Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень

Розроблено векторну модель подання сигналу-зображення на основi поняття потоку абстрактної вектор-функцiї. Через визначення скалярного добутку та метрики побудовано та дослiджено гiльбертовi сепарабельнi простори операторного подання наборiв зображень. Визначено задачу факторизацiї цих просторiв для...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Грицик, В.В., Пелешко, Д.Д., Рашкевич, Ю.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2010
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19718
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень / В.В. Грицик, Д.Д. Пелешко, Ю.М. Рашкевич // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 45-50. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-19718
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-197182011-05-13T12:03:55Z Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень Грицик, В.В. Пелешко, Д.Д. Рашкевич, Ю.М. Інформатика та кібернетика Розроблено векторну модель подання сигналу-зображення на основi поняття потоку абстрактної вектор-функцiї. Через визначення скалярного добутку та метрики побудовано та дослiджено гiльбертовi сепарабельнi простори операторного подання наборiв зображень. Визначено задачу факторизацiї цих просторiв для подальшої розробки методiв попередньої обробки зображень та наборiв зображень. A vector model of representation of a signal-image on the basis of the notion of the flow of an abstract vector-function is developed. By defining a scalar product and a metric, Hilbert separable spaces for the operator representation of sets of images are constructed and studied. The problem of the factorization of these spaces is posed for the further development of methods of the preliminary processing of images and sets of images. 2010 Article Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень / В.В. Грицик, Д.Д. Пелешко, Ю.М. Рашкевич // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 45-50. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19718 681.142.2;622.02.658.284;621.325 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Грицик, В.В. Пелешко, Д.Д. Рашкевич, Ю.М. Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень Доповіді НАН України
description	Розроблено векторну модель подання сигналу-зображення на основi поняття потоку абстрактної вектор-функцiї. Через визначення скалярного добутку та метрики побудовано та дослiджено гiльбертовi сепарабельнi простори операторного подання наборiв зображень. Визначено задачу факторизацiї цих просторiв для подальшої розробки методiв попередньої обробки зображень та наборiв зображень.
format	Article
author	Грицик, В.В. Пелешко, Д.Д. Рашкевич, Ю.М.
author_facet	Грицик, В.В. Пелешко, Д.Д. Рашкевич, Ю.М.
author_sort	Грицик, В.В.
title	Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень
title_short	Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень
title_full	Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень
title_fullStr	Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень
title_full_unstemmed	Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень
title_sort	гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19718
citation_txt	Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень / В.В. Грицик, Д.Д. Пелешко, Ю.М. Рашкевич // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 45-50. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gricikvv gílʹbertovíprostoriuvektorníjmodelípodannâzobraženʹínaborívzobraženʹ AT peleškodd gílʹbertovíprostoriuvektorníjmodelípodannâzobraženʹínaborívzobraženʹ AT raškevičûm gílʹbertovíprostoriuvektorníjmodelípodannâzobraženʹínaborívzobraženʹ
first_indexed	2025-07-02T20:34:07Z
last_indexed	2025-07-02T20:34:07Z
_version_	1836568750707441664
fulltext	УДК 681.142.2;622.02.658.284;621.325 © 2010 Член-кореспондент НАН України В. В. Грицик, Д.Д. Пелешко, Ю.М. Рашкевич Гiльбертовi простори у векторнiй моделi подання зображень i наборiв зображень Розроблено векторну модель подання сигналу-зображення на основi поняття потоку абстрактної вектор-функцiї. Через визначення скалярного добутку та метрики побу- довано та дослiджено гiльбертовi сепарабельнi простори операторного подання наборiв зображень. Визначено задачу факторизацiї цих просторiв для подальшої розробки ме- тодiв попередньої обробки зображень та наборiв зображень. Постановка задачi. Метою роботи є побудова гiльбертових сепарабельних просторiв для наборiв зображень для органiзацiї теоретичних дослiджень методами диференцiальної гео- метрiї та функцiонального аналiзу. Для досягнення цiєї мети необхiдно ввести скалярний добуток i метрику в просторi зображень як стохастичних сигналiв. Практичним завданням є визначення задачi факторизацiї простору набору зображень для побудови нових методiв обробки. Модель подання зображення та наборiв зображень. Дискретне подання цифро- вого зображення (надалi — просто зображення) є вiдображенням скiнченного дискретного набору значень з N2,+. Функцiю C можна записати у виглядi C : X2,+,d → Qd, (1) де X2,+,d ⊂ N2,+ — двовимiрний топологiчний многовид [1], як хаусдорфовий топологiчний пiдпростiр [1–3] евклiдового простoру N2,+ [2, 3], Qd ⊂ Color — замкненi обмеженi пiдмно- жини просторiв N2,+ та Color вiдповiдно, якi є вимiрними за Жорданом [1]. Зважаючи на злiченнiсть просторiв N, N2,+, X2,+,d та Qd є також злiченними [3]. Фiзичнi розмiри рисунка P визначаються розмiрами областi X2,+,d. В бiльшостi випадкiв X2,+,d є прямокутником. Тому її можна подати у виглядi X2,+,d = {dtpi,j = (i, j) \| i = 1, l ∧ j = 1, h}, (2) де l, h ∈ N+ — довжина та висота рисунка P . Добуток s = lh — площа, яка визначає розмiрнiсть областi X2,+,d та рисунка P . У разi розгляду набору з N рисункiв (1) та (2) видозмiнюються P = {Pz : Pz = Cz(X 2,+,d z )}z=1,N , (3) де Cz : X2,+,d z → Qd z, z = 1, N ; (4) X2,+,d z = {dtpz,i,j = (i, j) \| i = 1, lz ∧ j = 1, hz}, ∀ z : lz, hz ∈ N+. (5) Тут P — набiр з N рисункiв Pz, а X2,+,d z — область визначення функцiї Cz z-го рисунка Pz. Фактично в даному випадку треба говорити про оператор набору С, який визначений на ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 45 гiльбертовому просторi [3] {Cz} i подається набором операторiв кожного iз зображень на- бору C = {Cz}z=1,...,N . (6) Модель вектор-функцiї для подання зображення та наборiв зображень. За основу математичної моделi векторного подання зображень приймається гiпотеза про iснування деякого векторного поля [3] (вектор-функцiї вiд векторного аргумен- ту, який виступає точкою простору). За вектор-функцiю приймається вектор C = = (C1(X2,+,d z ), . . . ,CNpal(X2,+,d z )), де Npal — розмiрнiсть палiтри кольорiв. При такому пiдходi характеристикою зображення Pz виступає потiк абстрактного векто- ра C через деяку плоску гiперповерхню X2,+,d z [1, 3, 4], яка, в свою чергу, за геометрични- ми параметрами дорiвнює площинi зображення Pz. Це означає, що кожному Pz ставиться у вiдповiднiсть скалярний поверхневий iнтеграл, який є потоком вектора C крiзь поверхню X2,+,d z Pz → Φz = ∫ X 2,+,d z C · dX2,+,d z , z = 1, . . . , N. (7) При цьому вектор C приймається направлений по нормалi до поверхнi X2,+,d z . Бiльше то- го, допускається iснування векторного елемента поверхнi dX2,+,d z майже всюди на X2,+,d z [1]. Оскiльки X2,+,d z є замкненою i обмеженою поверхнею, то координатнi напрями (i, j) впоряд- ковуються так, щоб напрямок вектора dX2,+,d z збiгався по нормалi з напрямом вектора C. Очевидно, що площа ∫ X 2,+,d z dX2,+,d z поверхнi X2,+,d z повинна iснувати. Описаний пiдхiд визначає iснування деякого силового поля. Зображення фактично є нi- би деяким перпендикулярним зрiзом цього поля. Координати вектора C на поверхнi X2,+,d z можуть визначатися вектором Cz = (cdz(1,1), . . . , c d z(lz ,hz) ) ︸︷︷︸ lzhz (8) або матрицею Cz =    cdz(1,1) . . . cdz(l,1) . . . . . . . . . . . . . cdz(1,h) . . . cdz(l,h)    . (9) Маючи координати вектор-функцiї C на поверхнi X2,+,d z , можна ввести другу характери- стику Pz , а саме, градiєнт кольору gradCz [1] як векторну функцiю на евклiдовому просторi координат вектора C на поверхнi X2,+,d z . Вiдповiдно до (3), для набору P має мiсце наступне: якщо в просторi (ΩC) вiдносно (8) або (9) ввести операцiю додавання “⊕” (як додавання векторiв для (8) або додавання ма- триць (9)) та множення на скаляр “ ·”, то многовид (ΩC) стає лiнiйним простором. Iз обмеженостi простору (z = 1 та z = N) та злiченностi (ΩC) випливає його замкненiсть. Оскiльки лiнiйний многовид (ΩC) є замкненим, то вiн утворює векторний простiр. 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3 Побудова гiльбертових просторiв при векторнiй моделi подання зображень. Введення скалярного добутку дає змогу ввести норму i перейти до нормованих чи гiльбер- тових просторiв. Розглянемо рiзнi способи органiзацiї гiльбертових та нормованих просторiв над набором P при векторному поданнi зображень. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Φ). Скалярний добуток введемо так: 〈Cz1 ,Cz2〉 = Φz1Φz2 . (10) Тодi норму можна визначити ‖Cz‖C,Φ = Φz, (11) а метрикою може виступати звичайна евклiдова вiдстань dC,Φ(Cz1 ,Cz2) = \|Φz1 − Φz2 \|. (12) Завдяки цьому поле ΩC можна розглядати нормованим векторним простором (ΩC, ‖ · ‖C,Φ). Теорема 1. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Φ) є гiльбертовим. Доведення. Для скалярного добутку (10) виконуються умови: 1) додатної визначеностi 〈Cz1 ,Cz1〉 = Φ2 z1 > 0; (13) 2) ермiтової симетрiї 〈Cz1 ,Cz2〉 = Φz1Φz2 = Φz2Φz1 = 〈Cz2 ,Cz1〉; (14) 3) асоцiативностi α〈Cz1 ,Cz2〉 = αΦz1Φz2 = Φz1(αΦz2) = 〈Cz1 , αCz2〉; (15) 4) дистрибутивностi 〈Cz1 ,Cz2〉+ 〈Cz1 ,Cz3〉 = Φz1Φz2 +Φz1Φz3 = Φz1(Φz2 +Φz3) = 〈Cz1 ,Cz2 + Cz3〉. (16) Отже, простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Φ) є унiтарним. Унiтарний скiнченний простiр є повним [1, 2], а повний унiтарний векторний простiр (банаховий простiр) є гiльбертовим. Доведення теореми 1 може бути простiшим: оскiльки простiр (ΩC, ‖·‖C,Φ) є нормованим i скiнченновимiрним, то вiн є повним, тобто банаховим. А банаховий простiр iз введеним скалярним добутком є гiльбертовим. Твердження 1. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Φ) є сепарабельний. Доведення. Простiр (ΩC, ‖ ·‖C,Φ) є нормованим простором з нормою (11). А будь-який скiнченновимiрний нормований простiр є сепарабельним [1, 2]. Теорема 2. ‖ · ‖C,Φ є метрикою над фактор-простором ΩC,‖·‖C,Φ /∼ гiльбертового про- стору (ΩC, ‖ · ‖C,Φ). Доведення. Згiдно з (7) i (8), маємо dC,Φ(Cz,Cz) = 0, (17) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 47 тобто (8) є напiвметрикою (псевдометрикою) [3]. А напiвметрика є метрикою фактор-прос- тору. Вiдзначимо, що норма ‖ · ‖C,Φ не є напiвнормою [1], тому простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Φ) є нормо- ваним напiвметричним векторним простором. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,p). Якщо ввести скалярний добуток таким чином 〈Cz1 ,Cz2〉 = h∑ j=1 l∑ i=1 δi,jc d z1,(i,j) cdz2,(i,j), (18) де δi,j — метричний тензор, то можна ввести p-норму (гельдеровi норми [3]) (при p = 2 отримуємо евклiдову норму) ‖Cz‖C,p = p √ √ √ √ h∑ j=1 l∑ i=1 (cd z,(i,j)) p. (19) Тодi метрику можна визначити так: dC,p(Cz1 ,Cz2) = p √ √ √ √ lh∑ k=1 δi,j\|cdz1,k − cdz2,k\| p; k = k(i, j), (20) а до розгляду приймати нормований векторний простiр (ΩC, ‖ · ‖C,p). Твердження 2. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,p) є сепарабельним i гiльбертовим. Доведення. При введеному скалярному добутку (18) гiльбертовiсть простору (ΩC, ‖ · ‖C,p) випливає iз скiнченної вимiрностi простору i евклiдової метрики (20) [2]. Сепарабельнiсть простору (ΩC, ‖ · ‖C,p) випливає iз скiнченної вимiрностi i нормовано- стi (19) простору [2]. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Фрб). Якщо визначити скалярний добуток (10) таким чином 〈Cz1 ,Cz2〉 = h∑ j=1 l∑ i=1 cdz1,(i,j)c d z2,(i,j) , (21) то можна вести матричну норму Фробенiуса з метрикою Фробенiуса ‖Cz‖C,Фрб = √ √ √ √ h∑ j=1 l∑ i=1 \|cd z,(i,j)\| 2 = √ TrC† zCz; (22) dC,Фрб(Cz1 ,Cz2) = √ √ √ √ h∑ j=1 l∑ i=1 \|cd z1,(i,j) − cd z2,(i,j) \|2, (23) де C† z — матриця, спряжена до Cz; Tr — слiд матрицi. В результатi отримаємо нормований векторний простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Фрб). Твердження 3. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,Фрб) є сепарабельним i гiльбертовим. Доведення аналогiчне доведенню твердження 2. 48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3 Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,det). Скалярний добуток можна визначити через детермiнант до- бутку матриць координат dC,Фрб(Cz1 ,Cz2) = √ √ √ √ h∑ j=1 l∑ i=1 \|cd z1,(i,j) − cd z2,(i,j) \|2. (24) Тодi норма i метрика простору (ΩC, ‖ · ‖C,det) будуть такими: ‖Cz‖C,det = \|det(Cz)\| = √ (det(Cz))2; (25) dC,det(Cz1 ,Cz2) = \|det(Cz1)− det(Cz2)\|. (26) В результатi цього отримаємо нормований векторний простiр (ΩC, ‖ · ‖C,det). Теорема 3. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,det) є гiльбертовим. Доведення аналогiчне доведенню теореми 1. Для скалярного добутку (24) виконуються умови: додатної визначеностi, ермiтової симетрiї, асоцiативностi та дистрибутивностi 〈Cz1 ,Cz1〉 = det(Cz1) 2 > 0, (27) 〈Cz1 ,Cz2〉 = det(Cz1) det(Cz2) = det(Cz2) det(Cz1) = 〈Cz2 ,Cz1〉, (28) α〈Cz1 ,Cz2〉 = αdet(Cz1) det(Cz2) = det(Cz1)(α det(Cz2)) = 〈Cz1 , αCz2〉, (29) 〈Cz1 ,Cz2〉+ 〈Cz1 ,Cz3〉 = det(Cz1) det(Cz2) + det(Cz1) det(Cz3) = = det(Cz1)(det(Cz2) + det(Cz3)) = 〈Cz1 ,Cz2 + Cz3〉. (30) Отже, простiр (ΩC, ‖ · ‖C,det) є унiтарним. А будь-який скiнченний унiтарний простiр є повним [1, 2]. Повний унiтарний векторний простiр (банаховий простiр) є гiльбертовим. Твердження 4. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,det) є сепарабельний. Доведення аналогiчне доведенню твердження 1. Теорема 4. ‖ · ‖C,det є метрикою над фактор-простором ΩC,‖·‖C,det /∼ гiльбертового простору (ΩC, ‖ · ‖C,det). Доведення аналогiчне доведенню теореми 2. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,singl). Особливий iнтерес в практичних задачах обробки зображень може становити сингулярна норма [1] iз сингулярною метрикою ‖Cz‖C,singl = max i σi(Cz); (31) dC,singl(Cz1 ,Cz2) = max i σi(Cz1 − Cz2), (32) де σi — i-те власне число матрицi Cz. Твердження 5. (ΩC, ‖ · ‖C,singl) є векторним простором iз мультиплiкативною мет- рикою. Доведення. Метрика (32) є пiдлеглою [1] евклiдовiй нормi векторiв, а тому вона є муль- типлiкативною [2]. Простiр (ΩC, ‖ · ‖C,singl) є нормованим метричним векторним простором iз мультиплi- кативною метрикою. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 49 За умови прийнятої гiпотези i (7) оператор набору (6) можна подати у виглядi вектора над гiльбертовим простором векторiв Cz C = {Cz}z=1,...,N =    (cd1(1,1), . . . , c d 1(l1,h1) ) (cd2(1,1), . . . , c d 2(l2,h2) ) . . . . . . . . . . . . . . . . (cdN(1,1), . . . , c d N(lN ,hN ))    . (33) Тодi P у вiдповiднiсть ставиться набiр вектор-функцiй кольору C крiзь рiзнi X2,+,d z . Цей набiр виступає третьою характеристикою, але виключно набору зображень P → {Φz}z=1,...,N . (34) Над евклiдовим простором {Φz} можна ввести аксiоматику Колмогорова [5] i перейти до обробки зображень та наборiв зображень за допомогою класичних методiв теорiї ймо- вiрностей i кореляцiйного аналiзу. Таким чином, в роботi запропоновано векторну модель подання зображення та набору зображень, яка дозволяє привнести в обробку зображень методи теорiї векторного поля. Визначено базовi характеристики моделi розробки алгоритмiв практичної обробки зобра- жень. На основi цiєї моделi можна будувати рiзноманiтнi гiльбертовi простори, якi мають властивiсть сепарабельностi. Наведенi приклади побудови гiльбертового сепарабельного простору зображення та на- бору зображень дають змогу математично обгрунтовано будувати новi методи обробки зо- бражень та наборiв на основi змiни метрик простору. Введення метрики (12) дає можливiсть вiдразу сформулювати задачу факторизацiї се- парабельного гiльбертового простору набору зображень. 1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – Москва: Наука, 1968. – 720 с. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: 4-е изд. – Москва: Наука, 1976. – 544 c. 3. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. – Москва: ГИФМЛ, 1963. – 264 с. 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Москва: Наука, 1972. – Т. 2. – 572 с. 5. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей: 2-е изд. – Москва: Наука, 1974. – 122 с. Надiйшло до редакцiї 25.08.2009Державний науково-дослiдний iнститут iнформацiйної iнфраструктури, Львiв Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка” Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.V. Grytsyk, D.D. Peleshko, Yu.M. Rashkevych Hilbert spaces in a vector model of representation of images and sets of images A vector model of representation of a signal-image on the basis of the notion of the flow of an abstract vector-function is developed. By defining a scalar product and a metric, Hilbert separable spaces for the operator representation of sets of images are constructed and studied. The problem of the factorization of these spaces is posed for the further development of methods of the preliminary processing of images and sets of images. 50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3

Гільбертові простори у векторній моделі подання зображень і наборів зображень

Репозитарії

Схожі ресурси