Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых

Исследуется операция сложения дискретных нечетких чисел с нечетким множеством индексов слагаемых как обобщение операции суммы с четким множеством операндов. Показано, что результатом этой операции является нечеткое множество типа-2 (НМТ-2). Построена функция принадлежности типа-2 этого множества. Вв...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2021
1. Verfasser:	Мащенко, С.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Schriftenreihe:	Кібернетика та системний аналіз
Schlagworte:	Системний аналіз
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190698
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых / С.О. Мащенко // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 42–52. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190698
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1906982023-06-20T14:04:37Z Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых Мащенко, С.О. Системний аналіз Исследуется операция сложения дискретных нечетких чисел с нечетким множеством индексов слагаемых как обобщение операции суммы с четким множеством операндов. Показано, что результатом этой операции является нечеткое множество типа-2 (НМТ-2). Построена функция принадлежности типа-2 этого множества. Введено понятие НМТ-2 суммы дискретных чисел с нечетким множеством индексов слагаемых. НМТ-2 суммы может быть декомпозировано по вторичным степеням принадлежности на набор соответствующих дискретных нечетких чисел. Это помогает представить результирующее НМТ-2 в удобной для понимания и применения форме. Приведены иллюстративные примеры. Досліджується операція додавання дискретних нечітких чисел з нечіткою множиною індексів доданків як узагальнення операції суми з чіткою множиною операндів. Показано, що результатом цієї операції є нечітка множина типу-2 (НМТ-2). Побудована функція належності типу-2 цієї множини. Уведено поняття НМТ-2 суми дискретних чисел з нечіткою множиною індексів доданків. НМТ-2 суми може бути декомпозована за вторинними ступенями належності на набір відповідних дискретних нечітких чисел. Це допомагає представити результуючу НМТ-2 в зручній для розуміння і застосування формі. Наведено ілюстративні приклади. We investigate the operation of addition of discrete fuzzy numbers with a fuzzy set of summand indices. This is a generalization of the sum operation with a crisp set of operands. We show that the result of this operation is a type-2 fuzzy set of (T2FS). We construct the type-2 membership function of this set. We introduce the concept of a sum T2FS of discrete numbers with a fuzzy set of summand indices. The sum T2FS can be decomposed according to secondary membership grades into the corresponding collection of fuzzy numbers. It helps to represent the resultant T2FS in a form which is convenient for a proper understanding and applications. Illustrative examples are given. 2021 Article Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых / С.О. Мащенко // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 42–52. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190698 519.8 ru Кібернетика та системний аналіз Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Мащенко, С.О. Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых Кібернетика та системний аналіз
description	Исследуется операция сложения дискретных нечетких чисел с нечетким множеством индексов слагаемых как обобщение операции суммы с четким множеством операндов. Показано, что результатом этой операции является нечеткое множество типа-2 (НМТ-2). Построена функция принадлежности типа-2 этого множества. Введено понятие НМТ-2 суммы дискретных чисел с нечетким множеством индексов слагаемых. НМТ-2 суммы может быть декомпозировано по вторичным степеням принадлежности на набор соответствующих дискретных нечетких чисел. Это помогает представить результирующее НМТ-2 в удобной для понимания и применения форме. Приведены иллюстративные примеры.
format	Article
author	Мащенко, С.О.
author_facet	Мащенко, С.О.
author_sort	Мащенко, С.О.
title	Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых
title_short	Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых
title_full	Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых
title_fullStr	Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых
title_full_unstemmed	Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых
title_sort	сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190698
citation_txt	Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых / С.О. Мащенко // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 42–52. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Кібернетика та системний аналіз
work_keys_str_mv	AT maŝenkoso summadiskretnyhnečetkihčiselsnečetkimmnožestvomslagaemyh
first_indexed	2025-07-16T13:44:58Z
last_indexed	2025-07-16T13:44:58Z
_version_	1837811367431634944
fulltext	ÓÄÊ 519.8 Ñ.Î. ÌÀÙÅÍÊÎ ÑÓÌÌÀ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÕ ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ×ÈÑÅË Ñ ÍÅ×ÅÒÊÈÌ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎÌ ÑËÀÃÀÅÌÛÕ Àííîòàöèÿ. Èññëåäóåòñÿ îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ äèñêðåòíûõ íå÷åòêèõ ÷èñåë ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ êàê îáîáùåíèå îïåðàöèè ñóì- ìû ñ ÷åòêèì ìíîæåñòâîì îïåðàíäîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî ðåçóëüòàòîì ýòîé îïåðà- öèè ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà-2 (ÍÌÒ-2). Ïîñòðîåíà ôóíêöèÿ ïðè- íàäëåæíîñòè òèïà-2 ýòîãî ìíîæåñòâà. Ââåäåíî ïîíÿòèå ÍÌÒ-2 ñóììû äèñ- êðåòíûõ ÷èñåë ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ. ÍÌÒ-2 ñóììû ìîæåò áûòü äåêîìïîçèðîâàíî ïî âòîðè÷íûì ñòåïåíÿì ïðèíàäëåæíîñòè íà íàáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ äèñêðåòíûõ íå÷åòêèõ ÷èñåë. Ýòî ïîìîãàåò ïðåä- ñòàâèòü ðåçóëüòèðóþùåå ÍÌÒ-2 â óäîáíîé äëÿ ïîíèìàíèÿ è ïðèìåíåíèÿ ôîðìå. Ïðèâåäåíû èëëþñòðàòèâíûå ïðèìåðû. Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêîå ÷èñëî, äèñêðåòíîå íå÷åòêîå ÷èñëî, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ íå÷åòêèå ÷èñëà (Í×). Â ðàáîòå [1] äàíî ïîíÿòèå Í× îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ïîçæå, â 1976 ã., â [2] ðàçâèòà òåîðèÿ íå÷åòêîé àðèôìåòèêè. Â [3] ââåäåíî ïîíÿòèå Í× êàê íîðìàëüíîãî è âûïóêëîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ÷èñëî- âîé îñè. Ñîãëàñíî [4] Í× îïðåäåëåíî êàê íîðìàëüíîå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé ñ ïîëóíåïðåðûâíîé ñâåðõó ôóíêöèåé è êâàçèâîãíóòîé ôóíê- öèåé ïðèíàäëåæíîñòè (ÔÏ). Â [5] îïðåäåëåí îñîáûé òèï Í× íà ìíîæåñòâå ñ êîíå÷íûì íîñèòåëåì –– äèñêðåòíîå íå÷åòêîå ÷èñëî (ÄÍ×). Â [6] ïîêàçàíî, ÷òî ïðè «îáû÷íîì» ñëîæåíèè äâóõ ÄÍ× íå ñîõðàíÿåòñÿ çàìêíóòîñòü îïåðàöèè, ïîýòîìó ïðåäëîæåí íîâûé âèä îïåðàöèè ñëîæåíèÿ, êîòîðûé ëèøåí ýòîãî íå- äîñòàòêà. Ïîñêîëüêó Í× áîëåå êîíêðåòíî èçîáðàæàþò ôèçè÷åñêèé ìèð, ÷åì îáû÷íûå ÷èñëà, îíè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â êîìïüþòåðíûõ íàóêàõ [7, 8]. Êîíöåïöèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îïåðàöèé ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì îïåðàíäîâ âïåðâûå áûëà èçëîæåíà â [9] äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåçóëüòàòîì òàêîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà-2. Â [10] ïðåäëîæåí äåêîìïîçèöèîííûé ïîäõîä äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîé îïåðà- öèè. Îáîáùåíèå îïåðàöèè ñóììû «íåïðåðûâíûõ» Í× äëÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà îïåðàíäîâ äàíî â [11]. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïðîäîëæàåò ýòè èññëåäîâàíèÿ äëÿ ÄÍ×. ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÍÅ×ÅÒÊÈÅ ×ÈÑËÀ Íîðìàëüíîå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî V íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé � c îãðàíè÷åííûì íî- ñèòåëåì íàçûâàåòñÿ Í× [4], åñëè åãî ÔÏ �V x( ), x �� , ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó è êâàçèâîãíóòà. Èçâåñòíû äâà îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ. Ñîãëàñ- íî ïðèíöèïó ðàñøèðåíèÿ Çàäå [12] ñóììîé äâóõ Í× V è W ñ ÔÏ ñîîòâåò- ñòâåííî �V x( ) è �W x( ), x �� , íàçûâàåòñÿ Í× V W� ñ ÔÏ: � � �V W x y x y z V Wz x y� � � � �( ) sup min{ ( ), ( )} , :� , z �� . (1) Âòîðîå îïðåäåëåíèå èñïîëüçóåò ïðåäñòàâëåíèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà (ÍÌ) åãî ñå÷åíèÿìè. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî V (â ÷àñòíîñòè, Í×) íà � ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå V V u u u� �{ }( ( ), ): [ , ] ,0 1 ãäå ( ( ), )V u u — íå÷åòêîå ìíîæåñòâî íà � c ÔÏ 42 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 © Ñ.Î. Ìàùåíêî, 2021 � ( ( ), ) ( )V u u x u� äëÿ x V u� ( ) è ÔÏ � ( ( ), ) ( )V u u x � 0 äëÿ x V u� ( ). Çäåñü ÷åòêîå ìíîæåñòâî V u x x uV( ) : ( )� � �{ }� � ÿâëÿåòñÿ ñå÷åíèåì óðîâíÿ u �[ , ]0 1 Í× V . Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÔÏ íå÷åòêîå ÷èñëîV W� ñóììû äâóõ Í×V è W èìååò âèä �V W z u z V W u� � � � �( ) sup{ [ , ]: ( )( )}0 1 , z �� , (2) ãäå ( )( ) ( ) ( ) { : ( ), ( )}V W u V u W u x y x V u y W u� � � � � � � è W u x xW( ) : ( )� � �{ � � � u} –– ñå÷åíèÿ óðîâíÿ u �[ , ]0 1 Í× ñîîòâåòñòâåííî V W� è W. Àíàëîãè÷íî áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ÄÍ× â [5]. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî V íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé � ñ ÔÏ �V x( ) , x �� , íàçûâàåòñÿ ÄÍ×, åñëè åãî íîñèòåëü ÿâëÿ- åòñÿ êîíå÷íûì (ò.å. supp( { }V x xm) , ...,� 1 ), ãäå x xm1, ..., �� ïðè óñëîâèè x xm1 � �� , à òàêæå ñóùåñòâóþò òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà s t, �� (1 � � �s t m), ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ: 1) �V ix( ) �1 äëÿ ëþáîãî i s t�[ , ], i ��; 2) åñëè i j s� � ( , )i j �� , òî 0 1� � �� V i V jx x( ) ( ) ; 3) åñëè q p t� � ( , )p q �� , òî 1 0 � � �V p V qx x( ) ( ) . Åñëè ðàññìàòðèâàòü ÄÍ× V è W êàê Í× íà � , òî âîçíèêàåò ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ìîæíî ïðèìåíèòü îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ «íåïðåðûâíûõ» Í×, èñïîëüçóÿ ôîð- ìóëû (1) èëè (2). Îäíàêî â [6] ïîêàçàíî, ÷òî ðåçóëüòàò íå âñåãäà ìîæåò áûòü ÄÍ×. Íàïðèìåð, äëÿ ÄÍ× V � {( ; , ), ( ; ), ( ; , )}1 0 3 2 1 3 0 5 è W � {( ; , ), ( ; ), ( ; , )}4 0 4 6 1 8 0 8 , ïîëó÷àåìîå ñ ïîìîùüþ (1) èëè (2), íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ñóììûV W� � {( ; , );5 0 3 ( ; , ), ( ; , ), ( ; ), ( ; , ), ( ; , ), ( ; , )6 0 4 7 0 4 8 1 9 0 5 10 0 8 11 0 5 íå ÿâëÿåòñÿ ÄÍ×. Â [13] ïîêàçàíî, ÷òî îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ «íåïðåðûâíûõ» Í× ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ÄÍ× òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà íîñèòåëè ÄÍ× ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè ïîäìíîæåñòâàìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è êàæäûé èç ýòèõ íîñèòåëåé ÿâëÿåòñÿ íàáîðîì ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðî- ãðåññèè ñ ïîñòîÿííîé îáùåé ðàçíîñòüþ (â ÷àñòíîñòè, ýòè íîñèòåëè ìîãóò áûòü êî- íå÷íûìè íàáîðàìè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë). Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîãî íåäîñòàòêà â ðàáîòå [6] ïðåäëîæåí ìåòîä, èñïîëüçóþùèé ïðåäñòàâëåíèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ñóììû ñ ïîìîùüþ åãî äèñêðåòíûõ ñå÷åíèé. Ñîãëàñíî ýòîìó ïîäõîäó ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ÄÍ× V W� íà ÷èñëîâîé îñè � ïðèìåò âèä �V W z u z V W u� � � � �( ) max{ [ , ]: ( ) ( )}0 1 , z �supp ( + ) = supp( ) +supp( ) =V W V W = { + : supp( ), supp( )}x y x V y W� � , ãäå ( )( ) { :V W u x y x y x y xB B T� � � � � � � � � � �y x x V u y y W uT B T B T; , ( ); , ( ) ; x �supp( )V , y W�supp( )} — äèñêðåòíîå ñå÷å- íèå ñóììû óðîâíÿ u �[ , ]0 1 , ãäå x yB B, è x yT T, — ïåðåìåííûå íèæíèõ è âåð- õíèõ ãðàíèö ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü íà ÷èñëîâîé îñè � çàäàíû ÄÍ× F j ñ ÔÏ �F jj x( ), j N� , ãäå N n� { }1 2, , ..., — ìíîæåñòâî èõ èíäåêñîâ, n � 2 — èõ êîëè÷åñòâî. Îáîçíà÷èì X Fj j� supp( ) íîñèòåëü è F u x X x uj j j F jj ( ) : ( )� � �{ }� –– ìíîæåñòâî ñå÷åíèÿ óðîâíÿ u, u �( , ]0 1 ÄÍ× F j Nj , .� Çàìå÷àíèå 1. Ïóñòü U x x X j NF j j jj � � �{ }� ( ): , –– ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè ÄÍ× F j , j N� . ×òîáû ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå ñå÷åíèÿ F uj ( ), j N� , ñëåäóåò çàìåíèòü óñëîâèå u �( , ]0 1 óñëîâèåì u U� . Òîãäà F u Xj j( )min � , j N� , ãäå u u u U min min� � . Îáîáùèì îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ ÄÍ× äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ K N . Ðàññìîòðèì ñóììó �K j j K F� � � ÄÍ× F j , j K� , ñîãëàñíî [6]. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 43 Îáîçíà÷èì äèñêðåòíîå ñå÷åíèå ñóììû �K óðîâíÿ u U� : �K u( ) � x x x x x x F u x X j Kj j B j j T j T j B j j j j Kj Kj Kj : ; , ( ), ,� � � � � �� K . (3) Òîãäà ÄÍ× � �K z z z� �{ }( , ( )):� K � èìååò ÔÏ �� K ( ) max : ( )z u U z uK� � �{ }, (4) z x X j KK j� � � � � � � � �� supp( supp(� ) ) : ,F xj j K j j j K . (5) Äàëåå öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (4) â äðóãîì âèäå. Äëÿ êàæäîãî z �� ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U z N: [ , ],2 0 1� ãäå U K u U z uz K( ) ( , ]: ( )� � � �{ }0 1 � . (6) Îòìåòèì, ÷òî � �u U â ñëó÷àå z uK�� ( ) ïîëàãàåì U Kz ( ) � �. Îòîáðàæåíèå U z ñîïîñòàâëÿåò êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ K N ìíîæåñò- âî U Kz ( ) âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé óðîâíåé u U� äèñêðåòíûõ ñå÷åíèé ñóììû �K u( ), êîòîðûå ñîäåðæàò çíà÷åíèå z �� . Òîãäà ñóììà �K j j K F� � � ïðåäñòàâ- ëÿåò ñîáîé ÄÍ× � �K z z z K � �{ }( , ( )):� � ñ ÔÏ �� K z u U u U K z z U Kz K z( ) max : ( ) ) { : ( ) }� � � � � � ��{ }, supp( � . Â ÷àñòíîñòè, ïðè K N� ñóììà � N j j N F� � � ïðåäñòàâëÿåò äèñêðåòíîå íå÷åòêîå ÷èñëî � �N z z z N � �{ }( , ( )):� � ñ ÔÏ �� N z u U u U N z z U Nz N z( ) max : ( ) ) { : ( ) }� � � � � � ��{ }, supp( � . (7) ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÏÐÎÁËÅÌÛ È ÎÑÍÎÂÍÀß ÈÄÅß ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß Ïóñòü íà ÷èñëîâîé îñè � çàäàíû ÄÍ× F j , j N� , ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ÔÏ �F jj x( ) è íîñèòåëÿìè X F j Nj j� �supp( ) , . Ïóñòü òàêæå I j j j NI� �{( , ( )) : }� — íåêîòîðîå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî íà ìíîæåñòâå èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ N ñ ÔÏ � I j( ), j N� . Âîçíèêàåò âîïðîñ: ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììà ÄÍ× F j , j N� , åñëè ýòè ÷èñëà èñïîëüçîâàòü â îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ñ ñîîòâåòñòâåííûìè ñòåïå- íÿìè ïðèíàäëåæíîñòè � I j( ), j N� . Îáîçíà÷èì ýòó îïåðàöèþ F j j j II( , ( ))� � � . Åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå îïåðàöèè ñóììû � N j j N F� � � ïðè íå÷åòêîì ìíîæåñòâå I ñëàãàåìûõ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìíîæåñòâî F j j j II( , ( ))� � � áóäåò èìåòü ÔÏ, ïîäîáíóþ (7). Îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî z z� * â ôîðìóëå (7) âìåñòî ÷åòêîãî ìíîæåñòâà U Nz* ( ) èìååòñÿ îáðàç U Iz* ( ) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I . Ñîãëàñíî ïðèíöèïó îáîáùåíèÿ Çàäå [12] îáðàçîì I ïðè îòîáðàæåíèè U z N * : [ , ]2 0 1� (ñì. (6)) ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâîU Iz* ( ) � = { }( , ( )): * ( )u u u UU Iz � � c ÔÏ � � �U I zz u u U I * ( ) ( ) max{ [ , ]: ( ( ))}� � � �0 1 , u U� , ãäå I j N j( ) { : ( ) }� � �� (8) –– ñå÷åíèå óðîâíÿ � �[ , ]0 1 íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I j j j NI� �{ }( , ( )):� èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ; U I u U z uz I* ( )( ( )) : * ( )� �� { }� 44 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 –– îáðàç ñå÷åíèÿ I ( )� óðîâíÿ � �[ , ]0 1 íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I èíäåêñîâ ñëàãàå- ìûõ ïðè îòîáðàæåíèè U z(ñì. (6)). ×åòêîå ìíîæåñòâî U Iz ( ( ))� ñîäåðæèò çíà÷åíèÿ u U� âñåõ òåõ óðîâíåé äèñêðåòíûõ ñå÷åíèé ñóììû �I u( ) ( )� (ñì. (3)), êîòîðûå ñîäåðæàò z* . Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü A –– ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè � I j j N( ), ,� íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I j j j NI� �{ }( , ( )):� èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ. Ïîñ- êîëüêó ñòåïåíè ïðèíàäëåæíîñòè ðàçëè÷íûõ èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ ìîãóò ñîâïàäàòü, òî ìîùíîñòü \| \|A n� . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ ñå÷åíèé I j N jI( ) { : ( ) }� � �� íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I ñëåäóåò çàìåíèòü óñëîâèå � �[ , ]0 1 óñëîâèåì � � A. Íàçîâåì I ( )� ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ óðîâíÿ �. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ ôîð- ìóëà (7) (êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ÔÏ ñóììû ÄÍ× c ÷åòêèì ìíîæåñòâîì ñëàãàå- ìûõ N ) ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè z* �� ïðèìåò âèä çàäà÷è íå÷åòêîãî ìàòå- ìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: M z u U u u U IU I zz� ( ) max :( , ( )) ( ) ( ) � � �{ }� . (9) Ñóòü (9) çàêëþ÷àåòñÿ â ìàêñèìèçàöèè (â íåêîòîðîì ñìûñëå) çíà÷åíèÿ u íà íå÷åòêîì ìíîæåñòâå U Iz ( ). Çàäà÷è íå÷åòêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììè- ðîâàíèÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî èçó÷åíû. Íàéäåì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è. Ïóñòü M z u U u U II z( ) ( ) max : ( ( ))� �� { } (10) — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå u U� íà ñå÷åíèè U Iz* ( ( ))� � � óðîâíÿ � � A íå÷åò- êîãî ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ U Iz* ( ). Ñîãëàñíî [14] íå÷åòêîå ìíî- æåñòâî ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé M z u u U z� � ( ) ( , ( ) � ��{ ): }� M (11) çàäàåòñÿ â âèäå M z M z AI� ( ) ( ( ), :( )� �{ }� �� è èìååò ÔÏ � � �M u � ( ) ( ): ( ) z IA u M z� � �( ) = max{ }, (12) u M z M z AI� � �supp( { }� ( )) ( ):( )� � . (13) Ñôîðìóëèðóåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ íîñèòåëü ìíîæåñòâà M z� ( ) íåïóñòîé. Óòâåðæäåíèå 1. Ìíîæåñòâî supp(M z� ( )) � � òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà z Z* � , ãäå Z x x X j I Aj j j j I � � � � � � �� : , ( ); ( ) � � � . (14) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî { }M z AI ( ) ( ):� � � � �. Òîãäà ñîãëàñíî (10) è (13) � �� A, äëÿ êîòîðîãî U Iz ( ( ))� � �. Îòñþäà è èç (6) ïðè K I� ( )� ñëå- äóåò, ÷òî � �u U , äëÿ êîòîðîãî z uI* ( )( )�� . Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî (3) äëÿ � �j I ( )� ñóùåñòâóåò x Xj j * ,� ÷òî z x j j I * * ( ) � � � � . Ïîýòîìó èç (14) ïîëó÷èì z Z* � . È í à î á î ð î ò . Ï ó ñ ò ü z Z* � . Ò î ã ä à ñ î ã ë à ñ í î ( 1 4 ) � �� A è ä ë ÿ � � � �j I x Xj j( ) ,� ÷òî z x j j I * ( ) � � � � . Ïîýòîìó ñîãëàñíî (3) ïðè K I� ( )� ñó- ùåñòâóåò u U� (íàïðèìåð, u u u U min min� � ââèäó çàìå÷àíèÿ 1), äëÿ êîòîðîãî z uI* ( )( )�� . Îòñþäà è èç (6) ïðè K I� ( )� ïîëó÷èì U Iz* ( ( ))� � �. Ïîñêîëü- êó ìíîæåñòâî U êîíå÷íî â ñèëó çàìå÷àíèÿ 1, òî â çàäà÷å (10) ñóùåñòâóåò ìàêñèìóì M zI ( ) ( )� è òîãäà { }M z AI ( ) ( ):� � � � �. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 45 Çàìå÷àíèå 3. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òå çíà÷åíèÿ z* ��, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò íàáîð ñëàãàåìûõ ñ ñóììîé z. Ëèøü â ýòîì ñëó÷àå íà îñíîâàíèè óòâåðæäåíèÿ 1 íå÷åòêîå ìíîæåñòâî M z� ( ) ìàêñèìóìîâ çàäà÷è (9) íå áóäåò ïóñ- òûì. Ïîýòîìó äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ z Z* � . Íàçîâåì ìíî- æåñòâî Z (ôîðìóëà (14)) îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ñóììû � ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì ñëàãàåìûõ. Ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè (12) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà M z� ( ) ìàêñèìóìîâ çà- äà÷è (9) äîñòàòî÷íî ñëîæíà äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ, ïîýòîìó ïðåäñòàâèì åå â áîëåå óäîáíîì âèäå. Îáîçíà÷èì � �I z z z Z( ) { , ( )): } ( )� � � � � I äèñêðåòíîå íå÷åòêîå ÷èñ- ëî íà Z ñ ÔÏ � ��I z ( ) ( ) � � � � � � � �max : ( ) ) : , ( )( ) ( ){ }, supp(u U z u z x x X j II I j j j� �� j I� � � � �� ( ) , � (15) ãäå �I u( ) ( )� � � � � � � � �� x x x x x x F u x X j Ij j B j j T j T j B j j I j j j : ; , ( ), , ( ) ( )� � Ij Ij I ( )( )( ) �� — äèñêðåòíîå ñå÷åíèå ñóììû óðîâíÿ u (ñì. (3) ïðè K I� ( )� ). Èç (4) è (5) ñëåäóåò, ÷òî ÄÍ× �I ( )� ðàâíî ñóììå Fj ñ èíäåêñàìè j èç ìíîæåñòâà ñëà- ãàåìûõ I ( )� óðîâíÿ �. Çíà÷åíèå �I j j I F( ) ( ) � � � � � íàçîâåì ñóììîé óðîâíÿ � � A. Äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 1. Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ z Z � ÔÏ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà M z u u u UM z� � ( ) ( , ( )): [ , ]( )� � �{ }� 0 1 èìååò âèä � � � �M z u A u z � �( ) ( ) max{ : ( )} ( ) � � � I , u M z�supp ( � ( )) , (16) ãäå íîñèòåëü íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà M z� ( ) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé supp(M z u U u z A� �( )) { [ , ]: ( ), } ( ) � � � � �0 1 � � �I . (17) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó z Z* � , òî èç óòâåðæäåíèÿ 1 ñëåäóåò supp(M z� ( )) � �. Âíà÷àëå äîêàæåì ðàâåíñòâî (17). Äëÿ ýòîãî ñ ó÷åòîì (13) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî { ( ): } { : ( ), }.( ) ( ) M z u U u z AI � � � � � � � � � �A I� Ðàññìîòðèì âêëþ÷åíèå { ( ): } { : ( ), }( )M z u U u z AI I� �� A . Ïóñòü � � � � �u u U u z A I { : ( ), }.� �� Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî � �u { ( ):( )M zI � � � A}. Òîãäà � �u M zI ( ) ( )� äëÿ ëþáîãî � � A. Îòñþäà è èç (10) ïîëó÷èì � � � �u u U u U Izmax : ( ( )){ }� äëÿ ëþáîãî � � A. Òîãäà íà îñíîâàíèè (6) ïðè K I� ( )� è (15) � �u z I � �� ( ) ( ) äëÿ ëþáîãî � � A. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Äîêàæåì âêëþ÷åíèå { ( ): } { : ( ), }( )M z A u U u z AI I� �� . Ïóñòü � � �u M z AI{ }( ) ( ):� � . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî � � �u u U{ : u z A I � �� ( ), }. Òîãäà � �� A � �u z� ��I( ) ( ). Îòñþäà è èç (6) ïðè K I� ( )� è (15) ïîëó÷èì � � � �u u U u U Izmax : ( ( )){ }� . Ïîýòîìó ñîãëàñíî (10) � � �u M z AI{ }( ) ( ):� � . Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Äàëåå äîêàæåì ôîðìóëó (16). Äëÿ ëþáîãî � � A ïðè K I� ( )� èç (6) ñëåäóåò îòíîøåíèå u U I z uz I� � � ( )( ( )) * ( ),� �� èç êîòîðîãî ñ ó÷åòîì (10) è (15) âûòå- êàåò M z zI I( ) ( ) ( )� �� . Â ðåçóëüòàòå èç (12) ïîëó÷èì (16). Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. 46 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî (9) M z� ( ) –– ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè ñóììû � � � � F j j j II( , ( )� ÄÍ× F j , j N� , ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì I j jI� {( , ( )):� j N� } èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ. Îäíàêî ñîãëàñíî òåîðåìå 1 äëÿ ôèêñèðîâàííûõ z Z* � çíà÷åíèÿ M z� ( ) îáðàçîâûâàþò íå÷åòêèå ìíîæåñòâà íà U � [ , ]0 1 c ÔÏ � M z u � ( ) ( ). Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî � –– ýòî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî íà Z � � c ÔÏ, çíà÷åíèÿ êîòîðîé îáðàçóþò íå÷åòêèå ìíîæåñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî èññëå- äîâàíèÿì, ïðèâåäåííûì â ðàáîòå [15], � ïðåäñòàâëÿåò íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà-2 (ÍÌÒ-2). Â «ìàíåðå âåðòèêàëüíûõ ñðåçîâ» [16] ÍÌÒ-2 ñóììû � íà Z � � èìååò âèä � � � � � �� ( , ( )): ( ,{( , ( )): }): }( )z M z z Z z u u u J z ZM z z� � �� , ãäå � M z u � ( ) ( ) , u M z�supp ( � ( )) , — ÔÏ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà M z� ( ) � � �{ }( , ( )):( )u u u UM z� � (ñì. (11)) çíà÷åíèé íå÷åòêîé ñòåïåíè ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà z Z� ÍÌÒ-2 cóììû � , à J M zz � supp( � ( )) –– ìíîæåñòâî ïåðâè÷íûõ ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè. Ñîãëàñíî [16, 17] ÍÌÒ-2 � íà Z � � ìîæíî òàêæå õàðàêòåðèçîâàòü êàê ÔÏ òèïà-2 (ÔÏÒ-2) � � � � ( , ) ( ),( )z u u u JM z z� � , è � � ( , ) ,z u � 0 u J z� . Òîãäà � � � � (( , ), ( , ) [ , ], }):z u z u u z Z� � �0 1 . Òàêîå ïðåä- ñòàâëåíèå áóäåì èñïîëüçîâàòü äàëåå. ÑÓÌÌÀ ÍÅ×ÅÒÊÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ×ÈÑÅË Îïðåäåëåíèå 1. Ïóñòü íà ÷èñëîâîé îñè � çàäàíû ÄÍ× F j , j N� , ñ ñîîòâåò- ñòâóþùèìè ÔÏ �F jj x( ) è íîñèòåëÿìè X Fj j� supp( ), j N� . Òàêæå çàäàíî I j j j N I � �{ }( , ( )):� — íå÷åòêîå ìíîæåñòâî íà ìíîæåñòâå èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ N ñ ÔÏ � I j( ) , j N� . Ñóììîé F j j j I( , ( ))�I � � ÄÍ× F j , j N� , ñ íå÷åòêèì ìíî- æåñòâîì I èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ íàçîâåì ÍÌÒ-2 � � �{(( , ), ( , )): [ , ], }z u z u u z Z� � �0 1 íà Z x x X j I Aj j j j I � � � � � � �� : , ( ), ( ) � � � (ñì. (14)) ñ ÔÏÒ-2 � � � � � � � ! ( , ) max{ : ( )}, , , , z u u z y J y J A z z � � � � � � �� I 0 (18) ãäå ñîãëàñíî (8) I j N jI( ) { : ( ) }� � �� –– ìíîæåñòâî èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ óðîâíÿ �, � � A. Â ýòîì îïðåäåëåíèè òàêæå èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: J u U u z Az � � � � �{ : ( ), } [ , ]� � �� !I 0 1 (19) –– ìíîæåñòâî ïåðâè÷íûõ ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè u U� ñî ñòðîãî ïîëîæè- òåëüíûìè âòîðè÷íûìè îöåíêàìè �� ( , )z u , êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ íîñèòåëåì supp(M z� ( )) (ñì. (17)) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà M z� ( ) çíà÷åíèé ìàêñèìóìà (9), z Z� ; � � !I I( ) {( , ( )): }� � � � �z z z Z (20) – ÄÍ×, ðàâíîå ñóììå F j ñ èíäåêñàìè j èç ìíîæåñòâà I ( )� ñëàãàåìûõ óðîâíÿ � � A (ò.å. �I j I F j( ) ( ) � � � � � ) ñ ÔÏ � � �� ! � I ( ) max{ : ( )}( )z u U z uI� � � , z I�supp( )� ( )� (ñì. (15)); ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 47 supp( ) =�I j j j j I x x X j I( ) ( ) : , ( )� � �� (21) –– íîñèòåëü ÄÍ× �I ( )� (ñì. (15)); �I u( ) ( )� � � � � � � � �� x x x x x x F u x X j Ij j B j j T j B j T j j I j j j : ; , ( ), , ( ) ( )� � Ij Ij I ( )( )( ) �� (22) –– äèñêðåòíîå ñå÷åíèå ñóììû �I j j I F( ) ( ) � � � � � óðîâíÿ u U� (ñì. (3) ïðè K I� ( )� , � � A; F u x X x uj j j F jj ( ) : ( )� � �{ }� (23) –– ñå÷åíèå óðîâíÿ u U� ÄÍ× F j Nj , � ; U x x X j NF j j jj � � �{ }� ( ): , (24) –– ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè ÄÍ× F j , j N� (ñì. çàìå÷à- íèå 1); A j j NI� �{ }� ( ): (25) –– ìíîæåñòâî çíà÷åíèé � I j( ), j N� , ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I j j j NI� �{ }( , ( )):� èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ (ñì. çàìå÷àíèå 2). Ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé îïðåäåëåíèå 1. Ïðèìåð 1. Ïóñòü íà ÷èñëîâîé îñè � çàäàíû ÄÍ× F1 1 0 3 3 0 5� { (2;1) }( ; , ), , ( ; , ) («ïðèáëèçèòåëüíî» 2) è F2 4 0 4 6 1 8 0 8� { }( ; , ), ( ; ), ( ; , ) («÷åòíîå ÷èñëî îêîëî 6») ñ íîñèòåëÿìè ñîîòâåòñòâåííî X 1 1 2 3� { }, , è X 2 4 6 8� { }, , . Íàéäåì ñóììó ÄÍ× F1 è F2 ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì I � { }( ; , ), ( ; , )1 0 8 2 0 6 èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ýòîé ñóììû ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî Z � { , , } { , ..., }1 2 3 5 11� (ñì. (14)). Ñ ïîìîùüþ (25) îïðåäåëèì ìíîæåñòâî A � { }0 6 0 8, ; , çíà÷åíèé ñòåïåíåé ïðè- íàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I � { }( ; , ), ( ; , )1 0 8 2 0 6 èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ. Èñïîëüçóÿ (8), ïîñòðîèì ñå÷åíèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà I ( , )0 8 1� { } óðîâíÿ � �� I ( ) ,1 0 8. Ñîãëàñíî (15) âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ÔÏ ��I z ( , ) ( ) 0 8 äèñêðåòíîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà � �I z z z Z I ( , ) {( , ( )): } ( , ) 0 8 0 8 � �� , ðàâíîãî ñóììå ÄÍ× ñ èíäåêñàìè ñëàãàåìûõ èç ìíîæåñòâà I ( , )0 8 1� { }. Ïîñêîëüêó �I F( , )0 8 1� , (26) òî î÷åâèäíî, ÷òî � � �I z xF ( , ) ( ) ( ) 0 8 1 1� è z x� 1 äëÿ z I� � �supp( supp( 1� ( , ) ) )0 8 F � X 1 1 2 3= { }, , . Îòñþäà ��I( , ) ( ) , 0 8 1 0 3� ; ��I( , ) ( ) 0 8 2 1� ; ��I( , ) ( ) , 0 8 3 0 5� è � �I z ( , ) ( ) 0 8 0� äëÿ z Z I� �\ supp( { }� ( , ) ) , ...,0 8 5 11 . Äàëåå ñîãëàñíî (8) ïîñòðîèì ñå÷åíèå I ( , ) ,0 6 1 2� { } óðîâíÿ � �� I ( ) ,2 0 6 íå- ÷åòêîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ I . Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî íàéòè çíà÷åíèÿ ÔÏ � �I z ( , ) ( ) 0 6 ÄÍ× � �I ( , ) {( , ( )): } ( , ) 0 6 0 6 � �z z z Z I � , ðàâíîãî ñóììå ÄÍ× ñ èíäåê- ñàìè ñëàãàåìûõ èç ìíîæåñòâà I ( , ) ,0 6 1 2� { }, ò.å. �I F F( , )0 6 1 2� � . (27) 48 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Ñîãëàñíî (21) íîñèòåëü supp ( ) =�I j j j j I x x X j I( , ) ( ) : , ( )0 6 � � � � �� { : { , , }, { , , }} { , ..., }x x x x1 2 1 21 2 3 4 6 8 5 11 . Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (24) ïî- ñòðîèì U � { }0 3 0 4 0 5 0 8 1, ; , ; , ; , ; –– ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè ÄÍ× F1 è F2 . Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ u U� , èñïîëüçóÿ (23), âû÷èñëèì ñå÷åíèÿ óðîâíÿ u ÄÍ× F1 è F2 : F1 0 3 1 2 3( , ) , ,� { }, F2 0 3 4 6 8( , ) , ,� { }, F1 0 4 2 3( , ) ,� { }, F2 0 4 6 8( , ) ,� {4, }, F1 0 5 2 3( , ) ,� { }, F2 0 5 6 8( , ) ,� { }, F1 0 8 2( , ) � { }, F2 0 8 6 8( , ) ,� { }, F1 1 2( ) � { }, F2 1 6( ) � { }. Äàëåå íàéäåì äèñêðåòíûå ñå÷åíèÿ ñóììû óðîâíÿ u U� ïî ôîðìóëå (22), êîòîðàÿ ïðèìåò âèä �I ( , ) { : ; , ( )0 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1� � � � � � � �x x x x x x x x x x F uB B T T T B ; , ( )x x F uT B 2 2 2� ; x1 1 2 3�{ , , }; x2 4 5 6�{ , , }. Â ðåçóëüòàòå �I ( , ) ( , ) , ...,0 6 0 3 5 11� { }, �I ( , ) ( , )0 6 0 4 � � { }6 11, ..., , �I ( , ) ( , ) , ...,0 6 0 5 8 11� { }, �I ( , ) ( , ) , ,0 6 0 8 8 9 10� { }, �I ( , ) ( )0 6 1 8� { }. Îïðå- äåëèì çíà÷åíèÿ ÔÏ äèñêðåòíîãî íå÷åòêîãî ÷èñëà �I ( , )0 6 ïî ôîðìóëå (15): ��I( , ) ( ) , 0 6 5 0 3� ; ��I( , ) ( ) , 0 6 6 0 4� ; � �I( , ) ( ) , 0 6 7 0 4� ; ��I( , ) ( ) 0 6 8 1� ; ��I( , ) ( ) , ; 0 6 9 0 5� ��I( , ) ( ) , 0 6 10 0 8� ; ��I( , ) ( ) , 0 6 11 0 5� è ��I z ( , ) ( ) 0 6 0� äëÿ z Z I� �\ ) , ,( , )supp( { }� 0 6 1 2 3 . Â çàêëþ÷åíèå èç (18) íàéäåì ÔÏÒ-2 �� ( , )z u , u �[ , ]0 1 , z Z� . Â òàáë. 1 äàíû çíà- ÷åíèÿ �� ( , )z u 0. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì ÍÌÒ-2 ñóììû: � � {(( ; ); , ), (( ; , ); , ), (( ; ); , ), (( ; ); ,1 0 0 6 1 0 3 0 8 2 0 0 6 2 1 0 8 3 0 0 6 3 0 5 0 8 5 0 0 8), (( ; ); , ), (( ; , ); , ), (( ; ); , ) , (( ; , ); , ), (( ; ); , ), (( ; , ); , ), (( ; ); ,5 0 3 0 6 6 0 0 8 6 0 4 0 6 7 0 0 8), (( ; , ); , ), (( ; ); , ), (( ; , ),7 0 4 0 6 8 0 0 8 8 10 6 (( ; ); , ), (( ; , ); , ), (( ; ); , ), (( ; , );9 0 0 8 9 0 5 0 6 10 0 0 8 10 0 8 0, ), (( ; ); , ), (( ; , ); , )6 11 0 0 8 11 0 5 0 6 }. Êàæäóþ òðîéêó ( , , ( , ))z y z u�� â ïîëó÷åííîì ÍÌÒ-2 ñóììû � ìîæíî èíòåð- ïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñóììà ÄÍ× F1 è F2 ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì I èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ ðàâíà z ñî ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè u ñî ñòåïåíüþ èñòèí- íîñòè ýòîãî ôàêòà, ðàâíîé �� ( , )z u . ÄÅÊÎÌÏÎÇÈÖÈß ÑÓÌÌÛ ÍÅ×ÅÒÊÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ×ÈÑÅË Îòìåòèì, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå 1 ñëîæíî äëÿ ïîíè- ìàíèÿ. Êðîìå òîãî, èíòåðïðåòàöèÿ ïîëó÷åííîãî ÍÌÒ-2 ñóììû � íåäîñòàòî÷íî óáåäèòåëüíà. Ïîýòîìó ïðåäñòàâèì îïåðàöèþ ñóììû ÄÍ× ñ íå÷åòêèì ìíîæåñ- òâîì èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ â áîëåå óäîáíîì äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ âèäå. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì äåêîìïîçèöèîííûé ïîäõîä. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 49 z ��I ( , ) ( ) 0 6 z ��I z ( , ) ( ) 0 8 ÔÏÒ-2 1 0 0,3 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,1 0 0 6 1 0 3 0 8� � 2 0 1 � �� ( ; ) , ; ( ; ) ,2 0 0 6 2 1 0 8� � 3 0 0,5 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,3 0 0 6 3 0 5 0 8� � 5 0,3 0 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,5 0 0 8 5 0 3 0 6� � 6 0,4 0 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,6 0 0 8 6 0 4 0 6� � 7 0,4 0 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,7 0 0 8 7 0 4 0 6� � 8 1 0 � �� ( ; ) , ; ( ; ) ,8 0 0 8 8 1 0 6� � 9 0,5 0 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,9 0 0 8 9 0 5 0 6� � 10 0,8 0 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,10 0 0 8 10 0 8 0 6� � 11 0,5 0 � �� ( ; ) , ; ( ; , ) ,11 0 0 8 11 0 5 0 6� � Òàáëèöà 1. Ðàñ÷åòíûå äàííûå äëÿ ïðèìåðà 1 Ñîãëàñíî [16] äëÿ ëþáîãî ÍÌÒ-2 ìîæíî îïðåäåëèòü âëîæåííûå êàê «îáû÷- íûå» íå÷åòêèå ìíîæåñòâà òèïà-1 (ÍÌÒ-1), òàê è òèïà-2 (ÍÌÒ-2). Ïóñòü äëÿ êàæäî- ãî z Z� çàäàíà åäèíñòâåííàÿ ïåðâè÷íàÿ ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè uz �[ , ].0 1 Âëî- æåííîå ÍÌÒ-2 ~ S e â ÍÌÒ-2 ñóììû � �� {(( , ), ( , )): [ , ], }z u x u u z Z� 0 1 çàäàåòñÿ êàê ñîâîêóïíîñòü ~ {(( , ), ( , )): }~S z u x u z Ze z S ze� �� , ãäå � �~ ( , ) ( , ) S z ze z u z u� � äëÿ � �z Z. Êàæäûé ýëåìåíò ýòîãî íàáîðà â ðàáîòå [16] ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîäìíî- æåñòâî, ïîýòîìó ñîâîêóïíîñòü ~ S e (ò.å. è ÍÌÒ-2) ïîíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå êëàññè- ÷åñêîãî îáúåäèíåíèÿ åå ýëåìåíòîâ êàê äëÿ îáû÷íûõ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âëîæåííîå ÍÌÒ-2 ~ {(( , ), ( , )): }~S z u x u z Ze z S ze� �� â ÍÌÒ-2 ñóì- ìû � èìååò ïîñòîÿííóþ âòîðè÷íóþ îöåíêó � � A, åñëè � �~ ( , ) S ze z u " . Îáîçíà- ÷èì òàêîå ÍÌÒ-2 êàê S z u z Ze z� �� {(( , ), ): }. Âëîæåííûì ÍÌÒ-1 â ÍÌÒ-2 ñóììû � íàçûâàåòñÿ S z z z Ze S e� �{ }( , ( )):� ñ ÔÏ � S ze z u( ) � , z Z� . Çàìå÷àíèå 4. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ~ S e � ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå âëîæåííîå â íåãî ÍÌÒ-1 S z u z Ze z� � �{( , ): }, ïîýòîìó ÍÌÒ-2 ~ S e � ìîæíî âñåãäà ïðåäñòàâèòü â âèäå ~ {( , )}S Se e � � �� . Câîéñòâî ÍÌÒ-2 ñóììû � óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ êàæäîãî � � A âëîæåííîå ÍÌÒ-1 S z u z Ze z� � �{( , ): } ïðåäñòàâëÿåò ñóììó óðîâíÿ �, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÄÍ× S e I� � " "� ( ) " �{( , ( )): } ( ) z z z Z� ��# , ðàâíûì ñóììå F j j I� � ( )� ÄÍ× F j ñ èíäåêñàìè j èç ìíî- æåñòâà I ( )� èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ óðîâíÿ �. Òîãäà ÍÌÒ-2 ñóììû � ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü { ~ : }S Ae � � � âëîæåííûõ ÍÌÒ-2 ~ S e � � � {( , )}S e � � ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîñòîÿííûìè âòîðè÷íûìè îöåíêàìè � � A. Èíûìè ñëîâàìè, � � � � !I � � �, ): }� A . Äîêàçàòåëüñòâî. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì âêëþ÷åíèå � � �{( , ): }( )I � � � A . Ïóñòü (( , ), ( , ))z u z u�� , z Z* � , u J z* � . Ýòî çíà÷èò, ÷òî J z � � è ñîãëàñ- íî (18), (19) � � �� A u z: ( ) ( ) � I , (28) � �� ( , ) z u � . (29) Ïîêàæåì, ÷òî (( , ), ( , )) {( , ): }( )z u z u A� � �� I . Ïðåäïîëîæèì ïðî- òèâíîå. Ïóñòü äëÿ � �� A (â òîì ÷èñëå è äëÿ � ) ñïðàâåäëèâî îòíîøåíèå (( , ), ( , )) ( , ) ( ) z u z u� � �� { } I . Âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: ëèáî ñîãëàñíî (20) u z I * ( ) ( ) � � �� , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ (28), ëèáî � �� ( , ) z u � , ÷òî ïðèâî- äèò ê ïðîòèâîðå÷èþ îòíîñèòåëüíî ðàâåíñòâà (29). Òàêèì îáðàçîì, âêëþ÷åíèå � � �{( , ): }( )I � � � A äîêàçàíî. Äàëåå ðàññìîòðèì âêëþ÷åíèå � �� {( , ): }( )I A� � � . Ïóñòü ( , ) ( ) � I � �� {( , ): }( )�I A� � � . Òîãäà èç (20) ñëåäóåò (( , ( )), ) ( ) z z I � � �� {( , ):( )�I � � � � A}. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî (( , ( )), ) ( ) z z I � � �� {(( , ),z u �� ( , )) :z u u J z Zz� �, }. Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ z z� * è u z I � � �� ( ) ( ) âòîðè÷íàÿ îöåíêà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó � � � � * * ( , ( )) ( ) � �z z I (ÍÌÒ-2 ñóììû � ðàñ- ñìàòðèâàåì êàê ñîâîêóïíîñòü, ò.å. êëàññè÷åñêîå îáúåäèíåíèå ýëåìåíòîâ îòíîñè- 50 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 òåëüíî îáû÷íûõ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ). Òîãäà íà îñíîâàíèè (18) ñïðàâåäëèâî íåðà- âåíñòâî � � � � � � � � �� * ( , ( )) max{ : ( ) ( ( ) ( ) ( ) � � � � � � �z z z I I IA z)}. (30) Ïîñêîëüêó äëÿ âñåõ � � A, äëÿ êîòîðûõ � � � �� I I z z ( ) ( ) ( ) ( )� , âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà � � � �� ( , ( )) ( ) z z I � , òî îíè âûïîëíÿþòñÿ è äëÿ � �� . Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî � � � �� ( , ( )) ( ) z z I � . Òîãäà (30) ïðèâîäèò ê ïðîòèâî- ðå÷èþ � � � � � ( , ( )) * ( *) �� z z I , ÷òî è äîêàçûâàåò âêëþ÷åíèå � � { ~ ( ):S e � � � A}. Cëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî � � �{( , : }( )I � �� A . Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùåå ÍÌÒ-2 ñóììû � ìîæíî ðàçëîæèòü ïî âòî- ðè÷íûì îöåíêàì íà ñîîòâåòñòâóþùèå ÄÍ×. Êðîìå òîãî, òåîðåìà 2 óïðîùàåò âû- ÷èñëåíèå ñóììû ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ ñëàãàåìûõ. Ïðîèëëþñòðèðó- åì ýòî ñâîéñòâî. Ïðèìåð 2. Èñïîëüçóåì èñõîäíûå äàííûå ïðèìåðà 1, à òàêæå ÄÍ× «ïðèáëè- çèòåëüíî 2» �I F( , )0 8 1� (ñì. (26)) è «÷åòíîå ÷èñëî îêîëî 6» �I F F( , )0 6 1 2� � (ñì. (27)). Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 2 � � �� { }.( ; , ), ( ; , )( , ) ( , )I I0 6 0 80 6 0 8 Òà- êîå ÍÌÒ-2 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäñòàâèì íå÷åòêóþ ñóììó äâóõ ÄÍ× F1 è F2 ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì I � { }( ; , ), ( ; , )1 0 8 2 0 6 ñëàãàåìûõ: — «ïðèáëèçèòåëüíî 2» ñî ñòåïåíüþ èñòèííîñòè ýòîãî ôàêòà, ðàâíîé 0,8; — «÷åòíîìó ÷èñëó îêîëî 6» ñî ñòåïåíüþ èñòèííîñòè ýòîãî ôàêòà, ðàâíîé 0,6. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ðàññìîòðåííàÿ â ñòàòüå îïåðàöèÿ ñóììû ÄÍ× ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì ñëàãàå- ìûõ ïðèâîäèò ê äîñòàòî÷íî ñëîæíîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó îáúåêòó — ÍÌÒ-2. Íàïðàâëåíèå èññëåäîâàíèÿ òàêîé îïåðàöèè â äàëüíåéøåì ìîæåò áûòü ñâÿçàíî ñ èçó÷åíèåì åå àëãåáðàè÷åñêèõ ñâîéñòâ è ïîèñêîì âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Äàííûé ïîäõîä ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ îáîáùåíèÿ äðóãèõ àëãåáðàè÷åñ- êèõ îïåðàöèé íà ñëó÷àé íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà îïåðàíäîâ. Ïðèìåðîì òàêèõ îïåðàöèé ìîæåò áûòü ëèíãâèñòè÷åñêàÿ íåîïðåäåëåííîñòü â îïèñàíèè ñàìîé ñîâîêóïíîñòè Í×. Íàïðèìåð, ïðè îöåíêå êàêîãî-ëèáî îáúåêòà ïî ñîâîêóïíîñ- òè ïîêàçàòåëåé ìîæåò âîçíèêíóòü íåîáõîäèìîñòü ó÷åòà íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ýòèõ ïîêàçàòåëåé, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ èõ íåêîòîðûì ñâîéñòâîì. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Chang S.S.L., Zadeh L.A. On fuzzy mapping and control. IEEE Transactions on Systems. Man, and Cybernetics. 1972. Vol. 2, N 1. P. 30–34. https://doi.org/10.1109/TSMC.1972.5408553. 2. Mizumoto M., Tanaka K. The four operations of arithmetic on fuzzy numbers. Syst. Compute. Controls. 1976. N 5. P. 73–81. URL: https:mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=476531. 3. Dubois D., Prade H. Operations on fuzzy numbers. International Journal of Systems Science. 1978. Vol. 9, N 6. P. 613–626. https://doi.org/10.1080/00207727808941724. 4. Heilpern S. Representation and application of fuzzy numbers. Fuzzy Sets and Systems. 1997. Vol. 9. P. 259–268. https://doi.org/10.1016/S0165-0114(97)00146-2. 5. Voxman W. Canonical representations of discrete fuzzy numbers. Fuzzy Sets and Systems. 2001. Vol. 54. P. 457–466. https://doi.org/10.1016/S0165-0114(99)00053-6. 6. Wang G., Wu C., Zhao C. Representation and operations of discrete fuzzy numbers. Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2005. Vol. 29, N 5. P. 1003–1010. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 51 7. Semenova N.V., Kolechkina L.N., Nagirna A.M. Vector optimization problems with linear criteria over a fuzzy combinatorial set of alternatives. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Vol. 47, N 2. P. 250–259. 8. Zimmermann H.-J. Fuzzy set theory — and its applicationss. Dordrecht: Springer, 2001. https://doi.org/10.1007/978-94-010-0646-0. 9. Mashchenko S. Intersections and unions of fuzzy sets of operands. Fuzzy Sets and Systems. 2018. Vol. 352. P. 12–25. https://doi.org/10.1016/j.fss.2018.04.006. 10. Mashchenko S.O., Kapustian D.O. Decomposition of intersections with fuzzy sets of operands. In: Sadovnichiy V.A., Zgurovsky M.Z. (eds.) Contemporary Approaches and Methods in Fundamental Mathematics and Mechanics. Understanding Complex Systems. Cham: Springer, 2020. P. 417–432. URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-50302-4. 11. Mashchenko S.O. Sums of fuzzy set of summands. Fuzzy Sets and Systems. 2020. https://doi.org/ 10.1016/j.fss.2020.10.006. 12. Zadeh L. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning — I. Inform. Sci. 1975. Vol. 8. P. 199–249. https://doi.org/10.1016/0020-0255(75)90036-5. 13. Casasnovas J., Riera J.V. Discrete fuzzy numbers defined on a subset of natural numbers. In: Castilio O. et al. (eds.). Theoretical advances and applications of fuzzy logic and soft computing. Advances in Soft Computing. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. Vol. 42. P. 573–582. 14. Îðëîâñêèé Ñ.À. Ïðîáëåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè íå÷åòêîé èñõîäíîé èíôîðìàöèè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1981. 208 c. 15. Zadeh L.A. Quantitative fuzzy semantics. Inform. Sci. 1971. Vol. 3. P. 159–176. https://doi.org/10.1016/S0020-0255(71)80004-X. 16. Mendel J.M., John R.I. Type-2 fuzzy sets made simple. IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 2002. Vol. 10. P. 117–127. https://doi.org/10.1109/91.995115. 17. Harding J., Walker C., Walker E. The variety generated by the truth value algebra of T2FS. Fuzzy Sets and Systems. 2010. Vol. 161. P. 735–749. https://doi.org/10.1016/j.fss.2009.07.004. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 17.12.2020 Ñ.Î. Ìàùåíêî ÑÓÌÀ ÄÈÑÊÐÅÒÍÈÕ ÍÅ×²ÒÊÈÕ ×ÈÑÅË Ç ÍÅ×²ÒÊÎÞ ÌÍÎÆÈÍÎÞ ÄÎÄÀÍÊ²Â Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæóºòüñÿ îïåðàö³ÿ äîäàâàííÿ äèñêðåòíèõ íå÷³òêèõ ÷èñåë ç íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ ³íäåêñ³â äîäàíê³â ÿê óçàãàëüíåííÿ îïåðàö³¿ ñóìè ç ÷³òêîþ ìíîæèíîþ îïåðàíä³â. Ïîêàçàíî, ùî ðåçóëüòàòîì ö³º¿ îïåðàö³¿ º íå÷³òêà ìíîæèíà òèïó-2 (ÍÌÒ-2). Ïîáóäîâàíà ôóíêö³ÿ íàëåæíîñò³ òèïó-2 ö³º¿ ìíîæèíè. Óâåäåíî ïîíÿòòÿ ÍÌÒ-2 ñóìè äèñêðåòíèõ ÷èñåë ç íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ ³íäåêñ³â äîäàíê³â. ÍÌÒ-2 ñóìè ìîæå áóòè äåêîìïîçîâàíà çà âòîðèííèìè ñòóïåíÿìè íàëåæíîñò³ íà íàá³ð â³äïîâ³äíèõ äèñêðåòíèõ íå÷³òêèõ ÷èñåë. Öå äîïîìàãàº ïðåäñòàâèòè ðåçóëüòóþ÷ó ÍÌÒ-2 â çðó÷í³é äëÿ ðîçóì³ííÿ ³ çàñòîñóâàííÿ ôîðì³. Íàâåäåíî ³ëþñòðàòèâí³ ïðèêëàäè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íå÷³òêå ÷èñëî, äèñêðåòíå íå÷³òêå ÷èñëî, íå÷³òêà ìíîæèíà. S.O. Mashchenko SUM OF DISCRETE FUZZY NUMBERS WITH FUZZY SET OF SUMMANDS Abstract. We investigate the operation of addition of discrete fuzzy numbers with a fuzzy set of summand indices. This is a generalization of the sum operation with a crisp set of operands. We show that the result of this operation is a type-2 fuzzy set of (T2FS). We construct the type-2 membership function of this set. We introduce the concept of a sum T2FS of discrete numbers with a fuzzy set of summand indices. The sum T2FS can be decomposed according to secondary membership grades into the corresponding collection of fuzzy numbers. It helps to represent the resultant T2FS in a form which is convenient for a proper understanding and applications. Illustrative examples are given. Keywords: fuzzy number, discrete fuzzy number, fuzzy set. Ìàùåíêî Ñåðãåé Îëåãîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: s.o.mashchenko@gmail.com. 52 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3

Сумма дискретных нечетких чисел с нечетким множеством слагаемых

Institution

Ähnliche Einträge