До теорії стійкості розривних динамічних систем
Диференціальні рівняння з розривною правою частиною застосовуються в задачах управління рухом, у дослідженні систем із змінною структурою, в аналізі систем автоматичного регулювання з ковзним режимом тощо. У статті викладено деякі результати дослідження стійкості, отримані для вказаного класу систе...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2023
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/192984 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | До теорії стійкості розривних динамічних систем / А.А. Мартинюк // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-192984 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1929842023-07-28T15:26:27Z До теорії стійкості розривних динамічних систем Мартинюк, А.А. Математика Диференціальні рівняння з розривною правою частиною застосовуються в задачах управління рухом, у дослідженні систем із змінною структурою, в аналізі систем автоматичного регулювання з ковзним режимом тощо. У статті викладено деякі результати дослідження стійкості, отримані для вказаного класу систем на основі методу матричнозначних функцій Ляпунова. Ці результати сформульовано в термінах знаковизначеності спеціальних матриць, які використовуються для оцінки зміни функції Ляпунова і її узагальненої похідної. The theory of differential equations with a discontinuous right-hand side finds application in problems of motion control, in the study of systems with variable structure, in the analysis of automatic control systems with sliding regime and others. The purpose of this article is to present some results of the study of stability obtained for the specified class of systems based on the method of Lyapunov’s matrix-valued functions. These results are formulated in terms of the sign-definiteness of special matrices, which are used to estimate the change in the Lyapunov function and its generalized derivative. 2023 Article До теорії стійкості розривних динамічних систем / А.А. Мартинюк // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.01.003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/192984 517.36 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Мартинюк, А.А. До теорії стійкості розривних динамічних систем Доповіді НАН України |
| description |
Диференціальні рівняння з розривною правою частиною застосовуються в задачах управління рухом, у
дослідженні систем із змінною структурою, в аналізі систем автоматичного регулювання з ковзним режимом тощо. У статті викладено деякі результати дослідження стійкості, отримані для вказаного класу систем на основі методу матричнозначних функцій Ляпунова. Ці результати сформульовано в термінах знаковизначеності спеціальних матриць, які використовуються для оцінки зміни функції Ляпунова і її
узагальненої похідної. |
| format |
Article |
| author |
Мартинюк, А.А. |
| author_facet |
Мартинюк, А.А. |
| author_sort |
Мартинюк, А.А. |
| title |
До теорії стійкості розривних динамічних систем |
| title_short |
До теорії стійкості розривних динамічних систем |
| title_full |
До теорії стійкості розривних динамічних систем |
| title_fullStr |
До теорії стійкості розривних динамічних систем |
| title_full_unstemmed |
До теорії стійкості розривних динамічних систем |
| title_sort |
до теорії стійкості розривних динамічних систем |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2023 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/192984 |
| citation_txt |
До теорії стійкості розривних динамічних систем / А.А. Мартинюк // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT martinûkaa doteoríístíjkostírozrivnihdinamíčnihsistem |
| first_indexed |
2025-07-16T18:53:26Z |
| last_indexed |
2025-07-16T18:53:26Z |
| _version_ |
1837830776264065024 |
| fulltext |
3
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1: 3—9
Ц и т у в а н н я: Мартинюк А.А. До теорії стійкості розривних динамічних систем. Допов. Нац. акад. наук
Укр. 2023. № 1. С. 3—9. https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.01.003
© Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2023. Стаття опублікована за умовами відкритого до-
ступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)
https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.01.003
УДК 517.36
А.А. Мартинюк, академік НАН України
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: center@inmech.kiev.ua
До теорії стійкості розривних динамічних систем
Диференціальні рівняння з розривною правою частиною застосовуються в задачах управління рухом, у
дослідженні систем із змінною структурою, в аналізі систем автоматичного регулювання з ковзним ре-
жимом тощо. У статті викладено деякі результати дослідження стійкості, отримані для вказаного класу
систем на основі методу матричнозначних функцій Ляпунова. Ці результати сформульовано в термінах
знаковизначеності спеціальних матриць, які використовуються для оцінки зміни функції Ляпунова і її
узагальненої похідної.
Ключові слова: розривні системи, матричнозначні функції Ляпунова, стійкість, принцип інваріантності
Ла-Салля.
Теорія диференціальних рівнянь з розривною правою частиною (див. [1] і бібліографію
там) знаходить застосування в задачах управління рухом, у дослідженні систем із змінною
структурою, в аналізі систем автоматичного регулювання з ковзним режимом тощо.
У цій статті стійкість розривних динамічних систем досліджується на основі методу
матричнозначних функцій Ляпунова [2]. Результати сформульовані в термінах знаковизна-
ченості спеціальних матриць, які використовуються для оцінки зміни функції Ляпунова і її
узагальненої похідної.
1. Постановка задачі. Розглядається розривна система рівнянь збуреного руху
0 0( , ), ( )
dx
f t x x t x
dt
= = , (1)
де ( ) nx t R∈ — стан системи (1) в момент 0[ , )t T t∈ = +∞ ; : ,n nf T R R× → ( , )f t x — вектор-
функція, означена майже всюди у відкритій області nQ T R⊆ × , причому така, що в довіль-
ній замкнутій і обмеженій області N Q⊆ існує інтегровна функція ( )m t , що задовольняє
умову ( , ) ( )f t x m t< майже всюди в N .
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 1
А.А. Мартинюк
Розв’язком початкової задачі (1) у сенсі Філіпова [1] називається функція 0 0( , , )x t t x
така, що 0 0 0 0( , , )x t t x x= і яка майже при всіх t задовольняє диференціальне включення
[ ]( , )
dx
f t x
dt
∈Φ , (2)
де
>0
[ ]( , )f t x
δ
Φ =
0
conv ( , ( , ) \ )f t B x
μΩ=
δ Ω .
Тут conv позначає опуклу оболонку, conv – замикання conv ,
0μΩ=
— перетин опуклого за-
микання по всіх множинах Ω міри нуль.
Далі припускатимемо, що 0 [ ]( , 0)f t∈Φ при всіх t T∈ і 0x = є єдиним станом рівно-
ваги розривної системи (1).
Необхідно вказати умови різних типів стійкості нульового розв’язку системи (1) на
основі матричнозначної функції
( , ) [ ( , )], , 1, 2, ,ijU t x v t x i j m= = , (3)
де ( , ): n
iiv t x T R R+× → і ( , ): n
ijv t x T R R× → , i j≠ .
На основі функції (3) побудуємо функцію
T( , , ) ( , ) ,v t x U t xθ = θ θ θ
mR+θ∈ , (4)
і розглядатимемо градієнт Кларка функції ( , , )v t x θ у вигляді (пор. [3, 4])
,( , , ) conv{lim(grad ( ( , , ))): ( , ) ( , ), ( , ) }t x i i i i vv t x v t x t x t x t x∂ θ = θ → ∈Ω ,
де vΩ — множина міри нуль, на якій функція ( , , )v t x θ не визначена.
Повною похідною функції ( , , )v t x θ вздовж розв’язків системи (1) називатимемо вираз
*
(1)
( , , )
1
( , ( ), ) |
[ ]( , )v t x
v t x t
f t xξ∈∂ θ
⎛ ⎞
θ = ⎜ ⎟Φ⎝ ⎠
. (6)
Зауважимо, що вираз *
(1)( , , ) |v t x θ може бути замінено виразом (1)( , , ) |D v t x+ θ майже
всюди на T , де ( , )D v t+ ⋅ — права верхня похідна Діні функції (4), яка обчислюється згідно
з формулою
T( , , ) ( , )D v t x D U t x+ +θ = θ θ . (7)
Тут (1)( , ) |D U t x+ обчислюється покомпонентно.
2. Достатні умови стійкості в сенсі Ляпунова. Нагадаємо означення стійкості стану
0x = системи (1).
Стан рівноваги 0x = системи (1) стійкий, якщо для будь-якого > 0ε і 0 [0, )t ∈ +∞ іс-
нує 0( , ) > 0tδ = δ ε таке, що за будь-яких 0
nx R∈ , для яких 0 0( , )x t< δ ε , виконується не-
рівність 0 0( , , )x t t x < ε при всіх 0t t .
=
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1
До теорії стійкості розривних динамічних систем
Якщо система (1) така, що згадану вище величину 0( , )tδ ε можна вибрати незалежною
від t0, то стан рівноваги 0x = системи (1) буде рівномірно стійким.
Асимптотична стійкість та рівномірна асимптотична стійкість визначаються аналогічно
із залученням додаткової умови 0 0( , , ) 0x t t x → при t →∞ .
Далі розглядатимемо випадки, коли функція (4) є регулярною ліпшицевою функцією
або має неперервні частинні похідні першого порядку.
Нагадаємо, що функція v є регулярною в точці z за умови, що v є ліпшицева в околі z
і допускає похідну за напрямком ( , )v z u для всіх u , причому ( , ) ( , )v z u v z u= , де
–1( , ) limsup{[ ( ) ( )] : , 0}v z u v w hu v w h w z h= + − → →
.
Мають місце такі твердження.
Теорема 1. Нехай система (1) така, що для неї існує матричнозначна функція (3) і век-
тор mR+θ∈ такі, що функція (4) регулярно ліпшицева, ( , 0, ) 0v t θ = при всіх t T∈ . Якщо існу-
ють постійні m m× -матриці , 1, 2, 3j = , і векторні функції порівняння ( )j x Kφ ∈ (KR-
класу), 1, 2, 3j = , такі, що
1) T T
1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( , , ) ( ) ( )x A x v t x x A xφ φ θ φ φ при всіх ( , )t x T Q∈ × ;
2) * T
(1) 3 3 3( , , ) | ( ) ( )v t x x A xθ φ φ при всіх ( , )t x T Q∈ × ,
то стан рівноваги 0x = системи (1):
(а) стійкий, якщо матриця 1A додатно визначена, матриця 2 0A = , а матриця 3A на-
піввизначено від’ємна;
(б) рівномірно стійкий, якщо 1A і 2A додатно визначені і матриця 3A напіввизначено
від’ємна;
(в) асимптотично рівномірно стійкий, якщо матриці 1A і 2A визначено додатні і матри-
ця 3A визначено від’ємна.
Якщо умови теореми 1 виконуються при всіх ( , ) nt x T R∈ × і функціях порівняння
( )i x KRφ ∈ -класу, то твердження (а)—(в) мають місце в цілому.
Зауваження 1. Твердження теореми 1 залишаються в силі, якщо вираз *
(1)( , , ) |v t x θ за-
мінити на (1)( , , ) |D v t x+ θ і
T
(1) 3 3 3( , , ) | ( ) ( )D v t x x A x+ θ φ φ
майже всюди на T .
Зауваження 2. Твердження теореми 1 залишаються в силі, якщо вираз *
(1)( , , ) |v t x θ за-
мінити на 0( , , ) |h hD v t h x hy+
=+ + θ , де ( , )y x f t x= = і умову 2 замінити такою:
T
0 3 3 3( , , ) | ( ) ( )h hD v t h x hy x A x+
=+ + θ φ φ
майже всюди на T .
Якщо функція (4) має неперервні частинні похідні першого порядку, то має місце таке
твердження.
Теорема 2. Нехай система (1) така, що для неї існує матричнозначна функція (3) і вектор
nR+θ∈ такі, що функція (4) має неперервні частинні похідні першого порядку, ( , 0, ) 0v t θ =
при всіх t T∈ .
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 1
А.А. Мартинюк
Якщо існують постійні m m× -матриці jA , 1, 2, 3j = , і векторні функції порівняння
( ) ( )j x K KRφ ∈ -класу, 1, 2, 3j = , такі, що
1) T T
1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( , , ) ( ) ( )x A x v t x x A xφ φ θ φ φ при всіх ( , )t x T Q∈ × ;
2) T
3 3 3
[ ]( , )
[ ( , , ) (grad ( , , ), )] ( ) ( )sup t x
y f t x
v t x v t x y x A x
∈Φ
θ + θ φ φ ,
то твердження (а)—(в) теореми 1 про стан рівноваги 0x = системи (1) залишаються в силі
за умов, зазначених у цій теоремі.
Якщо умови теореми 2 виконуються при всіх ( , ) nt x T R∈ × і функції порівняння
( )i x KRφ ∈ -класу, 1, 2, 3j = , то твердження (а)—(в) теореми 1 мають місце в цілому.
Зауваження 3. Якщо в системі (1) вектор-функція ( , )f t x є кусково неперервною і
функція ( , , ) ( , )mv t x C T Q R R+ +θ ∈ × × , то умову 2 у теоремі 2 можна замінити нерівністю
T
3 3 3( , , ) ( , , ) (grad ( , , ), ( , )) ( ) ( )t xv t x v t x v t x f t x x A xθ ≡ θ + θ φ φ ,
яка має виконуватися в області неперервності вектор-функції ( , )f t x .
Зауваження 4. Якщо в теоремі 2 умову 2 замінити на нерівність
T
3 3 3
[ ]( , )
[ ( , , ) (grad ( , , ), )] ( ) ( ),inf t x
y f t x
v t x v t x y x A x
∈Φ
θ + θ φ φ
то твердження (а)—(в) мають місце в сенсі слабкої рівномірної стійкості (слабкої асимпто-
тичної стійкості).
3. Принцип інваріантності Ла-Салля. Розглянемо автономну розривну систему рівнянь
( )
dx
f x
dt
= , (8)
де ( ) : nf x D R→ , nD R⊂ . Припустимо, що область nD R⊂ розділена гладкою поверхнею
γ на області +σ і −σ так, що − += σ γ σ D вектор-функція ( )f x неперервна в областях
−σ і +σ . Поверхню розриву γ визначимо рівнянням ( ( ) 0)x tα = , області −σ та +σ визнача-
ються так: { : ( ( )) < 0}x D x t−σ = ∈ α , { : ( ( )) 0}x D x tγ = ∈ α = та { : ( ( )) > 0}x D x t+σ = ∈ α .
Далі означимо векторні функції
* *
– * *
* *
( ) lim ( ), ( ) lim ( ),
x x x x x x
f x f x f x f x x+
→ →− +
= = ∈γ
∈σ ∈σ
,
згідно з роботою [4]. Опуклу регуляризацію розривної системи (8) виконаємо на основі
функції ( )F x , яка визначається за формулою
−
−
β
+
+
⎧ ∈σ⎪⎪= ∈γ β ∈⎨
⎪
∈σ⎪⎩
( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ,
f x x
F x f x x
f x x
де –( ) ( ) (1 ) ( )f x f x F x+
β = β + −β .
Для системи (8) побудуємо матричнозначну функцію
( ) [ ( )], , 1, 2ijU x v x i j= = , (9)
при
[0,1],при
при
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1
До теорії стійкості розривних динамічних систем
елементи ( )ijv x якої будуються так:
− +σ →11 ( ) :v x R і співвідноситься з рівнянням −= ∈σ– ( ), ;
dx
f x x
dt
+ +σ →22 ( ) :v x R і співвідноситься з рівнянням +
+= ∈σ( ), ;
dx
f x x
dt
= σ→12 21( ) ( ) :v x v x R і співвідноситься з рівнянням β= ∈γ β ∈( ), , [0,1].
dx
f x x
dt
На основі функції (9) побудуємо скалярну функцію
T 2( , ) ( ) ,v x U x R+θ = θ θ θ∈ , (10)
і припустимо, що 2: nv R R R+ +× → .
Для функції (10) розглядатимемо узагальнений градієнт Кларка
( , ) co {lim ( , ) | , },i x i vi
v x v x x x∂ θ = ∇ θ → ∈Ω/
де vΩ — множина міри нуль, у якій вираз ( , )v x∇ θ не визначено.
Нехай 0( ) ( )x t S x∈ — розв’язок системи (8) у сенсі Філіпова і 2( , ) :v x D R R+ +θ × → —
локально ліпшицева неперервна та регулярна функція. Нехай функція ( ( ), )v x t θ абсолют-
но неперервна і майже всюди існує похідна ( ( ), ) /dv x t dtθ в силу системи (8). Крім того,
( ( ), )
( ( ), ),
dv x t
v x t
dt
θ ∈ θ
де
T
( ( ), )
( ( ), ) [ ]( ( )).
v x t
v x t K f x t
ξ∈∂ θ
θ = ξ
Для функції (10) розглядатимемо зв’язну компоненту cW множини { : ( , ) }nx R v x c∈ θ
і множину = ∈ θ{ : ( , ) 0}n
vZ x R v x . Має місце таке твердження.
Теорема 3 (пор. [4]). Припустимо, що для системи (8) на основі функції (9) побудовано
функцію (10), яка локально ліпшицева та регулярна, і виконуються умови:
1) існує постійна > 0c така, що 0 cW∈ і множина cW обмежена;
2) для будь-якого 0 cx W∈ розв’язок системи (8) 0( ) ( )x t S x∈ і множина vZ така, що
підмножина M є найбільшою слабо інваріантною в множині v cZ W∪ .
Тоді dist ( ( ), ) 0x t M → при t →+∞ .
Доведення теореми 3 аналогічне доведенню теореми 3.2 зі статті [4], де використовуєть-
ся звичайна скалярна функція Ляпунова.
Далі розглядатимемо множини 1 { : ( ) < 0}nQ x R c x= ∈ , 2 { : ( ) 0}nQ x R c x= ∈ = , де ( )c x —
неперервна регулярна функція, і { : ( , ) }n
l x R v x lΩ = ∈ θ , де
1
( , )sup
x Q
l v x
∈
= θ .
Має місце таке твердження.
Теорема 4 (пор. [4]). Припустимо, що для системи (8) побудовано функцію (10), яка є
локально ліпшицевою та регулярною. Якщо виконуються умови:
1) існує неперервна функція ( )c x така, що при всіх nx R∈ виконується
max ( ( ), ) ( )v x t c xθ − ;
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 1
А.А. Мартинюк
2) множина lΩ обмежена,
то для будь-якого 0 lx ∈Ω має місце включення ( ) lx t ∈Ω при всіх 0( ) ( )x S x⋅ ∈ .
Крім того, якщо ( )x ⋅ — обмежений розв’язок і M — найбільша слабо інваріантна під-
множина множини 2l QΩ ∪ , то dist ( ( ), ) 0x t M → при t →∞ .
Теорема 4 дає можливість досліджувати систему (8) з хаотичною поведінкою траєкто-
рій, а спосіб побудови функції ( , )v x θ полегшує проблему побудови відповідної функції
Ляпунова для розривної системи (8).
4. Підсумки. У разі використання матричнозначної функції (3) проблема аналізу стій-
кості стану 0x = системи (1) зводиться до алгебраїчної проблеми, що полягає в перевірці
знаковизначеності m m× -матриць jA , 1, 2, 3j = .
У теоремах 3, 4 формулюється принцип інваріантності Ла-Салля з урахуванням функ-
ції Ляпунова (10), для якої передбачається негативність повної похідної ( ( ), )v x t° θ .
Зауважимо, що розривні системи досліджувалися за допомогою векторної функції Ля-
пунова у роботі [5] і на основі матричнозначних відображень, що зберігають стійкість, у
роботі [6]. Становить інтерес поширення теорем 1—4 на розривні системи з неточними зна-
ченнями параметрів [7].
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой разрывной частью. Москва: Наука, 1985. 224 с.
2. Martynyuk A.A. Stability of motion: The role of multicomponent Lyapunov’s functions. Cambridge: Cam-
bridge Scientific Publishers, 2007. 305 p.
3. Clarke F.N. Optimization and nonsmooth analysis. New York: Wiley, 1983. 320 p.
4. Deriviére S., Aziz-Alaoui M.A. An invariance principle for discontinuous righthand sides dynamical systems.
Res. Reports. Dept. Math. Univ. Sherbrooke. 2006. № 31. P. 1—13.
5. Stipanovic D.M., Siljak D.D. Connective stability of discontinuous interconnected systems via parameter-
dependent Lyapunov functions. Proceedings of the 2001 American Control Conference (Arlington, VA, USA,
25—27 June, 2001). Arlington, 2001. P. 4189—4196. https://doi.org/10.1109/ACC.2001.945633
6. Мартынюк А.А. Об устойчивости движения разрывных динамических систем. Докл. АН. 2004. 397, № 3.
P. 308—312.
7. Martynyuk A.A., Martynyuk-Chernienko Yu.А. Uncertain dynamical systems. Stability and motion control.
Boca Raton: CRC Press, 2012. 296 p.
Надійшло до редакції 02.08.2022
REFERENCES
1. Filippov, A. F. (1985). Differential equations with discontinuous right-hand. Moscow: Nauka (in Russian).
2. Martynyuk, A. A. (2007). Stability of motion: The role of multicomponent Lyapunov’s functions. Cambridge:
Cambridge Scientific Publishers.
3. Clarke, F. N. (1983). Optimization and nonsmooth analysis. New York: Wiley.
4. Deriviére, S. & Aziz-Alaoui, M. A. (2006). An invariance principle for discontinuous righthand sides dynamical
systems. Res. Reports, Dept. Math. Univ. Sherbrooke, No. 31, pp. 1-13.
5. Stipanovic, D. M. & Siljak, D. D. (2001, June). Connective stability of discontinuous interconnected sys-
tems via parameter-dependent Lyapunov functions. Proceedings of the 2001 American Control Conference
(pp. 4189-4196). Arlington, VA. https://doi.org/10.1109/ACC.2001.945633
6. Martynyuk, A. A. (2004). On stability of motion of discontinuous dynamical systems. Dokl. Acad. Nauk, 397,
No. 3, pp. 308-312 (in Russian).
7. Martynyuk, A. A. & Martynyuk-Chernienko, Ya. A. (2012). Uncertain dynamical systems. Stability and
motion control. Boca Raton: CRC Press.
Received 02.08.2022
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1
До теорії стійкості розривних динамічних систем
A.A. Martynyuk
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: center@inmech.kiev.ua
ON THE THEORY OF STABILITY OF DISCONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS
The theory of differential equations with a discontinuous right-hand side finds application in problems of motion
control, in the study of systems with variable structure, in the analysis of automatic control systems with sliding
regime and others. The purpose of this article is to present some results of the study of stability obtained for the
specified class of systems based on the method of Lyapunov’s matrix-valued functions. These results are formulated
in terms of the sign-definiteness of special matrices, which are used to estimate the change in the Lyapunov
function and its generalized derivative.
Keywords: discontinuous systems, matrix-valued Lyapunov functions, stability, La-Salle invariance principle.
|