Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу
Розв’язано просторову задачу лінійної в’язкопружності для трансверсально ізотропного елемента конструкції (просторова пластина з круглим отвором). Використано конститутивні співвідношення в інтегральній формі Больцмана–Вольтерра. Інтеграли в конститутивних рівняннях перетворено до інкрементної форми...
Gespeichert in:
| Datum: | 2023 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2023
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/192988 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу / М.Ф. Селіванов, П.В. Фернаті // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 1. — С. 33-39. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-192988 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1929882023-07-28T15:27:22Z Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу Селіванов, М.Ф. Фернаті, П.В. Механіка Розв’язано просторову задачу лінійної в’язкопружності для трансверсально ізотропного елемента конструкції (просторова пластина з круглим отвором). Використано конститутивні співвідношення в інтегральній формі Больцмана–Вольтерра. Інтеграли в конститутивних рівняннях перетворено до інкрементної форми на часовій сітці. На кожному часовому інтервалі задача розв’язується відносно приростів переміщень. Функції релаксації модулів в’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу описано в експоненціальній формі. Для цих модулів за допомогою принципу пружно-в’язкопружної аналогії побудовано аналітичні вирази для конститутивної матриці методу скінченних елементів. Проілюстровано зміни напружень в площині пластини та поперечних напружень з часом на лінії концентрації. Числові приклади побудовано для середини відрізка концентрації напружень та її кінців. The 3-D problem of linear viscoelasticity for a transversely isotropic structural member (a 3-D plate with a circular hole) is solved. The constitutive equations in the Boltzmann-Volterra integral form were used. The integrals in the constitutive equations are converted to the incremental form on the time grid. At each time interval, the problem is solved with respect to displacement increments. The relaxation functions of viscoelastic transversally isotropic material modules are described in exponential form. Analytical expressions for the constitutive matrix of the finite element method were constructed for these modules using the principle of elastic–viscoelastic analogy. The changes of stresses in the plane of the plate and transverse stresses with time on the concentration line are illustrated. Numerical examples are constructed for the middle of the stress concentration line and its ends. 2023 Article Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу / М.Ф. Селіванов, П.В. Фернаті // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 1. — С. 33-39. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.01.033 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/192988 539.421 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Селіванов, М.Ф. Фернаті, П.В. Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу Доповіді НАН України |
| description |
Розв’язано просторову задачу лінійної в’язкопружності для трансверсально ізотропного елемента конструкції (просторова пластина з круглим отвором). Використано конститутивні співвідношення в інтегральній формі Больцмана–Вольтерра. Інтеграли в конститутивних рівняннях перетворено до інкрементної форми на часовій сітці. На кожному часовому інтервалі задача розв’язується відносно приростів
переміщень. Функції релаксації модулів в’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу описано в
експоненціальній формі. Для цих модулів за допомогою принципу пружно-в’язкопружної аналогії побудовано
аналітичні вирази для конститутивної матриці методу скінченних елементів. Проілюстровано зміни напружень в площині пластини та поперечних напружень з часом на лінії концентрації. Числові приклади побудовано для середини відрізка концентрації напружень та її кінців. |
| format |
Article |
| author |
Селіванов, М.Ф. Фернаті, П.В. |
| author_facet |
Селіванов, М.Ф. Фернаті, П.В. |
| author_sort |
Селіванов, М.Ф. |
| title |
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу |
| title_short |
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу |
| title_full |
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу |
| title_fullStr |
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу |
| title_full_unstemmed |
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу |
| title_sort |
дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2023 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/192988 |
| citation_txt |
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині зв’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу / М.Ф. Селіванов, П.В. Фернаті // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 1. — С. 33-39. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT selívanovmf doslídžennâzmínikoncentracíínapruženʹuprostorovíjplastinízvâzkopružnogotransversalʹnoízotropnogomateríalu AT fernatípv doslídžennâzmínikoncentracíínapruženʹuprostorovíjplastinízvâzkopružnogotransversalʹnoízotropnogomateríalu |
| first_indexed |
2025-07-16T18:53:46Z |
| last_indexed |
2025-07-16T18:53:46Z |
| _version_ |
1837830795121655808 |
| fulltext |
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1: 33—39
Ц и т у в а н н я: Селіванов М.Ф., Фернаті П.В. Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій
пластині з в’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1.
С. 33—39. https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.01.033
© Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2023. Стаття опублікована за умовами відкритого
доступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)
МЕХАНІКА
MECHANICS
https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.01.033
УДК 539.421
М.Ф. Селіванов, https://orcid.org/0000-0003-1266-4042
П.В. Фернаті, https://orcid.org/0000-0002-5521-2225
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: mfs@ukr.net, pavel147223@gmail.com
Дослідження зміни концентрації напружень
у просторовій пластині з в’язкопружного трансверсально
ізотропного матеріалу
Представлено академіком НАН України В.М. Назаренком
Розв’язано просторову задачу лінійної в’язкопружності для трансверсально ізотропного елемента кон-
струкції (просторова пластина з круглим отвором). Використано конститутивні співвідношення в ін-
тегральній формі Больцмана–Вольтерра. Інтеграли в конститутивних рівняннях перетворено до інкре-
ментної форми на часовій сітці. На кожному часовому інтервалі задача розв’язується відносно приростів
переміщень. Функції релаксації модулів в’язкопружного трансверсально ізотропного матеріалу описано в
експоненціальній формі. Для цих модулів за допомогою принципу пружно-в’язкопружної аналогії побудовано
аналітичні вирази для конститутивної матриці методу скінченних елементів. Проілюстровано зміни на-
пружень в площині пластини та поперечних напружень з часом на лінії концентрації. Числові приклади по-
будовано для середини відрізка концентрації напружень та її кінців.
Ключові слова: концентрація напружень, в’язкопружне тіло, трансверсально ізотропне тіло, інкрементне
в’язкопружне формулювання, метод скінченних елементів.
Вступ і постановка задачі. Мотивацією для поточної роботи є розробка ефективного алгоритму
дослідження концентрації напружень в просторовому елементі конструкції з в’язкопружного
трансверсально ізотропного матеріалу за допомогою надійного числового інструменту для про-
гнозування напружено-деформованого стану тіла з матеріалу зі спадковими характеристиками.
Детальний огляд підходів скінченно-елементного моделювання ізотропних та трансвер-
сально-ізотропних в’язкопружних матеріалів проведено в [1]. Для реалізації коду скінченних
елементів для визначення напружено-деформованого стану елемента конструкції з лінійно
в’язкопружного матеріалу було запропоновано підхід внутрішньої змінної, який вимагає лише
маніпулювання величинами, що оцінюються в точках інтегрування. Підхід внутрішньої змін-
ної використовувався в [2] для ортотропних в’язкопружних матеріалів. З цією метою було
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 1
М.Ф. Селіванов, П.В. Фернаті
перетворено складові конститутивного рів-
няння в інтегральній формі в інкрементну
форму на основі скінченних різниць, що
призводить до рекурсивних лінійних алге-
браїчних рівнянь. Це дозволило впровади-
ти у формулюванні методу скінченних еле-
ментів процедуру розв’язання задач ліній-
ної в’язкопружності. У дуже схожому під-
ході в [3] використовувалась інтегральна
форма конститутивних рівнянь в термінах
податливості замість релаксації щоб вивес-
ти інкрементні конститутивні рівняння для
лінійних в’язкопружних матеріалів.
Дана робота є продовженням [4], де
було представлено розв’язок задачі про
концентрацію напружень біля круглого
отвору у в’язкопружній ортотропній плас-
тині в умовах плоского напруженого стану.
Розрахунки проведемо для просторової пластини з центральним круговим отвором
(рис. 1). Пластину навантажено рівномірно розподіленим розтягувальним навантаженням.
Об’ємні сили відсутні. Матеріал вважаємо лінійно в’язкопружним трансверсально ізотроп-
ним із залежними від часу модулями 33E , 22E , 23G , 23ν . Тіло знаходиться в однорідному
температурному полі, переміщення є малими.
Система рівнянь для визначення напружено–деформованого стану тіла:
, , ,
1
0, ( ),
2ij j ij i j j iu uσ = ε = + ∈Ωx ,
, ,ij j j in Tσ = ∈∂Ωx ,
( ) ( )d ( ),
t
ij ijkl klt C t
−∞
σ = − τ ε τ∫ (1)
де ijσ , ijε і ijklC — компоненти тензорів напружень, деформацій та функцій релаксації; iu ,
iT і in — компоненти векторів переміщень, поверхневих сил та одиничного вектора нор-
малі до поверхні тіла; Ω — об’єм тіла; ∂Ω — частина поверхні, де задані поверхневі сили;
t — час. В силу симетрії задачу будемо розв’язувати на восьмій частині пластини, зазна-
ченій на рис. 1.
Розв’язання задачі. Інтегральний зв’язок між компонентами тензора напружень і де-
формацій для лінійного в’язкопружного матеріалу, що не старіє, (1), у загальному тривимір-
ному аналізі запишемо в матричній формі
( ) ( )d ( ),
t
i ik kt C t
−∞
σ = − τ ε τ∫
2AR
h
p
p
x1
x2
x3
2A
Рис. 1.
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині з в’язкопружного трансверсально...
де iσ та kε — компоненти векторів
T T
11 22 33 23 31 12 11 22 33 23 31 12{ , , , , , } , { , , , , , } .= σ σ σ σ σ σ = ε ε ε ε ε ε
Для імплементації в’язкопружної моделі в розрахункову схему метода скінченних еле-
ментів запишемо приріст напружень на часовому інтервалі 1( , )n nt t−
−− = − +( ) ( 1) ( ) ( )ˆ ,n n n n
де ( ) ( )n
nt= , ( ) ( )n
nt= ( — внутрішня змінна задачі), ( )ˆ ˆ ( )n
nt= ,
–1
( )
1[ ( ) ( )]d ( ),
tn
n
ik n ik n ki C t C t −
−∞
σ = − − τ − − τ ε τ∫
( )
1
ˆ ( )d ( ).
tn
n
ik n ki
tn
C t
−
σ = − τ ε τ∫
Будемо визначати вектор інкременту переміщень ( )nΔu та деформацій ( )nΔ в елементі,
( ) T ( ) ( ) T ( )N , Bn n n nΔ = Δ Δ = Δu q q
з дискретизованої системи алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується для невідомих прирос-
тів вузлових переміщень, ( )nΔq :
( ) ( 1) ( ),n t n n−Δ = − +K q F F F
де
T ( ) d ,n
e
V
Ω
= ∫K B E B
T ( ) T ( ) ( ) T ( )d , d , d ,t n n n n
e e e
S V V
∂Ω Ω Ω
= = =∫ ∫ ∫F N T F B F B
B — стандартна матриця деформації–переміщення, яка пов’язує деформації з вектором
вузлового переміщення; T — вектор поверхневих сил; N — вектор функцій форм; K — ін-
крементна матриця жорсткості; eΩ — об’єм елемента; e∂Ω — його границя.
Якщо функції релаксації матеріалу визначено в формі ряду Проні–Діріхле (далі будемо
вказувати індекси, за якими йде підсумовування; за іншими індексами, що повторюються,
підсумовування немає)
∞= + − ρ∑ ( ) ( )( ) exp{ / },m m
ik ik ik ik
m
C t E E t
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 1
М.Ф. Селіванов, П.В. Фернаті
то внутрішню змінну можна визначати рекурсивно:
( ) ( , ) ( , )(1 ) ,n m n m n
i ik ik
m k
Sσ = −ζ∑∑
( , 1) ( ) (0),m m
ik ik kS E= ε
( , ) ( , 1) ( , 1) ( , 1) ( , 1) ( 1)(1 ) , 2, ,m n m n m n m n m n n
ik ik ik ik ik kS S n− − − − −= ζ +η −ζ Δε =
елементи матриці ( )nE ,
( ) ( , ) ( , )(1 ),n m n m n
ikik ik ik
m
E E ∞= + η −ζ∑
( ) ( )
( , ) ( ) ( , )exp{ / }, .
m m
m n m m n ik ik
nik ik ik
n
E
t
t
ρ
ζ = −Δ ρ η =
Δ
Величини ( , )m n
ikS рекурентно визначаються в точках інтегрування на кожному часово-
му інтервалі. Матриця K не потребує переобчислення для кожного n за рівномірного роз-
биття інтервалу часу, на якому проводиться дослідження.
Числовий розв’язок. Дослідимо зміну з часом концентрації напружень біля кругового
отвору в трансверсально ізотропній пластині заданої товщини. Матриця жорсткості для за-
дачі теорії пружності має наступний вигляд:
21 32 21 32 23 32 21 32
22 33 22 33 22 33
21 32 32 21 32
22 33 22 33
2
21
2
22
23
23
22
21
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0 ,
симетрія 0 0
0
2(1 )
E E E E E E
E E E E
D
E
G
G
E
−ν ν ν +ν ν ν +ν ν⎡ ⎤
⎢ ⎥Δ Δ Δ⎢ ⎥
⎢ ⎥−ν ν ν +ν ν
⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥
⎢ ⎥−ν⎢ ⎥=
⎢ ⎥Δ
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥+ ν⎣ ⎦
21 21 23 32
23 33 32 22 2
22 33
(1 )(1 2 )
, .E E
E E
+ν −ν − ν ν
ν = ν Δ =
(2)
Побудуємо в’язкопружний аналог цієї матриці для випадку, коли кожен з модулів 33E ,
22E , 23G задано однією експоненціальною функцією з тим самим часом релаксації:
1 1
33 33 33 22 22 22( ) exp{ / }, ( ) exp{ / },E t E E t E t E E t∞ ∞= + − ρ = + − ρ
1
23 23 23 21 32( ) exp{ / }, const, const.G t G G t∞= + − ρ ν = ν =
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині з в’язкопружного трансверсально...
В цьому випадку легко знайти в’язкопружний аналог матриці [ ]ijD=D . Для цього під-
ставимо в (2) перетворення Лапласа–Карсона відповідних модулів. Обернене перетво-
рення дає
1
11 2
1
( ) exp{ / } exp{ / },
b b
D t t c t
a a
∞
∞
= + − ρ − − ρ
1
12 2
1
( ) exp{ / } exp{ / },
d d
D t t c t
a a
∞
∞
= + − ρ − − ρ
1 1
22 33 22 33
13 32 2
1
( ) exp{ / } 2 exp{ / } ,
E E E E
D t t c t
a a
∞ ∞
∞
⎡ ⎤
= ν + − ρ − − ρ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
2 1 2
233 33
33 21 32 2
1
( ) ( )
( ) (1 ) exp{ / } 4 exp{ / },
E E
D t t c t
a a
∞
∞
⎡ ⎤
= −ν + − ρ − ν − ρ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
22
44 55 23 66
21
( )
( ) ( ) ( ), ( ) ,
2(1 )
E t
D t D t G t D t= = =
+ν
де
2
20 33 32 22
2 33 21 32 22 22
21
, (1 ) 2 , ,
1
i i
i i i
i i
a E E
a E E b E
a∞
−ν
ρ = ρ = −ν − ν =
+ν
2 0 0 2 2
21 32 22 33 22 33 21 33 32 22
22
0 1 21
(1 ) ( )
, ,
1
i i
i
i
E E E E E E
c d E
a a a
∞ ∞
∞
−ν ν − ν +ν
= =
+ν
0,1,i = ∞ .
Числові розв’язки отримано для наступних значень вихідних параметрів задачі:
0 1
33 33 33 7E E E∞= + = ГПа, 33 6,5E ∞ = ГПа, 0 1
22 22 22 5,5E E E∞= + = ГПа, 22 3E ∞ = ГПа, 0
23 23G G∞= +
1
23 3G+ = ГПа, 23 1G∞ = ГПа, 21 32 0,3ν = ν = , 20ρ = сек, 10A = см, 4R = см.
На рис. 2 зображені напруження на лінії концентрації, що відповідають моменту часу
0t = с (розв’язок задачі теорії пружності), 0x = відповідає площині симетрії пластини.
5,0
4,8
4,6
4,4
0 0,01 0,02
t = 0 с
h = 1 см
h = 1 см
10 см
10 см
3 см
3 см
0,03 0,04 0,05
X, м
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
0.6
0.4
0.2
0
Рис. 2.
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 1
М.Ф. Селіванов, П.В. Фернаті
Для великих значень товщини максимальне напруження спостерігається не на площині
симетрії. З ростом товщини різниця між напруженням на границі і в площині симетрії
збільшується.
На рис. 3 проілюстровано функції релаксації та відносне розтягувальне напруження на
лінії концентрації для декількох значень товщини пластини. Нижня крива на блоках, де
відображені напруження, відповідає граничній поверхні пластини, верхня — площині симе-
трії. Аналогічно на рис. 4 проілюстровано відносне поперечне напруження. На границі по-
перечні напруження є близькими до нуля на всьому часовому інтервалі, тобто на поверхні
пластини реалізується плоский напружений стан.
Таким чином, в роботі на прикладі дослідження концентрації напружень біля конту-
ру отвору проілюстровано метод визначення напружено-деформованого стану лінійно
в’язкопружних трансверсально ізотропних елементів конструкцій.
Е
ij/1
010
П
а
E22
G32
n23
E33
0.6
0.4
0.2
h = 1 см
h = 3 см h = 10 см
x = h/2
x = h/2
x = h/2
x = 0
x = 0 x = 0
lg [t, c]
0,5 2,01,0 1,5
6
7
5
6
7
5
4
6
7
5
00,5 2,01,0 1,50
0.06
0.04
0.02
0
0.6
0.4
0.2
0
0.15
0.05
0
0.10
0.20h = 1 см h = 3 см
h = 10 см
x = h/2
x = h/2
x = h/2
x = 0
x = 0
x = 0
lg [t, c]
lg [t, c]
0,5 2,01,0 1,50
0,5 2,01,0 1,50
Рис. 3.
Рис. 4.
39ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 1
Дослідження зміни концентрації напружень у просторовій пластині з в’язкопружного трансверсально...
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Zobeiry N. та ін. A differential approach to finite element modelling of isotropic and transversely isotropic vis-
coelastic materials. J. Mechanics of Materials. 2016. 97. P. 76-91. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2016.02.013
2. Zocher M.A., Groves S.E., Allen D.H. A three dimensional finite element formulation for thermovisco elas tic
orthotropic media. Int. J. Numer. Meth. Engng. 1997. 40. № 12. P. 2267-2288.
https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19970630)40:12<2267::AID-NME156>3.0.CO;2-P
3. Chazal C., Pitti R.M. Incremental constitutive formulation for time dependent materials: creep integral
approach. J. Mech. Time-Dep. Mater. 2011. 15. P. 239-253. https://doi.org/10.1007/s11043-011-9135-z
4. Селіванов, М.Ф., Кульбачний Є.Р., Онищенко Д.Р. Дослідження зміни концентрації напружень з часом
у в’язкопружному ортотропному тілі. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 10. C. 28-34.
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.028
Надійшло до редакції 28.09.2022
REFERENCES
1. Zobeiry, N. and all (2016). A differential approach to finite element modelling of isotropic and transversely isotropic
viscoelastic materials. J. Mechanics of Materials, 97, pp. 76-91. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2016.02.013
2. Zocher, M. A., Groves, S. E. & Allen, D.H. (1997). A three dimensional finite element formulation for ther mo-
viscoelastic orthotropic media. Int. J. Numer. Meth. Engng., 40, No. 12, pp. 2267-2288.
https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19970630)40:12<2267::AID-NME156>3.0.CO;2-P
3. Chazal, C. & Pitti, R. M. (2011). Incremental constitutive formulation for time dependent materials: creep
integral approach. J. Mech. Time-Dep. Mater., 15, pp. 239-253. https://doi.org/10.1007/s11043-011-9135-z
4. Selivanov, M., Kulbachnyy, Y. & Onishchenko, D. (2020). Determining the change of stress concentration
with time in a viscoelastic orthotropic solid. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 10, pp. 28-34 (in Ukrainian).
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.028
Received 28.09.2022
M.F. Selivanov, https://orcid.org/0000-0003-1266-4042
P.V. Fernati, https://orcid.org/0000-0002-5521-2225
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: mfs@ukr.net, pavel147223@gmail.com
DETERMINING THE CHANGE OF STRESS CONCENTRATION
WITH TIME IN A 3-D VISCOELASTIC TRANSVERSE ISOTROPIC PLATE
The 3-D problem of linear viscoelasticity for a transversely isotropic structural member (a 3-D plate with a
circular hole) is solved. The constitutive equations in the Boltzmann-Volterra integral form were used. The
integrals in the constitutive equations are converted to the incremental form on the time grid. At each time
interval, the problem is solved with respect to displacement increments. The relaxation functions of viscoelastic
transversally isotropic material modules are described in exponential form. Analytical expressions for the
constitutive matrix of the finite element method were constructed for these modules using the principle of
elastic–viscoelastic analogy. The changes of stresses in the plane of the plate and transverse stresses with time on
the concentration line are illustrated. Numerical examples are constructed for the middle of the stress
concentration line and its ends.
Keywords: stress concentration, viscoelastic solid, transverse isotropic solid, incremental viscoelastic formula-
tion, finite element method.
|