Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю

Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю

Побудовано модель динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією, поведінка траєкторій якої визначається набором додатніх параметрів. Доведено існування нерухомих станів та досліджено їхні властивості, а саме встановлено явний вигляд нерухомих рівноважних станів та досліджено питання про сті...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2023
1. Verfasser: Сатур, О.Р.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2023
Schriftenreihe:Доповіді НАН України
Schlagworte:
Математика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/195860
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю / О.Р. Сатур // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 3-8. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-195860
record_format dspace
spelling irk-123456789-1958602023-12-07T16:15:14Z Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю Сатур, О.Р. Математика Побудовано модель динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією, поведінка траєкторій якої визначається набором додатніх параметрів. Доведено існування нерухомих станів та досліджено їхні властивості, а саме встановлено явний вигляд нерухомих рівноважних станів та досліджено питання про стійкість. This study focuses on the construction of a model for dynamic conflict systems with attractive interaction. The behavior of trajectories in this system is influenced by a set of positive parameters. The existence of equilibrium states is proven, and their properties are examined. An explicit form of equilibrium states is established, and the issue of stability is investigated. 2023 Article Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю / О.Р. Сатур // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 3-8. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/195860 517.9 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Сатур, О.Р.
Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю
Доповіді НАН України
description Побудовано модель динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією, поведінка траєкторій якої визначається набором додатніх параметрів. Доведено існування нерухомих станів та досліджено їхні властивості, а саме встановлено явний вигляд нерухомих рівноважних станів та досліджено питання про стійкість.
format Article
author Сатур, О.Р.
author_facet Сатур, О.Р.
author_sort Сатур, О.Р.
title Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю
title_short Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю
title_full Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю
title_fullStr Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю
title_full_unstemmed Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю
title_sort збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2023
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/195860
citation_txt Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю / О.Р. Сатур // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 3-8. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT saturor zbižnistʹdorivnovažnogoatraktoraumodelâhdinamíčnihsistemkonflíktuzpritâgalʹnoûvzaêmodiêû
first_indexed 2025-07-17T00:07:26Z
last_indexed 2025-07-17T00:07:26Z
_version_ 1837850529460387840
fulltext 3ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3: 3—8 Ц и т у в а н н я: Сатур О.Р. Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3. С. 3—8. https://doi.org/10.15407/ dopovidi2023.03.003 © Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2023. Стаття опублікована за умовами відкритого до- ступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/) https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.003 УДК: 517.9 О.Р. Сатур, https://orcid.org/0000-0001-6318-2145 Інститут математики НАН України, Київ E-mail: oksana@satur.in.ua Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю Представлено членом-кореспондентом НАН України О.А. Бойчуком Побудовано модель динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією, поведінка траєкторій якої ви- значається набором додатніх параметрів. Доведено існування нерухомих станів та досліджено їхні власти- вості, а саме встановлено явний вигляд нерухомих рівноважних станів та досліджено питання про стійкість. Ключові слова:. динамiчна система конфлiкту, рiзницеве рiвняння, перетворення (композицiя чи вiдображення) конфлiкту, притягальна взаємодiя, нерухома точка, граничний стан, стiйкiсть граничного стану, дискретна мiра, стохастичний вектор. Рівномірний розподіл значно частіше фігурує у математичних теоріях, ніж у реальному житті. Політичні системи, в основу яких покладені ідеї соціальної рівності та рівномірного розподілу благ, є приреченими на розпад. У біологічних популяціях відносно рівномірний розподіл особин можливий у випадку, коли між ними існує дуже сильна конкуренція. Це означає, що ймовірність перебування двох особин поруч є досить малою, що сприяє рівномірному розподілу. Такий тип розподілу присутній у хижих риб та тварин, яким притаманна територіальність. У математичних моделях такі системи описуються конфліктною взаємодією з відштовхуванням. Одним з найпростіших законів, що описує динаміку чисельності внутрішньо конкурентної популяції, є відоме логістичне різницеве рівняння 1 (1 )n n nx rx x   , де nx відображає чисельність популяції на n-му році, параметр r характеризує швидкість росту популяції. Це рівняння є прикладом простого нелінійного рівняння, яке залежно від значення параметра r описує складну та навіть хаотичну поведінку. Найчастiше у природi ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА MATHEMATICS 4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3 О.Р. Сатур спостерiгається груповий розподiл. Причинами утворення рiзних скупчень може бути просторова нерiвномiрнiсть розподiлу ресурсiв для iснування, складнi внутрiшньовидовi взаємини або ж розмноження особин, нездатних дистанцiюватися однi вiд одних. Далi побудовано модель динамiчної системи, що описує рiвномiрний або груповий розподiл особин популяцiї на деякому ресурсному просторi iснування 1 2{ , , ..., }n     , 1n> . Зафiксуємо на  деяку ймовiрнiсну дискретну мiру  , яка вiдповiдатиме деякiй популяцiї. Значення цiєї мiри ( ) :i ip   , 1, ...,i n характеризує щiльнiсть розподiлу популяцiї в регiонi iснування i . За побудовою 1i i p  . Тому послiдовнiсть ( )i  визначає в n  стохастичний вектор 1 2( , , ..., )np p pp . Боротьбу за життєвi ресурси, зосередженi в кожному з регiонiв простору, описуємо в термiнах мiри v, значення якої в точках визначаються так: 1 ( ) 1( ) : 1 1 i i i i p r n n           . Легко перевiрити, що цi значення також утворюють стохастичний вектор 1 2( , , ..., ) n nr r r  r . Ве- личини ( )iv  можна iнтерпретувати як усереднення розподiлу  (mean fi eld) на пiдмно жинi \ i  . Дослiдимо поведiнку траєкторiй динамiчної системи з дискретним часом у термiнах стохастичних векторiв , 1tt t p p , 0,1, 2, ...t  , 0( )p p , (1) де  позначає перетворення, яке вiдповiдає динамiцi змiни популяцiї на просторi iснування  . У термiнах координат закон конфлiктної динамiки визначається наступними формулами: 1 (1 )t t i i it i t p c r p z    , 0 1ic  , 1, ...,i n , (2) де 1 1 t t i i pr n    , а нормувальний знаменник tz забезпечує стохастичнiсть вектора 1tp . Набiр сталих ic трактується як незмiннi з часом t сприятливi умови для iснування популяцiї в кожному з регiонiв i вiдповiдно. Зауважимо, що у роботах [1—3] побудовано математичні моделі динамiчних систем конфлiкту, що описують поведiнку iндивiдiв у соцiумi. Динамiка в одній з таких моделей описується різницевими рiвняннями і зветься динамікою з вiдштовхувальною взаємодiєю: 1 (1 )t t i i it i t p c r p z    , 0 1ic  . Вибiр притягальної взаємодiї докорiнно змiнює динамiку системи й iстотно впливає на її властивостi. Далi проведено аналiз поведiнки траєкторiй (1), заданих рiвняннями (2), у термiнах координат стохастичних векторiв tp , tr . Припустимо, що у формулах (2) всi 1ic  для всiх 1, ...,i n , тобто умови для iснування популяцiї однаковi в кожному з регiонiв i та незмiннi з часом. Тодi рiвняння (2) можна 5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3 Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю переписати у виглядi 1 (1 )t t i it i t p r p z    , 1, ...,i n . (3) Далi дослiдимо властивостi траєкторiй (1) в такому випадку. Зауважимо, що поведiнка динамiчної системи є аналогiчною для випадку, коли всi сталi ic дорiвнюють деякому додатному числу c. Нижче буде показано, що змiна координат векторiв tp , tr згiдно з рiвняннями (3) приводить до того, що всi ненульовi координати цих векторiв стають рiвними мiж собою при t , а це вiдповiдає рiвномiрному розподiлу на просторi . Зауважимо, що рівність p r можлива тодi i тiльки тодi, коли 1 i ip r n   для усіх 1, ...,i n . Якщо ввести величину 2 2 1 : ( ) || || n t t t i i L p    p , то перетворення  можна переписати лише в термiнах координат вектора tp : 1t t t i i ip p k   , t t i i t n pk n L    . (4) Позначимо через M множину всiх нульових координат вектора p , тобто { : 0}i iM p p  , а через ( )M — потужнiсть цiєї множини. З рiвнянь (4) зрозумiло, що M та ( )M не залежать вiд часу t . З формули (4) випливає справедливість наступних тверджень та лем Твердження 1. Якщо i jp p для деяких i , j , то для всіх 0,1, ...t  виконується t t i jp p . Твердження 2. Якщо для деякого 1, ..., 0j  0ip  , то для довільного t справедливо 0t ip  , 1 1 t ir n   . Твердження 3. Нехай min tp та max tp — мінімальна та максимальна координати вектора tp відповідно, 2|| ||t tL  p . Тоді для будь-якого 0,1, ...t  справедливі нерівності min max t t tp L p  . Лема 1. Послiдовнiсть 2|| ||t tL  p , 0,1, ...t  є спадною. Лема 2. Якщо ip L , то послiдовнiсть 0{ }t i tp   є спадною. Лема 3. Послiдовнiсть 2|| ||t tL  p , 0,1, ...t  змiнюється у межах 1 1tL n m   , ( )m M  . Твердження 4. Послiдовнiсть 2|| ||t tL  p , 0,1, ...t  є збiжною, тобто iснує lim t t L L   . З тверджень 1—4 та лем 1—3 випливає доведення наступної теореми: Теорема 1. Кожна траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (1) з довiльним початковим стохастичним вектором n p  , 1n  , еволюцiя якої задана формулами (4), збiгається до граничного стану, який є нерухомою точкою lim t t   p p . При цьому, 1) якщо ( ) 0M  , то  p r і 1 i ip r n    ; 2) якщо ( )M m  , m n< , то  p r і для всіх ip M 0ip  , 1 1ir n    , 6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3 О.Р. Сатур а для всіх ip M 1 ip n m    , 1 ( 1)( )i n mr n n m       . Граничний стан стiйкий лише у випадку (1 ,1 , ...,1 )n n n  p r . Далi розглянемо випадок, коли всi параметри ic є рiзними та покажемо, що саме набір параметрiв повністю визначає вигляд граничного стану системи. Завдяки тому, що фiксований набір сталих параметрiв ic задається при 0t  і не залежать від часу t , граничний стан системи є стiйким. Враховуючи, що 1 1 t t i i pr n    , рівняння (2) можна переписати у вигляді 1 , 1 (1 ) 1 t i it t t t i i i i ct c n c p p p p k n L           , 1,t  , 1 (1 ) 1 t t i i i c t c n c pk n L       , 1 (1 ) n t t t c i i i i L c p p    . Нижче будемо використовувати позначення (1 )t t i i ic p   . Твердження 5. Нехай для деяких i , ( )j i j параметр ic дорiвнює параметру jc , тобто i jc c c  , причому t t i jp p . Тодi 1 1t t t t i j i j         . Теорема 2. Нехай 2 p  . Тодi кожна траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (1) збiгається до стiйкого граничного стану, який є нерухомою точкою lim t t   p p , причому 1 2 1 2 1 2 ,c c c c c c         p . Теорема 3. Нехай 3 p  , причому для кожного 1, 2, 3i  виконується одна з умов t t i cL  або t t i cL  для довiльного t. Тодi кожна траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (1) збiгається до граничного стану, який є нерухомою точкою lim t t   p p . Причому, 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 , ,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c                  p , якщо для всіх , , 1, 2, 3i j k  , i j k  j k i j k c c c c c   . (5) Зауважимо, що якщо для деякого i виконується нерівність j k i j k c c c c c  , то ( ) ( ) 0 j k j k j k i j k j k j k j k j k i i j i k j k i j i k j k i j i k j k c c c c c c c c c c c c c c c c c p c c c c c c c c c c c c c c c c c c                  , 7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3 Збiжнiсть до рiвноважного атрактора у моделях динамічних систем конфлікту з притягальною взаємодiєю але випадок 0ip < неможливий, тому 0ip  . Отже, якщо для деякого i -го iндексу умова (5) порушується, то вiдповiдна координата ip прямує до 0 при t  . Теореми 2 та 3 припускають узагальнення на випадок n p  , 3n  . При цьому явний вигляд умови (5) значно ускладнюється і встановлюється для кожного випадку 3n  окремо. Теорема 4. Нехай n p  , 3n  . Припустимо для кожного 1, ...,i n починаючи з деяко- го моменту часу *t виконується одна з умов t t i cL     або t t i cL     . Тоді кожна траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (1) збiгається до граничного стану, який є нерухомою точ- кою lim t t   p p . Причому, для довільного 1, ...,i n виконується одна з рівностей 0ip  або 1 2( , , ..., )i i np f c c c  , де 1 2( , , ..., )i nf c c c набуває доданього значення. Можна припустити, що кожен з параметрів ic впливає на розподіл популяцiї та призводять до збiльшення чи зменшення кількості особин популяцiї в деяких регiонах i простору існування  . Явний вигляд граничних векторiв демонструє, що чим бiльше значення сталої ic , тим бiльше значення вiдповiдної i -ї граничної координати. Тобто сприятливi умови для iснування популяцiї в деякому регiонi зумовлюють збiльшення кiлькостi особин популяцiї в цьому регiонi. Отже, така модель динамічної системи може описувати випадковий, груповий або рiвномiрний розподiл особин у популяцiї згiдно з класифiкацiєю Швердтфегера [4]. Досягнути випадкового розподілу можна шляхом випадкого вибору значень набору параметрів ic , 1, ...,i n на кожному кроці часу t . Дослiдження формування людських думок та поглядiв є досить актуальною математичною задачею. В роботах [5—7] описуються математичнi моделi, якi допомагають визначити та проаналiзувати, яким чином люди приймають рiшення та як вiдбувається формування їхнiх думок. Математично підтверджено, що здебільшого кожна людина схиляється до прийняття думки бiльшостi серед своїх сусiдiв. Вищенаведена модель може бути застосована до опису формування думок iндивiдiв, якi з певним перiодом часу стають однодумцями у випадку, коли всі параметри ic , 1, ...,i n рівні між собою та набувають сталого значення в проміжку [0, 1]. В подальших дослідженнях можливий розгляд поведінки траєкторій такого виду системи при зміні параметрів ic , 1, ...,i n на кожному кроці часу t, тобто набір параметрів може задаватися як деякий набір функцій чи набувати матричних значень. При такій постановці задачі можливе досягнення періодичності траєкторій чи виявлення ефекту синхронізації між деякими координатами [див. 8—10]. Дослiдження виконувалися в рамках проєкту Нацонального фонду дослiджень України, 2020.02/0089. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Karataeva T.V., Koshmanenko V.D. Society, mathematical model of a dynamical system of conflict. J. Math. Sci. 2020. 247. P. 291—313. https://doi.org/10.1007/s10958-020-04803-3 2. Karataieva T., Koshmanenko V., Krawczyk M., Kulakowski K. Mean field model of a game for power. Physica A. 2019. 525. P. 535—547. https://doi.org/10.1016/j.physa.2019.03.110 3. Кошманенко В.Д. Спектральна теорiя динамiчних систем конфлiкту. Київ: Наук. думка, 2016. 287 с. 8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3 О.Р. Сатур 4. Schwerdtfeger F. Ökologie der Tiere, Bd. II: Demökologie. Struktur und Dynamik tierischer Populationen. Berlin: Paul Parey Vlg., 1968. 450 s. 5. Hu H. Competing opinion diffusion on social networks. R. Soc. Open Sci. 2017. 4, № 11. 13 pp. https://doi. org/10.1098/rsos.171160 6. Moinet A., Barrat B., Pastor-Satorras R. Generalized voterlike model on activity-driven networks with attractiveness. Phys. Rev. E. 2018. 98. 022303. 9 pp. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.98.022303 7. Satur O.R., Kharchenko N.V. A model of dynamical system for the attainment of consensus. Ukr. Math. J. 2020. 71, № 9. P. 1456—1469. https://doi.org/10.1007/s11253-020-01725-w 8. Сатур О.Р. Залежнiсть поведiнки траєкторiй динамiчних систем конфлiкту вiд вектора взаємодiї. Нелiнiйнi коливання. 2021. 25, №1. P. 72—88. 9. Burylko O. Collective dynamics and bifurcations in symmetric networks of phase oscillators. I. J. Math. Sci. 2020. 249, №4. P. 573—600. https://doi.org/10.1007/s10958-020-04959-y 10. Burylko O. Collective dynamics and bifurcations in symmetric networks of phase oscillators. II. J. Math. Sci. 2021. 253, №2. P. 204—229. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05223-7 Надійшло до редакції 06.03.2023 REFERENCES 1. Karataeva, T. V. & Koshmanenko, V. D. (2020). Society, mathematical model of a dynamical system of conflict. J. Math. Sci., 247, pp. 291-313. https://doi.org/10.1007/s10958-020-04803-3 2. Karataieva, T., Koshmanenko, V., Krawczyk, M. & Kulakowski, K. (2019).Mean field model of a game for power. Physica A, 525, pp. 535-547. https://doi.org/10.1016/j.physa.2019.03.110 3. Koshmanenko, V. (2016). Spectral Theory for Conflict Dynamical Systems (in Ukrainian). Kyiv: Naukova Dumka. 4. Schwerdtfeger, F. (1968). Ökologie der Tiere, Bd. II: Demökologie. Struktur und Dynamik tierischer Popula- tionen. Berlin: Paul Parey Vlg. 5. Hu, H. (2017). Competing opinion diffusion on social networks. R. Soc. Open Sci., 4, No. 11. https://doi. org/10.1098/rsos.171160 6. Moinet, A., Barrat, B. & Pastor-Satorras, R. (2018). Generalized voterlike model on activity-driven networks with attractiveness. Phys. Rev. E., 98, 022303, 9 p. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.98.022303 7. Satur, O. R. & Kharchenko, N. V. (2020). The model of dynamical system for the attainment of consensus. Ukr. Math. J., 71, No. 9, pp. 1456-1469. https://doi.org/10.1007/s11253-020-01725-w 8. Satur, О. R. (2021). Dependence of the behavior of the trajectories of dynamic conflict systems on the interaction vector. Nonlinear Oscillations, 25, No. 1, pp. 72-88. 9. Burylko, O. (2020). Collective dynamics and bifurcations in symmetric networks of phase oscillators. I. J. Math. Sci., 249, No. 4, pp. 573-600. https://doi.org/10.1007/s10958-020-04959-y 10. Burylko, O. (2021). Collective dynamics and bifurcations in symmetric networks of phase oscillators. II. J. Math. Sci., 253, No. 2, pp. 204-229. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05223-7 Received 06.03.2023 O.R. Satur, https://orcid.org/0000-0001-6318-2145 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: oksana@satur.in.ua CONVERGENCE TO EQUILIBRIUM ATTRACTOR IN MODELS OF DYNAMIC CONFLICT SYSTEMS WITH ATTRACTIVE INTERACTION This study focuses on the construction of a model for dynamic conflict systems with attractive interaction. The behavior of trajectories in this system is influenced by a set of positive parameters. The existence of equilibrium states is proven, and their properties are examined. An explicit form of equilibrium states is established, and the issue of stability is investigated. Keywords: dynamic conflict system, difference equation, conflict interaction (composition or mapping), attractive interaction, fixed point, limit state, stability of limit state, discrete measure, stochastic vector.

Ähnliche Einträge