Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера
Описано дiї алгебри Лi sl2(R) на площинi. Показано, що iснують двi примiтивнi дiї, якi вiдповiдають геометрiям Лобачевського i де Сiттера, а також наведено класифiкацiю iмпримiтивних дiй. Описано структури одновимiрних геометричних величин та алгебри їх диференцiальних iнварiантiв....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19245 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера / Н. Г. Коновенко, В.В. Лычагин // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 13-16. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-19245 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-192452011-04-24T12:02:23Z Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В. Математика Описано дiї алгебри Лi sl2(R) на площинi. Показано, що iснують двi примiтивнi дiї, якi вiдповiдають геометрiям Лобачевського i де Сiттера, а також наведено класифiкацiю iмпримiтивних дiй. Описано структури одновимiрних геометричних величин та алгебри їх диференцiальних iнварiантiв. We classify sl2-actions on the plane and show that there are two primitive actions which correspond to the Lobachevsky and de Sitter geometries. The detailed classification of imprimitive actions is given. We describe one-dimension geometrical quantities and find algebras of their differential invariants. 2010 Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера / Н. Г. Коновенко, В.В. Лычагин // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 13-16. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19245 517.956.4 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В. Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера Доповіді НАН України |
| description |
Описано дiї алгебри Лi sl2(R) на площинi. Показано, що iснують двi примiтивнi дiї, якi вiдповiдають геометрiям Лобачевського i де Сiттера, а також наведено класифiкацiю iмпримiтивних дiй. Описано структури одновимiрних геометричних величин та алгебри їх диференцiальних iнварiантiв. |
| author |
Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В. |
| author_facet |
Коновенко, Н.Г. Лычагин, В.В. |
| author_sort |
Коновенко, Н.Г. |
| title |
Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера |
| title_short |
Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера |
| title_full |
Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера |
| title_fullStr |
Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера |
| title_full_unstemmed |
Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера |
| title_sort |
алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях лобачевского и де ситтера |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19245 |
| citation_txt |
Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях Лобачевского и де Ситтера / Н. Г. Коновенко, В.В. Лычагин // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 13-16. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT konovenkong algebrydifferencialʹnyhinvariantovvgeometriâhlobačevskogoidesittera AT lyčaginvv algebrydifferencialʹnyhinvariantovvgeometriâhlobačevskogoidesittera |
| first_indexed |
2025-07-02T20:07:47Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:07:47Z |
| _version_ |
1836567093847261184 |
| fulltext |
УДК 517.956.4
© 2010
Н.Г. Коновенко, В.В. Лычагин
Алгебры дифференциальных инвариантов в геометриях
Лобачевского и де Ситтера
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.В. Шарко)
Описано дiї алгебри Лi sl2(R) на площинi. Показано, що iснують двi примiтивнi дiї, якi
вiдповiдають геометрiям Лобачевського i де Сiттера, а також наведено класифiкацiю
iмпримiтивних дiй. Описано структури одновимiрних геометричних величин та алгеб-
ри їх диференцiальних iнварiантiв.
1. sl2-геометрии. Напомним, что sl2-геометрия на плоскости определяется транзитив-
ным действием алгебры Ли sl2(R). Поэтому, описание sl2-геометрии эквивалентно описа-
нию транзитивных представлений алгебры sl2(R) в алгебре Ли гладких векторных полей
на плоскости. Выберем в алгебре Ли sl2(R) базис Шевалле A, B, H такой, что выполнены
следующие коммутационные соотношения: [A,B] = H, [H,A] = −2A, [H,B] = 2B. В даль-
нейшем, чтобы не усложнять обозначения, мы не будем различать элементы алгебры Ли
sl2(R) с их образами при представлении.
Отметим, что из коммутационных соотношений вытекает, что если векторные поля A
и B линейно зависимы, то и векторные поля A, B и H также линейно зависимы. В этом
случае sl2-действие является одномерным и классификация, по существу, совпадает с клас-
сификацией, приведенной в [1, 2]. Предполагая, что векторные поля A и B линейно неза-
висимы, выберем их за локальный базис в модуле векторных полей на плоскости. Пусть
H = aA+ bB — разложение векторного поля H в этом базисе, где a, b — гладкие функции.
Теорема 1. Каждое действие алгебры Ли sl2(R) на плоскости, при котором векторные
поля A и B линейно независимы, локально эквиваленто одному из следующих.
Примитивное действие, ab 6= 1:
A = (2− xy)
∂
∂x
− y2
∂
∂y
, B = x2
∂
∂x
− (2− xy)
∂
∂y
, H = 2x
∂
∂x
− 2y
∂
∂y
. (1)
Импримитивное действие, ab = 1:
T : A = ∂x −
ϕx
ϕy
∂y, B = x2∂x −
x2ϕx
ϕy
∂y, H = x∂x −
xϕx
ϕy
∂y;
S : A = ∂x −
ϕx
ϕy
∂y, B = x2∂x +
2x− x2ϕx
ϕy
∂y, H = x∂x +
1− xϕx
ϕy
∂y;
R : A = ∂x −
ϕx
ϕy
∂y, B = x2∂x +
2xβ − x2βϕx − eϕ
βϕy
∂y, H = x∂x +
1− xϕx
ϕy
∂y,
где ϕ = ϕ(x, y) — гладкая функция, ϕy 6= 0, а β ∈ R \ 0 — константа.
Отметим, что первая часть теоремы, по существу, совпадает с классической теоремой
Ли (см. [3–5]), а доказательство второй части аналогично данному в работе [5].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 13
Представление вида (1) мы называем каноническим представлением алгебры Ли sl2(R)
в векторных полях на плоскости. Отметим, что в действительности нормальная форма (1)
содержит два неэквивалентных представления алгебры Ли sl2(R). Одно из них отвечает
случаю xy > 1, а другое — случаю xy < 1. Для доказательства их неэквивалентности
заметим, что для представления (1) векторное пространство sl2-инвариантых квадратичных
дифференциальных форм одномерно и порождено следующей формой:
Θ =
y2dx2 − 2(xy − 2)dxdy + x2dy2
(xy − 1)2
.
Эта форма задает риманову структуру, если xy > 1, и псевдориманову структуру, если
xy < 1. Рассмотрим преобразование µ± : (x, y) −→ ((x2 ± y2)/x, 1/x), где знак “+” выби-
рается в области xy > 1, а знак “−” — в области xy < 1. При этом преобразовании ква-
дратичная форма Θ переходит в одну из следующих форм: µ∗
±(Θ) = 4(dy2 ± dx2)/y2. Тем
самым геометрия, определяемая представлением (1), является геометрией Лобачевского,
если xy > 1, или геометрией де Ситтера, если xy < 1. Отметим также, что пространство
инвариантных дифференциальных 2-форм в обоих случаях также одномерно и порождено
формой Ω =
dx ∧ dy
|xy − 1|3/2
, при этом µ∗
±(Ω) =
dx ∧ dy
y2
.
Отметим, что при преобразовании µ± базисные векторные поля A, B, H переходят
в следующие:
A = ∂x, B = (x2 ± y2)∂x + 2xy∂y, H = 2x∂x + 2y∂y, (2)
где “+” выбирается в случае геометрии Лобачевского, а “−” — в случае геометрии де Сит-
тера. Эти два представления мы будем называть вторым каноническим представлением.
2. Геометрические величины. Рассмотрим однородные одномерные расслоения
π : R2 × R −→ R
2, (x, y, u) 7→ (x, y), т. е. расслоения, в которые поднято действие алгеб-
ры Ли sl2. Обозначим через A, B, H соответствующие поднятия векторных полей A, B, H.
Сечения таких расслоений мы называем геометрическими величинами.
Теорема 2. Локально любое поднятие действия алгебры Ли sl2 в расслоении π имеет
вид
A = A+A(f)∂u, B = B + (B(f) + h)∂u, H = H +H(f)∂u,
где f — произвольная функция, а функция h зависит от представления ρ. Так, h =
= F (u− f)
√
|xy − 1|/y для первого канонического представления и h = F (u − f)y для
второго канонического представления. Здесь F — произвольная гладкая функция.
Отметим, что классификация одномерных геометрических величин относительно груп-
пы автоморфизмов расслоения π основывается, как и в работе [1], на анализе одномерных
векторных полей h∂u и, по существу, совпадает с классификацией, приведенной в этой ра-
боте.
3. Алгебры дифференциальных инвариантов. Под дифференциальным инвари-
антом порядка 6 k мы понимаем гладкую функцию, заданную на пространстве k-джетов
расслоения геометрических величин π, которое инвариантно относительно продолженного
действия алгебры Ли sl2(R). Ниже мы приводим описание алгебр дифференциальных инва-
риантов для случая невырожденных (ab 6= 1) геометрий, т. е. для геометрий Лобачевского
и де Ситтера. Отметим также, что действие алгебры sl2(R) на пространстве геометрических
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
величин, по существу, определяется функцией h. При этом если h 6= 0, то векторное поле
h∂u преобразованием (x, y, u) 7→ (x, y, U(x, y)) локально можно привести к виду ∂u. Ниже
мы будем рассмативать случаи h = 0 или h = 1.
В случае геометрий Лобачевского и де Ситтера каждый дифференциальный инвариант f
порождает два инвариантных дифференцирования
∇f = y2
(
df
dx
d
dx
±
df
dy
d
dy
)
, γf = y2
(
df
dy
d
dx
−
df
dx
d
dy
)
.
Здесь и ниже мы используем координаты x, y второй канонической формы.
Отметим, что ограничения дифференцирований ∇f и γf на график k-джета геометриче-
ской величины s совпадают с векторным полем градиента (относительно метрики g) функ-
ции fs и, соответственно, с гамильтоновым векторным полем (относительно симплектиче-
ской структуры Ω), отвечающим гамильтониану fs.
Эти дифференцирования определяют две дополнительные структуры в алгебре диф-
ференциальных инвариантов, задаваемые скобками: (f1, f2) = ∇f1(f2), [f1, f2] = γf1(f2).
Относительно второй скобки алгебра дифференциальных инвариантов является пуассо-
новой алгеброй, при этом порядок дифференциального инварианта [f1, f2], как правило,
больше порядков f1 и f2.
Отметим также, что имеется инвариантный дифференциальный оператор второго по-
рядка. А именно, оператор Лапласа, построенный по метрике g:
∆ = −y2
(
d2
dx2
±
d2
dy2
)
.
Теорема 3. В окрестности регулярных орбит алгебра дифференциальных инвариантов
для геометрий Лобачевского и де Ситтера порождена:
в случае h = 0 дифференциальным инвариантом нулевого порядка J0 = u и диффе-
ренциальным инвариантом второго порядка J2 = △(u) = y2(u11 ± u22), а также их все-
возможными скобками;
в случае h = 1 дифференциальными инвариантами первого порядка
J1 = (u1 + u1
2y + u2
2y)y, J2 = u+
1
2
arctg
(
1 + 2yu1
2yu2
)
и дифференциальным инвариантом второго порядка J3 = y2(u11 ± u22), а также их все-
возможными скобками.
1. Коновенко Н. Г., Лычагин В. В. Дифференциальные инварианты нестандартных проективных стру-
ктур // Доп. НАН України. – 2008. – № 11. – С. 10–13.
2. Konovenko N. Projective structures and algebras of their differential invariants // Acta Appl. Math. –
DOI10.1007/s10440-009-9443-3.
3. Gonzalez-Lopez A., Kamran N., Olver P. J. Lie algebras of vector fields in the real plane // Proc. London
Math. Soc. – 1992. – 64. – P. 339–368.
4. Hermann R., Ackerman M. Sophus Lie’s 1880: Transformation Group Paper. – Brookline: Math. Sci. Press,
1975. – 271 p.
5. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen // Math. Ann. – 1880. – 16. – S. 441–528.
Поступило в редакцию 22.04.2009Одесская национальная академия пищевых технологий
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 15
N.G. Konovenko, V.V. Lychagin
Algebras of differential invariants for the Lobachevsky and de Sitter
geometries
We classify sl2-actions on the plane and show that there are two primitive actions which correspond
to the Lobachevsky and de Sitter geometries. The detailed classification of imprimitive actions
is given. We describe one-dimension geometrical quantities and find algebras of their differential
invariants.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
|