Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням

Розглянуто систему обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з Т-поверненням заявок, тобто систему з FCFS дисципліною обслуговування та сталим часом Т циклу орбіти. Для такої системи побудовано ланцюг Маркова, доведено умову ергодичності, за певного співвідношення часу обслуговування та часу перебування н...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2021
Автори:	Коба, О.В., Серебрякова, С.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Назва видання:	Кібернетика та системний аналіз
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190654
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням / О.В. Коба, С.В. Серебрякова // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 128–138. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190654
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1906542023-06-17T22:20:32Z Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням Коба, О.В. Серебрякова, С.В. Системний аналіз Розглянуто систему обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з Т-поверненням заявок, тобто систему з FCFS дисципліною обслуговування та сталим часом Т циклу орбіти. Для такої системи побудовано ланцюг Маркова, доведено умову ергодичності, за певного співвідношення часу обслуговування та часу перебування на орбіті розв’язано систему рівнянь для стаціонарного розподілу ймовірностей станів системи, виведено формули для середніх показник ів кількості заявок та кількості циклів заявки на орбіті. Розроблено алгоритм статистичного моделювання функціонування такої системи. Результати аналітичного та статистичного моделювання узгоджуються. Вказано важливу властивість систем типу Лакатоша: вона може застосовуватися для оцінювання системи, у якій не обов’язкове обслуговування за дисципліною FCFS. Рассмотрена система обслуживания GI/G/1 типа Лакатоша с T-возвращением заявок, т.е. система с FCFS дисциплиной обслуживания и постоянным временем T цикла орбиты. Для такой системы построена цепь Маркова, доказано условие эргодичности, при определенном соотношении времени обслуживания и времени пребывания на орбите решена система уравнений для стационарного распределения вероятностей состояний системы, выведены формулы для средних показателей количества заявок и количества циклов заявки на орбите. Разработан алгоритм статистического моделирования функционирования системы. Результаты аналитического и статистического моделирования согласуются. Указано важное свойство систем типа Лакатоша: она может применяться для оценки системы, в которой обслуживание с дисциплиной FCFS необязательно. Authors consider the Lakatosh-type GI/G/1 queueing system with T-retrials, i.e., the system with the FCFS service discipline and a constant cycle time T of the orbit. Here we construct the Markov chain for the system, prove its ergodicity condition, solve the system of equations for the stationary distribution of the system state probabilities, and derive formulas for the average number of requests and the average number of the orbit cycles at a specific ratio of service time and orbit time. Also, we develop an algorithm for statistical modeling of the considered system. Results of analytical and statistical modeling show consistency between them. Authors indicate an essential property of the Lakatos-type system, namely, that we can use it to evaluate a system in which the FCFS service order is not necessary. 2021 Article Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням / О.В. Коба, С.В. Серебрякова // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 128–138. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190654 519.872 uk Кібернетика та системний аналіз Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Коба, О.В. Серебрякова, С.В. Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням Кібернетика та системний аналіз
description	Розглянуто систему обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з Т-поверненням заявок, тобто систему з FCFS дисципліною обслуговування та сталим часом Т циклу орбіти. Для такої системи побудовано ланцюг Маркова, доведено умову ергодичності, за певного співвідношення часу обслуговування та часу перебування на орбіті розв’язано систему рівнянь для стаціонарного розподілу ймовірностей станів системи, виведено формули для середніх показник ів кількості заявок та кількості циклів заявки на орбіті. Розроблено алгоритм статистичного моделювання функціонування такої системи. Результати аналітичного та статистичного моделювання узгоджуються. Вказано важливу властивість систем типу Лакатоша: вона може застосовуватися для оцінювання системи, у якій не обов’язкове обслуговування за дисципліною FCFS.
format	Article
author	Коба, О.В. Серебрякова, С.В.
author_facet	Коба, О.В. Серебрякова, С.В.
author_sort	Коба, О.В.
title	Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням
title_short	Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням
title_full	Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням
title_fullStr	Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням
title_full_unstemmed	Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням
title_sort	cистема обслуговування gi/g/1 типу лакатоша з t-поверненням
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190654
citation_txt	Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням / О.В. Коба, С.В. Серебрякова // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 128–138. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series	Кібернетика та системний аналіз
work_keys_str_mv	AT kobaov cistemaobslugovuvannâgig1tipulakatošaztpovernennâm AT serebrâkovasv cistemaobslugovuvannâgig1tipulakatošaztpovernennâm
first_indexed	2025-07-16T13:40:27Z
last_indexed	2025-07-16T13:40:27Z
_version_	1837811082729619456
fulltext	ÓÄÊ 519.872 Î.Â. ÊÎÁÀ, Ñ.Â. ÑÅÐÅÁÐßÊÎÂÀ CÈÑÒÅÌÀ ÎÁÑËÓÃÎÂÓÂÀÍÍß GI G/ / 1 ÒÈÏÓ ËÀÊÀÒÎØÀ Ç Ò-ÏÎÂÅÐÍÅÍÍßÌ Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ GI G/ / 1 òèïó Ëàêàòîøà ç Ò -ïî- âåðíåííÿì çàÿâîê, òîáòî ñèñòåìó ç FCFS äèñöèïë³íîþ îáñëóãîâóâàííÿ òà ñòà- ëèì ÷àñîì Ò öèêëó îðá³òè. Äëÿ òàêî¿ ñèñòåìè ïîáóäîâàíî ëàíöþã Ìàðêîâà, äîâåäåíî óìîâó åðãîäè÷íîñò³, çà ïåâíîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ òà ÷àñó ïåðåáóâàííÿ íà îðá³ò³ ðîçâ’ÿçàíî ñèñòåìó ð³âíÿíü äëÿ ñòàö³îíàðíîãî ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé ñòàí³â ñèñòåìè, âèâåäåíî ôîðìóëè äëÿ ñåðåäí³õ ïîêàç- íèê³â ê³ëüêîñò³ çàÿâîê òà ê³ëüêîñò³ öèêë³â çàÿâêè íà îðá³ò³. Ðîçðîáëåíî àëãî- ðèòì ñòàòèñòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ôóíêö³îíóâàííÿ òàêî¿ ñèñòåìè. Ðåçóëüòàòè àíàë³òè÷íîãî òà ñòàòèñòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ óçãîäæóþòüñÿ. Âêàçàíî âàæëèâó âëàñòèâ³ñòü ñèñòåì òèïó Ëàêàòîøà: âîíà ìîæå çàñòîñîâóâàòèñÿ äëÿ îö³íþâàííÿ ñèñòåìè, ó ÿê³é íå îáîâ’ÿçêîâå îáñëóãîâóâàííÿ çà äèñöèïë³íîþ FCFS. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñèñòåìè ìàñîâîãî îáñëóãîâóâàííÿ ç ïîâåðíåííÿì çàÿâîê, ñèñòåìà òèïó Ëàêàòîøà, ñèñòåìè ç öèêë³÷íèì ÷àñîì î÷³êóâàííÿ, ñèñòåìà ç Ò -ïîâåðíåííÿì, îðá³òà, öèêë îðá³òè, ëàíöþã Ìàðêîâà, åðãîäè÷í³ñòü ñèñ- òåìè îáñëóãîâóâàííÿ. ÂÑÒÓÏ Ïðîòÿãîì òðüîõ îñòàíí³õ äåñÿòèë³òü çíà÷íèé ðîçâèòîê îòðèìàëà òåîð³ÿ ñèñòåì ìàñîâîãî îáñëóãîâóâàííÿ (ÑÌÎ) ç çàÿâêàìè, ùî ïîâåðòàþòüñÿ. Öåé ïðîöåñ çó- ìîâèëî çíà÷íå ïîøèðåííÿ òåëåêîìóí³êàö³éíèõ ñèñòåì. Ä³éñíî, çà êëàñè÷íîþ ñõåìîþ Åðëàíãà âèêëèê, ÿêèé îäåðæàâ â³äìîâó, çíèêàº. Òèì íå ìåíø, ó âè- ïàäêó çàéíÿòîñò³ ë³í³¿ â³í ìîæå ïîâòîðþâàòèñÿ ÷åðåç ñòàëèé ÷è âèïàäêîâèé ÷àñ [1–3]. ²íøèì ÷èííèêîì º îá÷èñëþâàëüí³ ñèñòåìè ³ ìåðåæ³, â ÿêèõ ó âè- ïàäêó ïåðåïîâíåííÿ áóôåðà çàÿâêè, ùî íàäõîäÿòü äî ïðîöåñîðà, áëîêóþòüñÿ ³ ïîâåðòàþòüñÿ ÷åðåç âèçíà÷åíèé ÷àñ [4]. ²ñòîòíîþ ïðè÷èíîþ ðîçâèòêó òåîð³¿ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ ç ïîâåðíåííÿì çàÿâîê º ñó÷àñí³ îïòè÷í³ ³íôîðìàö³éí³ ñèñòåìè [5, 6] òà ñèñòåìè êåðóâàííÿ ðóõîì ïîâ³òðÿíèõ ñóäåí ï³ä ÷àñ çàõîäæåííÿ íà ïîñàäêó [7, 8]. Òàê³ ñèñòåìè ïîòðåáóþòü äîñë³äæåííÿ íîâèõ ìîäåëåé ÑÌÎ, ÿê³ ³íîä³ íàçèâàþòü ñèñòåìàìè òèïó Ëàêàòîøà àáî ñèñòåìàìè ç ïîâåðíåííÿì ³ FCFS (first come, first served) äèñöèïë³íîþ îáñëó- ãîâóâàííÿ. Çàçíà÷èìî, ùî Ëàñëî Ëàêàòîø — óãîðñüêèé ìàòåìàòèê, ÿêèé âïåðøå äîñë³äèâ ïîä³áíó ñèñòåìó äëÿ ìîäåëþâàííÿ ïðîöåñó çàõîäæåííÿ íà ïîñàäêó ïîâ³òðÿíîãî ñóäíà [9]. Ó ö³é ðîáîò³ áóëî ðîçãëÿíóòî îäíîêàíàëüíó ñèñòåìó îá- ñëóãîâóâàííÿ ç âõ³äíèì ïîòîêîì Ïóàññîíà ç ïàðàìåòðîì � , ïîêàçíèêîâèì ÷àñîì îáñëóãîâóâàííÿ ç ïàðàìåòðîì �. ßêùî â ìîìåíò íàäõîäæåííÿ çàÿâêè êàíàë îá- ñëóãîâóâàííÿ çàéíÿòèé, âîíà ïîâåðòàºòüñÿ ÷åðåç ÷àñ, ùî º êðàòíèì äåÿêîìó ñòà- ëîìó T , ïðîòå íå ðàí³øå, í³æ áóäå îáñëóãîâàíî âñ³ ïîïåðåäí³ çàÿâêè. Ìåòîäîì âêëàäåíèõ ëàíöþã³â Ìàðêîâà çíàéäåíî òâ³ðíó ôóíêö³þ âåëè÷èíè ÷åðãè, à òàêîæ óìîâó åðãîäè÷íîñò³ ñèñòåìè, ùî ìàº âèãëÿä � � � � � � � � � � � e e e T T T ( )1 1 . (1) Çàçíà÷èìî, ùî â êëàñè÷í³é ÑÌÎ ç ïîâåðíåííÿì çàÿâêà, ÿêà íàäõîäèòü â ñèñ- òåìó ççîâí³ àáî ç îðá³òè, êîëè ³ñíóº áîäàé îäèí â³ëüíèé êàíàë îáñëóãîâóâàííÿ, ïðèéìàºòüñÿ íà îáñëóãîâóâàííÿ íåãàéíî; ÿêùî çàéíÿò³ âñ³ êàíàëè îáñëóãîâóâàí- 128 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 © Î.Â. Êîáà, Ñ.Â. Ñåðåáðÿêîâà, 2021 íÿ, çàÿâêà ñïðÿìîâóºòüñÿ (ìîæëèâî çíîâó) íà îðá³òó. Òàêèì ÷èíîì, äëÿ êëàñè÷- íî¿ ÑÌÎ ç ïîâåðíåííÿì óíåìîæëèâëþºòüñÿ áóäü-ÿêà ìîæëèâ³ñòü ÷åðãîâîñò³ îáñëóãîâóâàííÿ. Íà â³äì³íó â³ä êëàñè÷íî¿ ÑÌÎ â ñèñòåìàõ òèïó Ëàêàòîøà çàÿâêà, ùî ïîâåð- òàºòüñÿ ç îðá³òè, çíîâó òóäè ïîòðàïëÿº, ÿêùî çàëèøèëàñü íå îáñëóæåíîþ õî÷à á îäíà çàÿâêà, ùî íàä³éøëà â ñèñòåìó ðàí³øå. Çàÿâêà ç ïåðâèííîãî ïîòîêó òàêîæ íàäñèëàºòüñÿ íà îðá³òó, ÿêùî â êàíàë³ îáñëóãîâóâàííÿ, ÷è íà îðá³ò³ º õî÷à á îäíà çàÿâêà. Òàêèì ÷èíîì, ñèñòåìà òèïó Ëàêàòîøà îá’ºäíóº â ñîá³ äâà ïðèíöèïè: ïî- âòîðåííÿ çàÿâîê ³ îáñëóãîâóâàííÿ çà äèñöèïë³íîþ FCFS (äèâ. [10–13]). Íàçâåìî ñèñòåìó ç ïîâòîðåííÿì (ïîâåðíåííÿì) ÷åðåç ñòàëèé ÷àñ T ñèñòåìîþ ç T-ïîâåðíåííÿì. Ìåòîþ ö³º¿ ðîáîòè º äîñë³äæåííÿ á³ëüø çàãàëüíî¿, í³æ ó [9], ñèñòåìè GI G/ /1 ç³ ñòàëèì ÷àñîì T ïîâòîðåííÿ (ïîâåðíåííÿ) çàÿâêè ³ îáñëóãîâóâàííÿì çà äèñöèïë³íîþ FCFS, òîáòî ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ GI G/ /1 òèïó Ëàêàòîøà ç T-ïîâåðíåííÿì. ÑÈÑÒÅÌÀ GI G/ / 1 ÒÈÏÓ ËÀÊÀÒÎØÀ Ç Ò -ÏÎÂÅÐÍÅÍÍßÌ Ðîçãëÿíåìî îäíîêàíàëüíó ÑÌÎ ç ðåêóðåíòíèì âõ³äíèì ïîòîêîì ³ íåïåðåðâíîþ ôóíêö³ºþ ðîçïîä³ëó A x( ) ÷àñó ì³æ íàäõîäæåííÿì çàÿâîê; çàãàëüíîþ ôóíêö³ºþ ðîçïîä³ëó B x( ) ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ, ñòàëèì ÷àñîì T ïåðåáóâàííÿ çàÿâêè íà öèêë³ îðá³òè ³ FCFS äèñöèïë³íîþ îáñëóãîâóâàííÿ. Òàêèì ÷èíîì, ìîäåëü Ëàêàòî- øà M M/ /1 óçàãàëüíåíî çà âõ³äíèì ïîòîêîì ³ ÷àñîì îáñëóãîâóâàííÿ. Âèçíà÷èìî âêëàäåíèé ëàíöþã Ìàðêîâà ³ çíàéäåìî óìîâó éîãî åðãîäè÷íîñò³. Íåõàé tn — ìîìåíò íàäõîäæåííÿ n-¿ çàÿâêè, t Tkn n� — ìîìåíò ïî÷àòêó ¿¿ îáñëóãîâóâàííÿ. Çàçíà÷èìî, ùî kn — çàâæäè ö³ëå íåâ³ä’ºìíå ÷èñëî, ÿêå äîð³âíþº ê³ëüêîñò³ öèêë³â n-¿ çàÿâêè íà îðá³ò³. Íåõàé òàêîæ �n n nt t� ��1 , Yn — ÷àñ îáñëóãîâóâàííÿ n-¿ çàÿâêè. Çíàéäåìî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ kn ³ kn�1. Íåõàé k in � . ßêùî ( )k T� �1 � � � �Ti Y kTn n� , äå k � 1 — ö³ëå ÷èñëî, òî k kn� �1 ; ÿêùî Ti Yn n� � �� 0, òî kn� �1 0. Òàêèì ÷èíîì, kn º îäíîð³äíèì ëàíöþãîì Ìàðêîâà ç ³ìîâ³ðíîñòÿìè ïå- ðåõîäó p P k i T Y k i Tik n n� � � � � � �{ }( ) ( )1 � , k � 1, òà p P Y Tii n n0 � � � �{ }� . Ïîçíà÷èìî f P j T Y jTj n n� � � � �{ }( )1 � . Ìàºìî f B x jT B x j T dA xj � � � � � � � [ ( ) ( ( ) )] ( )1 0 . (2) Òîä³ éìîâ³ðíîñò³ ïåðåõîäó ìîæíà âèðàçèòè òàê: p fik k i� � , ÿêùî 1 1 �k i ; (3) p fi j i j0 � �� . (4) Ñôîðìóëþºìî òà äîâåäåìî òåîðåìó åðãîäè÷íîñò³. Òåîðåìà 1. ßêùî ðÿä j jjf �� àáñîëþòíî çá³ãàºòüñÿ, ïðè÷îìó j jjf �� 0, òî ëàíöþã Ìàðêîâà ( )kn åðãîäè÷íèé. Äîâåäåííÿ. Çà óìîâè, ùî k in � , E{ }k kp kf i j f i fn ik k i k j j i j j i � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 ( ) jf j j ik � � � � � 11 i jf j i j� � � � 1 . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 129 Ç óìîâè òåîðåìè 1 âèïëèâàº, ùî öåé âèðàç çàâæäè ñê³í÷åííèé ³ ìåíøèé, í³æ i � �, i N� . Çà êðèòåð³ºì Ìóñòàôè [14] ëàíöþã Ìàðêîâà kn äîäàòíèé, òîáòî ìàº ñòàö³îíàðíèé ðîçïîä³ë. Äëÿ âñòàíîâëåííÿ éîãî åðãîäè÷íîñò³ äîñòàòíüî äîâåñòè, ùî â³í àïåð³îäè÷- íèé. Îñê³ëüêè jf j � 0, òî çíàéäåòüñÿ òàêå k � 0, ùî f k� � 0. Çàô³êñóºìî çíà÷åí- íÿ k in � . ßêùî i k� , òî ç ³ìîâ³ðí³ñòþ f k� áóäå k i kn� � �1 ; ÿêùî i k� , òî ç ³ìîâ³ðí³ñòþ, íå ìåíøîþ f k� , áóäå kn� �1 0. Òàêèì ÷èíîì, çà ñê³í÷åííó ê³ëüê³ñòü êðîê³â ç³ ñòàíó ( )i ìîæíà ïåðåéòè â ñòàí ( )kn l� � 0 ; ï³ñëÿ öüîãî ç ³ìî- â³ðí³ñòþ, íå ìåíøîþ f k� , òàêîæ áóäå kn l� � �1 0. Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî ëàíöþã Ìàðêîâà kn àïåð³îäè÷íèé. Îòæå, â³í åðãîäè÷íèé. Ïðèêëàä 1. Ï³äñòàâëÿþ÷è dA x e dxx( ) � �� , B x e x( ) � � �1 � , x � 0, ó ôîðìó- ëó (2), îòðèìóºìî f e ej j T T� � �� ( ) ( )1 1 , j � 1, f e ej jT T� � � �� ( ),1 j 0 . Ï³äñóìóâàâøè ïî j, îäåðæèìî f e e e j j T T T � � � � � � � � � � � � �� 1 1 1� � � � � � � . Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî â öüîìó ðàç³ óìîâà Ëàêàòîøà (1) âèêîíóºòüñÿ òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè âèêîíóºòüñÿ óìîâà òåîðåìè 1. Çàóâàæèìî, ùî ñèñòåìó òèïó Ëàêàòîøà ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äëÿ îö³íþâàí- íÿ ñêëàäí³øî¿ ñèñòåìè, â ÿê³é íå îáîâ’ÿçêîâå îáñëóãîâóâàííÿ çà äèñöèïë³íîþ FCFS. ×àñòî ìîäåë³ ç FCFS äèñöèïë³íîþ îáñëóãîâóâàííÿ íå º àäåêâàòíèìè ðå- àëüíèì ñèñòåìàì. ßê â³äîìî, öå ñòîñóºòüñÿ ñèñòåì ïðèçåìëåííÿ ë³òàê³â, êîëè ï³ä ÷àñ ïåðåáóâàííÿ â ïîâ³òð³ ë³òàêà, â³äïðàâëåíîãî íà êîëî, ìîæå çä³éñíþâàòèñÿ ïðèçåìëåííÿ ³íøîãî ë³òàêà. ßêùî, îäíàê, ðîçãëÿíóòè ÷àñ Wn â³ä ìîìåíòó tn äî îñòàííüîãî ìîìåíòó ïî÷àòêó ïðèçåìëåííÿ ðàí³øå ïðèáóëèõ ë³òàê³â, òî çàâæäè áóäå W Tkn n , à îòæå, óìîâà òåîðåìè 1 ãàðàíòóº åðãîäè÷í³ñòü Wn — ïîñë³äîâ- íîñò³ ñêëàäí³øî¿ ñòðóêòóðè. Âèâåäåìî ð³âíÿííÿ äëÿ ñòàö³îíàðíîãî ðîçïîä³ëó. Ïðèïóñòèìî, ùî âèêîíàíî óìîâó òåîðåìè 1, ³ ïîçíà÷èìî � k n nP k k� � �� lim { }, k � 0. Ìàºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü � �k i ik i p� � � 0 , k � 0 ; (5) � k k � � � 1 0 . (6) Ç ð³âíîñòåé (3)–(5) ìàºìî � �k i k i i f� � � � 0 , k � 1; (7) � �0 0 � �� i j i j i f . (8) Äî ð³âíÿíü (7), (8) äîäàºòüñÿ óìîâà íîðìóâàííÿ (6). Cèñòåìó (7), (8) ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè ðåêóðåíòíèì ñïîñîáîì. Ïðèéìåìî óìîâó, ùî ÷àñ îáñëóãîâóâàííÿ çà- 130 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 ÿâêè çàâæäè ìåíøèé àáî äîð³âíþº T , òîáòî B T( )� �1. (9) Ïðèïóñòèìî òàêîæ, ùî f � �1 0. Ó öüîìó ðàç³ ç ôîðìóëè (2) âèïëèâàº, ùî f j � 0, ÿêùî óñ³ j � 2. Ìàºìî � �k i k i j k f� � � � , 0 1 k � 1. Ç ö³º¿ ñèñòåìè ð³âíÿíü óñ³ íåâ³äîì³ � �2 3, ,� ìîæíà âèðàçèòè ÷åðåç � 0 ³ �1, íàïðèêëàä, � � �2 1 1 0 0 1 1 1� � � �f f f( ( ) ). Òàêèì ÷èíîì, ìàºìî � � �k k ka b� �0 1, k � 0, (10) äå ak , bk — â³äîì³ êîíñòàíòè (a0 1� , b0 0� , a1 0� , b1 1� ). Ï³äñòàâëÿþ÷è (10) ó (8), îòðèìóºìî ë³í³éíå ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ � 0 ³ �1, ùî äàº çìîãó âñ³ � k âèðàçèòè ÷åðåç � 0 . Äëÿ âèçíà÷åííÿ � 0 äîñòàòíüî âèêîðèñòàòè óìîâó íîðìó- âàííÿ (6). Ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó (7), (8). Ç óðàõóâàííÿì (9) óìîâó åðãîäè÷íîñò³ ëàíöþãà Ìàðêîâà ( )kn çàïèøåìî òàê: k kkf �� 1 0. (11) Áåçïîñåðåäíüî ï³äñòàíîâêîþ ìîæíà ïåðåcâ³ä÷èòèñÿ, ùî çà óìîâè (11) ñèñòå- ìà (7), (8) ìàº òàêèé ³ìîâ³ðí³ñíèé ðîçâ’ÿçîê: � j jz z� �( )1 , j � 1, äå z — êîð³íü ð³âíÿííÿ k k kf z �� 1 1, (12) ùî ëåæèòü â ³íòåðâàë³ (0, 1). Ë³âà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ (12) º îïóêëîþ ó íàï³â³íòåðâàë³ (0, 1] ôóíêö³ºþ, ùî ïðÿìóº äî íåñê³í÷åííîñò³ çà óìîâè, ùî z � 0, îñê³ëüêè f1 0� , ³ äîð³âíþº îäè- íèö³, ÿêùî z �1. Êð³ì òîãî, ë³âà ïîõ³äíà ö³º¿ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ z �1 äîäàòíà óíàñë³äîê óìîâè (11). Îòæå, â ³íòåðâàë³ ( , )0 1 ³ñíóº ºäèíèé êîð³íü ð³âíÿííÿ (12). Öåé ôàêò òàêîæ âèïëèâàº ç òåîð³¿ íåïåðåðâíèõ ñïðàâà âèïàäêîâèõ áëóêàíü [15]. Ðîçãëÿíåìî âàæëèâèé âèïàäîê, êîëè ÷àñ îáñëóãîâóâàííÿ Yn � �, t tn n� �1 ðîçïîä³ëåíèé åêñïîíåíö³àëüíî ç ïàðàìåòðîì � . Òîä³ f e1 1� � � �� ; f e ek kT T� �� ( )1 , k 0. Óìîâà åðãîäè÷íîñò³ (11) íàáóâàº âèãëÿäó z� 1, äå z e eT� � �� ( )1 . Íåõàé ïîò³ê çàÿâîê, ùî íàäõîäÿòü äî ñèñòåìè º ãðóïîâèé ïóàññîí³âñüêèé, ïðè÷îìó ê³ëüê³ñòü � çàÿâîê â îäí³é ãðóï³ — ãåîìåòðè÷íî ðîçïîä³ëåíà âèïàäêîâà âåëè÷èíà P{ }� � � � �k k( )1 1, k � 1, à ³íòåðâàëè ì³æ ãðóïàìè º åêñïîíåíö³àëüíî ðîçïîä³ëåí³ âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè ç ïàðàìåòðîì � . Òîä³ ìàºìî òàêó ôîðìóëó: f fk k k � � �� 1 11 0 { ] ( ) , ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 131 äå f k 0 — çíà÷åííÿ f k â îðäèíàðíîìó (íåãðóïîâîìó) ïîòîö³ Ïóàññîíà ç ïàðà- ìåòðîì �; 1 1{k� ] — âåëè÷èíà, ùî äîð³âíþº 1, ÿêùî k �1, òà äîð³âíþº 0 â ³í- øîìó ðàç³. Äëÿ f k 0 ñïðàâäæóºòüñÿ òàêà ôîðìóëà: f e e k kT T0 1� �� ( ) ( ), ÿêùî k 0; f e 1 0 1� � � �� . Äëÿ ïàðàìåòðà z ìàºìî ð³âíÿííÿ z a z a b bz � � � � � � � � � � � �( ) ( ) 1 1 1 1 1 àáî � � � � � � � � � � � �( )1 1 1 1 a az b bz z, äå äëÿ ñïðîùåííÿ çàïèñó ïîçíà÷åíî a e� � �� , b e T� � � . Ðîçâ’ÿçàâøè éîãî, îò- ðèìàºìî òàêó ôîðìóëó äëÿ z çà óìîâè, ùî z� 1: z a a b e e e T � � � � � �� 1 1 �� . ßêùî � 0, òî z a b � �1 , ùî â³äïîâ³äàº âèïàäêîâ³ ïóàññîí³âñüêîãî ïîòîêó çàÿâîê. Âèâåäåìî ñåðåäí³ çíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ çàÿâîê íà îðá³ò³ ³ ê³ëüêîñò³ öèêë³â çàÿâ- êè íà îðá³ò³. Íåõàé N t( ) — ê³ëüê³ñòü çàÿâîê íà îðá³ò³ â ìîìåíò t. Òîä³ ³íòåãðàë N t dt T ( ) 0� º ñóìàðíèé ÷àñ ïåðåáóâàííÿ íà îðá³ò³ òèõ çàÿâîê, ùî íàä³éøëè äî ñèñ- òåìè â ³íòåðâàë³ ( , )0 T , çà âèíÿòêîì çàëèøêîâîãî ÷àñó î÷³êóâàííÿ òèõ ³ç íèõ, ùî íå áóëè ïðèéíÿò³ äî îáñëóãîâóâàííÿ äî ìîìåíòó T . Ç åðãîäè÷íèõ ì³ðêóâàíü [14] ó ðàç³ âåëèêèõ çíà÷åíü s ìàºìî E E 0 s N t dt s KT� [ ( )] ~ [ ]� , � � � �1 0 / ( )xdA x , äå K — ñòàö³îíàðíà âåðñ³ÿ kn . Çâ³äñè åðãîäè÷íå ñåðåäíº çíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ çàÿâîê íà îðá³ò³ lim [ ( )] ( ) s s k ks N t T k z z Tz z�� 1 1 1 0 0 E � � . Ñòàö³îíàðíå ñåðåäíº çíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ K öèêë³â çàÿâêè íà îðá³ò³ âèçíà- ÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ: K z z � �1 . ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÍÅ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÑÈÑÒÅÌÈ GI G/ / 1 ÒÈÏÓ ËÀÊÀÒÎØÀ Ç Ò -ÏÎÂÅÐÍÅÍÍßÌ Âèêîðèñòàºìî ìåòîä ñòàòèñòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ (Ìîíòå-Êàðëî) äëÿ îòðèìàííÿ ÷èñåëüíèõ õàðàêòåðèñòèê ÑÌÎ ³ ïåðåâ³ðèìî ¿õíþ óçãîäæåí³ñòü ç àíàë³òè÷íèìè ðåçóëüòàòàìè, îòðèìàíèìè âèùå. Äëÿ îö³íþâàííÿ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì îáñëó- ãîâóâàííÿ çàñòîñóºìî ìåòîä ïðÿìîãî ìîäåëþâàííÿ. Çìîäåëþºìî ñèñòåìó îáñëó- ãîâóâàííÿ ÿê âèïàäêîâèé ïðîöåñ ç äèñêðåòíèì ÷àñîì { }X nn , � 1 , äå X n — âåê- 132 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 òîð ðîçì³ðíîñò³ k, ùî ì³ñòèòü ³íôîðìàö³þ ïðî øóêàí³ õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ; n — äåÿê³ ìîìåíòè ÷àñó, ÿê³ îáèðàþòüñÿ â çàëåæíîñò³ â³ä çà- äà÷³ ìîäåëþâàííÿ. Äëÿ ãåíåðàö³¿ ïñåâäîâèïàäêîâèõ ÷èñåë âèêîðèñòîâóâàâñÿ ìî- äóëü AMRandom ô³ðìè ESB Consultancy [16], àâòîðîì ÿêîãî º Àëàí Ì³ëëåð. Ïåðåâ³ðèìî óìîâó åðãîäè÷íîñò³ ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ M D/ /1 òèïó Ëà- êàòîøà ç T-ïîâåðíåííÿì âèìîã. Íåõàé âèìîãè (çàÿâêè) íàäõîäÿòü äî ñèñòåìè çà çàêîíîì Ïóàññîíà ç ³íòåí- ñèâí³ñòþ �; ÷àñ îáñëóãîâóâàííÿ ñòàëèé ³ äîð³âíþº �. Íåõàé ÷àñ âèìîãè íà îðá³ò³ òåæ ñòàëèé ³ äîð³âíþº T (T � �). Ñïî÷àòêó çíàéäåìî àíàë³òè÷íèé âèðàç óìîâè åð- ãîäè÷íîñò³ äëÿ ö³º¿ ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ. Ìàºìî f e e ej j T T� �� [ ]1 , j 0; f ej � � �1 �� , j �1; f j � 0, j �1. Ðîçãëÿíåìî ðÿä j j T jf e e�� 1 1 �� . Òîä³, ïîçíà÷èâøè �� , îòðèìàºìî òàêó óìîâó åðãîäè÷íîñò³ äëÿ ö³º¿ ñèñòåìè: � � � � �� ln 1 1 e T . (13) Ìîäåëþºìî öþ ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ âèïàäêîâèì ïðîöåñîì ç äèñêðåò- íèì ÷àñîì { }X nn , � 1 , äå X n — ê³ëüê³ñòü âèìîã ó ñèñòåì³; n — ìîìåíòè íàäõîäæåííÿ âèìîã. Íàâåäåìî àëãîðèòì ìîäåëþâàííÿ çàëåæíîñò³ ê³ëüêîñò³ âèìîã â ñèñòåì³ â³ä ÷àñó. Êðîê 1. Ââåäåííÿ ïàðàìåòð³â (ââàæàòèìåìî, ùî ³íòåíñèâí³ñòü âõ³äíîãî ïî- òîêó � �1): �� 1 — çàâàíòàæåííÿ ñèñòåìè/÷àñ îáñëóãîâóâàííÿ; T — ÷àñ âèìîãè íà îðá³ò³; N — ê³ëüê³ñòü âèìîã, ùî íàäõîäÿòü äî ñèñòåìè. Êðîê 2. ²í³ö³àë³çàö³ÿ çì³ííèõ: N L � 0, îñê³ëüêè ñïî÷àòêó ê³ëüê³ñòü âèìîã ó ñèñòåì³ äîð³âíþº íóëþ. Êîæíà âèìîãà â ñèñòåì³ çàäàºòüñÿ ³íòåðâàëîì ÷àñó ì³æ ïîòî÷íèì ìîìåíòîì ÷àñó òà ìîìåíòîì, êîëè âèìîãà çàëèøàº ñèñòåìó (ìîìåíòîì çàâåðøåííÿ ¿¿ îáñëó- ãîâóâàííÿ) � i , i N�1, ,� . Äî ñèñòåìè íàäõîäèòü ïåðøà âèìîãà. Òîä³ � �1 � , N �1, C �1 — ë³÷èëü- íèê ê³ëüêîñò³ âèìîã, ùî íàä³éøëè äî ñèñòåìè. Êðîê 3. Îñíîâíà ÷àñòèíà àëãîðèòìó. Ãåíåðóºìî åêñïîíåíö³àëüíî ðîçïîä³ëåíèé ç ïàðàìåòðîì � �1 ïðîì³æîê ÷àñó ì³æ íàäõîäæåííÿì âèìîã � �� ln ( )1 , äå � — âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ð³âíîì³ðíî ðîçïîä³ëåíà íà â³äð³çêó [0, 1]; C C� �1, îñê³ëüêè äî ñèñòåìè íàäõî- äèòü íàñòóïíà âèìîãà. Ïðîâîäèìî ïåðåðàõóâàííÿ çíà÷åíü � i òà N : � � �i i� � , i N L�1, ,� , N IL i i N L � � � { }� 0 1 , äå I{ }� — ³íäèêàòîðíà ôóíêö³ÿ. Âèëó÷àºìî ç ìàñèâó � i L óñ³ íóëüîâ³ òà â³ä’ºìí³ åëåìåíòè. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 133 Îñê³ëüêè â ö³é ñèñòåì³ âèìîãó, ùî íàäõîäèòü, áóäå îáñëóãîâàíî îñòàííüîþ, çíàõîäèìî òàêå ì³í³ìàëüíå ö³ëå j � 0, äëÿ ÿêîãî âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü � i jT� , i N L�1, ,� . Òîä³ � �N L jT� � �1 , N NL L� �1. Êðîê 4. Ïåðåâ³ðêà, ÷è âñ³ âèìîãè íàä³éøëè äî ñèñòåìè. ßêùî C N� , òî ïî- âåðòàºìîñÿ äî êðîêó 3. Ðîáîòó àëãîðèòìó çàê³í÷åíî. Ó ðåçóëüòàò³ ðîáîòè öüîãî àëãîðèòìó îòðèìóºìî çàëåæí³ñòü ê³ëüêîñò³ âèìîã â ñèñòåì³ â³ä ÷àñó. Íåõàé ïàðàìåòð âõ³äíîãî ïîòîêó � �1, ÷àñ âèìîãè íà îðá³ò³ T � 1.5. Òîä³ ç (13) âèïëèâàº, ùî íåð³âí³ñòü � � � ��ln ( ).1 1 5e 0.2525 áóäå óìîâîþ åðãîäè÷- íîñò³ äëÿ ö³º¿ ñèñòåìè. Ïåðåâ³ðèìî öå òâåðäæåííÿ çà äîïîìîãîþ ìîäåëþâàííÿ. Íàâåäåìî âèãëÿä ìîæëèâèõ çàëåæíîñòåé ê³ëüêîñò³ âèìîã ó ñèñòåì³ â³ä ÷àñó äëÿ âèïàäê³â � 0.2, � 0.252, � 0.253, � 0.4 (ðèñ. 1–4). Çîêðåìà, ç ðèñ. 1 ìîæíà 134 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 Ðèñ. 1. Çàëåæí³ñòü ê³ëüêîñò³ âèìîã ó ñèñòåì³ â³ä ÷àñó, � 0.2 Ê ³ë ü ê ³ñ òü â è ì î ã ×àñ, ñ Ðèñ. 2. Çàëåæí³ñòü ê³ëüêîñò³ âèìîã ó ñèñòåì³ â³ä ÷àñó, � 0.252 Ê ³ë ü ê ³ñ òü â è ì î ã ×àñ, ñ çðîáèòè åìï³ðè÷íèé âèñíîâîê, ùî ñèñòåìà åðãîäè÷íà, îñê³ëüêè âîíà ðîçâàíòà- æóºòüñÿ ³ ê³ëüê³ñòü âèìîã ó ñåðåäíüîìó íå çðîñòàº ç ÷àñîì. ²ç ðèñ. 2 ðîáèìî åìï³ðè÷íèé âèñíîâîê, ùî ñèñòåìà çàëèøàºòüñÿ åðãîäè÷íîþ, àëå ðîçâàíòàæåííÿ â³äáóâàþòüñÿ ð³äøå. Ç ðèñ. 3 âèïëèâàº, ùî ê³ëüê³ñòü âèìîã ó ñèñòåì³ ó ñåðåäíüî- ìó çðîñòàº ç ÷àñîì, îòæå, åìï³ðè÷íî ðîáèìî âèñíîâîê, ùî ñèñòåìà âæå íå áóäå åðãîäè÷íîþ. Ç ðèñ. 4 âèäíî, ùî øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ ê³ëüêîñò³ âèìîã ó ñèñòåì³ çðîñòàº, åìï³ðè÷íî ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ñèñòåìà íå åðãîäè÷íà. Òàêèì ÷èíîì, ðåçóëüòàòè ìîäåëþâàííÿ ï³äòâåðäæóþòü ñïðàâåäëèâ³ñòü ôîð- ìóëè (13). Ïîáóäóºìî ãðàô³êè åðãîäè÷íîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ çàÿâîê íà îðá³ò³ â çàëåæíîñò³ â³ä ð³çíîãî íàáîðó ïàðàìåòð³â ñèñòåìè ðèñ. 5–7. Ãðàô³êè íà ðèñ. 5–7 íàî÷íî äåìîíñòðóþòü, ùî ó ðàç³ ïåâíîãî ñï³ââ³äíîøåí- íÿ ïàðàìåòð³â ñèñòåìè ê³ëüê³ñòü çàÿâîê íà îðá³ò³ ñòð³ìêî ïî÷èíàº çðîñòàòè. Öåé ôàêò ñâ³ä÷èòü ïðî òå, ùî ó ðàç³ çá³ëüøåííÿ íåô³êñîâàíîãî ïàðàìåòðà ñèñòåìè íåð³âí³ñòü (13) âèêîíóâàòèñÿ íå áóäå. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 135 Ðèñ. 3. Çàëåæí³ñòü ê³ëüêîñò³ âèìîã ó ñèñòåì³ â³ä ÷àñó, � 0.253 ×àñ, ñ Ê ³ë ü ê ³ñ òü â è ì î ã Ðèñ. 4. Çàëåæí³ñòü ê³ëüêîñò³ âèìîã ó ñèñòåì³ â³ä ÷àñó, � 0.4 Ê ³ë ü ê ³ñ òü â è ì î ã ×àñ, ñ 136 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 Ðèñ. 5. Çàëåæí³ñòü åðãîäè÷íîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ çàÿâîê íà îðá³ò³ N â³ä � çà óìîâ, ùî � � {0.5, 0.8, 1.0, 1.1, 1.5}, T � 1.5 � N � � 0.5 � � 0.8 � � 1.1 � � 1.0 � � 1.5 Ðèñ. 6. Çàëåæí³ñòü åðãîäè÷íîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ çàÿâîê íà îðá³ò³ N â³ä � çà óìîâ, ùî � � {0.3, 0.5, 0.8, 1.0, 1.3}, T � 1.5 � � 1.3 � � 0.8 � � 1.0 � � 0.5 � � 0.3 � N Ðèñ. 7. Çàëåæí³ñòü åðãîäè÷íîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ çàÿâîê íà îðá³ò³ N â³ä � çà óìîâ, ùî � � 1.0, T � {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0} � N T � 3.0 T � 2.5 T � 1.5 T � 1.0 T � 2.0 ÂÈÑÍÎÂÊÈ Ó ñòàòò³ ðîçãëÿíóòî îäíîêàíàëüíó ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ GI G/ /1 òèïó Ëàêà- òîøà ç Ò-ïîâåðíåííÿì çàÿâîê. Ïðèêëàäàìè çàñòîñóâàííÿ òàêî¿ ñèñòåìè º ð³çíî- ìàí³òí³ âóçëè òåëåêîìóí³êàö³éíèõ ìåðåæ, êåðóâàííÿ ðóõîì ë³òàê³â ï³ä ÷àñ çà- õîäæåííÿ íà ïîñàäêó, ì³êðîê³ëüöåâ³ ðåçîíàòîðè, îïòè÷í³ ë³í³¿ çàòðèìêè òîùî. Äëÿ ðîçãëÿäóâàíî¿ ñèñòåìè â³äíàéäåíî óìîâó åðãîäè÷íîñò³, çà ïåâíîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ òà ÷àñó ïåðåáóâàííÿ íà îðá³ò³ çíàéäåíî ñòàö³îíàðíèé ðîçïîä³ë â³äïîâ³äíîãî ëàíöþãà Ìàðêîâà. ßê ïîêàçíèêè åôåêòèâ- íîñò³ ôóíêö³îíóâàííÿ ñèñòåìè ðîçãëÿíóòî ñåðåäíþ ê³ëüê³ñòü çàÿâîê íà îðá³ò³ òà ñåðåäíþ ê³ëüê³ñòü öèêë³â îðá³òè. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè àíàë³òè÷íîãî òà ñòà- òèñòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ óçãîäæóþòüñÿ ì³æ ñîáîþ. Ñèñòåìà Ëàêàòîøà, íå çâàæàþ÷è íà ñâîºð³äíó îðãàí³çàö³þ ÷åðãè, ìàº âàæëè- âå çíà÷åííÿ, îñê³ëüêè âîíà ìîæå ñëóãóâàòè äëÿ îö³íþâàííÿ á³ëüø ñêëàäíî¿ ñèñ- òåìè, ó ÿê³é çíÿòå îáìåæåííÿ îáñëóãîâóâàííÿ çà äèñöèïë³íîþ FCFS. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Artalejo J. A classified bibliography of research in retrial queueing. Progress in 1990–1999. Top. 1999. N 7. P. 187–211. 2. Artalejo J. A classified bibliography of research in retrial queueing. Progress in 2000–2009. Mathematical and Computer Modeling. 2010. Vol. 51. P. 1071–1081. 3. Serebriakova S.V. Algorithm of the statistical modeling of retrial queuing system GI G m K D/ / / / / /0 . Proc. Aviation in the XXI Century. October, 2018, Kyiv, Ukraine. P. 4.3.47–4.3.50. 4. Êóçíåöîâ Ä.Þ., Íàçàðîâ À.À. Àäàïòèâíûå ñåòè ñëó÷àéíîãî ìíîæåñòâåííîãî äîñòóïà. Òîìñê: Äåëüòàïëàí, 2002. 254 ñ. 5. Rogiest W., Laevens K., Fiems D., Bruneel H. A performance model for an asynchronous optical buffer. Performance Evaluation. 2005. Vol. 62. P. 313–330. 6. Rhung-Duc T., Rogiest W., Takahashi Y., Bruneel H. Retrial queues with balanced call blending analysis of single-server and multiserver model. Annals of Operations Research. 2016. Vol. 239, Iss. 2. P. 429–449. 7. Êîâàëåíêî È.Í., Êîáà Å.Â. Òðè ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè, îòðàæàþùèå íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ïðîöåññà ïîñàäêè âîçäóøíûõ ñóäîâ. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîð- ìàòèêè. 2002. ¹ 2. Ñ. 78–82. 8. What does a day of bad weather look like? (2014). URL: https://youtu.be/brX sub VhOU3qQ. 9. Lakatos L. A probability model connected with landing of airplanes. Safery and Reliability. Vol. 1. Balkema A. (Ed.). Rotterdam: Brookfield, 1999. P. 151–154. 10. Êîáà Å.Â., Ïóñòîâàÿ Ñ.Â. Ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ òèïà Ëàêàòîøà, èõ îáîáùåíèå è ïðèìåíå- íèå. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2012. ¹ 3. Ñ. 78–90. 11. Êîáà Å.Â. Ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ñ öèêëè÷åñêèì âðåìåíåì âîçâðàùåíèÿ çàÿâîê è äèñïåò÷åðè- çàöèåé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. T. 55, ¹ 6. Ñ. 54–61. 12. Lakatos L., Szeidl L., Telek M. Introduction to queueing systems with telecommunication applications. Springer Science & Business Media, 2012. 388 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-15142-3 (2019). 13. Êîáà Å.Â. Ñèñòåìà òèïà Ì Ì/ / /1 0 ñ ïîâòîðåíèåì è êîìáèíèðîâàííîé äèñöèïëèíîé îáñëó- æèâàíèÿ Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. T. 53, ¹ 3. Ñ. 67–72. 14. Áî÷àðîâ Ï.Ï., Ïå÷èíêèí À.À. Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ìîñêâà: Èçä-âî ÐÓÄÍ, 1995. 528 ñ. 15. Êîðîëþê Â.Ñ., Áîðîâñêèõ Þ.Â. Àíàëèòè÷åñêèå àñèìïòîòèêè âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1981. 348 ñ. 16. Riply B.D. Thoughts on pseudorandom number generators. J. Comput. Appl. Math. 1990. Vol. 31. P. 153–163. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 17.07.2020 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 137 Å.Â. Êîáà, Ñ.Â. Ñåðåáðÿêîâà CÈÑÒÅÌÀ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß GI G/ / 1 ÒÈÏÀ ËÀÊÀÒÎØÀ Ñ Ò-ÂÎÇÂÐÀÙÅÍÈÅÌ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ GI G/ / 1 òèïà Ëàêàòîøà ñ T-âîçâðàùåíèåì çàÿâîê, ò.å. ñèñòåìà ñ FCFS äèñöèïëèíîé îáñëóæèâàíèÿ è ïîñòîÿííûì âðåìåíåì T öèêëà îðáèòû. Äëÿ òàêîé ñèñòåìû ïîñòðîåíà öåïü Ìàðêîâà, äîêàçàíî óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè, ïðè îïðåäåëåííîì ñîîòíî- øåíèè âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ è âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ íà îðáèòå ðåøåíà ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿ- íèé ñèñòåìû, âûâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ñðåäíèõ ïîêàçàòåëåé êîëè÷åñòâà çàÿ- âîê è êîëè÷åñòâà öèêëîâ çàÿâêè íà îðáèòå. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì ñòàòèñòè- ÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû. Ðåçóëüòàòû àíàëèòè÷åñ- êîãî è ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñîãëàñóþòñÿ. Óêàçàíî âàæíîå ñâîéñòâî ñèñòåì òèïà Ëàêàòîøà: îíà ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ îöåíêè ñèñòå- ìû, â êîòîðîé îáñëóæèâàíèå ñ äèñöèïëèíîé FCFS íåîáÿçàòåëüíî. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ âîçâðàùåíèåì çàÿ- âîê, ñèñòåìà òèïà Ëàêàòîøà, ñèñòåìû c öèêëè÷åñêèì âðåìåíåì îæèäàíèÿ, ñèñòåìà ñ Ò-âîçâðàùåíèåì, îðáèòà, öèêë îðáèòû, öåïü Ìàðêîâà, ýðãîäè÷- íîñòü ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. O.V. Koba, S.V. Serebriakova GI G/ / 1 LAKATOS-TYPE QUEUEING SYSTEM WITH Ò -RETRIALS Abstract. Authors consider the Lakatosh-type GI G/ / 1 queueing system with T-retrials, i.e., the system with the FCFS service discipline and a constant cycle time T of the orbit. Here we construct the Markov chain for the system, prove its ergodicity condition, solve the system of equations for the stationary distribution of the system state probabilities, and derive formulas for the average number of requests and the average number of the orbit cycles at a specific ratio of service time and orbit time. Also, we develop an algorithm for statistical modeling of the considered system. Results of analytical and statistical modeling show consistency between them. Authors indicate an essential property of the Lakatos-type system, namely, that we can use it to evaluate a system in which the FCFS service order is not necessary. Keywords: retrial queues, Lakatos-type queueung system, cyclic queueing systems, queueing system with T-retrials, orbit, orbit cycle, Markov chain, queueing system ergodicity. Êîáà Îëåíà Â³êòîð³âíà, äîêòîðêà ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíòêà, ïðîâ³äíà íàóêîâà ñï³âðîá³òíèöÿ ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóø- êîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè; ïðîôåñîðêà Íàö³îíàëüíîãî àâ³àö³éíîãî óí³âåðñèòåòó, Êè¿â, e-mail: ekoba2056@gmail.com. Ñåðåáðÿêîâà Ñâ³òëàíà Â³êòîð³âíà, êàíäèäàòêà òåõí. íàóê, äîöåíòêà, íàóêîâà ñï³âðîá³òíèöÿ ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè; äîöåíòêà Íàö³îíàëüíîãî àâ³àö³éíîãî óí³âåðñèòåòó, Êè¿â, e-mail: svitlaspv@gmail.com. 138 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2

Cистема обслуговування GI/G/1 типу Лакатоша з T-поверненням

Репозитарії

Схожі ресурси