(ñì. (1)). Âñå îíè âçàèìîñâÿçàíû (ñì. (2)). Çíàÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðîâ s1 , � � è âû-
áèðàÿ çíà÷åíèå � â èíòåðâàëå
0
31� ��
� �
s
, (11)
ïîëó÷àåì èíòåðâàë äëÿ èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà � � :
0 3
3
1
1� � �s
s
�
�
� , (12)
è èíòåðâàë ïîïàäàíèÿ s s1 1
3 3
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �� �
, .
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 2 â îñíîâíîé ðîëè âûñòóïàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Åñëè ïàðàìåòðû s1, � � è � óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (12), òî èíôè-
ìóì ôóíêöèîíàëà (10) âû÷èñëÿåòñÿ íà ñòóïåí÷àòîé ô.ð. F o� ñ òî÷êàìè ðîñòà
x z s1 0 10 2 2� � �, ( ) è ñêà÷êàìè â íèõ, ðàâíûìè p
z s
z
1
0 1
0
0 7071�
�
� . ;
p
s
z
2
1
0
0 2929� � . . (Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè ðîñòà çàâèñÿò òîëüêî îò ïàðàìåòðà s1,
à ñêà÷êè ïîñòîÿííû.) Èíôèìóì ðàâåí
I F
s s
( )
. .
( . )
.
�
� � ��� �� ��
0
1 1
0 7071
3
0 2929
3 2 4142
0 8284
� � �
s1 3
0 8284� . . (13)
Äîêàçàòåëüñòâî. Âòîðîé ìîìåíò ô.ð. F o� ðàâåí
s p z p z s s20 1 0
2
2 0 1 1
20 3 4142� � � � � . .
Èç íåðàâåíñòâà (12) ñëåäóåò, ÷òî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå äèñïåðñèè �
�min
2
ô.ð. F o� â ýòîé îáëàñòè áîëüøå 3
1
2s . Äèñïåðñèè �
�min
2 ñîîòâåòñòâóåò íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå âòîðîãî ìîìåíòà s s s2
2
1
2
1
24min min
� � ��
�
â ýòîé æå îáëàñòè. Èòàê, èìååì
s z s s20 0 1 1
2 3 4142� � . è s s2 1
24min � . Îòñþäà ñëåäóåò z s s min0 1 2� . Äàëåå ñ óâåëè÷å-
íèåì � � â äîïóñòèìûõ ïðåäåëàõ (12) áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ s2 . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
êàæäîãî ñîãëàñîâàííîãî ôèêñèðîâàííîãî íàáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ s1, , ,� ��
óäîâëåòâîðÿþùèõ âñåé îáëàñòè (12), áóäåò âûïîëíÿòüñÿ òàêæå íåðàâåíñòâî
z s s0 1 2� . Ýòî îçíà÷àåò. ÷òî âòîðàÿ òî÷êà ðîñòà z0 ô.ð. F�0 ìåíüøå òî÷êè B
s
s
� 2
1
è
ïîýòîìó ô.ð. F�0 èìååò âòîðîé ìîìåíò s20 , ìåíüøèé s2 . Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî
F K�0 2� , íî F�0 ïðèíàäëåæèò çàìûêàíèþ ìíîæåñòâà K2 ( [ ])F K�0 2� . Ïîýòîìó
ìíîãî÷ëåíU x0 ( ) , ñîîòâåòñòâóþùèé F�0 , ãðàôè÷åñêè áóäåò ïðÿìîé ëèíèåé, ïðîõî-
äÿùåé ÷åðåç òî÷êè ( , ( )), ( , ( ))0 0 0 0g z g z è êàñàþùåéñÿ ôóíêöèè g x( ) â òî÷êå z0 :
U x g z g z x z0 0 0 0( ) ( ) ( )( )� � � � .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòîò ìíîãî÷ëåí áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âñåì íåîáõîäèìûì è
äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì, ÷òîáû ô.ð. F�0 áûëà ýêñòðåìàëüíîé (ñì., íàïðèìåð [3]).
Ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
112 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
Ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ïðîöåññ ðåøåíèÿ çàäà÷è 2. Ïóñòü çàäàíû
m
m
� � �10 16 06251
1
, , .�
�
�
�
. Íàõîäèì s1 1 110 3 27 7128� � �, .� �� � . Äàëåå
ñëåäóåò âûáðàòü ïàðàìåòð �, ïðè ýòîì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñòðîãîå íåðàâåíñòâî
0 0625� �� . . Åñëè ïàðàìåòð � áóäåò äàæå íåçíà÷èòåëüíî áîëüøå, íàïðèìåð
�1 0626� . , òî èíòåðâàë äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé äëÿ � � , ðàâíûé (ñì. (12))
(17.32–27.67), íå áóäåò ñîäåðæàòü çàäàííîãî � �� �1 1 3 27 7128� � . è òîãäà
íåâîçìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 1. Ðàññìîòðèì ìåíüøèå çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðà � äëÿ ýòîãî æå ïðèìåðà. Ïóñòü � 2 062� . . Íàõîäèì èíòåðâàë äîïóñòèìûõ
çíà÷åíèé � � : ( . . )17 32 27 835� . Êàê âèäèì, � �1 ïðèíàäëåæèò ýòîìó èíòåðâàëó è
ñîãëàñíî òåîðåìå 1
inf
F K
I F
�
�
�
�
� �
�
2
0 62 27 7128 0 8284
17 32
0 8218( )
. . .
.
. .
Ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðà � 3 0 1� . èìååì èíòåðâàë äëÿ � � , ðàâíûé
( . . )17 32 173 2� , êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò � �1 27 7128� . è inf
F K
I F
�
�
�
�
2
0 1325( ) . .
Èíòåðâàëû ïîïàäàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò � áóäóò ñëåäóþùèìè: äëÿ � 2 062� . :
( , ) ( . . )u � � �0 08 19 92 , äëèíà ðàâíà 19,84. Äëÿ � 3 0 1� . : ( , ) ( . . )u � � �8 4 11 6 , äëèíà
ðàâíà 3.2.
Òàêèì îáðàçîì, ñ óìåíüøåíèåì � äëèíà èíòåðâàëà ïîïàäàíèÿ è èíôèìóì
âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ óìåíüøàþòñÿ, à âåëè÷èíà � � è äîïóñòèìûå èíòåðâàëû
äëÿ � � óâåëè÷èâàþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû ïîëó÷èòü íàèáîëüøóþ èç íàè-
ìåíüøèõ âåðîÿòíîñòåé ïîïàäàíèÿ â âîçìîæíî áîëüøèé èíòåðâàë, ñëåäóåò âûáè-
ðàòü ïàðàìåòð �, áëèçêèì ê îòíîøåíèþ m / � �, íå ïðåâûøàÿ åãî.
Äàëåå ñðàâíèì ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è èç ðàáîòû [4] ïðè íîðìàëüíîé
ô.ð. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � ñ çàäàííûìè ìîäîé m �10 è ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì
îòêëîíåíèåì � � �16 (m� �� �, .0 625) ñ ðåçóëüòàòàìè ðåøåíèÿ òàêîé æå çàäà÷è â
êëàññå óíèìîäàëüíûõ ô.ð. ñ ïàðàìåòðàìè s1 10� , � ��1 16 3 27 7128 0 624� � �. , . .
Äîïóñòèìîé îáëàñòüþ äëÿ � � ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (17.32–27.7564). Âåëè÷èíà
� �1 27 7128� . ïðèíàäëåæèò ýòîìó èíòåðâàëó, ïîýòîìó âû÷èñëÿåì èíôèìóì ïî
ôîðìóëå (13):
inf
F K
I F
�
�
�
�
� �
�
2
0 624 27 7128 0 8284
17 32
0 8271( )
. . .
.
. .
Ïîëîæèì âåðîÿòíîñòü p ïîïàäàíèÿ â ïîëîñó ïðè îäíîì âûñòðåëå ðàâíîé
p � 0 8271. (â ðàáîòå [4] p � 0 468. ). Ïóñòü ïðîâîäèòñÿ ñòðåëüáà òðåìÿ âûñòðåëàìè.
Òîãäà âåðîÿòíîñòü õîòÿ áû îäíîãî ïîïàäàíèÿ â ïîëîñó ñîñòàâëÿåò
P A p( ) ( ) .� � � �1 1 0 9953 (â ðàáîòå [4] P A( ) , )� 0 849 . Âåðîÿòíîñòü íå ìåíåå äâóõ
ïîïàäàíèé â ïîëîñó ñîñòàâëÿåò P B p p( ) ( ) ,� � �2 3 2 0 92 (â [4] P B( ) . )� 0 452 .
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçëè÷íûõ ñîáûòèé ïðè ïðèöåëüíîé ñòðåëüáå â ïîëîñó
äàåò çàíèæåííûå îöåíêè äàæå ïî ñðàâíåíèþ ñ íàèìåíüøèìè îöåíêàìè â êëàññå
óíèìîäàëüíûõ ô.ð. ñ òåìè æå äâóìÿ ôèêñèðîâàííûìè ìîìåíòàìè.
Ïðè ëþáîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ, îáëàäàþùèì ìîìåíòàìè äâóõ ïåðâûõ ïî-
ðÿäêîâ, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà P s{ }| | /� �� ��� � �1
21 èëè ðàâíî-
ñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî P s{ }| | /� �� ��� � � �1
21 1 . Ïîñêîëüêó â çàäà÷å 2 � � 1,
òî íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà äàåò íóëåâóþ îöåíêó äëÿ âñåõ 0 1� �� , ò.å. åùå áîëåå
çàíèæåííóþ îöåíêó.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 113
Ââåäåíèå ïàðàìåòðà � ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðàçáèåíèå îáëàñòè ïàðàìåòðîâ m, � �
è ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåðâàëîâ ïîïàäàíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ m� � �. ×òîáû ïîëó÷èòü
ïîëíîå ðàçáèåíèå äëÿ óêàçàííûõ ïàðàìåòðîâ, äîñòàòî÷íî ðåøèòü åùå îäíó çàäà-
÷ó, ïîäîáíóþ çàäà÷å 2, ïðè óñëîâèè m � � �.
Íà àêòóàëüíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷, íàçûâàåìûõ îáîáùåííûìè íåðàâåíñòâàìè
×åáûøåâà, â ñâÿçè ñ èõ âàæíûìè ïðàêòè÷åñêèìè ïðèìåíåíèÿìè ÷àñòî îáðàùàë
âíèìàíèå ìîé Ó÷èòåëü — àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàèíû Èãîðü Íèêîëàåâè÷ Êîâàëåí-
êî [5–7], à åùå ðàíåå — Ó÷èòåëü Èãîðÿ Íèêîëàåâè÷à — àêàäåìèê ÍÀÍ Óêðàè-
íû Áîðèñ Âëàäèìèðîâè÷ Ãíåäåíêî [7] , èõ ó÷åíèêè è ìíîãèå çàðóáåæíûå ìàòå-
ìàòèêè, ññûëêè íà êîòîðûõ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [8].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñòîéêîâà Ë.Ñ., Êîâàëü÷óê Ë.Â. Òî÷íûå îöåíêè íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò óíèìîäàëüíûõ
ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåïîëíîé èíôîðìàöèè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55,
¹ 6. Ñ. 41–53.
2. Johnson N.L., Rogers C.A. The moment problem for unimodal distribution. Ann. Math. Stat. 1951. Vol. 22.
P. 433–439.
3. Êàðëèí Ñ., Ñòàääèí Â. ×åáûøåâñêèå ñèñòåìû è èõ ïðèìåíåíèå â àíàëèçå è ñòàòèñòèêå. Ìîñêâà: Íàóêà,
1976. 568 ñ.
4. Âåíòöåëü Å.Ñ., Îâ÷àðîâ Ë.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ìîñêâà: Íàóêà, 1973. 365 ñ.
5. Kovalenko I.N., Kuznetsov N.Yu., Pegg Ph.A. Mathematical theory of reliability of time dependent systems
with practical applications. Chichester: Wiley, 1997. 303 p.
6. Êîâàëåíêî È.Í. Îáçîð ìîèõ íàó÷íûõ ðàáîò. Ó÷èòåëÿ è ñîðàòíèêè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
2010. ¹ 3. Ñ. 3–27.
7. Êîâàëåíêî È.Í. Âêëàä âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêîé øêîëû Áîðèñà Âëàäèìèðîâè÷à Ãíåäåíêî â ðàç-
âèòèå êèáåðíåòèêè è èíôîðìàòèêè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 6. Ñ. 41–53.
8. Ñòîéêîâà Ë.Ñ. Îáîáùåííûå íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íàäåæ-
íîñòè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2010. ¹ 3. Ñ. 139–143.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 17.08.2020
Ë.Ñ. Ñòîéêîâà
ÒÎ×Ͳ ÎÖ²ÍÊÈ ÉÌβÐÍÎÑÒ² ÏÎÏÀÄÀÍÍß ÍŲĒªÌÍί ÓͲÌÎÄÀËÜÍί
ÂÈÏÀÄÊÎÂί ÂÅËÈ×ÈÍÈ Ó ÑÏÅÖ²ÀËÜͲ ²ÍÒÅÐÂÀËÈ ÇÀ ÍÅÏÎÂÍί ²ÍÔÎÐÌÀÖ²¯
Àíîòàö³ÿ. Çíàéäåíî òî÷í³ íèæí³ îö³íêè éìîâ³ðíîñò³ ïîïàäàííÿ íåâ³ä’ºìíî¿
óí³ìîäàëüíî¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè � â ³íòåðâàëè ( , )m m� ��� ��� � , äå
ìîäà m çá³ãàºòüñÿ ç ïåðøèì ìîìåíòîì âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè � ³ ìåíüøå,
í³æ ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ: m � � �. Ïàðàìåòð � çàäîâîëüíÿº
íåð³âíîñòÿì 0 1� � �� � �m / . Öåé ðåçóëüòàò ìîæíà çàñòîñóâàòè äëÿ ðîçðà-
õóíêó éìîâ³ðíîñò³ ïîïàäàííÿ ñíàðÿäà â ñìóãó ï³ä ÷àñ ïðèö³ëüíî¿ ñòð³ëüáè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ë³í³éí³ ôóíêö³îíàëè â³ä óí³ìîäàëüíî¿ ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó,
åêñòðåìàëüí³ çíà÷åííÿ ë³í³éíèõ ôóíêö³îíàë³â, ïåðåòâîðåííÿ Äæîíñîíà–Ðîä-
æåðñà, òî÷í³ óçàãàëüíåí³ íåð³âíîñò³ ×åáèøîâà äëÿ ôóíêö³îíàë³â â³ä óí³ìî-
äàëüíèõ ôóíêö³é ðîçïîä³ëó.
L.S. Stoikova
ACCURATE ESTIMATES OF THE PROBABILITY OF A NON-NEGATIVE UNIMODAL
RANDOM VALUE INTO SPECIAL INTERVALS WITH INCOMPLETE INFORMATION
Abstract. Exact lower estimations are found for the probability that non-negative
unimodal random variable � gets in the intervals ( , )m m� ��� ��� � where the
mode m coincides with fixed first moment of random variable �, � � is standard
deviation and m � � �. The parameter � satisfies the inequalities
0 1� � �� � �m / . The results of this study may be useful in evaluating the
probability of hitting the projectile zone when aimed shooting.
Keywords: linear functionals of unimodal distribution functions, extremal
values, transformation of Johnson–Rogers, exact generalized Chebyshoff
inequalities for linear functionals of unimodal distribution functions.
Ñòîéêîâà Ëèäèÿ Ñòåïàíîâíà,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê, Êèåâ, e-mail: stojk@ukr.net.
114 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
|